Universidade regional do noroeste do estado do rio grande do sul – unijuí
vice-reitoria de graduação – vrg
coordenadoria d...
	2009, Editora Unijuí
	 Rua do Comércio, 1364
	 98700-000 - Ijuí - RS - Brasil
	 Fone: (0__55) 3332-0217
	 Fax: (0__55) 3...
Sumário
Conhecendo os Professores ...........................................................................................
Unidade 4 – MATRIZES E SISTEMAS LINEARES .............................................................137
Seção 4.1 – Noçõ...
EaD
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Matemática aplicada à administração
Conhecendo os Professores
SONIA BEATRIZ TELES DREWS
Sou natural da cidade de Cru...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
6
Pela minha atuação na academia, sou membro do corpo editori...
EaD
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Matemática aplicada à administração
PEDRO AUGUSTO PEREIRA BORGES
Entre os alunos e colegas sou mais conhecido como P...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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Trabalho na Unijuí desde 1986 e atualmente dedico-me às ati...
EaD
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Matemática aplicada à administração
GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
Por meio do estudo dessa Unidade você terá condiçõe...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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unidade de medida padrão (metro, centímetro...) com o tama...
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Matemática aplicada à administração
Se a e b são dois números naturais (com b ≠ 0), chamamos de fração as expressõe...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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3
2:2
=
3
1
(dividida por 2). Ou seja,
3
1
é a metade de
3...
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Matemática aplicada à administração
1.1.2 – Aplicações de razão
ESCALA
Você já ouviu falar em escala?
Os desenhos d...
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100
1
=
m
D
10 	
Empregando a propriedade F1, multiplicamo...
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Matemática aplicada à administração
Exemplo 1.1.9: A taxa de variação (crescimento ou decrescimento) da população d...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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totalsuperfície
totalpopulação
ademográficDensidade =
nona...
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Matemática aplicada à administração
Não são poucas as vezes em que ouvimos falar sobre esses dois coeficientes, não...
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Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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3. A miniatura de um colégio foi feita na escala de 1 : 10...
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Matemática aplicada à administração
Assim como as frações, as proporções também têm propriedades, as quais apresent...
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Seja a proporção
d
c
b
a
= . Usando a PP3, temos
d
b
c
a
a...
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Matemática aplicada à administração
Assim, vale lembrar que as equações são igualdades. A solução de uma equação co...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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5
5x
=
5
25
x = 5.
b) Ainda usando o princípio multiplicat...
EaD
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Matemática aplicada à administração
9
126
=a		 		 	
9
63 = 9b
a=14					 b = 7
Exemplo 1.2.5 – Dadas as razões
2
x
=...
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Aplicando a propriedade PP2 das proporções:
=
++
++
241010...
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Matemática aplicada à administração
Considerando que você já fez todos os exercícios, ainda queremos retomar o tema...
EaD
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J
C
=
10
2
Observe que
J
C
=
10
2 pode ser escrito
2
C
=
1...
EaD
27
Matemática aplicada à administração
632 ++
++ cba
=
11
55 =
2
a
=
3
b
=
6
c
Da segunda proporção, temos:
11
55 =
2
...
EaD
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Solução: você deve observar que a seqüência de números 2, ...
EaD
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Matemática aplicada à administração
Para que você possa perceber a aplicação do que estudamos, apresentamos um prob...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
30
Regra-de-três simples:
A regra-de-três simples é direta ou...
EaD
31
Matemática aplicada à administração
Exemplo 1.3.2 – 15 operários levam 8 dias para realizar um determinado trabalho...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
32
b) Identifica-se as grandezas direta ou inversamente propo...
EaD
33
Matemática aplicada à administração
12 pedreiros a 12 horas gastam 26 dias.
8 pedreiros a 13 horas gastam x dias.
O...
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5) Para construir 25 armazéns de soja são necessários 60 h...
EaD
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Matemática aplicada à administração
Taxa percentual
Temos uma taxa percentual ou taxa centesimal quando o conseqüen...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
36
Exemplo 1.4.2 – Comprei certa mercadoria por R$ 5.000,00 e...
EaD
37
Matemática aplicada à administração
Porcentagem sobre o preço de venda
Quando a porcentagem é calculada sobre o pre...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
38
Solução: Usando a equação anterior, temos:
C = 100 + 20 = ...
EaD
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Matemática aplicada à administração
Seção 1.5
Regra de sociedade
Os problemas de divisão proporcional, numa empresa...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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A = 25.000 X 2 = 50.000
B = 50.000 X 2 = 100.000
C = 35.00...
EaD
41
Matemática aplicada à administração
3º) Tempos diferentes e capitais diferentes: divide-se o lucro ou prejuízo da s...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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C=
127
1
(1.750.000) = =
127
000.750.1
13.779.527
Atenção:...
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Matemática aplicada à administração
FUNÇÕES
Nesta segunda Unidade nossos objetivos são:
1. Desenvolver o conceito d...
EaD
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Seção 2.1
Intervalos e conjuntos numéricos
As variáveis ut...
EaD
45
Matemática aplicada à administração
≥ maior ou igual e
≤ menor ou igual.
Veja os exemplos:
1) A={x ∈ N / x > 2} Lê-...
EaD
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Z={...,-6,-5,-4-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,...}
Escrevend...
EaD
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Matemática aplicada à administração
Exemplo de números racionais:
	 .....6666,0
3
2
= 		 .8,0
5
4
= 		 ....0000,66
...
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Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos Números Reai...
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Matemática aplicada à administração
Exercícios 2.1.2
1. Represente os seguintes conjuntos na reta real.
	 a) B={ x ...
EaD
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Na Pizzaria Sabor Derretido todas as pizzas têm o mesmo pr...
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Matemática aplicada à administração
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0 1 2 3 4 5
n (unidades)
C(n)($)
Figura 2.2.1: Função cus...
EaD
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Exemplo 2.2.2 – Se Dona Maria for buscar as pizzas com seu...
EaD
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Matemática aplicada à administração
Exemplo 2.2.3 – Nem sempre Dona Maria oferece pizzas para sua família. Sempre
q...
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0
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0 1 2 3 4 5
massa de arroz (kg)
Ca($)
Figu...
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Matemática aplicada à administração
Para generalizar esta fórmula substituímos o valor do financiamento por VF e
te...
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Figura 2.3.1: Coeficiente angular
Observe o triângulo mais...
EaD
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Matemática aplicada à administração
Figura 2.3.2 – Equação da reta
Na reta mostrada na Fig. 2.3.2, escolhemos os po...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
58
Chamaremos yo
na Eq. 2.3.4 de coeficiente linear (porque y...
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Matemática aplicada à administração
Quanto maior o coeficiente angular, mais próxima da vertical está a reta.
Quant...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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Retas crescentes e decrescentes
Observe os coeficientes an...
EaD
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Matemática aplicada à administração
X Y
0 1,3
1,2 3,7
2 5,3
3,4 8,1
4 9,3
	 b) Calcule o coeficiente angular e o li...
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	 a) P1
=(1,1) e P2
=(2,4).
	 b) P1
=(1,6) e P2
=(5,3)
	 c...
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Matemática aplicada à administração
7. Um empresário fez um financiamento de curto prazo com juros simples. O ca-
p...
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C(n) = P1
⋅ n1
+ P2
⋅ n2
+ P3
⋅ n3
+ ....							 (2.3.8)
O...
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Matemática aplicada à administração
4. Verifique a ocorrência de outras despesas como energia elétrica, gás, etc, e...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
66
Podemos colocar letras, números e fórmulas nas células. Ob...
EaD
67
Matemática aplicada à administração
Célula B2: Escrevemos “=3*A2+1” para calcular os valores da função Y.
Observe q...
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68
Clicando com o botão esquerdo do mouse no centro de A1 e a...
EaD
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Matemática aplicada à administração
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X
Y
Y
Atenção: você também poderá visualizar a realização ...
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ATIVIDADES COM O EXCEL
1. Faça o gráfico das funções na me...
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Matemática aplicada à administração
A função do 2º Grau tem a forma
y(x) = a2
x2
+ a1
x + ao
ou uma forma mais conh...
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0
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X
Y
0
1
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4
5
6
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0 1...
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Matemática aplicada à administração
2) Dois valores iguais de x: x1
= x2
(significa somente um ponto). Isto ocorre ...
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Exemplo 2.4.2: Dada a função y = x2
– 4x + 4, encontre as ...
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Matemática aplicada à administração
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X
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Figura 2.4.5: Ex.2.4.3 – Parábola sem raízes re...
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O vértice da parábola
O vértice de uma função quadrática é...
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Matemática aplicada à administração
Figura 2.4.4: Vértice da parábola
Perceba que buscamos trabalhar com exemplos c...
EaD
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Funções Polinomiais
Existem funções polinomiais de ordem (...
EaD
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Matemática aplicada à administração
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X (unidades)
Custo($)
Figura 2.4.5: Custo de...
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PP1) bm
⋅ bn
= bm+n
(produto de potências de mesma base)
P...
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Matemática aplicada à administração
Exercícios 2.5.1
1. Resolva as potências usando as propriedades.
	 a) 23
⋅ 22
=...
EaD
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onde y é a variável dependente, x a variável independente,...
EaD
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Matemática aplicada à administração
Exemplo 2.5.3 – Vamos fazer uma tabela e um esboço do gráfico das funções: y =
...
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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Equações exponenciais
As equações exponenciais são igualda...
EaD
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Matemática aplicada à administração
V = R$ 110.000 ⋅ 2-0,2⋅ 10
V = R$ 27.500,00
(b) Usando V = Vo
/2 e b = 0,2 na E...
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Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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2. A depreciação de um carro pode ser dada pela Eq. 2.5.3....
EaD
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Matemática aplicada à administração
Observe que nesse modelo o número de ratos da geração posterior (P(n+1)
) é cal...
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Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
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onde Co
é o capital inicial (R$),
100
j
1i += , onde j é a...
Apostila unijuí   matemática aplicada à administração
Apostila unijuí   matemática aplicada à administração
Apostila unijuí   matemática aplicada à administração
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  1. 1. Universidade regional do noroeste do estado do rio grande do sul – unijuí vice-reitoria de graduação – vrg coordenadoria de educação a distância – CEaD Coleção Educação a Distância Série Livro-Texto Ijuí, Rio Grande do Sul, Brasil 2009 Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges matemática aplicada à administração
  2. 2.  2009, Editora Unijuí Rua do Comércio, 1364 98700-000 - Ijuí - RS - Brasil Fone: (0__55) 3332-0217 Fax: (0__55) 3332-0216 E-mail: editora@unijui.edu.br Http://www.editoraunijui.com.br Editor: Gilmar Antonio Bedin Editor-adjunto: Joel Corso Capa: Elias Ricardo Schüssler Revisão: Véra Fischer Designer Educacional: Liane Dal Molin Wissmann Responsabilidade Editorial, Gráfica e Administrativa: Editora Unijuí da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí; Ijuí, RS, Brasil) Catalogação na Publicação: Biblioteca Universitária Mario Osorio Marques – Unijuí D776m Drews, Sonia Beatriz Teles. Matemática aplicada à administração / Sônia Beatriz Teles Drews, Pedro Augusto Pereira Borges. – Ijuí : Ed. Unijuí, 2009. – 182 p. – (Coleção educação a distância. Série livro-texto). ISBN 978-85-7429-784-2 1. Matemática. 2. Administração financeira. 3. Matemática comercial. 4. Matemática - Conceitos. I. Borges, Pedro Augusto Pereira. II. Título. III. Série. CDU : 51 51:658 658.15
  3. 3. Sumário Conhecendo os Professores ...........................................................................................5 Unidade I – GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO ..............................................................9 Seção 1.1 – Grandezas................................................................................................................9 Seção 1.2 – Proporção...............................................................................................................18 Seção 1.3 – Regra-de-três.........................................................................................................29 Seção 1.4 – Porcentagem..........................................................................................................34 Seção 1.5 – Regra de sociedade................................................................................................39 Unidade 2 – FUNÇÕES ............................................................................................................43 Seção 2.1 – Intervalos e conjuntos numéricos.........................................................................44 Seção 2.2 – Definição, expressão matemática e gráfico de funções.......................................49 Seção 2.3 – Equação da reta.....................................................................................................55 Seção 2.4 – Funções quadráticas..............................................................................................70 Seção 2.5 – Funções exponenciais e logaritmos......................................................................79 Unidade 3 – TAXAS DE VARIAÇÃO E DERIVADAS .............................................................99 Seção 3.1 – Taxa de variação de uma função.........................................................................100 Seção 3.2 – A derivada de uma função..................................................................................103 Seção 3.3 – Regras de derivação............................................................................................109 Seção 3.4 – Análise do crescimento de funções....................................................................118 Seção 3.5 – Pontos críticos e extremos locais de funções......................................................120 Seção 3.6 – Aplicações de derivadas......................................................................................128
  4. 4. Unidade 4 – MATRIZES E SISTEMAS LINEARES .............................................................137 Seção 4.1 – Noções de matrizes e organização de dados com matrizes..............................137 Seção 4.2 – Tipos de matrizes.................................................................................................141 Seção 4.3 – Operações com matrizes.....................................................................................143 Seção 4.4 – Sistemas lineares.................................................................................................148 Anexo 1 – GABARITO DAS QUESTÕES ...............................................................................159 Anexo 2 – COMO INSERIR UMA EQUAÇÃO ......................................................................179 Referências ..........................................................................................................................181
  5. 5. EaD 5 Matemática aplicada à administração Conhecendo os Professores SONIA BEATRIZ TELES DREWS Sou natural da cidade de Cruz Alta/RS e desde 1958 resido na cidade de Ijuí/RS. Cursei o primeiro e segundo grau-normal na cidade onde nasci, possuo Bacharelado e Licenciatura em Pedagogia, ambas cursadas na Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – Unijuí –, que na época era a Fafi. Durante toda minha carreira profissional sempre busquei ficar atualizada, realizando especialização em Educação e Administração Escolar, em Matemática e Estatística, e também Mestrado em Educação nas Ciências com enfoque matemático na Unijuí. Como profissional, a minha trajetória no ensino foi sempre com- prometida com a aprendizagem dos alunos, atuando inicialmente no ensino primário, secundário, médio e nos cursos de pré-vestibular. Concomitantemente, atuei como professora universitária (Unijuí) desde 1968, como docente nos cursos de Matemática, Física, Economia, Admi- nistração, Agronomia, entre outros, desenvolvendo também atividades de ensino e extensão nas áreas de educação matemática, formação de professores e programas voltados para o desenvolvimento regional com enfoque no desenvolvimento profissional do professor. Também durante minha caminhada profissional assumi cargos administrativos. Fui secretária municipal de Educação/Ijuí, posterior- mente assumi a Delegacia Regional de Educação – 36ª DE –, e na universidade em que atuo mais de uma vez fui chefe de Departamento (Defem) e coordenadora do curso de Matemática. Também desempe- nhei as funções de chefe de gabinete da Reitoria e tive o privilégio de iniciar a Coordenadoria de Apoio aos Estudantes Universitários da Unijuí.
