第8章ガウス過程回帰による異常検知

異異常検知と変化検知

第8章ガウス過程回帰による異異常検知
@progranate

本章で扱う異異常検知問題
•  ⼊入⼒力力 x,
出⼒力力yの対データDに対する異異常検知

•  D={(x(1), y(1)), …, (x(n), y(n))}
*
本章ではxはM次元、yはスカラーとしている

•  例例）

•  電⼦子部品（ダイオード）の異異常検知

•  ⼊入⼒力力x:
ダイオードにかける電圧

•  出⼒力力y:
ダイオードに流流れる電流流

2

⼊入出⼒力力がある場合の異異常検知と回帰問題
•  例例）電⼦子部品（ダイオード）の異異常検知



電圧 x
電流流 y
0.7
v
3

⼊入出⼒力力がある場合の異異常検知と回帰問題
•  例例）電⼦子部品（ダイオード）の異異常検知



電圧 x
電流流 y
0.7
v
応答曲⾯面 f(x):
正常時に期待される出⼒力力

出⼒力力値yの分散
⼊入⼒力力に対する出⼒力力を与える応答曲⾯面f及び、

観測ノイズについての確率率率分布を求めることを回帰問題

4

ガウス過程回帰
•  特徴

•  汎⽤用性の⾼高い⾮非線形回帰⼿手法

•  応答曲⾯面f(x)を確率率率モデルp(f(x)|D)の形で構築

•  ガウス過程回帰のモデルが持つ2つの要素

1.  観測時のノイズを表す確率率率モデル p(y|x,σ2)
2.  応答曲⾯面f(x)の滑滑らかさを表現する事前分布 p(fN)
6

第1要素:

観測時のノイズを表す確率率率モデル p(y | x,σ2)
•  出⼒力力yのノイズを表すモデル:
正規分布

出⼒力力yは応答曲⾯面 f(x) 周りに分散σ2で分布

p(y x,σ 2
) = N y f (x),σ 2
( ) 式(8.1)
7

第2要素:

応答曲⾯面 f(x) の滑滑らかさを表現する事前分布 p(fN)
(1/2)
•  ⼊入⼒力力がx, x’の2つの場合

•  任意の⼊入⼒力力x, x’における応答曲⾯面の値をf(x), f(x’)とする時、
f(x)とf(x’)は次のような確率率率分布に従う
p
f (x)
f (x')
!
"
#
#
$
%
&
&
= N 0,
K(x, x) K(x, x')
K(x', x) K(x', x')
'
(
)
)
*
+
,
,
!
"
#
#
$
%
&
&
K(x, x’):
カーネル関数

xとx’が近い値のとき⼩小さい値を取る

→⼊入⼒力力値が近いと出⼒力力値も近いよねという制約

式(8.3)
8

第2要素:

応答曲⾯面 f(x) の滑滑らかさを表現する事前分布 p(fN) (2/2)
•  ⼊入⼒力力がx(1), …, x(N)のN個の場合

•  任意の⼊入⼒力力x(1), …, x(N)における応答曲⾯面の値をf(x(1)), …,
f(x(N))とする時、fNは次のような確率率率分布に従う
p( fN ) = N( fN | 0,K) fN = ( f (x(1)
),…, f (x(N )
))T
K:
(i, j)成分がK(x(i), x(j))で与えられる⾏行行列列
*
無限個の⼊入⼒力力点を考えると無限次元の正規分布となる
式(8.5) 式(8.4)
9

事前分布N(fN | 0,K)から抽出したf(x)の様⼦子
•  図8.2

•  xは⼀一次元、N＝50で[-5, 5]の範囲を区分してf(x)を抽出

fNは離離散値であるが、
事前分布により連続の関数値のように⾒見見える
10

ガウス過程の問題設定と式の導出
11

ステップ1:
p(fN | D)の計算
(1/4)
•  ベイズの定理理を適⽤用

•  p(D|fN,σ2)について

•  観測量量{y(1), …y(N)}の同時分布

パラメータfNに対する尤度度とも解釈できる

•  各観測を独⽴立立に⾏行行ったとすると

•  p(fN)について

•  正規分布
p( fN D) =
p(D fN,σ 2
)p( fN )
d f 'N p(D fN,σ 2
)p( fN ')∫
p(D fN,σ 2
) = N(y(n)
f (n)
,σ 2
) = N(yN fN,σ 2
IN )
n=1
N
∏
p( fN ) = N( fN 0,K)
yN ≡ y(1)
,…, y(n)
{ }
式(8.6)
式(8.7)
式(8.5)
13

