Precálculo
Semana 13

Sistema de coordenadas rectangulares
Distancia entre dos puntos y punto medio
La recta: ángulo de inclinación y pendiente
La recta: Ecuación
Gráfica de la recta
Rectas paralelas y perpendiculares
Precálculo

3
1. Previos
a. Plano Cartesiano
Eje Horizontal: Eje X (Abscisas)
Eje Vertical: Eje Y (Ordenadas)
Punto en el Plano: Par Ordenado
División del Plano: Cuadrantes
X
Y
(1; 4)
(-3; 1)
(-5; -2)
(1; -3)
II
Cuadrante
III
Cuadrante
IV
Cuadrante
I
Cuadrante
Origen del Sistema de
Coordenadas: (0; 0)

Ejemplo:
Represente en el
plano cartesiano los
siguientes puntos:
P(3; 2)
Q(4; 1)
M(-4; -2)
N(2; -3)
R(-5; 3)
1. Previos
a. Plano Cartesiano

Sistema de coordenadas rectangulares
Distancia entre dos puntos y punto medio
La recta: ángulo de inclinación y pendiente
La recta: Ecuación
Gráfica de la recta
Rectas paralelas y perpendiculares
Precálculo

6
1. Previos
b. Distancia entre dos puntos
Objetivo: Determinar el valor de D.
(5; 5)
(2; 1)
Usamos el Teorema de Pitágoras
3 = 5 – 2
4 = 5 – 1D
222
)15()25( D
252
D
55  DD
5D

7
1. Previos
b. Distancia entre dos puntos
Objetivo: Determinar el valor de D.
(x1; y1)
Usamos el Teorema de Pitágoras
y1 – y2
D
2
21
2
21 )()( yyxxD 
(x2; y2)
x1 – x2

8
1. Previos
c. Punto Medio de un segmento
Objetivo:
Determinar las coordenadas de M
(x1; y1)





 

2
;
2
2121 yyxx
M
(x2; y2)
M

9
Ejercicios
1. Determine los puntos cuya abscisa es igual a su ordenada
y que están a una distancia de 3 unidades del punto P(-1;
2)
2. Halle un punto P de abscisa 2, tal que la distancia de P a Q(1; -5)
sea el doble que la distancia de P al punto R(-1; 1)
(-1; -1) y (2; 2)













3
39
3;2,
3
39
3;2
3. Considere los puntos A( – 2 ; 1 ), B( 2 ; 3 ) y C( 3 ; 1 ).
a. Grafique el triángulo ABC y calcule la longitud de cada lado.
b. Verifique que el triángulo tiene un ángulo recto.
c. Calcule el área de la región triangular que determina.
4. Encuentre los puntos A del eje x que equidistan de los
puntos B(7, 10) y C(4, 5).
A (18; 0)

Sistema de coordenadas rectangulares
Distancia entre dos puntos y punto medio
La recta: ángulo de inclinación y pendiente
La recta: Ecuación
Gráfica de la recta
Rectas paralelas y perpendiculares
Precálculo

11
2. La Recta
a. Pendiente de una Recta
Objetivo:
Interpretar la Pendiente de una
recta.
+2
+1
+2
+1
+2
+1
+6
+3
+6
+3
  2
2m
Pendiente

12
2. La Recta
a. Pendiente de una Recta
Objetivo:
Determinar la Pendiente de una
recta.
(x1; y1)
(x2; y2)
y1 – y2
x1 – x2
x
y
xx
yy
m






21
21

13
2. La Recta
a. Pendiente de una Recta
Objetivo:
Determinar la Pendiente de una
recta, haciendo uso de
trigonometría.
(x1; y1)
(x2; y2)
y1 – y2
x1 – x2 tanm

21
21
tan
xx
yy




14
2. La Recta
b. Ángulo entre dos rectas
Objetivo:
Determinar el ángulo entre dos
rectas a partir de sus pendientes.Ángulo entre dos rectas
21
21
.1
tan
mm
mm






