1. Transformaciones Lineales (MAT023)
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Primer semestre de 2012
Verónica Gruenberg Stern
DEFINICION
Sean U, V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y sea T : U −→ V una función. Diremos
que T es una transformación lineal ssi satisface las siguientes dos condiciones:
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1. T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ) ∀ u1 , u2 ∈ U .
2. T (α · u) = α · T (u) ∀ α ∈ K, ∀ u ∈ U .
OBSERVACIÓN
La primera condición dice que la función T transforma la suma de dos vectores en U en la
suma de las imágenes de estos dos vectores en V . Del mismo modo, la segunda condición indica
que T transforma el producto por escalar de un vector en U en el producto del mismo escalar por
la imagen del vector en V .
TEOREMA
Sean U, V espacios vectoriales sobre el cuerpo K; entonces T : U −→ V es una transformación
lineal ssi
T (α · u1 + β · u2 ) = α · T (u1 ) + β · T (u2 ) ∀ α, β ∈ K, ∀ u1 , u2 ∈ U
Dem.
Debemos probar que T satisface las condiciones 1. y 2. de la definición si y solamente si
T (α · u1 + β · u2 ) = α · T (u1 ) + β · T (u2 ) ∀ α, β ∈ K, ∀ u1 , u2 ∈ U .
⇐ Para la condición 1. basta tomar α = β = 1, y para la condición 2., basta tomar β = 0.
⇒ Sean α, β ∈ K, u1 , u2 ∈ U . Luego:
T (α · u1 + β · u2 ) = T (α · u1 ) + T (β · u2 ) condición 1. aplicada a αu1 , βu2 ∈ U .
= α · T (u1 ) + β · T (u2 ), por la condición 2.
EJEMPLOS
1. Considere la función T : R −→ R tal que T (x) = 5x. Veamos si T es o no una transformación
lineal.
a) Sean x, y ∈ R. Entonces, T (x + y) = 5(x + y) = 5x + 5y = T (x) + T (y).

