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                                                       IF { UFRJ { 2004/1
                                            ...
F¶s1 { 04/1 { G.2 | p. 2
                                                    ³


         3. Resolva os problemas 4.1, 4.2...
F¶s1 { 04/1 { G.2 | p. 3
                                                   ³


Atividade 8
   Discuss~o dos conceitos de ...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 4
                                                    ³s1


                                   ...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 5
                                           ³s1


3. O produto escalar de dois vetores ¶ uma o...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 6
                                         ³s1


5. Um bloco de massa m est¶ apoiado e em repou...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 7
                                           ³s1


7. Considere o vetor posi»~o de uma part¶
  ...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 8
                                           ³s1


                                            ...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 9
                                         ³s1


  Os experimentadores possuem tamb¶m uma balan...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 10
                                                    ³s1


   lisa, e s~o puxados para a dire...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 11
                                          ³s1


   (a) Voc^ o empurra com o dedo, exercendo ...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 12
                                          ³s1


15. Um bloco de 4,0 kg ¶ colocado em cima de...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 13
                                          ³s1


    O bloco A desliza para baixo sobre o pla...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 14
                                              ³s1


   altura, com velocidade de 10 m/s, sof...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 15
                                           ³s1


28. Uma crian»a coloca uma cesta de piqueni...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 16
                                        ³s1


                                              ...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 17
                                      ³s1


Observando que a dire»~o destes dois vetores var...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 18
                                        ³s1


                                              ...
F¶ { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 19
                                           ³s1


4. Um navio a vapor navega em dire»~o ao Su...
F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 20
                                         ³s1


                                              ...
F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 21
                                          ³s1


                        ~ 6
                 ...
F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 22
                                                    ³s1


    (c) Calcule o valor da for»a de...
F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 23
                                            ³s1

                                     Â     ¿...
F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 24
                                               ³


                                        ...
F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 25
                                                         ³


   Dois deslocamentos sucessiv...
F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 26
                                                     ³


    A opera»~o de multiplica»~o de...
F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 27
                                                       ³


    Para descrever um deslocamen...
F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 28
                                                                           ³


coincidir ou...
F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 29
                                                                   ³


e de forma an¶loga
 ...
F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 30
                                                     ³


Da de¯ni»~o do produto escalar, ta...
F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 31
                                                ³


   Em componentes,

       ~ £ ~ = (ay ...
F¶s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 32
                                    ³


                                           ...
F¶s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 33
                                     ³


15. (a) FMAX = 27 N; (b) a = 3 m/s2.

16. ...
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                                                       IF { UFRJ { 2004/1
                                            ...
F¶s1 { 04/1 { G.3 | p. 2
                                                   ³


         3. Resolva os problemas 1, 3, 8 e...
F¶s1 { 04/1 { G.3 | p. 3
                                                   ³


Atividade 7
   Discuss~o do movimento unid...
F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 4
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                                        ...
F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 5
                                              ³s1


prestar aten»~o ao jogo, esperamos en...
F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 6
                                         ³s1


