Fisica moderna [schaum r.gautreau - w.savin].www.freelibros.com

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Fisica moderna [schaum r.gautreau - w.savin].www.freelibros.com

  1. 1. mamã? ? . ea Ma? _ SEGUNDA EDlClÓN Ronald Gautreau Nilliam Savin - «mx - Contiene 486 problemas resueltos r , .vç/ y, _A_ lncluyoseccíones sobre quorks y superconductividad estudior por tu cuenta exómenes Es un excelente complemento para cualquier libro de texto
  2. 2. .. ..queimava @xml-memos _ _ INÂ(ÍAÀVAVÂÍ! |«“WÃ. *ÍV mw. .m. .,w_4.. .ae, ... ,». .w_, a_auemma_ wmwwnmwmw
  3. 3. , a , Éêmãakz . .z zeãur_a›fãauqãxc_nàa asànetesz_sxâmsmàâaiããzaaízâã sã, .E k: No. cães- Nwwlwwuaowutuu mansão. . 23a . .nãmxYntuazvwkl . ao 2 uõrou . .eãaqà , t# qo Jada. .. 9.3.. ; ; no20 . .w . . t. a uv. , . lb : :cave
  4. 4. .zgwsaa, .«u_r. .›~ , w›. ~.. ... »«. ›.. »_. mt ywmrax. ... .«us. ~.w«w. ._x«. atwuwa~t» . ... ..za , ,,. ,.. ,_. ._, _,, ,,_. ,,. _r, ›_ . .. .a _ - -- a "#¡ti.4', 'iew'^' arm , . Mm. "m-. n~. :t! e›-L-s, t›-›Jn . mwmn . um.
  5. 5. Segunda edición DR. RONALD GAUTREAU DR. WILLIAM SAVIN 2amr__; .:; >v. r. . . e wlàñíkafrjy . ;., ,,«. r,. ..x; :«. ~._. Traducción: David Rafael Velázquez Valle Traductor profesional Revisión técnica: Missael Flores Rosas ll lw ll McGRAW-HILL MÉXICO ° BUENOS AIRES t CARACAS - GUATEMALA - LISBOA' MADRID 5 NUEVA YORK SAN JUAN ° SANTAFÉ DE BOGOTÁ * SANTIAGO 0 SÃO PAULO AUCKLAND U LONDRES - MlLÁN * MONTREAL - NUEVA DELHI SAN FRANCISCO - SINGAPUR ' ST. LOUlS ' SIDNEY - TORONTO
  6. 6. Gerente de producto: Sergio Cervantes González Supervisor de edición: Felipe Hernández. Carrasco Supervisor de producción: Zeferino Garcia García FÍSICA MODERNA Segunda edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorizacíón escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 2001, respecto a la segunda edición. en español por McGRAW-HILL/ INTERAMERICANA EDITORES, S. A. DE CV. A subsidíary of the McGraw-Hill Companies Cedro Núm. 512, Col. Atlampa Delegación Cuauhtémoc 06450 México, DF. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 970-10-3202-0 (ISBN 968-451-022-5 primera edición) Translated from the second English edition of SCHAUM= S OUTLINE OF THEORY AND PROBLEMS OF MODERN PHYSICS, SECOND EDITION DR. RONALD GAUTREAU, DR. WILLIAM SAV IN Copyright © 1999, by the McGrawJ-lill Companies, .Inc. ISBN O~O7-024830-3 1234567890 09876543201 lmpreso en México Printed in Mexico Esta obra se terrnlnó de imprimir en Febrero del 2001 en Litográñca lngramex Centeno Núm. 162-1 Col. Granjas Esmeralda Delegación lztapalapa 09810 Mexico, DF. Se liraron 5,000 ejemplares
  7. 7. a Parte l eaeâreio r capture 2 ÇAPÉMMO e espirais o eaeirese s Çontenide Prefacio Teoria especial de Ia relatividad Transformaciones cIe Galileo 1.1 Eventos y coordenadas 1.2 Transformaciones de coordenadas de Galileo 1.3 Transformaciones de velocidad de Galileo 1.4 Transformaciones de aceleración de Galileo 1.5 lnvariancia de una ecuación Postulados cIe Einstein 2.1 Espacio absoluto y éter , 2.2 El experimento de Michelson y Morley 2.3 Mediciones de longitud y tiempo: una cuestión de principios 2.4 Postulados de Einstein r Trunsformaciones de coordenadas de Lorentz 3.1 Constancia de la velocidad de la luz 3.2 lnvariancia de las ecuaciones de Maxwell 3.3 Consideraciones generales en la solución de problemas que implican transformaciones de Lorentz 3.4 Simultaneidad Contrdcción relativistu de Ia longitud 4.1 Defínición de longitud Díldtación relativista del tiempo 5.1 Tiempo propio 5.2 Dilatación del tiempo Mediciones relativistus de espacio-tiempo xiii mAh-JBL» (a) 1 1 1:1 ll 12 'I7 17 18 18 18 23 23 27 27 27 31
