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Unidad 3 anualidades-video

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anualidades y gradientes

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Unidad 3 anualidades-video

  1. 1. Anualidades y Gradientes Carlos Mario Morales C ©2020
  2. 2. Algunas operaciones financieras responden a formas de una o más prestaciones, cubiertas por varias contraprestaciones o pagos periódicos. 1 2 3…. n0 Prestaciones – Obligaciones Contraprestaciones - Pagos Operaciones Complejas
  3. 3. Algunos Ejemplos…  La empresa CMC, acuerda un crédito por $20 millones con el Banco MED, pagando cuotas mensuales iguales de $998.000 durante dos años  Pedro padre, para la compra del apartamento familiar, adquiere un crédito hipotecario por $200 millones, pagando cuotas mensuales de $1´400.000 crecientes el 1% mensualmente, durante diez años  La empresa, para la reposición de su maquina de empacado, realiza un ahorro programado de $5 millones de pesos crecientes en $100.000 mensuales durante cinco años en el Banco ANT quien le reconoce una tasa de interés del 0,5% M
  4. 4. Operaciones Financieras Complejas Específicas Anualidades (Rentas) • Cuando los pagos de una prestación se realizan a través de cuotas periódicas iguales Gradientes (Rentas incrementales) • Cuando los pagos de una prestación se realizan a través de cuotas periódicas crecientes o decrecientes 1 2 …. n0 VP A 0 1 2 3 n… A VP
  5. 5. ¿Qué tipos de operaciones financieras trataremos en esta unidad?  Según la duración: Corto y largo plazo  Según el sentido: de capitalización  Según la ley Financiera: Régimen de interés compuesto  Según la ley Financiera: Renta fija ( Interés constante)  Según el # capitales: Complejas (Anualidades y Gradientes)
  6. 6. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación se hace a través de cuotas periódicas iguales, crecientes o decrecientes Para esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor actual, futuro, interés y número de pagos para diferentes tipos de operaciones y aplicará estos en situaciones de la vida empresarial.
  7. 7. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 1. Anualidades Concepto de anualidad Modelos Matemáticos Tipos de anualidad (Vencidas, Anticipadas, Diferidas, y perpetuas) 2. Gradiente: Concepto de gradiente Modelos Matemáticos Tipos de gradientes (Aritméticos y Geométricos)
  8. 8. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017Carlos Mario Morales C ©2020 Anualidades Parte 1
  9. 9. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Se define una ANUALIDAD cuando en una operación financiera a una o varias prestaciones corresponden una serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones: 1. Pagos de igual valor 2. Intervalos de pago iguales 3. Una tasa de Interés constante para toda la operación 4. Número de pagos igual número de periodos Anualidades Concepto
  10. 10. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos 1 2 3. 4 0 VP A No es una ANUALIDAD ya que: 1. Pagos de igual valor 2. Intervalos de pago iguales 3. Una tasa de Interés constante (supuesto) 4. Número de pagos igual número de periodos NO CUMPLE 1 2 3. 4 0 VP A No es una ANUALIDAD ya que: 1. Pagos de igual valor 2. Intervalos de pago iguales NO CUMPLE 3. Una tasa de Interés constante (supuesto) 4. Número de pagos igual número de periodos 1 2 3. 4 0 VP A Es una ANUALIDAD ya que CUMPLE todas las condiciones
  11. 11. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Ejemplos 1 2 3. 4 0 VP A  La empresa CMC, acuerda un crédito por $20 millones con el Banco MED, pagando cuotas mensuales iguales de $998.000 durante dos años$20´ $998.000 5
  12. 12. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Modelos o formulas matemáticas 1 2 3. n 0 VP A VF 𝑉𝑃 = 𝐴 1 − (1 + 𝑖 −𝑛 𝑖 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0 𝑨 = 𝐂𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐚 𝐥𝐨𝐬 𝐏𝐚𝐠𝐨𝐬 Valor Presente Para determinar el valor de la Prestación cuando se conocen los Pagos, la tasa de Interés y el número de periodos se utiliza el siguiente modelo matemático En EXCEL Se utiliza la función [VA]