  6. 6. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 6 Pela minha atuação na academia, sou membro do corpo editorial da Educação Matemática em Revista do RS. Durante esta minha tra- jetória educacional recebi alguns prêmios e títulos honoríficos. Minha maior satisfação é estar sempre em contato com os alunos e fazer da sala de aula a razão da minha profissão.
  7. 7. EaD 7 Matemática aplicada à administração PEDRO AUGUSTO PEREIRA BORGES Entre os alunos e colegas sou mais conhecido como Pedro Bor- ges. Nasci em Tenente Portela/RS e moro em Ijuí/RS desde 1969. Sou casado e tenho duas filhas. Formei-me em Matemática pela Unijuí em 1983. Trabalhei bastante com o ensino de Matemática elementar desde 1980 nos ensinos Fundamental e Médio. Desde essa época o interesse pelas aplicações da Matemática orientava minhas ações, tanto na área da educação quanto no estudo da Matemática em si. A questão que me preocupava era: Para que serve a Matemática ensinada nas escolas? Em 1984 ingressei no Mestrado em Educação na Unicamp – SP, quando aprendi a importância de conhecer a história e os fundamentos da educação matemática. A partir de 1989 passei a trabalhar somente no ensino superior. As disciplinas de funções, cálculo diferencial e integral, cálculo numérico e equações diferenciais ocuparam grande parte do meu tempo, principalmente com relação as suas aplicações nas Ciências, Engenharia e Economia. A questão que passou a me preocupar era: – Qual é a função da Matemática nos cursos em que ela é ensi- nada como disciplina formadora básica? Em 1997 concluí o Mestrado em Matemática na Unijuí, em que não só entendi como a Matemática é usada nas Ciências, mas como ela é empregada para resolver problemas reais (Modelagem Matemática). Entusiasmado com o esclarecimento das questões de aplicação, fiz o Doutorado em Engenharia Mecânica/UFRGS (1998-2002), durante o qual tive a oportunidade de conhecer métodos matemáticos, que são a base da ciência moderna.
  8. 8. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 8 Trabalho na Unijuí desde 1986 e atualmente dedico-me às ativi- dades de ensino na Graduação e no Mestrado em Modelagem Mate- mática. Neste Mestrado pesquiso aplicações de equações diferenciais em problemas de transferência de calor e massa, tais como: secagem de grãos, movimento da água no solo, irrigação e aquecimento/resfria- mento de sólidos. Os problemas de economia e finanças também são de meu interesse e este livro é um passo nessa direção.
  9. 9. EaD 9 Matemática aplicada à administração GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO Por meio do estudo dessa Unidade você terá condições de dominar a aplicação das pro- priedades algébricas empregadas para resolver situações-problema da área de Administração e que envolvam grandezas direta e inversamente proporcionais. Parece difícil? Não se preocupe, porque vamos percorrer esse caminho juntos, passo a passo. Para que possamos alcançar esses objetivos, as seções desta Unidade são: Seção 1.1 Grandezas Seção 1.2 Proporção Seção 1.3 Regra de três Seção 1.4 Porcentagem Seção 1.5 Regra de Sociedade Vamos dar o primeiro passo? Seção 1.1 Grandezas Uma grandeza é algo que podemos medir. Medir é comparar a quantidade de uma gran- deza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade padrão. Quando usamos uma régua para medir o comprimento de uma mesa estamos comparando uma Unidade I
  10. 10. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 10 unidade de medida padrão (metro, centímetro...) com o tamanho da grandeza comprimento. Nesse caso estamos interessados em saber quantos centímetros cabem no comprimento da mesa. Assim, comprimentos, áreas e volumes são grandezas. O peso de uma mercadoria, o comprimento de uma corda, o tempo de uma reunião, a massa corporal, a velocidade de um carro, o custo de uma mercadoria, a produção, o trabalho, a matéria-prima, o preço, etc., são exemplos de grandezas. A propriedade de uma grandeza é a sua capacidade de ser medida. Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar, (lembre-se: o dinheiro é uma grandeza especial: cada país tem suas próprias unidades). 1.1.1 Razão Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b # 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por b a , a/b ou a: b, onde o primeiro termo chama-se antecedente e o segundo chama-se conseqüente. Exemplo 1.1.1: Estão matriculados na EaD da Unijuí 30 rapazes e 35 moças. Encon- tre a razão entre o número de rapazes e o número de moças (lembre-se que razão é divisão). Solução: 35 30 simplificando temos 7 6 (dividimos por 5 os dois termos da razão) 7 6 (indica que para cada 6 rapazes existem 7 moças). 7 6 (lê-se 6 está para 7) e significa que para cada 6 corresponde 7. Nessa razão, o 6 é o antecedente e o 7 o conseqüente. Simples, não é?
  11. 11. EaD 11 Matemática aplicada à administração Se a e b são dois números naturais (com b ≠ 0), chamamos de fração as expressões do tipo b a , onde o número colocado acima do traço chama-se numerador e indica quantas partes do inteiro foram tomadas e o número abaixo do traço chama-se denominador e indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido. As frações representam uma parte, ou algumas partes, de um todo que foi dividido em partes iguais. Fração 7 6 : lê-se 6 sétimos e significa 6 partes do total de 7. Propriedades das Frações Usaremos F1, F2, ..., para numerar as propriedades das frações: F1 – Uma fração não se altera quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo número dife- rente de zero ou mesmo fazendo a divisão desta fração pelo mesmo divisor comum. Exemplo 1.1.2: Vamos testar a propriedade F1: 5 3 = 65 63 ⋅ ⋅ = 30 18 Você deve observar que obtemos 0,6 fazendo a divisão tanto em 5 3 quanto em 30 18 . O mesmo teste pode ser feito dividindo numerador e denominador pelo mesmo nú- mero: 30 18 = 6:30 6:18 = 5 3 F2 – Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é mul- tiplicada ou dividida por esse número. Exemplo 1.1.3: Seja a fração 3 2 . Multiplicando o numerador por 4, temos: 3 42 ⋅ = 3 8 (multiplicada por 4). Ou seja, 3 8 é quatro vezes maior que 3 2 .
  12. 12. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 12 3 2:2 = 3 1 (dividida por 2). Ou seja, 3 1 é a metade de 3 2 . F3 – Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração é dividida ou multiplicada por esse número. Exemplo 1.1.4: Seja a fração 4 3 . Multiplicando o denominador por 2, temos: 24 3 ⋅ = 8 3 (a fração ficou dividida por 2). Ou seja, 8 3 é a metade de 4 3 . 2:4 3 = 2 3 (a fração ficou multiplicada por 2). Ou seja, 2 3 é o dobro de 4 3 . Agora que você já foi “apresentado” à Razão, conhecerá a sua parente, a Razão Inversa. Vamos lá? Razão Inversa Duas razões são inversas quando: 1) o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente da outra e vice-versa; ou 2) o produto de uma razão pela outra for igual a 1. Exemplo 1.1.5: As razões 10 5 e 5 10 são inversas, pois o antecedente da primeira é igual ao conseqüente da segunda e vice-versa. Também podemos ver que são razões inversas por que 10 5 . 5 10 = = 50 50 1. Você deve estar se perguntando, há algum tempo: – Mas... E daí? Por que estudar grandezas, a Razão é importante? Siga adiante e você vai compreender.
  13. 13. EaD 13 Matemática aplicada à administração 1.1.2 – Aplicações de razão ESCALA Você já ouviu falar em escala? Os desenhos de casas e mapas são feitos usando escalas. A escala é uma razão entre a medida no desenho e a medida do objeto real. realmedida desenhonomedida Escala = Exemplo 1.1.6: A distância entre as cidades A e B é de aproximadamente 800 km e o mapa que mostra esta distância corresponde a 2,5 cm. Qual a escala utilizada? (lembre-se que na escala as medidas devem estar na mesma unidade). Solução: Usando a definição de escala anterior temos: E= km cm 800 5,2 = cm cm 000.000.80 5,2 Aplicando a propriedade F1 das frações, dividimos antecedente e conseqüente por 2,5 e obtemos: E= cm cm 000.000.32 1 . Escrevendo na forma de razão, temos: E = 1: 32.000.000 (lê-se 1 para 32.000.000) Exemplo 1.1.7: Uma maquete de um edifício foi feita na escala de 1:100. A altura real do edifício é de 10 m. Qual é a altura aproximada do edifício na ma- quete? Solução: A razão das grandezas da escala ( 100 1 ) é igual à razão entre as alturas do edifício na maquete (D) e na construção real (10 m). Assim,
  14. 14. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 14 100 1 = m D 10 Empregando a propriedade F1, multiplicamos o numerador e o denominador da segunda razão por 10 e obtemos duas razões com denominadores iguais. 100 1 = 100 D10 1010 10D = ⋅ ⋅ Se os denominadores são iguais, então os numeradores também serão iguais. Por- tanto: 10⋅D = 1 D = 0,10m. Agora que você conheceu (e entendeu) a primeira aplicação para a razão, vamos passar para outra aplicação: Velocidade. VELOCIDADE A velocidade (V) de um objeto qualquer, se deslocando em uma trajetória, é a razão entre a distância percorrida e o tempo. (h)tempo (km)distância V = (Observe que neste caso as unidades das grandezas são diferentes). Exemplo 1.1.8: 150km/2h = 75km/h (as unidades km/h não podem ser simplificadas) TAXA As taxas são razões entre duas grandezas. Estas taxas podem ser relacionadas a conjuntos de 100, 1000,... unidades das grandezas envolvidas. Em outras palavras, multiplicadas por 100, 1000,... Dois exemplos desse tipo de taxa são a taxa de crescimento populacional e a taxa de juros.
  15. 15. EaD 15 Matemática aplicada à administração Exemplo 1.1.9: A taxa de variação (crescimento ou decrescimento) da população de uma cidade, em um certo período, é uma razão entre a variação do número de habi- tantes (∆P, delta P), pelo número de habitantes que moravam na cidade no início do período considerado. Uma cidade tinha 80.000 habitantes no fim de 2007 e 86.000 habitantes no fim de 2008. Qual é a taxa de crescimento da população desta cidade, no período considerado? Solução: A variação do número de habitantes é ∆P=86.000-80.000=6.000. A taxa de crescimento é 075,0 80000 6000 P P t == ∆ = Isto significa que a população aumentou 0,075 habitante para cada habitante residen- te em 2007. Esta taxa é mais útil quando associada à população de 100 habitantes. Multiplicando a taxa por 100, temos: t = 7,5 para cada 100 habitantes residentes em 2007. Isso, porém, não é tudo. Se você percebeu a importância de entender esse conteúdo, veja uma outra aplicação... TAXA DE JUROS A taxa de juros de um capital aplicado, em um certo período, é uma razão entre a varia- ção do capital (∆C, delta C), pelo capital aplicado (C), multiplicada por 100. Ficou interessado? Aguarde, pois estudaremos este tipo de taxa mais adiante. Agora ainda é preciso apresentar você aos “Índices”! 1.1.3 – Índices São obtidos por meio da comparação entre duas grandezas independentes. Ou, em outras palavras: índices são razões entre duas grandezas independentes. Veja alguns exemplos:
  16. 16. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 16 totalsuperfície totalpopulação ademográficDensidade = nonacional/apopulação nonacional/arenda capitaperRenda = Além dessas aplicações, muito utilizadas quando se trata de censo, por exemplo, também temos uma outra aplicação muito conhecida, que são os índices econômicos. ÍNDICES ECONÔMICOS população produtodototalvalor capitaperProdução = Onde o “valor total do produto” é o PIB (Produto Interno Bruto). população paísumdebensdetotalconsumo capitaperConsumo = população totalreceita capitaperReceita = Percebeu como é importante o estudo dos índices? Ainda precisamos, no entanto, citar os coeficientes. Veja por que na seqüência. COEFICIENTES São razões entre o número de ocorrências e o número total. totalpopulação snascimentoden natalidadedeeCoeficient o = totalpopulação óbitosden emortalidaddeeCoeficient o =
  17. 17. EaD 17 Matemática aplicada à administração Não são poucas as vezes em que ouvimos falar sobre esses dois coeficientes, não é mesmo? A seguir você terá exemplo comentado de como calcular uma razão, porém o que vimos até aqui servirá de subsídio para você resolver alguns exercícios que propomos no intuito de que tenha segurança de que aprendeu o que acabamos de ver. Exemplo 1.1.10 – Determine a razão que é igual a 5 3 e cujo antecedente seja igual a 9. Solução: Das condições do problema podemos afirmar que 5 3 = x 9 . Observe que se multiplicarmos o antecedente por 3, obtemos o antecedente 9. Usando a propriedade das frações F1, multiplicamos também por 3 o conseqüente e obtemos x= 15. Então a nova razão é 9/15. Exercícios 1.1. 1. Calcular as razões de: a) 5 e 15 d) 2 7 e 3 14 b) 64 e 4 e) 1,2 e 5 4 c) 3 2 e 6 f) 3,5 m e 0,7 dam 2. Determinar o antecedente e/ou conseqüente das seguintes razões, sabendo que: a) o conseqüente é 10 e a razão é 5 3 ; b) o antecedente é 3 2 e a razão é 14 12
  18. 18. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 18 3. A miniatura de um colégio foi feita na escala de 1 : 100, a altura real do colégio é de 20 m. Qual a altura aproximada da miniatura? 4. Um copo de suco corresponde a 250 ml. Um bar fez suco para 48 copos. Quantos litros de suco foram feitos? Se você realizou todos os cálculos, poderá conferir se as respostas estão corretos no final deste livro, mas não engane a si mesmo. Só depois de ter se esforçado para responder e achar o resultado é que você deve CONFERIR se está correto. Lembre-se: enganar a si mesmo é uma grande bobagem e dominar esses conteúdos básicos é essencial para o seu progresso! Após esta “combinação”, passaremos para o estudo da segunda seção desta Unidade: Proporção! Seção 1.2 Proporção Uma proporção é a igualdade entre razões b a = d c Os números que formam a proporção chamam-se, em geral, termos. O primeiro (a) e o quarto (d) chamam-se de extremos, o segundo (b) e o terceiro (c), meios. Exemplo: = 4 12 2 6 formam uma proporção. Essa proporção também pode ser escrita da seguinte forma: 12:4::6:2, e lê-se 12 está para 4, assim como 6 está para 2.
