Séries fourier cap_1 Funções Periódicas

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Séries fourier cap_1 Funções Periódicas

  1. 1. Capítulo 01 1 1.1. Funções Periódicas. Definição: uma função RRf : é dita periódica se existe um número não-nulo RT  , tal que )()( tfTtf  , (1) onde o valor T é chamado período de f . O gráfico de uma função periódica é obtido pela repetição de qualquer intervalo de comprimento T : Observações: i) o período T é o comprimento do intervalo em t necessário para a função se repetir; ii) apesar de a definição (1) admitir períodos negativos, por uma questão de simplicidade trabalharemos somente com períodos positivos, ou seja, sempre teremos 0T ; iii) segue também de (1) que, se f é periódica de período T , então para qualquer *  Zn (inteiro positivo) temos )()( tfnTtf  , (2) ou seja, qualquer múltiplo inteiro nT de T também é um periodo de f . O menor valor de T que satisfaz (1) é chamado período fundamental (ou período primitivo) e qualquer outro período de f será um múltiplo inteiro do período fundamental. A figura a seguir ilustra tal conceito: ; iv) a freqüência f de uma função periódica é definida como o inverso de seu período:
  2. 2. Fabiano J. Santos 2 T 1  , e nos dá o número de repetições (ciclos) em cada intervalo unitário em t . Se t é medido em segundos então a freqüência  é o número de ciclos por segundo (Hertz). Um outro tipo de freqüência utilizada é a freqüência angular, dada por 2; v) o inverso do período fundamental é chamado freqüência fundamental. Exemplo 01: a função )sen(ty  é periódica com período fundamental 2T e período n2 (n inteiro positivo), conforme ilustra o gráfico Exemplo 02: a função )cos(ty  é periódica com período fundamental 2T e período n2 (n inteiro positivo), conforme ilustra o gráfico
  3. 3. Capítulo 01 3 Exemplo 03: a função constante ctfy  )( tem como período qualquer valor 0T , e não possui período fundamental. As duas proposições a seguir nos dão duas propriedades importantes das funções periódicas, as quais utilizaremos freqüentemente. Proposição 01: seja f uma função periódica de período T , então: i) )(atf , 0a , é periódica de período a T ; ii) )( b t f , 0b , é periódica de período bT . Provas: i) ).()]([)( ** aTatfTtafatf  Fazendo atu  , obtemos )()( * aTufuf  . Logo pela hipótese concluímos que TaT * donde a T T * . ii) )()]( 1 [)( * * b T b t fTt b f b t f  . Fazendo b t u  , obtemos )()( * b T ufuf  . Logo pela hipótese concluímos que T b T  * donde bTT * . Proposição 02: sejam f e g duas funções periódicas com o mesmo período T e a e b duas constantes reais quaisquer. A função h definida por )()()( tbgtafth  , (3) também é periódica de período T . Prova: aqui a prova é muito simples e pode ser obtida diretamente de (3), a saber )()()()()()( thtbgtafTtbgTtafTth  .
  4. 4. Fabiano J. Santos 4 Exemplo 04: de acordo com a proposição (01) temos os seguintes exemplos: a) )2sen( t , )2cos( t período  b) )2sen( t , )2cos( t período 1 c) ) 2 sen( T t , ) 2 cos( T t período T Além disto, para todo *  Zn (inteiro positivo) temos que as funções ) 2 sen( T tn e ) 2 cos( T tn (4) possuem ambas período T , haja vista qualquer múltiplo inteiro do período fundamental também ser período. E pela proposição (2), a função ) 2 cos() 2 sen()( T tn b T tn axh   , (5) também possui período T . Proposição 03: sejam nffff ,...,,, 321 funções periódicas de período T . Então a função )(...)()()()( 321 tftftftfth n , (6) dada pela combinação linear de nffff ,...,,, 321 também é periódica de período T . A prova é análoga à da proposição (02) e pode ser obtida pelo princípio da indução. 1.2. Séries Trigonométricas. Extrapolando a proposição (03), sejam ,...,...,,, 321 nffff funções periódicas de mesmo período T , a série infinita dada por ...)(...)()()( 321  tftftftf n , (7) define, nos pontos onde converge, uma função periódica de mesmo período T . Assim podemos definir a função ...)(...)()()()( 321  tftftftfth n , (8) tal que
  5. 5. Capítulo 01 5 )()( Tthth  . (9) Esta última afirmação será de crucial importância para nosso trabalho posterior, uma vez que trabalharemos com séries infinitas da forma   1 ) 2 cos() 2 sen( n T tn T tn  ...) 2 cos() 2 sen(...) 2 cos() 2 sen(  T tn T tn T t T t  (10) denominada série trigonométrica. Observe que cada termo da série em (10) possui período T , desta forma, nos pontos onde a série converge ela define uma função periódica de período T . Para conveniência nos cálculos, a partir de agora consideraremos LT 2 , onde L é chamado meio-período. Com esta convenção a equação (10) torna-se   1 )cos()sen( n L tn L tn  ...)cos()sen(...)cos()sen(  L tn L tn L t L t  (11) que será nossa forma trabalhável nos próximos capítulos. Problemas: 1. Determine se cada uma das funções a seguir é ou não períódica. Caso seja determine também seu período fundamental T e o meio-período L . a) )sen( T t b) )cos( t c) )2senh( t d) )tan( t e) 2 t f) )5sen( t g) )cos(mt h) t e i) )5sen()4sen()3cos( ttt  j) ) 13 4 cos() 11 sen() 7 2 sen() 3 cos( tttt  k) ,...3,2,1,0, 122,1 212,0 )(        n ntn ntn tf (sugestão: esboce o gráfico para alguns valores de n) l) ,...3,2,1,0, 122,1 212,)1( )(         n ntn ntn tf n 02*. Seja RRg : uma função periódica de período T e integrável em toda a reta R . Mostre que
  6. 6. Fabiano J. Santos 6    Tb b Ta a dttgdttg )()( (ou seja, não importa em qual intervalo se dá a integração o valor será sempre o mesmo desde que o tamanho deste intervalo seja o próprio período da função. Geometricamente isto é óbvio. Por quê?)

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