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b) Sea x ∈ R, (espacio vectorial), y sea α ∈ R (cuerpo). Entonces,
T (αx) = 5αx = α5x = αT (x).
Así, hemos probado que T (x) = 5x es una transformación lineal. Notar que de la misma
manera podríamos haber probado que T (x) = k · x es una transformación lineal, para
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cualquier constante real k.
2
2. Considere la función T : R −→ R tal que T (x) = 5x + 9. Veamos si T es o no una transfor-
mación lineal.
a) Sean x, y ∈ R. Entonces, T (x + y) = 5(x + y) + 9 = 5x + 5y + 9
Claramente, esta última expresión es diferente a T (x) + T (y). Luego, esta función no
es una transformación lineal. Como antes, vemos que
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T (x) = k · x + n nunca es una transformación lineal, salvo que n = 0.
3. Análogamente, podemos probar que funciones f : R −→ R, definidas por expresiones como
f (x) = x2 ó f (x) = sen x ó f (x) = cos x ó f (x) = ax etc. no son lineales.
4. Considere la función T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (x + y, x − y). Veamos si T es
o no una transformación lineal.
a) Sean (x, y), (u, v) ∈ R2 . Entonces,
T ((x, y) + (u, v)) = T ((x + u, y + v)) = (x + u + y + v, x + u − y − v)
= (x + y, x − y) + (u + v, u − v) = T (x, y) + T (u, v)
b) Sea (x, y) ∈ R2 y sea α ∈ R. Entonces,
T (α(x, y)) = T (αx, αy) = (αx + αy, αx − αy) = α(x + y, x − y) = αT (x, y)
Así, hemos probado que T (x, y) = (x + y, x − y) es una transformación lineal.
5. Considere la función T : R2 −→ R3 tal que T (x, y) = (x + y, x − y, 2x + 3y). Análogamente,
probaremos que T es lineal:
a) Sean (x, y), (u, v) ∈ R2 . Entonces,
T ((x, y) + (u, v)) = T ((x + u, y + v))
= (x + u + y + v, x + u − y − v, 2x + 2u + 3y + 3v)
= (x + y, x − y, 2x + 3y) + (u + v, u − v, 2u + 3v)
= T (x, y) + T (u, v)
b) Sea (x, y) ∈ R2 y sea α ∈ R. Entonces,
T (α(x, y)) = T (αx, αy)
= (αx + αy, αx − αy, 2αx + 3αy)
= α(x + y, x − y, 2x + 3y) = α T (x, y)
6. Considere la función T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (x + y, −1). Veamos si T es o no una
transformación lineal.
Sean (x, y), (u, v) ∈ R2 . Entonces, T ((x, y) + (u, v)) = T ((x + u, y + v)) =
(x + u + y + v, −1) = (x + y, −1) + (u + v, 0), (por ejemplo).
Esta última expresión no es igual a T (x, y) + T (u, v). Luego, T no es una transformación
lineal.
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7. Si U y V son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, la función que a cada elemento
de U le asigna el elemento 0 de V , que denotamos σ : U −→ V , σ(u) = 0V , es una
transformación lineal, que llamamos nula.
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8. Si U es un espacio vectorial, siempre es posible definir una aplicación del espacio en sí mismo,
3
que a cada elemento le asigna el mismo elemento, que denotamos id: U −→ U, id(u) = u
y que es una transformación lineal, llamada identidad.
9. Sea A ∈ Mm×n (R), y definamos TA : Rn −→ Rm con T (u) = Au donde u ∈ Rn se
considera como vector columna. Entonces, T es una transformación lineal. En efecto:
n
sean u, v ∈ R , α, β ∈ R. Entonces:
TA (αu + βv) = A(αu + βv)
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= αAu + βAv
= αTA (u) + βTA (v)
Hemos probado así que para cada matriz A ∈ Mm×n (R) podemos construir una transforma-
ción lineal de Rn en Rm .
n
10. Sea T r : Mn×n (R) −→ R definida por T r(A) = aii .
i=1
n n
Como T r(αA + βB) = α aii + β bii ∀α, β ∈ R, ∀A, B ∈ Mn×n (R), es claro que
i=1 i=1
T r es lineal. T r(A) se llama la traza de A.
df
11. Considere D : C 1 [a, b] −→ C[a, b], D(f ) = . Como ∀α, β ∈ R:
dx
d df dg
αf (x) + βg(x) = α (x) + β (x), se tiene que D es una transformación lineal.
dx dx dx
dn f
12. Considere Dn : C n [a, b] −→ C[a, b], Dn (f ) = . Análogamente al ejemplo anterior, Dn
dxn
es una transformación lineal.
b
13. Considere I : C[a, b] −→ R, con I(f ) = f (x) dx.
a
b b b
Como (αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx, se tiene que I es una
a a a
transformación lineal.
14. Para cada x ∈ [a, b], considere Ix : C[a, b] −→ C 1 [a, b], definida por:
x
Ix (f ) = f (t) dt. Análogamente, Ix es una transformación lineal.
a
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PROPIEDADES
Sea T : U −→ V una transformación lineal. Entonces, se cumplen las siguientes propiedades:
1. T (0U ) = 0V . Es decir, toda transformación lineal lleva al vector nulo de U en el vector nulo
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de V .
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2. Sean u1 , u2 , · · · , us ∈ U, α1 , α2 , · · · , αs ∈ K; entonces
T (α1 · u1 + α2 · u2 + · · · + αs · us ) = α1 · T (u1 ) + α2 · T (u2 ) + · · · + αs · T (us ).
3. T (−u) = −T (u), ∀u ∈ U. Es decir, toda transformación lineal lleva al inverso aditivo de
un vector en el inverso aditivo de la imagen del vector.
4. Si u1 , u2 , · · · , us son vectores l.d., entonces T (u1 ), T (u2 ), · · · , T (us ) son l.d. Es decir, toda
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transformación lineal conserva la condición de dependencia lineal.
Dem.
1. ∀ u ∈ U : T (u) = T (u + 0U ) = T (u) + T (0U ) ⇒ T (0U ) = 0V .
2. Es clara, por inducción.
3. ∀ u ∈ U : T (−u) = T (−1 · u) = −1 · T (u) = −T (u).
4. Como u1 , u2 , · · · , us son vectores l.d., existen escalares α1 , α2 , · · · , αs ∈ K no todos nulos tal
s
que αi · ui = 0U . Por lo tanto, si aplicamos T a ambos lados de la ecuación:
i=1
s s
T αi · ui = T (0U ) =⇒ αi · T (ui ) = 0V
i=1 i=1
Como no todos los αi son nulos, hemos probado que el conjunto formado por los s vectores
T (ui ) del espacio vectorial V es l.d.
EJERCICIOS
Determine si las siguientes son o no transformaciones lineales:
1. T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (x + y, 0)
2. T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (2x − 3y, 4x − y).
3. T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (ax + by, cx − dy), donde a, b, c, d son números reales
cualquiera.
4. ev0 : Rn [x] −→ R, tal que ev0 (x) = p(0).
5. T : Rn [x] −→ Rn+1 [x], tal que T (p) = D(p) + Ix (p).
6. T : R2 −→ R, tal que T (x, y) = x2 + y 2 .
7. T : R2 −→ R3 , tal que T (x, y) = (x, y, xy).
8. Si A ∈ Mm×n (R), u0 ∈ Rn fijos, estudie TA : Rn −→ Rm con TA (u) = Au + u0 .
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A continuación, veremos un teorema que establece que una transformación lineal de un espacio
vectorial de dimensión finita en otro espacio vectorial queda completamente determinada si se
conoce las imágenes de todos los elementos de una base.
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TEOREMA
5
Sean U, V espacios vectoriales sobre K, B = {u1 , u2 , · · · , un } una base de U , y sean
v1 , v2 , · · · , vn ∈ V arbitrarios. Entonces,
∃ ! T : U −→ V lineal, tal que T (ui ) = vi , ∀i = 1, · · · , n.
Dem. Debemos probar existencia y unicidad de la transformación lineal.
Existencia: Sea u ∈ U . Escribimos u como una combinación lineal de los elementos de la base
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B, es decir, determinamos los escalares α1 , α2 , · · · , αn tal que :
u = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un
y luego aplicamos la transformación lineal T :
T (u) = T α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un = α1 T (u1 ) + α2 T (u2 ) + · · · + αn T (un )
T (u) = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn ya que para cada i = 1, · · · , n conocemos T (ui ).
Así, hemos probado la existencia de esta transformación lineal.
La unicidad se obtiene del hecho que los escalares que permiten escribir u como combinación
lineal de los elementos de la base B son únicos.
A continuación, veremos ejemplos de este teorema.
EJEMPLOS
1. Sea T : R2 −→ R3 una transformación lineal tal que:
T (1, 0) = (1, −2, 3), T (0, 1) = (−1, 1, −1)
Determine T (x, y), ∀(x, y) ∈ R2 .
Solución:
Para determinar explícitamente la transformación lineal, escribimos un vector genérico como
combinación lineal de los elementos de la base: dado (x, y) ∈ R2 :
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
Aplicando T a ambos lados de la ecuación:
T (x, y) = T (x(1, 0) + y(0, 1)) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = x(1, −2, 3) + y(−1, 1, −1)
Luego, T (x, y) = (x − y, −2x + y, 3x − y).
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2. Sea T : R2 −→ R3 una transformación lineal tal que:
T (1, 2) = (2, 3, 4), T (1, 3) = (6, 7, 8)
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Determine T (x, y), ∀(x, y) ∈ R2 .
6
Solución:
Para determinar explícitamente la transformación lineal, escribimos un vector genérico como
combinación lineal de los elementos de la base: dado (x, y) ∈ R2 :
x = α+β α = 3x − y,
(x, y) = α(1, 2) + β(1, 3) =⇒ ∴
y = 2α + 3β β = y − 2x
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Así: (x, y) = (3x − y)(1, 2) + (y − 2x)(1, 3) Aplicando T a ambos lados de la ecuación:
T (x, y) = (3x − y)T (1, 2) + (y − 2x)T (1, 3) = (3x − y)(2, 3, 4) + (y − 2x)(6, 7, 8)
de donde T (x, y) = (−6x + 4y, −5x + 4y, −4x + 4y)
3. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal tal que
T (1, 0, 1) = (1, −1), T (1, 1, 0) = (1, 2), T (0, 1, 1) = (−1, 2)
Hallar T (x, y, z) , para cualquier (x, y, z) ∈ R3 .
Solución:
Como {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} es L.I, es una base para R3 . Escribimos entonces un vector
(x, y, z) ∈ R3 cualquiera como combinación lineal de los elementos de la base:
(x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(1, 1, 0) + γ(0, 1, 1)
donde α, β, γ son números reales. Obtenemos el sistema:
x = α+β
x−y+z x+y−z −x + y + z
y = β+γ de donde α= , β= , γ= .
z = α+γ 2 2 2
Aplicamos T a la ecuación y usamos la linealidad de T obteniendo:
x−y+z x+y−z −x + y + z
T (x, y, z) = T (1, 0, 1) + T (1, 1, 0) + T (0, 1, 1)
2 2 2
x−y+z x+y−z −x + y + z
T (x, y, z) = (1, −1) + (1, 2) + (−1, 2)
2 2 2
Luego, la transformación buscada es
1
T (x, y, z) = (3x − y − z, −x + 5y − z)
2
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4. Sea T : R2 [x] −→ M2×3 (R) una transformación lineal tal que:
2 3 4 2 3 4 0 0 0
T (1 + x) = , T (1 + x2 ) = , T (x + x2 ) = ,
6 7 8 0 0 0 6 7 8
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7
Determine T (a + bx + cx2 ), ∀ a + bx + cx2 ∈ R2 [x].
Solución:
Para determinar explícitamente la transformación lineal, escribimos un polinomio genérico
como combinación lineal de los elementos de la base:
a + bx + cx2 = α(1 + x) + β(1 + x2 ) + γ(x + x2 )
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a = α+β a+b−c a−b+c
α =
, β = ,
Luego, b = α+γ de donde 2 2
−a + b − c
c = β+γ γ =
2
a+b−c a−b+c −a + b − c
Así: a + bx + cx2 = (1 + x) + (1 + x2 ) + (x + x2 )
2 2 2
de donde:
a+b−c a−b+c −a + b − c
T (a + bx + cx2 ) = T (1 + x) + T (1 + x2 ) + T (x + x2 )
2 2 2
a+b−c 2 3 4 a−b+c 2 3 4 −a + b − c 0 0 0
= + +
2 6 7 8 2 0 0 0 2 6 7 8
2a 3a 4a
∴ T (a + bx + cx2 ) = 7(b−c)
6b − 6c 2
8b − 8c
EJERCICIOS
1. Sea T : R3 −→ M2×3 (R) una transformación lineal tal que:
1 2 3 0 1 0 1 1 1
T (1, 0, 0) = , T (1, 1, 0) = , T (1, 1, 1) =
0 −1 −4 0 0 −1 0 0 0
Determinar T (3, 4, −5) y T (a, b, c).
2. Determine una transformación lineal S : R2 [x] −→ R3 tal que
S(1) = (1, −1, 1) ∧ S(x2 ) = (2, 1, 0)
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DEFINICION
Sea T : U −→ V una transformación lineal. Definimos
1. el kernel ó núcleo de T como el conjunto
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8
Ker(T ) = {u ∈ U : T (u) = 0V }
es decir, al conjunto de todos los elementos de U que tienen como imagen al 0V .
2. la imagen de T como el conjunto
Im(T ) = {v ∈ V : ∃u ∈ U con T (u) = v}
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es decir, es el conjunto de todos los elementos de V que son imágenes de elementos de U .
TEOREMA
Sea T : U −→ V una transformación lineal. Entonces KerT ≤ U .
Dem. Debemos probar que:
1. KerT = ∅, lo cual es claro pues T (0U ) = 0V , de donde 0U ∈ KerT .
2. u1 , u2 ∈ KerT ⇒ u1 + u2 ∈ KerT . En efecto: T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ) = 0V + 0V = 0V
3. u ∈ KerT, α ∈ K ⇒ αu ∈ KerT . En efecto: T (αu) = αT (u) = α0V = 0V .
TEOREMA
Sea T : U −→ V una transformación lineal. Entonces ImT ≤ V .
Dem.
Debemos probar que:
1. ImT = ∅, lo cual es claro pues T (0U ) = 0V , de donde 0V ∈ ImT .
2. v1 , v2 ∈ ImT ⇒ v1 + v2 ∈ ImT . En efecto: v1 , v2 ∈ ImT =⇒ ∃ u1 , u2 ∈ U :
T (u1 ) = v1 , T (u2 ) = v2 . Por lo tanto, T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ) = v1 + v2 . Luego
v1 + v2 ∈ Im T .
3. v ∈ ImT, α ∈ K ⇒ αv ∈ ImT . En efecto: como v ∈ ImT, ∃u ∈ U : T (u) = v. Luego,
T (αu) = αT (u) = αv, de donde αv ∈ ImT .
EJEMPLOS
1. σ : U −→ V ⇒ Ker σ = U , Im σ = {0V }.
2. id : U −→ U ⇒ Ker id= {0U }, Im id =U .
3. D : Rn [x] −→ Rn [x] ⇒ KerD = {p(x) : p(x) = cte.}, ImD = Rn−1 [x].
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4. T : R3 −→ R2 , T (x, y, z) = (x + y, y + z). Entonces, (x, y, z) ∈ KerT ⇐⇒
T (x, y, z) = (0, 0) ⇐⇒ x + y = 0 ∧ y + z = 0. Así, x = z = −y, de donde
KerT = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z = −y} = {(−y, y, −y), y ∈ R}
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= { y · (−1, 1, −1), y ∈ R} = (−1, 1, −1)
9
Luego, también hemos encontrado una base para el KerT y dim KerT = 1.
Para encontrar Im T ⊆ R2 , hay varios métodos.
Método1 : Usando la definición: buscamos todos los (u, v) ∈ R2 :
∃ (x, y, z) ∈ R3 : T (x, y, z) = (u, v). Ello es así, si: x + y = u ∧ y + z = v. Como este es un
sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, fijamos una de ellas, digamos y = 0 y tenemos
que x = u, z = v, de donde
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T (x, 0, z) = T (u, 0, v) = (u + 0, 0 + v) = (u, v).
Luego, ∀(u, v) ∈ R2 podemos encontrar un elemento (x, y, z) ∈ R3 : T (x, y, z) = (u, v).
Así, Im T = R2 .
Método2 : Notamos que los elementos que pertenecen a ImT son de la forma
(x + y, y + z) = x(1, 0) + y(1, 1) + z(0, 1)
es decir, factorizamos por los escalares correspondientes.
Así, ImT = (1, 0), (1, 1), (0, 1) = (1, 0), (0, 1) = R2 .
Método3 : Usamos el teorema que afirma que una transformación lineal está completa-
mente determinada por las imágenes de una base, por ejemplo, de la base canónica:
T (1, 0, 0) = (1, 0)
T (0, 1, 0) = (1, 1) ⇒ ImT = (1, 0), (1, 1), (0, 1) = R2
T (0, 0, 1) = (0, 1)
5. T : R3 −→ R, T (x, y, z) = x + y + z.
Análogamente, (x, y, z) ∈ KerT ⇐⇒ T (x, y, z) = 0 ⇐⇒ x + y + z = 0 ⇐⇒ z = −x − y,
de donde
Ker T = {(x, y, z) ∈ R3 : z = −x − y}
= {(x, y, −x − y), x, y ∈ R}
= {(x, 0, −x) + (0, y, −y), x, y ∈ R}
= {x(1, 0, −1) + y(0, 1, −1) : x, y ∈ R}
= (1, 0, −1), (0, 1, −1)
Así, hemos encontrado una base para el KerT y por lo tanto, dim KerT = 2.
Como cualquier u ∈ R puede ser obtenido como suma de tres números reales, ImT ≤ R y
dimR = 1, una base para ImT puede ser C = {1}.
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6. T : R3 −→ R5 , T (x, y, z) = (x + y, y + z, x + 2y + z, x + y, 0)
(x, y, z) ∈ KerT ⇐⇒ T (x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0) ⇐⇒
¤
10 ¥
x+y = 0
§
¦
y+z = 0 x = −y
=⇒ Por lo tanto,
x + 2y + z = 0 z = −y
x+y = 0
KerT = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −y, z = −y } = { (−y, y, −y), y ∈ R} = (−1, 1, −1)
Para determinar ImT , notamos que:
(x + y, y + z, x + 2y + z, x + y, 0) = x(1, 0, 1, 1, 0) + y(1, 1, 2, 1, 0) + z(0, 1, 1, 0, 0)
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Así, ImT = (1, 0, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 0) .
Es fácil ver que estos 3 vectores son l.d. en R5 , por lo que escogemos 2 de ellos, y obtenemos
que
ImT = (1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 0)
Luego, dimKerT =1 y dimImT =2.
a b
7. Sea T : M2×2 (R) −→ R2 [x], con T = (a + b)x2 + (b + c)x + d
c d
Determinar una base para KerT y para ImT .
a b a b
Ker T = ∈ M2×2 (R) : T =0
c d c d
a b
= ∈ M2×2 (R) : (a + b)x2 + (b + c)x + d = 0
c d
a b
= ∈ M2×2 (R) : a + b = 0, b + c = 0, d = 0
c d
a −a 1 −1
= ∈ M2×2 (R) : a ∈ R =
a 0 1 0
a b a b
ImT = αx2 + βx + γ ∈ R2 [x] : ∃ ∈ M2×2 (R) con T = αx2 + βx + γ
c d c d
ImT = {αx2 + βx + γ ∈ R2 [x] : (a + b)x2 + (b + c)x + d = αx2 + βx + γ}
a+b = α
Debemos resolver el sistema de 3 ecuaciones y 4 incógnitas: b+c = β
d = γ
Claramente, si por ejemplo, a = α, b = 0, c = β, d = γ entonces
α 0
T = αx2 + βx + γ. Así, vemos que todos los polinomios de R2 [x] pertenecen a
β γ
ImT . Luego, ImT = R2 [x] = 1, x, x2 .
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Otro camino, es notar que:
(a + b)x2 + (b + c)x + d = ax2 + b(x2 + x) + cx + d
¤
11 ¥
Luego, ImT = x2 , x2 + x, x, 1 = x2 , x, 1 = R2 [x].
8. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal tal que
§
¦
T (1, 0, 1) = (1, −1), T (1, 1, 0) = (1, 2), T (0, 1, 1) = (−1, 2)
Hallar Ker(T ) y una base del Ker(T ) .
Solución:
Como vimos antes,
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1
T (x, y, z) = (3x − y − z, −x + 5y − z)
2
Luego, para determinar el KerT :
Ker(T ) = {(x, y, z) ∈ R3 : T (x, y, z) = (0, 0)}
= {(x, y, z) ∈ R3 : 3x − y − z = 0 ∧ −x + 5y − z = 0}
2 7
= x, x, x :x∈R
3 3
Por lo tanto, una base para Ker(T) es {(3, 2, 7)} y dim KerT =1.
EJERCICIOS
1. Sea T : R2 [x] −→ M2×2 (R) una transformación lineal tal que:
1 −1 0 −1 1 −2
T (1 + x) = , T (x + x2 ) = , T (1 + x2 ) =
1 0 −1 1 0 1
Determinar T (a + bx + cx2 ), KerT e ImT .
2. Sea L : R2 [x] −→ R2 [x], L(p(x)) = p(x − 1).
a) Demuestre que es lineal.
b) Determine KerL e ImL.
TEOREMA
Sea T : U −→ V una transformación lineal; entonces, T es 1-1 ⇐⇒ Ker T = {0U }.
Dem.
⇒ Sea x ∈ KerT . Entonces T (x) = 0V = T (0U ). Como T es inyectiva, T (x) = T (0U ) ⇒
x = 0U . Por lo tanto, KerT = {0U }.
MAT023 (1◦ 2012) 11

