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Aplicaciones de la_integral_doble

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  1. 1. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 75 3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y para las integrales triples. 3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. 3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco de la integral doble de una función f positiva en una región bidimensional D, ( )D f x,y dA∫∫ , como el volumen del sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora, si se considera que ( ), 1f x y = , entonces la integral anterior queda como: ( )D D f x,y dA dA=∫∫ ∫∫ (III.1) Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene que: 0 1 1 n m ijD P i j dA Lim A → = = = ∆∑∑∫∫ (III.2) Recuerde que la integral doble ( )D f x,y dA∫∫ , también puede escribirse como ( )0 1 1 n m * * i j ij P i j Lim f x ,y A → = = ∆∑∑
  2. 2. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 76 donde ijA∆ es el área del rectángulo genérico denotado ijD , el cual puede observarse en la figura 3.1 D a = x0 y x xi xn= bxi-1 c = y0 d = ym yj-1 yj yj xi (xi * ,yj * ) Dij Figura 3.1 Región D dividida en subrectángulos ijD En otras palabras, la integral D dA∫∫ representa el volumen de un sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas características, el volumen se obtiene como el producto del área de la base y la altura del mismo. A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una región plana. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA Sea D una región bidimensional D , tal que 2 D ⊆ . Sea A el área de la región D , entonces: D A dxdy= ∫∫ (III.3)
  3. 3. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 77 Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior queda como: ( ) ( ) [ ] ( ) ( )b g x b g x f xa f x a A dydx y dx= =∫ ∫ ∫ (III.3) ( ) ( ) b a A g x f x dx= −  ∫ (III.4) Donde la última integral, representa el área comprendida entre las gráficas de ( )y f x= y ( )y g x= en el intervalo cerrado [ ]a,b . Esta integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro de las aplicaciones de la integral definida. Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales dobles: D dxdy∫∫ y D dydx∫∫ , ( ){ }2 2 2 4D x,y x y y x y= ≥ − ∧ ≤ − Solución: La región D se encuentra acotada por las gráficas de las parábolas horizontales 2 2x y y= − y 2 4x y= − , tal como se puede observar en la siguiente figura. Figura 3.2 Región D del ejemplo 3.2 EJEMPLO 3.1 Recuerde que la gráfica de la ecuación: 2 x ay by c= + + Es una parábola horizontal Recuerde que una región D es de tipo 1 si se cumple: ( ) ( ) ( ) x,y a x b D f x y g x  ≤ ≤ ∧  =   ≤ ≤   2 4x y= − 2 2x y y= − D
  4. 4. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 78 a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble D dxdy∫∫ , es necesario definir los límites de integración, que se ilustran en la figura 3.3 Figura 3.3 Región D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2 Por tanto el área se obtiene como: 2 2 2 4 2 2 1 2 1 4 2 2 9 y y y A dxdy y y dy − − − −  = = − + = ∫ ∫ ∫ 9 D A dxdy= =∫∫ b) Cuando se desea calcular el área D con el orden de integración inverso, esto es D A dydx= ∫∫ , entonces, se necesita conocer las ecuaciones de las curvas en función de la variable x y además identificar los límites de integración, que a continuación se muestran en la figura 3.4 Observe que la región D es una región tipo 2, por lo cual el área se obtiene empleando una sola integral doble de la forma D dxdy∫∫ . Para la primera curva: 2 2x y y= − Se tiene que: 1 1y x= ± + Para la segunda curva: 2 4x y= − entonces: 4y x= ± − Valor de x a la salida de D 2 4x y= − D Valor de x a la entrada de D 2 2x y y= −
  5. 5. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 79 Figura 3.4 Región D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1 Entonces 1 2 3D D D D= ∪ ∪ , donde: ( ){ } ( ){ } ( ){ } 1 2 3 1 0 1 1 1 1 0 3 1 1 4 3 4 4 4 D x,y x x y x D x,y x x y x D x,y x x y x = − ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ + + = ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ − = ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ − Así: 1 2 3D D D A dydx dydx dydx= + +∫∫ ∫∫ ∫∫ 0 1 1 3 4 4 4 1 1 1 0 1 1 3 4 x x x x x x A dydx dydx dydx + + − − − − + − + − − = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 0 3 4 1 0 3 2 1 4 1 1 2 4A xdx x x dx xdx − = + + − − + + + −∫ ∫ ∫ 4 19 4 9 3 3 3 A = + + = 9 D A dydx= =∫∫ En este caso, la región D queda dividida en tres regiones tipo 1, identificadas como: D1, D2 y D3.. Al comparar los dos cálculos de área de la región D del ejemplo 3.1, resulta mucho más sencillo emplear la integral D dxdy∫∫ que con el orden inverso. Valor de y a la salida de D1 1 1y x= + + D2 Valor de y a la entrada de D1 1 1y x= − + D3 D1 Valor de y a la salida de D2 4y x= − Valor de y a la salida de D 3 4y x= − Valor de y a la entrada de D2 1 1y x= − + Valor de y a la entrada de D3 4y x= − − 3x = 0x =
  6. 6. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 80 Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la limitan y calcule su área empleando las integrales dobles: D dxdy∫∫ y D dydx∫∫ . Figura 3.5 Región D del ejemplo 3.2 Solución: Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son: 1 16 20C : y x= + 2 2 20C : y x= − + y 2 3 4C : y x= a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral doble D dxdy∫∫ , se necesita saber que valor toma la variable x a la entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar estos valores. EJEMPLO 3.2 Las ecuaciones de las curvas en función de la variable y son: 1 20 16 y C : x − = 2 20 2 y C : x − = 1 2 y C : x = ± C1 D C3 C2
  7. 7. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 81 Figura 3.6 Región D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2 Como 1 2 3D D D D= ∪ ∪ , entonces: 1 2 3D D D A dxdy dxdy dxdy= + +∫∫ ∫∫ ∫∫ donde: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 0 4 2 2 20 4 16 16 2 20 20 16 20 16 2 y y D x,y x y yy D x,y x y y y D x,y x y    = − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤      −  = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤     − −  = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤    20 4 16 20 2 2 2 20 20 0 4 16 16 162 y y y y yy A dxdy dxdy dxdy − − − − = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 16 20 0 4 16 20 45 9 2 16 4 16 y y y A ydy dy dy  −   = + − + −        ∫ ∫ ∫ 16 157 9 36 3 6 2 A = + + = La región D no es una región tipo 2, sin embargo se puede dividir en tres regiones: D1, D2 y D3., que sí lo son. Por esta razón, para resolver la integral doble D dxdy∫∫ se debe emplear la propiedad aditiva respecto a la región de integración. Valor de x a la salida de D3 20 2 y x − =D3 Valor de x a la entrada de D3 20 16 y x − = Valor de x a la salida de D2 2 y x = D2 Valor de x a la entrada de D2 20 16 y x − = Valor de x a la salida de D1 2 y x = D1 Valor de x a la entrada de D1 2 y x = − 4y = 16y =