    A conserva»~o da energia ¶ um pouco ma...
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  1. 1. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 2 ¶ Modulo 2: As Leis do Movimento »~ 1. INTRODUCAO Neste m¶dulo, estudaremos os princ¶ o ³pios da din^mica | a descri»~o do movi- a ca mento de um corpo a partir de suas intera»~es. Esta discuss~o tem por base co a as Leis de Newton. Discutiremos estas leis, os conceitos de for»a, massa, c referenciais inerciais, e faremos aplica»~es. co Leituras indispens¶veis a Os t¶picos citados acima correspondem aos cap¶ o ³tulos 4 (se»~es 4.1 a 4.5) e 5 co (se»~es 5.1 a 5.3), e as se»~es 13.1 e 13.2 do cap¶ co co ³tulo 13 do livro texto, de H. M. Nussenzveig. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~o a { da lei da in¶rcia e o conceito de referenciais inerciais (se»~es 4.1 e e co 4.2); { do conceito de for»a e massa, e a segunda lei de Newton (se»~es 4.3 c co e 4.4); { da terceira lei de Newton (se»~o 4.5); ca { das intera»~es fundamentais (se»~o 5.1); co ca { e dos exemplos 1 a 6 da se»~o 4.5 do livro texto (p¶g. 78 a 80). ca a Atividade 2 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 1, 2 e 3 da lista 6, sobre Din^mica. a Atividades extras 1 1. Leia todo o cap¶tulo 4 do livro. ³ 2. Resolva os exerc¶cios 4, 5, 10 e 11 da Lista 6. ³
  2. 2. F¶s1 { 04/1 { G.2 | p. 2 ³ 3. Resolva os problemas 4.1, 4.2, 4.4 e 4.6 do livro texto. Atividade 3 Discuss~o sobre as intera»~es fundamentais e as for»as de contato (se- a co c co »~es 5.1 a 5.3 do livro texto) e os exemplos 1 a 3 da se»~o 5.3. ca Atividade 4 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 8 e 14 da Lista 6. Atividades extras 2 1. Leia todo o cap¶tulo 5. ³ 2. Releia o cap¶tulo 4. ³ 3. Resolva todos os exerc¶cios j¶ feitos novamente. ³ a 4. Resolva os exerc¶cios 16 a 21 da Lista 6. ³ Atividade 5 Discuss~o da cinem¶tica da rota»~o (se»~es 3.7 e 3.8 do livro texto) e a a ca co o exemplo 4 da se»~o 5.3 do livro texto. ca Atividade 6 Resolu»~o de problemas das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^- ca a mica), 7 (Movimento Relativo) e 8 (Referenciais N~o Inerciais). a Atividades extras 3 1. Leia as se»~es 3.7 e 3.8 do livro texto. co 2. Releia o cap¶tulo 5. ³ 3. Resolva os exerc¶cios 18 a 24 do cap¶tulo 3 do livro texto. ³ ³ 4. Resolver problemas que ¯caram para tr¶s no Guia de Es- a tudo 1, das listas 1, 2 e 3. Atividade 7 Resolu»~o dos problemas 20 e 25 da Lista 6. ca
  3. 3. F¶s1 { 04/1 { G.2 | p. 3 ³ Atividade 8 Discuss~o dos conceitos de velocidade relativa (se»~o 3.9), mudan»a de a ca c sistema de refer^ncia, referenciais inerciais e n~o inerciais (se»~es 13.1, e a co 13.2 e 13.3 do livro texto), exempli¯cando com exerc¶ ³cios das Listas 8 e 9. ¶ 3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO 2 1. Releia os cap¶ ³tulos 4 e 5 do livro texto. 2. Termine a lista de exerc¶cios de 6, sobre Din^mica. ³ a 3. Fa»a os exerc¶cios do Cap¶ c ³ ³tulo 4 e 5 do livro texto. 4. Releia os cap¶ ³tulos 2 e 3, fazendo todos os exerc¶ ³cios que faltavam (inclusive os de movimento circular e de movimento relativo). 5. Leia as se»~es 13.1, 13.2 e 13.3 do livro texto. co 6. Resolva os problemas 1, 3 e 4 do cap¶ ³tulo 13 do livro texto. 7. Resolva todos os exerc¶ ³cios das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^- a mica), 7 Cinem¶tica do Movimento Circular), 8 (Movimento Relativo) a e 9 (Referenciais N~o Inerciais). a
  4. 4. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 4 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 5 Vetores Novamente 1. Represente em termos dos unit¶rios ^ ^ das dire»~es x; y os vetores a ³, ´ co representados na ¯gura. y r 2 c r 1 a x −3 −2 −1 1 2 3 −1 r −2 b 2. Considere os vetores: ~ = 3^ + 2^ a ³ ´ ~ = ¡^ + 2^ b ³ ´ c ~ = 2^ ¡ ^ ³ ´ ~ d = ¡2^ ¡ 3^ ³ ´ (a) Represente cada um destes vetores num plano (x; y). (b) Represente neste plano os vetores ~ + ~ e ¡ 2 ~. a b c (c) Escreva as componentes ao longo do eixo x dos vetores (i) ~ a (ii) ~ b (iii) d~ (iv) ~ + ~ a b (v) 3 ~ c (vi) ~ ¡ 2 ~ a b c ~ (vii) ~ + d
  5. 5. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 5 ³s1 3. O produto escalar de dois vetores ¶ uma opera»~o que associa a dois e ca vetores ~ e b a ~ um n¶mero real de valor igual a a b cos µ , onde µ ¶ o u e a ^ngulo entre ~ e b a ~ , medido de ~ para ~ . Usa-se a nota»~o ² para a b ca representar o produto escalar. Da ¯gura e da de¯ni»~o, observa-se que ca ~ ² ~ = a b cos µ = a ba ; a b onde ~a ¶ a proje»~o de ~ sobre a dire»~o de¯nida por ~ . b e ca b ca a r b θ r r ba a Demonstre que (a) ~ ² ~ = a2 . a a (b) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~o ~ ² ~ = 0 , ~ ?~ a a b a b. (c) ^ ² ^ = 0 ; ^ ² ^ = 1 ; ^ ² ^ = 1 . i ´ ³ ³ ´ ´ (d) ax = ~ ² ^ a ³ (e) ~ ² ~ = ~ ² ~ a b b a ³ ´ (f) ~ ² ~ + ~ = ~ ² ~ + ~ ² ~. a b c a b a c a ³ ´ ^ (g) Se ~ = ax ^ + ay ^ + az k e ~ = bx ^ + by ^ + bz ^ , ent~o b ³ ´ k a ~ ² ~ = ax bx + a y by + a z bz a b 4. Para ~ = ^ ¡ 2^ , ~ = 2^ + 3^ e ~ = ¡^ + ^ calcule a ³ ´ b ³ ´ c ³ ´ (a) ~ + ~ a b (b) ¡ 3~ c (c) 2~ ¡ ~ a b ³ ´ (d) ~ ² ~ + ~ a b c (e) ~ ² (~ ¡ 2 ~) b a c
  6. 6. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 6 ³s1 5. Um bloco de massa m est¶ apoiado e em repouso sobre um plano in- a clinado de um ^ngulo ® em rela»~o µ horizontal. a ca a y x (a) Isole o bloco e indique todas as for»as que atuam sobre ele. c (b) Com os eixos da ¯gura, calcule a componente x e a componente y de cada uma das for»as atuando sobre o corpo. c (c) Calcule o m¶dulo de cada uma das for»as e o ^ngulo entre cada o c a uma delas e o eixo x. 6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as for»as constantes, ex- c pressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de um sistema de coordenadas cartesianos como F 1 = ^ + 2^ ¡ 3 ^ ~ ³ ´ k ~ ´ ^ F2 = ^ ¡ k ~ F3 = ¡ ^ + ^ i ´ O observador que descreve este sistema ¶ um observador inercial. e (a) Calcule a for»a resultante sobre este corpo. c (b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas for»as e da c for»a resultante. c c ~ (c) Calcule o ^ngulo que a for»a F1 faz com o eixo x. a c ~ ~ (d) Calcule o ^ngulo entre as dire»~es das for»as F2 e F3. a co (e) Obtenha o ^ngulo que a for»a resultante faz com o eixo z. a c c ~ (f) Obtenha o vetor unit¶rio da dire»~o de¯nida pela for»a F1 . a ca (g) Qual o vetor acelera»~o deste corpo? ca (h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale ~± = 12^¡16 ^ v ´ k, e sua posi»~o em rela»~o a um ponto ¯xo para o observador vale ca ca vecr± = 0, qual a trajet¶ria que o corpo descreve? o
  7. 7. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 7 ³s1 7. Considere o vetor posi»~o de uma part¶ ca ³cula de massa m = 0; 5 kg medido por um observador ¯xo a um sistema inercial: ~(t) = 5 t2 ^ + (10 t ¡ 4) ^ + 6 exp (¡2 t) ^ r ³ ´ k. (a) Obtenha o valor do vetor posi»~o desta part¶cula nos instantes de ca ³ tempo correspondentes a t = 0 s, t = 2 s, e t = 4 s. (b) Obtenha a express~o que descreve a velocidade desta part¶cula a ³ como fun»~o do tempo, ~ (t). ca v (c) Obtenha a express~o que descreve a acelera»~o desta part¶cula a ca ³ como fun»~o do tempo. ca (d) Calcule os valores da velocidade e da acelera»~o da part¶cula nos ca ³ instantes t = 1 s e t = 4 s. (e) Calcule a for»a resultante sobre a part¶ c ³cula no instante t = 4 s.