  8. 8. Contenido e t1"? 7.1 7.2 7.3 eaairete e Trunsformociones reietivistos de lc¡ velocidod Transformaciones de Velocidad de Lorentz y velocidad de la luz Consideraciones generales en la solución de problemas de velocidad Efecto Doppler relativista Mosca, energia y momentum (cantidad cIe movimiento) en relatividad 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Porte ll La necesidad de redefinir el momentum clásico Variación de la masa con 1a velocidad Segunda ley de Newton de la relatividad Relación entre masa y energia: E 'z mc; Relación entre momentum (cantidad de movimiento) y energia Unidades para la energia y el momentum Consideraciones generales en la solución de problemas de masa-energia Teoria cuóntica de lu radioción electromagnéticu y Io materia &Aaltiitto 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 eaairate ia 10.1 10.2 10.3 10.4 PARTE m eaeirete tr 11.1 11.2 11.3 11 .4 11.5 Radiación electromagnéticci: fotones Teoria de fotones Efecto fotoeléctrico Efecto Compton Producción y aniquilación de pares Absorción de fotones Ondas cIe la materia Ondas de I)e Broglie Verificación experimental de la hipótesis de De Broglie Interpretación probabilistica de las ondas de De Broglie Principio de incertidumbre de Heisenberg Átomos parecidos al hidrógeno Átomo de Bohr Espectro del hidrógeno Teoria de Bohr del átomo de hidrógeno Emisión de radiación en la teoria de Bohr Diagramas de niveles de energia Átomos hidrogenoides 43 44 44 44 53 53 54 54 54 55 55 67 69 69 70 72 73 74 93 93 94 95 96 119 121 121 121 123 124 1.2.4 *Í<-: *Dí›>r: ~a, ~ãt«c í. ; rYnã'. Áu. ..'».4'; r»tl›l, ¡1:-4›: ›.›. '.zui«a5Í:3«1'-› , ,› »v . , _ ll
  9. 9. Contenido 1X ? Zràã-Êâããààâ 12 Movimiento crbãtai dei eãecirón 137 12.1 Momentum angular orbital desde el punto de Vista clásico 137 12.2 Momento dipolar magnético clásico 138 12.3 Energia clásica de un momento dipolar magnético en un campo magnético externo 1.39 12.4 Experimento Zeeman 139 12.5 Cuantización de la magnitud del momentum angular orbital 140 12.6 Cuantización de la dirección del momentum angular orbital 140 12.7 Explicaciones del efecto Zeeman 141 camara ra Espín del elecfrón 149 13.1 Experimento de Stern y Gerlach 149 13.2 Espín del electrón 150 13.3 Acoplamiento espín-órbita 151 13.4 Estructura fina 151 13.5 Momentum angular total (modelo vectorial) 152 PARTE IV Átomos de varios electrones 157 @APWUÀQ 14 Principio de exclusión de Paul¡ 159 14.1 Sistemas mecánic0~cuánticos con más de un electrón 159 14.2 Principio de exclusión de Pauli 159 14.3 Una sola partícula en una caja unidimensional 160 14.4 Varias partículas en una caja unidimensional 160 ÇAPÉFULQ 15 Átomos de varios elecirones y fable¡ periódica 165 15.1 Notación espectroscópica para configuraciones de electrones en los átomos 165 1.5.2 Tabla periódica y un modelo atómico de capas 166 15.3 Notación espectroscópíca para estados atómicos 166 15.4 Estados atómicos excítados y acoplamiento LS 167 15.5 Efecto Zeeman anómalo 169 aaaâraao 1a Rayos x 133 16.1 Aparato de rayos X 183 16.2 Producción de bremsstrahlung 183 16.3 Producción de espectros de rayos X característicos 184 16.4 Relación de Moseley 186 16.5 Picos de absorción de rayos X7 187 16.6 Efecto Anger 188 16.7 Fluorescencia de los rayos X 188 7 N__
