Física general - Materia y forma

TRATADO DE FÍSICA GENERAL
REALIDAD - MATERIA Y FORMA
Reconocemos en el mundo que nos rodea dos aspectos de la realidad: la
materia y la forma. Por ejemplo, afirmamos que en el aula existe un piza-
rrón de materia lisa y dura, de forma rectangular.
Conviene que el método de reconocimiento de la existencia de esa reali-
dad incluya varios procedimientos, para garantizar de que no se trata de
una ilusión de nuestros sentidos, o una falsa indicación de los aparatos
sensores utilizados. Por ejemplo, para determinar la presencia de un cuer-
po en el espacio podemos reconocerlo con la vista o la fotografía, para lo
cual debemos iluminarlo convenientemente. Además, convendría a veces
complementar su existencia y ubicación por su efecto gravitatorio sobre otros
cuerpos (descubrimiento de planetas invisibles a simple vista), o por su ac-
ción por choque con otros cuerpos de existencia y ubicación comprobada
(detección indirecta de partículas por colisiones con proyectiles). Eventual-
mente estaremos en condiciones de tocarlo, palparlo o interceptarlo con
otros cuerpos (reconocimiento por interacción con materia de prueba). El
conjunto de los datos aportados por estas informaciones debe evaluarse
para saber si se trata efectivamente de una realidad “real”, un espejismo o
incluso una realidad simulada o virtual (por ejemplo un holograma o un pro-
ducto de un programa de computadora)
Sabemos hoy en día que toda la materia del universo está compuesta de un
gran número de pequeñas partículas cuyos diferentes tipos o variedades
son limitados (electrones, protones, neutrones, neutrinos, mesones, muones,
bosones, por citar los más importantes). Estas partículas tienden a agrupar-
se en algo más de un centenar de arreglos o entidades organizadas llama-
das átomos. Los átomos de esos diferentes arreglos (elementos químicos)
a su vez se combinan entre sí en estructuras mayores (moléculas) de
acuerdo a ciertas reglas energéticas y termodinámicas, para formar los
compuestos químicos que forman la materia de nuestro mundo.
A la materia se le asocian dos magnitudes fundamentales: la masa y la
carga eléctrica.
Masa es una magnitud escalar
1
de la cual, según la concepción de Newton,
1
Recordemos que si se quiere representar una característica mensurable de algo,
podemos utilizar varios tipos de magnitudes. A veces basta un sólo número (la masa,
la carga, el precio). Otras veces hacen falta dos (longitud y latitud) o tres (alto, ancho y

FÍSICA - MECÁNICA - CINEMÁTICA 2
depende la fuerza de gravitación y la fuerza de inercia (resistencia al
cambio de velocidad) de un objeto material. De acuerdo a una concepción
más moderna que es el resultado de introducir en la mecánica conceptos de
electricidad, la masa de un objeto depende también de su energía (o capa-
cidad para realizar trabajo) dentro de un sistema de referencia. Así hoy en
día se habla de masa/energía como la suma de ambas magnitudes. Por lo
que se sabe, la masa/energía no se crea ni se aniquila, aunque puede pasar
de la forma masa a la forma energía y viceversa.
Carga eléctrica es una magnitud escalar con signo (puede ser positiva o
negativa) relacionada con las fuerzas a distancia que existen entre algunos
cuerpos, que se dicen “cargados o electrizados”. No toda la materia posee,
pues, carga eléctrica de alguno de los dos signos. Así existen partículas sin
carga, que no deben confundirse con agrupaciones de materia neutra, las
cuáles tienen cargas de diferentes signos en igual proporción. También
existen partículas sin masa aunque, de acuerdo a la concepción electromag-
nética, una carga pura posee una masa/energía asociada, llamada masa
electromagnética. Es decir que no hay partículas con carga sin ma-
sa/energía asociada. Tampoco hay energía pura sin masa: la luz, el calor y
la radiación electromagnética en general tienen masa, la cual se agrupa en
partículas discretas llamadas fotones. La carga eléctrica no se crea ni se
aniquila.
Forma es la disposición que adopta la materia en el espacio y en el tiempo.
La forma de un objeto material puede abstraerse de su soporte o sustrato
material. Una esfera es una forma, que puede estar hecha de oro, barro u
otro material. La mejor manera de idealizar una forma independientemente
de su sustrato (forma pura) es mediante la representación geométrica (di-
bujo) o matemática (ecuación).
El sustrato de una forma puede no ser estrictamente material, especial-
mente cuando se considera la coordenada “tiempo”. Así se puede pensar en
una tasa de interés creciente según una línea recta en el tiempo. El con-
cepto “tasa de interés” no es material, sino que resume un concepto bastante
inmaterial: la avidez de dinero del mercado. También el sustrato de una
forma puede ser otra forma. Por ejemplo, la información de una lápida son
letras y signos (formas de un alfabeto) formados por surcos u ondulaciones
(otra forma) en la piedra (material).
La extensión de un objeto se mide por las dimensiones que ocupa en el
espacio y en el tiempo. Para caracterizar la extensión o tamaño se emplean
profundidad). A veces se requiere una tabla de números para representar de una sola
vez la situación de algo (tarifas de transporte en función de la distancia). Estos casos
requieren respectivamente una magnitud escalar (un número), un vector de dos, tres o
más dimensiones, o una matriz de n filas y m columnas (matriz de n x m elementos)

números de referencia con respecto a extensiones conocidas que se toman
como unidades. Para medir extensión se usa el procedimiento de comparar
lo que se quiere medir con otro objeto de dimensiones conocidas (patrón de
comparación)
Estado de la materia es lo que está determinado por la manera de agrega-
ción de las partículas materiales que forman los objetos materiales. Se re-
conocen dos estados fundamentales de la materia: el sólido y el fluido.
Dentro del estado fluido, podemos distinguir el estado líquido y el estado
gaseoso. Dentro de los gases podemos distinguir entre el estado gaseoso
normal y el gaseoso conductor o plasma.
El estado sólido corresponde a materia de
estructura más o menos rígida, que puede
clasificarse en materia cristalina o amor-
fa. En estado cristalino los átomos o
partículas están rígidamente unidos entre
sí en estructura reticular ordenada, que
presenta una considerable resistencia al
esfuerzo de corte. Bajo un esfuerzo infe-
rior a un cierto valor crítico que depende
del material, el cuerpo no se rompe y sólo se deforma, recuperando su forma
original cuando cesa el esfuerzo, si este fué moderado (límite de elasticidad).
En estado amorfo la estructura es desordenada aunque también existe la
fuerza de cohesión que resiste el corte. En estado fluido, si bien existen
fuerzas de cohesión que tienden a unir a las partículas del cuerpo, no son
tan fuertes como en el sólido. La deformación por esfuerzos de corte es
notable y permanente, y la transmisión de tales esfuerzos se hace sólo
mientras se deslice una parte del fluído sobre otra (efecto viscoso). Dentro
de los fluidos podemos distinguir a los líquidos y a los gases. En el estado
líquido hay mayor cohesión entre moléculas que en los gases, y por efectos
de la gravedad tienden a tomar la forma del recipiente que los contiene. Es
útil reconocer un estado intermedio entre el sólido y el líquido: el estado
pastoso, por el que atraviesan la mayoría de los sólidos antes de fundirse
por el calor. En el estado gaseoso, las partículas de la sustancia mantienen
muy poca fuerza de atracción entre sí e interaccionan en su movimiento libre
y caótico, produciendo así el efecto de presión sobre las paredes del reci-
piente que las contiene. La materia pasa generalmente del estado sólido al
líquido (fusión) y del líquido al gaseoso (evaporación) por aumento de la
temperatura o disminución de presión a que son sometidos. En ambos ca-
sos, esos cambios de estado se deben a que la energía cinética de las
moléculas superan a la potencial de forma que las mantiene en el estado
anterior. Por ejemplo, durante el proceso de evaporación las moléculas ven-
cen la fuerza que las mantiene en el seno del líquido y escapan fuera de
éste, formando un gas. A altas temperaturas o con otros estímulo energéti-
cos, los gases se ionizan parcialmente (se desdoblan un par de partículas
esfuerzo de corte
o cizallamiento

neutras en dos cargadas, una positivamente y la otra negativamente). Los
gases ionizados pueden ser asiento de corrientes eléctricas: es el plasma.
El plasma se observó por primera vez en un tubo con gas a baja presión
atravesado por una descarga eléctrica: había una luminiscencia que se agi-
taba en forma parecida a una sustancia gelatinosa: este aspecto similar al
plasma sanguíneo le dió su nombre. El plasma, poco frecuente en nuestro
mundo, constituye en cambio el estado del 99% de la materia del universo:
así, las estrellas son globos de plasma y los espacios interestelares están
llenos de plasma de baja densidad.
MACROMUNDO Y MICROMUNDO
El aspecto de la realidad cambia cuando lo examinamos bajos diferentes
aumentos. Si estudiamos la forma de interacción y la dinámica de cuerpos
de dimensiones visibles a simple vista, lo haremos asignándole posición y
forma bien determinadas que se puedan encuadrar en un modelo geométrico
en el espacio y en el tiempo. Diremos por ejemplo que una bola de billar es
muy aproximadamente de forma esférica de 6 centímetros de diámetro,
prácticamente indeformable, y que en este instante está a 1 metro del suelo
y se traslada a una velocidad de 20 cm/s rodando sobre la mesa, que es a la
vez es prácticamente un plano.
Si pretendemos describir una escena del micromundo atómico, aunque pudiéramos
escudriñar la materia con grandes aumentos y luz apropiada, y pudiéramos percibir
sus rapidísimos movimientos, tendríamos muchas dificultades en utilizar conceptos
como posición, velocidad y tamaño de electrones, núcleos y otras partículas. En-
contraríamos que formas y posiciones de partículas en movimiento son borrosas y
mal definidas aunque usáramos los aparatos más sofisticados (principio de indeter-
minación, de Heisenberg). No veríamos electrones girando en órbitas planetarias
como buenos chicos, sino capas nebulosas con carga distribuída en forma de onda
estacionaria alrededor de algo que podría asemejarse a un núcleo formado por partí-
culas que vibran. Algunas partículas libres atravesarían la escena con enorme veloci-
dad, colisionando con otras. Esas partículas pequeñas en movimiento, como electro-
nes y protones, no podrán ubicarse en el espacio con precisión, apareciendo con
contornos borrosos y ondulantes. De tanto en tanto veríamos que saldrían de los
átomos destellos de luz de colores, que podrían parecer según cómo se los mire, o
bien puntos luminosos dotados de gran velocidad, o también trenes de ondas lumino-
sas. Esta emisión espontánea e impredecible iría acompañada de una deshinchazón
súbita de algunas capas eléctricas. Veríamos también que algunos de esos destellos
emitidos se perderían en el espacio y otros incidirían sobre átomos vecinos, los que se
inflarán al absorberlos. Estas emisiones y absorciones de energía serían del todo
impredecibles sobre átomos individuales y solamente podríamos establecer para la
ocurrencia de estos fenómenos leyes estadísticas, aplicables como promedios a un
gran número de átomos. Si sobre este conjunto de materia incidieran rayos calóricos,
que algún imaginativo podría asemejar a partículas de luz invisible, desaparecerían
absorbidos por los núcleos que comenzarían a vibrar como resultado de ese choque.
Estadísticamente podríamos asignar un valor a la energía de vibración promedio del
conjunto. Ese valor sería lo que un observador macroscópico llamaría temperatura de

