Matematika 8 alb

I nderuar nx[n[s!
Ky lib[r do t[ mund[son t’i m[sosh p[rmbajtjet e parapara p[r klas[n VIII. Do t[ m[sosh p[rmbajtje t[
reja interesante p[r ngjashm[rin[ e figurave. Do t[ m[sosh teknika p[r zgjidhjen e barazimeve lineare
dhe jobarazimeve lineare, si dhe p[r zgjidhjen e disa sistemeve t[ barazimeve lineare. Do t’i zgjerosh
njohurit[ p[r funksionin linear edhe p[r trupat gjeometrik, syprin[n dhe v[llimin e tyre.
Libri [sht[ ndar[ n[ kat[r t[r[si tematike, kurse disa prej tyre jan[ ndar[ n[ n[ntema.
T[r[sit[ tematike fillojn[ me p[rmbajtje, kurse nj[sit[ m[simore n[ to jan[ t[ num[ruara.
Te nj[sit[ m[simore ka shenja me ngjyra dhe mbi ato jan[ shkruar porosi, aktivitete, obligime dhe
sygjerime t[ tjera edhe at[:
Nj[sit[ m[simore fillojn[ me di]ka q[ e ke t[ njohur. Duhet t[ kujtohesh
Kujtohu! dhe t’i zgjidhish k[rkesat e dh[na. At[ do ta shfryt[zosh gjat[ t[
m[suarit t[ m[simit t[ ri.

Me k[to shenja, nj[sia m[simore [sht[ ndar[ n[ pjes[ te t[ cilat
A
, B ... u kushtohen koncepteve t[ reja.

1. Me shenjat e k[tilla jan[ sh[nuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat q[ do t’i
zgjidhish n[ m[nyr[ t[ pavarur ose me ndihm[n e arsimtarit t[nd. N[ k[t[
2. pjes[ e m[son m[simin e ri, prandaj duhet t[ jesh i kujdessh[m dhe aktiv

...
q[ sa m[ mir[ ta m[sosh dhe ta kuptosh. Ajo q[ [sht[ m[ me r[nd[si [sht[
3. me ngjyr[ portokalli.

Ajo q[ [sht[ m[ e r[nd[sishme nga m[simi [sht[ ve]uar n[ form[ t[
Duhet t[ dish: pyetjeve, detyrave ose pohimeve. At[ duhet ta mbash n[ mend dhe ta
shfryt[zosh gjat[ zgjidhjeve t[ detyrave dhe shembujve praktik.

Kjo pjes[ p[rmban pyetje dhe detyra me t[ cilat mund t[ provosh
Kontrollohu! pjes[n m[ t[ madhe t[ asaj q[ e ke m[suar a e ke kuptuar q[ t[ mund
ta zbatosh dhe shfryt[zosh n[ jet[n e p[rditshme.

Duhet rregullisht dhe n[ m[nyr[ t[ pavarur t’i zgjidhish k[to detyra.
Detyra Me t[ m[ mir[ do ta kuptosh at[ q[ e ke m[suar, kurse ajo do t[ jet[
shum[ e dobishme p[r ty.

Përpiqu! ... P[rpiqu t’i zgjidhish detyrat dhe problemet n[ k[t[ pjes[ (kjo nuk [sht[
e domosdoshme). Me t[ do t[ dish m[ shum[ dhe do t[ jesh m[ i pasur
me ide.

KONTROLLO N[ fund t[ ]do teme ke teste me pyetje dhe detyra. Zgjidhe n[
NJOHURIN{ T{NDE m[nyr[ t[ pavarur testin dhe me t[ do t[ provosh njohurit[ tua
nga tema e m[suar.

N[se has n[ v[shtir[si gjat[ t[ m[suarit t[ matematik[s mos u dor[zo, p[rpiqu p[rs[ri, kurse k[mb[ngulja
do t[ sjell[ rezultat dhe k[naq[si.
Do t[ na g[zon n[ qoft[ se me k[t[ lib[r do ta duash m[ shum[ matematik[n dhe do t[ arish sukses t[
shk[lqyesh[m.

Nga autor[t

TEMA 1. NGJASHM{RIA

SEGMENTET PROPORCIONALE 8. Kriteri i dyt[ dhe i tret[ p[r trek[nd[shat
1. Raporti nd[rmjet dy segmenteve 4 e ngjash[m 31
2. Segmentet proporcionale 8 9. Raporti i perimetrave dhe raporti i syprinave
3. Ndarja e segmentit n[ pjes[ t[ barabarta 12 t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m 33
4. Teorema e Talesit p[r segmentet TEOREMA E PITAGOR{S
proporcionale 16 10. Ngjashm[ria te trek[nd[shi k[nddrejt 37
5. Detyra me zbatimin e teorem[s s[ Talesit 20 11. Teorema e Pitagor[s 41
TREK{ND{SHAT E NGJASH{M 12. Detyra me zbatimin e teorem[s s[
6. Figurat e ngjashme. Trek[nd[shat e Pitagor[s 44
ngjash[m 24 13. Popullimi, mostra 48
7. Kriteri i par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m 27 Provo njohurin[ t[nde 53

Segmentet proporcionale 3

SEGMENTET PROPORCIONALE

1 RAPORTI ND{RMJET DY SEGMENTEVE

Kujtohu! A 1. N[ vizatim jan[ dh[n[ dy segmente:
Raport ose p[rpjes[ e numrit a dhe numrit
b (b ≠ 0) [sht[ her[si i a dhe b, d.m.th.
A B
a
a : b ose ;
b C D
lexohet: a ndaj b;
numri a quhet an[tari i par[, kurse b an[tari ku AB = 6 cm, CD = 4 cm.
i dyt[ i raportit. Shkruaje raportin e numrave mat[s t[ gjat[sis[
Numri q[ fitohet duke kryer pjes[timin e a me s[ segmentit AB dhe gjat[sis[ s[ segmentit CD.
b quhet vlera e raportit a : b dhe sh[nohet
me k. N[ k[t[ rast a : b = k, d.m.th. a = bk. Her[sin 6 : 4 do ta marrim si raport nd[rmjet
segmentit AB dhe segmentit CD.

Cakto vler[n e raportit: Në përgjithësi
a) 28 : 4; b) 35 : 5; c) 12 : 16; ]) 1,8 : 2,4.
Raporti ose p[rpjesa nd[rmjet dy segmenteve
P[r cilat raporte themi se jan[ t[ barabarta?
[sht[ her[si i numrave mat[s t[ gjat[sive t[ tyre
me gjat[si t[ nj[jt[ mat[se.
Cil[t prej raporteve a) - ]) jan[ t[ barabart[?
Raportin i nj[ segmenti AB ndaj segmentit tjet[r
Cakto an[tarin e panjohur t[ raportit: CD e shkruajm[:
a) x : 8, n[ qoft[ se vler[n e ka 4;
b) 18 : y, n[ qoft[ se vler[n e ka 12. AB
AB : CD ose .
CD

An[tari i dyt[ CD a mund t[ jet[ i barabart[ me zero?
3
Te detyra 1, raporti AB : CD [sht[ 6 : 4, kurse vlera e tij [sht[ .
2

2. Cakto vler[n e raportit t[ segmentit a ndaj segmentit b, n[ qoft[ se:
a) a = 12 cm, b = 4 cm; b) a = 30 cm, b = 6 dm.

Ke kujdes!

Gjat[sit[ e dy segmenteve te raporti duhet t[ shprehen me nj[si t[ nj[jt[ mat[se.

Raporti i dy segmenteve [sht[ num[r i paem[rtuar.

4 Tema 1. Ngjashmëria

3. }do an[tar te raporti 0,5 : 0,25: a) shum[zoje me 20; b) pjes[toje me 5.
Pastaj, vler[n e raportit t[ dh[n[ krahasoje me vlerat e raporteve t[ fituara me a) dhe b).

}ka p[rfundon?

4. Shkruaje raportin e segmentit a = 6 cm ndaj segmentit a
b = 3 cm dhe cakto vler[n e tij.
Pastaj, cakto raportin a : b dhe vler[n e tij, n[ qoft[ b
se gjat[sit[ e segmenteve i shkruan n[:
a) mm; b) dm; c) m.
}ka p[rfundon p[r ato raporte?

Me dy detyrat paraprake u
përkujtove se:
Raporti a : b nuk ndryshon n[ qoft[ se t[ dy an[tar[t e tij shum[zohen ose pjes[tohen me num[r t[
ndryshuesh[m prej zeros, d.m.th.
n[ se a : b = k dhe m ≠ 0, at[her[ (am) : (bm) = k dhe (a : m) : (b : m) = k.

N[ qoft[ se raporti i dy numrave [sht[ N[ qoft[ se a : b = k, at[her[
a : b = k, at[her[ me se [sht[ i barabart[ a = kb. Numri k tregon sa her[
numri a? numri b p[rfshihet te numri
}far[ tregon numri k p[r numrat a dhe b? a.

Mbaj mend

N[se raporti i dy segmenteve AB dhe CD [sht[ k, AB : CD = k, at[her[ AB = k ⋅ CD .

Raporti k tregon sa her[ segmenti CD p[rfshihet te segmenti AB, d.m.th. k [sht[ numri mat[s i
gjat[sis[ s[ segmentit AB si nj[si mat[se do t[ meret segmenti CD.

B 5. Jan[ dh[n[ segmentet a = 1,2 dm, b = 18 cm.

Shkruaje raportin a : b dhe njehso vler[n e tij.
Shkruaje raportin b : a dhe njehso vler[n e tij.
P[r raportin b : a thuhet se [sht[ i anasjellt[ i raportit a : b.

K[shtu, raporti 18 : 12 [sht[ i anasjellt[ i raportit 12 : 18.

6. Arta ka 5 vjet, Blerta ka 10 vjet, kurse Vlera ka 35 vjet.
Shkruaje raportin e vjet[ve nd[rmjet:
a) Art[s dhe Blert[s; b) Blert[s dhe Vler[s; c) Art[s dhe Vler[s.


Shihi raportet 5 : 10; 10 : 35 dhe v[re se ]'kan[ t[ p[rbashk[t.
An[tari i dyt[ i raportit t[ par[ [sht[ i barabart[ me an[tarin e par[ t[ raportit t[ dyt[.

Mbaj mend!
Raportet a : b dhe b : c zakonisht shkurtimisht shkruhen si a : b : c.
Shprehja a : b : c quhet raport i vazhduar i a, b, c.
K[shtu, 5 : 10 : 35 [sht[ raport i vazhduar p[r t[ dy raportet 5 : 10 dhe 10 : 35. P[rve] saj , raporti
i vazhduar e p[rmban edhe raportin 5 : 35.

7. Larg[sia ajrore nd[rmjet tre qyteteve A, B, C jan[: AB = 40 km, BC = 100 km, CA = 120 km.
Paraqiti ato larg[si, n[ vizatim, t[ zvog[luara 800 000 her[.
Shkruaje raportin e vazhduar CA : AB : BC n[ form[ sa m[ t[ thjesht[.