  8. 8. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 8 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 6 Din^mica de uma Part¶ a ³cula 1. Quais as for»as que atuam sobre a ma»~ da ¯gura? Onde est~o as c ca a rea»~es a essas for»as? Considere as mesmas perguntas com a ma»~ co c ca caindo. Despreze a resist^ncia do ar. e 2. Ao caminhar, a for»a de atrito ¶ que aparentemente produz o movi- c e mento. Qual o sentido desta for»a? Explique. c 3. Um homem de peso PH, de p¶ sobre uma superf¶ e ³cie, empurra um arm¶rio de peso PA. Considerando a exist^ncia de atrito entre a su- a e perf¶cie do sapato do homem e o ch~o, bem como entre o arm¶rio ³ a a e o ch~o, esquematize claramente as for»as aplicadas no arm¶rio, no a c a homem e no ch~o. Especi¯que a origem de cada uma dessas for»as. a c 4. Uma part¶ ³cula tem um peso de 22 N num ponto onde g = 9; 8 m=s2 . (a) Quais s~o o peso e a massa da part¶ a ³cula, se ela for para um ponto no 2 espa»o onde g = 4; 9 m/s ? (b) Quais s~o o peso e a massa da part¶ c a ³cula, se ela for deslocada para um ponto do espa»o onde a acelera»~o de queda c ca livre seja nula? 5. Suponha que no futuro a Companhia de Pesquisas Lunaresquot; monte laborat¶rios na Lua e na Terra, mantendo um servi»o de foguetes entre o c eles. Nos dois laborat¶rios s~o usados quilograma-padr~o. Um bloco de o a a masa 10 kg ¶ usado como carrinhoquot; para experi^ncias em uma mesa e e sem atrito, sendo acelerado na Terra e na Lua. (a) Quando o bloco est¶ na Lua, sua massa ¶ igual µ massa lida na Terra? a e a Os experimentadores possuem uma balan»a de mola A, calibrada em c Newtons. Eles a usam para puxar o bloco por uma mesa lisa com uma for»a de 4 N. (b) No laborat¶rio da Terra, com uma for»a de 4 N, qual c o c ser¶ a acelera»~o do bloco? Explique. (c) No laborat¶rio da Lua, com a ca o a mesma for»a de 4 N, qual ser¶ a acelera»~o do bloco? Explique. c a ca
  9. 9. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 9 ³s1 Os experimentadores possuem tamb¶m uma balan»a de mola B, n~o e c a graduada. No laborat¶rio da Terra, eles a calibram em quilogramas- o pesoquot;, suspendendo em sua extremidade quilogramas-padr~o. Outra a balan»a n~o graduada C est¶ dispon¶ c a a ³vel. Ela ¶ calibrada no Labo- e rat¶rio da Lua, da mesma forma que B foi na Terra, e sua unidade o e ¶ quilograma-pesoquot;. (d) No laborat¶rio da Terra, puxa-se o mesmo o bloco com a balan»a de mola B (calibrada em quilogramas no Labo- c rat¶rio da Terra). Se a leitura da balan»a for 2,0, qual ¶ a acelera»~o o c e ca do bloco? (e) No laborat¶rio da Lua, o mesmo bloco ¶ puxado com a o e mesma balan»a B (calibrada na Terra e enviada de foguete para Lua). c Se a leitura for 2,0, a acelera»~o do bloco ser¶ maior, menor ou igual ca a a µ encontrada no item anterior? Explique. (f) No laborat¶rio da Lua, o o mesmo bloco ¶ puxado, agora com o aux¶ da balan»a C (calibrada e ³lio c na Lua). Se a leitura for 2,0, a acelera»~o do bloco ser¶ maior, menor ca a ou igual µ encontrada no item (e)? a 6. Dois blocos, de massas M e m, est~o em contato apoiados sobre uma a c ~ mesa horizontal lisa. Uma for»a F de m¶dulo F e que faz um ^ngulo µ o a com a horizontal ¶ aplicada sobre o bloco M , como mostrado na ¯gura. e Calcule o valor da for»a de contato entre os dois blocos em fun»~o dos c ca dados do problema e da acelera»~o da gravidade g. Calcule tamb¶m os ca e valores da normais de contato entre os blocos e a superf¶cie. ³ Ex. 6 Ex. 7 r m1 F r F m2 θ M m 7. Dois blocos est~o em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma for»a a c horizontal ¶ aplicada a um dos blocos, como mostrado na ¯gura. (a) Se e m1 = 2; 3 kg, m2 = 1; 2 kg e F = 3; 2 N, determine a for»a de contato c entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma for»a F for aplicada c a m2, ao inv¶s de m1, a for»a de contato entre os dois blocos vale 2,1 e c N, que n~o ¶ o mesmo valor obtido no item (a). Explique a diferen»a. a e c 8. Tr^s blocos s~o ligados, como mostrado na ¯gura abaixo, por ¯os de e a massa desprez¶³vel. Os blocos est~o apoiados sobre uma mesa horizontal a
  10. 10. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 10 ³s1 lisa, e s~o puxados para a direita por uma for»a horizontal de m¶dulo a c o T 3 = 65; 0 N. Se m1 = 12; 0 kg, m2 =24,0 kg e m3 =31,0 kg, calcule (a) a acelera»~o do sistema e (b) as tens~es T1 e T2 da ¯gura. ca o Ex. 8 T1 T2 r T3 m1 m2 m3 9. Um arquivo, com peso de 556 N, est¶ parado sobre o ch~o. O coe¯ciente a a de atrito est¶tico entre ele e o ch~o ¶ 0,68 e o de atrito cin¶tico ¶ 0,56. a a e e e Em quatro diferentes tentativas para mov^-lo, foi empurrado com for»as e c horizontais de (a) 222N, (b) 334 N, (c) 445 N, (d) 556 N. Determine, para cada tentativa, se o arquivo se move, e calcule o m¶dulo da for»a de o c atrito sobre ele. O arquivo est¶ sempre parado antes de cada tentativa. a 10. Um bloco de massa 2 kg est¶ apoiado sobre uma mesa plana e lisa. a Voc^ o empurra com o dedo, exercendo uma for»a horizontal de m¶dulo e c o 5,0 N. Qual a acelera»~o provocada no bloco? Qual o valor da for»a ca c normal de contato entre o bloco e a superf¶ da mesa? ³cie Ex. 10 Ex. 11 θ 11. O bloco do problema anterior, de massa 2 kg, continua apoiado sobre a mesa plana e lisa. Voc^ passa a empurr¶-lo com uma for»a de mesmo e a c ± m¶dulo 5,0 N, mas agora fazendo um ^ngulo µ = 30 com a horizontal. o a Qual a acelera»~o do bloco? E qual o valor da for»a normal de contato ca c entre o bloco e a superf¶ ³cie? 12. Um bloco (o mesmo dos problemas anteriores), de massa 2 kg, ¶ apoiado e sobre uma mesa plana mas n~o lisa. O coe¯ciente de atrito est¶tico a a entre o bloco e a superf¶ vale 0,25 e o coe¯ciente de atrito cin¶tico ³cie e vale 0,20.
  11. 11. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 11 ³s1 (a) Voc^ o empurra com o dedo, exercendo uma for»a horizontal de e c m¶dulo 4,0 N. Qual a acelera»~o provocada no bloco? Qual o valor da o ca for»a normal de contato entre o bloco e a superf¶ da mesa? c ³cie (b) Voc^ agora aumenta o empurr~o, passando a exercer uma for»a e a c horizontal de m¶dulo 8,0 N. Qual a acelera»~o provocada no bloco? o ca Qual o valor da for»a normal de contato entre o bloco e a superf¶ c ³cie? (c) Voc^ passa a empurrar o bloco com uma for»a de m¶dulo 8,0 N que e c o faz um ^ngulo µ = 30± com a horizontal. Qual a acelera»~o do bloco, a ca agora? E qual o valor da for»a normal de contato entre o bloco e a c superf¶ ³cie? 13. Um preso num c¶rcere decide escapar deslizando por uma corda forne- a cida por um c¶mplice. Tem como companheiro de cela um macaco, de u massa 40 kg. Para isso, ¯xa um extremo da corda a um gancho situado na parede externa da janela de sua cela. O outro extremo pende um pouco acima do solo. A corda tem uma massa de 10 kg, e o preso de 60 kg. O gancho pode suportar uma tra»~o de 400 N sem quebrar. A ca janela est¶ a 15 m do n¶ do solo. Para n~o se arriscar, o preso resolve a ³vel a veri¯car a possibilidade de escapar enviando na frente seu macaco. Ao descer, o macaco parte do extremo superior com velocidade inicial nula. Qual a velocidade m¶ ³nima com que o macaco e o preso dever~o atingir a o solo de modo a n~o quebrar o gancho? a 14. Um bloco de massa m ¶ colocado sobre outro bloco de massa M , e o e conjunto ¶ apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o bloco inferior, e ~ aplica-se uma for»a horizontal F de m¶dulo F . Observa-se que os dois c o blocos movem-se juntos, o de cima n~o deslizando sobre o de baixo. Os a coe¯cientes de atrito est¶tico e cin¶tico entre os blocos valem respec- a e tivamente ¹ E e ¹C , e o atrito entre o bloco e a superf¶ de apoio ¶ ³cie e desprez¶³vel. Qual o valor m¶ximo F MAX que a for»a F pode ter para a c que o bloco m n~o se mova em rela»~o ao bloco M? Qual o valor, a ca quando F = FMAX , da for»a de contato entre os dois blocos? c m M