  10. 10. X Contenido PARTE V Fisica nuciear ãàeâíü ao t? 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 ensinam ie 18.1 a 18.2 raeiruio 19 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 camino 2a 20.1. 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 @agiram 21 21.1 21.2 21 .3 21.4 21.5 21.6 21 .7 21.8 21.9 Propiedades de los núcleos Nucleones Fuerzas de los nucleones Deuterón Núcleos El núcleo como una esfera Energia de enlace nuclear Modelos nucleares Modelo de la gota liquida Modelo de capas Decaimiento de núcleos ¡nestables Decaimiento nuclear Ley estadistica del decaimiento radiactivo Decaimiento gamma Decaimiento alfa Decaimiento beta y el neutrino Reacciones nucleares Notación Clasificación de reacciones nucleares Sistemas de laboratorio y de centro de masa Energética de las reacciones nucleares Secciones transversales nucleares Fisión nuclear Fusión nuclear Física cIe partículas Genealogia de particulas Interacciones de partículas Leyes de conservación Conservación de leptones Conservación de baríones Conservación de extrañeza Clonservación del espín isotópico y paridad Partículas de vida corta y resonancias E1 camino óctuple 21.10 Quark. 199 201 201 202 202 202 203 204 211 211 213 225 225 225 226 227 228 243 243 244 245 246 246 247 248 263 263 263 265 266 266 266 267 268 269 269
  11. 11. Contenido Xi PARTE Vi Sistemas atômicas 283 aaaiiaie as Moiécuias 285 22.1 Enlace molecular 285 22.2 Excitaciones de moléculas diatómicas 287 aaairuio : as Teoria cinética 303 23.1 Valores promedio en un gas 303 23.2 Ley del gas ideal 304 camino 2a Funciones de distribucíón 313 24.1 Funciones de distribución discretas 313 24.2 Funciones de distríbución continuas 315 24.3 Funciones de distribución fundamentales _ Â y densidad de estados 315 ÇAPÉTWQ 25 Estadístíca clásica: Ia distribución de Maxwell y Boltzmann 323 CAPTRMG 26 Estadística cuántica: clisfribuciones de Ferm¡ y Dirac y de Bose y Einstein 335 26.1 Estadistica de F ermi y Dirac . 335 26.2 Estadística de Bose y Einstein 336 26.3 Limite de alta temperatura 337 à 26.4 Dos integrales útiles 337 'i 26.5 Radiacíón del cuerpo negro 338 26.6 Teoria del electrón libre en metales 341 26.7 Calores especificos de sólidos cristalinos 346 26.8 Gas ideal mecánico~cuánticci 352 26.9 Derivación de las funciones de distribución cuánticas 356 eaaiuio a7 Sólidos 363 27.1 Teoria de bandas de sólidos 363 27.2 Superconductividad › 374 aaiiiieins 331 iiieise 393
  12. 12. «wsúbu-Ml-(Niu 2,». ... i.c, _i. .xa_. . , _c_i. _a, ,u. .,_. _,. ._. ... ,r . . , . , . . . . r . . _ . ,
