Foto de http://haberhabermagdis.blogspot.com.es/
MATRICES E DETERMINANTESDefinición de matrizChámase matriz de dimensión mxn a unha táboa rectangular  formada por m filas ...
TIPOS DE MATRICESMatriz fila:   ( a11   a12   a13  a1n )                                           Matriz cadrada:       ...
TIPOS DE MATRICESMatriz diagonal:Matriz unidade ou identidade: Matriz Triangular:     matriz triangular inferior   matriz ...
MATRIZ TRASPOSTA    Chámase TRASPOSTA dunha matriz A, a matriz que se     obtén ao cambiar na matriz A as filas polas colu...
SUMA E DIFERENCIA DE               MATRICES                                non se poden sumar.A + (B + C) = (A + B) + C   ...
PRODUCTO DUNHA MATRIZ POR UN          NÚMERO   PROPIEDADES PRODUCTO DUN Nº POR UNHA MATRIZ                   a.(b.A)=(a.b)...
PRODUCTO DE MATRICESPROPIEDADES DO PRODUCTO DE MATRICESASOCIATIVA:    (A.B).C=A.(B.C).DISTRIBUTIVA : A.(B+C) = A.B+A.C.   ...
DETERMINANTE DUNHA MATRIZ         CADRADADeterminante de orden 2 Determinante de orden 3
DETERMINANTE DE ORDEN n           MENOR COMPLEMENTARIO. ADXUNTO.   Sexa A unha matriz cadrada de orden n, chámase menor  ...
PROPIEDADES DOS                  DETERMINANTESTodas as propiedades que se enuncian para filas tamén son certas para   colu...
MATRIZ INVERSAChámase inversa dunha matriz cadrada A de orden n a outramatriz de orden n, B que verifique que A·B = B· A =...
Cálculo Directo da Matriz InversaDada a matriz                 buscamos unha matriz que cumpra A·A-1 = I2, é dicirPara elo...
Cálculo de la Matriz Inversa por  Queremos calcular a inversa de                                                   el méto...
Cálculo da matriz inversa usando               determinantes −1 1A =   (adxA)t    A
RANGO DUNHA MATRIZChámase “menor” de orden p dunha matriz aodeterminante que resulta de eliminar certas filas e columnasat...
RANGO DUNHA MATRIZ Vectores fila dunha matriz: As filas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. É posible que s...
RANGO DUNHA MATRIZVectores columna dunha matriz:Tamén as columnas dunha matriz poden ser consideradas como vectores.Poderí...
RANGO DUNHA MATRIZO rango dunha matriz podémolo calcular por dous métodosdiferentes:          Polo método de Gauss       ...
Cálculo do rango: método de Gauss Se se permutan dúas filas o rango non  varía Se se multiplica unha fila por un nº non ...
Cálculo do rango dunha matriz polo         método de Gauss
Cálculo do rango dunha matriz polo         método de Gauss
Cálculo de rango por determinantes
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Matrices e determinantes

1.647 visualizações

Publicada em

0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.647
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1.260
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
7
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Matrices e determinantes

