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TESTE DE 
WILCOXON
 O teste T de Wilcoxon substitui o t de Student para 
amostras pareadas quando os dados não satisfazem as 
exigências deste último. Foi também desenvolvido por F. 
Wilcoxon em 1945 e baseia-se nos postos das diferenças 
intrapares. O teste de Wilcoxon (Wilcoxon Matched-Pairs; 
Wilcoxon signed-ranks test) é um método não-paramétrico 
para comparação de duas amostras pareadas.
 A princípio são calculados os valores numéricos da 
diferença entre cada par, sendo possível três condições: 
aumento (+), diminuição (-) ou igualdade (=). Uma vez 
calculadas todas as diferenças entre os valores obtidos para 
cada par de dados, essas diferenças são ordenadas pelo seu 
valor absoluto (sem considerar o sinal), substituindo-se 
então os valores originais pelo posto que ocupam na escala 
ordenada.
Os seguintes passos devem ser 
seguidos na sua construção: 
 Calcular a diferença entre as observações para cada par. 
 Ignorar os sinais das diferenças e atribuir postos a elas. 
 Calcular a soma dos postos (S) de todas as diferenças 
negativas (ou positivas).
Procedimentos para a realização 
do teste: 
 Para cada par, determinar a diferença (d), com sinal. 
 Atribuir postos a essas diferenças independentemente de sinal. Em 
caso de empates, atribuir a média dos postos empatados. 
 Para cada posto atribuir o sinal + ou o sinal – do d que ele 
representa. 
 Obter o valor T que representa a menor das somas de postos de 
mesmo sinal. 
 Determinar N que é o total das diferenças com sinal.
 Se N ≤25, obter p através da distribuição binomial. 
 Se N > 25, determinar a média e o desvio-padrão 
aproximado da soma dos ranks dos postos. Em seguida, 
obter o valor de z calculado e o valor de z tabelado. 
Observa se portanto, a utilização da aproximação da 
distribuição binomial pela distribuição Normal.
 Por último, comparar o valor real com o valor teórico de 
z. Se z calculado for menor que z tabelado não se pode 
rejeitar a hipótese nula
Exemplo 
 A um grupo de alunos foram ministrados dois testes 
similares para verificar o aprendizado. O objetivo é 
verificar se os dois testes apresentados são equivalentes. 
Os resultados dos testes estão no quadro abaixo. 
Observa-se que cada aluno realizou os dois testes.
 Para a resolução do teste contou-se com a ajuda de uma 
planilha do Excel. Podemos observar no quadro abaixo as 
diferenças dos escores de cada par, os postos das 
diferenças sem o sinal e os postos médios com sinal.
 Da mesma forma, obteve-se o valor T que representa a 
menor das somas de postos de mesmo sinal e o valor de 
N que é o total das diferenças com sinal. 
 Como a amostra apresenta N ≤25, obteve-se o valor de p 
pela distribuição binomial.
 Conclusão: Como o valor p calculado ficou acima de 5%, 
não se pode rejeitar a hipótese nula, ou seja, os dois 
testes podem ser considerados equivalentes.
 Consideramos então que o objetivo do teste dos sinais de 
Wilcoxon é comparar as performances de cada sujeito (ou 
pares de sujeitos) no sentido de verificar se existem 
diferenças significativas entre os seus resultados nas duas 
situações. Os resultados da Situação B são subtraídos dos 
da Situação A e à diferença resultante (d) é atribuído o 
sinal mais (+) ou, caso seja negativa, o sinal menos (‐). 
Estas diferenças são ordenadas em função da sua 
grandeza (independentemente do sinal positivo ou 
negativo).
 O ordenamento assim obtido é depois apresentado 
separadamente para os resultados positivos e negativos. 
O menor dos valores deste segundo, dá‐lhe o valor de 
uma “estatística” designada por W, que pode ser 
consultada na Tabela de significância apropriada. A ideia 
é que se existirem apenas diferenças aleatórias, tal como 
é postulado pela hipótese nula, então haverá 
aproximadamente o mesmo número de ordens elevadas 
e de ordens inferiores tanto para as diferenças positivas 
como negativas.
 Se se verificar uma preponderância de baixos resultados 
para um dos lados, isso significa a existência de muitos 
resultados elevados para o outro lado, indicando uma 
diferença em favor de uma das situações, superior àquilo 
que seria de esperar se os resultados se devessem ao 
acaso. Dado que a estatística W refleteo menor total de 
ordens, quanto menor for oWmais significativas serão as 
diferenças nas ordenações entre as duas situações.