  8. 8. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 82 36 D A dxdy= =∫∫ b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la integral interna de D A dydx= ∫∫ . Figura 3.7 Región D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1 Luego: 1 2D D A dydx dydx= +∫∫ ∫∫ , donde: ( ){ } ( ){ } 2 1 2 2 1 0 4 16 20 0 2 4 2 20 D x,y x x y x D x,y x x y x = − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ + = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − + 2 2 0 16 20 2 2 20 1 4 0 4 x x x x A dydx dydx + − + − = +∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 0 2 2 2 1 0 32 76 16 20 4 2 20 4 36 3 3 A x x dx x x dx − = + − + − + − = + =∫ ∫ 36 D A dydx= =∫∫ La región D puede dividirse en dos regiones tipo 1, identificadas como: D1 y D2 ; es decir: 1 2D D D= ∪ D2 D1 Valor de y a la salida de D1 16 20y x= + Valor de y a la salida de D2 2 20y x= − + Valor de y a la entrada de D1 2 4y x= Valor de y a la entrada de D2 2 4y x= 0x =
  9. 9. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 83 Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre dos círculos concéntricos de radios 2 y 4. Solución: Considere una corona circular con centro en el origen del sistema de coordenadas tal como se observa a continuación. Figura 3.8 Región D del ejemplo 3.3 Como D A dydx= ∫∫ y la región D es simétrica respecto al origen, entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará 1 1 D A dydx= ∫∫ , donde 1A es el área de la región D que se encuentra en el primer cuadrante, denotada como 1D , de manera que: 14A A= La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9. La región D planteada en el ejemplo 3.3 recibe el nombre de corona circular, y su área es: ( )2 2 A R rπ= − donde R: Radio externo r: radio interno EJEMPLO 3.3 D 2 2 16x y+ = 2 2 4x y+ =
  10. 10. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 84 Figura 3.9 Región 1D del ejemplo 3.3 Luego: 1. 1. 1 A BD D A dydx dydx= +∫∫ ∫∫ , donde: ( ){ } ( ){ } 2 2 1 2 1 0 2 4 16 2 4 0 16 .A .B D x,y x x y x D x,y x y x = ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ − = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − 2 2 2 2 16 4 16 1 0 4 2 0 x x x A dydx dydx − − − = +∫ ∫ ∫ ∫ ( )2 4 2 2 2 1 0 2 16 4 16A x x dx x dx= − − − + −∫ ∫ 1 8 2 3 2 3 3 3 3 A π π π     = + + − + =        12 D A dydx π= =∫∫ Valor de y a la salida de D1.A 2 16y x= − Valor de y a la entrada de D1.A 2 4y x= − D1.A 2x = D1.B Valor de y a la salida de D1.B 2 16y x= − Valor de y a la entrada de D1.B 0y = Para calcular el área de la región D1, se puede dividirla en dos regiones tipo 1: 1 1 1.A .BD D D= ∪
  11. 11. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 85 3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral ( )D f x,y dA∫∫ representa el volumen del sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral doble también puede emplearse para determinar el volumen de un sólido más general. Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 2 2 2z x y= + y 2 2 20z x y= − − y plantear su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la superficie superior es 2 2 20z x y= − − y la superficie inferior viene dada por la ecuación 2 2 2z x y= + . VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sean 2 :f → y 2 :g → dos funciones reales, continuas en una región bidimensional D , tales que ( ) ( ), ,f x y g x y≤ ( ),x y D∀ ∈ . Sea V el volumen del sólido acotado superiormente por la gráfica de la función g y acotado inferiormente por la gráfica de la función f, entonces: ( ) ( ), , D V g x y f x y dA= −  ∫∫ (III.5) EJEMPLO 3.4
  12. 12. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 86 Figura 3.10 Sólido S del ejemplo 3.4 El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene mediante la integral doble: 2 2 2 2 20 2 D V x y x y dA = − − − +  ∫∫ donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos superficies: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 20 z x y x y x y z x y  = + ⇒ + = − − = − − ( )2 2 2 2 2 2 4 20 4x y x y x y+ = − − ⇒ + = Entonces: ( ){ }2 2 , 4D x y x y= + ≤ La superficie definida por la ecuación: 2 2 20z x y= − − Es una semiesfera (parte superior). La superficie definida por la ecuación: 2 2 2z x y= + Es un cono . S Valor de z a la salida de S 2 2 20z x y= − − Valor de z a la entrada de S 2 2 2z x y= +
  13. 13. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 87 Figura 3.11 Región D del ejemplo 3.4 Es decir, ( ){ }2 2 , 2 2 4 4D x y x x y x= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − Volviendo a la integral de volumen, se tiene que: 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 20 2 x x V x y x y dydx − − − −  = − − − +  ∫ ∫ Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software matemático: 2 2 2 2 20 2 19,77678464 D V x y x y dA = − − − + =  ∫∫ Valor de y a la salida de D 2 4y x= − Valor de y a la entrada de D 2 4y x= − − D Donde D es una región tipo 1 y también tipo 2, pero en este ejemplo se trabaja como una región tipo 1. En el siguiente capítulo, se mostrará como resolver una integral de este tipo, empleando un cambio de variable apropiado.
  14. 14. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 88 Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 4z xy= + y 1z = y dentro del cilindro 2 2 1x y+ ≤ , calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las superficies 4z xy= + y 1z = y dentro del cilindro 2 2 1x y+ ≤ . Figura 3.12 Sólido S del ejemplo 3.5 El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble: [ ] [ ]4 1 3 D D V xy dA xy dA= + − = +∫∫ ∫∫ donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, se observa en la figura 3.13 EJEMPLO 3.5 S 2 2 1x y+ = Valor de z a la salida de S 4z xy= + Valor de z a la entrada de S 1z =
  15. 15. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 89 Figura 3.13 Región D del ejemplo 3.5 En este caso, la región D se define como: ( ){ }2 2 , 1 1 1 1D x y y x y y= − − ≤ ≤ − − ≤ ≤ Por lo tanto la integral de volumen queda como: [ ] 2 2 1 1 1 2 1 1 1 3 6 1 3 y y V xy dxdy y dy π − − − − − = + = − =∫ ∫ ∫ [ ]3 3 D V xy dA π= + =∫∫ Dibuje el sólido S acotado por 3 3 1z x y xy= + + , 0z = , 3 y x x= − y 2 y x x= + y calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por 3 3 1z x y xy= + + e inferiormente por 0z = ; mientras que las superficies 3 y x x= − y 2 y x x= + definen las paredes de dicho cuerpo tridimensional. EJEMPLO 3.6 Valor de x a la salida de D 2 1x y= − Valor de x a la entrada de D 2 1x y= − − D En este ejemplo, la región D es de tipo 1 y también tipo 2, pero se trabaja como una región tipo 2.