  13. 13. DATOS Tasa de Interes 1,50% Mensual Número de pagos 12 mensuales Pagos 1.200.000,00$ mensuales Valor credito X CALCULOS Valor Presente 13.089.006,25$ RESULTADOS Valor Presente 13.089.006$ La empresa JMC solicita un préstamo el día 1 de marzo de 2019 y acuerda efectuar doce pagos mensuales vencidos de $1´200.000. Si el banco aplica una tasa de interés del 1,5% mensual, ¿Cuál será el valor del préstamo? Para el calculo del crédito, aplicamos VP, en EXCEL [VA], conociendo número de pagos, pagos y tasa de interes Valor del credito al momento del inicio de los pagos Anualidades Algunos Ejemplos… ARGUMENTOS Función [VA] VP=¿? i = 1,5%M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A = 1´200.000
  14. 14. RETO 1… La compañía TRAP quiere solicitar un préstamo bancario el día 1 de mayo del 2020; su flujo de caja estimado solo le permite realizar pagos mensuales a partir del 1 de septiembre del mismo año por valor de $35 millones y durante 15 meses. Si la entidad bancaria aplica una tasa de interés del 18% E; ¿Cuál será el valor del préstamo?01/05/2020 01/09/2020 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $35´000.000 i = 18% 3
  15. 15. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Modelos o formulas matemáticas 1 2 3. n 0 VP A VF 𝑨 = 𝐂𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐚 𝐥𝐨𝐬 𝐏𝐚𝐠𝐨𝐬 Valor Futuro Para determinar el valor final de una serie de pagos, conociendo los Pagos, la tasa de Interés y el número de periodos se utiliza el siguiente modelo matemático En EXCEL Se utiliza la función [VF]𝑉𝐹 = 𝐴 (1 + 𝑖 𝑛 −1 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0
  16. 16. DATOS Valor futuro (Valor Maquina) X Ahorro mensual (PAGOS) 15.000.000$ mensuales Fecha de inicio 18/12/2020 Fecha final 01/07/2028 Tasa de interes 6,00% efectiva CALCULOS Duración 2.752 Número de periodos 91,73 Tasa de Interes 0,49% Se convierte la tasa efectiva en una tasa periodica mensual Valor Futuro (Valordel ahorro acumulado) 1.729.309.330$ RESULTADOS Tasa de Interes 1.729.309.330$ La empresa DAMOR estima que para el 1 julio de 2028, su maquina de empacado llegara al final de su vida util. Si a partir del 18 de diciembre del 2020, la empresa realiza un ahorro mensual de $15 millones en un fondo de inversión que le reconoce una tasa de interes del 6% ¿Con qué monto contara la empresa para remplazar la maquina? Para el calculo del monto final del ahorro, se utiliza la función [VF], teniendo los PAGOS, la tasa de interes y Número de periodos. Para el calculo de estos ultimos, se calcula la duración como (Ff-Fi) y se convierte a meses; por su parte la tasa de interes se calcula convirtiendo la tasa dada en una tasa periodica mensual Monto disponible para adquirir la maquina Anualidades Algunos Ejemplos… ARGUMENTOS Función [VF]
  17. 17. Anualidades Modelos o formulas matemáticas 1 2 3. n 0 VP A VF PAGOS (A) Para determinar el valor de los pagos, conociendo el VP o el VF, la tasa de Interés y el número de periodos se utiliza los siguientes modelos matemáticos En EXCEL Se utiliza la función [PAGO] 𝐴 = 𝑉𝑃 𝑖 1 − (1 + 𝑖 −𝑛 Cuando se conoce el VP 𝐴 = 𝑉𝐹 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 1 Cuando se conoce el VF
  18. 18. DATOS Tasa de Interes 0,50% M Número de retiros (PAGOS) 50 mensuales Pagos X mensuales Valor del ahorro (VP) 355.000.000$ CALCULOS PAGOS (Retiros mensuales) $8.042.084,09 RESULTADOS PAGOS (Retiros mensuales) 8.042.084$ La empresa DAGA tiene ahorros acumulados el 1 abril de 2010, por valor de $355 millones, en un fondo de inversión que paga un interés del 0,5% M. Si, la empresa desea realizar 50 retiros mensuales, ¿De qué valor seran estos retiros, si el primero lo hace un mes despues? Para el calculo de los retiros (PAGOS), utilizamos la función [PAGO], teniendo el VP y tasa de Interes Mensual Valor de los Pagos que podrá realizar Anualidades Algunos Ejemplos… ARGUMENTOS Función [PAGO] A = ¿? 1 2 3 4 … … … 50 i = 0,5% M VP = $355´000.000