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Teste de Wilcoxon

  • 2.  O teste T de Wilcoxon substitui o t de Student para amostras pareadas quando os dados não satisfazem as exigências deste último. Foi também desenvolvido por F. Wilcoxon em 1945 e baseia-se nos postos das diferenças intrapares. O teste de Wilcoxon (Wilcoxon Matched-Pairs; Wilcoxon signed-ranks test) é um método não-paramétrico para comparação de duas amostras pareadas.
  • 3.  A princípio são calculados os valores numéricos da diferença entre cada par, sendo possível três condições: aumento (+), diminuição (-) ou igualdade (=). Uma vez calculadas todas as diferenças entre os valores obtidos para cada par de dados, essas diferenças são ordenadas pelo seu valor absoluto (sem considerar o sinal), substituindo-se então os valores originais pelo posto que ocupam na escala ordenada.
  • 4. Os seguintes passos devem ser seguidos na sua construção:  Calcular a diferença entre as observações para cada par.  Ignorar os sinais das diferenças e atribuir postos a elas.  Calcular a soma dos postos (S) de todas as diferenças negativas (ou positivas).
  • 5. Procedimentos para a realização do teste:  Para cada par, determinar a diferença (d), com sinal.  Atribuir postos a essas diferenças independentemente de sinal. Em caso de empates, atribuir a média dos postos empatados.  Para cada posto atribuir o sinal + ou o sinal – do d que ele representa.  Obter o valor T que representa a menor das somas de postos de mesmo sinal.  Determinar N que é o total das diferenças com sinal.
  • 6.  Se N ≤25, obter p através da distribuição binomial.  Se N > 25, determinar a média e o desvio-padrão aproximado da soma dos ranks dos postos. Em seguida, obter o valor de z calculado e o valor de z tabelado. Observa se portanto, a utilização da aproximação da distribuição binomial pela distribuição Normal.
  • 7.  Por último, comparar o valor real com o valor teórico de z. Se z calculado for menor que z tabelado não se pode rejeitar a hipótese nula
  • 8. Exemplo  A um grupo de alunos foram ministrados dois testes similares para verificar o aprendizado. O objetivo é verificar se os dois testes apresentados são equivalentes. Os resultados dos testes estão no quadro abaixo. Observa-se que cada aluno realizou os dois testes.
  • 9.  Para a resolução do teste contou-se com a ajuda de uma planilha do Excel. Podemos observar no quadro abaixo as diferenças dos escores de cada par, os postos das diferenças sem o sinal e os postos médios com sinal.
  • 10.  Da mesma forma, obteve-se o valor T que representa a menor das somas de postos de mesmo sinal e o valor de N que é o total das diferenças com sinal.  Como a amostra apresenta N ≤25, obteve-se o valor de p pela distribuição binomial.
  • 11.  Conclusão: Como o valor p calculado ficou acima de 5%, não se pode rejeitar a hipótese nula, ou seja, os dois testes podem ser considerados equivalentes.
  • 12.  Consideramos então que o objetivo do teste dos sinais de Wilcoxon é comparar as performances de cada sujeito (ou pares de sujeitos) no sentido de verificar se existem diferenças significativas entre os seus resultados nas duas situações. Os resultados da Situação B são subtraídos dos da Situação A e à diferença resultante (d) é atribuído o sinal mais (+) ou, caso seja negativa, o sinal menos (‐). Estas diferenças são ordenadas em função da sua grandeza (independentemente do sinal positivo ou negativo).
  • 13.  O ordenamento assim obtido é depois apresentado separadamente para os resultados positivos e negativos. O menor dos valores deste segundo, dá‐lhe o valor de uma “estatística” designada por W, que pode ser consultada na Tabela de significância apropriada. A ideia é que se existirem apenas diferenças aleatórias, tal como é postulado pela hipótese nula, então haverá aproximadamente o mesmo número de ordens elevadas e de ordens inferiores tanto para as diferenças positivas como negativas.
  • 14.  Se se verificar uma preponderância de baixos resultados para um dos lados, isso significa a existência de muitos resultados elevados para o outro lado, indicando uma diferença em favor de uma das situações, superior àquilo que seria de esperar se os resultados se devessem ao acaso. Dado que a estatística W refleteo menor total de ordens, quanto menor for oWmais significativas serão as diferenças nas ordenações entre as duas situações.