C 8. N[ vizatim jan[ dh[n[ tre segmente
A B
AB, CD dhe PQ, ashtu q[
AB = 5 PQ, CD = 3PQ . C D

Sa her[ segmenti PQ p[rfshihet te P Q
segmenti a) AB; b) CD?

V[ren se segmenti PQ, te segmentet AB dhe CD, p[rfshihet num[r t[ plot[ her[sh.
PQ thuhet se [sht[ masa e p[rbashk[t e segmenteve AB dhe CD.

Në përgjithësi

P[r dy segmente thuhet se jan[ t[ bashk[matsh[m, n[ qoft[ se ekziston segment i tret[ q[ p[rfshihet
num[r t[ plota her[sh te ]donj[ri prej tyre.
Raporti i dy segmenteve t[ bashk[matsh[m [sht[ num[r racional (i plot[ ose thye).

Segmentet AB, CD n[ detyr[n 8 jan[ t[ bashk[matsh[m. T[ atill[ jan[ edhe ]iftet e segmenteve: AB,
BC dhe BC, CA, te detyra 7 (mas[ t[ p[rbashk[t e kan[ segmentin me gjat[si, p[r shembull, 1 km).

9. N[ vizatim [sht[ paraqit katrori me brinj[ a dhe diagonale d.
d
Shprehe diagonalen d me ndihm[n e brinj[s a.
Trego se raporti d : a [sht[ num[r iracional 2.
a

Vëreve se
Ka ]ifte t[ segmenteve p[r t[ cil[t nuk ekziston segment itret[ q[ do t[ p[rfshihet num[r t[ plot[
her[sh te ]donj[ri prej tyre. P[r dy segmente t[ atill[ thuhet se jan[ t[ pabashk[matsh[m dhe raporti
i tyre gjithmon[ [sht[ num[r iracional.


P[r shembull, brinja a dhe diagonalja d e katrorit jan[ segmente t[ pabashk[matsh[m; raporti i tyre
d : a [sht[ numri 2.

Duhet të dish:
t[ em[rtosh dhe t[ caktosh raport t[ dy numrave dhe t[ dy segmenteve;
t[ caktosh vler[n e raportit dhe raporteve t[ barabart[;
t[ shkruash raport t[ anasjellt[ dhe raport t[ vazhduar;
t[ caktosh an[tarin e panjohur te raporti.

Kontrollohu!

Jan[ dh[n[ segmentet AB = 8 cm dhe
A C B
AC = 2 cm (n[ vizatim).
Shprehe vler[n e raportit: a) AB : AC ; b) AC : CB ; c) CB : AC ; ]) CB : AB .
Shprehe raportin e a ndaj b n[ form[ sa m[ t[ thjesht[:
a) a = 6, b = 18; b) a = 28 cm, b = 7 cm; c) a = 1 kg, b = 800 g.
Cakto vler[n e ]donj[rit prej raporteve:
a) 6 : 8; b) 150 : 200; c) 80 : 60; ]) 0,18 : 0,24.
Cil[t prej tyre jan[ t[ barabart[?
Vlera e raportit x : 4 [sht[ 5. Sa [sht[ x?
4. Larg[sia Shkup - Vallandov[ [sht[
Detyra 150 km, Shkup - Kriva Pallank[ [sht[ 100 km,
kurse Shkup - Tetov[ [sht[ 50 km.
1. Shprehe raportin a : b n[ form[ sa m[ t[ a) Shkruaje raportin e vazhduar t[ atyre
thjesht[, n[ qoft[ se: largesave.
a) a = 15 cm, b = 2 dm; b) Shkruaje at[ raport n[ form[ sa m[ t[
b) a = 6x, b = 4x; thjesht[.
c) a = 2 l, b = 800 ml. 5. Njehso an[tarin e panjohur te raporti, n[ qoft[
se [sht[ dh[n[ vlera e tij:
2. Shkruaje raportin e anasjellt[ p[r ]donj[rin
prej raporteve te detyra paraprake. a) x : 5 = 3; c) 6,5 : y = 13;
2 1
3. Raportet q[ vijojn[ paraqiti n[ form[ t[ b) x : 1,3 = 6; ]) 4 :y=3 .
3 3
raporteve an[tar[t e t[ cil[ve jan[ numra t[
plot[. 6. Cakto raportin e brinj[s dhe perimetrit t[:
2 4 a) trek[nd[shit brinj[nj[sh[m;
a) 0,3 : 0,6; b) 0,35 : 0,7; c) : ;
5 3 b) pes[k[nd[shit brinj[nj[sh[m;
c) gjasht[k[nd[shit brinj[nj[sh[m.
]) 2 3 : 5 , 2 ; d) 5 1 : 3 5 .
5 4 2
Cil[t prej tyre jan[ t[ barabart[ nd[rmjet vedi? Segmentet proporcionale 7

7. {sht[ dh[n[ segmenti AB = 24 cm dhe n[ t[ 9. Te trek[nd[shi k[nddrejt nj[ri prej k[ndeve
[sht[ 60 o. Me se [sht[ i barabart[ raporti i
[sht[ zgjedhur pik[ C, ashtu q[ AC = 18 cm . hipotenuz[s dhe katet[s s[ vog[l?
T[ caktohet:
10. Shuma e gjat[sive t[ dy segmenteve [sht[ 35,
a) AC : CB kurse ndryshimi i tyre [sht[ 7.
b) raporti i segmentit m[ t[ shkurt[r ndaj T[ caktohet raporti i atyre segmenteve.
segmentit m[ t[ gjat[.

8. Segmenti m[ i vog[l nd[rmjet dy segment[ve Përpiqu! ...
p[rfshihet te segmenti m[ i madh 7 her[ dhe
ngel segmenti q[ p[rfshihet te segmenti i vog[l
Tre pula p[r tre dit[ kan[ b[r[ tre vez[.
2 her[. Sa [sht[ i gjat[ segmenti m[ i gjat[, n[
qoft[ se dihet se segmenti m[ i vog[l [sht[ i a) Sa vez[ do t[ b[jn[ gjasht[ pula p[r gjasht[
gjat[ 1 cm? dit[?
b) Sa pula p[r 100 dit[ do t[ b[jn[ 100 vez[?

2 SEGMENTET PROPORCIONALE

Kujtohu! A 1. Jan[ dh[n[ kat[r segmente me gjat[si
AB = 40 cm , PQ = 7 cm ,
Si jan[ nd[rmjet vedi raportet 12 : 8 dhe
6 : 4? CD = 8 cm , RS = 35 cm.
}ka paraqet barazia e raporteve t[ barabarta: A mundesh prej tyre t[ formosh
12 : 8 = 6 : 4? p[rpjes[tim?
N[ qoft[se raportet a : b dhe c : d jan[ t[ Formo prej tyre ndonj[ p[rpjes[tim.
barabart[, at[her[ barazia
V[re, p[r shembull:
a c
a : b = c : d, d.m.th. = 40 cm : 8 cm = 35 cm : 7 cm,
b d d.m.th. prej gjat[sive t[ segmenteve mund t[
quhet p[rpjes[tim, kurse numrat a, b, c, d formohet p[rpjes[tim
jan[ an[tar[ t[ atij proporcioni. 40 : 8 = 35 : 7.

Cili prej atyre numrave [sht[ an[tar i par[, P[r k[t[ shkak, mund t[ thuhet se ]ifti i
dhe cili [sht[ an[tari i tret[ i p[rpjes[timit? segmenteve AB, CD dhe RS, PQ jan[ pro-
Cil[t jan[ an[tar[t e jasht[m, dhe cil[t jan[ porcional.
an[tar[t e brendsh[m?
Cakto prodhimin e an[tar[ve t[ jasht[m dhe Në përgjithësi
prodhimin e an[tar[ve t[ brendsh[m t[
p[rpjes[timit 12 : 8 = 6 : 4. P[r dy ]ifte t[ segmenteve a, b dhe c, d
Si jan[ nd[rmjet veti ato prodhime? thuhet se jan[ proporcional, n[ qoft[ se gjat[sit[
e tyre formojn[ p[rpjes[tim.

a c
a : b = c : d , d.m.th. 
b d

Vlera k e raporteve t[ barabart[ a : b dhe c : d t[ ]ifteve t[ segmenteve proporcional a, b dhe
c, d quhet koeficienti i p[rpjes[timit.
Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit i segmenteve AB, CD dhe RS, PQ nga detyra 1?

Si do ta caktosh koeficientin e Do ta caktoj vler[n e raportit AB : CD ,
proporcionit t[ segmenteve?
d.m.th. 40 cm : 8 cm = 40 : 8 = 5; k = 5.

a
2. Jan[ dh[n[ segmentet a = 2 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm. b
c
Trego se a, b dhe c, d jan[ proporcional. Cili [sht[ koeficienti
i p[rpjes[timit? d
Shkruaj p[rpjes[tim t[ segmenteve a, b dhe c, d. Cakto prodhimin e an[tar[ve t[ jasht[m dhe
prodhimin e an[tar[ve t[ brendsh[m. Si jan[ ato prodhime nd[rmjet veti?

Në përgjithësi vlen!

Prodhimi i an[tar[ve t[ jasht[m t[ nj[ p[rpjes[tim [sht[ i barabart[ me prodhimin e an[tar[ve t[
tyre t[ brendsh[m, d.m.th.
N[se a : b = c : d , at[her[ a ⋅ d = b ⋅ c
Kjo rregull[ quhet vetia themelore e p[rpjes[timit.

P[r ]donj[r[n prej kat[r segmenteve proporcional a, b, c, d thuhet se [sht[ proporcionalja e kat[rt
gjeometrike e tre t[ tjerave.
bc
P[r shembull, d = [sht[ proporcionalja gjeometrike e kat[rt e segmenteve a, b, c te p[rpjes[timi
a
a : b = c : d.

3. Cakto gjat[sin[ e proporcionales s[ kat[rt gjeometrike x t[ segmenteve a = 6 cm, b = 8 cm,
c = 12 cm te p[rpjes[timet:
a) a : b = c : x; b) x : c = a : b; c) a : x = b : c.
Krahaso zgjidhjen t[nde p[r a) me zgjidhjen e dh[n[:
a : b = c : x; 6 : 8 = 12 : x; 6x = 8 ⋅ 12; x =16 cm.

Kujtohu! B 4. Jan[ dh[n[ segmentet a = 9 cm dhe
b = 4 cm. Cakto segment x, ashtu q[
P[r numrat 5 dhe 20 cakto numrin x ashtu
a : x = x : b.
q[ 5 : x = x : 20.
Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.
}ka paraqet numri 5 ⋅ 20 (= 10) p[r numrat
5 dhe 20?
p[rpjes[timi 9 : x = x : 4, sipas vetis[ themelore
sillet n[ barazimin x2 = 9 × 4, pra x = 36 = 6 ;
Cakto mesin gjeometrik t[ numrave 2 dhe 32.
x = 6 cm.


V[re se numri 6 [sht[ mesi gjeometrik i numrave 4 dhe 9.