  19. 19. EaD 19 Matemática aplicada à administração Assim como as frações, as proporções também têm propriedades, as quais apresentaremos para você e, da mesma forma, também utilizaremos PP1, PP2 para numerá-las. PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES Propriedade fundamental: em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Na proporção d c b a = , multiplicando os extremos e os meios, obtemos a igualdade ad = bc. PP1) Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma ou diferença dos dois últimos está para o terceiro (ou quarto). No exemplo anterior: = 4 12 = 2 6 = ± 12 412 6 26 ± ou = ± 4 412 2 26 ± PP2) Em uma proporção, a soma do primeiro com o terceiro (a+c) está para a soma do segundo com o quarto termo (b+d), assim como o terceiro está para o quarto. Seja a proporção d c b a = . Usando a PP2, temos b a d c db ca == + + Deixamos para você substituir as letras por números e verificar se esta propriedade é cor- reta! PP3) Em uma proporção, a troca de posições entre o primeiro e o quarto termos não altera a proporção. O mesmo ocorre para a troca entre o segundo e o terceiro.
  20. 20. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 20 Seja a proporção d c b a = . Usando a PP3, temos d b c a a c b d == ou . Exemplo 1.2.1 – Taxa percentual Chama-se taxa percentual ou porcentagem de um número “a” sobre o número “b”, com b # 0, à razão: 100 x tal que 100 x = b a (indica-se 100 x por x%) Você deve lembrar que o símbolo % lê-se “por cento” e significa centésimos. Qual é a taxa percentual de 6 sobre 30? Solução: Sendo x % a taxa percentual, temos pela definição que: 100 x = 30 6 Usando a propriedade fundamental, temos: x = 30 6100 ⋅ = 20. Então, a taxa percentual é 20%. Além de princípio fundamental e dos outros três apresentados até aqui, também temos o princípio de igualdade que, por sua vez, também se subdivide em outros dois princípios, o aditivo e o multiplicativo. Princípios de Equivalência de Igualdade IGUALDADE – é uma sentença matemática em que as expressões matemáticas estão li- gadas pelo sinal =. A expressão situada à esquerda do sinal = é denominada 1º membro da igualdade. A expressão situada à direita do sinal = é denominada 2º membro da igualdade.
  21. 21. EaD 21 Matemática aplicada à administração Assim, vale lembrar que as equações são igualdades. A solução de uma equação consiste em obter o valor da incógnita (neste caso nos referimos à incógnita da equação, que não sabemos qual é) usando os “princípios da igualdade”, expostos a seguir. Os princípios da igualdade são: 1) Princípio aditivo: em uma igualdade, podemos adicionar um mesmo número aos dois mem- bros e a igualdade permanece. Exemplo 1.2.2 – resolver a equação: x + 10 = – 5 Solução: Aplicando o princípio aditivo: adicionamos (-10) a ambos os membros da equação, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo. x + 10 + (-10) = -5 + (-10) Simplificando a equação equivalente, obtemos x = -15. 2) Princípio multiplicativo: em uma igualdade, podemos multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo número não nulo, e a igualdade permanece. Exemplo 1.2.3 – resolver as equações: a) 5x = 25 b) -3x = 9 Solução: a) Ainda usando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os lados da equação dada por 1/5, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo. 5x . 5 1 = 25 . 5 1
  22. 22. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 22 5 5x = 5 25 x = 5. b) Ainda usando o princípio multiplicativo, dividimos ambos os lados da equação dada por (-3), com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo. 3 3 − − x = 3 9 − x = -3 Exemplo 1.2.4 – determinar a e b na proporção 6 a = 3 b , sabendo-se que a sua soma é 21. Solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos 36 ba + + = 3 b Usando a condição do problema: a + b = 21, temos 9 21= 6 a = 3 b Usando a primeira igualdade, temos 9 21= 6 a Aplicando a propriedade fundamental das proporções em cada uma das igualdades, temos: Na primeira igualdade: Na segunda igualdade: 21 · 6 =9 · a 21 x 3 = 9 x b 126 = 9 a 63= 9b
  23. 23. EaD 23 Matemática aplicada à administração 9 126 =a 9 63 = 9b a=14 b = 7 Exemplo 1.2.5 – Dadas as razões 2 x = 5 y = 8 z encontre o valor de x, y e z, sabendo- se que x+y+z =150. Solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos: 852 ++ ++ Zyx = 2 x = 5 y = 8 z . Usando a condição do problema, temos 15 150 = 2 x ; 15 150 = 5 y ; 15 150 = 8 z Aplicando a propriedade fundamental das proporções: 150.2 = 15.x 150.5 = 15y 150.8 = 15z 300 = 15x 750 = 15y 1200 = 15z 15 300 = x 15 750 = y 15 1200 = z X=20 y= 50 z= 80 Exemplo 1.2.6 – Dadas as razões = 2 x = 5 y 8 z calcule o valor de x, y e z sabendo-se que 5x+2y+3z=440. Solução: Como precisamos de 5x, 2y e 3z para empregarmos o valor de sua soma, isto é, 440, usando a propriedade F1 das frações, multiplicaremos os termos da primeira razão por 5, os da segunda por 2 e os da terceira por 3. Teremos então: = 10 5x = 10 2y 24 3z
  24. 24. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 24 Aplicando a propriedade PP2 das proporções: = ++ ++ 241010 325 zyx = 10 5x = 10 2y 24 3z Substituindo o numerador da 1ª igualdade, temos = 44 440 2 x = 44 440 5 Y = 44 440 8 Z Usando a propriedade fundamental das proporções, nas três equações anteriores, obtemos: x = 20 ; y = 50 e z = 80. Chegou a vez de testar os seus conhecimentos! Exercícios 1.2.1 1. Escreva sob a forma de número decimal as seguintes porcentagens: a) 12% b) 140% 2. Calcule: a) 30% de 270 b) 0,7% de 4.900 3. Calcule 20% de 50% (lembre-se: escrever 20% de 50% significa 20% ⋅ 50%).
  25. 25. EaD 25 Matemática aplicada à administração Considerando que você já fez todos os exercícios, ainda queremos retomar o tema da seção 1.1 que trata de grandezas e pensá-las com base nas proporções, tema desta seção 1.2. Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção. Se duas grandezas a e b são diretamente proporcionais, então os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é b a =k , onde k é um número chamado constante de proporcionalidade. Exemplo 1.2.7 – Os números 3, 4 e 6, respectivamente, são diretamente proporcionais a 12,16, 24. Qual é a constante de proporcionalidade ? Solução: Se os números dados são diretamente proporcionais, significa que a razão entre eles é a mesma. 12 3 = 16 4 = 24 6 Usando a propriedade F1 das frações é fácil mostrar que podemos reduzir todas essas razões a ¼. Assim, k = 4 1 é a constante de proporcionalidade. Exemplo 1.2.8 – A soma das idades de Carlos e Jair é 36 anos. Sabe-se que elas estão na razão de 2 para 10. Qual a idade de cada um? Solução: O dado do problema indica que C+J = 36. Fazendo a proporção sugerida no problema, temos
  26. 26. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 26 J C = 10 2 Observe que J C = 10 2 pode ser escrito 2 C = 10 J aplicando a propriedade PP3 das proporções. Usando a propriedade PP2, temos: 102 + + JC = 12 36 = 2 C = 10 J Usando a propriedade fundamental das proporções, na segunda igualdade, obte- mos C=6. Usando a propriedade fundamental das proporções, na proporção entre a segunda e a terceira razão, obtemos J=30. Carlos tem 6 anos e Jair 30 anos. Atenção: Uma maneira de conferirmos se as respostas estão corretas é verificar se o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, substituindo os valores de C e J na pro- porção do problema. 30 6 = 10 2 Observe que 6 • 10 = 30 • 2. Exemplo 1.2.9 – Dividir o número 55 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 6. Solução: Do problema, podemos concluir que a+b+c=55 e 2 a = 3 b = 6 c . Usando a propriedade PP2 e a equação do problema, temos:
  27. 27. EaD 27 Matemática aplicada à administração 632 ++ ++ cba = 11 55 = 2 a = 3 b = 6 c Da segunda proporção, temos: 11 55 = 2 a e usando a propriedade fundamental, temos; a = 10. Da igualdade da 2ª e 4ª razão, temos: 11 55 = 3 b e usando a propriedade fundamental, temos; b = 15. Da igualdade da 2ª e 5ª razão, temos: 11 55 = 6 c e usando a propriedade fundamental, temos; c = 30. Verificação: 2 10 = 3 15 = 6 30 (todos os quocientes são igual a 5 ) Grandezas inversamente proporcionais: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra di- minui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas a e b são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante k, tal que a · b = k. Exemplo 1.2.10 – Os números 2, 4, 5 são inversamente proporcionais a 20, 10 e 8. Qual é a constante de proporcionalidade k?
  28. 28. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 28 Solução: você deve observar que a seqüência de números 2, 4, 5 é crescente e a se- qüência de números 20, 10 e 8 é decrescente. Se os números dados são inversamente proporcionais, então as razões entre eles são iguais. 20 2 = 10 4 = 8 5 . A constante de proporcionalidade é 40. Observe que 2 • 20 = 40, 4 • 10 = 40 e 5 • 8 = 40. Exemplo 1.2.11 – Dividir o número 174 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9. Solução: Sejam x, y e z essas partes, então x+y+z = 174 e 3/1 x = 5/1 y = 9/1 z Usando a PP2 e a equação do problema, temos: 3/1 x = 5/1 y = 9/1 z = 9/15/13/1 ++ ++ zyx = 45/29 174 (Lembre-se: adição de frações + 3 1 + 5 1 9 1 = 45 5915 ++ = 45 29 ). A última razão pode ser escrita da seguinte forma: 29 45174 ⋅ = 29 7830 = 270 Construindo proporções com a 1ª , 2ª , 3ª e 5ª razão e resolvendo-as para x, y e z, obtemos: x= 90 ; y= 54 e z=30.
  29. 29. EaD 29 Matemática aplicada à administração Para que você possa perceber a aplicação do que estudamos, apresentamos um problema que envolve operações com proporções inversas. Exemplo 1.2.12 – Dividir entre três alunos 31 livros em partes inversamente propor- cionais aos erros que tiveram na prova de Matemática Financeira. O aluno A teve 2 erros, o aluno B , 3 erros e o aluno C, 5 erros. Solução: Os valores 2, 3 e 5 precisam ser representados em forma inversa aos seus valores, ou seja : O inverso de 2 é ½, de 3 é 1/3 e de 5 é 1/5. Considerando a, b e c o número de livros recebidos por cada aluno, temos: a + b + c = 31 e 5/1 c 3/1 b 2/1 a == Usando a PP2, temos: 5/1 c 3/1 b 2/1 a 1 30 30/31 31 5/13/12/1 cba ===== ++ ++ Aplicando a propriedade fundamental das proporções formadas pelas razões 3ª e 4ª, 3ª e 5ª e 3ª e 6ª, obtemos, respectivamente: a = 15; b = 10 e c = 6. Note que à medida que você avança no estudo desta unidade, mais você precisa do que estudou no princípio dela. Dessa forma, não siga adiante se tem dúvidas. Leia o material nova- mente, refaça os cálculos e, somente depois, siga adiante! Seção 1.3 Regra-de-três Quando se pretende calcular uma quantidade desconhecida, direta ou inversamente pro- porcional às demais quantidades conhecidas, tem-se um problema de regra-de-três.