  19. 19. RETO 2…La compañía BORD debe cancelar una deuda de $95´000.000 al banco FORT en pagos mensuales iguales durante tres años, iniciando al final del primer mes, además debe hacer abonos anuales extraordinarios de dos y media veces la cuota mensual, comenzando al final del primer año; si el banco aplica una tasa de interés del 18% NB, ¿De cuánto serán las cuotas mensuales y las extraordinarias? 13 $95´000.000 1 2 3 4 5 6 … 11 12 13 14 15 … 23 24 25 26 27 … 35 36 2,5 X i = 18% NB X X X
  20. 20. Anualidades Modelos o formulas matemáticas 1 2 3. n 0 VP A VF Número de periodos (n) Para determinar el número de periodos, conociendo el VP o el VF, la tasa de Interés y los Pagos se utilizan el siguientes modelos matemáticos En EXCEL Se utiliza la función [NPER] Cuando se conoce el VP Cuando se conoce el VF 𝑛 = log 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔 (𝐴 − 𝑖𝑉𝑃 log 1 + 𝑖 𝑛 = 𝐿𝑜𝑔(𝑉𝐹𝑖 + 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔𝐴 𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖
  21. 21. DATOS Tasa de Interes 6,00% NS Número de retiros (PAGOS) X mensuales Pagos 10.000.000$ mensuales Valor del ahorro (VP) 355.000.000$ CALCULOS Tasa de Interes 3,00% se convierte la tasa NS en una tasa periodica S Tasa de Interes 0,49% se convierte la tasa S en una tasa periodica M Número de Pagos (n) 39,13 RESULTADOS Número de Pagos (n) 39 La empresa DAGA tiene ahorros acumulados el 1 abril de 2010, por valor de $355 millones, en un fondo de inversión que paga un interés del 6% NS ¿Cuántos retiros mensuales de $10 millones podrá hacer, si el primer retiro lo hace un mes despues? Para el calculo del # de retiros, utilizamos la función [NPER], teniendo el VPy tasa de Interes. Considerando que la tasa de Interes esta dada en NS, se debe convertir a una tasa periodica M Número de retiros que podra realizar DAGA Anualidades Algunos Ejemplos… ARGUMENTOS Función [NPER] A = 10´000.000 1 2 3 4 … … … n j = 6% NS VP = $355´000.000
  22. 22. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 1 2 …. n0 VP A 𝑖 = ¿? Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad, es decir: el valor presente 𝑉𝑃 o valor futuro 𝑉𝐹, el valor y numero de pagos 𝐴 se puede determinar el valor de la tasa de interés 𝑖 a partir de la formulas de VP o VF, no obstante por tratarse de ecuaciones con más de una raíz, no es posible hallar la solución analíticamente; por esta razón se debe utilizar un método de tanteo y error. La forma de proceder en estos casos, es la siguiente: 1. Se asigna un valor inicial a la tasa de interés 𝑖 y se calcula la ecuación. 2. Si el valor es menor que la igualdad VP 𝑜 VF entonces se disminuye la tasa y se vuelve a calcular, en caso contrario se aumenta la tasa y se vuelve a calcular 3. Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro menor, suficientemente aproximados a los valores de la igualdad, se procede a calcular la tasa de interés por interpolación 𝑉𝑃 = 𝐴 1 − 1 + 𝑖 −𝑛 𝑖 𝑉𝐹 = 𝐴 (1 + 𝑖 𝑛−1 𝑖 Anualidades Tasa de interés a partir del Valor Presente o Valor Futuro En EXCEL Se utiliza la función [TASA]
  23. 23. DATOS Valor futuro (Valor Maquina) 777.000.000$ Ahorro mensual (PAGOS) 10.900.000$ mensuales Fecha de inicio 18/04/2020 Fecha final 01/04/2025 Tasa de interes X% mensuales CALCULOS Duración 1.809 Número de periodos 60,30 Tasa de Interes 0,55% RESULTADOS Tasa de Interes 0,551% La empresa SAMO estima que para el 1 abril de 2025, su maquina de empacado llegara al final de su vida util y que para remplazarla, adicional estima que la maquina para esa epoca tendra un valor de $777 millones. Si a partir del 18 de abril del 2020, la empresa realiza un ahorro mensual de $10,9 millones en un fondo de inversión ¿Qué tasa de interes mensual le deberá reconoce el fondo de inversión? Para el calculo de la tasa de interes utilizamos la función [TASA], teniendo el VF, los PAGOS y Número de periodos. Para el calculo de estos ultimos, se calcula la duración como (Ff-Fi) y se convierte a meses Tasa de interes que le debe reconocer el Fondo de inversión Anualidades Algunos Ejemplos… ARGUMENTOS Función [TASA]