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⇐ Sean x, y ∈ U : T (x) = T (y). Luego, T (x)−T (y) = 0 ⇒ T (x−y) = 0 ∴ x−y ∈ KerT .
Ahora, KerT = {0U } ⇒ x − y = 0U , de donde x = y, por lo que T es inyectiva.
EJEMPLO
¤
12 ¥
Sea T : R4 [x] −→ R3 , definida por T (a + bx + cx2 + dx3 + ex4 ) = (a + b, c + d, e). Pruebe que
T es lineal, determine dim KerT , dim ImT y encuentre una base para ellos. ¿Es T inyectiva?
§
¦
1. Dejamos como ejercicio probar que T es lineal.
2. p(x) ∈ KerT ⇐⇒ T (p(x)) = (0, 0, 0) ⇐⇒
a+b=0
c+d=0
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e=0
Esto implica que b = −a, d = −c. Luego:
p(x) ∈ KerT ⇐⇒ p(x) = a − ax + cx2 − cx3
lo cual implica que p(x) = a(1−x)+c(x2 −x3 ). Una base para KerT es {(1−x), (x2 −x3 )}.
Por tanto, dim KerT = 2, por lo que T no es inyectiva.
3. Consideremos la base canónica de R4 [x]. Tenemos que: T (1) = (1, 0, 0),
T (x) = (1, 0, 0), T (x2 ) = (0, 1, 0), T (x3 ) = (0, 1, 0), T (x4 ) = (0, 0, 1). Claramente, los
3 vectores linealmente independientes que encontramos (vectores de la base canónica de R3 )
forman la base de ImT . Por lo tanto, dim ImT = 3.
4. Notar que dimR (KerT ) + dimR (ImT ) = 2 + 3 = 5 = dimR4 [x]
Si revisamos la relación anterior en todos los ejemplos que hemos desarrollado, veremos que se
cumple siempre. Esta relación es un hecho general, y tenemos el siguiente
TEOREMA
Sea T : U −→ V lineal, tal que dimK U = n. Entonces
dimK (KerT ) + dimK (ImT ) = n
Dem. Sea {u1 , u2 , · · · , um } una base de KerT . Completamos esta base a una base de U , es
decir, consideramos los vectores um+1 , · · · , un ∈ U : {u1 , · · · , um , um+1 , · · · , un } sea una base de
U . Debemos probar, entonces, que las imágenes de los vectores que hemos agregado, forman una
base de ImT , es decir, que {T (um+1 ), · · · , T (un )} es base de ImT .
Sea u un vector cualquiera en U . Expresamos u como combinación lineal de los elementos de
la base:
u = α1 u1 + · · · + αm um + αm+1 um+1 + · · · + αn un
Aplicamos T a la relación:
T (u) = α1 T (u1 ) + · · · + αm T (um ) + αm+1 T (um+1 ) + · · · + αn T (un )
MAT023 (1◦ 2012) 12