  30. 30. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 30 Regra-de-três simples: A regra-de-três simples é direta ou inversa. É direta quando, crescendo os termos principais, seus relativos também crescem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos também diminuem. Exemplo 1.3.1 – Um operário levou 18 dias para construir um muro de 126 metros. Quantos dias levará para fazer outro muro igual com 252 metros? Solução: As quantidades 126 e 252 metros são as principais, 18 é o número de dias que pretendemos calcular, são os relativos. Se um operário levou 18 dias para fazer 126 metros de um muro, levará mais dias para fazer outro de 252 metros. Trata-se de uma regra-de-três simples e direta. Metros Dias 126 18 252 x Escrevendo em forma de proporção: = 252 126 x 18 Aplicando a propriedade fundamental das proporções: 126 ⋅ x = 252 ⋅ 18 x = 126 18252 ⋅ x = 36 dias. A regra-de-três é inversa quando, crescendo os termos principais, os seus relativos dimi- nuem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos crescem.
  31. 31. EaD 31 Matemática aplicada à administração Exemplo 1.3.2 – 15 operários levam 8 dias para realizar um determinado trabalho. Quantos dias levarão 5 operários para a conclusão do mesmo serviço? Solução: Colocando na forma da regra-de-três, temos: Operários Dias 15 8 5 x O número de operários, porém, é inversamente proporcional ao número de dias: di- minuindo o número de operários, aumenta o número de dias. Para usar a propriedade fundamental das proporções, precisamos inverter a segunda razão: = 5 15 8 x Usando a propriedade fundamental, temos 5x = 8 · 15 x = 5 158 ⋅ x = 24 dias. Lembre-se: a solução de um problema de regra-de-três simples, direta ou inversa, resume-se em calcular o quarto termo de uma proporção. Regra-de-três composta: é aquela que para resolução de seus problemas envolve três ou mais grandezas, sendo estas diretas ou inversamente proporcionais. Para resolvê-los: a) Escreve-se numa mesma coluna a grandeza de mesma espécie.
  32. 32. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 32 b) Identifica-se as grandezas direta ou inversamente proporcionais. c) Escreve-se a proporção correspondente e resolve-se. Exemplo 1.3.3 – Se 30 pedreiros fazem 528 m de parede em 40 dias, quantos metros de parede farão 50 pedreiros em 45 dias? Solução: Disposição dos dados: 30 pedreiros em 40 dias fazem 528 metros. 50 pedreiros em 45 dias fazem x metros. Observe que quanto mais pedreiros, mais metros de parede serão feitos. Da mesma forma, quanto mais tempo, mais metros de parede serão feitos. Assim sendo, as duas primeiras grandezas são diretamente proporcionais à terceira. Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos: x 528 2250 120 4550 4030 == ⋅ ⋅ Aplicando a propriedade fundamental na regra-de-três simples, temos: x = 990 m. Exemplo 1.3.4 – Se 12 pedreiros fizeram certa obra em 26 dias, trabalhando 12 horas por dia, quer-se saber em quantos dias 8 pedreiros farão a mesma obra, trabalhando 13 horas por dia. Solução: Disposição dos dados:
  33. 33. EaD 33 Matemática aplicada à administração 12 pedreiros a 12 horas gastam 26 dias. 8 pedreiros a 13 horas gastam x dias. Observe que quanto MAIS pedreiros, MENOS dias serão necessários. Da mesma forma, quanto MAIS horas por dia trabalharem, MENOS dias serão necessários. Então, as duas primeiras grandezas são inversamente proporcionais à terceira. Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos: x 26 104 144 138 1212 == ⋅ ⋅ Invertendo a posição da última razão, temos 26 x 104 144 = Usando a propriedade fundamental das proporções, temos: x= 104 26144 ⋅ = 36 dias. Exercícios 1.3. 1) Uma fábrica de roupas produz 100 camisas em 1 hora de trabalho. Quantas camisas a fábrica produzirá em 3 horas? 2) Quinze operários constroem uma casa em 120 dias. Caso a obra fosse construída com mais 5 operários, qual seria o tempo necessário? 3) Um certo trabalho é feito por 50 homens, trabalhando 14 horas por dia, em 60 dias. Quantos homens seriam necessários para fazer o mesmo trabalho, em 100 dias, trabalhando 12 horas por dia? 4) Durante 10 dias um automóvel percorre 800 km andando 8 horas por dia. Quantos quilôme- tros percorreria se, com o dobro da velocidade, andasse 10 horas por dia, durante 6 dias?
  34. 34. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 34 5) Para construir 25 armazéns de soja são necessários 60 homens, trabalhando 10 horas por dia. Se 14 homens são dispensados, quantos armazéns farão trabalhando 12 horas por dia? Concluída a seção 1.3, estamos prontos para iniciar a penúltima seção desta Unidade, a seção 1.4. Seção 1.4 Porcentagem Definição : Chama-se percentagem ou taxa percentual de um número a razão de a sobre um número b, desde que 0b ≠ , tal que b a 100 x = Em outras palavras, a porcentagem é uma razão cujo conseqüente é igual a 100. Quando nos referimos a 20% de certo valor, queremos dizer que de cada 100 partes, estamos nos referindo a 20 partes deste valor. Um modo prático de calcular porcentagens é usar a multiplicação pelas razões percentuais. Veja o exemplo. Exemplo 1.4.1 – Calcule 10% de 800. Solução: Multiplicamos o inteiro (800) pela razão porcentual 100 10 . 100 10 800 ⋅ = 80. Atenção: você também poderá se deparar com outros nomes usados para a razão per- centual que podem ser: razão centesimal ou percentil.
  35. 35. EaD 35 Matemática aplicada à administração Taxa percentual Temos uma taxa percentual ou taxa centesimal quando o conseqüente 100 for substituído pelo símbolo %. Exemplo: 10% 100 10 = Porcentagem Seja uma razão n m , chamamos de porcentagem o valor n a todo valor m, desde que este estabeleça uma proporção com uma razão centesimal. = n m 100 r = x % Como podemos resolver? 1º. Multiplica-se a razão centesimal por n: 100 r nm ⋅= 2º. Por regra-de-três: Valores Taxas m r % n 100 % Porcentagem sobre o custo Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de custo da mercadoria, Com lucro, o custo é 100% e a venda representa o custo mais o lucro. V = C + L
  36. 36. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 36 Exemplo 1.4.2 – Comprei certa mercadoria por R$ 5.000,00 e quero vender com um lucro de 50%. Qual é o valor da venda? Solução: Usando a equação anterior, temos: V= 100% + 50% Construindo uma regra-de-três 5.000,00 100% V 150% Venda = 100 15000,000.5 ⋅ Venda = R$ 7.500,00 Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de custo da mercadoria, Com prejuízo, o custo é 100% e a venda representa o custo menos o prejuízo. V = C – P Exemplo 1.4.3 – Comprei certa mercadoria por R$ 2.000,00 e depois a vendi com um prejuízo de 10%. Qual é o valor da venda? Solução: Usando a equação anterior, temos: V = 100% – 10% . Construindo uma regra-de-três: 2.000,00 100% V 90% Venda = R$ 1.800,00.
  37. 37. EaD 37 Matemática aplicada à administração Porcentagem sobre o preço de venda Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de venda da mercadoria, com lucro, a venda é 100% e o custo representa a venda menos o lucro. (Como o valor da venda é maior, então a venda representa 100% e o custo menos que 100%) C = V – L Exemplo 1.4.4 – Comprei certa mercadoria por R$ 3.000,00 e quero vendê-Ia com um lucro de 20% sobre preço de venda. Qual o valor da venda? Solução: Usando a equação anterior, temos: C = 100 – 20 = 80% 3.000,00 80% V 100% V = $ 3.750,00. Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de venda da mercadoria, Com prejuízo, a venda é 100% e o custo representa a venda mais o prejuízo. (Como o valor da venda é menor por ser vendida com prejuízo, então: a venda representa 100% e o custo mais que 100%) C = V + P Exemplo 1.4.5 – Comprei certa mercadoria por R$ 4.000,00 e ela foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Qual o valor da venda?
  38. 38. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 38 Solução: Usando a equação anterior, temos: C = 100 + 20 = 120% 4.000,00 120% V 100% Venda = R$ 3.333,33. Exercício 1.4 1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 5.300,00 com um lucro de 18%. Qual o preço de custo desta mercadoria? 2) Uma pessoa vendeu uma mercadoria que havia custado R$ 1.500,00 com um lucro de 10% sobre o preço de venda. Qual o valor da venda desta mercadoria? 3) Um produto é vendido com um lucro bruto de 40%. Sabe-se que sobre o preço vendido, ou seja, sobre o valor da nota, 21% correspondem a despesas. Sendo assim qual é o lucro líquido que o comerciante obtém ao vender esta mercadoria? 4) O Sr. João Maria comprou uma mercadoria por R$ 650,00; 2 meses após a compra vendeu esta mesma mercadoria por R$ 505,00. Qual o percentual do prejuízo que o Sr. João Maria teve se for tomado por base o preço de venda? 5) O prejuízo na venda de uma mercadoria é 15% sobre o preço de custo, se esta mercadoria foi vendida por R$ 320,00. Determine o valor do prejuízo e o preço de custo desta mercadoria. Chegamos à última seção desta Unidade, e você verá que como em todas as outras, ela tratará de questões do dia-a-dia, principalmente para aqueles que, como você, se preparam para integrar uma empresa.
  39. 39. EaD 39 Matemática aplicada à administração Seção 1.5 Regra de sociedade Os problemas de divisão proporcional, numa empresa, que envolvem a divisão dos lucros, prejuízos, gratificações, participações de lucros e bonificações, em geral recebem o nome de regra de sociedade. Regra de sociedade, portanto, é uma aplicação da divisão em partes diretamente propor- cionais. Podemos destacar três casos: 1º) Tempos iguais e capitais diferentes: divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade pro- porcionalmente aos capitais dos sócios. Exemplo 1.5.1 – Três pessoas constituem uma sociedade com os capitais de R$ 5.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 35.000,00 respectivamente. No fim de certo tempo a sociedade apresentou um lucro de R$ 220.000,00. Quanto coube a cada sócio? Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá. Sabemos que A+B+C= 220.000,00 e = 000.25 A = 000.50 B 000.35 C Aplicando a propriedade PP2 das proporções: = 000.25 A = 000.50 B 000.35 C = 000.35000.50000.25 ++ ++ CBA = = 000.110 000.220 2 Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas igualdades construídas com a 1ª e 6ª , 2ª e 6ª e 3ª e 6ª razão, respectivamente, obtemos:
  40. 40. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 40 A = 25.000 X 2 = 50.000 B = 50.000 X 2 = 100.000 C = 35.000 X 2 = 70.000 Cada sócio recebeu, respectivamente, R$ 50.000,00; R$ 100.000,00; R$ 70.000,00. 2º) Capitais iguais e tempos diferentes: divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade proporcionalmente aos tempos de permanência dos sócios. Exemplo 1.5.2 – Três pessoas formam uma sociedade, permanecendo o primeiro sócio durante 6 meses, o segundo 10 meses e o terceiro 12 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade teve um lucro de R$ 8.400,00? Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá. Sabemos que A + B + C = 8.400 e, além disso, = 6 A = 10 B 12 C . Aplicando a propriedade PP2 das proporções: = 6 A = 10 B 12 C = 12106 ++ ++ CBA = = 28 8400 300 Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas proporções construídas com a 1ª e 6ª , 2ª e 6ª e 3ª e 6ª razão, respectivamente, obtemos: A = 6.300 = 1.800 B = 10.300 = 3.000 C = 12.300 = 3.600 Cada sócio recebeu, respectivamente, R$ 1.800,00; R$ 3.000,00; R$ 3.600,00.
  41. 41. EaD 41 Matemática aplicada à administração 3º) Tempos diferentes e capitais diferentes: divide-se o lucro ou prejuízo da sociedade proporcionalmente aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada sócio. Exemplo 1.5.3 – Constituiu-se uma sociedade formada por três sócios, 1º, 2º e 3º: o 1º entrou com um capital de R$ 60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses, o 2º entrou com um capital de R$ 70.000,00 e nela permaneceu por 40 meses e o 3º entrou com um capital de R$ 50.000,00 e nela permaneceu por 35 meses. Se o resultado (que pode se um lucro ou um prejuízo) da empresa, após certo período posterior, foi de R$ 50.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio? Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá, correspondentes ao 1º , 2º e 3º sócios, respectivamente. O produto capital por tempo de cada sócio é: 1º = 60.000 ⋅ 30 = 1.800.000 2º = 70.000 ⋅ 40 = 2.800.000 3º = 50.000 ⋅ 35 = 1.750.000 Sabemos que A + B + C = 50.000 e que = 000.800.1 A = 000.800.2 B 000.750.1 C Aplicando a propriedade PP2 das proporções: = 000.800.1 A = 000.800.2 B 000.750.1 C = = ++ 000.350.6 CBA = 000.350.6 000.50 = 635 5 127 1 Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas proporções construídas com a 1ª e 7ª , 2ª e 7ª e 3ª e 7ª razão, respectivamente, obtemos as partes A, B e C. A= 127 1 (1.800.000) = = 127 000.800.1 14.173.228 B= 127 1 (2.800.000) = = 127 000.800.2 22.047.244
  42. 42. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 42 C= 127 1 (1.750.000) = = 127 000.750.1 13.779.527 Atenção: Como já comentamos anteriormente, esta Unidade é fundamental e dá sustentação a várias outras operações que você executará ao longo de todo o curso. Assim sendo, somente siga adiante depois de ter certeza de que domina os conceitos apre- sentados aqui: grandezas, proporção, regra-de-três, porcentagem e regra de sociedade!