  24. 24. RETO 3… La empresa SAMIR requiere un crédito por valor de $350´millones, si la empresa, de acuerdo a su flujo de caja, solo cancelar 20 cuotas semestrales de $21´500.000, se pide determinar la tasa de interés efectiva máxima que le puede cobrar el banco? 13 $350´000.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $21´500.000 i = ¿?
  25. 25. RETO 4…Una persona adquiere una vivienda cuyo valor es de $120´000.000, pagando una cuota inicial correspondiente al 30% del valor total y la diferencia a través de una deuda que se cancela mensualmente durante 10 años, con una tasa de interés del 18% NM. Hallar: a) el valor de las cuotas mensuales; b) el saldo de la deuda al finalizar el cuarto año; c) Si la persona realiza pagos extras al finalizar cada año por valor de $ 2´000.000, cual será el valor de las cuotas mensuales 13 $120´000.000 1 2 3 4 5 6 7 … … 48 49 … .. 71 72 … 84 85 … 120 i = 18% NM $X $36.000.000 $120´000.000 1 2 3 4 5 … 12 … 24 … 36 … 48 … 60 … 96 108 … 120 i = 18% NM $36.000.000 $2´000.000 $X
  26. 26. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades RESUMEN - Modelos o Formulas matemáticas 𝑉𝑃 = 𝐴 1 − (1 + 𝑖 −𝑛 𝑖 𝐴 = 𝑉𝑃 𝑖 1 − (1 + 𝑖 −𝑛 𝑉𝐹 = 𝐴 (1 + 𝑖 𝑛−1 𝑖 𝐴 = 𝑉𝐹 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑛 = log 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔 (𝐴 − 𝑖𝑉𝑃 log 1 + 𝑖 𝑛 = 𝐿𝑜𝑔(𝑉𝐹𝑖 + 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔𝐴 𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖 [VA] [PAGO] [NPER] [VF] [NPER] [PAGO] Calculo de la tasa de Interés = [TASA]
  27. 27. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Parte 2Carlos Mario Morales C ©2020
  28. 28. Anualidades Tabla de amortización y capitalización Las tasa de amortización y capitalización dan cuenta periodo a periodo de las cuotas (pagos), intereses, amortización del capital o capitalización y el saldo de la operación financiera. Periodo Cuota Interes Amortización Saldo 0 Saldo inicial de la operación 1 Cuota o pago (A) del periodo Intereses, se calculan como Saldo anterior por la tasa La amortización se calcula como la Cuota o pago (A) menos el Interes Se calcula como el saldo anterior menos la Amortización …. n Tabla de Amortización Periodo Cuota Interes Capitalización Saldo 1 Cuota o pago (A) del periodo En el primer periodo no hay intereses Se calcula como la suma de la cuota más los Intereses Se calcula como el Saldo anterior más la capitalización 2 Intereses, se calculan como Saldo anterior por la tasa Se calcula como el Saldo anterior más la capitalización …. n Tabla de Capitalización
  29. 29. Anualidades Algunos Ejemplos… Nótese que el ahorro se agota entre los periodos 39 y 40
  30. 30. Anualidades Algunos Ejemplos… Nótese que el ahorro calculado se logra entre los periodos 91 y 92
  31. 31. Anualidades Tipos de anualidades Anualidades Vencidas: se caracterizan porque los pagos se realizan al final del periodo (Ejemplos visto) Anualidades anticipadas: se caracterizan porque los pagos se realizan al inicio del periodo Anualidades diferidas: los pagos se inician unos periodos después del inicio de la operación Anualidades perpetuas: No existe un número de pagos definido, este es indeterminado
  32. 32. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 En algunas operaciones es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de cada periodo; es el caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y contratos de seguros, este tipo de operaciones financieras reciben el nombre de anualidades anticipadas. Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del periodo del pago. En la gráfica se comparan las anualidades vencidas y anticipadas 0 1 2 3 n-2 n-1 n Anualidad Vencida vs Anticipada 2 31 n-2 n-1 Anualidades Anticipadas 0 𝑉𝑃 = ¿? 2 31 n-1 n A Anualidad Anticipada n