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Como T (ui ) = 0, ∀ i = 1, · · · , m, se tiene que:
T (u) = αm+1 T (um+1 ) + · · · + αn T (un )
¤
13 ¥
Luego, como u es un vector cualquiera, es claro que T (um+1 ), · · · , T (un ) es un conjunto generador
de ImT .
§
¦
Probemos ahora que este conjunto es l.i.: sean αm+1 , · · · , αn escalares tal que
αm+1 T (um+1 ) + · · · + αn T (un ) = 0
Por lo tanto, usando la linealidad de T :
T αm+1 um+1 + · · · + αn un = 0 por lo que αm+1 um+1 + · · · + αn un ∈ KerT
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Luego, podemos escribir este vector como combinación lineal de los elementos de la base de KerT :
αm+1 um+1 + · · · + αn un = α1 u1 + · · · + αm um
ó equivalentemente
α1 u1 + · · · + αm um − αm+1 um+1 − · · · − αn un = 0
Como {u1 + · · · + um , um+1 + · · · + un } es base de U , αi = 0, ∀ i = 1, · · · , n.
Por lo tanto, el conjunto {T (um+1 ), · · · , T (un )}} es una base de ImT , y queda demostrado el
teorema.
EJERCICIO Sea T : M2×2 (R) −→ R3 [x] definida por
a b
T = (a + b) + (c + d)x + (a + b + c + d)x2 + ax3
c d
Demuestre que T es lineal, y determine base de Ker(T ) y dim Im(T ).
Dejamos como ejercicio probar que T es lineal. Determinemos la dimensión del Kernel:
a b
KerT = {A ∈ M2×2 (R) : T = 0}
c d
a b
= : a + b = 0, c + d = 0, a + b + c + d = 0, a=0
c d
a b
= : a = b = 0, d = −c
c d
0 0 0 0
= : c∈R =
c −c 1 −1
MAT023 (1◦ 2012) 13