  12. 12. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 12 ³s1 15. Um bloco de 4,0 kg ¶ colocado em cima de um outro de 5,0 kg. Para e fazer o bloco de cima deslizar sobre o de baixo, que ¶ mantido ¯xo, e uma for»a horizontal de pelo menos 12 N deve ser aplicada ao de cima. c O conjunto de blocos ¶ agora colocado sobre uma mesa horizontal sem e atrito (veja a ¯gura). Determine (a) a for»a horizontal F m¶xima c a aplicada ao bloco inferior para que ainda se movimentem juntos e (b) a acelera»~o resultante dos blocos. ca 4,0 kg 5,0 kg 16. Dois blocos A e B de massas mA e mB (com mA > mB ) est~o li- a gados por um ¯o, como mostra a ¯gura. A polia e o ¯o t^m massas e desprez¶ ³veis, e n~o h¶ atrito entre A e a superf¶ horizontal. a a ³cie (a) Calcule a acelera»~o do sistema e a for»a F exercida pelo ¯o em A. ca c (b) Mantendo-se o mesmo valor de mA para A, que valor m0B deveria ter a massa de B para que a for»a F 0 atuando sobre A seja o dobro da c for»a F calculada no item (a)? c Ex. 16 (c) Comente o resultado do item (b) A para os casos em que mA = mB e mA < mB . B 17. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg est¶ sobre um plano liso com in- a ± clina»~o de 30 , preso por uma corda que passa por uma polia, de ca massa e atrito desprez¶ ³veis. Na outra extremidade da corda est¶ colo- a cado um segundo bloco de massa m2 = 2,30 kg, que ¯ca pendurado verticalmente (veja ¯gura). Quais s~o a Ex. 10 (a) os m¶dulos das acelera»~es de cada bloco e o co (b) o sentido da acelera»~o de m2? ca m1 m2 (c) Qual a tens~o na corda? a 18. Dois blocos s~o ligados atrav¶s de uma polia, como mostrado na ¯gura. a e A massa do bloco A ¶ de 10 kg e o coe¯ciente de atrito cin¶tico ¶ 0,20. e e e
  13. 13. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 13 ³s1 O bloco A desliza para baixo sobre o plano com velocidade constante. Qual a massa de B? m1 m2 19. A ¯gura mostra dois blocos em contato (m = 16 kg e M = 88 kg) que n~o est~o presos um ao outro. O coe¯ciente de atrito est¶tico entre eles a a a e ¶ ¹ E = 0,38, mas na superf¶ embaixo de M n~o h¶ atrito. Qual a ³cie a a for»a horizontal m¶ c ³nima F necess¶ria para manter m em contato com a M? Ex. 19 Ex. 20 r F sem atrito ~ 20. Uma for»a horizontal F , de m¶dulo 50 N, empurra um bloco de peso c o 20 N contra uma parede vertical. O coe¯ciente de atrito est¶tico entre a a parede e bloco ¶ 0,40 e o de atrito cin¶tico ¶ 0,30. Suponha que e e e inicialmente o bloco esteja em repouso. (a) O bloco come»ar¶ a se c a mover? (b) Qual a for»a exercida pela parede sobre o bloco? c 21. Uma part¶ ³cula de massa m = 2 kg oscila sobre o eixo x de acordo com a equa»~o x = 0; 2 sen (5t ¡ ¼=6), onde x ¶ dado em metros e t em ca e segundos. Qual a for»a que age sobre a part¶cula em t = 0 s? Qual o c ³ valor m¶ximo dessa for»a? a c 22. Um corpo de massa 1 kg cai de uma altura de 5 m sobre um monte de areia, e afunda 5 cm at¶ parar. Se supusermos que a for»a de resist^ncia e c e que atua no corpo quando ele penetra na areia ¶ constante, quanto ela e vale? 23. Um corpo de massa 0,5 kg, e com dimens~es desprez¶ o ³veis est¶ caindo a verticalmente em dire»~o µ superf¶ da Terra. Quando est¶ a 10 m de ca a ³cie a
  14. 14. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 14 ³s1 altura, com velocidade de 10 m/s, sofre a a»~o de um forte tuf~o que lhe ca a imprime uma for»a de componente horizontal dada por 3t (em Newtons, c com t em segundos) e de componente vertical 10 N dirigida para cima. Quais a velocidade e a posi»~o da part¶cula em cada instante? Qual ca ³ a equa»~o da trajet¶ria descrita pela part¶ ca o ³cula? Esboce a curva desta trajet¶ria. o 24. Um homem de 80 kg pula para um p¶tio, da beirada de uma janela que a est¶ a apenas 0,50 m acima do solo. Ele esqueceu de dobrar os joelhos, a quando aterrisou, e o seu movimento cessou numa dist^ncia de 2,0 cm. a (a) Qual a acelera»~o m¶dia do homem, entre o primeiro instante em ca e que seus p¶s tocaram o ch~o, ao instante em que ¯cou completamente e a parado? (b) Qual a for»a que o impacto transmitiu µ sua estrutura c a ¶ssea? o 25. Um disco de massa M que est¶ ligado por um ¯o leve a outra massa a m pode deslizar sobre a mesa com atrito desprez¶vel, como mostrado ³ na ¯gura. Qual deve ser o valor da massa m para que o disco descreva um movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular !? m r M 26. Um motociclista habilidoso dirige ao longo de uma circunfer^ncia hori- e zontal em torno das paredes verticais de um po»o cil¶ c ³indrico de raio R. (a) Com que velocidade m¶nima ele deve andar se o coe¯ciente de atrito ³ est¶tico entre os pneus e a parede ¶ ¹E ? (b) Calcule esta velocidade a e para R = 5 m e ¹ E =0,9. 27. Uma curva circular de auto-estrada ¶ projetada para velocidades de e 60 km/h. (a) Se o raio da curva ¶ 150 m, qual deve ser o ^ngulo e a de inclina»~o da rodovia? (b) Se a curva n~o fosse inclinada, qual ca a deveria ser o coe¯ciente de atrito m¶nimo entre os pneus e a estrada ³ para permitir o tr¶fego a essa velocidade sem derrapagem? a
  15. 15. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 15 ³s1 28. Uma crian»a coloca uma cesta de piquenique na parte externa de um c carrossel que tem 4,6 m de raio e faz uma volta a cada 30 s. (a) Qual a velocidade de um ponto sobre a borda do carrossel? (b) Qual deve ser o coe¯ciente de atrito est¶tico entre a cesta e o carrossel, para que a a cesta n~o deslize sobre este? a 29. Um p^ndulo c^nico ¶ formado por massa de 50 g presa por um cord~o e o e a de 1,2 m. A massa gira formando um c¶ ³rculo horizontal de 25 cm de raio. (a) Qual ¶ a sua velocidade? (b) Qual a sua acelera»~o? (c) Qual e ca a tens~o no cord~o? a a 30. Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com velocidade constante, tem um peso aparente de 56 kg no ponto mais alto. Qual o seu peso aparente no ponto mais baixo?
  16. 16. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 16 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 7 ¶ Cinematica do Movimento Circular 1. Um prato girat¶rio gira uniformemente, descrevendo 33,25 rota»~es por o co minuto. Qual a velocidade angular de rota»~o deste disco? ca 2. Um objeto gira em torno de um ponto O, completando uma volta a cada 2 segundos. Calcule o m¶dulo da velocidade do objeto se ele o estiver a uma dist^ncia (a) 0 m ; (b) 10 cm; (c) 20 cm do ponto O. a 3. Um motor gira, e no instante de tempo t = 1 s a velocidade em um ponto que dista 10 cm de seu eixo de rota»~o vale 0; 1 ¼ m/s. Em ca t = 2 s, sua velocidade ¶ o dobro da velocidade em t = 1 s. (a) Qual a e acelera»~o angular m¶dia deste corpo? (b) Supondo que a velocidade ca e angular est¶ aumentando uniformemente, quanto tempo ser¶ necess¶rio a a a para que ela passe a valer ! = 3 ¼ rad/s? 4. Um objeto de massa m = 0; 5 kg gira a uma dist^ncia ` = 10 cm em a torno de um ponto O com per¶ ³odo de rota»~o ¯xo e igual a 4 s. Qual ca a for»a resultante agindo sobre este objeto? c 5. O objeto do exerc¶ anterior num certo instante passa a descrever um ³cio movimento circular uniformemente acelerado, com o mesmo raio. A acelera»~o angular vale 0; 1 ¼ rad/s2. Qual a for»a resultante agindo ca c sobre o objeto? 6. Na lista de exerc¶cios 2, sobre Vetores, voc^ demonstrou no exerc¶ ³ e ³cio 9 uma rela»~o entre os vetores unit¶rios na representa»~o polar e os ca a ca vetores unit¶rios na representa»~o cartesiana, a ca r = cos µ^ + sen µ ^ ^ ³ ´ ^ µ = ¡ sen µ ^ + cos µ^ ³ ´
  17. 17. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 17 ³s1 Observando que a dire»~o destes dois vetores varia com o tempo, calcule ca d^ r ^ dµ e dt dt A partir destas express~es, e usando que o movimento ¶ circular (r ¶ o e e constante) ~ =r^ r r demonstre que ^ ~ =!rµ v ^ ~ = ¡ !2 r r + ® r µ a ^ onde ! = dµ=dt e ® = d!=dt.
  18. 18. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 18 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 8 Movimento Relativo 1. Um piloto de ultraleve est¶ voando, e quer ir de um ponto A a um a ponto B distantes entre eles de 2 km. O vento est¶ soprando a seu a favor, na dire»~o A-B. A velocidade do vento em rela»~o ao ch~o ¶ de ca ca a e 20 km/h, e o piloto consegue imprimir ao seu aparelho uma velocidade de 40 km/h em rela»~o ao ar. Qual a velocidade que um observador no ca ch~o mede para o ultraleve? Quanto tempo ele leva para ir de A at¶ a e B? Se as condi»~es do vento continuarem iguais, e ele resolver voltar co de B para A, quanto tempo ele vai levar? E qual a sua velocidade, observada do ch~o, na volta? a 2. A dist^ncia entre dois pontos A e B ¶ L. Um avi~o voa de A at¶ B e a e a e volta, com velocidade de m¶dulo v constante em rela»~o ao ar. Calcule o ca o tempo total que gastar¶ para realizar o percurso, se o vento sopra a com uma velocidade de m¶dulo u: o (a) ao longo da linha que une A a B, indo de A para B; (b) na dire»~o perpendicular µ linha que une A e B. ca a Demonstre que a dura»~o da viagem sempre ¶ maior quando h¶ vento. ca e a 3. Um trecho de rio tem largura constante d, e a ¶gua move-se com ve- a locidade de m¶dulo u em rela»~o µs margens. Um barco parte de um o ca a ponto A em uma das margens, para alcan»ar um ponto B na outra, c desenvolvendo uma velocidade de m¶dulo v em rela»~o µ ¶gua. Qual o ca a a a orienta»~o que ele deve tomar, e que tempo levar¶ para atravessar o ca a rio, se (a) o ponto B ¯ca diretamente oposto a A? (b) o ponto B ¶ tal que o tempo de travessia ¶ o menor poss¶ e e ³vel?
