Distribuição de Probabilidade, Curva Normal, Z-Scores




            PROFª DOUTORA CÉLIA SALES
Conteúdos
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 Da distribuição de frequências ao modelo de
  distribuição
 Modelos de P...
Distribuição de frequências e probabilidade
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Probabilidade
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                    Fortuna Imperatrix Mundi

   Sem a capacidade de t...
Probabilidade
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   A probabilidade é um termo primitivo, medindo o
   grau de possibilida...
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Publica em 1812, o
livro


THÉORIE
ANALYTIQUE DES
PROBABILITÉS


onde enuncia os
princípios gerais que
devem guiar a
at...
Probabilidade Laplaciana
                               7

 A probabilidade de um acontecimento A




   Se os casos poss...
Da Distribuição de Frequências
                    ao Modelo de Probabilidade da Distribuição
                            ...
Distribuição de Frequências
                    e Modelos de Probabilidade
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 No ...
Distribuição de probabilidade. Definição.
                                  10

 Modelo de distribuição de frequência = D...
Modelos de Probabilidade. Exemplos
                          11

 Exemplos:
   1. Distribuição Uniforme ou Rectangular
  ...
Distribuição de probabilidade uniforme
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                    Cada result...
Distribuição de probabilidade exponencial negativa
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           Modelo usado...
Distribuição Normal
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   Distribuição de probabilidade de uma variável aleat...
Propriedades das Distribuições de Probabilidade
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1.     Parâmetros
           (pres...
Curva Normal
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Constantes:                  Variáveis:
              π = 3,1416…        ...
Distribuição de probabilidades. Utilidade:
                                   17

 Os estatísticos identificaram várias d...
Tabela de probabilidade da distribuição de normal
                                    18

 Os estatísticos calcularam a p...
Temos apenas um pequeno problema…
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         Nem todos os dados com distribuição em forma
 ...
Lógica dos Z-scores
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                                 Calcular o desvio em

       X X
   ...
Exemplo


Quantos amigos tens?

 Raquel = 1 amigo
 Teresa = 2
 Alexandra = 3
 Laura = 3
 Florinda = 4


   X   = 2.6 ...
scores v.s z-scores
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             Scores                                  Z-scores...
Exemplo do penhasco
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     Qual é a probabilidade de uma pessoa de 70 anos ou
    ...
Compreendemos então que…
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  A distribuição normal estandardizada permite-nos:

...
Dados importantes sobre a distribuição normal
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    68% dos valores situam-se entre + ou ...
Leitura de apoio:
                                  26

 http://www.psychstat.missouristate.edu/introbook/
   sbk10.htm
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Distribuicaoo de probabilidade e curva normal