  16. 16. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 90 Figura 3.14 Sólido S del ejemplo 3.6 Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como: 3 3 3 3 1 0 1 D D V x y xy dA x y xy dA   = + + − = + +   ∫∫ ∫∫ Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15 Figura 3.15 Región D del ejemplo 3.6 Valor de y a la salida de D 3 y x x= − Valor de y a la entrada de D 2 y x x= + D En la figura 3.15, se observa que la región D del ejemplo 3.6 es una región de tipo 1. S Valor de z a la salida de S 3 3 1z x y xy= + + Valor de z a la entrada de S 0z =
  17. 17. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 91 Por lo tanto, la región D se define como: ( ){ }2 3 , 1 0D x y x x x y x x= − ≤ ≤ + ≤ ≤ − La integral de volumen queda como: 3 2 0 3 3 1 1 x x x x V x y xy dydx − +−  = + + ∫ ∫ 13 9 0 11 8 7 6 3 2 1 7 517 4 2 2 4 4 1260 x x V x x x x x x x dx −   = − + − − − + − − =    ∫ 3 3 517 1 1260D V x y xy dA = + + = ∫∫ 3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA A continuación, se explica como determinar la masa de una figura plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en cada punto ( )x,y D∈ . Figura 3.16 Región D no homogénea La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región D . En la figura 3.16 la región D es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme. Adicionalmente: ( ) ( )0x,y x,y Dρ = ∀ ∉
  18. 18. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 92 Si se escoge un punto arbitrario ( )* * i j ijx ,y D∈ , entonces la masa de este subrectángulo, denotada como ijm , se obtiene como: ( )* * ,ij i j ijm x y Aρ= ∆ (III.6) Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede estimar mediante la doble suma de Riemann: ( )* * 1 1 , n m i j ij i j m x y Aρ = = ≈ ∆∑∑ (III.7) Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la norma de la partición P tienda a cero, se tiene: ( )* * 0 1 1 , n m i j ij P i j m Lim x y Aρ → = = = ∆∑∑ (III.8) ( ) ( )* * 0 1 1 , , n m i j ij DP i j m Lim x y A x y dAρ ρ → = = = ∆ =∑∑ ∫∫ (III.9) Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene mediante: MASA DE UNA FIGURA PLANA Considere una lámina plana de densidad variable ( )x,yρ , que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa, denotada m , se obtiene como: ( ), D m x y dAρ= ∫∫ (III.10) El cálculo de masa de una región D , también puede emplearse para calcular la carga eléctrica, Q, distribuida sobre una región D . ( ), D Q x y dAσ= ∫∫ Donde σ es la función densidad de carga.
  19. 19. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 93 Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas 2 1x y= − y 2 2 2x y= − , cuya densidad es igual a la unidad. Solución: Recuerde que la densidad se calcula como ( ), D m x y dAρ= ∫∫ , por lo tanto para esta placa se tiene: D m dA= ∫∫ Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de integración. Figura 3.17 Región D del ejemplo 3.7 Entonces la región D está definida como: ( ){ }2 2 2 2 1 1 1D x,y y x y y= − ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤ Por lo tanto: ( ) 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 4 1 3 y y m dxdy y dy − − − − = = − =∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 1 2 2 4 3 y y m dxdy − − − = =∫ ∫ EJEMPLO 3.7 Valor de x a la salida de D 2 1x y= − Valor de x a la entrada de D 2 2 2x y= − D
  20. 20. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 94 Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas 23 6 4 2 y x x= − + y 2 2y x= − , cuya densidad varía de acuerdo a la función ( ) 1 2x,y xρ = + . Solución: El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble ( ), D m x y dAρ= ∫∫ , por lo tanto: ( )1 2 D m x dA= +∫∫ A continuación se muestra la región D. Figura 3.18 Región D del ejemplo 3.8 Entonces: ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 D D D m x dA x dA x dA= + = + + +∫∫ ∫∫ ∫∫ Donde ( ) ( ) 2 1 2 2 3 0 2 6 4 2 4 2 3 2 4 6 4 2 4 2 D x,y x x x y x D x,y x x x y x   = ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ − +      = ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ −    Según la definición del valor absoluto 2 2 0 2 2 2 0 x si x x x si x − − ≥  − =   − − < entonces 2 4 2 4 2 2 x si x y x si x − ≥  =   − < EJEMPLO 3.8 La región D debe dividirse en dos regiones tipo 1, tal que: 1 2D D D= ∪ D 2 4y x= − 23 6 4 2 y x x= − + 2 4y x= − +
  21. 21. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 95 En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener la masa de la placa con la forma de la región D. Figura 3.19 Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1 Entonces: ( ) ( )2 2 2 4 2 4 2 4 3 3 0 6 4 2 6 4 2 2 1 2 1 2 x x x x x x m x dydx x dydx − − − + − + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ 2 4 3 2 3 2 0 2 13 29 3 4 8 3 8 2 2 m x x x dx x x x dx     = − + + + − − + −        ∫ ∫ 40 80 40 3 3 m = + = ( )1 2 40 D m x dA= + =∫∫ D1 D2 Valor de y a la salida de D1 4 2y x= − Valor de y a la salida de D 2 2 4y x= − Valor de y a la entrada de D1 23 6 4 2 y x x= − + Valor de y a la entrada de D2 23 6 4 2 y x x= − + 2x =
  22. 22. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 96 3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS El momento estático de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y la distancia que la separa de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes coordenados. Considere una lámina o placa plana D , dividida en subrectángulos ijD , tal como se muestra en la siguiente figura: Figura 3.20 Región general D no homogénea Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada subrectángulo ijD , denotado como ijxM , viene dado por: ( )* * * ,ijx j i j ijM y x y Aρ= ∆ (III.11) Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada subrectángulo, se tiene que: ( )* * * 1 1 , n m x j i j ij i j M y x y Aρ = = ≈ ∆∑∑ (III.13) Los momentos estáticos son momentos de “equilibrio”. xM es una medida de la tendencia a girar en torno al eje x, análogamente, yM es una medida de la tendencia a girar alrededor del eje y.
