Tarefa Informática-II-Infinito

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Este Slide procura demonstrar para os alunos a descoberta do infinito e ao mesmo tempo contar a História da Matemática.

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Tarefa Informática-II-Infinito

  1. 1. <ul><li>O INFINITO ATRAVÉS DO TEMPO </li></ul><ul><li>Cláudio Carvalho Viveiros </li></ul><ul><li>Pólo de Petrópolis </li></ul><ul><li>Grupo 5 </li></ul>
  2. 2. O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS <ul><li>2.2 - Introdução: </li></ul><ul><li>A História da Ciência e, em particular, a História da Matemática, constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas idéias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Assim, esta história é um valioso instrumento para o ensino/aprendizado da própria matemática. Podemos entender porque cada conceito foi introduzido nesta ciência e porque, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento. Permite também estabelecer conexões com a história, a filosofia, a geografia e várias outras manifestações da cultura. </li></ul><ul><li>A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática. </li></ul>
  3. 3. O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS <ul><li>2.3 - Objetivos </li></ul><ul><li>Pretende-se desenvolver situações de ensino e de aprendizagem que possibilitem aos alunos: </li></ul><ul><li>- investigar os problemas ou necessidades que impulsionaram o desenvolvimento de diferentes áreas de conhecimento matemático; </li></ul><ul><li>- compreender os processos através dos quais novos conceitos foram e serão construídos – extensões, generalizações, resolução de problemas; </li></ul><ul><li>- explicitar o caráter não linear da evolução do conhecimento matemático, destacando as rupturas envolvidas na adoção de novos paradigmas; </li></ul><ul><li>- investigar as restrições e possibilidades estabelecidas pela adoção de diferentes linguagens, procedimentos e modos de conceber a Matemática; </li></ul>
  4. 4. O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS <ul><li>2.3 - Objetivos: </li></ul><ul><li>- compreender o lugar do pensamento intuitivo, experimental e do pensamento dedutivo na produção e validação do conhecimento matemático, em períodos determinados; </li></ul><ul><li>- expressar as potencialidades e os limites de diferentes culturas e períodos; </li></ul><ul><li>- estudar a evolução dos conceitos e teorias relacionados aos tópicos da súmula, estabelecendo nexos com outras áreas do conhecimento matemático; </li></ul><ul><li>- sensibilizar para os desafios e dificuldades envolvidas na produção do conhecimento matemático que é disseminado, de forma simplificada e acabada, no ensino médio. </li></ul><ul><li>- Fixar conhecimento em análise de dados e cálculo de progressões matemáticas </li></ul>
  5. 5. O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS O PARADOXO DE AQUILES E A TARTARUGA <ul><li>2.4 – Metodologia e Apresentação </li></ul><ul><li>O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga possui o mesmo argumento que o paradoxo da dicotomia, porém em vez de um objeto, temos dois objetos em movimento com velocidades diferentes. Ele é assim enunciado: Numa corrida entre Aquiles e a Tartaruga em que a Tartaruga saí com uma certa vantagem, mesmo sendo mais lenta que Aquiles, este jamais a alcança; pois aquele que persegue tem primeiro de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento começou, e o mais lento tem necessariamente de já estar a alguma distância à frente. </li></ul>
  6. 6. O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS <ul><li>2.4 – Metodologia e Apresentação </li></ul><ul><li>O Paradoxo da Dicotomia </li></ul><ul><ul><li>* O argumento desse paradoxo consiste basicamente na idéia de que aquilo que se move tem que chegar na metade de seu percurso antes de chegar ao fim. O raciocínio é o seguinte: antes de percorrer todo o percurso, o objeto que se move deve percorrer metade do percurso. Antes de percorrer a metade que falta, deve percorrer a metade deste, ou seja, a metade da metade (um quarto do percurso inicial), e assim sucessivamente, o objeto deverá percorrer um conjunto infinito de intervalos. </li></ul></ul>