  19. 19. F¶ { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 19 ³s1 4. Um navio a vapor navega em dire»~o ao Sul a 25 km/h em uma regi~o ca a onde o vento sopra de Sudeste a 18 km/h. Qual o ^ngulo que a fuma»a a c saindo da chamin¶ forma com a dire»~o Norte? e ca 5. Um navio est¶ navegando paralelamente a uma linha costeira reta com a velocidade de m¶dulo v. No instante que ele passa por um porto, um o barco da guarda-costeira sai para intercept¶-lo com uma velocidade de a m¶dulo u (u > v). Que dire»~o o barco da guarda costeira deve seguir o ca para alcan»ar o navio no menor tempo poss¶ c ³vel? 6. Um b^bado sobe um rio num barco a remo, com velocidade constante. e Ao passar sob uma ponte, deixa cair uma garrafa de cacha»a quase c vazia. Ele somente nota o fato ap¶s ter remado meio hora. Nesse o instante ele retorna, remando com a mesma intensidade at¶ encontrar e a garrafa, que se encontrava a um quil^metro da ponte, rio abaixo. o Ache a velocidade do rio. (Sugest~o: utilize um sistema de refer^ncia a e parado em rela»~o µ ¶gua.) ca a a 7. Duas part¶ ³culas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x e y com veloci- dades constantes ~1 = 2^ cm/s e ~ 2 = 3^ cm/s. No instante t = 0 elas v ³ v ´ est~o nas posi»~es dadas por x1 = ¡3 cm, y1 = 0, x2 = 0, e y2 = ¡3 cm. a co Obtenha o vetor ~2 ¡ ~1 que representa a posi»~o da part¶ r r ca ³cula 2 com respeito µ part¶ a ³cula 1, como fun»~o do tempo. Determine em que ins- ca tante de tempo elas estar~o com a menor separa»~o poss¶ a ca ³vel, e qual ¶ e esta dist^ncia de m¶xima aproxima»~o. a a ca
  20. 20. F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 20 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 9 ~ Referenciais Nao Inerciais 1. Um homem entra numa farm¶cia e pesa-se em uma balan»a calibrada a c em Newtons, que indica um peso de 700 N. Ele entra num elevador que possui uma balan»a tamb¶m calibrada em Newtons. O que ler¶ se c e a repetir a pesagem dentro do elevador (a) subindo entre o primeiro e o terceiro andares com acelera»~o cons- ca 2 tante de 2 m/s ? (b) subindo entre o terceiro e o d¶cimo andares com velocidade cons- e tante de 7 m/s? (c) subindo entre o d¶cimo e o d¶cimo segundo andares com desace- e e lera»~o de 2 m/s 2? ca (d) descendo da mesma forma que subiu, ou seja, primeiro acelerando µ raz~o de 2 m/s2, depois movendo=se com velocidade constante a a de 7 m/s, e ¯nalmente desacelerando µ raz~o de 2 m/s 2? a a 2. Um astronauta numa nave espacial treina tiro ao alvo. A nave pos- sui acelera»~o ~ e est¶ num local do espa»o onde n~o existe campo ca a a c a gravitacional algum. O alvo est¶ na mesma altura das m~os do ob- a a servador, e a uma dist^ncia L deste. A velocidade inicial do proj¶til a e tem m¶dulo v0. Fa»a um desenho mostrando a trajet¶ria seguida pelo o c o proj¶til, vista pelo observador dentro da nave. Em termos dos dados e do problema, ache o ^ngulo que o proj¶til deve fazer com a horizontal a e ao ser arremessado para que ele atinja o alvo.
  21. 21. F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 21 ³s1 ~ 6 a ¾ - t t L 3. Um garoto est¶ sobre a carroceria de um caminh~o, que corre sobre o a a solo plano com acelera»~o ~ na dire»~o de seu movimento. Com que ca a ca a ^ngulo com a vertical o garoto deve lan»ar uma bola de massa m para c que, quando a bola cair, ele possa apanh¶-la sem se mover? a 4. O passageiro de um avi~o, nervoso na decolagem, tira sua gravata e a deixa-a pender molemente de seus dedos. Ele observa que, durante a corrida para al»ar v^o, que dura 30 s, a gravata faz um ^ngulo de c o a 0 15 com a vertical. Com que velocidade o aeroplano deixou o solo, e quanto necessitou de pista para a decolagem? Suponha que a pista ¶e horizontal, e que a acelera»~o do motor ¶ constante. ca e 5. Um objeto de massa m est¶ preso por uma corda de massa desprez¶ a ³vel ao teto de um vag~o. Num determinado instante, o vag~o ¶ colocado a a e em movimento, com uma acelera»~o ~ horizontal de m¶dulo constante, ca a o para a direita. O objeto ent~o encosta na parede (como na ¯gura). O a a ^ngulo que o ¯o faz com o teto ¶ µ. O atrito entre o objeto e a parede e e ¶ desprez¶ ³vel. µ¶ ¶ ¶u ¶ ~ a - (a) Fa»a um diagrama das for»as que agem sobre o objeto, para um c c observador ¯xo numa esta»~o, ca (b) Fa»a um diagrama das for»as que agem sobre o objeto, para um ob- c c servador dentro do vag~o, e diga onde est~o atuando suas rea»~es. a a co
  22. 22. F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 22 ³s1 (c) Calcule o valor da for»a de contato entre o objeto e a parede do c vag~o. a 6. Considere um pequeno objeto de massa m apoiado sobre uma superf¶ ³cie 0 sem atrito inclinada de 30 em rela»~o µ horizontal. Suponha que esta ca a superf¶ seja acelerada para a esquerda com acelera»~o ~ constante. ³cie ca a A magnitude da acelera»~o ¶ tal que o objeto n~o desliza. (a) Desenhe ca e a um diagrama que mostre as for»as que atuam sobre o objeto, em um c sistema inercial ¯xo ao solo. (b) Obtenha o valor da acelera»~o para ca que o objeto n~o deslize. (c) Repita os itens anteriores, agora do ponto a de vista de um observador (n~o inercial) que move-se junto com o plano a inclinado. © © © © © ©m A © © A © ©© A © © © © © © ¾ ~ a © © © 300 © 7. Num centro de pesquisas de medicina espacial, dois astronautas de mesma massa m s~o colocados em cabines montadas nas extremidades a opostas de uma barra de comprimento `, e o aparelho ¶ girado com e velocidade angular - num c¶ ³rculo vertical em torno do ponto m¶dio da e barra, O. Cada cabine possui uma balan»a, e os astronautas se pesam c sobre elas. Quando a barra com as cabines ¯car exatamente na ver- tical, (a) fa»a um diagrama das for»as que agem sobre cada um dos c c astronautas para um observador ¯xo na Terra; (b) repita este item para um observador girando junto com as cabines. (c) Calcule a me- dida da balan»a feita em cada uma das cabines neste instante. (d) Que c velocidade de rota»~o ¶ necess¶ria para produzir a sensa»~o de impon- ca e a ca derabilidade na cabine de cima? Nesta situa»~o, qual a leitura feita na ca balan»a da outra cabine? c
  23. 23. F¶ { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 23 ³s1  ¿ Á À -O  ¿ Á À 8. Um corpo de massa m est¶ apoiado em um suporte dentro de um a cilindro de raio R que gira com velocidade angular constante - em torno de seu eixo de simetria, como mostrado na ¯gura. Sendo ¹ o coe¯ciente de atrito est¶tico entre o corpo e a parede interna do cilindro, a pergunta-se: (a) Qual o menor valor de - para que o qual se pode retirar o suporte sem que o corpo deslize em rela»~o µ parede do cilindro? (b) ca a O que acontece com o valor da for»a de atrito se - for maior do que o c valor m¶³nimo encontrado no item anterior?
