Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

1. TEMA 7. SISTEMAS DE ECUACIONES
MÉTODOS:
SUSTITUCIÓN
 IGUALACIÓN
 REDUCCIÓN – REDUCCION DOBLE


2. RECUERDA

Lo que ya sabemos:
- Ecuación. Igualdad entre dos expresiones algebraicas ( en ella
existen números que llamamos coeficientes, letras que son las incógnitas
y las operaciones con las que se relacionan)
- Tipos, según su grado y número de incógnitas:
a) Primer grado con una incógnita  4x = 16
b) Segundo grado con una incógnita  4x²-8x – 2
=0
c) Primer grado con dos incógnitas  Sistemas de
ecuaciones
- Sabemos ya resolver, las de tipo a y b.

3. PIENSA EN EL SIGUIENTE RETO

Daniela y Alex necesitan un material para hacer un
trabajo que les han mandado en el instituto. Han
quedado en ir juntos a comprar a la misma tienda.
Daniela compró 5 cartulinas y 2 barras de pegamento por
2,90 € y Alex 8 cartulinas y una barra de pegamento por un
total de 3,10 €. Ninguno preguntó por el precio de cada cosa.
María se los encontró y recordó que también tenía que
comprar 6 cartulinas y 2 barras de pegamento, pero sólo
tenía 3 € en ese momento.
¿Tenía María suficiente dinero para hacer la compra o bien tendría que ir a
su casa a por más o pedirle prestado a sus amigos?

4. IMAGÍNATE
Para saber si María tiene suficiente necesitamos saber el
precio de una cartulina y de una barra de pegamento.
Por tanto, tenemos que buscar el valor de…
¡¡dos incógnitas!!
¿Podríamos utilizar el método de las tablas para resolver
el sistema de ecuaciones?
La respuesta es SI, pero no es el más efectivo y nos
llevaría demasiado tiempo
¿Qué hago entonces?
Continúa viendo esta presentación
descubrirás sistemas más eficaces
y

5. ¿COMO LO VOY A HACER?
1. Estudiando y aprendiendo:
Qué es un Sistema de Ecuaciones
Métodos de resolver un Sistema de
dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnita.
2. Resolviendo ejercicios y problemas.

6. SISTEMAS DE ECUACIONES
En el caso de Daniela y Alex, ambos han comprado las
cosas en la misma tienda y el mismo día. Esto nos dice que
el precio de cada cosa habrá sido el mismo para los dos.
Entonces:
La ecuación que describe la compra de Daniela sería:
5x + 2y = 2,90
La de Alex sería: 8x + y = 3,10
Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas dos
incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas.

7. SISTEMAS DE ECUACIONES
Resumiendo:
Un sistema de ecuaciones es un conjunto
de varias ecuaciones con varias incógnitas
comunes entre sí.
Resolver un sistema de ecuaciones es
hallar el valor numérico de cada incógnita,
de tal forma que hagan verdaderas todas
las ecuaciones del sistema.

8. Sistemas de Ecuaciones
ESQUEMA
ax by c
ECUACIÓN 1
ax by
ECUACIÓN 2
c
INCÓGNITA
X
INCÓGNITA
Y
DOS ECUACIONES
DOS INCÓGNITAS

9. Sistemas de Ecuaciones:
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
•
SUSTITUCIÓN
•
IGUALACIÓN
•
REDUCCIÓN

10. SUSTITUCIÓN
2x y 5
y
5 2x
4x 3 y 5
1º Se despeja una incógnita
PISTA: Busca la que esté
sola
¿CUÁL?
Y

11. SUSTITUCIÓN
2x y 5
y
5 2x
4x 3 y 5
4x 3 y 5
1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones
2º.- Sustituimos el valor de Y en la otra ecuación
3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos

12. SUSTITUCIÓN
2x y 5
y
4x 3 y 5
4 x 3 (5 2 x)
5
4x 6x 5 15
4x 15 6x 5
10x 20
5 2x
x
20
10
x
Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y
2

13. SUSTITUCIÓN
4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación
x
2
2 2 y 5
2x y 5
4 y
5
4x 3 y 5
y
5 4
y 1
Hemos obtenido el valor de la otra incógnita  Ya tenemos resuelto el
sistema de ecuaciones por el método de SUSTITUCIÓN …………. Pero……
¡¡¡YO NO ME LO CREO!!!

14. SUSTITUCIÓN
5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos
valores en las dos ecuaciones.
2x y 5
4x 3 y 5
2x y 5 2 2 1 5 4 1 5
4x 3 y 5 4 2 3 1 5 8 3 5
Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta
SOLUCIÓN:
x
2
;
y 1

15. IGUALACIÓN
x 2y 8
x y 5
x 8 2y
x
5 y
1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones
¿CUÁL?
PISTA: Busca la que esté sola
X

16. IGUALACIÓN
x 2y 8
x y 5
x 8 2y
x
5 y
Se igualan los segundos miembros
8 2y
y
5 y
3
2y
y
3
1
y 5 8
y
3
Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro

17. IGUALACIÓN
x 2y 8
x y 5
x 8 2y
x
5 y
Cojemos cualquiera de las ecuaciones
y
3
x 8 2y
Sustituimos en ella el valor que obtuvimos
x 8 2 3
Hemos obtenido el valor de la otra incógnita
x
2

18. IGUALACIÓN
Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior
x 2y 8
x y 5
x 2y
8
2 2 3 8
x
5
2 3 5
y
2 6 8
Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta
SOLUCIÓN:
x
2 y 3

19. REDUCCIÓN
Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos
una de las incógnitas.
2x 4 y
6
3x 5 y 10
2x 4 y 6
3 x 5 y 10
5x 9 y 16
¿Eliminamos alguna incógnita?
NO
Pues tendremos que hacer algunos cambios

20. REDUCCIÓN
Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de una
de las incógnitas de la otra ecuación.
2x 4 y
6
3x 5 y 10
3
6 x 12 y 18
2
6 x 10 y
20
Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera
6 x 12 y
6 x 10 y
18
20

21. REDUCCIÓN
2x 4 y
6
6 x 12 y
3x 5 y 10
6 x 10 y
Ahora sumamos
Eliminamos así
una incógnita
X
2y
18
20
2
Resolvemos la ecuación obtenida
y
2
2
y
Y ahora calculamos x
1

22. REDUCCIÓN
2x 4 y
6
3x 5 y 10
Tomamos una de las ecuaciones
Sustituimos en ella el valor
encontrado
3x 5 10
y
1
3x 5 y 10
3x 5 1 10
15
3x 15 x
x 5
3

23. REDUCCIÓN
2x 4 y
x 5
6
3x 5 y 10
y
1
Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones
2 5 4
1
6
3 5 5 ( 1) 10
10 4 6
15 5 10

24. REDUCCIÓN DOBLE

25. Ahora… ¡¡a practicar!!
Por cierto... ¿habrá podido comprar
María su material con lo que tenía?