Mbaj mend!

Mesi gjeometrik (ose proporcionalja e mesme gjeometrike) e dy segmenteve a dhe b quhet
segmenti me gjat[si x ashtu q[ a : x = x : b, d.m.th.

a=x
x b
 x 2 = ab  x  ab

5. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve:
a) a =12 cm, b = 27 cm; b) a = 5 cm, b = 12 cm.
a
6. Konstato me matje se segmenti b nga vizatimi a [sht[ mesi gjeometrik
b
i segmenteve a dhe c.
c

8 10 8 + 4 10 + 5
C 7. {sht[ dh[n[ p[rpjes[timi = . Trego se [sht[ p[rpjes[tim dhe barazi = .
4 5 4 5

Në përgjithësi vlen

a c a+b c+d
N[se = , at[her[ = . P[rpiqu ta v[rtetosh k[t[.
b d b d

a c a c a b c d a+b c+d
V[reve se: nga = vijon + 1= + 1; pastaj: + = + , d.m.th. = .
b d b d b b d d b d

8. Trego se vlen edhe pohimi i anasjellt[.
a+b c+d a c
N[se = , at[her[ = .
b d b d

Kujtohu! Kur tre ose m[ shum[ raporte jan[ t[ barabarta, at[her[ ato mund t[ shkruhen n[ form[ t[
a b c
p[rpjes[timit t[ vazhduar, si p[r shembull: = = .
a1 b1 c1

P[r at[ vlen:
a +b +c = a = b = c
a1 + b1 + c1 a1 b1 c1


Duhet të dish:
Kontrollohu!
ta p[rkufizosh konceptin e p[rpjes[timit;
t[ caktosh an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi; Cakto an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi
10 : a = 15 : 6.
t[ sqarosh cil[t ]ifte t[ segmenteve jan[
Cakto gjat[sin[ e proporcionales s[ kat[rt
proporcional;
gjeometrike x t[ segmenteve a = 4 cm, b = 5 cm,
t[ caktosh mesin gjeometrik t[ dy segmenteve. c = 8 cm te p[rpjes[timi a : b = c : x.

Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve
a = 2 cm dhe b = 8 cm.
Detyra

1. Cili num[r duhet t[ q[ndron n[ vend t[ 6. Te ΔABC k[nddrejt n[ vizatim, segmenti CD
shkronj[s a q[ t[ jet[ e sakt[ barazia: [sht[ lart[sia e l[shuar ndaj hipotenuz[s AB.
5 a a 3
a) = ; b) = ? C
2 8 14 7
2. Formo p[rpjes[tim me gjat[sit[ e kat[r
segmenteve: 28 cm; 16 cm;1,2 dm; 2,1 dm.

3. Cakto gjat[sin[ x t[ proporcionales s[ kat[rt
gjeometrike a, b, c n[ p[rpjes[timin
a : b = x : c, n[ qoft[ se:
1 3 2 A D B
a) a = dm, b = dm, c = dm;
2 4 3 Me matje, konstato se:
b) a = 2 m, b = 3 m, c = 4 m. a) segmenti CD [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve
AD dhe DB;
4. Te DABC n[ vizatim [sht[ dh[n[:
b) segmenti AC [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve
CM : MA = CN : NB . N[ ]do rresht nga tabela
AD dhe AB.
jan[ dh[n[ disa gjat[si. Cakto gjat[sit[ q[
mungojn[. 7. Cakto x dhe y, n[ qoft[ se:
C x y 3 7 y 1
a) = = ; b) = = .
CM MA CN NB 4 5 2 x 6 4
a) 8 6 4
M N 8. Trego se prej p[rpjes[timi a = c mund t[
b) 6 4 5 b d
c) 8 8 4 fitohen p[rpjes[timet:
A B a b b d c d
= ; = ; = .
c d a c a b
5. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve a dhe
b, n[ qoft[ se:
a) a = 2 cm, b = 8 cm; 9. V[rteto se: n[ qoft[ se a = c , at[her[
b d
4
b) a = 4 dm , b = 12 cm; a -b c - d
5 = .
b d
c) a = 7 cm, b = 14cm.

3 NDARJA E SEGMENT{VE N{ PJES{ T{ BARABART{

Kujtohu! A 1. N[ vizatim [sht[ paraqitur k[ndi SOT
dhe n[ krahun OS jan[ bartur segmenta
Si do ta ndash segmentin e dh[n[ n[ pjes[ t[
barabart[: t[ barabart[ OA = AB = BC .
a) n[ dy; b) n[ kat[r?
P[r ΔFGH dhe ΔPQR n[ vizatim [sht[ dh[n[:
α = α1, β = β1, FG = PQ .
H R

α β α1 β1
F G P Q
Si jan[ nd[rmjet veti ato trek[nd[sha? N[p[r pikat A, B dhe C jan[ t[rhequr nd[rmjet veti
drejt[za paralele p, q dhe r, t[ cilat e presin
Si jan[ nd[rmjet veti brinj[t p[rkat[se t[
p[rkat[sisht krahun OT n[ pikat A1, B1 dhe C1.
trek[nd[shave t[ puthitsh[m?

P[r segment[t OA1, A1B1 dhe B1C1 thuhet se jan[ p[rgjegj[se p[r segmentet (me radh[):OA, AB dhe BC.
Mati segmentet OA1, A1B1, B1C1. }far[ p[rfundon?

2. N[ lidhje me vizatimin nga detyra 1, p[rpiqu t[ v[rtetosh se
O A 1 = A 1B 1 = B 1.C 1

Shihe vizatimin te i cili jan[ t[rhequr edhe segmentet A1B2
dhe B1C2, paralele me krahun OS, dhe jan[ sh[nuar disa
k[nde me numrat.

V[re ΔOAA1 dhe ΔA1B2B1 poashtu v[re:

 1 = 3, 2 = 4 (Pse?)  OA = A B 1 2 (Pse?)

 ΔOAA ≅ ΔA B B , dhe OA = A B (Pse?).
1 1 2 1 1 1 1

V[re ΔA1B2B1 dhe ΔB1C2C1. Trego se ato jan[ t[ puthitsh[m dhe se A1B1 = B1C1 .

V[re dhe mbaje mend k[t[ teorem[ p[r segmentet e barabart[ t[ krah[ve t[ nj[ k[ndi.

N[ qoft[ se n[ nj[rin krah t[ k[ndit t[ dh[n[ jan[ bartur segmente t[ barabart[ dhe n[p[r skajet e tyre
jan[ t[rhequr drejt[za paralele q[ e presin krahun tjet[r t[ k[ndit, at[her[ ato drejt[za presin edhe te
krahu tjet[r segmente t[ barabart[ nd[rmjet veti.


N[ baz[ t[ k[saj teoreme mund ta ndash segmentin e dh[n[ n[ pjes[ t[ barabarta p[r ]fardo num[r t[
dh[n[.

3. Segmentin AB n[ vizatim ndaje n[ 5 pjes[ t[ barabarta.
A B

Si do ta zbatosh teorem[n Te pika A do t[ t[rheq ]far[do gjysm[drejt[z
paraprake q[ ta ndash dhe n[ t[ me fillim n[ pik[n A do t[ barti 5
segmentin AB n[ 5 pjes[ t[ segmente t[ barabart[. Pastaj do t[ t[rheq
barabarta? drejt[za paralele, sipas teorem[s.

P[rcille zgjidhjen dhe v[re m[nyr[n p[r ndarjen e segmentit n[ pjes[ t[ barabarta.

 T[rhiq ]far[do gjysm[drejt[z AS si n[ vizatim.
 Te AS, duke filluar prej A, pes[ her[ barte ]far[do segment t[ zgjedhur, p[r shembull AE; me at[ do
t[ fitosh pes[ pika, pik[n e pest[ sh[noje me C.

 T[rhiqe, s[ pari, drejt[z[n CB dhe pastaj, n[p[r ]donj[r[n prej pikave t[ fituara n[ AC, t[rhiq drejt[z
paralele me drejt[z[n CB; ato drejt[za e ndajn[ segmentin AB n[ pes[ pjes[ t[ barabarta.
Sqaro pse ato 5 pjes[ jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti.

4. Vizato segment AB me gjat[si 7 cm dhe ndaje n[ 6 pjes[ t[ barabarta.

5. Vizato nj[ segment dhe cakto mesin e tij, duke shfryt[zuar teorem[n p[r segmentet e barabart[.

Kujtohu!
B 6. Vizato segment AB t[ gjat[ 6 cm.
Te segmenti AB [sht[ sh[nuar pika M ashtu a) Ndaje n[ 5 pjes[ t[ barabarta.
q[: AM = 4 cm dhe MB = 3 cm . b) Sh[no pik[n M ashtu q[

AM : MB = 3 : 2 .
A M B
N[ ]far[ raporti pika M e ndan segmentin AB?


Krahasoje zgjidhjen t[nde me zgjidhjen t[ dh[n[ n[
vizatim.

7. Vizato segmentin AB dhe ndaje n[ dy pjes[ raporti i
t[ cilave [sht[ 3 : 4.
S[ pari, ndaje segmentin AC n[ 3+4=7 pjes[ t[ barabarta.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[
n[ vizatim, ku [sht[ marr[ AK = 3 ⋅ AE dhe
KM || CB.
K[shtu [sht[ fituar AM : MB = 3 : 4 .

Sqaro pse AM : MB = 3 : 4 .

Ky nd[rtim quhet ndarja e segmentit n[ raport t[ dh[n[

8. Segmenti AB n[ vizatim [sht[ ndar[ me pik[n M n[ raport A M B
3 : 2. Gjithashtu, segmenti CD me pik[n N [sht[ ndar[ n[
raportin e nj[jt[ 3 : 2. C N D
Formo p[rpjes[tim p[r pjes[t e segmentit AB dhe prej
segmentit CD.

Nj[ mund[si [sht[: AM : MB = CN : ND , q[ do t[ thot[ AM, MB jan[ segmente proporcionale me
segmentet CN, ND. Prandaj themi se segmentet AB dhe CD jan[ ndar[ proporcionalisht.

Duhet të dish:

P[r dy segmente thuhet se jan[ ndar[ proporcionalisht, n[ qoft[ se raporti i pjes[ve t[ nj[rit
segment formon p[rpjes[tim me raportin e pjes[ve t[ segmentit tjet[r.

9. Vizato dy segmente me gjat[si 7 cm dhe 4 cm dhe ndaji proporcionalisht n[ raport 1 : 2.


Duhet të dish: Kontrollohu!

t[ ndash segment n[ pjes[ t[ barabarta dhe ta Vizato segment AB t[ gjat[ 5 cm dhe ndaje n[
sqarosh m[nyr[n; 3 pjes[ t[ barabarta. Pastaj, sh[no pik[n M q[ e
ndan segmentin AB n[ raport 2 : 1.
t[ ndash segmentin n[ raport t[ dh[n[;
Shkruaj p[rpjes[tim nd[rmjet pjes[ve t[
t[ sqarosh kur dy segmente jan[ ndar[ segmenteve PQ dhe RS t[ cil[t me pikat H dhe
proporcionalisht. K n[ vizatim jan[ ndar[ proporcionalisht.