  24. 24. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 24 ³ IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) TEXTO COMPLEMENTAR 1 Vetores Muitas das grandezas usadas na F¶sica n~o podem ser representadas por ³ a um unico n¶mero. Grandezas como a posi»~o de um objeto, sua velocidade, ¶ u ca a for»a aplicada sobre ele, entre outras, necessitam, para sua especi¯ca»~o c ca precisa, n~o s¶ de um valor num¶rico { a dist^ncia a um ponto de refer^ncia, o a o e a e valor medido no od^metro de um carro, a intensidade da for»a { mas tamb¶m o c e de dire»~o e sentido. ca De uma maneira simpli¯cada, um vetor ¶ uma grandeza que pode ser e representada como um segmento de reta orientado. O tamanho do segmento e ¶ o m¶dulo do vetor, sua dire»~o ¶ fornecida pela dire»~o da reta que suporta o ca e ca o semento, e o sentido ¶ dado pela orienta»~o do segmento. Um vetor em e ca geral ¶ representado gra¯camente por uma letra com uma seta em cima, como e ~ ; seu m¶dulo ¶ representado por j~ j = a. a o e a r a Um vetor pode sofrer deslocamentos paralelos sem se alterar. Isto ¶, um e vetor ¶ um representante de um conjunto de segmentos orientados partindo e de diferentes pontos do espa»o. Um vetor tamb¶m ¶ um elemento de um c e e conjunto { chamado espa»o vetorial { que associado a duas opera»~es, a c co adi»~o e a multiplica»~o por escalar, tem algumas propriedades: ¶ fechado ca ca e em rela»~o a estas duas opera»~es (a soma de dois vetores ¶ um vetor,...), ca co e o elemento neutro da adi»~o (vetor nulo) faz parte do conjunto, todos os ca vetores possuem elemento inverso em rela»~o µ adi»~o, .... ca a ca Um exemplo de vetor bem conhecido ¶ o vetor deslocamento de um objeto e pontual. Um deslocamento de um ponto A a um ponto B pode ser represen- ~ tado por um vetor d com m¶dulo igual µ dist^ncia entre os pontos A e B, o a a dire»~o de¯nida pela reta que une A a B e sentido indo de A para B. ca r d B A
  25. 25. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 25 ³ Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento ¯nal que cor- responde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada. Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois do ponto B ao ponto C, resulta num deslocamento ¯nal de A a C. r B r d1 d2 r C d A A opera»~o de adi»~o de dois vetores ¶ de¯nida de forma an¶loga µ soma ca ca e a a de dois vetores deslocamentos. O vetor ~ que resulta da soma de dois outros c vetores ~ e ~ ~ = ~ +~ ¶ o vetor correspondente ao segmento de reta orientado a b, c a b, e obtido de acordo com a regra do paralelogramoquot;. Esta regra de soma tem este nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo que pode ser formado com lados ~ e ~ a b. r r r r c = a+b a r b A adi»~o de vetores ¶ comutativa ca e ~ +~ = ~ + ~ a b b a e ¶ distributiva: e ³ ´ ³ ´ ~ + ~ +~ = ~ +~ + ~ a b c a b c o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente. ~ Um deslocamento d de um ponto A a um ponto B de¯ne uma dire»~o, ca a dire»~o da reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre a ca mesma dire»~o pode ser escrito como o produto deste deslocamento d por ca ~ um n¶mero real ®, de forma tal que a dist^ncia percorrida seja ® d. Se ® ¶ u a e positivo, os sentidos s~o os mesmos. Para voltar de B at¶ A, o deslocamento a e pode ser representado por um vetor com a mesma dire»~o, mesmo m¶dulo e ca o ~ sentido oposto, ¡ d. r r −d 2d r B A d
  26. 26. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 26 ³ A opera»~o de multiplica»~o de um vetor ~ por um escalar ® (um n¶ mero ca ca b u real) ¶ de¯nida como sendo uma opera»~o cujo resultado ¶ um vetor ® ~ e ca e b { cujo m¶dulo ¶ dado por j®j b, o e { cuja dire»~o ¶ a mesma dire»~o do vetor ~ ca e ca b, { e cujo sentido ¶ o de ~ no caso em que ® > 0, e contr¶rio se ® < 0. e b a Desta maneira, a diferen»a de dois vetores ¶ a soma de dois vetores, o c e primeiro com o produto escalar do segundo pelo n¶mero real ¡1: u ³ ´ ~ ¡ ~ = ~ + ¡~ : a b a b r r r d = a −b r r r r c =a +b a r b Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m) na dire»~o de A para B pode ser o padr~o de medida de todos os vetores que ca a t^m a dire»~o AB. e ca Da mesma maneira que ¶ necess¶ria uma unidade de medida, um padr~o, e a a para a descri»~o de grandezas escalares (como temperatura, massa), pre- ca cisamos de um padr~o de medida para vetores. Mas a especi¯ca»~o de um a ca vetor exige m¶dulo, dire»~o e sentido; um padr~o para descrev^-lo n~o pode o ca a e a ser um simples n¶mero, tem que ter tamb¶m dire»~o e sentido. Ou seja, ¶ u e ca e tamb¶m um vetor. e Um vetor cujo m¶dulo vale 1 unidade ¶ chamado de vetor unit¶rio. A sua o e a representa»~o ¶ feita usuamente por um chap¶uquot; (acento circun°exo) sobre ca e e uma letra: ^. Da opera»~o de multiplica»~o por escalar, podemos escrever a ca ca imediatamente ~ ^ d = ad : r ˆ d d B A E para obter-se o vetor unit¶rio associado a um vetor qualquer basta divid¶ a ³-lo pelo seu m¶dulo: o ^ 1~ d= d: d
  27. 27. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 27 ³ Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coor- denadas { cartesiano ou outro qualquer. No espa»o, s~o necess¶rias tr^s c a a e coordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, por- tanto, precisamos de suas tr^s componentes ao longo de tr^s eixos { ou de e e tr^s unit¶rios de dire»~es independentes. O sistema de tr^s vetores unit¶rios e a co e a mais comum ¶ um sistema constitu¶do de tr^s unit¶rios mutuamente perpen- e ³ e a diculares, com a conven»~o de ordem indicada na ¯gura abaixo. ca ˆ k z y ) j ˆ i x Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida como sendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamento atrav¶s das coordenadas do ponto ¯nal. Num plano, a descri»~o ¯ca como e ca na ¯gura. As coordenadas do ponto A s~o as componentes segundo os eixos a x e y: A = (xA; yA ). y yA A A = ( xA , yA ) O xA x ~ ~ O vetor OA = d pode ser decomposto em outros dois, um paralelo ao eixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposi»~o ¯ca ca ~A = ~ A + ~A r x y como mostrado na ¯gura. Se de¯nimos os unit¶rios das dire»~es x e y como a co sendo ^ e ^ temos ³ ´, ~ A = xA ^ + y A ^ r ³ ´ y yA A A = ( xA, yA ) r O xA x rA = x A ˆ + y A ˆj i O vetor componente de ~A na dire»~o x, ~ A, tem m¶dulo igual a jxAj, pois r ca x o xA pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor ~ A x
  28. 28. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 28 ³ coincidir ou n~o com o sentido do unit¶rio ^ O mesmo ocorre para o vetor a a ³. componente de ~A na dire»~o de y, yA. Assim, r ca x ~ A = xA ^ ; ~A = yA ^ : ³ y ´ y A r r r r yA rA = xA + yA = = xA ˆ + y A ˆ r O xA x i j Os valores xA e yA s~o chamadas de componentes do vetor ~A segundo os a r eixos x e y, ou segundo as dire»~es dos unit¶rios ^ e ^ co a ³ ´. y A y x = r cos θ r y = r senθ θ x x Pode-se usar um sistema de coordenadas polares planas A = (r; µ), onde r corresponde µ dist^ncia µ origem de coordenadas e µ o ^ngulo que a dire»~o a a a a ca OA faz com um eixo arbitr¶rio { no caso o eixo x. As duas descri»~es a co A = (r; µ) = (x; y) est~o relacionadas atrav¶s das express~es a e o x = r cos µ ; y = r sen µ q y r= x2 + y2 ; µ = arctg x e ¶ imediatamente claro que 0 · µ < 2¼, x e y podem ser maiores, iguais ou e menores que zero, e que r corresponde a um valor positivo e igual ao m¶dulo o ~ do vetor OA. As opera»~es de adi»~o de vetores e multiplica»~o por escalar podem ser co ca ca feitas em termos de componentes. r r r r c = a+b a r c cx = a x + b x x r bx a x cx b Da ¯gura, para a adi»~o de vetores ca ³ ´ cx = ~ + ~ a b = ax + bx x
  29. 29. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 29 ³ e de forma an¶loga a ³ ´ cy = ~ + ~ a b = ay + by y Para a multiplica»~o de um vetor por um escalar, ca r r r b b=αa r bx = α a x a x ax bx bx = (® ~ )x = ® ax ; a by = (® ~ )y = ® ay : a Duas outras opera»~es com vetores s~o usadas para a de¯ni»~o de con- co a ca ceitos f¶ ³sicos. A primeira opera»~o ¶ o chamado produto escalar de dois vetores. Nesta ca e opera»~o, a um par de vetores ~ e ~ associa-se um n¶mero real ~ ¢ ~ de¯nido ca a b u a b como ~ ¢ ~ = a b cos µ a b onde µ ¶ o ^ngulo entre as dire»~es de ~ e ~ e a co a b. r ab = a cos θ a θ r ab b Esta de¯ni»~o ¶ equivalente a dizer que o produto escalar de ~ por ~ ¶ o ca e a be produto do m¶dulo de b o ~ pela proje»~o de ~ na dire»~o de ~ Geometricamente, ca a ca b. veri¯ca-se trivialmente que ~ ¢~ =~ ¢~ a b b a ~ ¢~ = a2 a a ~ ¢ ~ = 0 (a 6= 0; b 6= 0) () ~ ? ~ a b a b ³ ´ ~ ¢ ~ + ~ = ~ ¢~ + ~ ¢ ~ a b c a b a c Se os vetores ~ e ~ s~o paralelos, ~ ¢ ~ = a b. Se s~o anti-paralelos (seus a b a a b a ~ = ¡ a b. sentidos s~o opostos) ~ ¢ b a a Em componentes, o produto escalar pode ser calculado usando as pro- priedades anteriores. Se ~ = ax ^ + ay ^ + az ^ e ~ = bx ^ + by ^ + bz k , ent~o a ³ ´ k b ³ ´ ^ a ³ ´ ³ ´ ~ ¢ ~ = ax ^ + ay ^ + az ^ a b ³ ´ k ^ ¢ bx^ + by ^ + bz k = ax bx + a y by + az bz ³ ´