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  1. 1. Distribuição de Probabilidade, Curva Normal, Z-Scores PROFª DOUTORA CÉLIA SALES
  2. 2. Conteúdos 2  Da distribuição de frequências ao modelo de distribuição  Modelos de Probabilidade  Definição  Exemplos  Distribuição Normal  Distribuição Normal estandardizada  Z-scores Célia Sales - UAL
  3. 3. Distribuição de frequências e probabilidade 3  Qual a possibilidade de uma pessoa entre 71-75 anos, de cometer suicídio neste penhasco? E uma pessoa entre 26-30 anos?  A distribuição de frequências ajuda-nos a estimar o futuro  Há uma correspondência Fonte: Andy Field (2010) entre a área debaixo da curva N=171 e a probabilidade de ocorrência Célia Sales - UAL
  4. 4. Probabilidade 4 Fortuna Imperatrix Mundi Sem a capacidade de tomar decisões em situação de incerteza, guiado pela avaliação das probabilidades, um animal fraco como o homem estaria decerto extinto em vez de se ter tornado a praga de maior sucesso no planeta. (Pestana & Velosa, 2006, p. 191) Célia Sales - UAL
  5. 5. Probabilidade 5 A probabilidade é um termo primitivo, medindo o grau de possibilidade de um acontecimento incerto se realizar (Pestana & Velosa, 2006, p. 192) Célia Sales - UAL
  6. 6. 6 Publica em 1812, o livro THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS onde enuncia os princípios gerais que devem guiar a atribuição e cálculo de probabilidades Pierre-Simon Laplace (1794-1827) Célia Sales - UAL
  7. 7. Probabilidade Laplaciana 7  A probabilidade de um acontecimento A Se os casos possíveis tiverem a mesma probabilidade de acontecerem (equiprováveis) Célia Sales - UAL
  8. 8. Da Distribuição de Frequências ao Modelo de Probabilidade da Distribuição 8 Nem sempre podemos confiar na distribuição de frequências da nossa amostra, para fazer previsões. Exemplo: Quantos sapatos de tamanho 38 encomendaria? Tamanho Nº Sapatos comprados 34 1 35 1 36 4 37 6 38 0 39 4 40 1 41 3 42 1 Total 21 Célia Sales - UAL
  9. 9. Distribuição de Frequências e Modelos de Probabilidade 9  No exemplo dos sapatos, a distribuição de frequência não é um bom critério para planear a quantidade de sapatos a encomendar  Pelo facto de, na amostra (N=21), não ter aparecido ninguém a calçar o 38, não quer dizer que não seja necessário ter esse nº em stock…  Sabemos que, noutra amostra, possivelmente haveria alguém a calçar o 38 (principalmente se a amostra fosse maior)  Modelo de Probabilidade  Como seria a curva de distribuição de frequências do tamanho de sapato, se medíssemos um nº infinito de pés de mulheres adultas?  Esse modelo (ou curva de distribuição “ideal”) seria uma alternativa melhor do que a distribuição de frequências da amostra, para estimar o tamanho de sapatos a encomendar Célia Sales - UAL
  10. 10. Distribuição de probabilidade. Definição. 10  Modelo de distribuição de frequência = Distribuição de probabilidade = Modelo de Probabilidade  Curva que descreve uma distribuição de frequências idealizada (ou teórica) de uma certa variável  A distribuição é idealizada porque corresponde à distribuição de frequências que obteríamos se tivessemos um número infinito de resultados  A partir dessa curva é possível calcular a probabilidade de ocorrência de valores específicos da variável  Expressão algébrica que descreve a frequência relativa (a curva) de todos os valores possíveis Célia Sales - UAL
  11. 11. Modelos de Probabilidade. Exemplos 11  Exemplos: 1. Distribuição Uniforme ou Rectangular 2. Distribuição Exponencial Negativa 3. Distribuição Normal ou Curva Normal Célia Sales - UAL
  12. 12. Distribuição de probabilidade uniforme 12 Cada resultado tem a mesma probabilidade de acontecer. Fonte:http://www.psychstat.missouristate.edu/introbook/sbk10.htm Célia Sales - UAL
  13. 13. Distribuição de probabilidade exponencial negativa 13 Modelo usado para representar acontecimentos que são mt raros. Ex: Tremores de terra Fonte:http://www.psychstat.missouristate.edu/introbook/sbk10.htm Célia Sales - UAL
  14. 14. Distribuição Normal 14 Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória, que é perfeitamente simétrica (achatamento=0 e assimetria =0) (Field, 2010)  A maior parte das variáveis sociais e psicológicas seguem um distribuição Normal Fonte:http://www.psychstat.missouristate.edu/introbook/sbk10.htm Célia Sales - UAL