ステップ1:
p(fN | D)の計算
(2/4)
•  ここで、p(fN | D)を計算するための式を導⼊入

•  次の2つの正規分布が与えられている時、

ベイズの定理理に基づいて、p(x|y)およびp(y)を求めると

p(y | x) = N(y | Ax + b, D)
p(x) = N(x | µ,Σ)
p(x | y) = N(x | M AT
D−1
(y − b)+ Σ−1
µ{ },M)
p(y) = N(y | Aµ +b, D + AΣAT
)
M ≡ AT
D−1
A+ Σ−1
( )
−1
ここで
式(8.8)
式(8.9)
式(8.10)
式(8.11)
式(8.12)
14

ステップ1:
p(fN | D)の計算
(3/4)
p(y | x) = N(y | Ax + b, D)
p(x) = N(x | µ,Σ)
p(x | y)
= N(x | M AT
D−1
(y − b)+ Σ−1
µ{ },M)
M ≡ AT
D−1
A+ Σ−1
( )
−1
p(D | fN,σ 2
) = N(yN | fN,σ 2
IN )
p( fN ) = N( fN | 0,K)
p( fN | D,σ 2
)
= N fN MIN σ 2
IN( )
−1
yN( ),M( )
= N fN
1
σ 2
MyN,M
"
#
$
%
&
'
M ≡
1
σ 2
IN + K−1#
$
%
&
'
(
−1
変形式計算したい式
y ← yN, A ← IN,b ← 0,
D ←σ 2
IN,µ ← 0, Σ ← K
p( fN D) = p(D fN,σ 2
)p( fN )
…
式(8.13)
15

ステップ1:
p(fN | D)の計算
(4/4)
•  Mの変形
M ≡
1
σ 2
IN + K−1#
$
%
&
'
(
−1
ウッドベリー⾏行行列列恒等式
A+ BDC[ ]
−1
= A−1
− A−1
B D−1
+CA−1
B!" #$
−1
CA−1
式(8.14)
M ≡
1
σ 2
IN
!
"
#
$
%
&
−1
−
1
σ 2
IN
!
"
#
$
%
&
−1
IN K + IN
1
σ 2
IN
!
"
#
$
%
&
−1
IN
!
"
##
$
%
&&IN
1
σ 2
IN
!
"
#
$
%
&
−1
=σ 2
IN −σ 2
K +σ 2
IN( )
−1
( ) 式(8.16)
式(8.17)M ≡σ 2
K K +σ 2
IN( )
−1
両辺に(K+σ2IN)をかける
16

ステップ1で求めたfNの事後分布p(fN | D)
•  σ2が⼩小さければfNはyNに張り付く

•  事前分布p(fN)のみでは、様々な関数をとることができたが、

データD=(yN)により、関数に制限をかける
p( fN | D,σ 2
) = N fN
1
σ 2
MyN,M
!
"
#
$
%
&
M ≡σ 2
K K +σ 2
IN( )
−1
ただし

式(8.13)
式(8.17)
17

ステップ2:
(2/5)
•  f(x)とfNの同時分布

•  式(8.5)より

p
f (x)
fN
!
"
#
#
$
%
&
&
= N 0,
Ko kT
k K
'
(
)
)
*
+
,
,
!
"
#
#
$
%
&
& 式(8.19)
ここで k = K x, x(1)
( ),…,K x, x(N )
( )( )
T
Ko = K x, x( )
19

ステップ2:
(3/5)
•  正規分布の分割公式

•  確率率率変数xを

•  合わせて平均µ，共分散⾏行行列列∑を以下のように分割

•  ここでxが正規分布N(x| µ, ∑)に従うとき、
xbを与えた時のxaの条件付き分布N(xa|µa|b, ∑a|b)の平均、分散は
x =
xa
xb
!
"
#
#
$
%
&
&
µ =
µa
µb
!
"
#
#
$
%
&
& Σ =
Σaa Σab
Σba Σbb
"
#
$
$
%
&
'
'
µa|b = µa + ΣabΣbb
−1
xb − µb( )
式(8.20)
Σa|b = Σaa − ΣabΣbb
−1
Σba
式(8.21)
式(8.23)
20

