PRE CALCULO N°1 ESAN

1. Precálculo
Semana 1

2. Precálculo
Revisión algebraica
Teoría de conjuntos

3. 3
Revisión algebraica
1. Teoría de exponentes
ix)
i) am . an = ii) am / an =
iii) a0 = iv) a-n =
vii) (am)n =
v) (a .b)m = vi) (a / b)m =
mn
a =viii)
n
ab = n a /b =x)
am+n am-n
,donde a  0 1/ an
am. bm am / bm
amn m/n
a
n n
a. b n n
a / b
1 , donde a  0
, con a  0
, con b  0

4. 4
i) x5 . x2 = ii) x5 / x2 = , con x  0
iii) 50 = iv) 3.x-2 =
v) (74)3 = vi) (2x)3 =
vii) (x / y)4 = , con y  0 viii) 3 4
x =
54
3x =ix) 3/ x =x)
Ejercicios
Indica el resultado en cada uno de los siguientes casos:
Estrategia de solución:
Confronta cada uno de los ejercicios con el modelo dado en la
teoría

5. 5
i) (a + b)2 =
2. Productos Notables (especiales)
viii) a3 – b3 =
ii) (a - b)2 =
v) (a + b)3 =
iii) (a – b)(a + b) =
vi) a3 + b3 =
vii) (a - b)3 =
iv) a2 + b2
a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2
Además: a2 + b2  0: No se puede factorizar.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)(a2 - ab+ b2)
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a – b)(a2 + ab+ b2),
a2 – b2

6. 6
Comentario.
Algunas consideraciones que debemos tener presente al
momento de operar con fracciones
1. En una fracción el signo menos se puede transferir a
cualquier parte de ella; por ejemplo:
3
=
5-
2. Recordemos las operaciones básicas:
a
=
b
( )
c
a
( )
b =
c
3
=
5
- 3
5
-
ac
b a
bc

7. 7
3. Operaciones con fracciones algebraicas
Para operar con fracciones algebraicas (sumar o restar) será
necesario dar común denominador, para lo cual debemos
encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Veamos el siguiente ejemplo:
Calcule:
xxxxxx
x






223
3113

8. 8
Resolución:
Procedemos a dar común denominador, para lo cual
calculamos el MCM de los denominadores:
Factoricemos cada denominador:
 3
x - x = x(x -1)) (x +1)
 2
x - x = x() x -1)
 2
x + x = x() x +1)
MCM = Producto de los factores
comunes y no comunes, cada uno
con su mayor exponente.
 Común denominador: MCM = x(x-1)(x+1)

9. 9
Procedemos a operar:
1- x
x(x -1)(x +1)
-3(x -1)(3x - 1) -(x +1)
 
x -1
x(x -1)(x +1)
 
1
x(x +1)
xxxxxx
x






223
3113
      1
3
1
1
11
13







xxxxxxx
x
  11
33113



xxx
xxx

  11 

xxx

10. 10
3. Operaciones con fracciones algebraicas
1. Efectuar y simplificar:
2
x + x 4x +10
-
x + 2 x + 2
a) Rpta: x - 5

x 4
x +1 x
b) Rpta:
2
(x + 2)
x(x +1)
1 2
-
x +1 x + 2
x
c)
Rpta:
  21
1


xx

11. 11
2 2
4 2x - 5
+
x - 4x + 4 x - 2x
d) Rpta:
2
2
2x - 5x +10
(x - 2) x
Rpta: 2
14x +16
(x + 2) (3x + 2)2
3
44
12
483
33
22







xxx
x
xx
xe)

12. Precálculo
Revisión algebraica
Teoría de conjuntos

13. 13
¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es una agrupación o colección de objetos,
llamados elementos
Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas :A, B, C, …
Los elementos se denotan con letras minúsculas : a, b, c, …
Determinación de un conjunto por extensión:
Se indica cada elemento. Ejemplo: A = {a, b, c, d, e}
Determinación de un conjunto por comprensión:
Se indica alguna propiedad común a los elementos.
Ejemplo: B = {x / x es un número natural menor que 5}

14. Relación de pertenencia:
Relación de Inclusión:
A  B
x
B
A
Propiedad:   A,para todo A.
Es una relación entre un elemento y
su correspondiente conjunto; se denota por x  A
Es una relación entre conjuntos
A está incluido en B (A es subconjunto de B), cuando cada
elemento de A es también elemento de B.