2 6
P H Q
3 1
R K S
Detyra

1. Vizato segment t[ gjat[ 6 cm dhe ndaje n[ 6. Pika M e ndan segmentin AB n[ raport
pjes[ t[ barabarta:
AB : MB = 5 : 3. Gjat[sia e segmentit AM [sht[
a) n[ tre b) n[ shtat[.
4,8 dm. Cakto gjat[sin[ e segmentit MB; AB.
2. Vizato segment AB dhe ndaje n[ raport
a) 2 : 1; b) 5 : 2.
7. P[r sa duhet t[ vazhdohet segmenti AB = 12 cm q[
3. Vizato segment me gjat[si 10 cm dhe ndaje: t[ fitohet segment AC i cili do te plot[soj[
a) n[ 7 pjes[ t[ barabarta; p[rpjes[timin AC : BC = 5 : 2 ?
b) n[ raport 4 : 3;
c) n[ tre segmente n[ raport 1 : 2 : 4.

8. Pika M e ndan segmentin AB n[ raport
4. Vizato DABC dhe brinj[t e tij ndaji n[ nga tre AM: MB = 3 : 2 . Cakto raportet AM : AB dhe
pjes[ t[ barabarta.
AB : MB .

5. Vizato ΔABC dhe n[ mesoren AA 1. Cakto
pik[n e r[ndimit T t[ trek[nd[shit n[ at[
m[nyr[ q[ AA 1 ta ndash n[ raport
AT : TA1 = 2 : 1 .


4 TEOREMA E TALESIT P{R SEGMENTET PROPORCIONALE

Kujtohu! A 1. N[ vizatim [sht[ dh[n[ k[ndi i ngusht[
SOT. N[ krahun OS [sht[ zgjedhur
Si ndahet segmenti i dh[n[:
pika B, kurse n[ krahun OT pika D.
a) n[ pjes[ t[ barabarta; N[p[r B dhe D [sht[ t[rhequr drejt[za
b) n[ raportin e dh[n[ m : n?
p. T
D
Sqaro nd[rtimin.
p

O B S

N[ segmentin OB cakto pik[n A, ashtu q[ OA : AB = 3 : 2 .
N[p[r pik[n A t[rhiq drejt[z q || p. Drejt[za q le ta prej[ OT n[ pik[n C.
Trego se OC : CD = 3 : 2 .

}ka do t[ shfryt[zosh q[ t[ tregosh Do ta shfryt[zoj m[nyr[n dhe
gjykimin p[r ndarjen e segmentit n[
se OC : CD = 3 : 2 ?
raport t[ dh[n[.

N[ vizatim [sht[ dh[n[ zgjidhja e detyr[s.
P[rgjigju n[ k[to pyetje.
Si [sht[ ndar[ segmenti OB n[ 5 pjes[ t[ barabarta?
Si [sht[ p[rcaktuar pika A ashtu q[ OA : AB = 3 : 2 ?
Pse OC : CD = OA : AB = 3 : 2 ?
V[re dhe mbaj mend gjykimin t[ quajtur teorema e Talesit p[r
segmentet proporcionale.

N[ qoft[ se krah[t e nj[ k[ndi priten me dy drejt[za t[ ndryshme paralele,
at[her[ segmentet q[ fitohen n[ nj[rin krah jan[ proporcionale me segmentet
p[rkat[se t[ krahut tjet[r.
D
C
AC || BD  OA : AB = OC : CD
O A B

2. N[ vizatim [sht[ marr[ AC || BD.
N[ qoft[ se OA = 4 dm , AB = 5 dm , OC = 8dm ,
cakto CD ;
trego se OA : OB = OC : OD .


N[ p[rgjith[si vlen: prej barazis[ OA : AB = OC : CD (te teorema e Talesit) fitohet barazia
OB : OA = OD : OC ose

OA :OB = OC:OD .

Duke e shfryt[zuar k[t[ veti p[r p[rpjes[timet, prej AB : OA = CD : OC vijon
(AB + OA) : OA = (CD + OC) : OC .

Trego se OB : OA = OD : OC .
C
3. N[ vizatim [sht[ dh[n[ DABC dhe drejt[za MN || AB q[ i pret
dy brinj[t tjera AC dhe BC.
Konstato se brinj[t AC dhe BC me drejt[z[n M N
MN jan[ ndar[ proporcionalisht, d.m.th.
CM : MA = CN : NB .
N[ qoft[ se ke nevoj[ p[r ndihm[... A B
S[ pari, v[re se krah[t e “ACB jan[ prer[ me drejt[zat paralele MN dhe AB. Pastaj, zbato teorem[n e
Talesit.
T
D
B 4. Vizato k[ndin SOT dhe barti segmentet si n[ C
vizatim: OA = 4 cm , OB = 6 cm , OC = 3 cm ,

OD = 4,5 cm . O A B S

Bindu se segmentet OA, OB dhe OC, OD jan[
proporcionale, d.m.th. OA : OB = OC : OD .
T[rhiqi drejt[zat AC dhe BD. Pastaj, me ndihm[n e dy trek[ndshave, provo se a jan[ paralele
ato drejt[za.

N[ qoft[ se ke vizatuar dhe matur mjaft mir[, sigurisht ke p[rfunduar se AC || BD.

N[ p[rgjith[si vlen!

N[ qoft[ se dy drejt[za presin prej krah[ve t[ ndonj[ k[ndi segmente paralele, at[her[ ato drejt[za
jan[ paralele.

T
D
C
OA : OB = OC : OD  AC || BD
O A B S

Kjo veti e segmentave paralele quhet teorema e anasjellt[ e Talesit.


R
5. Konstato p[r cil[t prej k[tyre gjat[sive sipas vizatimit do t[ jet[ MN || PQ:
a) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18;
M N
b) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6;
c) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14.
P Q

Duhet të dish

ta shprehish teorem[n e Talesit dhe ta zbatosh n[ detyra t[ zakonshme;

ta shprehish teorem[n e anasjellt[ t[ Talesit dhe ta zbatosh n[ detyra t[ zakonshme.

Kontrollohu!

N[ vizatim [sht[ dh[n[ PQ || BC. Plot[soji k[to pohime q[ t[ jen[ t[ sakta: C
Q
a) AP : AB = : ; c) : = AQ : QC ;
b) AP : PB = : ; ]) AC : AQ = : .
A P B
E
28
C
P[r segmentet e sh[nuara a do t[ jet[ BC || DE?
35

20 16
A B D

Detyra

1. N[ vizatim [sht[ marr[ AC || BD. 2. Te ΔABC n[ vizatim [sht[ dh[n[ MN || AB.
D
C
a) Cakto CN , n[ qoft[ se:
C
CM = 12 ; CA = 18 ; BN = 8 ; M N

b) Cakto CM , n[ qoft[ se:
O A B
CM = NB , MA = 4 dhe A B
Cakto OB , n[ qoft[ se:
CN = 9 .
OA = 4 cm , OC = 6 cm , OD = 9 cm .


3. Te ]donj[ri prej trek[nd[shave n[ vizatim 6. Trego se prej p[rpjes[timi D
[sht[ t[rhequr segment paralel me baz[n dhe C
OA : AB = OC : CD
jan[ sh[nuar gjat[sit[ e disa segmenteve.
fitohen p[rpjes[timet:
O A B
a 1 x m a) AB : OA = CD : OC ; c) OB : AB = OD : CD ;
c x k 2
b) OB : OA = OD : OC ; ]) OA : OB = OC : OD .
b x n 1
1 d
2 x

Te t[ kat[r rastet cakto x, duke llogaritur se Përpiqu! ...
shkronjat tjera jan[ numra t[ dh[n[. Nuk është e domosdoshme

4. Krah[t e SOT (n[ vizatim) jan[ prer[ me 7. N[ vizatim [sht[ dh[n[ DABC te CD [sht[
drejt[za paralele AA 1 , BB 1 dhe CC 1 , ku simetrale e k[ndit pran[ kulmit C. Pastaj, [sht[
vazhduar brinja AC dhe [sht[ t[rhequr
OA : AB : BC = 2 : 3 : 1 dhe OA1 =6 cm. Cak- drejt[za BE || DC.
to gjat[sit[ e segmenteve A1B1 dhe B1C1.
a) V[rteto se ΔBEC [sht[
dybrinj[nj[sh[m me krah
BC = CE .

b) V[rteto se simetralja e ACB te ΔABC e ndan
brinj[n e p[rballt[ AB n[ dy pjes[ q[ jan[
proporcionale me dy brinj[t tjera, d.m.th.
5. P[r segmentet e sh[nuar n[ vizatimin a); b), AD : DB = CA : CB , d.m.th.
provo a do t[ jet[ BC || DE. Sqaro p[rgjigjen (c - x) : x = b : a.
t[nde.

a) 18

24

b)


5 DETYRA ME ZBATIMIN E TEOREM{S S{ TALESIT

Kujtohu! A 1. Vizato ΔABC. Pastaj, t[rhiq drejt[z
Si thot[ teorema e Talesit p[r segmentet B1C1 q[ do t'i prej[ krah[t e A dhe
proporcionale? [sht[ paralele me brinj[n BC, si n[ vizatim.
Shprehe teorem[n e anasjellt[ t[ teorem[s s[ C
Talesit.
C1
Si jan[ nd[rmjet veti raportet AB : AB1 dhe AC : AC1 ?
Mati me kujdes segmentet AB, AB1; BC, B1C1 dhe pastaj njehso raportet
AB : AB1 dhe BC : B1C1 . A B1 B
}ka v[ren?
N[ qoft[ se ke vizatuar dhe matur mjaft preciz, sigurisht v[reve se segmentet AB, AB 1 jan[
proporcionale me segmentet BC, B1C1, d.m.th.

AB : AB1 = BC : B1C1 = AC : AC1


N[ qoft[ se n[ nj[ trek[nd[sh [sht[ t[rhequr drejt[z q[ [sht[ paralele me nj[ brinj[ dhe i pret dy
brinj[t tjera t[ trek[nd[shit, at[her[ fitohet trek[nd[sh i ri brinj[t e t[ cilit jan[ proporcionale me
brinj[t e trek[nd[shit t[ dh[n[.
C
2. P[rpiqu ta v[rtetosh pohimin te detyra 1, duke zbatuar teorem[n
e Talesit. C1
a
{sht[ dh[n[: te ΔABC, drejt[za B1C1 || BC (si n[ vizatim).
a1
BC AC AB a b c
V[rteto se: = = , pra = = , A B1 B
B1C1 AC1 AB1 a1 b1 c1
C
ku: BC = a , AC = b , AB = c , B1C1 = a1 , AC1 = b1 , AB1 = c1 .
C1

Vizatimi i dh[n[ [sht[ plot[suar me t[rheqjen e drejt[z[s F
B1F paralele me AC. Si do ta zbatosh teorem[n e Talesit
q[ t'i v[rtetosh barazit[ e dh[na?
A B1 B

Do t'i shkruaj p[rpjes[timet prej segmenteve proporcionale q[ jan[ fituar p[r k[ndet: BAC
dhe ABC. Pastaj do t[ kryej krahasimin.

