すごいHaskell読書会 in 大阪 #6

7.7 再帰的なデータ構造 7.8 型クラス中級講座 7.9 Yes と No の型クラス 7.10 Functor 型クラス 7.11 型を司るもの、種類
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すごい Haskell 読書会 in 大阪 #6
— 6. 型や型クラスを自分で作ろう (2) —
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@cojna

2013 年 3 月 8 日

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本日の内容

7.7 再帰的なデータ構造
7.8 型クラス中級講座
7.9 Yes と No の型クラス
7.10 Functor 型クラス
7.11 型を司るもの、種類

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前回の復習

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データ型の作り方
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data Maybe a = Nothing | Just a deriving (Eq, Ord)
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Maybe : 型コンストラクタ (具体型ではない)
f :: Maybe → Int のような関数は作れない
a : 型引数 (具体型)
Maybe a : 具体型
Just : 値コンストラクタ

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リスト

[3, 4, 5, 6] というのは構文糖衣．
[3, 4, 5, 6]
=⇒ 3 : (4 : (5 : (6 : [])))
=⇒ 3 : 4 : 5 : 6 : []
ということで，リストを作っていきましょう!

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リスト

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リスト型
.
. data List a = Empty | Cons a (List a)

レコード構文で書くと

data List a = Empty | Cons { listHead :: a
, listTail :: List a
}

Empty は []
Cons x xs は x : xs に対応する

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リストの改善

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リスト型’
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infixr 5 : -:
. data List a = Empty | a : -: (List a)

記号文字だけで値コンストラクタに出来る
名前はコロン : から始めないといけない
:: は使えない
コロン : から始まる二項演算子は定義できない
× x : + y = x + y，⃝ x + : y = x + y
コロンは大文字として考える (@nushio さん)
infix, infixl, infixr で結合性を定めることが出来る
デフォルトは infixl 9
例) infixl 7 ∗, infixl 6 +，infixl 6 ‘xor‘，infixr 5 ‘Cons‘

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リストの改善

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(++)
.

inﬁxr 5 ˆ++
(ˆ++) :: List a → List a → List a
Empty ˆ++ ys = ys
. (x : -: xs) ˆ++ ys = x : -: (xs ˆ++ ys)

パターンマッチも使える!!

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二分探索木

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二分探索木
.
二分木
. 左の子 < 親 < 右の子

5

Ð 0
3 7

Ð 0
6 8

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二分探索木

.
二分探索木データ型
.
data Tree a = EmptyTree | Node a (Tree a) (Tree a)
.

簡単のため平衡木にはしません
挿入，探索をする
treeInsert :: a → Tree a → Tree a
treeElem :: a → Tree a → Bool
を実装していきます

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7.8 型クラス中級講座

Java や Python のような言語に出てくる「クラス」とは何
の関係もありません．

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クラス

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Eq 型クラス
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class Eq a where
(==), (/ =) :: a → a → Bool
x == y = not (x / = y)
x/= y = not (x == y)

.
補足
Eq は等値性を表すクラスですが，
EQ は Ordering 型の値です．
data Ordering = LT | EQ | GT

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インスタンス宣言

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交通信号データ型を Eq のインスタンスに
.
data TraﬃcLight = Red | Yellow | Green
instance Eq TraﬃcLight where
Red == Red = True
Yellow == Yellow = True
Green == Green = True
== = False
.
(/ =) まで定義しなくて良い =⇒ 最小完全定義

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インスタンス宣言

.
Show のインスタンスに
.
instance Show TraﬃcLight where
show Red = “Red light”
show Yellow = “Yellow light”
show Green = “Green light”
.

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サブクラス化

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Num クラス
.
class (Eq a) ⇒ Num a where （以下省略）
.