la materia en cuestión.
Observando esta materia aún con mayores aumentos, podríamos ver que las fuerzas
de atracción y repulsión eléctricas están gobernadas por el intercambio de esas
partículas luminosas que describimos antes (fotones). También veríamos que los
núcleos atómicos son un conglomerado de partículas (protones y neutrones) que se
mantienen unidas por una fuerza mucho mayor que la de repulsión eléctrica. Estas
fuerzas entre partículas atómicas no pueden explicarse con la teoría de campos que
emplean la electricidad y gravitación clásicas, aplicables sólamente a fenómenos
continuos macroscópicos. Requieren en cambio teorías que se hagan cargo de fenó-
menos de interacción que ocurren de a saltos discretos (saltos cuánticos). Si nos
esforzáramos mucho creeríamos ver algunas partículas subatómicas de cuyo inter-
cambio surgen esas fuerzas. Así como la fuerza electromagnética surge del inter-
cambio de fotones, la fuerza entre protones se puede atribuir al intercambio de unas
partículas especiales llamadas mesones. La fuerza gravitatoria entre partículas con
masa, que macroscópicamente da un resultado estadístico cuya expresión es la ley de
Newton, a nivel atómico puede prácticamente despreciarse por lo débil. Sin embargo,
si queremos considerarla podemos atribuirla al intercambio de partículas gravitatorias
(gravitones). Todas esas partículas de intercambio, que se mueven a grandes veloci-
dades, no tendrían tamaño y posición determinadas, sino más bien una distribución
ondulada distribuida en el espacio y en el tiempo, según nos enseña la mecánica
cuántica y ondulatoria.
En resumen, lo que vemos en nuestro mundo, como ser cuerpos bien deli-
mitados de materia continua, bañados en un fluído luminoso también conti-
nuo, y sujetos a fuerzas que pueden variar en grados tan pequeños como se
pueda imaginar, es el resultado estadístico del comportamiento de agrupa-
ciones de pequeñas partículas de materia y energía en movimiento que
tienen sus leyes, algunas iguales a las observadas en los objetos “grandes”,
como las que rigen en mecánica a los choques entre cuerpos, pero otras
propias, como son las que gobiernan la ocurrencia de esas interacciones.
El estudio de la realidad debe hacerse con un enfoque apropiado a la
escala u óptica con la que se observa el sistema a estudiar. A escala grande
(mayor que 10
-6
m) conviene un modelo continuo de formas definidas. A
escala muy pequeña se deben reconocer las propiedades corpusculares de
la materia y la energía, sus formas borrosas y su carácter ondulatorio.

MECÁNICA
La mecánica es una rama de la física que estudia el equilibrio y movimien-
to de los cuerpos y sistemas de cuerpos. Por comodidad se la estudia dividi-
da en tres partes. La parte que estudia el equilibrio sin movimiento se llama
estática. La parte que estudia exclusivamente el movimiento se llama cine-
mática. El estudio de las causas del movimiento por acción de acciones
exteriores e interacciones (fuerzas) se llama dinámica. La comprensión y
resolución de problemas de mecánica exige generalmente la aplicación de
conceptos de estas tres disciplinas, y no resulta conveniente su estudio por
separado, que tiene una supuesta ventaja metodológica pero un innegable
dificultad conceptual.
Cuerpos
Como ya vimos, son cuerpos las agrupaciones de materia en cualquiera de
sus estados posibles. Para simplificar, se categorizan los cuerpos materiales
en partículas y cuerpos extensos, que a su vez pueden ser sólidos o
fluidos. Los sólidos a su vez pueden ser rígidos, elásticos o plásticos. Los
fluidos pueden ser compresibles o incompresibles. El concepto de partí-
cula material corresponde a una idealización de un pequeño cuerpo mate-
rial cuyas exiguas dimensiones hacen que se desprecien extensión y forma
frente a su masa o eventualmente frente a su carga. En el caso de sistemas
de partículas, también son despreciables sus dimensiones con respecto a la
distancia que las separa. Cuando interesan la forma y dimensiones de los
objetos, se los trata como cuerpos extensos, en los cuales la masa y
eventualmente la carga están distribuidas en su volumen. Al cociente entre
masa y volumen se le llama densidad del cuerpo y al cociente entre carga y
volumen se lo llama densidad volumétrica de carga. En una partícula mate-
rial, ni la masa ni la carga están distribuidas, ya que la partícula no tiene
extensión en el espacio y por lo tanto no ocupa volumen. Se dice que la
masa y eventualmente la carga de una partícula material está concentrada
en el punto donde reside la partícula. No se puede aplicar el concepto de
densidad a una partícula, porque dividir por cero da infinito, y la densidad es
esencialmente finita. Sin embargo, puede aproximarse en la práctica una
partícula material a un cuerpo muy pequeño de densidad muy elevada.
Fuerzas
La materia interactúa entre sí produciendo cambios en el estado de reposo o
movimiento que tenía inicialmente. Dos bolas de billar chocan entre sí, modi-
ficando sendas trayectorias de la misma manera que lo hacen dos partículas

atómicas que interactúan. La luna gira en torno a la tierra debida a la atrac-
ción que existe entre ambas, de la misma manera que puede entenderse lo
hace un electrón alrededor de un núcleo atómico. El choque y la trayectoria
circular son respectivamente resultado de las acciones entre la materia.
Resulta apropiado atribuir estas acciones, la primera por contacto entre
cuerpos y la segunda por atracción a distancia, a entes físicos llamado fuer-
zas. Y así se habla de la fuerza del choque y la fuerza de atracción. Se
tiene un concepto claro de lo que es una fuerza a través de la sensación del
esfuerzo muscular cuando, por ejemplo, empujamos un objeto pesado. Sin
embargo la definición precisa de fuerza se debe a Isaac Newton, quién la
relacionó con “la acción que altera el estado de movimiento de un cuerpo”
Una fuerza queda definida en general por cuatro características: la inten-
sidad (por ejemplo, en el caso de un florero sobre la mesa, el peso de 1 Kg),
el punto de aplicación (el centro de la mesa), la dirección (la vertical) y el
sentido (hacia abajo). Una fuerza es una acción concentrada en un punto.
Es una idealización de lo que ocurre en realidad, en la que la fuerza está
distribuida en una superficie (la de la base del florero). Se hablará así de
presión, que es la razón entre fuerza aplicada y superficie de aplicación.
Lógicamente, sobre una partícula material se pueden considerar aplicadas
únicamente fuerzas concentradas, y en cambio sobre un cuerpo extenso
pueden considerarse aplicadas tanto fuerzas concentradas como distribui-
das.
Como se verá luego, a las fuerzas se las define matemáticamente como
vectores, y su manejo cuantitativo se realiza con
ayuda del cálculo vectorial, del que se darán algu-
nos lineamientos más adelante.
Principio de superposición de acciones (Galileo -
1600)
Dice este célebre principio, utilizado metódicamente
por primera vez por Galileo en el estudio del movi-
miento, que se puede tratar un fenómeno debido a
varias causas que actúan simultáneamente, des-
componiéndolo en procesos más simples debidos a
cada una de esas causas actuando por separado y
sumando los resultados, como si las acciones se
sucedieran una a continuación de la otra en cual-
quier orden.
Veamos el clásico ejemplo del tiro horizontal de un proyectil. El principio
de superposición nos permite estudiar el fenómeno descomponiéndolo en
la acción de la pólvora y la acción de la gravedad. La primera impulsa la
bala a velocidad horizontal constante. La segunda hace caer la bala con
1 2 3
1
2
3
5
4
6
7
8
9

velocidad creciente hacia abajo. El resultado se puede estudiar superpo-
niendo un trayecto horizontal durante un intervalo de tiempo, y luego una
caída acelerada durante el mismo intervalo, o al revés: primero la caída y
luego el avance. Al cabo del intervalo de tiempo considerado, el cálculo nos
da una posición más abajo y más lejos, que coincide con la posición que
alcanza la bala en realidad siguiendo la trayectoria parabólica que será ob-
jeto de estudio más adelante.
La aplicación del principio de superposición de efectos está justificada sólo
cuando:
Los procesos simultáneos son independientes (la gravedad no depende de
la posición horizontal ni del impulso inicial)
Las acciones producen resultados proporcionales a sus intensidades (la
posición horizontal y la velocidad vertical son proporcionales al tiempo).
En tal caso se dice que se trata de procesos linealmente independientes.
El principio de superposición aplicado a procesos no lineales da resultados
erróneos.
Son no lineales o “alineales” los procesos que no guardan proporcionali-
dad entre causa y efecto. Por ejemplo, el caudal de agua que sale en el
extremo de un caño no aumenta proporcionalmente con la presión aplicada
en el otro extremo, sino con la raíz cuadrada de esa presión. En rigor, la
mayoría de los fenómenos físicos no son estrictamente lineales, aunque
pueden considerarse aproximadamente lineales dentro de un intervalo más
o menos estrecho de variación. Por ejemplo, el caudal de agua en un caño
puede considerarse que aumenta proporcionalmente con un pequeño au-
mento de la presión y adoptar el aumento de caudal como una solución in-
termedia. Luego, con una constante de proporcionalidad menor, correspon-
diente al nuevo régimen, se calcula el nuevo aumento de caudal con un
nuevo incremento de presión. Así sucesivamente se obtienen valores de
caudal y presión que se acercarán a los verdaderos en la medida de que se
elijan los incrementos sucesivos suficientemente pequeños. La justifica-
ción matemática de este método se estudia bajo el nombre de “integración
numérica por diferencias finitas”, y no es otra cosa que una aplicación del
principio de superposición sucesiva a un problema no lineal.

También hay fenómenos que siguen una ley lineal y pasan a otra ley, lineal o
no, a partir de un cierto valor de la variable que los produce. Por ejemplo,
superada una tensión de 37 Kg (límite de elasticidad), un alambre de acero
de 1 mm
2
de sección se estira más que proporcionalmente con la tensión
aplicada
2
. En tal caso, cuando se aplican conjuntamente dos tensiones cuya
suma supere dicho límite, no podremos calcular su estiramiento sumando los
efectos de cada una de ellas por separado. Si una primera tensión de 20 Kg
lo estira 1 mm, una segunda, de 30 Kg, producirá un estiramiento proporcio-
nal de 1,5 mm. Hasta allí se cumple la proporcionalidad y estaríamos tenta-
dos a adelantar que la suma de ambas (50 Kg) lo estirará hasta
1mm+1,2mm=2,5 mm . Sin embargo, la experiencia nos muestra que el
estiramiento real supera este valor (3 mm) . Lo que ocurre es que con 50 Kg
se supera la tensión del límite de proporcionalidad de 37 Kg/mm
2
. El ace-
ro que supera el límite de elasticidad, recuerda
3
este proceso adoptando
una deformación permanente aún después de retirada la carga. La gráfica
muestra así una ley que no es reversible, que va por un camino y vuelve por
otro. Esta particularidad se llama histéresis (del griego hysterein : llegar
tarde)
Principio de acción y reacción (Newton - 1665)
Las fuerzas existen de a pares. Si podemos ejercer una fuerza sobre un
objeto, es porque éste reacciona sobre nosotros con una fuerza igual y
contraria. Cuando estudiamos algún caso en que un cuerpo tiene aplicada
una fuerza, debemos pensar en quién o en qué se la está aplicando: sobre
éste se está ejerciendo una fuerza igual y contraria. Los nombres de acción
2
La ley de proporcionalidad entre esfuerzo y estiramiento se conoce como Ley de
Hooke, y es válida hasta un cierto valor que se llama “límite de proporcionalidad” o
también “límite elástico”, porque manteniéndose debajo de él, el material recobra sus
dimensiones originales al cesar la tensión.
3
Se dice que el material tiene memoria de deformación.
20 Kg
30 Kg
50 Kg
1 mm
2 mm
3 mm
4 mm
Limitación para aplicar el principio de superposición
10 20 30 40 50
4 mm
3 mm
2 mm
1 mm
Alargamiento
Peso (Kg)
ida
vuelta

