1.
NPC AprilFool's Contest 2014
A,B,C,E 解説

2.
A.Over View Seat 2014

3.
問題概要
● SampleInput ● SampleOutput

4.
問題概要
察して

5.
答え
整数Nに対して
偶数なら2で割る
奇数なら3倍して1足す
これを繰り返す
1になるまでの回数が答え

6.
答え
この処理をするとどんな自然数からはじめても
いつか1になるという予想があります
コラッツ予想という超有名未解決問題です
27は小さいくせに111回かかります
wikipediaの27という記事でもそのことが記され
ています
ググろう

7.
結果
● FirstAC
– anta – 00:07:16
● AC数
– 9人

8.
B:誕生日はエイプリルフール

9.
問題概要
● 自然数列が与えら得れるので
– A^D + B^D = C^D
となるA,B,C,Dの組の個数を求めよ

10.
部分点解1(0点)
● 愚直に全通り試す(N^4)
● N 100≦ くらいのケースなら通る
– 小課題1(0点)は通る

11.
部分点解2(0点)
● A^D + B^D = C^D
● A,BがきまればCも決まる
● A,B,Dだけ試せば良いO(N^3)
● N 300≦ くらいのケースなら通る
– 小課題2(0点)まで通る

12.
想定解3(1AC)
● A^D + B^D = C^D
● ここで、ある有名な定理を思い出す
– フェルマーの最終定理
● Dは1か2
● A,B全通りとDをすこし調べれば良いO(N^2)
● すべて通るってACが得られる

13.
想定解3(1AC)
● A^D + B^D = C^D
● AもしくはBが0のときがあるので別で数えな
ければならない
● そちらもO(N^2)で数えられる。
● なおD=0のとき1 + 1 = 1となるので誤って数
えないようにしなければならない。

14.
結果
● FirstAC
– japlj – 00:28:20
● AC数
– 11人

15.
C:新しい苗字

16.
問題概要
● 男だけの自治区がN個、女だけの自治区がM個
● 各自地区内の人数が与えられる
● あと恋人関係も与えられる
● 同じ自治区内で恋人同士以外の苗字は違うよ
うにしたい
● 必要な苗字の個数の最小値を求めよ

17.
問題概要
● 同じ自治区内の恋人は一人と数えて問題ない
– 恋人の数だけ自治区の人口を減らせば良い
● 同じ自治区内だとむりみたいなこと書いてあ
るのでよくわからないけど彩色問題だと思
う。

18.
グラフの彩色
● とりあえずグラフを構築
● 同じ苗字になってはいけない人同士を辺で結
ぶ。
● 同じ苗字にならないといけない人同士は同じ
頂点とみなす。
● 双対を取る （頂点を辺に替える）
● きれいな二部グラフの辺彩色問題ができる
● 次数の最大値を求めるだけ = 人口の最大値

19.
結論
● 各自治区について自治区内恋人の数だけ人口
を減らす
● 人口の最大値が答え
● やるだけ

20.
結果
● FirstAC
– namonakiaccount – 00:39:02
● AC数
– 13人

21.
D:避難訓練が随分前にありました

22.
問題概要
● 大きさN*Mの２次元配列がある
● 1~N*Mの整数を埋める
● どの頂点もそこに入る数字の値が
– 右よりも大きい
– 上よりも大きい

23.
問題概要
● 大きさN*Mの２次元配列がある
● 1~N*Mの整数を埋める
● どの頂点もそこに入る数字の値が
– 右よりも大きい
– 上よりも大きい
● などとちょっとややこしいので言い換える

24.
問題概要
● N*Mの長方形のヤング図形から得られるヤン
グ盤（標準盤）の個数を求めよ
● わかりやすい

25.
ヤング図形とはなにか
● 正方形の集まり
● 下の行に行くにつれて数が単調非減少
● 左上に寄った感じで三角形っぽいもの
● ここに数字を入れたものがヤング盤
● ルールは左よりも上よりも大きい数字を入れ
る
– 埋めた例 →

26.
ヤング盤の数え上げ
● ヤング盤のなかでも1~マスの個数の数字を一
個づつ入れたものを標準盤という
● それの数え上げはフック長というものを使う
と一瞬でできる
● フック長というのは各マスについて求まる
● 真右にいるマスの個数 + 真下にいるマスの個数 + 1
● →先ほどのヤング図形での例

27.
ヤング盤の個数
● 証明は割愛
● ヤング版の個数は
(マスの個数)! ÷ (各マスのフック長の総積)
● 例: →これの場合
– 10! ÷ (7 * 5 * 4 * 3 * 1 * 5 * 3 * 2 * 1 * 1)
– = 288

28.
長方形もヤング図形
● この問題でも同じことをすればよい
● 愚直に計算するとO(NM)かかる
– 小課題1(0点)が得られる
● いろいろ頑張ると解ける

29.
エイプリルフールの一般テク
● MOD1,000,000,007 = 素数 で答えを出す
– NMが1,000,000,007より大きければ答えは0
● NM!はO(NM)かかる おそい
– 10^7の倍数の階乗を予め求めて埋め込む
● N行目のフック長の総積とN+1行目の総積はだ
いたい同じ O(1)でだせる
● 1行目だけまじめに階乗を計算, 残りはO(N)

30.
エイプリルフールの一般テク
● 続き)
● 1行目の階乗を求めるのは先程の埋め込んだ値
を使えば良い。
● のこりはO(N)だがNとMは入れ替えても良いの
でO(min(N, M))で行う
● NM 1,000,000,007≦ なので
● min(N, M) √1,000,000,007≦
● まにあう

31.
逆元
● 最後に割り算するので逆元を求めなければな
らない
● MOD-2乗しましょう

32.
結果
● FirstAC
– snuke – 01:08:59
● AC数
– 7人