 
Por trigonometría se tiene:
)tan(tan  
))(tan(tan1
tantan
tan







15
Ejemplo
Se sabe que la velocidad de la luz es de 300 mil kilómetros por
segundo y que la distancia que recorre es igual al producto de su
velocidad por el tiempo empleado.
Use dicha información para hallar el tiempo que un rayo de luz
tarda en llegar al punto P(-31, 195), si sale del punto medio del
lado menor del triángulo ABC, sabiendo que A(-51, 80), B(-11,50) y
C(-1,100), donde las coordenadas de los puntos están dadas en
miles de kilómetros.
Solución: 2 2 2 2 2 2
( , ) 40 30 ( , ) 10 50 ( , ) 50 20d A B d B C d A C       
Por lo tanto el lado menor es AB y las coordenadas de su punto
medio son (-31, 65). Y la distancia entre P(-31, 195) y (-31,65) es
130 mil kilómetros.
Finalmente el tiempo empleado por la luz en recorrer dicha
distancia es: 130000 13
300000 30
s

Ejercicios:
2. Hallar el punto situado en el semieje positivo de las
abscisas, desde el cual se ven los extremos del segmento
AB con un ángulo de 45º. A(-3; 4) y B(3; 8).
Rpta:
Rpta:  0;172 
 522;51 P
1. Dados los puntos A(0; -2) y B(0; 4). Hallar un punto P en
el primer cuadrante, tal que su ordenada sea el doble de su
abscisa y que el producto de las pendientes de PA y PB sea
igual a la pendiente de PO, O(0; 0).

3. Dados los puntos P(1, -3) y Q(a, a+1). Determine para
qué valores de a se cumple que la pendiente del
segmento PQ es numéricamente igual a a + 4.
4. Determine el ángulo entre dos rectas, sabiendo que la
pendiente de una de ellas es 1, y la otra pasa por el
origen de coordenadas y por el punto .
5. Sean las rectas L1 que pasa por P1 = (– 2, 2) y P2=(7, 4) y
L2 que pasa por Q1 = (7; 3) y Q2 = (10; 7). Halle la medida
del ángulo que determinan las rectas L1 y L2 al
intersecarse.
)6;32(P
2y4
75
6,40

Sistema de coordenadas rectangulares
Distancia entre dos puntos y punto medio
La recta: ángulo de inclinación y pendiente
La recta: Ecuación
Gráfica de la recta
Rectas paralelas y perpendiculares
Precálculo

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2. La Recta
a. Pendiente de una Recta
Objetivo:
Interpretar la Pendiente de una
recta.
(x1; y1)
(x2; y2)
y1 – y2
x1 – x2
x
y
xx
yy
m






21
21

20
2. La Recta
b. Ecuación de la Recta Objetivo:
Determinar la ecuación de la Recta.
12  xy
2
5



x
y
m
(2; 5)
(-1; -1)
1. Determine la pendiente de la recta.
2
3
6
)1(2
)1(5



m
2. Piense en un punto arbitrario de
la recta. ¿Cómo será su pendiente?
(x; y)
3. Pase a multiplicar y simplifique.
125)2(2  xyyx
Ecuación de la Recta
2
5
2



x
y

21
2. La Recta
b. Ecuación de la Recta Objetivo:
Determinar la ecuación de la Recta.
12  xy (2; 5)
(-1; -1)
(x; y)
Ecuación de la Recta
Note que:
2m
Además, la recta interseca al
eje Y en: 1
Luego, la ecuación de la recta tiene
la forma:
bmxy 
Donde:
m es la pendiente
b es el intercepto con el eje Y.
(ordenada en el origen)

Cuando la ecuación de la recta se escribe:
se dice que tiene Forma Punto - Pendiente
Cuando la ecuación de la recta se escribe: , se
dice que tiene Forma General.
Cuando la ecuación de la recta se escribe: , se dice
que tiene Forma Ordenada en el Origen
22
2. La Recta
b. Ecuación de la Recta
bmxy 
)( 00 xxmyy 
0 CByAx
Ejemplo: y = 2x + 1
Ejemplo: y – 5 = 2(x – 2)
Ejemplo: y – 2x – 1 = 0
B
A
m 
OJO!¡