  33. 33. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Nótese que cuando se trata de anualidades anticipadas el primer pago se puede tratar como un pago inicial y lo que queda como una anualidad vencida donde n pasa a ser (n-1). (ver grafica) Anualidades Anticipadas 0 𝑉𝑃 = ¿? 2 31 n-1 n A Anualidad Anticipada 𝑉𝑃 = 𝐴 1 + 1 − (1 + 𝑖 −(𝑛−1 𝑖 Modelos o formulas matemáticas 𝑉𝐹 = 𝐴 1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑖 1 + 𝑖 𝑉𝐹 = ¿? 0 𝑉𝑃 = ¿? 2 31 n-1 n A 𝑉𝐹 = ¿?
  34. 34. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 AnualidadesAnticipadas Ejemplos…
  35. 35. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 AnualidadesAnticipadas Ejemplos… Nótese que el pago termina un mes antes
  36. 36. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 AnualidadesAnticipadas Ejemplos…
  37. 37. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 AnualidadesAnticipadas Ejemplos… Nótese que el pago termina un mes antes
  38. 38. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos (periodo de gracia), en estos casos la operación se denomina anualidad diferida. Este tipo de operaciones desde la mirada estricta de la definición no son anualidades. Anualidades Diferidas Anualidad Diferida 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n A 𝑽𝑷 𝒊 0 Teniendo en cuenta que estas operaciones no son anualidades para poder aplicar las formulas dadas anteriormente es necesario realizar algunas cálculos adicionales cuando se quiere hallar el VP y VF
  39. 39. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Diferidas Calculo del VF 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n A 𝑽𝑷 𝒊 0 Para hallar el valor presente de este tipo anualidades, se determina el valor presente de la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando para ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se determina el equivalente en el periodo 0. (VP en 0). Calculo del VP y el VF 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n A 𝑽𝑭 𝒊 0 Calculo del VP Para hallar el valor futuro de este tipo anualidades, simplemente se determina el número de periodos en que se realiza la operación y se calcula el VF. Recuerde que si los pagos se inician en el periodo (n-3), la operación se inicia en el periodo anterior (n-4)
  40. 40. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Diferidas Ejemplos…
  41. 41. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Diferidas Nótese que al final del periodo 23 (18+5) el saldo es igual a 0
  42. 42. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Diferidas Ejemplos…
  43. 43. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Diferidas Ejemplos… Nótese que al final del periodo 37 (30+7) el saldo es igual a 0
  44. 44. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades DiferidasEjemplos…
  45. 45. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades DiferidasEjemplos… Nótese que al final del tercer año el saldo del ahorro es igual al calculado
  46. 46. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Al deducirse los modelos matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito Anualidades Perpetuas Anualidad Perpetua 1 2 3 n-3 n-2 n- 1 ∞ A 𝑽𝑷 i 0 𝑉𝑃 = 𝐴 𝑖 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0 Calculo del Valor Presente
  47. 47. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Al deducirse los modelos matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito Anualidades Perpetuas Anualidad Perpetua 1 2 3 n-3 n-2 n- 1 ∞ A 𝑽𝑷 i 0 𝑉𝑃 = 𝐴 𝑖 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0 Calculo del Valor Presente
  48. 48. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 Anualidades Perpetuas Ejemplos…
  49. 49. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017 AnualidadesPerpetuas Ejemplos…

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