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Por lo tanto, dim Ker T = 1. Aplicamos el teorema para determinar la dimensión de Im T :
1 + dim Im(T ) = 4 = dimM2×2 (R) =⇒ dim Im(T ) = 3
¤
14 ¥
TEOREMA
§
¦
Sea T : U −→ V lineal e inyectiva. Si {u1 , · · · , un } es l.i., entonces {T (u1 ), · · · , T (un )} es l.i.
Dem.
Formamos α1 T (u1 ) + · · · + αn T (un ) = 0. Como T es lineal, es equivalente a
T α1 u1 +· · ·+αn un = 0 Luego, α1 u1 +· · ·+αn un ∈ KerT. ∴ α1 u1 +· · ·+αn un = 0
Como {u1 , · · · , un } es l.i, los escalares αi = 0, ∀i = 1, · · · , n. ∴ {T (u1 ), · · · , T (un )} es l.i.
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Estudiaremos a continuación qué propiedades se traspasan al resultado de operar con transfor-
maciones lineales.
TEOREMA
Sean U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo K, y sea α ∈ K.
Sean T, S : U −→ V transformaciones lineales. Entonces:
1. T + S es una transformación lineal.
2. α · T es una transformación lineal .
Dem.
1. Debemos probar que T + S es una transformación lineal. Para ello, sean
u1 , u2 ∈ U, λ1 , λ2 ∈ K. Formamos
(T + S)(λ1 u1 + λ2 u2 ) = T (λ1 u1 + λ2 u2 ) + S(λ1 u1 + λ2 u2 ) (suma de funciones)
= λ1 T (u1 ) + λ2 T (u2 ) + λ1 S(u1 ) + λ2 S(u2 ) (linealidad de T y S)
= λ1 T (u1 ) + λ1 S(u1 ) + λ2 T (u2 ) + λ2 S(u2 )
= λ1 (T + S)(u1 ) + λ2 (T + S)(u2 ). (suma de funciones)
Por lo tanto, T + S es una transformación lineal.
2. Ahora debemos probar que α · T es una transformación lineal. Como antes, sean u1 , u2 ∈
U, λ1 , λ2 ∈ K. Formamos
(αT )(λ1 u1 + λ2 u2 ) = αT (λ1 u1 + λ2 u2 ). Por la linealidad de T :
= α(λ1 T (u1 ) + λ2 T (u2 )) = λ1 (αT (u1 )) + λ2 (αT (u2 )).
Por lo tanto, αT es una transformación lineal.
Observación:
Si U y V son 2 espacios vectoriales, es posible considerar el conjunto
L(U, V ) = {T : U → V tal que T es lineal}
MAT023 (1◦ 2012) 14

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Claramente, la transformación lineal nula pertenece a este conjunto, de donde L(U, V ) = ∅. Junto
al Teorema anterior, esto prueba que L(U, V ) ≤ F(U, V ).
TEOREMA
¤
15 ¥
Sean U, V, W espacios vectoriales sobre K y sean T ∈ L(U, V ), S ∈ L(V, W ). Entonces, la
composición de las transformaciones lineales también es lineal, es decir, S ◦ T ∈ L(U, W ).
§
¦
Dem. Sean α, β ∈ K, x, y ∈ U. Entonces
(S ◦ T )(αx + βy) = S(T (αx + βy)) = S((αT (x) + βT (y)) = (αS(T (x)) + βS(T (y)))
= α(S ◦ T )(x) + β(S ◦ T )(y).
TEOREMA
Sea T : U −→ V lineal e inyectiva. Entonces la inversa de T , que denotamos por T −1 :
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ImT −→ U también es una transformación lineal.
Dem. Sean v1 , v2 ∈ ImT =⇒ ∃u1 , u2 ∈ U :
T (v1 ) = u1 , T −1 (v2 ) = u2 . Luego, T (u1 ) = v1 , T (u2 ) = v2 . Por lo tanto,
−1
v1 + v2 = T (u1 + u2 ) =⇒ u1 + u2 = T −1 (v1 + v2 ) =⇒
−1 −1 −1
T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ).
De la misma manera, se prueba que T −1 (αv) = αT −1 (v). Así, T −1 es lineal.
DEFINICION
Sea T : U −→ V lineal. Diremos que T es un isomorfismo si y sólo si T es inyectiva e
ImT = V . En este caso, diremos que U y V son isomorfos, y escribimos U ∼ V .
=
OBSERVACION
Si T : U −→ V es un isomorfismo, entonces T −1 : V −→ U también es un isomorfismo.
EJEMPLOS
1. Sea V un espacio vectorial sobre R, tal que dimR V = n. Sea B = {u1 , u2 , · · · , un } una base
ordenada de V , de modo que si v ∈ V , entonces formamos la matriz de coordenadas de v en
la base B:
 