15. 15
Conjunto Universal:
Conjunto Finito:
Conjuntos Notables
Conjunto Vacío o Nulo: No tiene elementos. Se representa
por los símbolos , { }.
Conjunto Unitario: Tiene un solo elemento.
Ejemplo: A = {0}, B = {w, w, w, w}.
Contiene todos los elementos en
un contexto o estudio particular. Se le denota por U.
Tiene una cantidad limitada de elementos.
Ejemplo: C = {x / x es un mes del año}

16. 16
Conjuntos Numéricos
Propiedad:
Conjunto Infinito: No tiene una cantidad limitada de elementos.
Ejemplo: L = {x / x es un punto de la recta}
N  Z  Q  R;   R
Naturales: N = { 1; 2; 3; … }
Enteros: Z = { …;-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; … }
Racionales: Q = { a/b / a  b  Z, b  0 }
Irracionales: I = { x / x ≠ a/b ; a  b  Z, b  0 }
Reales: R = { x / x  Q  x  I}

17. 17
cuando ambos conjuntos tienen los mismos elementos.
Ejemplo.
cuando no tienen elementos comunes.
A y B son conjuntos disjuntos: AB = 
A B
Relaciones entre conjuntos
Conjuntos iguales:
Los conjuntos A = {1,2, 3} y B = {x/ x = 1, 2, 3} son
iguales
Conjuntos disjuntos: Los conjuntos A y B son disjuntos
Los conjuntos A y B son iguales

18. 18
Operaciones entre conjuntos
1. Unión:
2. Intersección:
A  B = { x / x  A  x  B }
A  B = { x / x  A  x  B }
3. Diferencia: A  B = { x / x  A  x  B }
A B
A
B
A
B

19. 19
Ac = { x  U / x  A } = U  A
C
A
A
U
4. Complemento de un conjunto. Dado A  U, definimos:
Propiedades:
i) A   = A ii) A  U = U
iii) A   = , A  U = A

20. 20
v) (Ac)c = A
vi) A  Ac = U
vii) A  Ac = 
viii) A -  =A
ix) A - A = 
xi) (U)c = 
xii) ()c = U
xiii) A  B = A  Bc
iv) Distributiva: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
x)  - A = 

21. 21
CARDINAL DE UN CONJUNTO  NÚMERO DE ELEMENTOS
Notación:
Propiedad:        n A B n A n B n A B    
Ejemplo:  Si A = a,b, c, d, e entonces n(A) = 5
n(A) = cardinalidad del conjunto A
Cardinal de un conjunto

22. 22
2) En un salón de clase hay 15 extranjeros, de los cuales 10 son hombres. Si se
sabe que 15 hombres no son extranjeros y que en total hay 30 mujeres,
¿cuántos estudiantes hay en clase?
1) De un grupo de 70 estudiantes, 32 hablan inglés, 26 español, 37 francés, 6
inglés y español, 9 español y francés y 12 inglés y francés. ¿Cuántos
estudiantes hablan los tres idiomas, si cada uno habla al menos uno de estos
idiomas?
3) Un investigador de mercados realiza una encuesta sobre hábitos de lectura de
revistas en Lima, resultando que: 9.8% leen Oiga, 22.9% Selecciones, 12.1%
Caretas, 5.1% Oiga y Selecciones, 3.7% Oiga y
Problemas

23. 23
Caretas, 6% Selecciones y Caretas y 32.4% leen al menos una
de las revistas mencionadas.
Determine el porcentaje de personas que:
a) No leen ninguna de las revistas citadas
b) leen exactamente dos de las revistas.
4) Se realiza una encuesta a una muestra de postulantes a la
universidad sobre su preferencia respecto a las carreras
profesionales de Administración, Derecho y Economía,
obteniéndose los siguientes resultados:

24. 24
60% prefieren Administración, 59% Derecho, 50% Economía, 38%
Administración y Derecho, 22% Administración y Economía, y el número
estudiantes que no prefieren ninguna de las tres profesiones es igual a los que
solo prefieren Derecho. Si los que prefieren las tres profesiones son el 40% de
los que prefieren Derecho y Economía, determine:
(a) El porcentaje de estudiantes que prefieren solo Derecho.
(b) El porcentaje de estudiantes que prefieren Administración y Economía.

25. 25
5) La oficina de servicios académicos de la universidad, publicó el
siguiente reporte respecto del total de alumnos matriculados en
Matemática I: El 55% aprobó la primera práctica ; el 30% aprobó la
segunda práctica ; el 50% aprobó la tercera práctica ; el 10% aprobó
las tres prácticas ; el 40% de los que aprobaron la primera no
aprobaron ninguna otra; el 20% de los que aprobaron la primera
también aprobaron la segunda pero no la tercera; el 14% no aprobó
ninguna práctica y 256 aprobaron la segunda y tercera práctica.
Determine el número total de alumnos.

26. 26
Solución:
Podemos considerar que el total de estudiantes es 100k.
10k
N = 100k
I II
III
22k 11k
14k
256 - 10k
55k 30k
50k
x
y
z

27. 27
 
40
55 22
100
k k  
20
55 11
100
k k
22 11 10 55 12k k k z k z k     
11 256 30 19 256k x k x k     
12 256 50 38 256k y k y k     
55 19 256 256 10 38 256 14 100 16k k k k k k k         
Se tiene según el enunciado:
De las regiones:
Luego:  100 16 1600N  