Krahaso mendimin t[nd me zgjidhjen e dh[n[.


AB AC
 BAC [sht[ prer[ me B1C1 || BC, pra sipas teorem[s s[ Talesit: =
AB1 AC1
(1)

AB BC
 ABC [sht[ prer[ me B1F || AC, sipas teorem[s s[ Talesit: =
AB1 FC
(2)

 Kat[rk[nd[shi B1FCC1 [sht[ paralelogram (pse?), pra: FC = B1C1 ; pas z[v[nd[simit te (2), fitohet

AB BC BC AB AC a c b
= . (3)  Prej (1) dhe (3): = = , d.m.th. = = .
AB1 B1C1 B1C1 AB1 AC1 a1 c1 b1
Ky pohim quhet edhe teorema e Talesit p[r trek[nd[shin.

Vlen edhe pohimi i anasjelltë!

N[ qoft[ se nj[ drejt[z gjat[ prerjes s[ dy C
brinj[ve t[ trek[nd[shit i ndan ato n[ m p m:n=p:q FG || AB
segmente proporcionale, at[her[ ajo F G

drejt[z [sht[ paralele me brinj[n e tret[ t[ q
n
trek[nd[shit.
A B

C
3. N[ ΔABC te vizatimi MN || BC.
N
Cakto raportin BC : MN , n[ qoft[ se AM = 12, AB = 18 .

Cakto MN , n[ qoft[ se AB = 15, BC = 10 dhe M [sht[ mesi i AB. A M B

 Provo zgjidhjen p[r MN sipas vetis[ p[r vij[n e mesme t[ trek[nd[shit!
p q
4. Drejt[zat p dhe q n[ vizatim jan[ prer[ me tre drejt[za nd[rmjet veti A B
paralele. Trego se segmentet p[rkat[se a, a' jan[ proporcionale me a a'
segmentet b, b', d.m.th.
a : a' = b : b'. b b'
P[rcille zgjidhjen e detyr[s. C D
 T[rhiqe segmentin AD, si n[ vizatim, dhe v[re se krah[t e CAD dhe t[ p q
ADB jan[ prer[ me nga dy drejt[za paralele, pra: A B
a : b = x : y dhe a' : b' = x : y. a x a'
 Pasi an[t e djathta t[ barazis[ jan[ t[ barabarta, mund t[ p[rfundosh se b y b'
a : b = a' : b' d.m.th. a : a' = b : b'.
C D
Sipas vizatimit paraprak, [sht[ dh[n[ a = 3, b = 5 dhe b' = 7. Cakto gjat[sin[ e segmentit a'.
D C
5. P[r trapezin ABCD n[ vizatim [sht[ dh[n[: MN || AB, AD = 18 cm , M N
BC = 24 cm dhe DM = 3 cm . Cakto BN dhe NC .
A B


a
B 6. Jan[ dh[n[ segmentet a, b, c sikurse n[ vizatim.
b
Cakto segmentin x ashtu q[ a : b = c : x, d.m.th. nd[rto proporcionalen c
e kat[rt gjeometrike t[ segmenteve a, b, c.

N[ qoft[ se nuk mund ta zgjidhish vet detyr[n,
 Kujtohu n[ teorem[n e Talesit.
 Vizato k[ndin SOT dhe barti segmentet a=OA ,
b= AB dhe c=OC , si n[ vizatim.
 T[rhiq drejt[z n[p[r B, paralele me AC dhe prerjen
sh[noje me D.
 x=CD [sht[ segmenti i k[rkuar. (Pse?)

Proporcionalja e kat[rt gjeometrike x e segmenteve a, b, c mund
t[ fitohet edhe sipas vizatimit tjet[r.

Shqyrto vizatimin dhe sqaro m[nyr[n.

7. P[r segmentet a = 4 cm, b = 6 cm dhe c = 5 cm, nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometrike:
bc ac
a) x = ; b) x = .
b)
a b
bc
S[ pari v[re se x = mund ta formosh p[rpjes[timin x : c = b : a.
a

8. Vizato dy segmente a = 3 cm dhe b = 2 cm. Nd[rto segmentin x, ashtu q[ x = ab.

S[ pari v[re se prej x = ab mund ta formosh p[rpjes[timin 1: a = b : x; pastaj kryeje nd[rtimin.

Duhet të dish:
Kontrollohu!
ta shprehish teorem[n e Talesit
p[r trek[nd[shin dhe ta zbatosh P[r ΔABC [sht[ dh[n[: MN || AB. Cakto brinj[t e tij sipas
n[ detyra t[ ndryshme; t[ dh[nave n[ vizatim.
Sqaro m[nyr[n p[r nd[rtimin e proporcionales s[ kat[rt
t[ nd[rtosh proporcionalen e kat[rt gjeometrike x t[ tre segmenteve t[ dh[n[ a, b, c.
gjeometrike p[r tre segmente.


Detyra 6. Vizato tre segmente a, b, c. Pastaj, nd[rto
segment x, ashtu q[:
1. Te trapezi ABCD n[ vizatim, me baza a) x : a = b : c; b) a : x = b : c;
c) a : b = x : c.
AB = 12 , CD = 5 dhe krah AD = 7 , jan[ va-
zhduar krah[t AD dhe BC deri 7. Vizato segmente a dhe b. Pastaj nd[rto seg-
ment x, ashtu q[ x = a2.
te prerja e tyre S. Cakto SD .
8. Vizato segmente a dhe b. Pastaj nd[rto seg-
ment x, ashtu q[
a2 b2
a) x = ; b) x = .
b a

9. Brinja DC e trapezit C
2. Cakto lart[sin[ AB t[ ABCD me bazat
D
nj[ druri (n[ vizatim) AD = 8 dhe BC = 20 ,
n[ qoft[ se hija e tij [sht[ ndar[ n[ tre pjes[ t[ x y
BC [sht[ 20 m, barabarta dhe n[p[r pik[-
kurse nj[koh[- prerjet jan[ t[rhequr drejt[za A B
sisht, hija e shkopit paralele me bazat (si n[ viza-
PQ prej 1 m [sht[ tim). Cakto gjat[sit[ x dhe y t[ segmenteve t[
e gjat[ 1,4 m. formuara n[ trapez.

Ndihm[. T[rhiqe drejt[z[n DM paralele me AB dhe
3. Te trapezi D C shqyrto ΔDMC (kujtohu se si e zgjidhe detyr[n 4).
ABCD n[
vizatim, 6 8
P Q 10. N[ vizatim [sht[ paraqitur situata e terenit t[
MN || PQ || AB. Cakto 6 paarritsh[m me pik[n e paarritshme A dhe
gjat[sit[ e krah[ve AD M N pik[n e arritshme B.
dhe BC sipas t[ 3
dh[nave n[ vizatim. A B a) Cakto larg[sin[ e paarritshme BA .
b) Njehso BA , n[ qoft[ se jan[ matur gjat[sit[:

4. Te ΔABC n[ vizatim C BC = 100 m, CE = 250 m dhe CD = 80 m .
brinja BC [sht[ ndar[ k c) Cakto larg[sin[ EA , n[ qoft[ se jan[ matur:
n[ tre pjes[ t[ barabarta dhe x
n[p[r pik[prerjet jan[ k CE = 250 m, CD = 80 m dhe DB = 96 m .
y
t[rhequr drejt[za, paralele me
brinj[n AB, gjat[sia e s[ cil[s k
[sht[ 15 cm. Cakto gjat[sin[ A 15 B
e ]do segmenti, t[ formuar n[
trek[nd[sh.

5. Nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometrike
t[ segmenteve a = 4 cm,
b = 5 cm, c = 3 cm (a : x = b : c).


TREK{ND{SHAT E NGJASH{M

6 FIGURAT E NGJASHME. TREK{ND{SHAT E NGJASH{M

Kujtohu! N[ jet[n e p[rditshme shpesh her[ hasim
A sende q[ e kan[ form[n e nj[jt[, kurse
Krah[t e k[ndit SOT jan[ prer[ me drejt[zat madh[si t[ ndryshme ose t[ nj[jt[:
paralele AC dhe BD. automobili dhe modeli i tij; dy gota, dy karrika etj.
T
D
C

O A B S

Sipas vizatimit, shkruaj raport t[ segmenteve P[r dy figura t[ ngjashme q[ kan[ plot[sisht
q[ [sht[ i barabart[ me raportin: form[ t[ nj[jt[, kurse madh[si t[ ndryshme ose
a) OA : AB; b) OC : OD . t[ nj[jt[, zakonisht themi se jan[ t[ ngjashme.

Sipas cil[s teorem[ i shkruajte raportet?
1. P[r cilat figura mund t[ themi se jan[ t[
N[ vizatim vlen p[rpjes[timi i segmenteve: ngjashme:
OA : AB = OD : DC . dy katror[;
C dy rrath[;
D katrori dhe rrethi?

2. Jan[ dh[n[ dy harta gjeografike t[ Maqe-
O A B donis[. E para n[ raport 1 : 1000000, kurse e
dyta me raport 1 : 500000.
}far[ pozite kan[ drejt[zat AD dhe BC?
A jan[ t[ ngjashme ato harta?
Si jan[ sipas madh[sis[ k[ndet:
a) OAD dhe OBC; b) ODA dhe OCB? N[ hart[n e par[, larg[sia prej Shkupi deri
n[ Kumanov[ [sht[ 4 cm. Sa [sht[ larg[sia
prej Shkupi deri n[ Kumanov[ te harta e
dyt[?

Cili [sht[ raporti i larg[sis[ Shkup - Kumanov[ prej hart[s s[ par[ me larg[sin[ Shkup - Kumanov[ n[
hart[n e dyt[?

Si [sht[ raporti i larg[sis[ nd[rmjet ]far[do dy vendeve t[ hart[s s[ par[ me larg[sin[ nd[rmjet dy
vendeve p[rkat[se t[ hart[s s[ dyt[?


C1
B 3. Shihe vizatimin te i cili kulmet e C
trek[nd[shave ABC dhe A 1 B 1 C 1
shtrihen n[ gjysm[drejt[zat me pik[ B T
O B1
t[ fillimit O dhe formojn[ segmente proporcionale:
A
OA : OA1 = 1 : 2 ; OB : OB1 = 1 : 2 ; A1
S
OC : OC1 = 1 : 2 .
P[r trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 do t[ dallojm[: kulme p[rgjegj[se, k[nde p[rgjegj[se dhe brinj[
p[rgjegj[se, etj.

 kulme p[rgjegj[se jan[: A dhe A1; B dhe B1; C dhe C1;

 k[nde p[rgjegj[se jan[: A dhe A1, B dhe B1, C dhe C1;
 brinj[ p[rgjegj[se jan[: AB dhe A1B1; BC dhe B1C1; AC dhe A1C1.
Trego se brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave ABC dhe A1B1C1 jan[ paralele, d.m.th.
AB || A1B1; BC || B1C1 dhe AC || A1C1.
Trego se k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ t[ barabart[, d.m.th. A = A1; B = B1 dhe
C = C1.
Trego se brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ proporcionale, d.m.th.
AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 = 1 : 2 .