ステップ2:
(4/5)
•  分割公式にfNとf(x)の同時分布を当てはめ

•  式(8.21)と(8.23)より

•  よって
x =
xa
xb
!
"
#
#
$
%
&
&
µ =
µa
µb
!
"
#
#
$
%
&
&
Σ =
Σaa Σab
Σba Σbb
"
#
$
$
%
&
'
'
f =
f (x)
fN
!
"
#
#
$
%
&
&
µ =
0
0
!
"
#
$
%
& Σ =
Ko kT
k K
"
#
$
$
%
&
'
'
µa|b = kT
K−1
( fN − 0) = kT
K−1
fN
Σa|b = Ko − kT
K−1
k
p f (x) fN( )= N f (x) kT
K−1
fN,Ko − kT
K−1
k( ) 式(8.27)
21

ステップ2:
(5/5)
•  式(8.18)へ計算値を代⼊入
p( f (x)| D) = d fN p( f (x)| fN )p( fN | D)∫ 式(8.18)
N f (x) kT
K−1
fN,Ko − kT
K−1
k( ) N fN
1
σ 2
MyN,M
!
"
#
$
%
&
p f (x) D( )= N f (x) µf (x),σ 2
f (x)( )
µf (x) = kT
K +σ 2
IN( )
−1
yN
σ 2
f (x) = Ko − kT
K +σ 2
IN( )
−1
k
式(8.28)
式(8.29)
p(y | x) = N(y | Ax + b, D) p(x) = N(x | µ,Σ)
)
正規分布の変形式
の時
より
22

p(y | x) = N(y | Ax + b, D) p(x) = N(x | µ, Σ)
)
正規分布の変形式
の時
より
予測分布p(y | x, D, σ2)の計算
p(y | x, D,σ 2
) = dfN(y | f (x),σ 2
)
−∞
∞
∫ p( f (x)| D)
N f (x) µf (x),σ 2
f (x)( )
µf (x) = kT
K +σ 2
IN( )
−1
yN
σ 2
f (x) = Ko − kT
K +σ 2
IN( )
−1
k
p y x, D,σ 2
( )= N y µy (x),σ 2
y (x)( )
µy (x) = kT
K +σ 2
IN( )
−1
yN
σ 2
f (x) =σ 2
+ Ko − kT
K +σ 2
IN( )
−1
k
式(8.31)
式(8.32)
式(8.30)
平均μy(x)がxに依存しているため、⾮非線形回帰が可能
23

異異常度度の定義とホテリングのT2法との⽐比較
•  ガウス過程での異異常度度

•  ホテリングのT2法での異異常度度 =
マハラノビス距離離
a(x') = (x'− ˆµ)T ˆΣ−1
(x'− ˆµ)
ˆµ =
1
N
x(n)
n=1
N
∑
式(2.9)
ˆΣ =
1
N
(x(n)
− ˆµ)(x(n)
− ˆµ)T
n=1
N
∑
a(y', x') = −log p y' x', D,σ 2
( )
=
1
2
log 2πσy
2
(x'){ }+
1
2σy
2
(x')
y'−µy (x'){ }
2
式(8.33)
25

異異常度度の定義とホテリングのT2法との⽐比較
•  ガウス過程での異異常度度

•  ホテリングのT2法での異異常度度 =
a(y', x') = −log p y' x', D,σ 2
( )
=
1
2
log 2πσy
2
(x'){ }+
1
2σy
2
(x')
y'−µy (x'){ }
2
a(x') = (x'− ˆµ)T ˆΣ−1
(x'− ˆµ)
ˆµ =
1
N
x(n)
n=1
N
∑
式(8.33)
式(2.9)
ˆΣ =
1
N
(x(n)
− ˆµ)(x(n)
− ˆµ)T
n=1
N
∑
期待値と分散が⼊入⼒力力x’に依存
期待値と分散は学習データに依存
26

予測平均と予測分散の計算例例
•  図8.3

•  図8.2の事前分布に対しデータを与え、横軸50点からなる応答曲線
を50本標本抽出

•  与えたデータ: (x, y)={(-4, -2), (-2.8, 0), (-1, 1), (0, 2), (2.2, -1)}
データが存在するところでは分散が⼩小