  23. 23. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 97 Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta en la expresión anterior: ( )* * * 0 1 1 , n m x j i j ij P i j M Lim y x y Aρ → = = = ∆∑∑ (III.14) ( ) ( )* * * 0 1 1 , , n m x j i j ij DP i j M Lim y x y A y x y dAρ ρ → = = = ∆ =∑∑ ∫∫ (III.15) Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se denota yM , se obtiene como: ( ) ( )* * * 0 1 1 , , n m y i i j ij DP i j M Lim x x y A x x y dAρ ρ → = = = ∆ =∑∑ ∫∫ (III.16) MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función 2 :ρ → , la cual es continua ( )x,y D∀ ∈ , entonces el momento estático alrededor del eje x, denotado xM , se obtiene como: ( ),x D M y x y dAρ= ∫∫ (III.17) Mientras que el momento estático alrededor del eje y, denotado yM , se calcula como: ( ),y D M x x y dAρ= ∫∫ (III.18)
  24. 24. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 98 Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7. Solución: Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera: ( ),x D M y x y dAρ= ∫∫ y ( ),y D M x x y dAρ= ∫∫ . Entonces: ( ) 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 0 y x y M ydxdy y y dy − − − − = = − =∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 1 4 2 1 2 2 1 3 3 8 3 2 2 5 y y y M xdxdy y y dy − − − −   = = − − + = −    ∫ ∫ ∫ Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma de la región D del ejemplo 3.7 son: 0 8 5 x D y D M ydA M xdA = = = = − ∫∫ ∫∫ Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8. Solución: Los momentos estáticos se calculan como: ( ),x D M y x y dAρ= ∫∫ y ( ),y D M x x y dAρ= ∫∫ . ( ) ( )2 2 2 4 2 4 2 4 3 3 0 6 4 2 6 4 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x M y x dydx y x dydx − − − + − + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ 2 5 4 3 2 0 4 5 4 3 2 2 9 135 35 10 16 4 8 9 135 35 10 16 4 8 xM x x x x x dx x x x x x dx   = − + − + + +      + − + − + +    ∫ ∫ EJEMPLO 3.9 EJEMPLO 3.10 La región del ejemplo 3.7 se muestra a continuación Y se encuentra acotada por las curvas 2 1x y= − y 2 2 2x y= − . La densidad es : ( ) 1x,yρ = ( ) 2 2 2 2 1 1 1 x,y y x y D y  − ≤ ≤ − ∧  =   − ≤ ≤   La región del ejemplo 3.8 se muestra a continuación La densidad: ( ) 1 2x,y xρ = + Donde 1 2D D D= ∪ ( ) ( ) 1 2 2 2 0 2 3 6 4 2 4 2 2 4 3 6 4 2 4 2 x,y x D x x y x x,y x D x x y x  ≤ ≤ ∧   =   − + ≤ ≤ − +     ≤ ≤ ∧   =   − + ≤ ≤ −   
  25. 25. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 99 8 56 64 3 3 3 xM = + = Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene: ( ) ( )2 2 2 4 2 4 2 4 3 3 0 6 4 2 6 4 2 2 1 2 1 2 x x y x x x x M x x dydx x x dydx − − − + − + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ 262 1162 1424 15 15 15 yM = + = Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que: ( ) ( ) 64 1 2 3 1424 1 2 15 x D y D M y x dA M x x dA = + = = + = ∫∫ ∫∫ 3.1.5. CENTRO DE MASA El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de coordenadas ( )x,y D∈ , en el cual la región se equilibra horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones: yM x m = (III.19) xM y m = (III.20) Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos estáticos se calculan por medio de integrales dobles. El centro de gravedad también es llamado centro de masa. El significado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto. El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante.
  26. 26. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 100 Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7. Solución: El centro de masa es un punto ( )P x,y D∈ , tal que sus coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19 y III.20 8 65 4 5 3 yM x m = = − = − 0 0 4 3 xM y m = = = CENTRO DE MASA Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función 2 :ρ → , la cual es continua ( )x,y D∀ ∈ , entonces el centro de gravedad viene dado por: ( ) 1 , D x x x y dA m ρ= ∫∫ (III.21) ( ) 1 , D y y x y dA m ρ= ∫∫ (III.22) Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como ( ), D x y dAρ∫∫ . La región del ejemplo 3.7 está acotada por las curvas 2 1x y= − y 2 2 2x y= − . Su densidad es : ( ) 1x,yρ = Y adicionalmente se obtuvo: 2 2 1 1 1 2 2 4 3 y y m dxdy − − − = =∫ ∫ 0 8 5 x D y D M ydA M xdA = = = = − ∫∫ ∫∫ EJEMPLO 3.11
  27. 27. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 101 Entonces: ( ) 6 , ,0 5 P x y   = −    En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad de la placa D descrita en el ejemplo 3.7 Figura 3.21 Centro de masa de la región D del ejemplo 3.7 Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8. Solución: Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en las ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de masa, se tiene: 1424 17815 40 75 yM x m = = = EJEMPLO 3.12 La región D del ejemplo 3.8, tiene una densidad que varía según: ( ) 1 2x,y xρ = + En los ejemplos 3.8 y 3.10, se obtuvo: ( )1 2 40 D m x dA= + =∫∫ ( ) ( ) 64 1 2 3 1424 1 2 15 x D y D M y x dA M x x dA = + = = + = ∫∫ ∫∫ 6 0 5 ,   −    D
  28. 28. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 102 64 83 40 15 xM y m = = = Luego: ( ) 178 8 , , 75 15 P x y   =     En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa: Figura 3.22 Centro de masa de la región D del ejemplo 3.8 3.1.6. MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia que la separa de ese eje y se considera como una medida de la oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de rotación. Los segundos momentos más importantes son los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del origen. Los momentos de inercia también son llamados segundos momentos. Los momentos de inercia son momentos de “giro”. 178 8 75 15 ,       D
  29. 29. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 103 El procedimiento para obtener estos momentos como integrales dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos, por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al eje x, denotado xI , se calcula como: ( ) ( ) ( ) 2* * * 2 0 1 1 , , n m x j i j ij DP i j I Lim y x y A y x y dAρ ρ → = = = ∆ =∑∑ ∫∫ (III.23) Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se denota como yI y se obtiene como: ( ) ( ) ( ) 2* * * 2 0 1 1 , , n m y i i j ij DP i j I Lim x x y A x x y dAρ ρ → = = = ∆ =∑∑ ∫∫ (III.24) La suma de estos dos momentos se conoce como momento de inercia alrededor del origen, 0I , donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2* * * * 2 2 0 0 1 1 , , n m i j i j ij DP i j I Lim x y x y A x y x y dAρ ρ → = =  = + ∆ = +  ∑∑ ∫∫ (III.25) MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función 2 :ρ → , la cual es continua ( )x,y D∀ ∈ , entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y, denotados xI e yI , se obtienen como: ( )2 ,x D I y x y dAρ= ∫∫ (III.26) ( )2 ,y D I x x y dAρ= ∫∫ (III.27) El momento polar de inercia, 0I , es: ( ) ( )2 2 0 , D I x y x y dAρ= +∫∫ (III.28) El momento de inercia alrededor del origen también es conocido como momento polar de inercia. 0 x yI I I= + En las ecuaciones III.23 y III.24, el cuadrado de x o de y recibe el nombre de brazo de palanca.