  43. 43. EaD 43 Matemática aplicada à administração FUNÇÕES Nesta segunda Unidade nossos objetivos são: 1. Desenvolver o conceito de função associado a assuntos simples do cotidiano e a conceitos da economia. 2. Desenvolver a prática do uso da notação de intervalos e função. 3. Analisar funções relacionando os parâmetros com o significado gráfico. 4. Aplicar o conceito e as propriedades das funções para resolver problemas simples de interesse da Economia e Administração. E, para que possamos alcançar os objetivos a que nos propusemos, faremos o seguinte percurso: Seção 2.1 – Intervalos e conjuntos numéricos Seção 2.2 – Definição, expressão matemática e gráfico de funções Seção 2.3 – Equação da reta Seção 2.4 – Funções quadráticas Seção 2.5 – Funções exponenciais e logaritmos Antes de passar para a primeira seção, salientamos que nesta Unidade vamos estudar as funções matemáticas mais utilizadas nas áreas da Administração e Economia. Vamos aprender a expressar matematicamente uma série de situações econômicas, como o custo de produtos, valor do montante em investimentos de diferentes tipos, funções de procura e demanda, cálculo da prestação de financiamentos, além de outras situações. Unidade 2
  44. 44. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 44 Seção 2.1 Intervalos e conjuntos numéricos As variáveis utilizadas em aplicações da Matemática na Administração podem ser discre- tas ou contínuas. O número de funcionários de uma empresa, de carros, de pizzas, de sapatos, de casas, ..., produzidos ou vendidos, são variáveis inteiras, que chamamos discretas. Não tra- balhamos com meio funcionário, ou meio carro. O tempo, os valores monetários, o número de toneladas (massa) de arroz, soja, feijão, ... são variáveis fracionárias que chamamos contínuas. Trabalhamos com meia hora, com meio dólar, etc. Para entendermos as expressões matemáticas dessas variáveis com clareza e precisão, precisamos conhecer os símbolos usados e as defini- ções dos conjuntos numéricos. Eles podem ser números a) naturais, b) inteiros, c) racionais, d) irracionais e e) reais! Conjunto dos Números Naturais (N) Os números naturais estão associados à quantificação de objetos simples: 1 lápis, 5 maçãs, 12 parafusos, etc. São números inteiros, sem sinais. Matematicamente, podemos escrever os números naturais da seguinte forma: N={0,1,2,3,4,5,6,...} Onde N é a letra associada ao nome do conjunto dos números naturais. O conjunto dos números naturais é infinito e é representado uma reta numerada da se- guinte forma: Os intervalos no conjunto dos números naturais são escritos usando os símbolos > maior < menor
  45. 45. EaD 45 Matemática aplicada à administração ≥ maior ou igual e ≤ menor ou igual. Veja os exemplos: 1) A={x ∈ N / x > 2} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 2. Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: A={3,4,5,6,7,...} Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, colocamos “bolinhas” pretas para os elementos do conjunto A e brancas para os elementos que não pertencem a A. 2) B={x ∈ N / 1< x <5} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 1 e menor do que 5. (ou, x pertence aos Naturais , tal que 1 é menor do que x e x é menor do que 5). Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: B={2,3,4} Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, temos: 3) C={x ∈ N / x ≥ 5} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 5. Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: C={5,6,7,8,9,10,...} Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, temos: Conjunto dos Números Inteiros (Z) Os números inteiros estão associados às quantidades inteiras relativas. Esses números descrevem variáveis como temperatura, saldos bancários, altitude, etc.
  46. 46. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 46 Z={...,-6,-5,-4-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,...} Escrevendo o conjunto Z como um intervalo, temos: Z={ x ∈ Z / -∞ < x < +∞}. Simples, não é mesmo? Então, vamos aplicar o que aprendemos? Exercícios 2.1.1 1. Escreva os seguintes conjuntos usando os sinais de desigualdade. a) B={2,3,4,5,6} d) J={2,3,4,5,6,...} b) C={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3} e) K={-3,-2,-1,0,2,3,...} c) G={...,-2,-1,0,1} f) P={…-2,-1,0} 2. Desenhe os conjuntos do Ex.1 na reta numerada. Muito bem, se você conferiu seus resultados e ficou satisfeito, já pode seguir adiante! Conjunto dos Números Racionais (Q) Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração b a onde a e b são números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero. Simbolizados o con- junto dos racionais com a letra Q .
  47. 47. EaD 47 Matemática aplicada à administração Exemplo de números racionais: .....6666,0 3 2 = .8,0 5 4 = ....0000,66 1 6 == ...80000,08,0 5 4 == .....166666,1 6 7 −= − 2 1 . 10 5 5,0 == 3 1 9 3 .....3333,0 == ...131313,0 99 13 = (observe que o 13 se repete infinitamente) Todo número decimal finito (por exemplo 4/5=0,8) ou periódico (por exemplo 2/3=0,666..., onde o periódico se repete infinitamente) pode ser representado na forma de um número racional b a . Veja os exemplos e confira com sua calculadora: 2 = 4/2 22,5 = 45/2 3,46 = 346/100 0,333333...=1/3 0,121212...=12/99 0,245245...=245/999 Você deve observar que todo número inteiro pode ser escrito na forma de fração, portanto também é um número racional. Números Irracionais (I) Os números irracionais são simbolizados pela letra I. Existem números decimais infinitas não periódicos, aos quais damos o nome de números irracionais, por que não podem ser escritos na forma de b a . Veja os exemplos: .....4242135,12 = (observe que não há repetições) ...7320508,13 = π (pi)= 3,1415926....... e = 2,7182818284590452353602874... ( esse número é a base do sistema de logaritmo ne- periano).
  48. 48. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 48 Conjunto dos Números Reais (R) O conjunto dos Números Reais é a união do conjunto dos Racionais e dos Irracionais. R = Q ∪ I A representação do conjunto R na reta numérica é uma reta cheia (reta real). Veja alguns exemplos de intervalos em R e suas respectivas representações na reta nu- merada: Os conjuntos também podem ser representados usando parênteses para intervalos abertos, por exemplo: (a,b) significa { x ∈ R / a < x < b} e colchetes para intervalos fechados, por exemplo: [a,b] significa ={ x ∈ R / a ≤ x ≤ b}. Os mesmos conjuntos representados anteriormente, poderiam ser escritos usando parên- teses e colchetes. Veja: C = [-1,+∞) ; D = (-1,1] e E = [+2,4). Entendido? Ótimo, então chegou a sua vez.
  49. 49. EaD 49 Matemática aplicada à administração Exercícios 2.1.2 1. Represente os seguintes conjuntos na reta real. a) B={ x ∈ R / -2 < x < +∞} d) J={ x ∈ R / x ≤ +3} b) C={ x ∈ R / -5 ≤ x < +3} e) K={ x ∈ R / x < +2} c) G={ x ∈ R / -5 ≤ x ≤ +3} f) P={ x ∈ R / 1 < x ≤ 3} 2. Escreva os intervalos do Exercício 1 usando a notação de parêntesis e colchetes. Seção 2.2 Definição, expressão matemática e gráfico de funções Muitos problemas da área de Administração requerem a expressão matemática das variáveis e parâmetros envolvidos na forma de funções. Nesta seção vamos usar a notação matemática e estudar as funções associadas a situações simples da vida de um cidadão, tais como compra e venda de produtos, orçamentos, financiamentos e aplicações financeiras e conceitos da economia. Exemplo 2.2.1 – Dona Maria e sua família são vorazes consumidores de pizzas. Quando os seus filhos a visitam de “surpresa”, todas as sextas-feiras, levando os filhos, a alternativa mais prática (Dona Maria detesta cozinhar para muita gente !) é comprar as pizzas e dividir os custos entre todos.
  50. 50. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 50 Na Pizzaria Sabor Derretido todas as pizzas têm o mesmo preço: P = R$ 20,00. A Tabela 2.2.1 mostra o custo para cada quantidade de pizzas. Podemos fazer uma expressão matemática para calcular o custo de qualquer número de pizzas: C(n) = P ⋅ n (2.2.1) Onde C(n) é o custo de n pizzas (R$) P é o preço de uma pizza (R$/unidade de pizzas) e n é o número de pizzas. A Equação (2.2.1) relaciona as variáveis C e n, que chamamos de lei da função. Veja esta definição prática de função: Definição de função: função é uma expressão matemática que relaciona duas ou mais variáveis. Podemos representar a função Custo de pizzas C(n), na forma de gráfico, localizando cada ponto (n,C) no Plano Cartesiano XY, como mostra a Figura 2.2.1. É fácil verificar que os pontos estão alinhados. Esse alinhamento ocorre porque para cada aumento de uma pizza, aumenta sempre os mesmos R$ 20,00. Como não são vendidos meios, terços ou quartos de pizzas, a Fig. 2.2.1 mostra apenas pontos referentes a números inteiros de pizzas. Nesse caso, dizemos que a variável “n” é DISCRETA, pois SÓ pode assumir valores inteiros e é definida nos números naturais: n ∈ N. Tabela 2.2.1: Dados do Custo X número de pizzas n Custo (R$) 0 0 1 20 2 40 3 60 4 80 5 100
  51. 51. EaD 51 Matemática aplicada à administração 0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 n (unidades) C(n)($) Figura 2.2.1: Função custo de pizzas Exercícios 2.2.1 1. Faça o gráfico das funções com as seguintes expressões matemáticas (considere X e Y variá- veis contínuas reais). a) y = 4x c) y = 2x + 3 b) y = – x d) y = – x + 5 2. Dadas as tabelas encontre a expressão matemática das funções a) X Y 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 b) X Y 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9 c) X Y 0 -1 1 1 2 3 3 5 4 7 d) X Y 0 -3 1 1 2 5 3 9 4 13
  52. 52. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 52 Exemplo 2.2.2 – Se Dona Maria for buscar as pizzas com seu Fusca/69 (que gasta muita gasolina), terá um custo fixo de R$ 4,00. A função proposta no Exemplo 2.2.1 terá de ser modificada. Precisamos de outra expressão matemática para descrever esta situação. Temos de acrescentar o custo fixo independentemente do número de pizzas. Nesse caso, a função C x n terá a seguinte forma: C(n) = P ⋅ n + CF (2.2.2) onde CF é o custo fixo (gasto com o transporte) (R$). Como fazer para construir uma tabela com os novos custos C(n)? Coloque os valores de n na primeira coluna (como no Exemplo 2.2.1). Use a Eq. 2.2.2. para calcular os valores de C(n). Se você colocar os pontos da tabela em um gráfico, obterá algo se- melhante ao que está apresentado na Fig. 2.2.2. Observe que os pontos continuam alinhados. O fato de acrescentarmos o custo CF apenas aumentou em R$ 4,00 no custo de cada número de pizzas. Se Dona Maria for até a pizzaria e comprar nenhuma pizza, o custo fixo continua sendo R$ 4,00. Nesse caso, a tabela que você construiu tem o par (0,4) e a seqüência de pontos (reta) não se inicia na origem, mas no ponto (0,4). 0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 n (unidades) C(n)($) Figura 2.2.2 – Função custo de pizzas com custo fixo
  53. 53. EaD 53 Matemática aplicada à administração Exemplo 2.2.3 – Nem sempre Dona Maria oferece pizzas para sua família. Sempre que alguém resolve cozinhar (e lavar a louça!) ela prontamente disponibiliza todos os recursos e dá todo o apoio para que saia uma comida “diferente”: galinhada (galinha com arroz). Esta é a especialidade de sua filha mais velha, que puxou ao pai, claro! Numa noite dessas, família reunida, todos de acordo em fazer mais uma galinhada, Dona Maria notou que faltava arroz. Imediatamente pegou seu Fusca/69 e foi até o mercado, que ficava ao lado da pizzaria, portanto o custo fixo do transporte é R$ 4,00. Se o preço P do arroz é R$ 3,50 kg, podemos elaborar uma tabela relacionando o custo do arroz em função da quantidade de arroz adquirida. O modelo matemático para esta nova investida econômica da Dona Maria é: Ca(p) = Pa ⋅ q + CF (2.2.3) Onde Ca(p) é o custo do arroz (R$) Pa é preço do arroz (R$/kg) q é a massa de arroz (kg) e CF é o custo fixo (gasto com o transporte) (R$). Se você colocar os pontos da tabela em um gráfico, obterá algo semelhante ao que está apresentado na Fig. 2.2.3. Como podem ser vendidos meios, terços ou qualquer quantidade fracionária de arroz, o gráfico mostra uma linha contínua relacionando a quantidade q com o Custo do arroz, Ca. Nesse caso, q é uma variável CONTÍNUA, e a função Ca(q) pode assumir valores não inteiros: q ∈ R.
  54. 54. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 54 0 5 10 15 20 25 0 1 2 3 4 5 massa de arroz (kg) Ca($) Figura 2.2.3: Função custo de arroz com custo fixo Para que você não acabe sentindo fome e pare de estudar para ir comer, vamos usar outro exemplo de aplicação para funções. Exemplo 2.2.4 – O montante de um empréstimo de curto prazo (hot money) é calcu- lado com taxa fixa, a juros simples. Consideremos o financiamento de R$ 30.000,00 feitos por uma empresa em um banco X, com taxa 0,03 % ao dia. Se j = 0,03 % ao dia, podemos usar a taxa i = j/100 como multiplicador do montante para calcular os juros a cada dia (confira esta idéia fazendo a regra-de-três). Veja os cálculos na segunda coluna da Tabela 2.2.2. Tabela 2.2.2: Empréstimo hot money Dias n Esquema do cálculo Montante M(n) (R$) 0 30.000 + 0 ⋅ i ⋅ 30.000 30.000 1 30.000 + 1 ⋅ i ⋅ 30.000 30.009 2 30.000 + 2 ⋅ i ⋅ 30.000 30.018 3 30.000 + 3 ⋅ i ⋅ 30.000 30.027 4 30.000 + 4 ⋅ i ⋅ 30.000 30.036 ... ... .... Da segunda coluna da Tabela 2.2.2 podemos deduzir uma expressão particular para calcular a função Montante: M(n) = 30000 + n ⋅ i ⋅30000 M(n) = 30000 (1+ n ⋅ i) .