  7. 7. O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS <ul><li>2.4 – Metodologia e Apresentação: </li></ul><ul><li>Inicialmente apresentamos um texto contendo a História da Descoberta do Infinito desde à época de Zenão até os dias de hoje. Ao ler o texto com os alunos, recomendamos que eles anotem ou grifem as informações que considerarem mais significativas. Após relembramos à classe que em Matemática lidamos com dois tipos diferentes de atividade: um que envolve a contagem de elementos dados em unidades, os quais são discretos e indivisíveis (por exemplo, uma pedra), e outro que diz respeito à medida de quantidades contínuas, sujeitas a infinitas divisões, isto é, infinitamente divisíveis. É o caso do comprimento, do volume, da massa, do tempo, etc...Explicamos que muitos séculos se passaram até que o homem construísse uma teoria sobre continuidade. A continuidade do tempo, a do espaço, a do movimento e da estrutura da matéria foram especuladas desde a Antiguidade grega. Contudo, o desenvolvimento dessa teoria, responsável por um grande avanço da ciência, ocorreu somente no século XIX. Assinalamos que tais idéias deram lugar a inúmeras polêmicas, uma das quais criada por Zenão de Eléia (460 a.C.). </li></ul>
  8. 8. O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS <ul><li>2.4 – Metodologia e Apresentação: </li></ul><ul><li>Zenão bolou fantásticos quebra-cabeças, dos quais o mais famoso é o paradoxo de Aquiles. Essas proposições tornaram-se ícones para os estudos envolvendo continuidade e infinitésimos, dois conceitos básicos do cálculo diferencial. Propomos um desafio, parodiando o paradoxo de Aquiles e a tartaruga. Chamaremos dois jovens à lousa, um para marcar os passos da tartaruga e outro para, em seguida, indicar as posições correspondentes do corredor. Começa a brincadeira. Avisamos que Aquiles corre, por suposição, dez vezes mais depressa que a tartaruga e, para compensar essa desvantagem, o bichinho sai com uma vantagem de 100 metros à frente. Assim, cada aluno deve desenhar a posição relativa de um dos competidores. Segundo Zenão, Aquiles percorre 100 metros e chega ao ponto de onde a tartaruga partiu. Enquanto isso, ela anda um décimo do que percorreu Aquiles ficando, portanto, 10 metros à frente deste (peço que esse ponto seja registrado). Aquiles corre esses 10 metros e chega, portanto, onde estava a tartaruga no instante anterior. A tartaruga ficará 1 metro à sua frente. Na etapa seguinte, ela estará um decímetro à frente, depois, 1 centímetro, 1 milímetro e assim por diante. </li></ul>
  9. 9. O INFINITO ATRAVÉS DOS TEMPOS <ul><li>Revelamos, então, a conclusão de Zenão: o corredor estará sempre a se aproximar da tartaruga, sem jamais alcançá-la, e pior, sem ultrapassá-la. Deixarei claro que os filósofos da época sabiam que Aquiles poderia ultrapassar a tartaruga. A questão é a dificuldade de resolver o dilema dentro do raciocínio criado por Zenão. Comentamos que faltava uma linguagem matemática capaz de explorar livremente essa questão, o que só seria possível com a criação do conceito de infinito e de limites.De forma intuitiva, podemos resolver e interpretar o problema utilizando a determinação da geratriz de uma dízima periódica indicando os espaços percorridos por Aquiles na forma de uma seqüência: (100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001... ). A soma desses termos dá: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = 111,1111, que é uma dízima periódica de período 1. Podemos estabelecer que 111,1111 = x. Assim, 1111,111 = 10x. Subtraindo a primeira expressão da segunda, temos 1000 = 9x –> x = 1000/9. Ou seja, o limite da distância percorrida por Aquiles é 1000/9. Para finalizar, é interessante distribuir o quadro abaixo a fim de que os estudantes tenham uma idéia das supostas origens do símbolo dessa quantidade, o chamado 8 deitado.  </li></ul>

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