  30. 30. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 104 Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7. Solución: Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se calculan de la siguiente manera: ( )2 ,x D I y x y dAρ= ∫∫ , ( )2 ,y D I x x y dAρ= ∫∫ y ( ) ( )2 2 0 , D I x y x y dAρ= +∫∫ . ( ) 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 4 1 15 y x y I y dxdy y y dy − − − − = = − =∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 1 2 6 4 2 1 2 2 1 7 7 32 7 2 3 3 15 y y y I x dxdy y y y dy − − − −   = = − + − =    ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 1 2 2 6 4 2 0 1 2 2 1 7 7 12 6 6 3 3 5 y y I x y dxdy y y y dy − − − −   = + = − + − =    ∫ ∫ ∫ Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir de: 0 4 32 36 12 15 15 15 5 x yI I I= + = + = = Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en el ejemplo3.7 son: ( ) 2 2 2 2 0 4 15 32 15 12 5 x D y D D I y dA I x dA I x y dA = = = = = + = ∫∫ ∫∫ ∫∫ La gráfica de la región D del ejemplo 3.7 se muestra a continuación: Cuya densidad es : ( ) 1x,yρ = ( ) 2 2 2 2 1 1 1 x,y y x y D y  − ≤ ≤ − ∧  =   − ≤ ≤   EJEMPLO 3.13
  31. 31. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 105 Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8. Solución: Calculando el momento de inercia respecto al eje x, se tiene: ( ) ( )2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 3 3 0 6 4 2 6 4 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x I y x dydx y x dydx − − − + − + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 0 3 4 3 2 2 1 2 3 4 2 6 4 3 2 1 2 3 2 4 6 4 3 2 x x I x x x dx x x x x dx  +   = − − − + +        +   + − − − +       ∫ ∫ 712 2168 576 35 35 7 xI = + = Calculando el momento inercia respecto al eje y se tiene: ( ) ( )2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 3 3 0 6 4 2 6 4 2 2 1 2 1 2 x x y x x x x I x x dydx x x dydx − − − + − + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ 2 4 5 4 3 5 4 3 2 0 2 13 29 3 4 3 8 8 2 2 yI x x x dx x x x x dx     = − + + + − + − −        ∫ ∫ 128 3472 3856 5 15 15 yI = + = El momento polar de inercia puede obtenerse como: ( )( ) ( )( )2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2 3 30 0 6 4 2 6 4 2 2 1 2 1 2 x x x x x x I x y x dydx x y x dydx − − − + − + = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ O también como: 0 576 3856 35632 7 15 105 x yI I I= + = + = ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 0 576 1 2 7 3856 1 2 15 35632 1 2 105 x D y D D I y x dA I x x dA I x y x dA = + = = + = = + + = ∫∫ ∫∫ ∫∫ EJEMPLO 3.14 La gráfica de la región D del ejemplo 3.8 se observa a continuación: Cuya densidad vienen dada por: ( ) 1 2x,y xρ = + Donde 1 2D D D= ∪ ( ) ( ) 1 2 2 2 0 2 3 6 4 2 4 2 2 4 3 6 4 2 4 2 x,y x D x x y x x,y x D x x y x  ≤ ≤ ∧   =   − + ≤ ≤ − +     ≤ ≤ ∧   =   − + ≤ ≤ −   
  32. 32. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 106 3.2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se presentan de una vez con la integral triple correspondiente para cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de cuerpos en el espacio. 3.2.1.VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO En el capítulo 2 se definió la integral triple de una función f sobre una región tridimensional B , ( )B f x,y,z dV∫∫∫ , como el límite de una triple suma de Riemann , ( )0 1 1 1 n m l * * * i j k ijk P i j k Lim f x ,y ,z V → = = = ∆∑∑∑ . Si la función f es igual a la unidad; es decir, ( ) 1f x,y,z = , entonces, la integral triple representa el volumen V del sólido B , resultando la siguiente integral: B V dV= ∫∫∫ (III.29) VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sea B una región tridimensional, entonces su volumen, denotado como V , se obtiene como B V dV= ∫∫∫ (III.30)
  33. 33. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 107 Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies: 0x = , y x= , 2y x= − , 1z = y 2 2 5z x y= − − . Solución: Para calcular el volumen del sólido B, se emplea la integral triple B dV∫∫∫ . En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B acotado por las superficies mencionadas en el ejemplo 3.15 y adicionalmente se señalan los valores que toma la variable z a la entrada y la salida del recinto B. Figura 3.23 Sólido B del ejemplo 3.15 Por lo tanto el volumen se obtiene como: 2 2 5 1 x y D V dzdA − − = ∫∫ ∫ Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha proyección se muestra en la figura 3.24. EJEMPLO 3.15 B 2y x= − y x= Valor de z a la salida de B 2 2 5z x y= − − Valor de z a la entrada de B 1z =
  34. 34. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 108 Figura 3.24 Proyección del sólido B del ejemplo 3.15 en el plano xy Entonces la región D, está definida como: ( ){ }0 1 2D x,y x x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − Luego: ( ) 2 2 1 2 5 1 2 2 2 0 1 0 4 x x y x x x V dzdydx x y dydx − − − − = = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 2 0 16 8 8 4 4 3 3 3 V x x x dx   = + − − =    ∫ 8 3B V dV= =∫∫∫ Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies: 4y = , 2 y x= , 0z = y 4z y= − . Solución: El cálculo de volumen del sólido B, se realiza por medio de la integral triple B dV∫∫∫ . En la figura 3.25 se ilustra el sólido B de este ejemplo. Adicionalmente se muestran los valores de la variable z a la entrada y la salida del recinto B. La región D del ejemplo 3.15 es una región tipo 1 D Valor de y a la salida de D 2y x= − Valor de y a la entrada de D y x= EJEMPLO 3.16
  35. 35. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 109 Figura 3.25 Sólido B del ejemplo 3.16 Por lo tanto el volumen se obtiene como: 4 0 y D V dzdA − = ∫∫ ∫ Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Esta proyección se observa en la figura 3.26. Figura 3.26 Proyección del sólido B del ejemplo 3.16 en el plano xy B Valor de z a la salida de B 4z y= − Valor de z a la entrada de B 0z = La región D del ejemplo 3.16 es una región tipo 1 D Valor de y a la salida de D 4y = Valor de y a la entrada de D 2 y x=
  36. 36. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 110 La región D, del ejemplo 3.16 está definida como: ( ){ }2 2 2 4D x,y x x y= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ Luego: ( )2 2 4 2 4 4 2 4 2 2 2 0 2 2 256 4 8 4 2 15 y x x x V dzdydx y dydx x dx − − − −   = = − = − + =    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 256 15B V dV= =∫∫∫ Plantear mediante integrales triples el volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4. Solución: Sea B el sólido mencionado en el ejemplo 3.17. En la figura 3.27 se ilustran las dos esferas concéntricas de radios 1 y 4. Figura 3.27 Sólido B del ejemplo 3.17 EJEMPLO 3.17 B 2 2 2 16x y z+ + = 2 2 2 1x y z+ + = La región tridimensional comprendida entre las dos esferas concéntricas es simétrica respecto al origen, razón por la cual, dicha región se divide en 8 partes correspondientes a cada cuadrante.