  55. 55. EaD 55 Matemática aplicada à administração Para generalizar esta fórmula substituímos o valor do financiamento por VF e temos: M(n) = VF ⋅ (1+ n ⋅ i) (2.2.4) a) Coloque os dados de n e M(n) em um gráfico cartesiano. b) Verifique se os pontos obtidos estão sobre a mesma reta. Exercícios 2.2.2 1. Com base no Exemplo 2.2.4 construa a tabela dos financiamentos hot money com os seguintes dados: a) j = 0,05 %; VF = 35.000 para 7 dias b) j = 0,045 %; VF = 50.000 para 7 dias 2. Construa a expressão da função do montante e faça o gráfico das funções do Exercício 1. Seção 2.3 Equação da reta Observe que a Figura 2.3.1 tem os mesmos pontos da Figura 2.2.1 que relaciona o número de pizzas com o respectivo custo. Para tornar nosso texto mais genérico, vamos chamar a variável C de y e a variável n de x. Assim, nossas conclusões servirão para quaisquer funções lineares: y=f(x), onde f(x) é a expressão matemática da função.
  56. 56. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 56 Figura 2.3.1: Coeficiente angular Observe o triângulo mais escuro, formado entre os pontos P2 e P3 . O lado horizontal é a diferença entre os valores de X, que chamamos de “delta x”, e escrevemos ∆x = x3 – x2 . Fazendo o mesmo para Y, temos “delta y”, e escrevemos ∆y = y3 – y2 . Observe que o ângulo θ assinalado na Fig. 2.3.1, é o ângulo que a reta faz com o próprio eixo X. A divisão ∆y/∆x é chamada “tangente do ângulo θ “ e, para P2 e P3 . é calculada pela Eq. 2.3.1. 20 23 4060 x y tg = − − = ∆ ∆ =θ (2.3.1) Evidentemente podemos fazer as mesmas diferenças para Po e P1 , P1 e P2 e os demais pontos. Se estes pontos estão sobre a mesma reta, então a reta que os une tem a mesma incli- nação. Para que isso aconteça é necessário que as divisões do ∆y pelo ∆x de cada triângulo sejam iguais. Convidamos você a conferir se as tangentes dos demais triângulos marcados na Fig. 2.3.1, têm o mesmo valor. Generalizando, a tangente do ângulo θ é escrita como a Eq. 2.3.2 e dá a inclinação da reta. Este número está associado ao ângulo que a reta faz com o eixo X e por isso é chamado de coeficiente angular da reta. Usaremos a letra “a” para este coeficiente. i1i i1i xx yy x y tga − − === + + ∆ ∆ θ (2.3.2)
  57. 57. EaD 57 Matemática aplicada à administração Figura 2.3.2 – Equação da reta Na reta mostrada na Fig. 2.3.2, escolhemos os pontos P2 e P3 para formar um triângulo. Escolhendo um ponto qualquer P=(x,y) da reta e o ponto Po =(0,yo ), ponto onde a reta corta o eixo Y. Usando a Eq. 2.3.2 nestes triângulos, temos uma proporção: o o 23 23 xx yy xx yy − − = − − Substituindo o valor de xo =0 e resolvendo esta proporção para y, temos: o 23 23 yx xx yy y + − − = (2.3.3) Verifique que a fração que multiplica o x, na Eq. 2.3.3 é o próprio coeficiente angular. En- tão, uma equação para esta reta é y = a x + yo (2.3.4) onde 23 23 xx yy a − − = é o coeficiente angular.
  58. 58. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 58 Chamaremos yo na Eq. 2.3.4 de coeficiente linear (porque yo é onde a reta corta o eixo Y) e usaremos a letra b para nos referir a ele. Reescrevendo a Eq. 2.3.4 com estes símbolos, temos a EQUAÇÃO DA RETA. y = a x + b (2.3.5) Esta função também é chamada de função de 4º grau. Exemplo 2.3.1: Aos domingos, a família da Dona Maria costuma fazer um churrasco. Dona Maria fez um levantamento dos preços da picanha em quatro mercados da cidade e colocou os dados em um gráfico cartesiano. Chamando de P o preço de 1 kg de picanha, e q a massa comprada (kg), podemos adaptar a Eq. 2.2.2 e escrever a lei da função Custo da Picanha C(q): C(q) = P⋅ q + CF. Mercado Preço da pica- nha (R$/kg) Custo Fixo ($) Lei da função C(q) A 12 4 C(q)=12q+4 B 14 3,5 C(q)=14q+3,5 C 16,5 5 C(q)=16,5q+5 D 19 2 C(q)=19q+2 0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 X Y A B C D Figura 2.3.3: Custo da picanha Observe que, independentemente do custo fixo, as inclinações de cada reta são diferentes e dependem exclusivamente do parâmetro P (preço da picanha). Este parâmetro é o coeficiente angular e determina a inclinação das retas.
  59. 59. EaD 59 Matemática aplicada à administração Quanto maior o coeficiente angular, mais próxima da vertical está a reta. Quanto menor o coeficiente angular, mais próxima da horizontal está a reta. Conheça, agora, os tipos de retas. Retas Horizontais Uma reta na posição horizontal (paralela ao eixo X, veja na Figura 2.3.4 (a)) tem coeficiente angular “zero”. Substituindo a = 0 na Eq. 2.3.5, temos: y = b, onde b é o valor de y, onde a reta corta o eixo Y. (2.3.6) Retas Verticais Uma reta na posição vertical (paralela ao eixo Y, veja na Figura 2.3.4 (b)) teria coeficiente angular infinito ! Como “infinito’não é um número, não podemos escrever a equação da reta na forma da Eq. 2.3.5. Então, a escrevemos apenas como x = c, onde c é o valor de x, onde a reta corta o eixo X. (2.3.7) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0 1 2 3 4 5 X Y Figura 2.3.4: (a) Reta horizontal: y = 3 (b) Reta vertical: x = 1,6
  60. 60. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 60 Retas crescentes e decrescentes Observe os coeficientes angulares das retas dadas na Tabela 2.3.1. Tabela 2.3.1: funções crescentes e decrescentes Função f(x) Y1 Y = x + 1 Y2 y = 2x + 1 Y3 y = -2x + 5 Y4 y = -3x + 15 Observe a posição de cada reta na Figura 2.3.5 e relacione com o coeficiente angular, mostrado na respectiva equação. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 1 2 3 4 5 X Y Y1 Y2 Y3 Y4 Figura 2.3.5: Funções crescentes e decrescentes Atenção! Quando o coeficiente angular é positivo a reta está inclinada para a direita (Função Cres- cente). Quando o coeficiente angular é negativo a reta está inclinada para a esquerda. (Função Decrescente). Exercícios 2.3.1 1. a) Construa um gráfico cartesiano com os valores de X e Y da Tabela:
  61. 61. EaD 61 Matemática aplicada à administração X Y 0 1,3 1,2 3,7 2 5,3 3,4 8,1 4 9,3 b) Calcule o coeficiente angular e o linear da reta. c) Com base no valor dos coeficientes angular e linear determine se a reta é crescente/decres- cente e onde ela intercepta o eixo Y. 2. Analise os coeficientes angular e linear das retas. Determine se crescem/decrescem e o ponto de intersecção com o eixo Y. Faça um esboço do gráfico com base nessa análise. a) y = 3x + 5 b) y = 2x – 1,5 c) y = -1,3x + 2 d) y = -2,3x – 1 e) y = -5,2x + 2,3 f) y = -4,1x -5 3. Nas retas do Ex.2, qual é a que mais cresce? E a que mais decresce? 4. Nas retas que passam pelos pontos P1 e P2 : – Calcule os coeficientes angular e linear da reta. – Escreva a equação da reta. – Esta reta é crescente? – Em que ponto a reta intercepta o eixo Y?
  62. 62. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 62 a) P1 =(1,1) e P2 =(2,4). b) P1 =(1,6) e P2 =(5,3) c) P1 =(2,8)) e P2 =(7,1). d) P1 =(6,1) e P2 =(1,3) 5. A fabricação de um produto implica custos de materiais, energia, mão de obra (pessoal e en- cargos sociais) e impostos. Para uma determinada quantidade do produto, vamos considerar os custos de mão-de-obra como custo fixo, no valor de R$ 20,00. Considerando que os custos de materiais, energia e impostos são de R$ 150,00, para produzir uma unidade do produto: a) Construa uma tabela relacionando o número de unidades do produto e o custo total. b) Faça um gráfico com os dados da tabela. c) Determine uma equação para relacionar o número de unidades do produto e o custo total. d) Esta equação é uma reta. Determine o coeficiente angular e o linear? Qual é o sentido destes coeficientes no problema? 6. Um empresário fez um financiamento de curto prazo com juros simples. A taxa cobrada pelo banco foi de 0,3 % ao dia. O capital financiado foi de R$ 25.000,00. a) Construa uma tabela e determine o montante depois de 5 dias (Use a Eq. 2.2.4, M=VF(1+u.i) que é uma equação de reta). b) Qual é o coeficiente angular e o linear desta reta?
  63. 63. EaD 63 Matemática aplicada à administração 7. Um empresário fez um financiamento de curto prazo com juros simples. O ca- pital financiado foi de R$ 25.000,00. Depois de 5 dias o montante estava em R$ 25.287,50. a) Calcule a taxa do financiamento, usando a Eq. 2.2.4. b) Do Ex.6 sabemos que o coeficiente angular da reta é a = VFo ⋅i. Calcule os coeficientes angular e linear da reta. Atividade 2.3.1 – Avaliação de custo, receita e lucro Fazer “modelagem matemática“ é expressar matematicamente uma determinada situação real ou hipotética. “Expressar matematicamente” significa descrever as variáveis e parâmetros da situação usando estruturas matemáticas (números, funções, tabelas, gráficos, matrizes, flu- xogramas,...) de tal forma que essas estruturas organizadas produzam dados muito semelhantes aos obtidos com a situação. No Exemplo 2.2.1 desta Unidade a situação a ser modelada é a compra de pizzas; as va- riáveis escolhidas foram o custo e a quantidade de pizzas (variável discreta); o parâmetro do problema é o preço de uma pizza; e o modelo escolhido foi o modelo de uma função linear, com coeficiente linear nulo. No Exemplo 2.2.2 as variáveis são as mesmas do Ex. 2.2.1, mas acrescentamos o custo do transporte. Por isso, tivemos de escolher um modelo com mais um parâmetro, o custo fixo, CF. Em regra, podemos melhorar um modelo até que ele descreva a situação tão precisamente quanto desejarmos. Vamos explicar melhor! Modificação 1 No modelo das pizzas, por exemplo, podemos considerar que os seus preços sejam dife- rentes: P1 ≠P2 ≠ P3 , ...O modelo poderia ser escrito como
  64. 64. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 64 C(n) = P1 ⋅ n1 + P2 ⋅ n2 + P3 ⋅ n3 + .... (2.3.8) Ou, na forma de um somatório ∑ = = n 1i iniP)n(C . (lê-se: somatório de Pi ni quando i varia de 1 a n) (2.3.9) Este modelo é mais próximo da realidade (em regra, as pizzas têm preços diferentes). Apesar do modelo (equação) ficar um pouco mais sofisticado, ainda é fácil entendê-lo e usá-lo. Então, tivemos um ganho de precisão melhorando o modelo, sem perder em praticidade. Modificação 2 Ainda no modelo das pizzas, por exemplo, podemos considerar o desgaste do Fusca/69 como custo fixo. Teríamos de calcular o custo da depreciação por quilômetro rodado, multiplicá-lo pela distância até a pizzaria e acrescentar o valor obtido ao custo da gasolina. Tal valor seria da ordem de centavos, enquanto que o preço da gasolina é da ordem de reais. Com certeza o modelo ficaria mais preciso, mas o custo do desgaste não é significativo diante dos demais custos. Nesse caso, a melhoria do modelo não trouxe ganhos significativos na descrição da situação dada. Com essa idéia de construir modelos (modelagem matemática), vamos modelar a produ- ção e comercialização de um produto real. Lembre-se que nosso objetivo é aprender a escrever matematicamente o problema simples. Siga as orientações a seguir: 1. Escolha um produto simples do qual você conhece (ou pode conseguir informações) os detalhes da produção. Por exemplo: cachorro-quente; pizzas, pepino em conserva, pão caseiro, bolos, tijolos, hortaliças, roupas, cadeiras, mesas, etc. 2. Faça uma relação de todos os materiais e suas respectivas quantidades para produzir uma unidade do produto. Coloque-os organizadamente em uma tabela. 3. Calcule o custo da mão-de-obra para a produção de uma unidade do produto. Use como base o valor do salário mínimo, pago para uma jornada de 40 horas, com os encargos sociais.