データが疎な部分では分散は⼤大
27

パラメータの決定⼿手法
28

分散σ2や他パラメータの決定
•  ここまで分散σ2は既知としてきたが、

実際は⼊入⼒力力データから推定する必要がある

•  周辺尤度度最⼤大化により、σ2を選択

•  E(σ2|D)をしばしば（σ2に関する）エビデンスと呼ぶ

E(σ 2
D) ≡ d fN p D fN,σ 2
( )p( fN )∫ → 最⼤大化
式(8.11)を適⽤用
E(σ 2
D) ≡ N yN 0,σ 2
IN + K( )
式(8.36)
式(8.37)
29

分散σ2や他パラメータの決定
•  カーネル⾏行行列列からσ2の抜き出し
•  対数エビデンス
•  σ-2で微分し、整理理すると
K =σ 2 !K
logE(σ 2
D) ≡ −
N
2
log(2πσ 2
)−
1
2
log IN + !K −
σ −2
2
yN
T
IN + !K( )
−1
yN
ˆσ 2
≡
1
N
yN
T
IN + !K( )
−1
yN
Kのカーネルのパラメータも同様に

周辺尤度度最⼤大化で求める（詳細はp103にて）
式(8.38)
式(8.39)
30

実験計画法への応⽤用
31

実験計画法への応⽤用
•  実験計画法

•  効率率率良良い実験⽅方法を設計し、結果を適切切に解析する（wikipediaより）

•  例例）

•  ⾃自動⾞車車の衝突シミュレーション

　設計パラメータ:x、評価値:
y
　過去N回のシミュレーション結果

　を活⽤用して、

　次にシミュレーションするべき最適なxは何か？を決定

D = (x(1)
, y(1)
),…,(x(N )
, y(N )
){ }
32

最適性の定義：期待改善量量
•  評価値yは⼩小さければ⼩小さいほど良良いという仮定

•  ymin:
Dに含まれるN個の評価値の中での最⼩小値（最善値）

•  []+は正なら何もせず、負なら0に置き換え
J(x) = dyp(y | x, D,σ 2
)
−∞
∞
∫ ymin − y[ ]+
式(8.42)
33

期待改善量量の解釈
•  ここでzがある程度度⼤大きいとき[]内はzに⽐比例例

•  σyはDにおける疎な領領域で⼤大きくなる（図8.3より）ため

期待改善量量を最⼤大にするxは、

「これまであまり試していない領領域でzが⼤大きくなる値」

J(x) =σy (x) zΦ(z)+ N(z | 0,1)[ ]
J(x) ≈ σy (x)× z(x)[ ]+
式(8.43)
式(8.45)
35

リッジ回帰との関係
36

(1/2)
•  リッジ回帰とは

•  線形モデルの最⼩小2乗法で推定するパラメータに正規化項を加えた回帰
y = xT
ˆα ˆα = XXT
+σ −2
IM( )XyN
X ≡ x(1)
,…, x(N )"# $%
yN − Xα( )
T
yN − Xα( )+σ −2
αT
α最⼩小化する式：
2乗誤差正規化項
推定値：
ただし
式(8.46)
37

(2/2)
•  　の式にウッドベリー⾏行行列列恒等式(8.14)を適⽤用

•  ここで、　　　　, 　　　　

とおいてyを計算すると

標本のベクトルの内積をカーネル関数で置き換えて得られた

→
リッジ回帰にカーネルトリックを適⽤用したものがガウス過程回帰
ˆα = σ 2
IN −σ 4
X IN +σ 2
XT
X( )
−1
XT
{ }XyN
ˆα
k = XT
x K = XT
X
y =σ 2
kT
IN −σ 2
σ 2
K + IN( )
−1
K{ }yN
=σ 2
kT
σ 2
K +IN( )
−1
σ 2
K +IN( )−σ 22
K{ }yN
= kT
K +σ 2
IN( )
−1
yN …
ガウス過程における予測平均σy(x)と⼀一致
38

まとめ
•  ガウス過程回帰

•  予測分布

•  N個の⼊入⼒力力データに対し出⼒力力値を⽣生成する確率率率モデル

•  異異常度度

p y x, D,σ 2
( )= N y µy (x),σ 2
y (x)( )
µy (x) = kT
K +σ 2
IN( )
−1
yN
σ 2
f (x) =σ 2
+ Ko − kT
K +σ 2
IN( )
−1
k
a(y', x') = −log p y' x', D,σ 2
( )
=
1
2
log 2πσy
2
(x'){ }+
1
2σy
2
(x')
y'−µy (x'){ }
2
40

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