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Unidad 3 gradientes-video

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Unidad 3 gradientes-video

  1. 1. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 GradientesCarlos Mario Morales C ©2020
  2. 2. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Definición Serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones:  Los pagos cumplen con una ley de formación  Los pagos se efectúan a iguales intervalos de tiempo  Todos los pagos se calculan a la misma tasa de interés  El número de pagos es igual al número de periodos 0 1 2 3 n… A 𝑉𝑃 𝑖 Gradientes
  3. 3. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 La ley de formación, la cual determina la serie de pagos, puede tener un sinnúmero de variantes; no obstante, en la vida cotidiana las más utilizadas son el gradiente aritmético y el geométrico; las cuales a su vez pueden generar cuotas crecientes o decrecientes Creciente Decreciente Aritmético Creciente Decreciente Geométrico Creciente Decreciente Otros Ley de formación Gradientes
  4. 4. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 0 1 2 3 n-2 n-1 n 𝑨 𝑽𝑷 𝒊 𝑨 + 𝒌 𝑨 + 𝟐𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟑)𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟐)𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟏)𝒌 Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior, más una constante k; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes, negativa lo cual genera cuotas decrecientes Ley de Formación 𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝐴2 = 𝑨 + 𝒌 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝐴3 = 𝐴2 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟐𝒌 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝐴4 = 𝐴3 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟑𝒌 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜 … … … … … … … … … 𝐴 𝑛 = 𝑨 + 𝒏 − 𝟏 𝒌 𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜 Ley de formación Gradientes Aritméticos
  5. 5. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 𝑉𝑃 = 𝐴 1 − 1 + 𝑖 −𝑛 𝑖 + 𝐾 𝑖 )1 − (1 + 𝑖 −𝑛 𝑖 − 𝑛 1 + 𝑖 𝑛 0 1 2 3 n-2 n-1 n 𝑨 𝑽𝑷 𝒊 𝑨 + 𝒌 𝑨 + 𝟐𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟑)𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟐)𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟏)𝒌 Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes aritméticamente Gradientes Aritméticos
  6. 6. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ejemplo: Calculo del VP Gradientes Aritméticos
  7. 7. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ejemplo: Calculo del VP – Comprobación Gradientes Aritméticos Nótese que el saldo al cabo de los doce meses es igual a cero
  8. 8. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 𝑉𝐹 = 𝐴 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑖 + 𝐾 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑖 − 𝑛 0 1 2 3 n-2 n-1 n 𝑨 𝑽𝑭 𝒊 𝑨 + 𝒌 𝑨 + 𝟐𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟑)𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟐)𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟏)𝒌 Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos crecientes aritméticamente Gradientes Aritméticos
  9. 9. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ejemplo: Calculo del VF Gradientes Aritméticos
  10. 10. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ejemplo: Calculo del VF Comprobación Gradientes Aritméticos Nótese que el saldo corresponde al ahorro calculado
  11. 11. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 𝑉𝑃 = 𝐴 𝑖 + 𝐾 𝑖2 Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos perpetuos, solo tiene sentido hablar del valor presente, como equivalente de dichos pagos. ∞0 1 2 3 n-2 n-1 … 𝑨 𝑽𝑷 𝒊 𝑨 + 𝒌 𝑨 + 𝟐𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟑)𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟐)𝒌 𝑨 + (𝒏 − 𝟏)𝒌 Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes aritméticamente perpetuos Gradientes Aritméticos
  12. 12. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ejemplo: Perpetuo Gradientes Aritméticos
  13. 13. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ley de formación 𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝐴2 = 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝐴3 = 𝐴2(1 + 𝐺) = 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟐 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝐴4 = 𝐴3(1 + 𝐺) = 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟑 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜 … … … … … … … … … 𝐴 𝑛 = 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟏 𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜 0 1 2 3 n-2 n-1 n 𝑨 𝑽𝑷 𝒊 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟐 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟑 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟐 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟏 De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior multiplicado por una constante, así como se indica Ley de formación Gradientes Geométricos
  14. 14. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 𝐕𝐏 = 𝑨 𝐺 − 𝑖 1 + 𝐺 𝑛 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖 = 𝑛𝐴 1 + 𝑖 𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖 Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes geométricamente Gradientes Geométricos 0 1 2 3 n-2 n-1 n 𝑨 𝑽𝑷 𝒊 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟐 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟑 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟐 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟏
  15. 15. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ejemplo VP Gradientes Geométricos
  16. 16. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ejemplo VP – Comprobación Gradientes Geométricos Nótese que el saldo al cabo de los veinte semestres es igual a cero
  17. 17. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 𝑽𝑭 = 𝐀 𝐺 − 𝑖 1 + 𝐺 𝑛 − 1 + 𝑖 𝑛 ; 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖 = 𝑛A 1 + 𝑖 −𝑛+1 ; 𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖 0 1 2 3 n-2 n-1 n 𝑨 𝑽𝑷 𝒊 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟐 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟑 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟐 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟏 Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos crecientes geométricamente Gradientes Geométricos
  18. 18. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ejemplo VF Gradientes Geométricos
  19. 19. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ejemplo VF – Comprobación Gradientes Geométricos Nótese que al valor final del ahorro se logra entre los periodos 24 y 25
  20. 20. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 𝐕𝐏 = 𝐴1 𝑖 − 𝐺 ; 𝑠𝑖 𝐺 < 𝑖 = ∞; 𝑠𝑖 𝐺 ≥ 𝑖 Modelo: Valor presente de una serie de pagos perpetuos crecientes geométricamente Gradientes Geométricos 0 1 2 3 n-2 n-1 n 𝑨 𝑽𝑷 𝒊 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟐 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟑 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟐 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟏
  21. 21. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Ejemplo VP - Perpetuo Gradientes Geométricos

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