Zestaw 20 zagadnień do egzaminu z analizy matematycznej

1. Kolegium Nauczycielskie w Bielsku Białej
Egzamin ustny ze wstępu do analizy matematycznej
dla studentów I roku kierunku matematyki na studiach dziennych
1. Odwzorowania i ich podstawowe własności - monotoniczność, ograniczoność,
iniektywność, suriektywność, bijektywność, parzystość, nieparzystość,
okresowość. Składanie, odwracanie, obrazy i przeciwobrazy zbiorów. Podstawowe
funkcje elementarne i ich własności.
2. Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych. Ograniczone i nieograniczone
podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów. Aksjomat ciągłości.
3. Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające.
4.Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne
i wystarczające zbieżności i rozbieżności ciągu. Przykłady.
5. Granica ciągu a struktura algebraiczna i porządkowa zbioru liczb
rzeczywistych. Twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów.
Twierdzenia o związkach nierówności pomiędzy wyrazami a granicami ciągów
zbieżnych. Twierdzenie o trzech ciągach.
6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu.
Twierdzenie Bolzano Weierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R.
7. Zbieżność i zbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych
i zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów. Przykłady.
8. Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie Cauchy-Hadamarda. Definicje
funkcji wykładniczych i trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych.
9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zero-jedynkowa, euklidesowa
w R^n. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach.
Zbiory otwarte i domknięte.
10. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych, w R^n. Warunek konieczny
zbieżności. Zbieżność w metrykach równoważnych i nierównoważnych.
11. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności.
Związek zwartości z zupełnością.
12. Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych – definicje Heinego
i Cauchy'ego. Granice jednostronne. Przykłady funkcji mających i nie mających
granic w punkcie.
13. Twierdzenia pozwalające wyznaczać granice funkcji: o trzech funkcjach;
o sumie, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji. Przykłady.
14. Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych. Działania na funkcjach
ciągłych. Ciągłość złożenia. Przykłady.
15. Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych i zbiorach spójnych.
Podstawowe twierdzenia. Ciągłość jednostajna.
16. Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami elementarnymi.
Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie. Podstawowe przykłady.
17. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie
pochodnych. Pochodna złożenia, pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji
elementarnych.
18. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich wypływające. Wzór Taylora
i jego zastosowania.
19. Ekstrema lokalne funkcji, punkty przegięcia funkcji. Warunki konieczne
i wystarczające. Przykłady.
20. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Podstawowe metody
wyznaczania całki nieoznaczonej.