 Pasi OA : OA1 = OB : OB1 , prej teorem[s s[ anasjellt[ t[ Talesit, vijon se AB || A1B1. N[ m[nyr[ t[
nj[jt[ mund t[ tregosh se BC || B1C1 dhe AC || A1C1.
 Pasi AB || A1B1 dhe AC || A1C1, vijon se A = A1, si k[nde me krah paralele. N[ m[nyr[ t[
nj[jt[ mund t[ tregosh se B = B1 dhe C = C1.
 P[rkujtohu n[ teorem[n e Talesit: n[ qoft[ se krah[t e k[ndit SOT jan[ prer[ me drejt[zat paralele
AB dhe A1B1, at[her[ segmentet p[rgjegj[s AB dhe A1B1 jan[ proporcionale me segmentet OA dhe
OA1, d.m.th. OA : OA1 = AB : A1B1 = 1 : 2 . Mund t[ tregosh se raport t[ nj[jt[ kan[ edhe brinj[t
tjera p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave, etj.
AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 = 1 : 2 .
C1
P[r trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 tregove se k[ndet p[rgjegj[se
i kan[ t[ barabarta, kurse brinj[t p[rgjegj[se i kan[ propor- C
cionale. Ato mund t[ jen[ dh[n[ edhe n[ tjet[r pozit[, sikurse
n[ vizatim, n[ an[n e djatht[.
C1 N[ qoft[ se trek[nd[shin ABC e vizaton
n[ flet[ t[ tejdukshme, mund ta A B A1 B1
C
vendosish n[ hap[sir[n e ΔA 1 B 1 C 1
(sikurse n[ vizatim), ashtu q[ brinj[t p[rgjegj[se t'i ken[ paralele. V[re se ΔABC
dhe ΔA1B1C1 kan[ form[ t[ nj[jt[, por madh[si t[ ndryshme, d.m.th. se ato
A B jan[ trek[nd[sha t[ ngjash[m.
A1 B1

Trekëndëshat e ngjashëm 25

Mbaj mend!

P[r dy trek[nd[sha thuhet se jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se k[ndet p[rgjegj[se i kan[ t[ barabarta dhe
brinj[t p[rgjegj[se i kan[ proporcionale.
P[r trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1 shkruajm[: ΔABC ∼ ΔA1B1C1.
Lexohet: ΔABC [sht[ i ngjash[m me ΔA1B 1C 1.
Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve te trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1?

Te detyra 3 v[reve se koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC dhe
1
A1B1C1 [sht[ 1 : 2, d.m.th. .
2
Koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m (ΔABC ~ ΔA1B1C1)
quhet edhe koeficienti i ngjashm[ris[.
N[se shkruan ΔABC∼ΔMNP, kjo do t[ thot[ se kulmet p[rgjegj[se jan[: A dhe M, B dhe N, C dhe
P.
1
4. Te detyra 3 v[reve se ΔABC ∼ ΔA1B1C1 edhe koeficienti i ngjashm[ris[ [sht[ .
2
Pse ΔA1B1C1 ∼ ΔABC dhe cili [sht[ koeficienti i ngjashm[ris[?

Duhet t[ dish:

n[se ΔABC ∼ ΔXYZ, at[her[ AB : XY = BC : YZ = AC : XZ = k dhe A = X, B = Y, C = Z;
ta caktosh koeficientin e ngjashm[ris[ s[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m.

Kontrollohu!
P
N[ vizatim: ΔABC ∼ ΔMNP. C
6 x
Shkruaji: 2 3
a) brinj[t p[rgjegj[se; b) k[ndet p[rgjegj[se.
Cakto koeficientin e ngjashm[ris[. A 4 B M y N
Cakto x dhe y.

Detyra

1. {sht[ dh[n[: ΔABC ∼ ΔRST. 3. N[ vizatimin ΔABC ∼ ΔPQR dhe jan[ sh[nuar
Shkruaji: gjat[sit[ e brinj[ve. Cakto x dhe y.
a)brinj[t p[rgjegj[se, b) k[ndet p[rgjegj[se.
C R
2. Vizato dy trek[nd[sha barabrinj[s, i pari me
brinj[ a = 3 cm, kurse i dyti me brinj[ 4 cm.
12 15
x 10
Trego se ato jan[ t[ ngjash[m.
Cakto koeficientin e ngjashm[ris[.
A 6 B P y Q

4. N[ vizatimin, C 5. Prej ΔABC ≅ ΔA1B1C1, a vijon se ΔABC ∼
ΔABC ∼ ΔMNC. Me ΔA 1B 1C 1? Sqaro.
]ka [sht[ e barabart[
M N 6. Le t[ jen[ M dhe N meset e brinj[ve AC dhe
CB dhe MN , n[ qof-
BC te trek[nd[shi ABC. Trego se ΔMNC ∼
t[ se CM= 5 ; CN = 6 ; ΔABC.
AB=12 dhe CA =15 ?

A B

7 KRITERI I PAR{ P{R TREK{ND{SHAT E NGJASH{M

Kujtohu! A 1. Vizato ΔABC dhe segmentin A 1B 1
q[ [sht[ tre her[ m[ i gjat[ se brinja
Q[ t[ konstatosh se trek[nd[shat ABC dhe AB. Pastaj vizato trek[nd[sh A1B1C1
A1B1C1 a jan[ t[ ngjash[m duhet t[ provosh me brinj[ A1B1,B1A1C1 = A dhe A1B1C1 =
k[ndet e tyre p[rgjegj[se a jan[ proporcionale B.
d.m.th. A = A1, B = B1, C = C1
K[ndet e brendshme p[rgjegj[se t[
dhe AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 . trek[nd[shave ABC dhe A 1B 1C 1 a
jan[ t[ barabart[? Pse?
Krah[t e k[ndit MON jan[ prer[ me drejt[zat
paralele a dhe b, ashtu q[ K[ndet p[rgjegj[se jan[ t[ barabarta;
A = A1 dhe B = B1, sipas
OB : OA = OC : OD = 2 : 1 nd[rtimit;
Shihi trek[nd[shat C N C = C1, pasi
OAD dhe OBC, kurse D C = 180o - A + B) =
pastaj: M = 180o - (A1 + B1) = C1.
cakto raportin e brinj[ve O A B a
b
BC dhe AD; Provo me matje brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔA1B1C1
cakto si jan[ nd[rmjet veti k[ndet p[rgjegj[se me ΔABC a jan[ proporcionale. Cakto koefi-
t[ trek[nd[shave. cientin e p[rpjes[timit.
A [sht[ ΔOBC ∼ ΔOAD?
P[rpiqu t[ sqarosh se brinj[t p[rgjegj[se t[
ΔA1B1C1 dhe ΔABC jan[ proporcionale dhe se
ΔA 1B 1C 1 ∼ ΔABC.
 N[ vizatim jan[ dh[n[ ΔABC dhe ΔA1B1C1, ashtu
q[ A1B1 = 3AB ,A=A1dhe B= B1.

 Q[ t[ tregosh se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC duhet t[
provosh se a jan[ plot[suar gjasht[ k[rkesat
p[r trek[nd[shat e ngjash[m, d.m.th.
A = A1, B = B1, C = C1 dhe A1B1 : AB = B1C1 : BC = A1C1 : AC .


 Ti tregove se k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ t[ barabart[.

 Supozo se ΔABC [sht[ zhvendosur ΔA1B1C1, ashtu q[: kulmi A puthitet me A1, B me B2 dhe kulmi
C me C2; A puthitet me A1, B me A1B2C2 dhe C me B2C2A1.

 Pasi A1B2C2 = B1, vijon se B2C2 || B1C1. Sipas vizatimit, me ndihm[n e teorem[s s[ Talesit p[r
segmentet proporcionale, ke treguar se A1B1 : A1B2 = A1C1 : A1C2 = B1C1 : B2C2 = 3 : 1 , d.m.th.
A1B1 : AB = B1C1 : BC = A1C1 : AC .
Mund t[ p[rfundosh se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC.
V[reve se trek[nd[shat A1B1C1 dhe ABC q[ vizatove kan[ nga dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[ dhe
ti tregove se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC. Prandaj, q[ t[ konstatosh se dy trek[nd[sha a jan[ t[ ngjash[m mjafton
t[ provosh se ato a kan[ dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[.

Mbaj mend!

Dy trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ t[ barabart[ me dy
k[nde t[ trek[nd[shit tjet[r.

Ky pohim quhet kriteri i par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m.

2. N[ vizatim [sht[ dh[n[: A = D = 30o dhe pika C
[sht[ prerje e segmenteve AE dhe BD. V[rteto se
ΔABC ∼ ΔDEC.

C
B 3. Te ΔABC [sht[ t[rhequr segmenti MN paralel me AB.

Trego se α = α 1 dhe β = β 1 .
α1 β1
M N
V[rteto se ΔABC ∼ ΔMNC.
α β
V[re k[t[ gjykim. A B

N[ qoft[ se te nj[ trek[nd[sh [sht[ t[rhequr drejt[z q[ [sht[ paralele me nj[r[n prej brinj[ve dhe
i pret dy brinj[t tjera, at[her[ fitohet trek[nd[sh q[ [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin e dh[n[.

Krahaso k[t[ pohim me teorem[n e Talesit p[r trek[nd[shin.
C
4. Te ΔABC n[ vizatim, jan[ t[rhequr segmentet:
MN || AB dhe NP || AC.
M N
Sa trek[nd[sha v[ren?
Shkruaj cil[t trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m nd[rmjet tyre.
A P B


V[re se: R
}do trek[nd[sh [sht[ i ngjash[m me vet[veten.
Dy trek[nd[sha t[ puthitsh[m jan[ t[ ngjash[m. C

Sa [sht[ koeficienti i tyre i ngjashm[ris[?

5. N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat k[nddrejt[ ABC dhe
PQR, ashtu q[ A = P = α.
α α
Trego se ΔABC ∼ ΔPQR.
A B P Q

V[re se trek[nd[shat kan[ nga dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[: A = P dhe B = Q = 90o.

Sipas kriterit t[ par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m vijon:

 Dy trek[nd[sha k[nddrejt[ jan[ t[ ngjash[m n[ qoft[ se nj[ k[nd i ngusht[ i nj[rit [sht[ i barabart[
me nj[ k[nd t[ ngusht[ t[ trek[nd[shit tjet[r.
C
6. Te trek[nd[shi ABC n[ vizatim [sht[ t[rhequr lart[sia CD dhe
segmenti MN || AB.
M S N
Sa trek[nd[sha k[nddrejt[ mund t[ v[resh dhe cil[t prej tyre
jan[ t[ ngjash[m nd[rmjet veti?
A D B

7. N[ vizatim jan[ dh[n[ dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m ABC dhe
PQR, te t[ cil[t k[ndet pran[ maj[s i kan[ t[ barabarta, d.m.th.
C = R = α.
Trego se A = P.
Trego se ΔABC ∼ ΔPQR.