y reacción que se emplean para nombrar este principio aluden a la aplica-
ción de la fuerza sobre algo y durante un tiempo, como veremos luego.
Principio de inercia (Galileo - 1610)
La materia tiende a permanecer en el estado de reposo o de movimiento
uniforme que posee inicialmente. Esta propiedad llamada inercia explica
que para modificar el estado de reposo o movimiento uniforme de un cuerpo
sea necesario aplicar una fuerza exterior. Teniendo en cuenta el principio de
acción y reacción anteriormente enunciado, es evidente que cuando un
cuerpo inicia su movimiento o modifica su trayectoria, hay algún otro sobre el
que se ejerce la otra fuerza del par. Más adelante veremos que esta cuestión
está ligada a otros dos principios accesorios: el de la permanencia del cen-
tro de masa (o de gravedad) y a la constancia de la cantidad de movi-
miento de un sistema de cuerpos que interactúan entre sí.
Conceptos de Cinemática y Dinámica de Partículas
Conviene estudiar el movimiento primeramente de partículas, para luego
pasar al de cuerpos extensos. Las partículas materiales son, como ya diji-
mos, una idealización de cuerpos de dimensiones muy pequeñas y masa
finita, de manera que se pueden aproximar a puntos materiales de densi-
dad muy elevada. Como el movimiento se refiere a entes materiales dota-
dos de masa (o masa energía, para hablar con mayor generalidad) y que
tales fenómenos se producen por efecto de una acción exterior, no conviene
desvincular la causa del efecto y, contrariamente a lo que se viene haciendo
tradicionalmente en la enseñanza de la física, en esta obra se evitará la
división entre cinemática y dinámica.
Algo sobre vectores
Como se sabe, un vector es una magnitud que sirve para representar algo
que tiene intensidad (también llamada módulo), dirección y sentido. No
alcanza un número para caracterizar tal cosa. A lo sumo ese número podría
representar una de sus características, como por ejemplo su intensidad, pero
no daría ninguna información sobre las otras dos (dirección y sentido)
Vector quiere decir “lo que transporta”. Y precisamente transporte, trasla-
ción o desplazamiento son fenómenos que sugieren la necesidad de un
vector para ser definidos en forma conceptual y completa. El resultado de
una traslación se visualiza mediante una flecha que va desde el punto ori-
gen al punto destino (por ejemplo el vector ∆∆d visto antes) y puede ser
definida con dos o tres números, según se trate respectivamente de un des-

plazamiento en el plano o en el espacio
4
.
Esos números pueden ser los valores de sus componentes escalares (pro-
yecciones sobre los respectivos ejes de referencia), o bien el valor de su
módulo (longitud) y argumento (ángulo que forma con un vector unitario de
referencia o “versor”), o alguna otra combinación de valores con las que se
pueda representar la flecha en el espacio (por ejemplo módulo, acimut y
altura, o también módulo, declinación y ascensión recta)
La representación de un vector con dos o tres escalares (componentes se-
gún los ejes) tiene el inconveniente de que esos valores dependen del tipo y
orientación del sistema de referencia, a pesar de que lo que representa el
vector (por ejemplo la susodicha traslación) tiene un significado intrínseco
independiente de ese marco de referencia. Por eso, si bien el uso de vecto-
res a través de sus componentes es en general un procedimiento cómodo, le
resta concisión y generalidad a las operaciones entre este tipo de magni-
tudes.
Resulta así más propio operar con los vectores como tales, como flechas o
imaginando los desplazamientos que pueden llegar a representar. En esta
obra se representan magnitudes escalares con letras normales o en negrita,
pero sin inclinación. Las letras itálicas en negrita se reservan para repre-
sentar magnitudes vectoriales.
Se definen las siguientes
operaciones con vectores:
Suma de dos vectores
como la resultante de aplicar
el efecto de traslación de
uno y otro sucesivamente a
un punto. La resta o dife-
rencia entre dos vectores
se entiende como un caso
particular de la suma vecto-
rial, en la que el sustraendo
tiene módulo negativo, es
decir que cambia su sentido.
La suma vectorial goza de la
propiedad conmutativa, es
decir v1+v2=v2+v1
4
Aunque no tienen un significado físico concreto como los de dos o tres dimensiones,
listas de más de tres números relacionados entre sí pueden interpretarse como vecto-
res de n dimensiones. Para referirlos a una realidad geométrica, se dice que son
vectores en un espacio n-dimensional.
v1∧∧v2
v1
v2
v1
v2
v1+v2
v1
v2
αα
producto escalar
v1·v2=v1.v2.cos αα
suma vectorial
producto vectorial
v1∧∧v2=v1.v2.senαα
v1.cos αα
v1
- v2
v1+v2
resta o diferencia
v2
v1-v2
v2
v1-v2
αα
v2∧∧v1

Producto escalar de dos vectores, es, como lo indica su nombre, un núme-
ro (no un vector) . Se simboliza con el punto (·). Este número se define como
el producto de las intensidades de los vectores por el coseno del ángulo que
forman sus rectas de acción. Nótese en la figura que v1.cos(αα) nos da el
valor de la proyección de v1 en la dirección de v2. Si dos vectores tienen
producto escalar nulo quiere decir que son perpendiculares entre sí. El
producto escalar es conmutativo, o sea v1·v2=v2·v1 .
Producto vectorial entre dos vectores, en cambio, se define como un vec-
tor cuya intensidad es el producto de los módulos de los dos vectores facto-
res multiplicado por el seno del ángulo que forman sus respectivas rectas de
acción. La operación se indica con el signo ∧∧ . La dirección del vector resul-
tante del producto vectorial es perpendicular al plano que determinan los
vectores multiplicados. El sentido del vector producto depende del orden de
los factores, es decir que el producto vectorial no es conmutativo. Así resulta
V1∧∧V2= - (V2∧∧V1) (ver figura)
5
. Un producto vectorial nulo indica que los
vectores intervinientes son paralelos. El módulo del vector producto re-
presenta el área del paralelogramo determinado por los vectores factores.
Producto de un escalar por un vector: Un número multiplicado por un
vector da un nuevo vector de igual dirección, pero cuyo módulo es el pro-
ducto del número por el módulo del vector original. Es decir que el factor
numérico es un modificador de la intensidad del vector original. Lo amplifi-
ca o lo atenúa según sea mayor o menor que uno. Si el factor es negativo, le
cambia el sentido.
Ejemplo
El cálculo vectorial
contiene al álgebra, la
geometría y trigono-
metría implícitas. Por
eso es tan potente y
conciso. Por ejemplo,
el teorema del co-
seno (del cual el de
Pitágoras es un caso
particular) sale natu-
ralmente de la definición de diferencia entre vectores, aplicando a ambos
miembros de la igualdad el producto escalar por ellos mismos. Téngase para
ello en cuenta que al multiplicar un vector escalarmente por sí mismo, se
obtiene el cuadrado de su módulo.
5
El cálculo vectorial exige dar signo a los ángulos. Adoptaremos como positivo el
sentido antihorario: así en la figura el ángulo α es positivo pues está medido desde v1
a v2. Su seno resulta también positivo, así como el módulo del producto vectorial
v1∧V2= v1.v2.sen(α) . Por convención esto se interpreta como que el vector pro-
ducto sale del plano del reloj usado para la medida de los ángulos.
a
b
c=a-b
c·c = (a-b)·(a-b) = a
2
-2a·b+b
2
2a·b=2.a.b.cos(C)
c·c=c
2
=a
2
-2.a.b.cos(C)+b
2
C
B
A

Posición, Trayectoria, Velocidad
Los fenómenos físicos ocurren el espacio y en el tiempo. Para ubicar algo
en el espacio debemos primeramente caracterizar a éste con puntos y ejes
con respecto a los cuales se darán distancias y ángulos para encontrar el
lugar donde se encuentra. Este sistema de ejes y puntos se llama sistema
de referencia. El valor de las distancias y ángulos son las coordenadas del
lugar correspondiente. Por ejemplo son coordenadas de un lugar en el sis-
tema de referencia geográfico su longitud con respecto al meridiano de
Greenwich, latitud al plano del ecuador y elevación sobre el nivel del mar.
Un astro se ubicará por su declinación y ascensión recta en un determina-
do tiempo, en el sistema de referencia astronómico, o bien en un sistema
local por otra pareja de coordenadas: el acimut y la altura, también en un
determinado momento (ya que el astro se mueve, cambiando su posición
con el tiempo). Sobre el origen y orientación de referencia decimos que
existen sistemas fijos y móviles. Decimos que son fijos, siguiendo a Newton,
los sistemas de referencia en los que se mantienen las coordenadas de las
estrellas fijas del firmamento
6
. Los sistemas de referencia que se despla-
zan con respecto a los sistemas fijos se llaman sistemas móviles. Dentro de
los sistemas móviles, se llaman inerciales a los que mantienen su orienta-
ción con respecto a los fijos, desplazándose con velocidad constante sin
rotar.
Es útil representar un espacio de tres dimensiones por un origen desde don-
de parten tres ejes perpendiculares entre sí (ortogonales). Esto da una bue-
na idea de la perspectiva del espacio y de los objetos, aunque no necesa-
riamente se utilicen las coordenadas de éstos referidas a los ejes. Es prefe-
rible en general definir la posición de una partícula en el espacio por un
vector que parte del origen del sistema de referencia y con extremo o
punta en el punto dónde se halla la partícula. Si la partícula se mueve, la
punta de ese vector describe una trayectoria (en general una curva en el
espacio) a medida que transcurre el tiempo.
Nótese que para que todo lo anterior tenga sentido, debemos admitir que en
el espacio real son aplicables conceptos de geometría plana tales como
puntos y rectas, y de geometría del espacio, tales como planos, curvas,
superficies y distancia pitagórica. Asimismo se emplea el concepto intuitivo
de tiempo, como una magnitud que transcurre regularmente e independien-
temente de otros fenómenos, y cuyo valor rige en todo el espacio (simulta-
neidad).
6
SI bien la forma de las constelaciones cambia con el tiempo, lo hace tan lentamente
que se considera que su posición en el cielo es invariable. Hay métodos más avanza-
dos para encontrar el sistema absoluto de coordenadas, por ejemplo en base a la
radiación de temperatura del universo.

Se llama velocidad instantánea de la partícula en un momento dado, al co-
ciente entre camino lineal recorrido y tiempo, suponiendo que la partícula es
abandonada libremente a partir del instante considerado. Sabemos por expe-
riencia, que la partícula libre de acciones exteriores persiste en el estado en
que se encuentra: quieta o con movimiento uniforme en línea recta, en virtud
de esa propiedad ligada a su masa que llamamos inercia. De lo dicho surge
que si se dejara libre a la partícula a partir del momento considerado, segui-
ría una trayectoria rectilínea en la dirección que tiene en ese momento, cu-
briendo distancias iguales en tiempos iguales, o sea a velocidad constante.
Esa velocidad es la que tiene la partícula en el instante considerado aunque
no se la dejara libre, en cuyo caso un momento después tendría en general
otra velocidad tanto en valor como en dirección y sentido.
La velocidad, por ser dimensionalmente una longitud dividida por un tiempo,
se mide en unidades de longitud dividido unidades de tiempo, por ejemplo
metros /segundo, o Km/hora
Ejemplo: Un automóvil entra
por un acceso a una autopis-
ta. Sigue para ello una tra-
yectoria curva en el espacio
(va doblando y al mismo tiem-
po ascendiendo hacia el nivel
de la autopista). Su velocidad
instantánea en un momento
determinado está dada por
tres parámetros:
el valor que marca el velocí-
metro en ese instante (por ejemplo 40 Km/h)
la dirección (tangente al camino en ese punto)
el sentido (hacia adelante).
Si el auto se dejara libre en ese momento (para lo cual deberíamos anular la
fuerza de gravedad, la adherencia de las ruedas al camino y en general todo
otro rozamiento) recorrería al cabo de una hora 40 Km siguiendo la dirección
tangente al camino en la dirección del movimiento (supuestamente que no
encontrara obstáculos en esa trayectoria recta).
Para poder aplicar al concepto de velocidad instantánea un tratamiento
matemático riguroso, Newton inventó una serie de operaciones con las va-
riables (posición y tiempo) cuyo conjunto se conoce como “cálculo infinite-
simal”, y que consiste básicamente en estudiar el límite de cocientes cuando
el denominador se hace tan pequeño como uno quiera. Por ejemplo, en el
caso típico de la velocidad, definida como cociente entre distancia recorrida y
tiempo empleado, el valor obtenido así tiene carácter de promedio cuando
el intervalo de tiempo considerado es extenso y no coincide con el concepto
de velocidad instantánea dado antes. Para que el cociente nos dé el valor de
eje x
ejez
eje y
origen de
coordenadas
xy
z
v