23
EJERCICIOS
1. Hallar el punto de la recta que pasa por A(-1; 7) y B(3; -1) y
que equidista de los puntos C(3; 9) y D(9; 5).
2. Una recta pasa por los puntos A(2, 2) y B(4, 3). Encuentre
las coordenadas de los puntos pertenecientes a la recta que
distan el doble de A que de B.
3. Encuentre el baricentro punto de intersección de las
medianas del triángulo con vértices A(-3;5), B(1;7) y C(5;1).
 1;2
  






3
4
;2y8;10






3
13
;1

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Distancia entre dos puntos y punto medio
La recta: ángulo de inclinación y pendiente
La recta: Ecuación
Gráfica de la recta
Rectas paralelas y perpendiculares
Precálculo

25
3. Gráfica de una ecuación lineal (recta)
Considere lo siguiente:
Interceptos con los ejes.
• Con el eje X: hacemos y = 0
• Con el eje Y: hacemos x = 0
Tabulación.
Asignar valores a x para luego determinar los valores
respectivos de y.

26
Ejemplo.
Grafique la ecuación: 2x – y = 3
1. Interceptos:
Con el eje Y: Hacemos x = 0.
Se tiene: y = – 3
Con el eje X: Hacemos y = 0.
Se tiene: x = 3/2
(0; – 3)
(3/2; 0)
2. Tabulación:
x
y
1 2-1-2 4 -1/2
-1 1-5-7 5 -4
                   















y
Interceptos

27
Ejemplo.
Grafique la ecuación: 2x – y = 3
                   















y
Interceptos
Observe que:
De la ecuación: 2x – y = 3
Se deduce que: m = 2
Es decir, la recta tiene
pendiente positiva, por
tanto es creciente.

28
Ejemplo.
Grafique la ecuación: 3x + 2y = 6
                   















y
Interceptos
Es decir, la recta tiene
pendiente negativa, por tanto
es decreciente.
1. Interceptos:
Con el eje Y: (0; 3)
Con el eje X: (2; 0)
2. Tabulación:
x
y
64-2
-6-36
Despejando se obtiene:
m = - 3/2

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Distancia entre dos puntos y punto medio
La recta: ángulo de inclinación y pendiente
La recta: Ecuación
Gráfica de la recta
Rectas paralelas y perpendiculares
Precálculo

Ecuación de una recta vertical
ax 
( , )P a y
( , 0)a
x
y
Ecuación de una recta horizontal
by 
x
y
)b,0(
)b,x(P
¿Cuál es su
pendiente?
¿Cuál es su
pendiente?

31
2. Sean 0 < a < b. Dadas las rectas L1: y L2: ,
determine la recta L que pasa por (a ; b) y el punto de
1. Considere la recta L: 3x - 2y + 6 = 0. Grafique la recta L1
cuya pendiente es igual a la ordenada en el origen de L y
cuya ordenada en el origen es igual a la pendiente de L.
3. Encuentre la ecuación de
la recta L, mostrada en la
figura.
Ejercicios
1
b
y
a
x
1
a
y
b
x
intersección de L1 y L2.
Además, grafique L1, L2
y L mostrando todos sus
interceptos con los ejes
y los interceptos entre
dichas rectas.
baabyaxb 2222

164  xy

32
2. La Recta
c. Rectas paralelas Cuando tienen la misma pendiente
11 : mpendienteconrectaL
21 mm 
22 : mpendienteconrectaL
21 // LL 

33
2. La Recta
d. Rectas perpendiculares Cuando el producto de sus pendientes es –
1
121  mm
11 : mpendienteconrectaL
22 : mpendienteconrectaL
21 LL  

34
2. Determine el valor de k para que las rectas: x + 2y – 3 = 0,
y x - ky + 4 = 0, sean:
a. paralelas.
b. perpendiculares.
1. Encuentre dos rectas que pasan por el punto A (3;5), una
paralela y la otra perpendicular a la recta x + 2 y + 3 = 0.
Ejercicios
3. Una recta L pasa por la intersección de las rectas 7x– 2y = 0
y 4x – y – 1= 0, siendo además perpendicular a la recta que
tiene por ecuación 3x + 8y – 10 = 0. Determine la ecuación
de L.
resp.,012y0132  yxyx
-2k
0,5k
0538  yx