N[ p[rgjith[si

Dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se k[ndi pran[ maj[s t[ nj[rit trek[nd[sh
[sht[ i barabart[ me k[ndin pran[ maj[s t[ trek[nd[shit tjet[r.

8. Vizato dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m ABC dhe A1B1C1 me baza AB dhe A1B1 p[rkat[sisht, ku
A = A1.
Trego se ΔABC ∼ ΔA 1B1C1.
Shprehe pohimin tjet[r p[r ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave dybrinj[nj[sh[m.


Duhet t[ dish:
ta shprehish kriterin e par[ p[r ngjashm[rin[ e Kontrollohu!
trek[nd[shave; D
N[ skajet e segmentit
cil[t kushte mjaftojn[ p[r ngjashm[rin[ e dy
AB jan[ t[rhequr seg-
trek[nd[shave k[nddrejt[, p[rkat[sisht
dybrinj[nj[sh[m; mentet AC = 3 cm dhe s

t[ konstatosh ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave; BD = 5 cm , normale A
(pingule) n[ AB. N[ M B
t[ caktosh brinj[n e panjohur te trek[nd[shat e ]far[ raporti drejt[za s e
ngjash[m. ndan segmentin AB?
C

Detyra

1. N[ vizatim [sht[ dh[n[ trek[nd[shi ABC dhe 2. {sht[ dh[n[ ΔABC me brinj[ AB = 20 ,
MN || AB.
BC = 12 dhe CA = 16 . N[p[r pik[n M q[
C shtrihet n[ brinj[n BC [sht[ t[rhequr drejt[za
paralele me AB dhe e pren[ AC n[ pik[n N.
Cakto MN , n[ qoft[ se CM = 3 .
M N
3. Te trapezi ABCD, me baza AB dhe CD
diagonalet AC dhe BD priten n[ pik[n S.
B a) V[rteto se ΔABS ~ ΔCDS.
A
b) Cakto CD , n[ qoft[ se AB = 12 , AS = 6

Cakto raportin: dhe SC = 3 .
a) N[ qoft[ se CM : MA = 3 : 2 , at[her[
4. Nd[rto trek[nd[shin A1B1C1 t[ ngjash[m me
CM : CA = ;
ΔABC me brinj[t 4, 5, 6 n[ qoft[ se:
b) N[ qoft[ se CM : MA = 7 : 3 , at[her[ a) brinj[n m[ t[ vog[l e ka 5;
CN : NB = ; 3
b) koeficienti i ngjashm[ris[ [sht[
4
c) N[ qoft[ se CM : CA = 3 : 4 , at[her[
5. Cakto lart[sin[ e nj[ druri hija e t[ cilit [sht[
AB : MN = .
e gjat[ 10 m, kurse nj[koh[sisht, njeriu i lart[
1,7 m e ka hijen e gjat[ 1 m.


8 KRITERI I DYT{ DHE I TRET{ P{R TREK{ND{SHAT E NGJASH{M

Kujtohu! A 1. Vizato ΔABC me A = 60 o brinj[
Cilat prej gjasht[ k[rkesave duhet t[ AB = 3 cm dhe AC = 2cm . Pastaj
plot[sohen p[r dy trek[nd[sha ABC dhe
vizato ΔA 1B 1C 1 me A1 = 60o dhe
A1B1C1 q[ t[ jen[ t[ ngjash[m?
Cilat jan[ kushtet e mjaftueshme, sipas kriterit brinj[ A1B1 = 3AB , A1C1 = 3AC .
t[ par[ t[ trek[nd[shave, q[ t[ jet[ ΔABC ∼ Mati dhe krahasoji: B dhe B1, C
ΔA1B1C1?
dhe C1, BC dhe B1C1 .
}ka p[rfundon?

N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat sipas kushteve C1
t[ detyr[s. Supozo se ΔABC [sht[ zhvendosur ashtu
q[ A puthitet me A 1 dhe ΔABC puthitet me C
trek[nd[shin A 1B2C 2. C2

Cakto raportet: A1B1 : A1B2 ; A1C1 : A1C2 dhe
B1C1 : B 2C2 .
A B A1 B2 B1
Trego se B = B1 dhe C = C1.
Pse ΔABC ∼ ΔA1B1C1?

Cilat elemente p[rgjegj[se t[ dy Jan[ dh[n[ nga dy brinj[ p[rgjegj[se
trek[nd[shave jan[ dh[n[ dhe proporcionale dhe k[nde t[ barabart[ q[
a mjafton q[ t[ tregosh se trek[- i formojn[ ato brinj[. Kjo mjafton q[ t[
nd[shat jan[ t[ ngjash[m? tregosh se trek[nd[shat jan[ t[ ngjash[m.

V[re se si mund t[ shprehet kriteri p[r trek[nd[shat e ngjash[m. Ai quhet kriteri i dyt[ p[r trek[nd[shat
e ngjash[m.

N[ qoft[ se te nj[ trek[nd[sh jan[ p[rkat[sisht proporcionale dy brinj[ t[ trek[nd[shit tjet[r dhe
k[ndet q[ i formojn[ ato brinj[ jan[ t[ barabarta, at[her[ ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.

2. Provo a jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1, n[ qoft[ se:
a) BC = 20, AC = 22, C = 50o ; B1C1 = 30; A1C1 = 33, C1 = 50o .
b) BC = 25, AC = 70, C = 70o ; B1C1 = 50; A1C1 = 139, C1 = 70o .
C
3. Te ΔABC, n[ vizatim, pika M [sht[ mesi i brinj[s AB, kurse N
[sht[ mesi i brinj[s AC.
N
V[rteto se ΔABC ∼ ΔAMN.
Trego se vija e mesme MN e ΔABC [sht[ sa gjysma e gjat[sis[
s[ brinj[s BC. A M B


B 4. Vizato DABC me brinj[ AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4 cm , kurse pastaj ΔA1B1C1 me
brinj[ dy her[ m[ vogla t[ ΔABC.
Mati dhe krahasoji k[ndet: A dhe A1, B dhe B1, C dhe C1. C'p[rfundon?
A [sht[ ΔABC ~ ΔA1B1C1?

Brinj[t p[rkat[se t[ dy trek[nd[- Q[ dy trek[nd[sha t[ jen[ t[ ngjash[m,
shave jan[ proporcionale. A mjaf- mjafton q[ brinj[t p[rkat[se t[ jen[
ton q[ t[ konstatosh se ato jan[ t[ proporcionale, pasi at[her[ k[ndet
ngjash[m ? p[rgjegj[se jan[ t[ barabart[.

V[ren se mund t[ shprehet edhe nj[ kriter p[r trek[nd[shat e ngjash[m. Ai quhet kriteri i tret[ p[r
trek[nd[shat e ngjash[m.
N[ qoft[ se t[ tre brinj[t e nj[rit trek[nd[sh jan[ proporcionale me brinj[t p[rkat[se te trek[nd[shi
tjet[r, at[her[ ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.

3. A jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat me brinj[t:
a) 3, 4, 5 dhe 6, 8, 10; b) 15, 9, 12 dhe 4, 3, 5; c) 2, 2, 3 dhe 6,6, 8; ]) 2; 3; 4 dhe 3; 6; 4,5?

Duhet t[ dish:
Kontrollohu!
t[ shprehish kriterin e dyt[ dhe t[ tret[ p[r
trek[nd[shat e ngjash[m; Brinj[t e ΔABC jan[: a = 6 cm, b = 4 cm dhe
c = 3 cm. Cakto perimetrin e ΔA1B1C1 q[ [sht[
t[ konstatosh ngjashm[rin e dy trek[nd[shave i ngjash[m me ΔABC, kurse brinja e tij m[ e
sipas kriterit t[ dyt[ dhe t[ tret[ p[r trek[nd[shat vog[l [sht[ 6 cm.
e ngjash[m;
Provo se ΔABC dhe ΔPQR a jan[ t[
ngjash[m, n[ qoft[ se: A = 55o,
t[ caktosh brinj[n e panjohur te trek[nd[shat e
ngjash[m. AB = 12 cm, AC = 8 cm, P = 55o,
PR = 12 cm, PQ = 18 cm .
Detyra
3. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi jan[ 6, 5 dhe 4. Brinja
1. Vizato dy trek[nd[sha ABC dhe PQR, kurse m[ e madhe e trek[nd[shit tjet[r, i ngjash[m
pastaj shkruaj cilat kushte duhet t'i plot[sojn[ me trek[nd[shin e dh[n[ [sht[ 9. Cakto
q[ ΔABC ∼ ΔPQR sipas: perimetrin e trek[nd[shit tjet[r.
a) kriterit t[ dyt[; b) kriterit t[ tret[
4. A jan[ t[ ngjash[m dy trek[nd[sha, n[ qoft[
2. Trego se trek[nd[shat ABC dhe EDC jan[ t[ se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ nga 60o
ngjash[m dhe sipas cilit kriter. dhe 70o, kurse dy k[nde t[ trek[nd[shit tjet[r
B E jan[ nga 50o dhe 80o.
4 9
5. K[ndi pran[ maj[s t[ nj[ trek[nd[shi
C dybrinj[nj[sh[m [sht[ 70o. K[ndi pran[ baz[s
A 6 6
D t[ trek[nd[shit tjet[r dybrinj[nj[sh[m [sht[
55 o . V[rteto se ato trek[nd[sha jan[ t[
ngjash[m.

6. Sqaro se a [sht[ ΔABC ∼ ΔMNR, n[ qoft[  ΔABC ∼ ΔA 1B 1C. Pse?

se: BAC = 50o, AB = 4 cm , AC = 6 cm ; Cakto larg[sin[ prej A deri te B n[ qoft[ se
NMR = 50o, MN = 30 cm , MR = 45 cm . BC = 40 m, CB1 = 5 m , kurse B1A1 = 6,5 m.

7. Provo se trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 a jan[
t[ ngjash[m, n[ qoft[ se brinj[t e tyre jan[: 9. Si do ta njehsosh larg[sin[ nd[rmjet pikave t[
a) 15, 17, 24 dhe 4,5; 5,1; 7,2; arritshme A dhe B, n[ teren, n[ qoft[ se
nd[rmjet pikave A dhe B ka pjes[ t[
b) 22; 8,2; 20 dhe 55; 20,5; 50.
paarritshme.
8. Si do ta caktosh larg[sin[ prej pik[s A deri te V[re vizatimin.
pika B, n[ qoft[ se pika A [sht[ e paarritshme?

V[re vizatimin.