  1. 1. Foto de http://haberhabermagdis.blogspot.com.es/
  2. 2. MATRICES E DETERMINANTESDefinición de matrizChámase matriz de dimensión mxn a unha táboa rectangular formada por m filas e n columnas de números reais: aij representa o elemento que está na fila i e na columna j o elemento a25 será o elemento da fila 2 e columna 5.
  3. 3. TIPOS DE MATRICESMatriz fila: ( a11 a12 a13  a1n ) Matriz cadrada:  a11     a21  a Matriz columna:  31     a   m1  Matriz nula
  4. 4. TIPOS DE MATRICESMatriz diagonal:Matriz unidade ou identidade: Matriz Triangular: matriz triangular inferior matriz triangular superior
  5. 5. MATRIZ TRASPOSTA Chámase TRASPOSTA dunha matriz A, a matriz que se obtén ao cambiar na matriz A as filas polas columnasMatriz simétrica: Unha matriz cadrada A é simétrica cando A = AtMatriz antisimétrica: Unha matriz cadrada é antisimétrica cando -A = At
  6. 6. SUMA E DIFERENCIA DE MATRICES non se poden sumar.A + (B + C) = (A + B) + C Propiedade AsociativaA+B=B+A Propiedade conmutativaA + 0 = A (0 é a matriz nula) Matriz Nula
  7. 7. PRODUCTO DUNHA MATRIZ POR UN NÚMERO PROPIEDADES PRODUCTO DUN Nº POR UNHA MATRIZ a.(b.A)=(a.b).A a.(A+B)=a-A+a.B (a+b).A=a.A+b.A 1.A=A
  8. 8. PRODUCTO DE MATRICESPROPIEDADES DO PRODUCTO DE MATRICESASOCIATIVA: (A.B).C=A.(B.C).DISTRIBUTIVA : A.(B+C) = A.B+A.C. (A+B).C = A.C+B.C..NON É CONMUTATIVO : A.B ≠ B. A.
  9. 9. DETERMINANTE DUNHA MATRIZ CADRADADeterminante de orden 2 Determinante de orden 3
  10. 10. DETERMINANTE DE ORDEN n MENOR COMPLEMENTARIO. ADXUNTO. Sexa A unha matriz cadrada de orden n, chámase menor complementario do elemento aij ao determinante da matriz que resulta o suprimir en A a fila i e a columna j, designase M ij Chámase adxunto do elemento aij e denotase Aij a Aij= (-1) i+ j Mij Defínese determinante de A como a suma dos elementos dunha liña polos seus respectivos adxuntos.
  11. 11. PROPIEDADES DOS DETERMINANTESTodas as propiedades que se enuncian para filas tamén son certas para columnas. Se se multiplican todos os elementos dunha fila por un nº o determinante queda multiplicado por dito número. Se se permutan dúas filas o determinante cambia de signo. Se todos os elementos dunha fila son 0 o determinante é 0. Se dúas filas son iguais ou proporcionais o determinante é 0. Se cada elemento dunha fila é suma de 2 sumandos , o determinante é igual á suma de dous determinantes que teñan nesa fila os primeiros e os segundos sumandos respectivamente e nas demais os mesmos elementos que o determinante inicial. Se a unha fila se lle suma un múltiplo doutra o determinante non varía. Se as filas son linearmente dependentes o determinante é 0.
  12. 12. MATRIZ INVERSAChámase inversa dunha matriz cadrada A de orden n a outramatriz de orden n, B que verifique que A·B = B· A = I nUnha matriz cadrada ten inversa cando e só cando o seudeterminante é distinto de 0 Unha matriz cadrada que ten inversa dise que é inversible ou regular; en caso contrario recibe o nome de singular.Hai varios métodos para calcular a matriz inversa dunha matriz dada: método de Gauss Usando determinantes Directamente
  13. 13. Cálculo Directo da Matriz InversaDada a matriz buscamos unha matriz que cumpra A·A-1 = I2, é dicirPara elo propoñemos o sistema de ecuacións: A matriz que se calculou realmente sería a inversa pola "dereita", pero é fácil comprobar que tamén cumpre A-1 · A = I, co que é realmente a inversa de A.
  14. 14. Cálculo de la Matriz Inversa por Queremos calcular a inversa de el método de Gauss - Jordan 1º.- Escribese a matriz A seguida da matriz identidade,2º.- Triangularizamos a matriz A de arriba a abaixo e realizamos as mesmas operacións na matriz da dereita Como podemos observar o rango da matriz A é máximo (neste caso 3), polo tanto a matriz A ten inversa, ímola calcular 3º.- Triangularizamos a matriz de abaixo a arriba, realizando as mesmas operacións na matriz da dereita 4º.- Por último divídese cada fila polo elemento diagonal correspondiente.
  15. 15. Cálculo da matriz inversa usando determinantes −1 1A = (adxA)t A
  16. 16. RANGO DUNHA MATRIZChámase “menor” de orden p dunha matriz aodeterminante que resulta de eliminar certas filas e columnasata quedar una matriz cadrada de orden p.É dicir, ao determinante de calquera submatriz cadrada de ANunha matriz A m×n pode haber varios menores de ordenp.Definición:Rango dunha matriz é a orde do maior menor non nulo quese poida formar na matriz.ConsecuenciaO rango non pode ser maior ao número de filas ou decolumnas.
  17. 17. RANGO DUNHA MATRIZ Vectores fila dunha matriz: As filas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. É posible que sexan linealmente Independentes (L.I.) e é posible que uns dependan linealmente de outros. Por exemplo:  2 3 2 5A= 1 3 4 2 As súas dúas son linealmente independentes   1 3   2 1 As dúas primeiras líñas son L.I., as outras dúas dependen B= 0 5 linealmente das primeiras   3 4   F 3 = 2 ⋅ F1 − F 2 F 4 = F1 + F 2 1 5 3   As dúas primeiras filas son L.I. a terceira depende linealmente das C = 9 0 2 dúas primeiras  8 − 5 − 1   F 2 − F1 = F 3Chámase rango dunha matriz ao número de filas Linealmente Independentes
  18. 18. RANGO DUNHA MATRIZVectores columna dunha matriz:Tamén as columnas dunha matriz poden ser consideradas como vectores.Poderíamos definir rango da matriz como o número de columnas linealmenteindependentes, pero aparece a dúbida de se esa definición pode contradecir áanterior.TeoremaNunha matriz o número de filas L.I. coincide co número decolumnas L.I.Rango dunha matriz é o número de filas, ou columnas,linealmente independentes.
  19. 19. RANGO DUNHA MATRIZO rango dunha matriz podémolo calcular por dous métodosdiferentes:  Polo método de Gauss  Usando Determinantes
  20. 20. Cálculo do rango: método de Gauss Se se permutan dúas filas o rango non varía Se se multiplica unha fila por un nº non nulo o rango non varía Se a unha fila se lle suma ou resta outra paralela o rango non varía
  21. 21. Cálculo do rango dunha matriz polo método de Gauss
  22. 22. Cálculo do rango dunha matriz polo método de Gauss
  23. 23. Cálculo de rango por determinantes

×