α1
 α 
[v]B =  2 
 ... 
αn
Definimos la función ϕ : V −→ Rn , con ϕ(v) = (α1 , α2 , · · · , αn ).
Dejamos como ejercicio demostrar que ϕ es lineal, inyectiva y epiyectiva. Por lo tanto, ϕ es
un isomorfismo.
De este modo, se ha probado que si dimV = n, entonces, V ∼ Rn .
=
MAT023 (1◦ 2012) 15

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2. Encuentre un isomorfismo entre el espacio de los polinomios R3 [x] y el espacio de las matrices
M2×2 (R).
3. Sean U, V espacios vectoriales sobre R, y considere el conjunto
¤
16 ¥
L(U, V ) = {T : U −→ V, T lineal}
§
¦
a) Pruebe que L(U, V ) es un espacio vectorial sobre R.
b) Demuestre que, si dimU = n y dimV = m, entonces L(U, V ) ∼ Mm×n (R).
=
c) Determine una base para L(R2 [x], R2 ).
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MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL
Como hemos hecho hasta ahora, consideraremos en esta sección espacios vectoriales de dimen-
sión finita.
Sean U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo K, tal que dimK U = n y dimK V = m. Sean
B1 = {u1 , u2 , · · · , un }, B2 = {v1 , v2 , · · · , vm } bases ordenadas de U y V , respectivamente.
Sea T : U −→ V una transformación lineal. Sabemos que existen escalares αij únicos
(i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n):
T (u1 ) = α11 v1 + α21 v2 + · · · αm1 vm
T (u2 ) = α12 v1 + α22 v2 + · · · αm2 vm
.
. .
. = .
.
T (un ) = α1n v1 + α2n v2 + · · · αmn vm
La matriz de m filas y n columnas (αij )m×n se llama matriz asociada a la transformación
lineal T , con respecto a las bases B1 y B2 .
Denotamos esta matriz por
 
α11 α12 · · · α1n
 α21 α22 · · · α2n 
[ T ]B2 = 
 
B1 .
. .
. . 
. 
 . . ··· .
αm1 αm2 · · · αmn
EJEMPLOS
1. Considere la función T : R2 [x] −→ R3 , definida por T (p(x)) = (p(0), p(1), p(2)).
Sean B = {1, x, x2 } y D = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} bases de R2 [x] y R3 respectivamente.
a) Pruebe que T es lineal.
MAT023 (1◦ 2012) 16

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b) Determine el Ker T y [T ]D
B
c) ¿Es T un isomorfismo?
¤
17 ¥
Solución:
a) Sean p(x) , q(x) ∈ R2 [x] y α ∈ R . Entonces
§
¦
T (αp(x) + βq(x)) = (αp(0) + βq(0) , αp(1) + βq(1) , αp(2) + βq(2) )
= α(p(0) , p(1) , p(2)) + β(q(0) , q(1) , q(2))
= α T (p(x)) + β T (q(x))
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Por lo tanto T es lineal.
b) Sea p(x) = ax2 + bx + c ∈ Ker(T ) , entonces (p(0) , p(1) , p(2)) = (0, 0, 0) , y esto ocurre
si y solo si:
c = 0 a = 0
a+b+c = 0 ⇒ b = 0
4a + 2b + c = 0 c = 0
Por lo tanto Ker(T ) = { 0 } , de donde además T es inyectiva.
Determinemos ahora la matriz asociada a esta transformación lineal:
T (1) = (1, 1, 1) = 1 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 1 · (0, 0, 1)
T (x) = (0, 1, 2) = 0 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 2 · (0, 0, 1)
T (x2 ) = (0, 1, 4) = 0 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 4 · (0, 0, 1)
Luego, la matriz asociada buscada es
 
1 0 0
[T ]D
B =  1 1 1 
1 2 4
c) Por el teorema de la dimensión, dim R2 [x] = dim KerT + dim ImT .
Como dim R2 [x] = 3, y dim KerT = 0 , tenemos que dim ImT = 3 = dim R3 . Así,
ImT = R3 , y por lo tanto, T es epiyectiva.
Luego, T es lineal y biyectiva de donde T es un isomorfismo.
2. Sea T ∈ L(R3 , R2 ), dado por T (x, y, z) = (x − 2y + 3z, 4x − y − z).
a) Si B1 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} y B2 = {(1, 2), (1, −1)} son bases ordenadas de R3
y R2 respectivamente, encuentre [ T ]B2 . B1
Para encontrar la matriz asociada a la transformación lineal con respecto a estas bases,
escribimos:
MAT023 (1◦ 2012) 17

18. Universidad Técnica Federico Santa María
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T (1, 1, 0) = (−1, 3) = α11 (1, 2) + α21 (1, −1)
T (1, 0, 1) = (4, 3) = α12 (1, 2) + α22 (1, −1)
T (0, 1, 1) = (1, −2) = α13 (1, 2) + α23 ((1, −1)
¤
18 ¥
Resolviendo los tres sistemas de ecuaciones, obtenemos:
§
¦
2/3 7/3 −1/3
[ T ]B2 =
B1 −5/3 5/3 4/3
b) Sea u = (1, 2, 3). Encuentre [u]B1 , [ T (u)]B2 , y [ T ]B2 · [u]B1 .
B1
Escribimos (1, 2, 3) = α(1, 1, 0) + β(1, 0, 1) + γ(0, 1, 1), de donde
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 
0
[u]B1 = 1 
2
Para encontrar [ T (u)]B2 , primero calculamos T (1, 2, 3) = (6, −1).
Ahora, (6, −1) = α(1, 2) + β(1, −1), de donde
5/3
[T(u)]B2 =
13/3
Calculamos ahora
 