 {sht[ zgjedhur pika C
 N[ teren, zgjedhim dhe n[ vazhdim t[ AC
dhe BC, jan[ zgjedhur
pika C dhe B 1 n[
drejt[z[n e nj[jt[ pikat A1 dhe B1, ashtu
me B, ashtu q[
BC = m ⋅ CB1 . q[ AC = n ⋅ CA1 dhe BC = n ⋅ CB1 .

 Me instrument caktojm[ k[ndin  ΔABC ∼ ΔA 1B 1C. Pse?
B1 t[ barabart[ me B.
Cakto larg[sin[ prej A deri te B n[ qoft[ se
 N[ krahun e B 1
caktojm[ pik[n A1, ashtu q[
pikat A, C dhe A1 shtrihen n[ drejt[z[n e nj[jt[. AC = 10 m, CA1 = 2 m dhe A1B1 = 3,5 m .

9 RAPORTI I PERIMETRAVE DHE RAPORTI I SYPRINAVE T{
DY TREK{ND{SHAVE T{ NGJASH{M

Kujtohu! A 1. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi ABC jan[
Njehso perimetrin e trek[nd[shit me brinj[: a = 6 cm, b = 8 cm dhe c = 12 cm.
a = 15 cm, b = 9 cm dhe c = 8 cm. Brinja m[ e vog[l e trek[nd[shit tjet[r
A1B1C1, i ngjash[m me ΔABC [sht[ a1 = 3 cm.
Njehso syprin[n e trek[nd[shit me brinj[
a = 10 cm dhe lart[sin[ p[rkat[se h = 6 cm. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[ s[ trek[n-
d[shave.
N[ qoft[ se tre ose m[ shum[ raporte jan[ t[ Cakto brinj[t b1 dhe c1 t[ ΔA1B1C1.
barabart[, at[her[ ato mund t[ shkruhen n[ Cakto perimetrat e ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1.
form[ t[ p[rpjes[timit t[ vazhduar, p[r
Krahaso raportin e perimetrave t[ trek[nd[shave
a b c me raportin e brinj[ve p[rgjegj[se. }ka
shembull: = = ,d.m.th. a : b : c = a1 : b1 : c1.
a1 b1 c1 p[rfundon?
P[r p[rpjes[timin vlen:
a +b +c a b c
= = = =k .
a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 Trekëndëshat e ngjashëm 33


 T[ njohura jan[ dy brinj[ p[rgjegj[se a dhe a 1
t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m.
a 6
Prandaj = = 2 , d.m.th. k = 2.
a1 3
b c
b 1
=
c1
=k ;  b = kb ;;
8 = 2b
1  12==kc2c ;
c ;1

1 1
b1 = 4 cm; c1 = 6 cm.

V[re se perimetri P i ΔABC [sht[: P = 6 + 8 + 12, d.m.th. P = 26 cm, nd[rsa perimetri P1 i ΔA1B1C1
[sht[: P1 = 3 + 4 + 6, d.m.th. P1 = 13 cm.
26 6 8 12
= = = = 2 . V[reve se raporti i perimetrave t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m [sht[ i
 13 3 4 6
barabart[ me raportin e brinj[ve p[rgjegj[se.


P a b c
N[ qoft[ se ΔABC ∼ ΔA 1B 1 C 1, at[her[    .
P a1 b1 c1
1

 V[rtetimi. Prej ngjashm[ris[ s[ ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1 C1
a b c
vijon: = = . Sipas vetis[ t[ proporcionit t[ C
a1 b1 c1 b1 a1
vazhduar vijon: b a

a +b +c a b c P a b c
= = = , d.m.th.    .
a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 P a1 b1 c1 A c B A1 c1 B1
1

Mbaj mend

Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ n[ raport t[ nj[jt[ me raportin e brinj[ve p[rkat[se.

2. Brinj[t e DABC jan[ a = 6, b = 15 dhe c = 18, kurse ΔA 1B 1C 1 [sht[ i ngjash[m me
1
trek[nd[shin e ngjash[m me koeficientin e ngjashm[ris[ k = . Cakto perimetrin P1 t[ ΔA1B1C1.
3
C
B 3. Trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1, n[ vizatim jan[ t[ C1
ngjash[m. Jan[ t[rhequr lart[sit[ p[rgjegj[se CD
dhe C 1D1.
Trego se ΔADC ∼ ΔA1D1C1.
Trego se lart[sit[ p[rgjegj[se CD dhe C 1D 1 jan[ A D B A1 D1 B1
proporcionale me brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[n-
d[shave.

 V[re se trek[nd[shat k[nddrejt[ ADC dhe A D C 1 1 1
kan[ nga nj[ k[nd t[ ngusht[, d.m.th. A = A1
(pasi ΔABC ∼ ΔA 1B 1C 1).

 Mund t[ p[rfundosh se ΔADC ∼ ΔA1D1C 1. Prej k[tu vijon: CD : C1D1 = AC : A1C1 = k .
CD AC AB BC
 Prej ngjashm[ris[ s[ ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1 vijon: = = =
C1D1 A1C1 A1B1 B1C1
=k .

Te trek[nd[shat e ngjash[m lart[sit[ p[rgjegj[se jan[ proporcionale me brinj[t p[rgjegj[se.

Në përgjithësi

Te dy trek[nd[sha t[ ngjash[m lart[sit[ p[rkat[se, mesoret, simetralet e k[ndeve, rrezet e rrathve t[
brendashkruar dhe jashtashkruar p[rgjegj[se kan[ raport t[ nj[jt[ me brinj[t p[rgjegj[se.

4. Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ 16 cm dhe 24 cm, kurse nj[ra lart[si e trek[nd[shit
t[ par[ [sht[ 9 cm. Cakto lart[sin[ p[rgjegj[se t[ trek[nd[shit t[ dyt[.
C1
V 5. N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat e ngjash[m C
ABC dhe A1B1C1. Syprinat e tyre jan[ S dhe S1. c1 b1
Shkruaji formulat p[r syprinat S dhe S1 sipas brinj[ve c b h1
t[ dh[na dhe lart[sive p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave. h

A a B A1 a1 B1
Shkruaj raport t[ barabart[ me raportin h : h1.
P[rpiqu t[ hjensosh sa [sht[ i barabart[ raporti i syprinave t[ trek[nd[shave, d.m.th.
S : S1.

1 1 1 1 S ah a h
 S  a h S1  a1  h1  S:S 1  ah : a1h1 d.m.th    .
2 2 2 2 S1 a1h1 a1 h1
h a S a a S a2
 Pasi ΔABC ∼ ΔA 1B 1C1 vijon se = .
h1 a1  Prandaj,   ;  2 .
S1 a1 a1 S1 a1
S b2 S c 2
 N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregohet se:  ; 
S1 b12 S1 c12
.

Mbaj mend

Raporti i syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m [sht[ i barabart[ me raportin e katror[ve t[
brinj[ve t[ tyre p[rgjegj[se.

6. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC dhe A1B 1C 1 jan[ 49 cm2 dhe 36 cm 2, kurse nj[
brinj[ e ΔABC [sht[ a = 7 cm. Cakto brinj[n p[rgjegj[se a1 t[ trek[nd[shit tjet[r dhe lart[sive
p[rgjegj[se h dhe h1.


2 2 2
 S: S 1 = a 2 : a1 ; 49 : 36 = 49 : a1 ; a1 = 36; a 1 = 6 cm.
ah 2S 2  49
 S
2
;h 
a
h
7
 14; h  14cm
Prej ΔA1B1C1 cakto lart[sin[ h1, n[ qoft[ se [sht[ dh[n[: S1 dhe a1.

Duhet t[ dish:
t[ shprehish ]far[ raporti kan[ perimetrat, kurse Kontrollohu!
]far[ raporti kan[ syprinat e dy trek[nd[shave
t[ ngjash[m;
Brinj[t e ΔABC jan[ a = 8, b = 6 dhe c = 4, pe-
ta shprehish pohimin p[r raportin e lart[sive,
rimetri i trek[nd[shit t[ ngjash[m me ΔA1B1C1
mesoreve dhe simetralve t[ k[ndeve
[sht[ 45. Cakto brinj[t e ΔA1B1C1.
p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m;
Ara n[ form[ t[ trek[nd[shit [sht[ vizatuar n[
t'i zbatosh n[ detyra raportet e perimetrave dhe raport 1 : 200. Cili [sht[ raporti nd[rmjet
raportet e syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ syprin[s s[ trek[nd[shit nga vizatimi dhe
ngjash[m. syprin[s s[ ar[s.

Detyra

1. Perimetri i nj[ trek[nd[shi [sht[ tre her[ m[ i 6. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC
madh se perimetri i trek[nd[shit t[ ngjash[m dhe A1B1C1 jan[ 81 dhe 25. Brinja b e ΔABC
me t[. N[ qoft[ se brinja m[ e madhe e [sht[ 9. Cakto brinj[n b 1 e ΔA 1 B 1C 1 dhe
trek[nd[shit t[ par[ [sht[ 24 cm, sa [sht[ lart[sin[ h1 q[ [sht[ t[rhequr ndaj asaj.
brinja m[ e madhe e trek[nd[shit t[ dyt[?
7. Vizato trek[nd[sh ABC dhe pastaj nd[rto
2. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi jan[ 8 cm, 15 cm, trek[nd[sh t[ ngjash[m me ΔA 1 B 1 C 1
9 cm, q[ [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin e syprina e t[ cilit [sht[ nj[ e kat[rta e syprin[s
par[ me P1 = 96 cm. Cakto brinj[t e trek[n- s[ ΔABC.
d[shit tjet[r.
8. Brinja a e ΔABC [sht[ 10, kurse lart[sia
3. Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m p[rkat[se [sht[ 5. Cakto brinj[n a 1 dhe
q[ndrojn[ si 5 : 2, kurse shuma e brinj[ve m[ lart[sin[ p[rkat[se h1 t[ ΔA1B1C1 q[ [sht[ i
t[ m[dhaja [sht[ 42 cm. Cakto gjat[sit[ e ngjash[m me ΔABC dhe e ka syprin[n 81.
brinj[ve m[ t[ gjata.
4. Brinj[t a, b, c, t[ nj[ trek[nd[shi ABC 9. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[
q[ndrojn[ si 3 : 4 : 6. Cakto brinj[t a1, b1, c1 n[ raport 9 : 25. Cakto koeficientin e
t[ ΔA1B1C1 me perimet[r P1 = 52 cm, q[ [sht[ ngjashm[ris[ t[ atyre trek[ndshave.
i ngjash[m me trek[nd[shin e dh[n[.
10. Ara n[ form[ t[ trek[nd[shit [sht[ vizatuar
5. Te ΔABC, n[ larg[si 2 cm prej brinj[s AC n[ raport 1 : 500. Syprina e trek[nd[shit n[
[sht[ t[rhequr drejt[za MN || AC. vizatim [sht[ 2,76 dm2. Cakto syprin[n e ar[s
Cakto lart[sin[ ndaj brinj[s AC t[ ΔABC, n[ n[ hektar[.
qoft[ se AB : MB = 13 : 9 .


Matematika 8 alb

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

More from coupletea

More from coupletea (20)

Matematika 8 alb