  37. 37. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 111 A continuación se muestra la porción del sólido B que se encuentra en el primer octante, el cual se denomina como B1. También se muestran los valores de la variable z a la entrada y la salida del recinto B1. Figura 3.28 Sólido 1B del ejemplo 3.17 Entonces: 1 8 B B V dV dV= =∫∫∫ ∫∫∫ Como el valor de la variable z cambia a la entrada del sólido B1, entonces se debe emplear la propiedad aditiva respecto a la región de integración, por lo cual: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 16 16 0 1 8 8 x y x y B D D x y V dV dzdA dzdA − − − − − −   = = +    ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ Donde D1 y D2 son las regiones bidimensionales que se obtienen al proyectar el sólido B1 sobre el plano xy. En la figura 3.29 se aprecia dicha proyección. Valor de z a la salida de B1 2 2 16z x y= − − Valor de z a la entrada de B1 0z = B1 Valor de z a la salida de B1 2 2 16z x y= − − Valor de z a la entrada de B1 2 2 1z x y= − − Figura 3.29 Proyección del sólido B1 sobre el plano xy D1 D2
  38. 38. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 112 Figura 3.30 Región 1D del ejemplo 3.17 Entonces, la región D1 viene dada por la unión de las regiones: ( ){ } ( ){ } 2 2 1 1 2 1 2 0 1 1 16 1 4 0 16 . . D x,y x x y x D x,y x y x = ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ − = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − Figura 3.31 Región 2D del ejemplo 3.17 La región bidimensional D1 se divide en dos regiones tipo 1; es decir: 1 1.1 1.2D D D= ∪ D1.1 D1.2 Valor de y a la salida de D1.1 2 16y x= − Valor de y a la salida de D1.2 2 16y x= − Valor de y a la entrada de D1.1 2 1y x= − Valor de y a la entrada de D1.2 0y = 1x = D2 Valor de y a la salida de D2 2 1y x= − Valor de y a la entrada de D2 0y = La región bidimensional D2 es una región tipo 1.
  39. 39. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 113 Con base a la figura 3.31, se tiene que: ( ){ }2 2 0 1 0 1D x,y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − Por lo tanto, las integrales triples que permiten calcular el volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4 son: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 16 16 4 16 16 0 1 0 1 0 0 1 1 16 0 0 1 8 8 8 x x y x x y x x x y x y V dzdydx dzdydx dzdydx − − − − − − − − − − − − = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3.2.2.MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Considere una región tridimesional B , no homogénea, esto es que su densidad ρ varía en cada punto ( )x,y,z B∈ , donde la función densidad está expresada en unidades de masa por unidad de volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la función densidad sobre la región B, tal como se define a continuación: MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Considere un cuerpo tridimensional B de densidad variable ( )x,y,zρ , entonces su masa, denotada m , se obtiene como: ( ), , B m x y z dVρ= ∫∫∫ (III.31) Resolver estas integrales es un proceso bastante laborioso; sin embargo con un software matemático se puede obtener que el volumen planteado en el ejemplo 3.17 es: ( )8 32.98672287V =
  40. 40. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 114 Calcular la masa del sólido comprendido entre los planos: 0z = y 1z y= − y dentro de la superficie definida por la ecuación 2 2 4 4x y+ = , cuya densidad viene dada por ( ), , 2x y z zρ = Solución: El sólido B del ejemplo 3.18 se muestra en la figura 3.32, también se muestran los valores que toma la variable z a la entrada y salida de la región B. Figura 3.32 Sólido B del ejemplo 3.17 Para calcular la masa del sólido mostrado en la figura anterior, se emplea la ecuación III.31, donde al sustituir el primer orden de integración y la función densidad, se obtiene: 1 0 2 y D m zdzdA − = ∫∫ ∫ donde D es la proyección del sólido B en el plano xy. Esta proyección, junto con el segundo orden de integración se ilustra en la figura 3.33 EJEMPLO 3.18 B Valor de z a la salida de B 1z y= − Valor de z a la entrada de B 0z =
  41. 41. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 115 Figura 3.33 Región D del ejemplo 3.18 La región D está definida como: ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 x x D x,y x y  − −  = − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤     Volviendo al cálculo de la masa: ( ) 2 2 2 2 4 4 2 1 2 22 2 4 42 0 2 2 2 2 1 x x y x x m zdzdydx y dydx − − − − −− −− − = = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 2 2 2 2 1 4 4 5 1 1 3 2 2 2 x x m dx π −     − − = + − − =             ∫ 5 2 2B m zdV π = =∫∫∫ Calcular la masa del sólido comprendido entre los paraboloides 2 2 4 4z x y= + y 2 2 8 4 4z x y= − − , cuya densidad viene dada por ( ), , 1x y z x y zρ = + + + . EJEMPLO 3.19 D Valor de y a la salida de D 2 4 2 x y − = Valor de y a la entrada de D 2 4 2 x y − = − La gráfica de la ecuación: 2 2 4 4x y+ = Es una elipse horizontal. La región bidimensional D del ejemplo 3.18 es una región tipo 1 y también una región tipo 2.