  13. 13. e Prefacio E] área de la fisica moderna abarca temas que han evolucionado desde aproxima- damente el inicio del siglo XX. Estos avances pueden ser confusos, como los efectos sobre el tiempo que predice la teoria especial de la relatividad de Einstein, o muy prácticos, por ejernplo los múltiples dispositivos basados en semiconductores, cuya explicación se basa en la teoria de bandas de los sólidos. El enfoque de este libro se puede apreciar en la tabla del contenido. Cada capitulo consta de una breve presentación de los princípios y del desarrollo sustan- cial de un tema en particular, seguido de un gran número de problemas comple~ tamente resueltos que desarrollan el tema de manera natural e ilusiran los prínci- pios. Los autores creen que estos problemas son una valiosa herramienta didáctica, ya que están planteados en 'forma breve y directa, y ordenados de acuerdo con su grado de dificultad. A ellos les siguen problemas adicionales sin resolver con sus respectivas respuestas, los cuales permitem al estudiante verificar su comprensión del tema. El libro está dirigido principalmente a estudiantes de segundo y tercer años de fisica, pero también se incluyeron problemas de naturaleza más avanzada. Se partió del supuesto de que el estudiante tomó los cursos introductorios a 1a fisica general, aunque con seguridad este texto servirá como un suplemento para cual- quier libro de fisica moderna, ya que su. contenido es muy completo y adecuado como para que incluso se puedan aprender los principios de la fisica moderna. Agradecemos de manera especial a David Beckwith el cuidado que puso en la preparación de 1a primera edición del libro y sus aportaciones que mejoraron la versión final. Por supuesto, cualquier error es nuestro, y aprecíariamos que se nos hicíera saber. Finalmente, estamos en deuda con nuestras familias por su enorme paciencia durante la larga preparación de este libro. RONALD GAUTREAU WILLIAM SAVIN Instituto de Tecnología de Nueva Jersey
  14. 14. ("elgbnlaiu-ulpvrw
  15. 15. 4.. .,. .- 'w-«y-«r-: mr-rov( wrvxvqnr<Qwwwnwux
  16. 16. _waumwnwasw_ me vumouwmiwnv why, âüÍh'Ê»uW›e<'1Ã4mw><7r-HM'l-eñwthcnrçua¡rnmlvüyJlniwdwvixvyx-W Nwíuwva(i/ rxáu! mv~1(NvYVeWMWMWQVMMQÉNAI/ i»HVÂKHÕuxmvtrnu-riwu sun-n , ... at_ »Ívyru›~h«”ynayâaulyvl/ WAMAN i. ,,_. ›,_ à. ._. tr, i., _,ci. .e , l-»mwwI(qxi«ousaNçxàvwaârmwiuwkdwqba»navxwimutxr-Ar '«'W1uvi¡~v›i(A$v¡›_§
  17. 17. ?mnsformaciones ___? ____. m. WML, de Galileo 'l .1 EiVENTOS Y~COORDENADAS Se considerará, para iniciar, el concepto de un evento físico. Puede ser el impacto de un rayo sobre un árbol o el choque de dos partículas que sucede en un punto en el espacio y en un instante determinado. El evento en particular lo especifica un observador que le asígna cuatro coordenadas: tres de posición, x, y, z, que miden la distancia desde el Origen de un sistema coordenado donde el observador se localiza, y la coordenada de tiempo t, que el observador registra con su reloj. Ahora considere dos observadores, O y O', donde 0' viaja a una velocidad constante v con respecto a 0 a lo largo de su eje común x -- x' (figural 41). Ambos observadores están equipados con metros y relojes, de manera que pueden medir las coordenadas de los eventos. Suponga que ajustan sus relojes para que cuando se pasen uno al otro en x = x” = O, los relojes leanlt = t' = O. Cualquier evento dado P tendrá ocho números asociados con él: cuatro coordenadas (x, y, z, t) asig- nadas por O y otras cuatro (x', y', z', t') asignadas por 0'. Evento P: (x2 y“, z', f) (x. y, z, t)