0
2/3 7/3 −1/3 5/3
[ T ]B2 · [u]B1 =
B1 ·  1  = = [T(u)]B2 .
−5/3 5/3 4/3 13/3
2
Esta última propiedad es general, vale decir,
TEOREMA
Sea T : U → V lineal, B1 base de U , B2 base de V . Entonces,
[ T ]B2 · [u]B1 = [T(u)]B2
B1
EJERCICIOS
1. Sea T : R2 [x] −→ M2×2 (R), definida por
a+b 2b + 3c
T (a + bx + cx2 ) =
3c + a −a + b + 3c
Sean B1 = {1, 1 + x, 1 + x + x2 } base de R2 [x] y B2 = C, la base canónica de las
matrices de orden 2 × 2.
Determine:
MAT023 (1◦ 2012) 18

19. Universidad Técnica Federico Santa María
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B
a) [T ]B2
1
b) Si p(x) = 7 − 2x + x2 , determine [p]B1 , [ T (p)]B2 , y [ T ]B2 · [p]B1 .
B1
2. Sea T : R2 [x] −→ R2 , definida por T (a + bx + cx2 ) = (a + b + c, c − b).
¤
19 ¥
Sean B1 = {1, 1 + x, 1 + x + x2 } base de R2 [x] y B2 = {(1, −1), (1, 2)} base de R2 .
§
¦
Determine:
a) [T ]B2
B1
b) Si p(x) = 5 − x + 8x2 , determine [p]B1 , [ T (p)]B2 , y [ T ]B2 · [p]B1 .
B1
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MATRIZ CAMBIO DE BASE
Consideremos ahora la transformación lineal identidad de un espacio vectorial U en sí mismo,
donde dimR U = n. En el dominio U , consideremos la base B1 = {u1 , u2 , · · · , un }, y en el
recorrido U , consideremos la base B2 = {v1 , v2 , · · · , vn }.
Sabemos que existen escalares αij únicos:
id(u1 ) = (u1 ) = α11 v1 + α21 v2 + · · · αm1 vm
id(u2 ) = (u2 ) = α12 v1 + α22 v2 + · · · αm2 vm
.
. .
. .
.
. . .
id(un ) = (un ) = α1n v1 + α2n v2 + · · · αmn vm
Por lo tanto, la matriz asociada a la transformación lineal identidad, [ id ]B2 , posee la siguiente
B1
propiedad: w ∈ U =⇒ [id(w)]B2 = [ id ]B2 · [w]B1 ,
B1 de donde
[w]B2 = [ id ]B2 · [w]B1
B1
Como la identidad es un isomorfismo, la matriz asociada es invertible, y se tiene que
([ id ]B2 )−1 [w]B2 = [w]B1
B1
MAT023 (1◦ 2012) 19

20. Universidad Técnica Federico Santa María
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EJEMPLOS:
1. Considere la aplicación identidad en R2 , con B1 = {(1, 2), (1, 3)} en el dominio y
B2 = {(1, 1), (1, 0)} en la imagen.
¤
20 ¥
Determine: [id]B2 . Además, si u = (5, −3), determine además
B1 [u]B1 , [ id(u)]B2 , y
[ id ]B2 · [u]B1 .
§
¦
B1
2. Sean B1 = {u1 , u2 }, B2 = {v1 , v2 } dos bases del espacio vectorial U , tal que
u1 = 3v1 − 4v2 y u2 = v1 + 2v2
Determine:
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a) la matriz cambio de bace de B2 a B1 .
1
b) Si [v]B2 = , determine [v]B1
7
Soluciones:
1. Ejercicio.
3
2. Como u1 = 3v1 − 4v2 , tenemos que [u1 ]B2 = y como u2 = v1 + 2v2 tenemos
−4
1
que [u2 ]B2 = .
2
3 1
Por lo tanto, la matriz cambio de base de B1 a B2 es [id]B2 =
B1 −4 2
1 −1
 
−1 5 10
Luego, la matriz cambio de base de B2 a B1 es [id]B2
B1 =  .
2 3
5 10
1 −1 1 −1
   
5 10 5 10 1
Para determinar [v]B1 , basta calcular:   · [v]B2 =  ·
2 3 2 3 7
5 10 5 10
−1
 
2
∴ [v]B1 =  
5
2
MAT023 (1◦ 2012) 20

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RELACION ENTRE
OPERACIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES Y
OPERACIONES ENTRE MATRICES
¤
21 ¥
Consideremos, como antes, los espacios vectoriales U, V sobre un cuerpo K, tal que dimK U = n,
y dimK V = m. Sean B1 = {u1 , u2 , · · · , un }, B2 = {v1 , v2 , · · · , vm } bases ordenadas de U
§
¦
y V , respectivamente. Sean T, S ∈ L(U, V ). Entonces:
1. [ T + S ]B2 = [ T ]B2 + [ S ]B2 , es decir, la matriz asociada a la suma de transformaciones
B
1 B1 B1
lineales es la suma de las matrices asociadas a cada transformación lineal.
2. [ αT ]B2 = α[ T ]B2 , ∀ α ∈ K, es decir, la matriz asociada al producto por escalar de una
B1 B1
transformación lineal es el escalar multiplicado por la matriz asociada a la transformación
Universidad Técnica Federico Santa María
lineal.
3. Sea W un espacio vectorial sobre K, B3 = {w1 , w2 , · · · , wp } una base ordenada de W . Sea
L ∈ L(V, W ) y supongamos que la composición de funciones L ◦ T está definida. Entonces,
[ L ◦ T ]B3 = [ L ]B3 · [ T ]B2 , es decir, la matriz asociada a la composición de transfor-
B1 B2 B1
maciones lineales es el producto de las matrices asociadas a cada transformación lineal, en
el orden correspondiente.
4. Supongamos que T es un isomorfismo entre U y V . Sabemos que ∃ T −1 : V −→ U que
también es un isomorfismo. Entonces, [ T −1 ]B1 = ([ T ]B2 )−1 , es decir, la matriz asociada a
B2 B1
la inversa de una transformación lineal es la inversa de la matriz asociada a la transformación
lineal.
EJEMPLOS
1. Consideremos las transformaciones lineales
S, T : R2 −→ R2 con T (x, y) = (x + y, x − y), S(x, y) = (2x − 3y, 4x − 5y)
L : R2 −→ R2 [x] con L(a, b) = a + bx + (a + b)x2 . Las matrices asociadas a estas transfor-
maciones lineales en las respectivas bases canónicas son:
1 1
[ T ]C =
C
1 −1
2 −3
[ S ]C =
C
4 −5
 
1 0
[ L ]C =  0 1 
C
1 1
Luego:
1 1 2 −3 3 −2
a) [ T + S ]C =
C + =
1 −1 4 −5 5 −6
1 1 −5 −5
b) [ −5T ]C = −5 ·
C =
1 −1 −5 5
MAT023 (1◦ 2012) 21

22. Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
   
1 0 2 −3
2 −3
c) [ L ◦ S ]C =  0 1  ·
C =  4 −5 
4 −5
1 1 6 −8
¤
22 ¥
2. Sean U, V como arriba, y considere la función ζ : L(U, V ) −→ Mm×n (R) tal que
ζ(T ) = [ T ]B2 . Pruebe que es un isomorfismo y que, por lo tanto,
B1
§
¦
dimK L(U, V ) = dimK Mm×n (R) = m · n
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EJERCICIOS
1. Determine cual de las siguientes funciones son transformaciones lineales.
¤
23 ¥
a) T : R3 → R2 , con T (x, y, z) = (x, z)
b) T : R4 → R4 , con T (x, y, z, w) = (−x, −y, −z, w)
§
¦
c) T : R3 → R3 con T (x, y, z) = (x, y, z) + (0, −1, 0)
2 2
d) T : R → R , con T (x, y) = (2x, y − x)
e) T : R2 [x] → R1 [x], con T (ax2 + bx + c) = 2ax + b
2. Sea T : R2 → R2 lineal tal que T (3, 1) = (1, 2) y T (−1, 0) = (1, 1). Encuentre una expresión
para T y calcule T (1, 0) y T (0, 1)
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3. Sea T : R3 → R1 [x] una transformación lineal. Encontrar T tal que
T (1, 0, −1) = 2 − x , T (0, 2, 1) = 1 + x y T (1, 3, 1) = 3x − 2
4. ¿Existe una transformación lineal T : R2 [x] → R definida por T (1) = 1 ,
T (1 − x) = 2 , T (1 − x2 ) = 3 tal que T (2x2 − 5x − 2) = −1?
5. Sea T : R2 [x] → R3 [x] definida por
T (p(x)) = x3 p (0) + x2 p(0)
¿ Es T una transformación lineal?
6. Sea T : M3×1 (R) → M3×1 (R) definida por
    
x x+1
T  y  =  2y 
z z
¿ Es T una transformación lineal?
7. Sea T : R4 → R3 una transformación lineal definida por
T (x, y, z, w) = (x − y + z + w, x + 2z − w, x + y + 3z − 3w).
Encuentre una base y la dimensión del Ker T y de Im T.
8. Sea T : M1×4 (R) → M1×3 (R) una transformación lineal definida por
T ([a1 a2 a3 a4 ]) = [a1 + a2 a3 + a4 a1 + a3 ]
a) Hallar una base para el Ker T. ¿Cuál es su dimensión?
b) Hallar una base para Im T. ¿Cuál es su dimensión?
9. Sea T : R2 [t] → R una transformación lineal definida por
1
T (at2 + bt + c) = (at2 + bt + c) dt
0
Encuentre una base para el Ker T y para Im T.
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10. Sea T : R2 [t] → R3 [t] una transformación lineal definida por T (p(t)) = t2 p (t) donde
dp
p (t) = (t). Encuentre base para Ker T y para Im T.
dt
¤
24 ¥
a b
11. Sea W = ∈ M2 (R) : a + 5c = 0 . Demuestre que W es isomorfo a R3 .
c d
§
¦
12. Sea V el espacio vectorial generado por el conjunto {ex , e−x }, ∀ x ∈ R. Demuestre que V es
isomorfo a R2 .
13. Sea T : M2×3 (R) → M3×3 (R) una transformación lineal definida por
 
2 −1
T (A) =  1 2  · A, para toda matriz A ∈ M2×3 (R). Hallar la dimensión del KerT y de
3 1
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ImT .
14. Sea T : R2 [x] → R3 [x] tal que
T (x) = x2 − x
T (x − 1) = x − 2
T (x2 − 1) = x3 − x − 1
a) Hallar T (ax2 + bx + c).
b) Hallar generadores del Ker(T ).
c) Hallar Im(T ).
15. Sea T : R2 [t] → R1 [t] una transformación lineal definida por T (p(t)) = p (t) y considere las
bases S = {t2 , t, 1} y R = {t + 1, t − 1} para R2 [t] y R1 [t] respectivamente. Encuentre la
matriz asociada a la transformación T respecto a estas bases.
16. Sea V el espacio vectorial con base B = {1, t, et , tet } y sea T : V → V una transformación
lineal definida por T (f (t)) = f (t). Hallar la representación matricial de T respecto de B.
17. Sea T : R2 → R2 lineal definida por T (x, y) = (x + y, −2x + 4y). Encuentre la matriz de T
respecto a la base {(1, 1), (1, 2)}
18. Sea T : R2 [x] → R3 dada por la matriz
 
1 2 1
[ T ]C =  0 1 1 
B
−1 3 4
donde B = { 1, x − 1, x2 − 1 } es base de R2 [x] y C = { (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) } es
una base de R3 .
Hallar Ker(T ) y dim Ker(T )
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19. Sea p(x) ∈ R2 [x] considerar
1
f (p) = p(x) dx
¤
25 ¥
0
0
§
¦
g(p) = p(x) dx
−1
Se define T : R2 [x] → R2 tal que T (p(x)) = (f (p), g(p)).
a) Calcule el KerT y escríbalo usando el concepto de generador.
b) Encuentre una base del Ker T y calcule la dim(Im(T ).
∗
c) Calcule [T ]B , donde B y B ∗ son las bases canónicas de R2 [x] y R2 respectivamente.
B
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20. Sea T : R3 [x] → R2 [x], tal que
1
T [p(x)] = p (x) + p(x) dx
0
a) Pruebe que T es una transformación lineal.
b) Sean
B1 = { 1, x − 1, (x − 1)2 , (x − 1)3 }
B2 = { 1, x, x(x − 1) }
bases de R3 [x] y R2 [x] respectivamente. Determine [T ]B2 y use esta matriz para obtener
B1
el núcleo de T .
21. Probar que la matriz cambio de base siempre es invertible.
22. Encuentre la matriz cambio de base de S a R y la de R a S para:
a) S = {(1, 0), (0, 1)} , R = {(2, −3), (−2, 4)}
b) S = {1, x, x2 } , R = {x2 + x + 1, x2 − x − 2, x2 + x − 1}
23. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal cuya representación matricial respecto a las
2 −1 3
bases S = {(1, 0, −1), (0, 2, 0), (1, 2, 3)} y R = {(1, −1), (2, 0)} es . Hallar la
3 1 0
representación matricial de T respecto de las bases canónicas.
1 −1 1
24. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal definida por . Hallar una expresión
1 0 2
para T respecto a
a) Las bases canónicas
b) Las bases S = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} y R = {(1, 2), (1, 3)}
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