  65. 65. EaD 65 Matemática aplicada à administração 4. Verifique a ocorrência de outras despesas como energia elétrica, gás, etc, e calcule-as para a produção de uma unidade do produto. 5. Classifique e some as despesas em “fixas” (chame de b) e “dependentes” (chame de a) do número de unidades produzidas. 6. Construa uma tabela relacionando o número de unidades do produto e o custo total. 7. Elabore um gráfico com os dados da tabela. 8. Determine uma equação para relacionar o número de unidades do produto (x) e o custo total (y); y = ax + b. 10. Cálculo da receita: Determine o preço de venda do produto, considerando um lucro de 30% sobre os custos dependentes do número de unidades produzidas e faça uma equação da receita: R = 1,3(ax+b). 11. A função lucro é L = R – y. 12. Coloque as funções y, R e L no gráfico e faça sua análise. Quantas unidades devem ser pro- duzidas para que os custos fixos sejam pagos? Atividade 2.3.2– Gráfico de funções no computador Os gráficos de funções podem ser feitos facilmente em aplicativos computacionais, como as planilhas eletrônicas, amplamente utilizadas na área da Administração. O Excel é uma planilha eletrônica composta de células dispostas em linhas 1, 2, 3,... e co- lunas A, B, C, .... Cada célula tem um “endereço” na forma de coluna e linha: A célula A1 está na coluna A e linha 1; A célula A2 está na coluna A e linha 2; e assim por diante. Da mesma forma, a célula B1 está na coluna B e linha 1, a célula B2 está na coluna B e linha 2, etc.
  66. 66. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 66 Podemos colocar letras, números e fórmulas nas células. Observe o exemplo a seguir, no qual vamos fazer a tabela de uma função. Problema 1: calcular os valores de uma função Colocar os valores de X={0,1,2,3,4,5} e calcular os valores de Y={1,4,7,10,13,16} usando a função f(x)=3x+1. Como faremos? Célula A1 : Escrevemos “X” só para indicar que nessa coluna serão colocados os valores de X da função. Célula B1: Escrevemos “Y” só para identificar que nessa coluna estarão os valores da função. Célula A2: Escrevemos “0” para o primeiro valor de X. Célula A3: Escrevemos “=A2+1” e clicamos Enter. Usamos o sinal de “=” para escrever uma equação. Nesse caso estamos ordenando o com- putador a ler o valor que está em A2 e adicionar 1. A digitação do Enter, com o cursor na célula A3 faz com que o computador execute a equação “=A2+1”. Veja que o computador escreveu 1 na célula A3. Clicando com o botão esquerdo do mouse em A3, a célula fica ressaltada (quadro com linha preta mais forte que as demais células). Levando o cursor até o canto direito inferior e clicando sobre o ponto ali existente, arrastamos o cursor para baixo, com o mouse até a célula que desejamos, por exemplo, A7. Observe que com esse procedimento o computador substitui a fórmula “=A2+1” por “=A3+1” na célula A4; por “=A4+1” na célula A5, e assim por diante, gerando os valores de X que queríamos.
  67. 67. EaD 67 Matemática aplicada à administração Célula B2: Escrevemos “=3*A2+1” para calcular os valores da função Y. Observe que o (*) é a sinal da multiplicação e o “A2” está fazendo o papel do X. Clicando com o botão esquerdo do mouse em B2, a célula fica ressaltada. Arrastando para baixo a célula B2 (como fizemos com A3) até B7, o computador calcula os valores da função f(x)=3x+1. Executando os procedimentos mencionados anteriormente você deve ter encontrado o seguinte resultado: Você também poderá visualizar a realização desse exemplo na animação disponibilizada na Biblioteca do Conecta e que leva o mesmo nome: “gráfico de funções no computador”. Problema 2: Fazer o gráfico de uma função Faça o gráfico cartesiano da f(x)=3x+1. Como faremos? 1. Vamos ressaltar as células com os dados de X e Y do Problema 1.
  68. 68. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 68 Clicando com o botão esquerdo do mouse no centro de A1 e arrastando até B7, todas as células com os dados da função ficam ressaltadas. 2. Vamos fazer o gráfico. Leve o cursor até o assistente de gráfico (Veja na Figura 2.3.6) no menu do Excel e clique com o botão esquerdo do mouse. Deve aparecer a tela do “assistente de gráfico”, oferecendo os “tipos padrão”. Encontre na lista o padrão “Dispersão (XY)” e clique sobre ele. Deve aparecer opções de gráficos só de pontos, pontos com linhas e outras. Escolha pontos com linhas e clique em “avan- çar”. A nova tela dá a opção de dados em linhas ou colunas. No nosso exemplo, os dados de X e Y estão em colunas. Escolha “colunas” e clique em “avançar”. Esta tela dá opções para colocar o título do gráfico e o nome dos eixos. É importante que você se habitue a escrever ao menos o nome dos eixos. No nosso exemplo, X e Y. Clicando em “avançar” e na tela seguinte em “concluir” você terá seu primeiro gráfico pronto.
  69. 69. EaD 69 Matemática aplicada à administração 0 5 10 15 20 0 2 4 6 X Y Y Atenção: você também poderá visualizar a realização do “gráfico de uma função”, dispo- nível na Biblioteca com esse mesmo nome. 3. Deixaremos para o leitor descobrir outros detalhes da edição de gráficos, como retirar ou colocar linhas de grade, alterar a legenda, escala dos valores de X e Y, tamanho das fontes (letras), etc. Alguns destes detalhes ficam disponíveis se você clicar sobre a área do gráfico com o botão esquerdo do mouse (ressaltar o gráfico); em seguida clicar sobre a área do gráfico ressaltado com o botão direito e escolher “opções do gráfico”. DICAS DO EXCEL 1) O Excel usa vírgulas para separar casas decimais. 2) Símbolos das operações: Adição = + Exemplo: = 3 + 5 Subtração = - Exemplo: = 3 – 5 Multiplicação = * Exemplo: = 3 * 5 Divisão = / Exemplo: = 3/5 Potenciação = ^ Exemplo: = 3^5 significa 35 Radiciação = ^ Exemplo: = 3^0,5 significa 3
  70. 70. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 70 ATIVIDADES COM O EXCEL 1. Faça o gráfico das funções na mesma planilha. Use qualquer valor de x. a) y = 5x + 3 b) y = -5x + 8 c) y = -3x + 8 d) y = 2x + 5 e) y = -0,5x + 8 f) y = -3,5x + 7,4 2. a) Observe o sinal do coeficiente angular e verifique se as funções do Ex.1 são crescentes ou decrescentes. b) Observe onde as retas do Ex. 1 interceptam o eixo Y e compare com o valor do coeficiente linear. 3. Coloque todas as funções do Ex.1 no mesmo gráfico. Crie legendas para identificar cada função. 4. Coloque os gráficos do Excel no redator de texto Word. DICA: Depois do gráfico pronto, clique sobre a área do gráfico com o botão esquerdo do mouse. Copie o gráfico com Ctrl-C e cole no Word, com Ctrl-V. Vencida esta seção passaremos à próxima, que tratará do que denominamos de Funções Quadráticas. Seção 2.4 Funções Quadráticas As funções quadráticas são funções de 2º Grau, muito comuns em aplicações nas Ciências e em Economia. Nesta seção vamos estudar as raízes destas funções e o seu significado gráfico.
  71. 71. EaD 71 Matemática aplicada à administração A função do 2º Grau tem a forma y(x) = a2 x2 + a1 x + ao ou uma forma mais conhecida (2.4.1) y(x) =Ax2 + Bx + C. (2.4.2) Concavidade da parábola Esta função, quando localizada no gráfico, tem a forma de uma parábola, com concavidade para cima ou para baixo. Se A é positivo a parábola tem concavidade para cima. Se A é negativo a parábola tem concavidade para baixo. Veja os exemplos: A função da Figura 2.4.1(a) é y(x) = x2 – 5x + 10. Observe que A = 1 ; B = -5 e C = 10. Como A é positivo a concavidade da parábola é para cima. A função da Figura 2.4.1(b) é y(x) = – x2 + 5x . Observe que A = -1 ; B = +5 e C = 0. Como A é negativo a concavidade da parábola é para baixo.
  72. 72. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 72 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 6 7 X Y 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 X Y Figura 2.4.1 (a) Concavidade para cima (b) Concavidade para baixo Raízes da parábola Os valores de x dos pontos onde as funções do 2º Grau passam pelo eixo X (ou seja, com y = 0) são chamados de raízes da função quadrática. Colocando y = 0 na Eq. 2.4.2, obtemos uma equação do 2º Grau: 0 =Ax2 + Bx + C. (2.4.3) A solução da equação do 2º Grau é obtida pela conhecida fórmula de Bhaskara. A2 AC4BB x 2 2,1 −±− = (2.4.4) Você deve observar que esta função pode: 1) passar pelo eixo X em dois pontos; 2) encostar no eixo X em apenas 1 pontos, ou, 3) simplesmente não encostar no eixo X. De fato, a equação (2.4.3) pode ter três resultados: 1) Dois valores distintos de x: x1 e x2 . Isto ocorre quando B2 – 4AC > 0.
  73. 73. EaD 73 Matemática aplicada à administração 2) Dois valores iguais de x: x1 = x2 (significa somente um ponto). Isto ocorre quando B2 – 4AC = 0. 3) Nenhum valor real de x: Isto ocorre quando B2 – 4AC < 0. Exemplo 2.4.1: Dada a função y = x2 – 4x + 3, encontre suas raízes e faça um esboço do gráfico. Solução: Fazendo y = 0 na equação dada, temos: 0 = x2 – 4x + 3. (2.4.5) Usando a Eq (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 3, obtemos: 2 24 12 314)4()4( x 2 2,1 ± = ⋅ ⋅⋅−−±−− = x1 = 3 e x2 = 1 . Assim, x1 = 3 e x2 = 1 são as raízes da função dada. Isto significa que essa fun- ção passa pelo eixo X, nos pontos (1,0) e (3,0). O leitor pode verificar isto na Figura 2.4.2 . -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 X Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 X Y Figura 2.4.2: Exemplo 2.4.1 – Posição das raízes Figura 2.4.3: Exemplo 2.4.2 – Posição da raiz
  74. 74. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 74 Exemplo 2.4.2: Dada a função y = x2 – 4x + 4, encontre as raízes da função e faça um esboço do gráfico. Solução: Fazendo y = 0 na equação dada, temos: 0 = x2 – 4x + 4. (2.4.6) Usando a equação (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 4, obtemos: 2 2 04 12 0)4( 12 414)4()4( x 2 2,1 = ± = ⋅ ±−− = ⋅ ⋅⋅−−±−− = x1 = x2 = 2 . Nesse caso, dizemos que temos duas raízes iguais x1 = x2 = 2 . Isto significa que essa função apenas encosta no eixo X, no ponto (2,0). O leitor pode verificar isto na Fig. 2.4.3. Exemplo 2.4.3: Dada a função y = x2 – 4x +5, encontre as raízes da função e faça um esboço do gráfico. Solução: Fazendo y = 0 na equação dada, temos: 0 = x2 – 4x + 5. (2.4.7) Usando a equação (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 5, obtemos: ? 2 ? 12 4)4( 12 514)4()4( x 2 2,1 == ⋅ −±−− = ⋅ ⋅⋅−−±−− = Nesse caso, temos a raiz de um número negativo 4− , que não é um número real. Por isso, dizemos que a equação (2.4.7) não tem raízes reais, e conseqüentemente não passa pelo eixo X. O leitor pode verificar isto na Fig. 2.4.5.
  75. 75. EaD 75 Matemática aplicada à administração 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 X Y Figura 2.4.5: Ex.2.4.3 – Parábola sem raízes reais Vamos exercitar o que aprendemos nesta seção? Exercícios 2.4.1 1. Encontre as raízes das funções (se existirem) e faça um esboço do gráfico: a) y = x2 – 2x – 3 d) y = x2 – x +1 b) y = -x2 -2x + 3 e) y = -x2 +6x – 9 c) y = x2 –4x – 5 f) y = x2 -2x + 3 2. Analise a concavidade das funções do Ex.1. Atenção: não siga adiante se você não fez os exercícios anteriores. Lembre-se de que cada item estudado é pré-requisito para seguir adiante e compreender o conteúdo.
  76. 76. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 76 O vértice da parábola O vértice de uma função quadrática é o ponto onde a função tem um valor máximo ou mínimo. A dedução das fórmulas das coordenadas do vértice podem ser encontradas na Uni- dade 3. Neste estágio de nosso estudo vamos apenas usá-las. Retomando a Eq. (2.4.2), temos y(x) =Ax2 + Bx + C. A coordenada x do vértice é dada pela fórmula: A2 B xv −= (2.4.8) A coordenada y do vértice é dada pelas fórmulas: CBxAxy v 2 vv ++= ou (2.4.9) A4 BAC4 y 2 v − = (2.4.10) Exemplo 2.4.4: O custo marginal de um produto é a variação do custo de produção, à medida que mais uma unidade é produzida. Suponhamos que a função CM(x) = 0,0369 x2 – 0,83x + 4,87 dá o custo marginal da fabricação de um determinado produto até 20 unidades. A Figura 2.4.4 mostra o gráfico desta função. O leitor pode observar que existe um custo marginal mínimo próximo de 10, 11 ou 12 unidades. Para determinar com precisão o vértice da parábola vamos usar as Eqs. 2.4.8 e 2.4.9. 24,11 0369,02 83,0 xv = ⋅ − −= 20,087,424,1183,024,110369,0y 2 v =+⋅−⋅= O vértice exato da parábola é V=(11,24, 0,20), no entanto não existem unidades fra- cionárias do produto. Por isso, procuramos um valor de x mais próximo. Nesse caso, é x = 11 unidades. Esses resultados significam que para 11 unidades o custo marginal é mínimo e com valor de R$ 0,20 . O leitor pode ver isso na Figura 2.4.4.
  77. 77. EaD 77 Matemática aplicada à administração Figura 2.4.4: Vértice da parábola Perceba que buscamos trabalhar com exemplos concretos para que você possa perceber a importância deste componente curricular para a sua formação e desempenho da atividade que escolheu para si: a de administrador! Exercícios 2.4.2 1. Dadas as funções quadráticas, calcule o vértice e faça um esboço do gráfico. a) y = x2 – 4x – 3 c) y = -3x2 – 6 x +4 b) y =-2 x2 +2x – 5 d) y = 3x2 – 6x + 5 2. A função custo marginal de um produto é CM(x) = 0,03 x2 – x + 10 . a) Essa função tem raízes reais? b) Calcule o custo marginal mínimo.