  18. 18. 4 CAPÍTULO 7 E Tronsformacíones de Galileo 3.2 TRÍANEFORMÀCÍOÉES DE CNOORDEQÁDÃS DE GALILEO Las relaciones entre las mediciones (x, y, z, t) de O y las de O' (f, y', z', f) para un evento particular se obtienen examinando la figura 1-1: x': x-vt y : y 2:2 En la física clásica se supone irnplícitamente que / t2! Estas cuatro ecuaciones se denominam transformaciones de Coordenadas' de (lalileo. 1.3 TRANSFORMACIONESWDE viaLoclnÃmnil - DE GALILEO , Además de las coordenadas de un evento, es interesante conocer la velocidad de una partícula. Los observadores 0 y 0' describirán 1a velocidad de la partícula asignándole tres componentes; las componentes de la velocidad (um uy, uz) medidas por 0, y las componentes de la velocidad (ug, u', , uç) medidas por 0'. Las relaciones entre (ux, uy, uz) y (u 2,, ug, ug) se obtienen de la diferenciación con respecto al tiempo de las transformaciones de coordenadas de Cialileo. Así, de x'= x-vt, , d# d dt dx zezâízà-[oc-vnâí: (ã; ~v)(1)= u,, -v En conjunto, las transformaciones de velocidad de Galileo son o x Il à: z N ll z N uírzux-v u 1.4 TRANSFM-O-RMACEIONES DEÚÃCEILERACIÓN” DE GALILEO La aceleración de una partícula es la derivada con respecto al tiempo de su velo~ cidad, es decir, a, = dra/ dt, etcétera. Para encontrar las transformaciones de acele~ ración de Galileo se determinam las transformaciones de la velocidad y se parte de que f: t, y v = constante, para obtener
  19. 19. Problemas resuelfos 5 De esta forma, los componentes de la aceleración medidos son los mismos para todos los observadores que se mueven a una velocidad relativa uniforme. 1.5 INVARlANCIÁMDÉÉ UNA ecuación-M Por invariancia de una ecuación se entiende que esta tendrá la misma forma cuan- do la determinen dos observadores. En la teoria clásica se supone que las medicio- nes del tiempo y el espacio hechas por dos observadores están relacionadas por las transforrnaciones de Galileo. Así, cuando se determina una forma particular de una ecuación para un observador, las transformaciones de Galileo se pueden aplicar para establecer, a su vez, la forma para el otro observador. Si ambas formas son iguales, la ecuación es invariante bajo las transformaciones de Galileo. Veanse los problemas 1.11 y 1.12. Problemas resuelios 1.1 Un pasajero de un tren que se rñueve a 30 m/ s pasa a una persona que se encuentra en la plataforma de la estación en t = t' = 0. Veinte segundos después, la persona en la plataforma calcula que un pájaro volando a lo largo de las vías en la misma dirección que el tren se encuentra a 800 m. ;Cuáles son las coordenadas del pájaro estimadas por el pasajero? Respuesta: Las coordenadas asignadas al páj aro por la persona sobre la platafor~ ma son (x, y, z, l) : - (800 m, 0, 0, 20 s) El pasajero mide la distancia x' hasta el pájaro como x' = x --- vt z 800m ›~- (30 m/ s)(20 s) = 200m Por lo tanto, las coordenadas del pájaro determinadas por el pasajero son (x”, y', z', t') = (200 m, 0, O, 20 s) 1.2 Véase el problema 1.1. Cinco segundos después de hacer la primera medi~ ción de coordenadas, la persona en la plataforma estima que el pájaro se encuentra a 850 m. A partir de esta información, encuentre la velocidad _del pájaro (suponiendo que es constante) determinada tanto por la perso- na sobre la plataforma como por el pasajero del tren. Respuesta: Las coordenadas asignadas , al pájaro en la segunda posición por la persona sobre la plataforma son (xpyz, Zz, t2) :2 (850m, O, O, 25 s) De ahí que la velocidad u, del pájaro medida por la persona sobre la plataforma sea , -. *2:; íLJʧ°m: Ê9E_ , o '“': .»z, ^” 2537x205 ”“ m”