Num は Eq のサブクラス
Eq は Num のスーパークラス
Num のインスタンスに出来るのは Eq クラスのもの
だけ
a を Num のインスタンスにしようと思うと Eq のイ
ンスタンスにしないといけない
(ちなみに GHC 7.4.1 で Eq を Num のスーパークラス
にするという制約は取り除かれました．)

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多相型を型クラスのインスタンスに

.
問題
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Maybe を Eq のインスタンスにするにはどうすればい
いか？
.

class Eq a where
(==), (/ =) :: a → a → Bool
x == y = not (x / = y)
x/= y = not (x == y)

Maybe は具体型ではないので，
instance Eq Maybe where と出来ない．

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.
Maybe を Eq のインスタンスに
.

instance Eq (Maybe a) where
Just x == Just y = x == y
Nothing == Nothing = True
. /= = False

Maybe は具体型ではないが，Maybe a は具体型．
しかし，まだ１つ問題が残っています．
a が Eq のインスタンスになっていないと x == y が使え
ない．

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Maybe を Eq のインスタンスに (完成版)
.

instance (Eq a) ⇒ Eq (Maybe a) where
Just x == Just y = x == y
Nothing == Nothing = True
. /= = False

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7.9 Yes と No の型クラス

if (0) alert(“YEAH!”) else alert(“No!”)
if (“”) alert(“YEAH!”) else alert(“No!”)
if (false) alert(“YEAH!”) else alert(“No!”)

JavaScript ではこのコードはすべて No! というアラートを
表示しますが，真理値を Bool 型しか認めない Haskell ではこ
ういうことはできません．
ここでは，Bool 型でないものも真理値として使えるような
YesNo 型クラスを実装します．

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YesNo 型クラス

.
YesNo 型クラス
.
class YesNo a where
. yesno :: a → Bool

Int, [a], Bool, Maybe a, Tree a, TraﬃcLight
を YesNo のインスタンスにします．
YesNo 用の ifっぽい関数 yesnoIf

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Functor（関手）型クラス

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Functor 型クラス
.
class Functor f where
. fmap :: (a → b) → f a → f b

map :: (a → b) → [a] → [b] に似てるなぁ
f a が具体型なので，f は型引数を 1 つもつ型コンスト
ラクタ（クラスに出来るのは具体型だけではない）
fmap は Functor 則を満たさないといけない
fmap id = id
fmap f . fmap g = fmap (f . g)
詳細は 11 章

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リスト Functor

.
リストを Functor に
.
instance Functor [] where
fmap = map
.

instance Functor [a] where ではない
[] は空リストではなくて [] a の []
fmap :: (a → b) → [] a → [] b

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Maybe Functor
.
Maybe を Functor に
.
instance Functor Maybe where
fmap Nothing = Nothing
. fmap f (Just a) = Just (f a)

instance Functor (Maybe a) where ではない
fmap :: (a → b) → Maybe a → Maybe b
左の Nothing は Maybe a 型
右の Nothing は Maybe b 型

fmap f (Just a) = Just (f a)
fmap x = x
は型エラー

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Tree Functor

.
Tree を Functor に
.

data Tree a = EmptyTree | Node a (Tree a) (Tree a)
instance Functor Tree where
fmap EmptyTree = EmptyTree
fmap f (Node x left right)
. = Node (f x) (fmap f left) (fmap f right)

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Tree Functor

注意点
f が順序を保存するような関数でないと fmap したあと
の木が二分探索木になっているとは限らない．
例えば，Tree Int に対して fmap negate すると大小関
係が入れ替わって「左の子 < 親 < 右の子」が成り立た
なくなる．
二分木にはなっている．

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Either Functor

.
Either を Functor に
.
instance Functor (Either a) where
fmap (Left x) = Left x
. fmap f (Right y) = Right (f y)

型引数が複数ある時は部分適用させる
fmap :: (b → c) → Either a b → Either a c
よく使う方を Right にした方がよさそうですよね

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読者への練習問題

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問題
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Data.Map も Functor にできます．どのように Functor の
インスタンスになるでしょうか？
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とりあえず，fmap の型は．．．
fmap :: (a → b) → Map k a → Map k b

Hoogle にきいてみると．
．．

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種類

種類 (kind) : 型の型みたいなもの
: t は値の型を調べるコマンド
: k は型の種類を調べるコマンド
具体型は ∗
Functor は ∗ → ∗

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演習

Functor クラスのインスタンスにして下さい．
data Akari a = Waai a (Akari a) | Daisuki
data H oo gle = H oo oo oo oo oo gle
data Ha y oo = Ha y oo oo oo oo oo
data O b = OOOO|OOOOOO|O|OO
data Hom r a = Hom (r → a)
data State s a = State (s → (a, s))
data Just a = Nothing | Maybe (Maybe a)
ヒント
作るのは map 関数みたいなもの
とりあえず型を合わせる
fmap id が id になるように (Functor 則の１つ)

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