  78. 78. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 78 Funções Polinomiais Existem funções polinomiais de ordem (grau) maiores do que dois. Uma função polinomial de grau “n” pode ser escrita na seguinte forma: Pn (x) = an xn + ... + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + ao . Para os objetivos deste livro, vamos restringir nosso estudo às funções polinomiais de grau menor ou igual a 3. Você deve ter observado que já estudamos os gráficos e raízes das funções de 1º e 2º Graus. Vamos analisar agora uma função importante para a economia, que geralmente é um polinômio de 3º Grau. Função Custo de Produção: O custo para gerar um produto é uma função da quantidade de unidades produzidas. Para pequenas quantidades (como as pizzas da Dona Maria) a depen- dência pode ser linear, mas à medida que aumentamos o número de unidades produzidas a dependência torna-se não-linear. Geralmente usamos funções polinomiais de 3o Grau para descrever as funções custo: C(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + ao onde C é o custo (em unidades monetárias) x é o número de unidades produzidas e a3 , a2 , a1 e ao são parâmetros (números reais). Exemplo 2.4.5:: A função C(x) = 0,0123 x3 -0,415x2 + 4,8727x é uma função poli- nomial de 3o Grau e fornece o custo de produção de um determinado produto até 20 unidades. O leitor pode observar no gráfico que se trata de uma função não-linear, ou seja, o custo de produção não é diretamente proporcional ao número de unida- des produzidas. Esse custo aumenta de forma diferente para cada unidade a mais fabricada.
  79. 79. EaD 79 Matemática aplicada à administração 0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 X (unidades) Custo($) Figura 2.4.5: Custo de produção polinomial Vamos estudar as técnicas específicas para analisar estas funções na Unidade 3, que abor- dará o tema Taxas de variação e derivadas. Seção 2.5 Funções Exponenciais e Logaritmos O trabalho de aplicação de funções exponenciais depende do conhecimento das proprie- dades das potências. Propriedades das potências (PP) Nas propriedades a seguir as constantes a e b são números reais positivos diferentes de 1 e as letras m e n são constantes ou variáveis reais quaisquer. Em linguagem matemática es- crevemos: a e b ∈ R , tal que a > 0, b > 0 e a ≠ 1 e b ≠ 1; e m e n ∈ R
  80. 80. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 80 PP1) bm ⋅ bn = bm+n (produto de potências de mesma base) PP2) m m b 1 b =− (expoente negativo) PP3) bm ÷ bn = bm-n (quociente de potências de mesma base) PP4) nmnm b)b( ⋅ = (potência de potência) PP5) am ⋅ bm = (ab)m (produto de potências com expoentes iguais) PP6) m m m b a b a       = (quociente de potências com expoentes iguais) PP7) i/ei e aa = (raiz e expoente fracionário) PP8) Se am =⋅ an então m = n. OBSERVAÇÕES 1. Usaremos as letras “PP” com referência às propriedades das potências. 2. Você deve lembrar sempre de consultar estas propriedades para operar com potências. Exemplo 2.5.1 – Resolva as potências usando as propriedades. a) =      −1 2 1 b) =⋅ 23 216 Solução: (a) Usando a PP2: .2 2 1 1 2 1 1 1 =             =      − (b) Sabendo que 16 = 24 , temos: .22 23 4 ⋅ Usando a PP7 e em seguida a PP1, temos; 3/1023/4 222 =⋅ .
  81. 81. EaD 81 Matemática aplicada à administração Exercícios 2.5.1 1. Resolva as potências usando as propriedades. a) 23 ⋅ 22 = f) 43 48 ⋅ = b) 32 ⋅ 34 ⋅ 35 = g) 41/2 = c) = 4 3 2 2 h) 23 32 )2( )4( = d) = ⋅ ⋅ 52 43 33 33 i) =⋅ 2 3 3 2 4 2 e) =32 )5( j) 24 216 ÷ = 2. Use sua calculadora para resolver: a) 23/2 c) 20.5 e) 31,5 b) 5 d) 3 5 f) 3 25 Funções exponenciais A Função Exponencial expressa uma série de fenômenos da ciência (crescimento popula- cional, reações químicas, desintegração radioativa) e particularmente nas Ciências Econômicas expressa aplicações ou financiamentos com capitalização. Inicialmente vamos aprender como é o crescimento exponencial, suas características e a álgebra envolvida, para depois fazer aplica- ções em problemas de economia. As funções exponenciais têm a forma y = bax (2.5.1)
  82. 82. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 82 onde y é a variável dependente, x a variável independente, a e b são números reais (cons- tantes), sendo que b > 0 e b ≠ 1 . Se a base b é o número de Euler e = 2,718281828... chamamos a função de “exponencial natural” e escrevemos: y = eax (2.5.2) O leitor deve observar a diferença entre as funções polinomiais e as exponenciais. As funções polinomiais têm a variável na base e o expoente é constante: Por exemplo: y = x2 . As funções exponenciais têm a variável no expoente e a base é constante: Por exemplo: y = 2x . Exemplo 2.5.2 – Qual das funções a seguir cresce mais? y = x2 ou y = 2x Solução: Vamos fazer tabelas de valores de x e y para as duas funções, inserir esses valores no gráfico e comparar. x x2 2x 0 0 1 1 1 2 2 4 4 3 9 8 4 16 16 5 25 32 6 36 64 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 3 4 5 6 X Y potência exponencial O leitor deve observar que as funções são diferentes. Apresentam valores próximos até x = 4, mas para x > 4 a exponencial cresce mais que a polinomial.
  83. 83. EaD 83 Matemática aplicada à administração Exemplo 2.5.3 – Vamos fazer uma tabela e um esboço do gráfico das funções: y = 2x e y=2-x . Solução: Observe que estimando valores para x e calculando os valores de y de acordo com as funções dadas, obtemos os dados da tabela e com eles, podemos fazer o gráfico. x y=2x y=2-x -4 0,0625 16 -3 0,125 8 -2 0,25 4 -1 0,5 2 0 1 1 1 2 0,5 2 4 0,25 3 8 0,125 4 16 0,0625 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X Y Y=2^(-X) Y=2^X Exercícios 2.5.2 1. Faça uma tabela e um gráfico das funções dadas (use o mesmo plano cartesiano) a) y = 4x c) y = 3x e) y = 2-3x b) y = 5x d) y = 6x f) y = 2-2x 2. Compare as funções exponenciais de (a) a (d) do Ex.1. Qual delas cresce mais? 3. Compare as funções exponenciais de (a) a (d) com as funções (e) e (f) do Ex.1. O que você pode afirmar sobre a influência do sinal do expoente no comportamento de crescimento/de- crescimento das funções exponenciais? Explique sua resposta. 4. Faça os gráficos das funções a seguir em uma planilha eletrônica: a) y = 5.2x b) y = 5.ex
  84. 84. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 84 Equações exponenciais As equações exponenciais são igualdades entre expressões, onde a variável está no expo- ente. A solução destas equações é obtida empregando as propriedades das potências. Exemplo 2.5.4 – Resolver a equação exponencial: 4 ⋅ 2x = 16 Solução: Para usar a propriedade PP8 precisamos antes igualar as bases dos dois lados da igualdade. Nesse caso, dividindo ambos os lados da equação por 4, obtemos: 2x = 4 2x = 22 . Usando a propriedade PP8, temos: x = 2. Exemplo 2.5.5 – A depreciação de um imóvel pode ser dada pela função V = Vo 2-bt , (2.5.3) onde V é o valor do imóvel, Vo é o valor do imóvel novo, b é um número real e t é o tempo, em anos. Sendo Vo = R$ 110.000,00 e b = 0,2 : a) Calcule o valor do imóvel depois de 10 anos. b) Em quanto tempo o valor do imóvel atingirá a metade do seu valor inicial Vo ? c) Segundo esse modelo, o preço do imóvel pode ser nulo? Solução (a) Substituindo os dados de Vo = R$ 110.000,00 , b = 0,2, e t=10 anos na Eq. 2.5.3, temos:
  85. 85. EaD 85 Matemática aplicada à administração V = R$ 110.000 ⋅ 2-0,2⋅ 10 V = R$ 27.500,00 (b) Usando V = Vo /2 e b = 0,2 na Eq. 2.5.3, temos Vo /2 = Vo ⋅ 2-0,2⋅ t Dividindo ambos os lados da equação por Vo , temos: ½ = 2-0,2⋅ t Usando a propriedade PP2, temos: 2-1 = 2-0,2⋅ t Como as bases de ambos os lados são iguais, usando a propriedade PP8, temos: -1 = -0,2t t = 5 anos. (c) Se o leitor colocar valores de t cada vez maiores (fazer t tender a infinito) na Eq. 2.5.3 observará que o valor do imóvel tenderá a zero. Assim, só para t=∞ o preço do imóvel será nulo, no entanto. Para efeitos práticos, observe que para t = 50 anos, V = R$ 107,42, o que corresponde a 0,097 do valor inicial. Exercícios 2.5.3 1. Resolva as equações exponenciais: a) 2x = 8 c) 3x = 1/729 b) 3x+1 = 27 d) 16025 4 x =
  86. 86. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 86 2. A depreciação de um carro pode ser dada pela Eq. 2.5.3. a) Elabore uma fórmula para calcular o tempo em que o carro terá a metade do seu valor inicial Vo . b) Sabendo que b = 0,23, determine o tempo para o valor do carro atingir ¼ Vo . Exemplo 2.5.3 – População de ratos As populações de insetos, ratos, microorganismos e também de humanos cresce exponencialmente, sob determinadas condições. Analisemos o crescimento de uma população de ratos. Consideremos a geração “zero”, composta apenas pelo ratão-pai, portanto 1 indivíduo. Considerando que cada indivíduo tenha, na sua existência, apenas 3 filhos, o número de ratos-filhos da primeira geração será 3. Na segunda geração será 3 vezes, 3 que dá 9, na terceira 3⋅3⋅3 = 27, e assim por diante. A coluna 2 da Tabela 2.5.1 mostra as gerações e a população de ratos para esse caso. Como os ratos só comem e fazem filhos, se não morrer nenhum dos bichinhos, para a geração n podemos dizer que a população de ratos é 3n ratos. Confira na Tabela 2.5.1. Se cada pai tiver 4 filhos, a população de ratos cresce muito mais rapidamente do que com 3. Veja a comparação na Tab. 2.5.1 e na Fig. 2.5.1. Se a população humana cresce exponencialmente, pense um pouco mais antes de fazer 4 filhos ! Tabela 2.5.1: População de ratos Geração População 3 filhos por pai 4 filhos por pai 0 1 1 1 3 4 2 9 16 3 27 64 4 81 256 ... ... ... n 3n 4n 0 50 100 150 200 250 300 0 1 2 3 4 Gerações População(indivíduo) P3 P4 Figura 2.5.1: População de ratos
  87. 87. EaD 87 Matemática aplicada à administração Observe que nesse modelo o número de ratos da geração posterior (P(n+1) ) é calculado multiplicando por 3 (se três filhos) ou 4 (se quatro filhos) o número de ratos da geração anterior (P(n) ). Podemos afirmar que a população da geração posterior (P(n+1) ) depende da população da geração anterior (P(n) ). Assim, podemos expressar a população de ratos da seguinte forma: P(n) = 3n para 3 filhos por pai e P(n) = 4n para 4 filhos por pai. Genericamente, nq)n(P = , para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.4) onde P(n) é a população de ratos na geração n (indivíduos), n é a geração e q é o número de filhos que cada pai tem em cada geração (indivíduos). Se existirem N ratos na geração “zero”, basta multiplicar o lado direito da Eq. 2.5.4 por N: nNq)n(P = , para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.5) Exemplo 2.5.5 – Juros compostos Uma aplicação financeira do tipo poupança com taxa mensal constante também tem crescimento exponencial. A Tab. 2.5.2 mostra uma aplicação de R$ 1.500,00 corrigida mês a mês com uma taxa de 1%. Observe que para obter o Capital do mês posterior (C(n+1) ) multiplicamos o mês anterior (C(n) ) por 1,01. Confira! De forma semelhante ao crescimento da população dos ratos, podemos encontrar uma função para calcular o capital. tioC)t(C = para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.6)
  88. 88. EaD Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges 88 onde Co é o capital inicial (R$), 100 j 1i += , onde j é a taxa de rendimento mensal e t é o tempo em meses. Tabela 2.5.2: Aplicação com juros compostos Tempo, t (meses) Capital, C(t) (R$) 0 1500,00 1 1515,00 2 1530,15 3 1545,45 4 1560,90 ... ..... 22 1867,07 23 1885,74 24 1904,60 1500 2000 2500 3000 3500 0 4 8 12 16 20 24 Tempo (meses) Capital(R$) j=1,01 j=1,02 j=1,03 Figura 2.5.2: Juros compostos com diferentes taxas A Figura 2.5.2 mostra três aplicações com taxas de juros j = 1, 2 e 3 %. Observe que temos curvas (não são retas!), sendo que quanto maior é a taxa de juros, mais cresce o capital. Progressões Geométricas As seqüências mostradas nas Tabs. 2.5.1 e 2.5.2, população e capital, respectivamente, são Progressões Geométricas. Escrevemos uma PG da seguinte forma: PG : { ao , a1 , a2 , .... , an } Nestas progressões, o termo posterior (an +1) é obtido multiplicando o anterior pela razão r. rna1na ⋅=+ (2.5.7)

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