  15. 15. Propriedades das Distribuições de Probabilidade 15 1. Parâmetros (presentes em quase todos os modelos de probabildiade). Parâmetros são variáveis do modelo que têm que ser estabelecidas à partida; mudando os parâmetros de um modelo de probabilidade muda a forma da curva 2. A área total debaixo da curva é igual a 1 Pelo mesmo motivo pelo qual a soma total da distribuição de frequências relativas numa amostra tem que ser 1 (ou 100%) 3. A área debaixo da curva, entre dois resultados quaisquer é uma PROBABILIDADE Probabilidade de um acontecimento = Frequência relativa teórica desse acontecimento num modelo da população. Célia Sales - UAL
  16. 16. Curva Normal 16 Constantes: Variáveis: π = 3,1416… X - valor do resultado e = 2,81… µ Parâmetros σ Célia Sales - UAL
  17. 17. Distribuição de probabilidades. Utilidade: 17  Os estatísticos identificaram várias distribuições presentes muitas vezes na realidade  Para algumas dessas distribuições, desenvolveram uma fórmula que especifica versões idealizadas (teóricas) dessas distribuições (isto é, a distribuição de probabilidade), que corresponde a uma curva  Se certa variável tiver uma distribuição semelhante a uma destas distribuição de probabilidade (ex: Distrib. Normal), podemos calcular a probabilidade de ocorrência de valores específicos  Essa probabilidade é dada pela área, debaixo da curva, entre dois valores Célia Sales - UAL
  18. 18. Tabela de probabilidade da distribuição de normal 18  Os estatísticos calcularam a probabilidade de certos valores ocorrerem numa distribuição normal com uma média de 0 (zero) e desvio padrão 1  Colocaram estes valores numa tabela: Tabela de probabilidade da distribuição normal Assim:  Se tivermos dados que se distribuem com uma forma normal  Se a média dessa distribuição for zero e o desvio padrão for 1,  Podemos consultar a tabela e ver qual a probabilidade de um certo Resultado acontecer Célia Sales - UAL
  19. 19. Temos apenas um pequeno problema… 19 Nem todos os dados com distribuição em forma normal têm média=0 e DP=1… Se conseguíssemos esta transformação poderíamos usar as tabelas de distribuição da probabilidade Z-scores Célia Sales - UAL
  20. 20. Lógica dos Z-scores 20 Calcular o desvio em X X relação à média (“centrar”) z s Usar o desvio-padrão como unidade de medida (“reduzir”) (como se fossem dúzias… 24 ovos a dividir por 12, passam a 2 dúzias – unidade de medida passa a dúzias) Célia Sales - UAL
  21. 21. Exemplo Quantos amigos tens?  Raquel = 1 amigo  Teresa = 2  Alexandra = 3  Laura = 3  Florinda = 4 X = 2.6 s =1.14 Célia Sales - UAL 21
  22. 22. scores v.s z-scores 22 Scores Z-scores média = 2.6 e s = 1.14 Média = 0 e s = 1 Os resultados (scores) são: Os “z-scores” são: 1 amigo 2 amigos 1  2.6 3 amigos   1.40 Desvios em 1.14 relação à média 3 amigos 4 amigos 2  2.6 etc ... 1.14 Resultados estandardizados Resultados observados (Resultado observado expresso em unidades de desvio padrão) Célia Sales - UAL
  23. 23. Exemplo do penhasco 23 Qual é a probabilidade de uma pessoa de 70 anos ou mais se suicidar no Penhasco? (Partindo do pressuposto de que esta distribuição tem uma forma normal…) 1º passo Converter 70 em z-score (média de suicídios = 36; desvio padrão = 13) 2º passo Procurar o valor obtido na tabela da distribuição normal estandardizada Coluna “SMALLER PART” Célia Sales - UAL
  24. 24. Compreendemos então que… 24 A distribuição normal estandardizada permite-nos:  Partir de um conjunto de resultados para calcular a probabilidade de ocorrência de um certo resultado  Saber se um certo resultado pode ou não acontecer numa certa distribuição  Esta noção está na base da lógica do cálculo de p, nos testes de hipóteses Célia Sales - UAL
  25. 25. Dados importantes sobre a distribuição normal 25  68% dos valores situam-se entre + ou – 1 desvio padrão da média  95% dos valores situa-se entre + ou – 2 desvios padrões da média  99.7% situam-se entre + ou – 3 desvios padrões da média Célia Sales - UAL
  26. 26. Leitura de apoio: 26  http://www.psychstat.missouristate.edu/introbook/ sbk10.htm  Muito recomendado para compreender o conceito de Distribuição de Probabilidade  Tem exemplos interactivos de simulação da Curva Normal  Field (2010), cap. 1 Célia Sales - UAL

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