la velocidad instantánea (el espacio que recorrería el móvil al cabo de una
unidad de tiempo si cesaran todas las acciones sobre él), es necesario con-
siderar un intervalo durante el cual la velocidad del móvil no varíe. Imagine-
mos el peor caso, en que la velocidad instantánea varíe constantemente a lo
largo del camino recorrido y del tiempo transcurrido. Es este el caso típico de
un colectivo en servicio, que acelera y desacelera constantemente, yendo
también desde un lado al otro de la calzada en su afán de avanzar rápida-
mente esquivando a otros vehículos. ¿Cómo medimos la velocidad instantá-
nea aquí y ahora?.
Los términos aquí y ahora tomados en su significado estricto requieren in-
tervalos de tiempo y espacio nulos. El presente no tiene duración, y el espa-
cio recorrido en un instante nulo será también cero. No podemos calcular
matemáticamente un cociente entre cero y cero, y menos aún darle signifi-
cado físico. Sin embargo es imaginable el caso de que por muy rápido que
varíe la velocidad en el tiempo (esta variación se llama aceleración), siem-
pre que no haya saltos demasiado bruscos (puede no ser el caso de un
colectivo), podamos tomar un intervalo de tiempo suficientemente pequeño
como para que al principio del intervalo y al final, la velocidad sea casi la
misma. Suficientemente pequeño puede ser, según los casos, una hora, un
día o un segundo. A este valor se llega prácticamente haciendo sucesivas
determinaciones de la velocidad con intervalos de tiempo cada vez menores,
hasta que una disminución ulterior del intervalo no produzca cambios signi-
ficativos en el resultado del cociente. Se dice que en tal caso llegamos
prácticamente al valor del límite del cociente. Entonces el valor del espa-
cio recorrido y la duración del intervalo considerado será la velocidad en el
intervalo de tiempo que por lo pequeño se confundirá con el instante de
tiempo, es decir que coincidirá con el concepto de velocidad instantánea.
No hay inconvenientes, al menos en teoría, de medir pequeños intervalos de
tiempo y los respectivos desplaza-
mientos recorridos. Si se conoce la
ley matemática de variación del
espacio con el tiempo puede calcu-
larse la ley matemática del límite del
cociente (velocidad) mediante un
procedimiento o “algoritmo” llamado
“paso al límite” que se enseña en
los cursos de análisis matemático.
Esta operación transforma a la fun-
ción primitiva (espacio en función
del tiempo) en su función derivada
7
(velocidad).
7
Newton empleaba el término “fluxión” para la función derivada, en alusión a un flujo,
o sea el cociente entre cantidad de la variable y tiempo
x1
y1
z1
ddd111 ddd222
∆∆∆∆dd
z2
y2
x2

Consideremos la figura, que representa una bolita cayendo por una rampa
formada por dos rieles paralelos doblados en curva.
Los vectores d1 y d2 corresponden a las sucesivas posiciones de la bolita en
dos instantes t1 y t2 . ∆∆d es la diferencia vectorial entre d2 y d1 y se llama
traslación del objeto. Así es ∆∆∆∆dd==dd22--dd11 (letras en iittáálliiccaa representan vectores).
El valor de la distancia entre los extremos de los vectores d2 y d1, de coorde-
nadas respectivas x2, y2, z2 y x1, y1, z1 , viene dado por la aplicación del
teorema de Pitágoras en el espacio, a saber:
∆d=[(x2-x1)
2
+(y2-y1)
2
+(z2-z1)
2
]
1/2
Si consideramos que la posición tiene carácter vectorial, la velocidad tam-
bién lo tendrá, ya que se trata matemáticamente del cociente entre un vec-
tor traslación ∆∆∆∆dd (diferencia entre posiciones sucesivas final d2 e inicial d1) y
un escalar ∆∆t =t2-t1 (el tiempo transcurrido entre ambas), siempre y cuando
este último intervalo de tiempo sea suficientemente pequeño, en el sentido
explicado antes.
Así es v = límite ∆∆d/∆∆t para ∆t→0
Acción, Cantidad de movimiento, Fuerza e Impulso
La expresión matemática de fuerza de inercia como la definió Newton, re-
quiere definir previamente el concepto de cantidad de movimiento de un
cuerpo de masa m que se mueve a una velocidad vv.. Así decimos que la
cantidad de movimiento vale p=m.v . Nótese que la cantidad de movimiento
se mide con un vector, ya que se trata del producto de un escalar (la masa)
por un vector (la velocidad). La variación de la cantidad de movimiento
∆∆p=∆∆(mv) durante un intervalo de tiempo ∆∆t se debe a la acción de una
fuerza F (vector) cuyo valor es el cociente F=∆∆p/∆∆t. Se llama acción de la
fuerza sobre la partícula o también impulso de la fuerza sobre la partícula al
producto F.∆∆t=∆∆p , cuyo valor (vectorial) coincide con la variación de la
cantidad de movimiento.
La variación de la cantidad de movimiento de una partícula puede produ-
cirse debido a un cambio de velocidad, pero también debido a un cambio de
masa, o a ambas cosas a la vez. Por ejemplo, si consideramos una bola que
se desliza por una mesa lisa, podemos admitir que la masa del objeto que
rueda se mantiene contante durante el movimiento, aunque si somos exqui-
sitos y tenemos en cuenta que la bola se desgasta al rodar, habrá que tener
en cuenta el minúsculo cambio de masa de la misma. En cierto casos, la
variación de la masa no es despreciable, como en el caso anterior. Aviones a
reacción y cohetes gastan enormes cantidades de combustible durante el
despegue. Si se considera al avión como un cuerpo que incluye al combusti-

ble, habrá que considerar que su masa disminuye durante el vuelo.
8
Sobre
estos temas volveremos más adelante.
Aceleración
Vimos que el movimiento de una partícula material está definido por su tra-
yectoria en el tiempo. Se nos ocurren así posibles dos tipos de movimiento:
los de velocidad constante y los de velocidad variable con el tiempo.
El primero de ellos, como ya
vimos, está caracterizado por
una trayectoria recta, por la
que se desplaza el móvil reco-
rriendo espacios iguales en
tiempos iguales. Por ejemplo, un
automóvil que va desde Choele
Choel a Río Colorado (dos loca-
lidades de Argentina unidas por
una recta de 160 Km) guiado por
un chófer que mantiene firme
sus manos en el volante y su pié
en el acelerador, de manera que
el auto vaya derechito y la aguja
del velocímetro se mantenga en 100 Km/h, es un ejemplo aproximado de un
movimiento de velocidad constante. Bajo tales circunstancias el auto realiza
una traslación uniforme, y llegará a destino en un tiempo t=160 Km / 100
Km/h = 1,6 h = 96 minutos
Para caracterizar el movimiento de velocidad variable debemos estudiar
cómo cambia la velocidad con el tiempo. Esta variación de la velocidad con
el tiempo se mide a través de la aceleración, que es una función del tiempo
que guarda con la velocidad la misma relación que ésta tiene con el espa-
cio
9
. Es decir que la aceleración de un movimiento se define como la varia-
ción de la velocidad que ocurre en un intervalo de tiempo, dividida el valor
de este intervalo. Para calcular la aceleración instantánea en un momento
dado, debe cumplirse también, al igual que con la velocidad, la condición de
que el intervalo sea lo suficientemente pequeño cómo para que el cociente
8
Se puede también considerar al avión y al combustible como un sistema de cuerpos
cuyas respectivas masas se mantienen constantes, pero teniendo en cuenta que parte
del combustible va quedando en el camino, en los gases de combustión. La cuestión
debe resolverse con la aplicación de los principios de la mecánica de sistemas de
cuerpos, para los cuales rige el principio de la constancia de la cantidad total de mo-
vimiento, como se verá luego.
9
Es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, o el fluxión de la velocidad.
∆∆∆∆vv11
V1
V2
trayectoria en el espacio V1
V2
aa11
V3
V4
aa22
aa33
V4
V3
∆∆∆∆vv22
∆∆∆∆vv33
dd11
dd22
dd33

no varíe sustancialmente con una disminución ulterior de su denominador
(valor límite del cociente cuando el denominador tiende a cero).
Desde el punto de vista matemático, la aceleración se representa con un
vector, que es resultado de dividir variación de velocidad ∆∆v (vector) e
intervalo de tiempo ∆∆t (escalar) cuando éste tiende a cero, o como se decía
antes, cuando el intervalo es infinitamente pequeño.
De tal manera resulta a = límite ∆∆v/∆∆t para ∆t→0
Definida como la variación de un vector con el tiempo, la aceleración, lo
mismo que la velocidad, tiene dirección, intensidad y sentido. Su variación
puede referirse a algunos, todos o cualesquiera de esos atributos
10
Estudio general del movimiento de una partícula
Vayamos al caso de la figura anterior, en la que la bolita recorre una trayec-
toria en el espacio. Admitamos ahora que la bolita pesada tiene dimensiones
despreciables y por lo tanto puede considerarse como una partícula mate-
rial
11
. En tal caso, la trayectoria demarcada por la rampa de dos rieles se
transformará en una línea curva alabeada
12
, al acercar aquéllos adecuándo-
los a las pequeñísimas dimensiones de la bolita, y ella misma pasará a ocu-
par un punto en el espacio (sin extensión). Vemos en la figura a los vectores
v1 y v2 , que representan las sucesivas velocidades en los instantes t1 y t2 ,
que a su vez corresponden a las respectivas posiciones d1 y d2 . La variación
de velocidad ∆∆v1 resulta de la resta v2-v1. Esa variación de velocidad mide la
aceleración a1 del movimiento en la posición d1 en la medida de que el inter-
valo de tiempo ∆∆t1=(t2-t1) entre las dos posiciones tienda a un valor suficien-
temente pequeño como para que el cociente ∆∆v1/∆∆t1 no varíe sensiblemente
ante una disminución ulterior de ∆∆t. De la misma manera, los vectores a2 y a3
representan las correspondientes aceleraciones en puntos sucesivos de su
trayectoria caracterizados por sus respectivos vectores posición d2 y d3 .
Nótese que la dirección de la aceleración está dada por la tangente a la
curva que describen los vectores velocidad, de la misma manera que la
10
El sentido de un vector está incluido en el valor de sus componentes. Por ejemplo el
vector plano de módulo +1 y ángulo +45º es opuesto al –1 , 45º y coincide con el 1 , -
135º y el 1 +225º. Las componentes ortogonales de este último vector son -√2 , -√2
11
No tiene sentido decir que la partícula sin extensión rueda sobre la trayectoria,
como antes hacía la bolita. Una partícula sólo puede desplazarse. Por el mismo moti-
vo, una partícula tampoco puede poseer energía de rotación, al contrario de un cuerpo
extenso.
12
Alabeado viene de álabe (paleta curva). Se dice de la curva que no está contenida
en un plano (curva en el espacio), por ejemplo, una hélice, generada por un punto que
describe una circunferencia y al mismo tiempo avanza perpendicularmente al plano de
la misma.

dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria, descripta por los
sucesivos vectores posición.
El valor intrínseco de la representación vectorial
Si bien se han trazado en la figura anterior tres ejes ortogonales para conferir
perspectiva a la representación espacial de la trayectoria y su movimiento,
vemos que los vectores velocidad y aceleración que lo caracterizan, pueden
definirse sin relacionarlos a las coordenadas absolutas del punto ni a la pro-
yección de esos vectores sobre esos u otros sistemas de coordenadas. En
efecto, esto es así a pesar de que hemos usado inicialmente la noción de
vector posición d refiriéndolo a la terna ortogonal. Pero lo que define el mo-
vimiento no es la posición d sino la variación vectorial ∆∆d de la misma . Cada
uno de esos desplazamientos por separado, y el conjunto de todos ellos,
definen la forma absoluta de la trayectoria, y no requieren relacionarse a
terna alguna para tener significado. También poseen valor intrínseco los
vectores velocidad y
aceleración, que son
cocientes entre dife-
rencias vectoriales y
el tiempo, este último
de carácter absoluto
en todo el espacio.
En la montaña rusa
En general conviene
estudiar el movimiento
con notación vectorial intrínseca cuando el observador está en movimiento.
Por ejemplo, a bordo de una vagoneta de montaña rusa que describe un
tirabuzón, poco le importa al divertido (o quizás desventurado) pasajero
conocer sus datos de posición y movimiento con relación al suelo, por ejem-
plo saber que en ese momento sufre una aceleración horizontal hacia el
noroeste. Nuestro zarandeado amigo, que tiene serias dudas de lo que sig-
nifica arriba o abajo, mucho menos sabrá dónde queda el norte. Más bien
sabe que si no se sujeta bien saldrá despedido hacia su derecha, porque el
centro de curvatura de la trayectoria está a su izquierda.
En cambio, al director de juegos que está en tierra firme, le interesará saber
que debe poner una red a cierta altura (coordenada z) por sobre el lugar
(marcado con una cruz en el dibujo) donde cada tanto aterriza un pasajero
que no se pone el cinturón de seguridad.
Tangente 2
T
Tangente 1 Plano osculador
coordenadaabsolutaz
coordenada absoluta y de la red
coordenada absoluta x de la red
posiciones
sucesivas 1 y 2
muy próximas
normal
binormal
N
B
redde
seguridad

Triedro intrínseco o triedro de Frenet
En la figura se ha dibujado una vía de dos rieles, que describe una curva
alabeada en el espacio. Por ella van las vagonetas con los intrépidos pasaje-
ros.
Propongámonos encontrar algún sistema de referencia local, para que los
ocupantes puedan en todo momento definir el movimiento desde su punto
de vista.
Tendrá sentido elegir como origen de coordenadas al lugar donde se halla
el observador en movimiento, por ejemplo el punto del asiento donde el ocu-
pante trata de mantenerse.
La dirección del vehículo también es un eje conveniente para el pasajero.
Esta dirección, hacia donde mira, es claramente “hacia adelante” y coincide
con la dirección de la tangente al camino en el lugar donde está el móvil en
el momento considerado. La tangente en una curva está determinada por
dos puntos infinitamente próximos y coincide, como ya vimos, con la direc-
ción instantánea del vector velocidad.
Dos tangentes a la trayectoria correspondientes a dos puntos muy próxi-
mos entre sí, que tiendan a confundirse en uno sólo, determinarán un plano
llamado “plano osculador a la trayectoria” en el punto considerado. Su
nombre, derivado de ósculo (beso), alude a que dicho plano roza suave-
mente a la curva en el punto considerado
13
. También puede considerarse
que el plano osculador está determinado por la tangente en un punto y otro
punto próximo, o bien por tres puntos infinitamente próximos de la curva.
Las tres definiciones son equivalentes.
Perteneciente al plano osculador y perpendicular a la tangente por el origen
relativo, definiremos el eje normal. El vector aceleración, del que ya habla-
mos, siempre está en el plano osculador y a veces puede tener la dirección
normal. Ya volveremos a hablar sobre la aceleración más adelante.
Perpendicular a la tangente y la normal por el origen relativo, queda defini-
do el eje binormal, que completa la terna.
En resumen, el sistema de referencia relativo al observador que se mue-
ve según una trayectoria puede estar convenientemente definido por tres
ejes ortogonales, que parten del origen relativo (el propio observador), a
saber :
La dirección tangente a la trayectoria (hacia adelante). Este eje se llama
tangente.
13
En geometría diferencial (la rama geométrica del cálculo infinitesimal) se dice que
una curva o superficie es osculatriz con respecto a otra curva o superficie, cuando
ambas tienen un contacto superficial en más de un punto sin llegar a cortarse , es
decir que son “algo más que tangentes”. El plano osculatriz en un punto de una curva
en el espacio está determinado por tres puntos sobre la curva, que al acercarse entre
sí determinan como límite el plano en cuestión en el punto de encuentro.

La dirección perpendicular a la tangente sobre el plano osculador. Este eje
se llama normal.
La dirección perpendicular a la tangente y a la normal. Este eje se llama
binormal.
A la tangente, normal y binormal se asignan respectivamente tres vectores
unitarios t, n y b (versores) que tienen sus respectivas direcciones, de ma-
nera que t ∧∧n = b (recordar lo dicho sobre producto vectorial)
Para estudiar el movimiento de una partícula a partir del ejemplo basta
imaginar que vagoneta y ocupante se reducen tanto de tamaño con res-
pecto a la longitud del camino, que pierde sentido darles una forma o volu-
men determinados. También en esas condiciones los rieles de la vía tienden
a confundirse en una sola línea. Vagoneta/ocupante y vía se transforman
respectivamente en partícula y trayectoria. En este proceso de reducción
de tamaño no pierden sentido las direcciones tangente, normal y binormal
definidas como antes.
El sistema de ejes de coordenadas ortogonales basado en el triedro formado
por la tangente, la normal y la binormal en un punto de una curva en el
espacio, se llama intrínseco porque permite referir propiedades absolutas
de la curva en ese punto, tales como dirección y curvatura, concepto este
último que explicaremos a continuación. Al triedro intrínseco también se lo
llama triedro de Frenet, en honor al geómetra francés que en siglo XVIII se
preocupó en estudiar estas cuestiones.
Curvatura
El concepto de curvatura de una curva plana
o en el espacio también pertenece al dominio
de la geometría diferencial, que estudia lo
geométrico microscópicamente, para decirlo
llanamente. Tomando un punto de una curva
en el espacio, podemos definir la tangente
en ese punto como la recta que pasa por
dicho punto y otro “infinitamente próximo”.
Vimos que el plano osculador está determi-
nado por esa tangente y un tercer punto de la
curva también muy próximo. Por esos tres
puntos próximos de la curva (tan próximos
que se confunden en uno sólo) pasa también
una circunferencia (una sola), llamada
circunferencia osculatriz, que pertenece al
plano osculador. La inversa del radio de curvatura de la circunferencia
osculatriz en un punto de una curva alabeada, define la curvatura de fle-
xión de la curva en el punto considerado. (Cuánto mayor es la curvatura
CURVATURA POR FLEXIÓN
CURVATURA POR
FLEXO-TORSIÓN
ρρ
bb
circunferencia osculatriz
n n
t
t
t
t

menor es el radio, y viceversa).
Desde un punto de vista más intuitivo, podemos imaginar que una curva
plana (no alabeada), puede generarse a partir de una recta que se flexio-
na. A causa de dicho proceso, la recta se curva en un plano, no en el espa-
cio. La curvatura en el plano de flexión de la curva (plano que coincide con
un único plano osculador para todos sus puntos), queda definida como el
cambio de dirección por unidad de longitud, que como vimos está medido
por la inversa del radio ρρ de curvatura de la circunferencia osculatriz. Mate-
máticamente, este concepto se expresa también como la variación del vector
tangente t
14
entre dos puntos infinitamente próximos dividida la distancia
entre esos dos puntos, o sea:
1/ρ = lim ∆t/∆d para ∆d→0
Para que esta curva plana pase a ser una curva alabeada o curvada en el
espacio, es decir que no esté contenida en un plano, deberíamos retorcerla
además de flexionarla, como se indica en la figura. Aparece así además de
la curvatura de flexión 1/ρρ, la curvatura de torsión 1/ττ, que se define como
el ángulo de torsión por unidad de longitud. La torsión está dada por el cam-
bio de dirección del plano osculador o de la binormal, que como se recordará
es perpendicular a dicho plano. Es decir que matemáticamente resulta:
1/τ = lim ∆b / ∆d para ∆d→0
Ejemplo de curvas en el espacio. Hélices y Cicloides
Hélice
Se llama hélice a la curva espacial generada por un punto que se mueve
con velocidad de giro constante alrededor del centro de una circunferencia
14
No confundir la “t” que representa al vector tangente con la t que representa a la
variable escalar tiempo.
HÉLICE
CICLOIDE
V
V
t
n
b
plano osculador
g
αα
ΠΠ
r
P
αα
V
v
vr

(movimiento circular uniforme) mientras el centro de la circunferencia se
desplaza con velocidad constante. Cuando la velocidad de desplazamiento
es normal al plano de la circunferencia, la trayectoria describe una “hélice
cilíndrica”, porque la curva está sobre una superficie cilíndrica. El cilindro
correspondiente se llama “cilindro director” de la hélice.
La arista del filete de un tornillo común es una hélice cilíndrica, creada por
una punta o estilo que graba un surco en el material de una barra cilíndrica
que gira sobre su eje mientras el estilo de desplaza paralelamente a éste, o
bien cuando la barra se desplaza a medida que gira y el estilo queda fijo
apoyado en su superficie.
Se llama paso P de la hélice cilíndrica a la distancia que hay entre dos pun-
tos cortados por una misma generatriz. Es lo que avanza el tornillo por vuel-
ta. El paso P tiene que ver con la velocidad instantánea (vectorial) v del
punto generador de la hélice, que se puede descomponer en una compo-
nente rotacional vr y otra de avance V perpendiculares entre sí (ver figura).
Se define como ángulo de avance αα al formado entre la dirección de la tan-
gente y la perpendicular a la generatriz. La velocidad v tiene la dirección de
la tangente mientras que la velocidad de traslación V tiene la dirección de la
generatriz. Resulta claramente de la figura que V/v = sen (αα) y además V/vr
= tg(αα).
Llamando T al tiempo que tarda el móvil de velocidad tangencial v en reco-
rrer una vuelta de hélice de longitud L será v = L/T .
La componente rotacional hace dar al punto una vuelta de longitud 2πr en el
tiempo T de donde
vr = 2πr/T . De aquí resultan las siguientes expresiones:
V=P /T , de donde V/v=P /L=sen(αα) y P=L.sen(αα)
V/vr=P /2π r= tg(αα) de donde P=2πr tg(αα)
Igualando estas dos ultimas expresiones resulta la que vincula el radio de
curvatura r , el ángulo de avance a y la longitud de una vuelta de hélice L:
L = 2π r / cos (α)
La longitud de una vuelta de hélice es igual a la de la circunferencia genera-
triz dividida el coseno del ángulo de avance. Si cortamos por una generatriz
el cilindro director y lo aplanamos, la hélice se transforma en la hipotenusa
de un triángulo rectángulo de catetos 2π r y P
Cicloides
Cuando la velocidad de desplazamiento V no es perpendicular al plano de la
circunferencia, la hélice queda semi-aplastada (como un resorte al que se

aplica una compresión no paralela a su eje), o totalmente aplastada en dicho
plano cuando la velocidad V pertenece a él (un resorte colapsado). En este
último caso, la curva se llama cicloide.
Nótese que la vista en perspectiva de una hélice, como se muestra en el
dibujo, es precisamente una cicloide, ya que lo que se ve es la proyección
de la curva aplastada sobre el plano del papel. Como caso particular, una
hélice proyectada sobre un plano paralelo al eje del cilindro director da una
sinusoide.
En la figura se ha dibujado el triedro intrínseco en un punto de la hélice.
Nótese primeramente que el plano osculador corta al eje del cilindro direc-
tor siempre bajo un mismo ángulo (ángulo αα de avance de la hélice). Ade-
más se ve que la dirección de la normal siempre corta perpendicularmente
al eje del cilindro director. La tangente y la binormal determinan un plano
ΠΠ que en el punto considerado tiene una perpendicular coincidente con la
normal del triedro intrínseco , por lo tanto ΠΠ es un plano paralelo al eje del
cilindro. Por ser paralelo al eje del cilindro y tener un punto en común con la
superficie cilíndrica, el plano ΠΠ tiene también en común la generatriz g que
pasa por dicho punto. Es decir que el plano Π determinado por la normal y la
binormal, se apoya en una generatriz g del cilindro director.
Curvaturas de la hélice
Para conformar un trozo de hélice
cilíndrica con un trozo de alambre
recto, primero hay que flexionar a éste
dándole la forma de una circunferencia
en un plano (curvatura de flexión) y
luego retorcerlo para sacarlo del plano
(estirar el arco perpendicularmente al
plano).
De acuerdo a lo visto, la curvatura de
flexión en un punto de la hélice es 1/ρρ = dt/dd , es decir la variación del
vector tangente por unidad de longitud. El camino dd es el arco de hélice,
cuya proyección según αα es el arco de circunferencia ds, de tal manera
ds=dd.cos(αα). También es dt/dd=dt/ds.cos(α), pero como
dt/d s=1/r , resulta que la curvatura de flexión para la hélice es
1/ρρ = dt/dd = 1/r.cos(αα)
Cuando el ángulo de avance a es cero, la hélice es una circunferencia y de
acuerdo a la fórmula anterior la curvatura coincide con la de la circunferencia
de radio r, que es 1/r. Cuando el ángulo de avance tiende a π/2 , la hélice
tiende a confundirse con una recta generatriz, de curvatura nula. Se dice que
la hélice degenera en una generatriz cuando α=π/2 . Cuando α=π/4 (45º) es
1/ρ=1/r/√2
αα
2α2α
P
P/22
b
b
r
L/22

