1.
I.T.E. NUESTRA SEÑORA DEL CARMEN
ÀREA DE MATEMÀTICA-GUIA DE TRABAJO 2
INTEGRAL DEFINIDA
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área
limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x
= b.
La integral definida se representa por .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se
integra.
1
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de
integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se
descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y
[c, b].

2.
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de
integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
2
FUNCIÓN INTEGRAL
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se
define la función integral:
que depende del límite superior de integración.
Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t,
pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.
Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto
limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el
intervalo [a, b].
EJERCICIOS RESUELTOS
La REGLA DE BARROW dice que la integral def inida de una función continua
f(x) en un intervalo cer rado [a, b] es igual a la di ferencia entre los valores

3.
que toma una función pr imitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho
intervalo.
El teorema fundamental del cálculo dic e que la der iv ada de la función
integral de la función continua f(x) es la propia f(x) .
3
F '(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la der ivación y la
integración son operaciones inversas.
Al integrar una función continua y luego der ivar la se recupera la función
or iginal .
Ár e a ent re una func ión p osi tiva y e l e je d e abscisas
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráf ica de la
función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene
dada por :
Para hal lar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de cor te con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y
resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral def inida de la función que tiene como
l ímites de integración los punto s de cor te.
Ejemplos
1. C a l c u l a r e l á r e a d e l r e c i n to l imi ta d o p o r l a c u r v a y = 9 − x 2 y el eje OX.
En pr imer lugar hal lamos los puntos de cor te con el eje OX para representar
la curva y conocer los l ímites de integración.
C omo la parábola es simétr ica respecto al eje OY, el área será igual al doble
del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

4.
2. C alcular el área l imitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x =
6, x = 12.
3. C alcular el área del tr iángulo de vér tices A(3, 0), B(6, 3), C (8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por AB:
Ecuación de la recta que pasa por BC :
4

5.
Ca s o 2: Área ent re una f unc i ón nega t i v a y el ej e de abs c i s a s
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráf ica de la
función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene
dada por :
2. Ha l l a r e l á r e a l imi ta d a p o r l a c u r v a y = c o s x y e l e j e O x e n tr e π / 2 y 3 π / 2 .
5

6.
1. Hal lar el área l imitada por la recta , el eje de abscisas y las
ordenadas cor respondientes a x = 0 y x = 4.
2. C alcular el área de la región del plano l imitada por el círculo x 2 + y2 = 9.
El área del círculo es cuatro veces el área encer rada en el pr imer cuadrante y
los ejes de coordenadas.
6

7.
Hal lamos los nuevos l ímites de integración.
TALLER RESUELTO
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EJERCICIOS PROPUESTOS
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Re so l ve r
1
2
3
4
5
6
7
8 Calcular la de rivada de las funcione s :
1
2
9 ¿Es aplicable e l teorema del valor medio del cálculo integral a la
s iguiente función en e l inte rvalo [0, 1]?

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ÀREAS
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Re so l ve r
1 C a lcu la r e l á re a d e l re cin t o limit a d o p o r la cu rva y = 4 x − x 2 y e l e je OX.
2 Hallar e l áre a de la región de l plano ence rrada por la curva y = ln x entre e l
punto de corte con e l e je OX y e l punto de abs cisa x = e .
3 Hallar e l áre a limitada por la re cta x + y = 10, e l e je OX y las ordenadas de
x = 2 y x = 8.
4 Calcular e l áre a limitad a por la curva y = 6x2 − 3 x3 y e l e je de abs cisas .
5 Calcular e l áre a de las regione s de l plano limitada por la curva f(x) = x 3 −
6x2 + 8x y e l e je OX.
6 Calcular e l áre a de l círculo de radio r.
7 Hallar e l áre a de una e lipse de semie je s a y b.
8 Calcular e l á re a limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la re cta y = 2x.
9 Calcular e l áre a limitada por la parábola y 2 = 4x y la re cta y = x.
10 Calcular e l áre a limitada por las gráficas de las funcione s 3y =x 2 e y =
−x2 + 4x.
11 Calcula e l áre a de la figura plana limit ada por las parábolas y= x2 − 2 x, y
= −x2 + 4x.
12 Hallar e l áre a de de la región limitada por las funcione s :
y = sen x, y = cos x, x = 0.
VOLUMENES
Re so l ve r
1 Hallar e l volumen engendrado por las supe rficie s limitadas por las curvas y
las re ctas dadas al girar en torno al e je OX:
y = s e n xx = 0 x = π
2 Calcular e l volumen de l cilindro engendrado por e l re ctángulo limitado por
las re ctas y = 2, x = 1 y x = 4, y e l e je OX al girar alrededor de e s te e je .
3 Hallar e l volumen de l tronco de cono engendrado por e l t rape cio que limita
e l e je de abs cisas , la re cta y = x + 2 y las coordenadas corre spondiente s a x =
4 y x = 10, al girar alrededor de OX.

11.
4 Calcular e l volumen engendrado al girar alrededor de l e je OX e l re cinto
limit a d o p o r la s g rá fica s d e y = 2 x − x 2, y = −x + 2 .
5 Calcular e l volumen engendrado por la rotación de l áre a limitada por la
parábola y2/8 = x y la re cta x = 2, alrededor de l e je OY.
6 Calcular e l volumen de la e s fe ra de radio r.
7 Hallar e l volumen de l e lipsoide engendrado por la e lipse 16x 2 + 25y2 = 400,
al girar:
11
1 Alrededor de su e je mayor.
2 Alrededor de su e je menor.