  20. 20. ó CAPÍTULO r I Tronsformociones de Galileo 1.3 1.4 1.5 El signo positivo indica que el pájaro está volando en dirección x positiva. El pasajero considera que, en la segunda posición, la distan» cia 1'¡ hasta el pájaro es x', z x, e u, z 850m - (30 m/ s)(25 s) z lOOm Así, (x3, ya, 25, t3) = (100 m, O, O, 25 s), y la velocidad u', del pájaro medida por el pasajero del tren se traduce en x, :'”x/ l›í'~ 100m 129033: _zom/ S ; g »- t”, "" 25s 7 20s de manera que, de acuerdo con la medición del pasajero, el pájaro se mueve en dirección x' negativa. Obsérvese que este resultado es con- sistente con el obtenido mediante las transforrnaciones de velocidad de Galileo: r “x u; = u, - u 2 lOm/ s - 30m/ s = ~20m/ s Una muestra de material radiactivo, en reposo en el laboratorio, expulsa dos electrones en direcciones opuestas. De acuerdo con las mediciones de un observador en el laboratorio, uno de los electrones tiene una velo- cidad de 0.6:: y el otro de O.7c. Si se parte de las transformaciones de velocidad clásicas, Lcuál será la velocidad de un electrón medida con res- pecto al otro? Suponiendo que el observador O este en reposo con respecto al 1abo~ ratorio, y que el observador O' esté en reposo en relación con 1a par- tícula que se mueve a una velocidad de 0.6c (en dirección positiva); entonces, a partir de la transformación de velocidad de Galileo Respuesta: u; = ul w v r: «-0.7c -~ 0.60 = -l.3c_ Este problema demuestra que las velocidades mayores que la de la luz son posibles con las transformaciones de Galileo, un resultado que no es congruente con Ia relatividad especial. Un tren que se mueve a 60 mi / hr pasa por una estación a las 12:00. Veinte segundos después un rayo cae sobre las vias a una milla de distancia de la estación, en la misma dirección en que se mueve el tren. Encuentre las _coordenadas del destello del rayo medidas por el observador en la esta» ción y por el operador del tren. Ambos miden la coordenada del tiempo como l hr l z l : 2 ) ~--_-›- z -- h ' t ((S)(360Os) 180 r El observador en la estación mide la coordenada espacial como x = l mi; mientras que el cálculo del operador del tren es Respuesta: 2 - 1 x' z x - ut z l mi ~~ (60mi/ hr)(]-8-Ó hr) = ã- mi Un cazador dispara una bala en dirección DOTCSÍC, la cual da en el blanco sobre un venado a 0.25 mi. La bala viaja a una velocidad de l 800 mi/ hr. En el instante en que se dispara la bala un aeroplano se encuentra directa-
  21. 21. Problemas resueltos 7 mente sobre el cazador, a una altura h de una milla, viajando hacia el este a 600 mi/ hr. Cuando la bala hace blanco en el venado, @cuales son sus coordenadas desde la posición de un observador en el aeroplarto? Respuesra: Usando las transformaciones de Galileo, ”r : :mL-Ã 21.39 '1O“4h ' ' l 800/hr X r x' , r -r u¡ z (0.25 mi)cos 45° « (600 mi/ hr)(l.39 x 10” hr) z 0.094 mi y z (0.25 mi) sen 45” z 0.177 mi »7-hzO-- lmizwlmí l ll I¡ ll / _V x Z 1.6 Una persona en reposo