  42. 42. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 116 Solución: En la figura 3.34, se muestra el sólido B del ejemplo 3.19 y también los valores que toma la variable z a la entrada y salida de la región B, los cuales permiten establecer los límites para la primera integración parcial. Figura 3.34 Sólido B del ejemplo 3.19 Por lo tanto, la masa se obtiene como: ( ) 2 2 2 2 8 4 4 4 4 1 x y D x y m x y z dzdA − − + = + + +∫∫ ∫ siendo D la proyección del sólido B en el plano xy. Para determinar la ecuación de la curva que delimita a esta región D, es necesario resolver el siguiente sistema: 2 2 2 2 4 4 8 4 4 z x y z x y  = +  = − − Sumando ambas ecuaciones se tiene que 4z = B Valor de z a la salida de B 2 2 8 4 4z x y= − − Valor de z a la entrada de B 2 2 4 4z x y= +
  43. 43. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 117 Sustituyendo el valor de z en la primera ecuación del sistema, se obtiene la ecuación 2 2 1x y+ = . Figura 3.35 Región D del ejemplo 3.19 La región D queda definida como: ( ){ }2 2 1 1 1 1D x,y x x y x= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ − Luego, la masa se obtiene mediante la integral triple ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 8 4 4 1 1 4 4 1 x x y x x y m x y z dzdydx − − − − − − + = + + +∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 3 2 2 2 2 3 1 1 40 8 40 8 8 8 8 40 8 x x m x x x xy x y y y y dydx − − − − = − − + − − + − −∫ ∫ 1 2 2 2 2 3 2 1 160 32 160 32 1 1 1 1 20 3 3 3 3 m x x x x x x x dx π −   = − + − − − − − =    ∫ ( )1 20 B m x y z dV π= + + + =∫∫∫ Recuerde que la gráfica de la ecuación: 2 2 1x y+ = Es una circunferencia. La región D del ejemplo 3.19 puede clasificarse como una región tipo 1 y también como una región tipo 2. D Valor de y a la salida de D 2 1y x= − Valor de y a la entrada de D 2 1y x= − −
  44. 44. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 118 3.2.3.MOMENTOS ESTÁTICOS El momento estático de una región B tridimensional respecto a los planos coordenados xy, yz y xz, se definen de la siguiente manera: Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.18. Solución: El sólido B del ejemplo 3.18 se definió como: ( ) 2 2 4 4 2 2 0 1 2 2 x x B x,y,z x y z y  − −  = − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −     Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones: III.32, III.33 y III.34, se tiene: MOMENTOS ESTÁTICOS DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función 3 :ρ → , la cual es continua ( )x,y,z B∀ ∈ , entonces los momentos estáticos alrededor de los planos xy, yz y xz, denotados xyM , yzM y xzM , respectivamente, se obtienen a partir de las siguientes expresiones: ( ), ,xy B M z x y z dVρ= ∫∫∫ (III.32) ( ), ,yz B M x x y z dVρ= ∫∫∫ (III.33) ( ), ,xz B M y x y z dVρ= ∫∫∫ (III.34) EJEMPLO 3.20
  45. 45. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 119 ( ) ( ) 2 2 2 2 34 4 2 1 2 2 2 4 42 0 2 2 2 2 1 2 3 x x y xy x x y M z z dzdydx dydx − − − − −− − − − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 32 2 2 2 2 2 1 7 4 4 3 6 3 xyM x x dx π −   = − + − =   ∫ Respecto al plano yz: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 2 1 2 2 2 2 4 42 0 2 2 2 2 1 x x y yz x x M x z dzdydx x y dydx − − − − −− − − − = = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 32 2 2 2 2 1 4 4 0 12 yzM x x x x dx −   = − + − =   ∫ Y finalmente, respecto al plano xz: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 2 1 2 22 2 4 42 0 2 2 2 2 1 x x y xz x x M y z dzdydx y y dydx − − − − −− − − − = = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 32 2 2 2 1 4 6 xzM x dx π −   = − − = −   ∫ ( ) ( ) ( ) 7 2 3 2 0 2 xy B yz B xz B M z z dV M x z dV M y z dV π π = = = = = = − ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19. Solución: El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como: ( ){ }2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 8 4 4B x,y,z x x y x x y z x y= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ − ∧ + ≤ ≤ − − EJEMPLO 3.21
  46. 46. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 120 Calculando el momento estático respecto al plano xy: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 8 4 4 1 1 4 4 1 x x y xy x x y M z x y z dzdydx − − − − − − + = + + +∫ ∫ ∫ ( )( ) 2 2 1 1 4 2 2 2 2 4 2 2 1 1 32 4 8 8 3 8 3 4 19 1 3 x xy x M x x x y x y y y x y dx − − − − = − − + + − + + + + −∫ ∫ 1 2 2 3 4 6 1 8832 128 34688 128 4096 4096 272 1 35 3 105 3 35 105 3 xyM x x x x x x π −   = − + − − + − =    ∫ Respecto al plano yz: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 8 4 4 1 1 4 4 1 x x y yz x x y M x x y z dzdydx − − − − − − + = + + +∫ ∫ ∫ ( )( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 8 5 1 x yz x M x x y x y dx − − − − = − + + + −∫ ∫ 1 2 2 3 4 1 160 32 160 32 2 1 3 3 3 3 3 yzM x x x x x π −   = − + − − =    ∫ Respecto al plano xz: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 8 4 4 1 1 4 4 1 x x y xz x x y M y x y z dzdydx − − − − − − + = + + +∫ ∫ ∫ ( )( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 8 5 1 x xz x M y x y x y dx − − − − = − + + + −∫ ∫ ( ) 2 1 2 4 1 32 1 2 1 2 15 3 xz x M x x π − − = − + =∫ Entonces, para el sólido del ejemplo 3.19 se tiene: ( ) ( ) ( ) 272 1 3 2 1 3 2 1 3 xy B yz B xz B M z x y z dV M x x y z dV M y x y z dV π π π = + + + = = + + + = = + + + = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
  47. 47. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 121 3.2.4. CENTRO DE MASA A continuación se define el centro de masa para un sólido tridimensional como un punto ( )P x,y,z , donde las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones: yzM x m = (III.35) xzM y m = (III.36) xyM z m = (III.37) Entonces: CENTRO DE MASA DE UN SÓLIDO DEL ESPACIO Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función 3 :ρ → , la cual es continua ( )x,y,z B∀ ∈ , entonces el centro de masa es un punto ( )P x,y,z , donde sus coordenadas son: ( ) 1 , , B x x x y z dV m ρ= ∫∫∫ (III.38) ( ) 1 , , B y y x y z dV m ρ= ∫∫∫ (III.39) ( ) 1 , , B z z x y z dV m ρ= ∫∫∫ (III.40) Donde m es la masa del sólido B , que se obtiene como ( ), , B m x y z dVρ= ∫∫∫ .