  30. 30. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 30 ³ Da de¯ni»~o do produto escalar, tamb¶m, pode-se demonstrar que ca e a x = ~ ¢ ^ ; ay = ~ ¢ ^ ; az = ~ ¢ ^ a ³ a ´ a k ~ ¢~ a b cos µ = ab O produto escalar surge pela primeira vez nas discuss~es em F¶ o ³sica com ~ num deslocamento: a de¯ni»~o de trabalho realizado por uma for»a F ca c Z F WAB = ~ r F ¢ d~ : A outra opera»~o, o produto vetorial entre dois vetores, associa a dois ca ~ um terceiro vetor c vetores ~ e b a ~ = ~ £~ c a b com o m¶dulo dado por c = a b senµ, onde µ ¶ o (menor) ^ngulo entre ~ e ~ o e a a b, ~ e sentido dado pela com dire»~o perpendicular ao plano que cont¶m ~ e b, ca e a chamada regra da m~o direitaquot;. Esta de¯ni»~o est¶ ilustrada na ¯gura a a ca a seguir. r r r r r c c c = a× b r c = área b r r a b b senθ r a O produto vetorial de dois vetores n~o ¶ comutativo { a ordem dos fatores a e troca o sinal do resultado. Suas propriedades tamb¶m podem ser veri¯cadas e facilmente da de¯ni»~o, ca ~ £~ = ¡~ £ ~ a b b a ³ ´ ~ £ ~ + ~ = ~ £~ + ~ £ ~ a b c a b a c ³ ´ ~ £ ®~ = ®~ £ ~ a b a b a~ = 0 a O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos ¶ nulo. e
  31. 31. F¶s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 31 ³ Em componentes, ~ £ ~ = (ay bz ¡ az by ) ^ + (az bx ¡ ax bz ) ^ + (a x by ¡ ay bx) k a b ³ ´ ^ O produto vetorial aparece em F¶sica na de¯ni»~o de torque de uma for»a ³ ca c em rela»~o a um ponto, e momento angular de uma part¶ ca ³cula em rela»~o a ca um ponto: r ~ ¿ =~£F ~ LO = ~ £ p = m ~ £ ~ r ~ r v
  32. 32. F¶s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 32 ³ IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶ ³cios 6 { Respostas 1. Peso (rea»~o sobre a Terra) e sustenta»~o (rea»~o sobre a ponta do ca ca ca cabo). Quando a ma»~ est¶ caindo, atua apenas o peso. ca a 2. No sentido do movimento do corpo. 3. No arm¶rio: peso, normal, atrito e empurr~o do homem. No homem: a a peso, normal, atrito, rea»~o ao empurr~o. ca a 4. (a) Peso 11 N, massa 2; 2 kg. (b) Peso nulo, massa 2; 2 kg. 5. (Discutir com o professor.) 6. For»a de contato entre os blocos: de m¶dulo F cos µ m=(M + m), ho- c o rizontal, para a direita sobre m, para a esquerda sobre M . For»a de c contato entre m e a superf¶ ³cie: mg, vertical e para cima. For»a de c contato entre M e a superf¶ ³cie: Mg + F sen µ, vertical e para cima. 7. (a) 1; 1 N. 8. (a) 0; 97 m/s2 ; (b) T1 = 11; 6 N, T 2 = 34; 8 N. 9. (a) N~o, fat = 222 N. (b) N~o, fat = 334 N. (c) Sim, fat = 311 N. (d) a a Sim, fat = 311 N. 10. a = 2; 5 m/s2 , N = 20 N. 11. a = 2; 2 m/s2 , N = 22 N. 12. (a) a = 0, N = 20 N; (b) a = 2; 0 m/s2, N = 20 N; (c) a = 1; 5 m/s2, N = 24 N, caso a for»a tenha dire»~o e sentido como na ¯gura do c ca exerc¶ 11. ³cio 13. macaco: v ¸ 0; homem: v ¸ 10 m/s 2. 14. F MAX = ¹E (M + m) g; f = ¹E mg e n = mg s~o as duas componentes a da for»a de contato entre os dois blocos. c
  33. 33. F¶s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 33 ³ 15. (a) FMAX = 27 N; (b) a = 3 m/s2. 16. (a) a = mB g=(mA + mB), F = mAmBg=(mA + mB ). (b) m0B = 2mAmB =(mA ¡ mB). 17. (a) 0; 75 m/s2 ; (b) para baixo; (c) 21; 3 N. 18. Supondo que o ^ngulo de inclina»~o do plano ¶ de 30±, mB = 3; 3 kg. a ca e 19. 421 N. 20. (a) N~o. (b) Componente vertical: 20 N, para cima; componente hori- a zontal: 50 N para a esquerda. 21. F (0) = 5 N, FMAX = 10 N. 22. 1000 N. 23. Sistema de coordenadas: unit¶rios ^ na dire»~o horizontal, com o sen- a ³ ca tido do tuf~o, ^ para cima; a origem est¶ no ch~o, bem embaixo do ponto a ´ a a v 2 inicial do corpo. ~(t) = 3t ^ + 10 (t ¡ 1) ^, ~(t) = t3 ^ + 5 (t2 ¡ 2t + 2)^. ³ ´ r ³ ´ 24. (a) 250 m/s2 ; (b) 2; 0 £ 104 N. 25. m = M g=(!2r). q 26. (a) vMIN = gR=¹E ; (b) vMIN = 13; 9 m/s = 50 km/h. 27. (a) 10± ; (b) 0,19. 28. (a) 0,96 m/s. (b) 0,02. ³rculo; (b) 2,1 m/s2 , apontando para o centro 29. (a) 0,72 m/s, tangente ao c¶ do c¶³rculo; (d) 0,5 N. 30. 192 kg.
  34. 34. 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 3 ¶ Modulo 3: Trabalho e Energia »~ 1. INTRODUCAO Neste m¶dulo, estudaremos os conceitos de trabalho e energia. Vamos o discutir a lei da conserva»~o da energia mec^nica de uma part¶cula, o que ca a ³ s~o energia cin¶tica, energia potencial, e o trabalho de for»as. Come»are- a e c c mos abordando o movimento unidimensional e a seguir generalizaremos nosso estudo para o caso do movimento geral. Leituras indispens¶veis a Os t¶picos citados acima correspondem aos cap¶ o ³tulos 6 (se»~es 6.1 a 6.5) e 7 co (se»~es 7.1 a 7.3 e parte da se»~o 7.6) do livro texto, de H. M. Nussenzveig. co ca 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~o a | da conserva»~o de energia mec^nica num campo gravitacional (se»~o ca a ca 6.1), | da de¯ni»~o de trabalho de uma for»a, ca c | da de¯ni»~o de energia cin¶tica e energia potencial de um corpo. ca e (se»~o 6.2). ca Atividade 2 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 1 e 4 da Lista 10, Trabalho e energia. Atividades extras 1 1. Leia as se»~es 6.1 e 6.2 do cap¶tulo 6 do livro. co ³ 2. Resolva os exerc¶³cios 2, 3, 5 e 6 da lista de trabalho e energia.
  35. 35. F¶s1 { 04/1 { G.3 | p. 2 ³ 3. Resolva os problemas 1, 3, 8 e 9 da lista 5 (movimento relativo e referencias n~o inerciais). a 4. Resolva os problemas 6.2 e 6.14 do livro texto. Atividade 3 Discuss~o sobre o trabalho de uma for»a constante de dire»~o qualquer, a c ca introduzindo o conceito de produto escalar de dois vetores (se»~o 7.1); ca o trabalho de uma for»a no caso do movimento geral (se»~o 7.2); as c ca for»as conservativas (se»~o 7.3); e pot^ncia (item a da se»~o 7.6). c ca e ca Atividade 4 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 9 e 14 da lista de Trabalho e Energia. Atividades extras 2 1. Leia as se»~es 7.1 a 7.3 e item a da se»~o 7.6 do cap¶ co ca ³tulo 7 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶cios 8 e 10 da lista de trabalho e energia. ³ 3. Resolva os problemas 7.3, 7.4, 7.5, 7.6 e 7.19 do livro texto. Atividade 5 Discuss~o sobre trabalho de uma for»a vari¶vel (se»~o 6.3) e a con- a c a ca serva»~o da energia mec^nica no movimento unidimensional (se»~o 6.4). ca a ca Atividade 6 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 16 e 19 da lista de trabalho e energia (ou outros, a crit¶rio do professor). e Atividades extras 3 1. Leia as se»~es 6.3 e 6.4 do cap¶tulo 6 do livro. co ³ 2. Resolva os exerc¶cios 17, 18, 20 e 21 da lista de trabalho ³ e energia. 3. Resolva os problemas 6.6, 6.7 e 6.13 do livro texto.
  36. 36. F¶s1 { 04/1 { G.3 | p. 3 ³ Atividade 7 Discuss~o do movimento unidimensional sob a a»~o de for»as conser- a ca c vativas. Atividade 8 Resolu»~o dos exerc¶ ca ³cios 24 e 25 da lista de trabalho e energia. Atividades extras 4 1. Termine de ler o cap¶³tulo 6 do livro. 2. Resolva os exerc¶ ³cios 23, 26 e 27 da lista de trabalho e energia. 3. Resolva os problemas 7.15, 7.16, 7.17, 7.18 e 7.20 do livro texto. Atividade 9 Resolu»~o de exerc¶ ca ³cios e problemas escolhidos pelo professor. Atividades extras 5 Releia os cap¶³tulos 6 e 7 (exceto as se»~es 7.4, 7.5 e 7.6b) co do livro texto. 1. Termine a lista de exerc¶cios de trabalho e energia. ³ 2. Fa»a toda a lista de exerc¶ c ³cios 5, sobre movimento rela- tivo e referenciais n~o inerciais. a 3. Termine tudo que voc^ deixou para tr¶s. e a 4. D^ uma lida na discuss~o sobre for»as n~o-conservativas e a c a na se»~o 8.12 do livro de Alonso&Finn (voc^ pode en- ca e contr¶-lo na biblioteca do Instituto de F¶sica). a ³ 3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA 1. Leia novamente os cap¶ ³tulos 6 e 7 do livro texto. 2. Fa»a todos os problemas das Listas de 1 a 10 e os do livro (Cap. 6 e c 7) que voc^ ainda n~o fez. e a 3. Leia o texto complementar anexo sobre conserva»~o de energia. ca