La curvatura de torsión de una curva se definió como db/dd, es decir la
variación de la binormal por unidad de longitud. En la hélice de la figura,
representada por su proyección sinusoidal, se ve que la binormal b describe
un ángulo de 2α por cada L/2 de longitud, y como L=P/sen(α) resulta que la
curvatura de torsión es 1/τ = 4α.sen(α) /P
Si αα=π/2 (90º) la hélice se trasforma (degenera) en una generatriz y la fór-
mula de la curvatura da 1/ττ=2π .sen(2π)/P=0 (curvatura nula como corres-
ponde a una recta). Si αα=0 la fórmula nos da también cero, lo cual está de
acuerdo con el hecho de que para un ángulo de avance nulo la hélice dege-
nera en una circunferencia, para la cual la curvatura de torsión vale también
cero, porque es una curva plana. Entre estos dos valores, la curvatura de
flexión tiene valores no nulos. Por ejemplo para αα=π/4 (45º) resulta 1/ττ =
π/√2/P = 2,22/P . Se demuestra que éste es el máximo valor alcanzable.
La hélice cilíndrica posee curvaturas de flexión y torsión constantes en
todos sus puntos, lo cual se traduce en la ausencia de puntos notables: es
una curva con propiedades intrínsecas iguales para todos sus puntos. Puede
haber hélices derechas o izquierdas, según que el tornillo que representan
avance o retroceda cuando se lo gira en
sentido horario. Las hélices derechas e
izquierda no pueden superponerse.
Componentes tangencial y normal de la
aceleración
Ahora que entendemos mejor las propie-
dades intrínsecas (desde el interior) de
una curva, retomaremos el tema de la
aceleración. Ésta se definió como la
variación de la velocidad con respecto al
tiempo, cuando el intervalo tiende a cero.
También se dijo que la aceleración se representa por un vector que perte-
nece al plano osculador en cada punto de la trayectoria. A ese plano tam-
bién pertenecen la tangente y la normal, definidas por sus correspondientes
versores t y n . Se vió también que la dirección del vector aceleración coinci-
de con t sólo cuando la trayectoria es una recta. En el caso general de un
móvil que siga una trayectoria curva (plana o alabeada) el vector aceleración
tiene forzosamente una componente normal an a la dirección, y puede
tener o no una componente tangencial at perpendicular a la primera.
La expresión vectorial intrínseca de la aceleración resulta así
a = at·t + an·n = at + an
15
15
Nótese que at y an son escalares (en letra normal) que multiplicados res-
n
a
t
an
vat
trayectoria

La componente tangencial de la aceleración representa la variación del
módulo del vector velocidad con el tiempo (el módulo de la velocidad es,
por ejemplo, lo que marca el velocímetro), y es la responsable de la fuerza
de inercia que nos tira contra el respaldo del asiento en un vehículo que
arranca, o nos echa sobre el parabrisas cuando frena. La componente
normal representa la variación de la dirección con respecto al tiempo y
existe siempre que el camino cambie de dirección, o sea en una curva. Es
responsable de la fuerza de inercia centrífuga hacia el lado contrario al
centro de curvatura del camino (el centro de la circunferencia osculatriz).
Un móvil que recorre una circunferencia con velocidad de módulo cons-
tante, no posee componente tangencial de aceleración y sólamente tiene
componente normal. A este movimiento se lo llama circular uniforme.
El movimiento cuya aceleración
está dirigida siempre hacia el
mismo punto se llama movimien-
to central. El movimiento circular
uniforme es un caso particular de
movimiento central. El movimiento
planetario, que se realiza a lo
largo de un camino elíptico o
hiperbólico también es central, ya
que la aceleración apunta hacia uno de los focos de la elipse o hipérbola,
donde está el sol. Es fácil entender que las partículas que se mueven con
movimiento central están sujetas a fuerzas que se dirigen a un punto fijo.
Una de las características del movimiento central es que el vector posición
de la partícula con respecto al punto fijo barre áreas iguales en tiempo
iguales. En efecto, en la figura, el área barrida por p en la unidad de tiempo
(velocidad areolar) vale VA= ½ |p∧∧v| (recuérdese que el módulo del pro-
ducto vectorial mide el doble del área sombreada). La variación de un pro-
ducto se puede calcular en base al principio de superposición, conside-
rando que primero varía uno de los factores y después el otro. Así será que
la variación de la velocidad areolar es ∆∆VA=½∆∆|p∧∧v|=½|p∧∧∆∆v|+½|v∧∧∆∆p| .
Como el movimiento es central, la aceleración a tendrá la dirección de p , de
manera que p∧∧a = 0 . Como la aceleración es por definición a=∆∆v/∆∆t , de
donde ∆∆v=a.∆∆t, resulta que el primer término vale cero ya que p y ∆∆v son
paralelos. También son paralelos v y ∆∆p (son ambos tangentes a la trayec-
toria). Así es ∆∆VA=0, es decir que VA es constante (su variación es nula ).
pectivamente por los versores t y n dan las componentes vectoriales at y an
(en negrita itálica) del vector aceleración.
v
p
velocidad areolar = ½ p∧∧v
∆∆p
∆∆v

Un móvil que recorre una hélice cilíndrica con velocidad tangencial cons-
tante no posee componente tangencial de la velocidad y por lo tanto sólo
posee una aceleración que está dirigida según la normal, esto es en direc-
ción perpendicular al eje del cilindro director. La proyección de su movi-
miento en un plano perpendicular a dicho eje es un movimiento circular
uniforme. La proyección de su movimiento en un plano paralelo al eje del
cilindro director es sinusoidal, como la que describe el extremo de una vari-
lla que vibra y se desplaza a velocidad constante.
Ecuaciones del movimiento de una
partícula
Vimos que en el movimiento de una
partícula se definen las siguientes rela-
ciones entre posición p , velocidad v y
aceleración a :
v=dp/dt , a=dv/dt , donde hemos cam-
biado la ∆ por la d , significando con
ello que trabajamos con el límite del
cociente cuando el denominador tiende
a cero, o sea con el fluxión o derivada
de ρρ y v.
Nos abocaremos al problema de re-
construir la posición p(t) de un móvil en
función del tiempo, conociendo el lugar
p(0) de donde parte (posición inicial),
su velocidad v(t) y aceleración a(t) en todo momento.
Para ello aplicaremos el principio de superposición, considerando que la
posición p(t) en el instante t será la suma vectorial de
• la posición inicial (en el instante t=0), que llamamos p(0)
• el desplazamiento al tiempo t por efecto de la velocidad inicial v(0). Este
vale ∆∆pv(t)=v(0).t
• el desplazamiento adicional que le impone la aceleración, o sea la varia-
ción de la velocidad, desde el instante inicial hasta el instante t . Llama-
remos a este tercer término ∆∆pa(t) .
La variación ∆∆pa(t) depende del curso de la aceleración con el tiempo, y si el
movimiento no es acelerado (o sea es de traslación uniforme) su valor es
por consiguiente nulo.
En tal caso resulta p(t)=p(0)+v(0).t . Esta ecuación vectorial da para cada
valor de t un punto de la recta que pasa por p(0) y tiene la dirección de v(0)
(línea punteada)
p(0)
v(0).t
p(t)
Posición en un movimiento sin
aceleración

Agreguemos ahora el efecto de una acele-
ración constante. ¿Cuánto vale el término
∆∆pa(t) cuando a(t)=a(0), es decir cuando la
aceleración mantiene siempre su valor ini-
cial?
Si la aceleración es constante, al cabo de un
tiempo t la velocidad habrá variado desde el
valor inicial v(0) al valor final v(t)=v(0)+a.t ,
de manera que v(t)-v(0) = a.t Con esa va-
riación progresiva de la velocidad, al cabo
de un tiempo t se recorre el mismo camino
que andando todo el tiempo al valor pro-
medio de los valores extremos ∆vp = ½
[v(t)-v(0)] = ½ a.t, con lo cual es:
∆∆pa(t) = ∆vp .t = ½ a.t
2
Entonces, como se muestra en la figura, la posición instantánea p(t) de un
móvil que parte de una posición inicial p(0) con velocidad inicial v(0) y acele-
ración constante a , está dada por la ecuación vectorial:
p(t) = p(0) + v(0).t + ½ a.t
2
,
que da para cada valor de t un punto de una parábola cuyo eje está en la
dirección de la aceleración a, pasa por p(0) y en ese punto tiene tangente
v(0) en el plano determinado por v(0) y a
16
Movimiento de un cuerpo rígido
Dijimos ya que una partícula ma-
terial es una entelequia a la que
se aproxima un cuerpo real de
masa apreciable cuando sus
dimensiones tienden a cero. Se
comprende que la densidad de
una partícula deba considerarse
infinita, lo que también se da a
entender diciendo que la partícula
tiene “una masa concentrada en un punto”. Las partículas materiales pue-
den ejecutar solamente desplazamientos o traslaciones, ya que las rotacio-
nes de un punto no son imaginables.
16
En el dibujo se muestra el caso frecuente de aceleración vertical, como la creada
por la fuerza de gravedad sobre la partícula libre.
p(0)
v(0).t
p(t)
½ a t2
a
Posición en un movimiento con
aceleración constante
ROTACIÓNTRASLACIÓN TRASLACIÓN Y
ROTACIÓN

Un cuerpo extenso representa en cambio una porción de materia que ocu-
pa un determinado volumen en el espacio. Pueden ser cuerpos sólidos o
fluídos, como vimos antes. Comenzaremos a estudiar el movimiento de sóli-
dos de densidad finita y prácticamente indeformables
17
, a los que llamare-
mos “cuerpos rígidos”. El movimiento general de un cuerpo rígido en el
espacio incluye giros o rotaciones además de traslaciones, por lo que estu-
diaremos aquéllas a continuación.
Rotaciones
En una rotación, los puntos de un cuerpo rígido
describen arcos de circunferencia de longitud
proporcional a sus respectivas distancias a una
recta llamada eje de giro o rotación, que es el
lugar geométrico de los centros de esas circunfe-
rencias.
Entre el ángulo αα, el radio ρρ y el arco s existe,
como es sabido, la relación αα=s/ρρ
El eje de rotación puede pasar por el cuerpo o fuera del mismo. Para defi-
nir una rotación en el espacio hace falta pues especificar el ángulo girado y
la dirección del eje de giro. Ello puede hacerse convenientemente con un
vector αα de módulo igual al ángulo α girado y con la dirección del eje de
giro.
Así también se puede considerar que el vector radio de curvatura ρρ multi-
plicado vectorialmente por el vector rotación αα genera un vector despla-
zamiento s de módulo igual al arco s. Así es s =ρρ ∧∧αα
El vector αα es perpendicular al plano del dibujo, y de acuerdo a la conven-
ción adoptada, sale del mismo hacia el lector cuando la rotación es antihora-
ria .
La expresión anterior es válida en la medida de que el arco s pueda asimilar-
se a una traslación, o sea que el arco pueda aproximarse a su correspon-
diente cuerda. Para ello el ángulo girado debe ser pequeño, de lo que re-
sulta que ∆s = ρρ ∧∧∆αα .
Dividiendo ambos miembros por el intervalo de tiempo ∆t en que se realiza la
rotación ∆s , resulta que ∆s/∆t = ρρ ∧∆αα/∆t
17
En un cuerpo indeformable, la distancia entre sus puntos permanece siempre inva-
riable ante acciones externas o internas (fuerzas, presiones) y corresponde a una
rigidez infinita: es una simplificación aplicable a cuerpos muy rígidos.
ρρ
ρρ
sα =α = s /ρ/ρ
Rotación con eje de
giro fuera del cuerpo
ejedegiro