  48. 48. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 122 Determine las coordenadas del centro de masa del sólido B descrito en el ejemplo 3.18. Solución: Las coordenadas del centro de masa del sólido B se obtienen empleando las ecuaciones III.38, III.39 y III.40; sin embargo, como en el ejemplo 3.20 se calcularon los momentos estáticos alrededor de los planos coordenados, a continuación se utilizan las ecuaciones III.35, III.36 y III.37: 0 0 5 2 yzM x m π = = = 2 5 5 2 xzM y m π π − = = = − 7 143 5 15 2 xyM z m π π = = = Entonces: ( ) 2 14 0 5 15 P x,y,z , ,   = −    Figura 3.36 Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.18 EJEMPLO 3.22 2 14 0 5 15 , ,   −    B Para el ejemplo 3.18 se obtuvo: 5 2 2B m zdV π = =∫∫∫ ( ) ( ) ( ) 7 2 3 2 0 2 xy B yz B xz B M z z dV M x z dV M y z dV π π = = = = = = − ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
  49. 49. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 123 Determine las coordenadas del centro de gravedad del sólido descrito en el ejemplo 3.19. Solución: Las coordenadas del centro de masa del sólido B, igual que en el ejemplo anterior, se obtienen a partir de las ecuaciones III.35, III.36 y III.37: 2 13 20 30 yzM x m π π = = = 2 13 20 30 xzM y m π π = = = 272 683 20 15 xyM z m π π = = = Entonces: ( ) 1 1 68 30 30 15 P x,y,z , ,   =     En la siguiente figura, se aprecia el centro de masa del sólido B. Figura 3.37 Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.19 EJEMPLO 3.23 1 1 68 30 30 15 , ,       B Para el ejemplo 3.19 se obtuvo: ( )1 20 B m x y z dV π= + + + =∫∫∫ 272 3 2 3 2 3 xy yz xz M M M π π π = = =
  50. 50. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 124 3.2.5. MOMENTOS DE INERCIA Los momentos de inercia del sólido B respecto a los planos coordenados, se obtienen como sigue: Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y respecto al origen para el sólido descrito en el ejemplo 3.18. Solución: El sólido B mencionado está definido como: ( ) 2 2 4 4 2 2 0 1 2 2 x x B x,y,z x y z y  − −  = − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −     Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones: III.41, III.42 y III.43, se tiene: MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función 3 :ρ → , la cual es continua ( )x,y,z B∀ ∈ , entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados, denotados xI , yI e zI se obtienen a partir de: ( ) ( )2 2 , ,x B I y z x y z dVρ= +∫∫∫ (III.41) ( ) ( )2 2 , ,y B I x z x y z dVρ= +∫∫∫ (III.42) ( ) ( )2 2 , ,z B I x y x y z dVρ= +∫∫∫ (III.43) El momento polar de inercia, 0I , es: ( ) ( )2 2 2 0 , , B I x y z x y z dVρ= + +∫∫∫ (III.44) EJEMPLO 3.24
  51. 51. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 125 ( )( ) 2 2 4 2 1 2 22 42 0 2 2 x y x x I y z z dzdydx − − −− − = +∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 4 2 4 222 42 2 1 1 1 2 x x x I y y y dydx − −− −   = − + −   ∫ ∫ ( ) ( ) 5 32 2 2 22 2 2 1 3 1 27 4 4 4 2 160 3 8 xI x x x dx π −   = − + − + − =   ∫ Respecto al eje y: ( )( ) 2 2 4 2 1 2 22 42 0 2 2 x y y x I x z z dzdydx − − −− − = +∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 4 2 4 222 42 2 1 1 1 2 x y x I y x y dydx − −− −   = − + −   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 5 2 22 32 2 2 22 2 4 3 1 119 4 4 160 12 2 24 y x x I x x x dx π −  − +   = + − + − + =       ∫ Respecto al eje z: ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 4 4 2 1 2 22 2 2 22 2 4 42 0 2 2 2 2 1 x x y z x x I x y z dzdydx y x y dydx − − − − −− − − − = + = + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) 5 32 2 2 2 2 22 2 2 1 1 37 4 1 4 4 80 12 12 zI x x x x x dx π −   = − + + − + − =   ∫ Finalmente, el momento polar de inercia: ( )( ) 2 2 4 2 1 2 2 22 0 42 0 2 2 x y x I x y z z dzdydx − − −− − = + +∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) 2 2 4 2 4 22 22 0 42 2 1 1 1 2 x x I y y x y dydx − −− −   = − + + −   ∫ ∫
  52. 52. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 126 ( ) ( ) ( ) 5 2 22 232 2 2 22 0 2 3 4 4 4 137 4 4 160 12 2 24 x x x I x x x dx π −  − + − = + − + + − =      ∫ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 27 2 8 119 2 24 37 2 12 137 2 24 x B y B z B B I y z z dV I x z z dV I x y z z dV I x y z z dV π π π π = + = = + = = + + = = + + = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19. Solución: El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como: ( ){ }2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 8 4 4B x,y,z x x y x x y z x y= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ − ∧ + ≤ ≤ − − Calculando los momentos de inercia: ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 8 4 4 2 2 1 1 4 4 1 x x y x x x y I y z x y z dzdydx − − − − − − + = + + + +∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] 2 2 1 1 2 2 5 5 4 1 1 3 2 2 2 3 4 2 3 2 8 1 16 16 13 3 32 1 32 13 13 16 3 29 401 64 208 29 448 x x x I x y x y x y x y x y y y x y y x y y y dydx − − − − = − + − + + + + + − + + − − + + + + − − + + − + ∫ ∫ EJEMPLO 3.25 Para resolver las integrales que permiten calcular los momentos de inercia pedidos en el ejemplo 3.25 se ilustra sólo el segundo momento respecto al eje x. Los demás resultados fueron calculados con un software matemático.
  53. 53. Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 127 ( ) 2 1 2 3 1 4 5 6 7 1 143968 22240 251584 30656 105 160864 12512 53248 4096 x x I x x x x x x x dx − − = + − − + + + − − ∫ 462xI π= Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados y al origen para el sólido del ejemplo 3.19, se muestran a continuación: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 462 1 462 20 1 3 1396 1 3 x B y B z B B I y z x y z dV I x z x y z dV I x y z x y z dV I x y z x y z dV π π π π = + + + + = = + + + + = = + + + + + = = + + + + + = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

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