  37. 37. F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 4 ³s1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶ ³sica 1 { IFA (prof. Marta) TEXTO COMPLEMENTAR 2 »~ A Conservacao da Energia Richard P. Feynman Texto extra¶ do Cap¶tulo 3 | Os grandes princ¶ ³do ³ ³pios de conserva»~o ca | do livro O que ¶ uma lei f¶sica (The Character of Physical Law), e ³ de Richard P. Feynman, vers~o baseada na tradu»~o portuguesa de a ca Carlos Fiolhais, editora Gradiva. Quando estudamos as leis da f¶ descobrimos que s~o numerosas, com- ³sica, a plicadas e pormenorizadas. Existem leis da gravita»~o, da eletricidade e do ca magnetismo, das intera»~es nucleares, etc. Mas todas essas leis particulares co parecem obedecer a grandes princ¶ ³pios gerais. Exemplos destes ¶ltimos s~o u a os princ¶ ³pios de conserva»~o, algumas caracter¶sticas de simetria, a forma ca ³ geral dos princ¶ ³pios da mec^nica qu^ntica e, infeliz ou felizmente, o fato, a a j¶ referido, de todas as leis terem uma natureza matem¶tica. Hoje quero a a falar-lhes dos princ¶pios de conserva»~o. ³ ca O f¶³sico usa palavras correntes com um sentido particular. Para ele uma lei de conserva»~o signi¯ca que existe um n¶mero que pode calcular num ca u dado momento e que, embora a Natureza passe por uma grande profus~o de a mudan»as, se voltar a repetir o c¶lculo, o resultado ¶ o mesmo. Esse n¶ mero c a e u e ¶, pois, invariante. Um exemplo ¶ a conserva»~o de energia. Existe uma e ca quantidade, que se calcula segundo uma certa regra. O resultado do c¶lculoa e ¶ sempre o mesmo, independentemente do que aconte»a. c Podemos agora ver como isso pode ser util. Suponhamos que a f¶ ¶ ³sica, ou melhor a Natureza, ¶ um grande jogo de xadrez, com milh~es de pe»as, e e o c que estamos tentando descobrir as leis desse jogo, jogado muito rapidamente por grandes deuses, sendo dif¶cil observ¶-los e compreender as respectivas jo- ³ a gadas. No entanto, conseguimos apreender algumas regras e, dentre estas, h¶ a algumas que n~o exigem a observa»~o de todos os movimentos. Por exemplo, a ca suponhamos que s¶ existe um bispo branco sobre o tabuleiro. Como o bispo o se move nas diagonais, portanto sempre em casas da mesma cor, se deixar- mos de observar o jogo dos deuses por uns momentos e voltarmos depois a
  38. 38. F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 5 ³s1 prestar aten»~o ao jogo, esperamos encontrar ainda um bispo branco, talvez ca ¶ numa outra posi»~o, mas numa casa da mesma cor. E essa a ess^ncia das ca e leis de conserva»~o. N~o precisamos ver todos os pormenores para sabermos ca a alguma coisa sobre o jogo. ¶ E certo que no xadrez esta lei particular n~o ¶ necessariamente v¶lida em a e a todas as circunst^ncias. Se deixarmos de olhar o tabuleiro por muito tempo, a pode acontecer que o bispo seja capturado, que um pe~o seja promovido a a rainha ou que um deus decida que ¶ prefer¶vel que este pe~o seja promovido e ³ a a bispo, ¯cando o novo bispo numa casa preta. Infelizmente, pode aconte- cer que algumas das leis que compreendemos hoje n~o sejam perfeitamente a exatas, mas vou consider¶-las tal qual as conhecemos. a Disse-lhes que usamos palavras correntes num sentido t¶cnico. Uma e palavra que ¯gura no t¶tulo desta palestra ¶ grandequot; | Os grandes prin- ³ e c¶pios de conserva»~oquot;. N~o se trata de um termo t¶cnico: foi colocado no ³ ca a e t¶ ³tulo apenas para obter um efeito mais dram¶tico. Podia muito bem ter a dito As leis de conserva»~oquot;. H¶ algumas leis de conserva»~o que n~o fun- ca a ca a cionam totalmente; s~o s¶ aproximadamente verdadeiras, o que n~o impede a o a que muitas vezes sejam ¶teis. Podemos chamar-lhes pequenasquot; leis de con- u serva»~o. Embora v¶ mencionar mais tarde uma ou duas destas leis que n~o ca a a funcionam totalmente, as leis principais que vou discutir s~o, tanto quanto a podemos a¯rmar hoje, absolutamente rigorosas. Come»arei pela lei mais f¶cil de compreender, que diz respeito µ con- c a a serva»~o da carga el¶trica. Existe um n¶mero, a carga el¶trica total no uni- ca e u e verso, que n~o varia, seja o que for que suceda. Se perder carga num lugar, a acabo por encontr¶-la noutro. A conserva»~o refere-se ao conjunto de todas a ca as cargas el¶tricas. Este fato foi descoberto experimentalmente por Faraday. e (...) Foram descobertas outras leis de conserva»~o, que s~o an¶logas aos prin- ca a a c¶pios de contagem que vimos. Por exemplo, os qu¶ ³ ³micos pensavam a certa altura que, em quaisquer circunst^ncias, o n¶mero total de ¶tomos de s¶dio a u a o a se conservava. Os ¶tomos de s¶dio, por¶m, n~o s~o permanentes. E o e a a ¶ poss¶ ³vel transformar ¶tomos de um elemento noutro, desaparecendo completamente o a elemento original. Uma outra lei na qual se acreditou durante algum tempo a¯rmava que a massa total de um objeto ¶ invariante. A sua validade depende e da maneira como se de¯ne a massa e se esta ¶ relacionada ou n~o com a e a energia. A lei de conserva»~o da massa est¶ inclu¶ numa outra lei de que ca a ³da vou falar a seguir: a lei de conserva»~o da energia. ca
  39. 39. F¶ { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 6 ³s1 A conserva»~o da energia ¶ um pouco mais dif¶ porque desta vez temos ca e ³cil, um n¶ mero que n~o varia com o tempo e n~o se refere a nenhum objeto u a a particular. Gostaria de usar uma analogia um pouco grosseira para explicar o que se passa. Imaginemos que uma m~e deixa o seu ¯lho sozinho num quarto a brincar a com 28 cubos absolutamente indestrut¶ ³veis. A crian»a brinca com os cubos c durante todo o dia e a m~e, quando regressa a casa, veri¯ca que ainda existem a 28 cubos; constatando, assim, a conserva»~o dos cubos! A cena repete-se ca durante algum tempo, at¶ que um dia, ao voltar a casa, encontra s¶ 27 e o cubos. No entanto, encontra um cubo ca¶ fora da janela, para onde a ³do crian»a o tinha atirado. A primeira coisa que ¶ necess¶rio compreender numa c e a lei de conserva»~o ¶ que tem de se veri¯car se a mat¶ria observada n~o passa ca e e a para o outro lado da parede. O inverso tamb¶m poderia ter acontecido: um e amigo podia ter vindo brincar com a crian»a, trazendo alguns cubos consigo. c Obviamente, estas quest~es t^m de ser consideradas quando se discutem leis o e de conserva»~o. Suponhamos que um dia, ao contar os cubos, a m~e nota ca a que s¶ h¶ 25, mas suspeita de que a crian»a escondeu tr^s numa caixa de o a c e brinquedos. Vou abrir a caixaquot;, diz ent~o. N~oquot;, responde a crian»a, voc^ a a c e n~o pode abrir a caixa.quot; Como a m~e ¶ inteligente, diria: Sei que a caixa a a e vazia pesa 600 g e que cada cubo pesa 100 g, de modo que vou pesar a caixa.quot; Assim, para obter o n¶mero total de cubos a m~e escreveria u a Peso da caixa ¡ 600g N¶mero de blocos observados + u 100g sendo o resultado 28. Este m¶todo funciona bem durante algum tempo, mas e um dia a soma n~o d¶ certo. A m~e veri¯ca, por¶m, que o n¶vel de ¶gua a a a e ³ a suja numa bacia mudou. Sabe que a profundidade da ¶gua ¶ de 6 cm, se n~o a e a houver cubos no fundo, e que o n¶ subiria de 0,5 cm se um cubo estivesse ³vel dentro da ¶gua. Junta ent~o um novo termo, ¯cando agora com a a Peso da caixa ¡ 600g N¶mero de blocos observados + u + 100g Altura da ¶gua ¡ 6cm a + 0; 5cm µ sendo o novo total de 28. A medida que aumenta o engenho do rapaz, au- menta tamb¶m o da m~e, que, de cada vez, tem de somar mais termos, todos e a

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