En el primer miembro figura ∆s/∆t , que no es otra cosa que la velocidad
tangencial v del punto del cuerpo rígido considerado. El cociente del segun-
do miembro ∆αα/∆t , es un vector, ya que es el resultado de dividir un vector
por un escalar. Representa la rotación producida en la unidad de tiempo,
por lo que se denomina “velocidad de rotación o velocidad angular”. Se lo
simboliza con la letra griega omega minúscula ωω =∆αα/∆t , De tal manera es
v = ρρ ∧∧ ωω
Movimiento general del cuerpo rígido
En base al principio de
superposición, se puede
considerar que un cuerpo
rígido puede pasar de una
posición inicial en el espacio
a otra final cualquiera a
través de una traslación s y
una rotación α,α, aplicadas
sucesivamente en cualquier
orden, y también simultá-
neamente.
En la figura, una pieza de una estación orbital que se está ensamblando en
el espacio, debe llevarse desde la posición 1 a la posición 2.
El director del montaje ordenó efectuar primeramente una traslación s a
todo el sólido haciendo que el vértice P llegue a la posición final P’. Al cabo
de este movimiento, los otros vértices, como el Q’ y el R’ se llevaron a coin-
cidir con sus respectivas posiciones finales Q’’ y R’’ a través de una rotación
αα apropiada (en este caso particular es de 90º), cuyo eje pasa por el punto P’
, tiene módulo α y dirección normal al plano determinado por los puntos P’
R’’ Q’’
Efectuado estas dos operaciones en orden inverso, o sea primero la rota-
ción αα sobre P y luego la traslación s al punto P’, se hubiera obtenido idénti-
co resultado final.
Si se aplicaran las transformaciones αα y s en forma simultánea, haciendo
rotar el aparato sobre el vértice P, manteniendo la dirección del eje de
rotación mientras se traslada sobre la recta PP’, sus puntos se trasladarían
siguiendo trayectorias curvas en el espacio
18
(línea azul punteada), llegando
a sus mismos destinos finales.
18
Estas curvas pertenecen a la familia de las hélices, como ya se vió.
P
P’
Q
Q’
R
R’’
A
A’
s
s’
s’’
αα
αα’’
1
2
Q’’ αα’
αα

Así como el director de la misión
eligió el punto P perteneciente a un
vértice de la pieza como origen de la
traslación, su ayudante, que siempre
le lleva la contra, hubiera elegido el
Q, al que se debe aplicar una trasla-
ción diferente s’ para llevarlo al Q’’ y
una rotación αα’ sobre ese punto para
hacer coincidir a los restantes. Esta
rotación αα’ tiene el mismo valor que
la anterior αα y es paralela a ella, ya
que en ambos casos hay que girar un
mismo ángulo α (90º en la figura) y
los vectores αα y αα’ son perpendiculares al mismo plano P’ R’’ Q’’ .
Al ingeniero en comunicaciones le conviene que el punto de referencia sea el
A , exterior a la pieza, donde cae el extremo de una antena que él debe
montar. Al punto A se le debería aplicar una traslación s’’ hasta el punto A’ y
la misma rotación αα que en los dos casos anteriores. A propósito o no, el
ingeniero eligió un punto muy especial. Para él la traslación s’’ y la rotación αα
están representadas por vectores de direcciones coincidentes.
Siempre es posible descomponer un movimiento general de un cuerpo
rígido en una traslación y rotación de la misma dirección (coaxial) eli-
giendo el punto apropiado. En tal caso, de aplicarse ambas simultánea-
mente, los demás puntos del sólido describen arcos de hélice, ya que rotan y
avanzan en la misma dirección.
En resumen: Para estudiar un movimiento general del cuerpo rígido hay que
tener en cuenta que:
• Existen infinitos puntos del espacio vinculados al cuerpo, pertene-
cientes (interiores) o exteriores a él, cada uno de los cuáles requiere una
determinada traslación para ubicarlo en el respectivo punto de destino.
• Para acomodar el resto de los puntos debe aplicarse en el punto destino
de la traslación, diferente para cada punto, una misma rotación en to-
dos los casos.
• El principio de superposición explica que el orden de estas transforma-
ciones sea permutable, e incluso que se puedan realizar simultánea-
mente a través de un movimiento gradual de rotación-traslación, en am-
bos casos con el mismo resultado final.
• Hay un punto especial, que puede pertenecer o no al cuerpo, para el
cual traslación y rotación necesarias para ubicarlo en la posición final
tienen la misma dirección o eje (coaxiales). Aplicadas simultánea-
T’
A
A’
s’
s’’
αα’’
1
2
Q’’
T
Movimiento helicoidal

mente producen entonces un movimiento helicoidal sobre este eje co-
mún.
Movimiento variado general de un cuerpo rígido
Se lo puede estudiar como sucesión de pequeños movimientos discretos,
formados a su vez por una pequeña traslación y una pequeña rotación. Con-
siderando que éstas se operen simultáneamente y eligiendo el punto de
traslación como para que la rotación sea coaxial, se puede representar
cualquier movimiento general del cuerpo rígido como una sucesión de movi-
mientos helicoidales elementales.
Movimiento relativo
El movimiento de un cuerpo debe refe-
rirse muchas veces a dos sistemas de
referencia a la vez, uno local y otro
general, que tienen un movimiento
relativo entre sí.
Por ejemplo la posición y en general el
movimiento de un pasajero dentro de un
barco puede interesarle al capitán referido a
un sistema de coordenadas relativo al barco
(local), y también a un observador en tierra
que se maneja con un sistema fijo a la costa
(general).
El caso ya estudiado en que a una
partícula en movimiento se le asigna
un sistema local intrínseco, con
centro en ella misma y formado por
la tangente, la normal y la binormal,
es un caso particular del problema
completamente general, en el que el
sistema local no tiene que ver con la
trayectoria de la partícula. Refirién-
donos a la figura, veamos como está
relacionada la posición de la partí-
cula con respecto a dos sistemas de
referencia que se mueven entre sí y
en general NO son inerciales, es
decir que el movimiento es acelera-
do. El sistema principal, que supon-
dremos fijo, tiene origen en O y el
móvil tiene su origen en O’ . Este último desplaza su origen con velocidad vo
y rotan sus ejes con velocidad angular instantánea ωω
P
O’
O
vo
ωω
P’
O’’
arr
rel
O
P
P’O’
O’’
P’’
αα
ωω
Varr
Vo’
V
Vrel
Vr

Teorema de adición de velocidades
La figura representa una situación en el plano (para simplificar el estudio) en
la que se ve que en un instante cualquiera la posición de la partícula PO es
igual a la suma vectorial de las posiciones de la partícula en los dos sistemas
de ejes de referencia cuyos orígenes son O y O’ respectivamente. Se tiene
así que O’O+PO’
Un instante más tarde el punto estará en la posición P’ , el origen del sistema
móvil en O’’, los ejes se habrán desplazado y rotado (pasando del azul al
celeste)
Así es ∆∆(PO)=P’P , ∆∆(O’O)=O’’O ,
Ya que OP=O’O+PO’ la velocidad absoluta de la partícula, que es v =
d((PO)/dt , resulta evidentemente igual a la suma de las diferencias v =
d(O’O)/dt + d(PO’)/dt
Los términos de la suma representan respectivamente la velocidad vo’ de
desplazamiento del centro del sistema local o móvil y la velocidad relativa de
la partícula vr con respecto a ese punto.
Así entonces es v = vo’+vr
La ecuación anterior resume el “teo-
rema de adición de velocidades”
(Galileo), que es una consecuencia
directa de la aplicabilidad del principio
de superposición a los movimientos
simultáneos en dos sistemas.
Ejemplo: Un barco avanza a una veloci-
dad constante de 3 m/s mientras un tornillo
desprendido del palo mayor cae desde 15
m de altura. ¿Cuál será la velocidad ab-
soluta del tornillo (con respecto a una
boya fija en O) al cabo de 0,4 s?
Sabemos que en su caída el tornillo des-
cribe una parábola de eje horizontal
(marcada en punteado rojo) que parte del
origen del sistema móvil O’ en el instante inicial . Avanza horizontalmente a razón de
vo’=3m/s y cae verticalmente con aceleración constante g=10 m/s
2
y velocidad propor-
cional al tiempo tal que vr =g.t =10.t
Al cabo de 0,4 s la velocidad del tornillo relativa al barco será vr=10.0,4 = 4 m/s , con
dirección vertical , la que sumada vectorialmente con la horizontal vo’ da una velocidad
absoluta v = 5 m/s . Esta velocidad absoluta está dirigida según un ángulo γ con la
vertical. Se verifica que tg(γ)= ¾ , de donde γ=36,87º . El tornillo tarda en llegar al piso
del velero un tiempo t tal que d= ½ a.t
2
de donde t=(2d/g)
1/2
=√3=1,73s . En ese tiempo
el barco recorre una distancia L = 2x1,73 = 3,46m . El tripulante ve caer el tornillo en
trayectoria recta hacia sus pies, mientras que el bañista quieto junto a la boya B
O
O’
3m/s4m/s
5m/s
γγ
d=15m
LB

observa la nave que avanza y el tornillo que cae según la parábola punteada.
Velocidad de arrastre
Aplicando el principio de superposición, podemos descomponer el despla-
zamiento real PP’ del móvil que ocurre en un tiempo ∆∆t en dos partes: un
movimiento de arrastre arr que es el arco PP’’ que describiría si estuviera
adherido o fijo al sistema local durante el intervalo de tiempo, y el movimien-
to relativo rel que es la trayectoria P’’P’ que debería seguir a continuación
para llegar al destino P’. Se pueden definir así velocidades de arrastre varr =
PP’’/∆∆t y relativa vrel = P’’P’/∆∆t dirigidas según las tangentes a dichas tra-
yectorias . Si el sistema móvil se desplaza y no rota, coinciden vo’ con varr y
vr con vrel. Cuando existe rotación o roto-traslación como en el caso de la
figura, la velocidad instantánea del origen no coincide con la de arrastre y
tampoco vr con vrel. Sin embargo siempre se cumple que v = vo’+vr = varr+vrel,
como se ve en la figura. Se puede elegir un origen de coordenadas del sis-
tema móvil O’ sobre el objeto móvil, en cuyo caso también es vo’=varr y
vr=vrel
Si el sistema móvil posee un movimiento de rotación ωω y el punto considera-
do está a una distancia r del origen de la rotación, resulta que la velocidad
de arrastre vale varr=ωω∧∧r y la del origen vo’=ωω∧∧ro’ , o sea que la diferencia
entre velocidad de arrastre y velocidad del origen vale
varr-vo’=ωω∧(r –ro’) , de donde vo’=varr+ωω(r-ro’)
En la calesita
María del Carmen decide ir desde un
caballito en A hasta un autito en B de una
calesita en marcha. Para ello gatea a
velocidad relativa constante desde A
hacia B por el camino más directo, es
decir por una recta que podemos imagi-
nar trazada en el piso de la calesita. Co-
mo la calesita gira con velocidad angular
constante ωω, la verdadera trayectoria que
sigue Carmiña no es una recta, sino que
resulta de la composición de las trayecto-
rias de arrastre y relativa. La primera es un arco de circunferencia y la se-
gunda es una recta radial. La posición inicial es A y la final es B’. En este
caso no se puede aplicar el principio de superposición de movimientos por-
que el efecto de la rotación depende de la distancia al centro O del movi-
miento. Según el orden de las transformaciones se deberán aplicar distintos
valores a las mismas. Si se considera primero la traslación recta relativa AB,
debemos a continuación aplicar un arrastre según el arco BB’; en cambio si
primero aplicamos el arrastre, este será según un arco menor AA’ y luego le
A
B
A’
B’
O
ωω

ρρ
α=ω.α=ω.t
vr
v
va
dr
dαα
dvr
dva
dαα
dρρ
seguirá una traslación relativa A’B’ de la mima longitud que la AB. La tra-
yectoria real de nuestra niña (arco negro AB’) se puede encontrar descom-
poniendo el movimiento en elementos suficientemente chicos como para que
los pequeños desplazamientos radiales y pequeños arrastres configuren una
“escalerita” que llegue lo más cerca posible del punto final B’
Aceleración en el movimiento relativo
Teniendo en cuenta que v = vo+vr, y considerando que la aceleración se define por la
variación de la velocidad en el tiempo, se puede poner :
a = dv/dt = dvo/dt + dvr/dt = ao + ar
El primer término es la aceleración del origen del sistema de referencia móvil, al que
llamaremos siguiendo una nomenclatura coherente con lo anterior “aceleración de
arrastre”. El segundo término es la aceleración del punto con respecto al sistema
móvil, que llamaremos “aceleración relativa”
Si consideramos que el movimiento del sistema móvil es uniforme, será ao=0 y enton-
ces resulta que a=ar, lo que debe interpretarse como que la aceleración de un mólvil
no cambia referida a un sistema fijo o a otro que se mueve uniformemente con res-
pecto a él (sistema inercial). Se dice que la aceleración de un movimiento es un inva-
riante en sistemas inerciales.
En cambio si el sistema no es inercial, o sea que se mueve con cierta aceleración, las
fórmulas dicen que la aceleración total es la suma de la de arrastre más la relativa.
Por ejemplo, mientras un ascensor sube o baja a velocidad constante (pongamos 1
m/s), los pasajeros experimentan la misma aceleración que cuando está quieto (la
aceleración de la gravedad, que vale aproximadamente 10 m/s
2
). En cambio, mientras
el ascensor se pone en marcha hacia arriba y alcanza la velocidad final, proceso que
tarda medio segundo, existe una aceleración relativa hacia abajo de 1 m/s / 0,5 s = 2
m/s
2
, que se suma a la aceleración de la gravedad. En consecuencia, durante el
arranque los pasajeros experimentan
una aceleración de 12 m/s
2
, o sea que
se sienten 20% más gordos.
Aceleración de Coriolis
En el caso particular de que el sistema
móvil no sólo se desplace sino que
también rote a la velocidad angular ωω,
aparece un efecto que fué descripto en
1835 por el Ing. G. Coriolis
19
.
Para entender esta cuestión debemos
subirnos a la calesita con María del
Carmen, y mirar la figura adjunta.
19
Gustavo Gaspar Coriolis, ingeniero y matemático francés, quién detectó los térmi-
nos complementarios de la aceleración en un sistema en rotación.

La posición de la niña en un momento t viene dada por un vector ρρ de longitud variable
con el tiempo r(t) y argumento αα=ωω.t , es decir que gira con velocidad angular cons-
tante ωω = dαα/dt
La velocidad absoluta es la variación del vector ρρ con el tiempo, que puede conside-
rarse que se realiza en dos etapas: un aumento radial dr y un aumento perpendicular
debido al incremento angular dα que vale r.dα .
Así entonces es v = dρρ / dt = dr/dt + r.dαα/dt = vr + r ∧ ωω
La fórmula anterior da cuenta que la velocidad absoluta v tiene una componente
radial vectorial cuyo módulo coincide con la velocidad relativa vr y una componente
perpendicular a la anterior cuyo módulo coincide con la velocidad de arrastre va=
ωω.r (de acuerdo a la definición de producto vectorial va = ωω ∧r es perpendicular a r)
Para estudiar la aceleración a de María del Carmen mientras gatea sobre la platafor-
ma giratoria, debemos considerar la variación de su velocidad vectorial v, que no
sólo se realiza en módulo sino también en dirección (medida por el argumento o el
ángulo α=ω.α=ω.t) . Nótese que v es un vector tangente a la trayectoria de Carmiña, un
espiral para un observador fijo que mirara desde arriba a la calesita.
Así resulta
a = dv/dt = dvr/dt + d(r ∧ ωω)/dt
La variación en módulo (o longitud)
de la componente radial vr en el
tiempo nos da la aceleración relativa,
que en nuestro caso particular es nula
ya que Carmiña se desliza siempre al
mismo ritmo. En cambio existe siem-
pre una variación en la dirección de vr
producida por la rotación del sistema
de valor dvr tal que es dvr/vr = dαα =
ωω.dt , de donde dvr/dt = ωω ∧vr Esta
componente de la aceleración se la
llama aceleración complementaria
relativa.
La componente de la velocidad de arrastre varía en dirección y también en módulo,
ya que este último aumenta con el radio.
La variación de la dirección de la componente de arrastre es también dαα=dva/va=ωω.dt.
de donde dva/dt= va ∧ ω .ω . Esta componente de la aceleración es la responsable de que
María del Carmen sienta una fuerza centrífuga (que tiende a llevarla hacia afuera): es
la aceleración centrípeta o de arrastre.
La velocidad de arrastre vale va=ωω ∧∧r y su variación en módulo debido al aumento de
radio dr es dva=ωω ∧∧dr . Dividiendo ambos miembros por el intervalo infinitesimal de
tiempo dt nos queda dva/dt=ωω ∧dr/dt , pero como dr/dt=vr resulta por fin que
dva/dt=ωω ∧ vr , que es otro término complementario llamado de aceleración comple-
mentaria de arrastre .
Va
ac
Vr
ωω
dVr
dVa
dαα
dαα
dVa
dr
dαα

En resumen: además de los términos de aceleración de arrastre y relativa, el movi-
miento de rotación de un sistema obliga a considerar dos términos complementarios
cada uno de ellos igual a ωω ∧∧vr
Así pués a = ar + aa + 2 ωω ∧ vr
La suma 2ωω ∧vr de los dos términos iguales es la aceleración complementaria o
aceleración de Coriolis, que tiene dirección perpendicular a la velocidad relativa y
por lo tanto coincide con la de la velocidad de arrastre. El efecto de la aceleración de
Coriolis es una fuerza que experimenta María al moverse hacia su meta, que la em-
puja hacia la cola del autito, y que ella deberá equilibrar afirmándose al piso para
poder alcanzar la puerta.
Solución de un problema numérico:
Pongamos por ejemplo:
ω = 10 vueltas/minuto = 2.π.10/60 = 1 rad/s
vr = 0,5 m/s constante, dirigida radialmente hacia afuera
r = 3m
Velocidad de arrastre va = ω.r = 3 m/s
Aceleración centrípeta aa = ω.va =1.3 = 3 m/s
2
(poco menos de la tercera parte de la
gravedad, dirigida hacia el centro O)
Aceleración relativa ar = 0 m/s
2
(la niña gatea a ritmo constante)
Aceleración de Coriolis ac = 2.ω.vr = 1 m/s
2
(un décimo de la aceleración de la grave-
dad, dirigida en el sentido de la velocidad de arrastre)
Efectos de las fuerzas de Coriolis – Deri-
va de proyectiles – Vientos y corrientes
marinas.
Consideremos un satélite circunpolar de
baja altura que rodea a la tierra en órbita
perfectamente circular. El movimiento se
desarrolla en un plano invariable, que en un
momento dado coincide con el del meridia-
no del lugar. Sin embargo, debido a la rota-
ción de la tierra, el plano del meridiano
girará con ésta y para un observador te-
rrestre parecerá que el satélite se desvía
hacia el oeste con una aceleración que
precisamente será opuesta a la de Coriolis ac, que es la que debería poseer
el móvil para que siguiera sobre un meridiano en rotación. Lo mismo ocurrirá
con un proyectil que se pretenda enviar hacia el sur por un meridiano: un
observador en tierra verá una trayectoria curvada hacia el oeste. Cuando
llegue sobre el ecuador, vr y ωω serán paralelas y su producto vectorial será
nulo, lo que corresponderá a una aceleración de Coriolis igualmente nula: en
ese momento el móvil tendrá para el observador una trayectoria sin curvatu-
ra en la dirección de la velocidad de arrastre.
La dinámica de vientos y corrientes marinas están dominadas por fuerzas de Coriolis,
ωω
va
vr
ar
ac
ecuador
paralelo
meridiano
POLO NORTE
aA

que se generan debido a la influencia de la rotación de la tierra sobre los desplaza-
mientos de masas fluídas. Por ejemplo, el ecuador cálido genera centros de baja
presión hacia donde va el aire más frío desde los polos. Estas corrientes tienen com-
ponentes de aceleración de Coriolis con un mecanismo idéntico al explicado para un
móvil que se desplaza en un sistema en rotación. Se producen así dos grandes movi-
mientos rotatorios, en sentido horario en el hemisferio norte y antihorario en el sur.
Aplicación de números complejos al cálculo del movimiento plano
La posición de un punto en el plano está definida
por un par de valores que pueden asimilarse a las
dos componentes de un vector. Un número com-
plejo es formalmente lo mismo que un vector en el
plano, ya que posee dos componentes que definen
la posición de un punto en el plano complejo. Se
expresa un complejo r en forma cartesiana r = x+iy
(con i=Ö-1) y también en forma polar (módulo r y
argumento φ) con la fórmula exponencial de De
Moivre según la cual se define e
iφ
= cosφ+i.senφ,
con lo cual queda r = r.e
iφ
= r.cosφ + i.r.senφ ,
resultando así que la parte real vale x=r.cosφ y la
parte imaginaria y=r.senφ
La derivación de funciones complejas tiene el mismo significado y se realiza con las
mismas reglas que la derivación de funciones reales, así para r=r.e.
iφ
resulta que:
dr/dt = dr/dt.e
iφ
+i.φ.r.e
iφ
= dr/dt e
iφ
+ i.φ.r
Ya que e
iπ/2
= i.sen(π/2) = i, se puede considerar que i es un operador que rota 90º el
término al que es aplicado, así i.φ.r. está representado por un vector de módulo (φ.r)
rotado 90º en sentido horario con respecto a φ (argumento de r)
De tal manera, representando la posición de un móvil en el espacio con el complejo
r = r.e
iωt
, que es un vector giratorio de velocidad angular ω, resulta la expresión com-
pleja de la velocidad: v = dr/dt = dr/dt e
iωt
+ i. ω.r
Derivando nuevamente a la anterior se obtiene la aceleración
a = dv/dt: = d
2
r/dt
2
= d
2
r/dt
2
e
iωt
+ i.ωt dr/dt e
iωt
+ i.ω.dr/dt =
a = d
2
r/dt
2
e
iωt
+ i.ωt dr/dt e
iωt
+ i.ω. dr/dt e
iωt
- ω2
.r
En esta expresión compleja de la aceleración se reconoce:
• en el primer término a la aceleración relativa ar = d
2
r/dt
2
e
iωt
, como un vector
giratorio de la misma dirección que r
• en el segundo y tercer término a las aceleraciones complementarias, que suman
ac = 2 i.ω. dr/dt e
iωt
, representado la aceleración de Coriolis, un vector giratorio
rotado 90º con respecto a r
• en el cuarto término se reconoce a la aceleración centrípeta o de arrastre, que
vale aa=-ω2
.r, con signo negativo ya que está dirigida en sentido contrario a r
Como se ve el cálculo complejo permite resolver problemas en los que intervienen
vectores en forma natural y elegante.
φφ
y=r.senφφ
x=r.cosφφ
r = r.e
iφφ
i.φφ.r
π/2π/2

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