respecto a la tierra observa cómo una partícula de masa m1 = 3 kg, que se mueve a una velocidad de u¡ = 4 m/ s a lo largo del eje x, se aproxima a una segunda partícula de masa m2 = 1 kg que se mue- ve a u; = -3 m/ s, también a lo largo del eje x. Después de un choque de frente el observador en tierra determina que m2 se desplaza a una veloci- dad uã = 3 m/ s sobre el eje x. Encuentre la velocidad u? de m1 después de la colisión. Respuesta: Momentum _ momentum *É (cantidad de movimiento) = (cantidad de movimiento) inicial final m¡u¡ + mzuz z mp1? + nzzuâ (3 kg)t4 m/ S) + (Í KEJÍ-Í' m/ S) = (3 kgWÍ 'l' (1 @X3 m/ S) 9kg - m/ s : (3 kg)u°f + 3 kg - m/ s Resolviendo, u? 2 m/ s. 1.7 Un segundo observador, O', que camina a êünaii' velôcidad de 2 m/ s con respecto a la tierra a lo largo del eje x, mira el choque descrito en el pro- blema 1.6. ¡Çuáles son las cantidades de movimiento del sistema, antes y después del choque, determinadas por este observador? Respuesta: Usando las transformaciones de velocidad de Galileo u/ l z u¡ - u z 4m/ s ~ 2m/ s z 2m/ s u; z a2 ~ u z m3m/ s -2m/ s z -Srn/ s u? ” z u? -vzZm/ s» 2m/ s : O u? z uã - v z 3m/ s-2m/ s z lm/ s (momentum inicial)” z mlu] + mzug z (3 kg)(2 m/ s) + (l kg)(-5 m/ s) z l kg'm/ s (momentum final) z mp1? + mzmf z (3 kg)(0) +~ (l kg)(l m/ s) z l kg - m/ s Así, como resultado de las transformaciones de Galileo, O' también determina que la cantidad de movimiento se conserva (pero en un valor diferente del que estimó O). 1.8 Mientras viaja en un automovil Convertible que se desplaza a 100 pies/ s, un niño lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 20 pies/ s. Escriba la ecuación de movimiento (proporcionando la posición corno una función
  22. 22. 8 CAPÍTULO i Transformaciones de Galileo del tiempo) para la pelota, como la ven a) el niño y b) un observador esta cionario sobre el camino. Respuesza: a) Para el niño en el automóvil la pelota viaja directamente hacia arriba y abajo, por lo tanto y” = vo¡ +511” z (2o pies/ s)t' + §(-32 pies/ sz)t'2 = 2o/ v 16/2 xrzzz/ :O b) Para el observador estacionario, de las transformaciones de Galileo se obtiene que f = = l' xzM+vtz0+100t yzy'z20t-16t2 z= ¡=0 1.9 Suponga que una masa se encuentra atada a una cuerda y que se mueve sobre una superficie horizontal sin fricción. Demuestre, de acuerdo con las leyes clásicas de la transformación, que las ecuaciones de movimiento de la masa son iguales que las determinadas por un observador en reposo con respecto a la superficie, y por un segundo observador que se mueve a velo- cidad constante a lo largo de la dirección de la cuerda. Respuesta: La ecuación de movimiento de la masa, determinada por el observa- dor en reposo con respecto a la superficie, es F = ma, o dzx -k x -~ x = m-- 'I ( o) dt¡ ( › Para encontrar 1a ecuación de movimiento determinada por el segum do observador se usan las transformaciones de Galileo. De esta ma~ a c¡ ›. nera, xzx'+vt' x zx'+vt' ° ° W na Sustituyendo estos valores en 1 se obtiene dzx' "(505 “JM = m-¡t-, r (2) Como 1 y 2 tienen la misma forma, la ecuación de movimiento es invariante bajo las transformaciones de Galileo. 1.10 Demuestre que la ecuación de onda electromagnética no es invariante bajo las transformaciones de (Éralíleo. t. Respuesta: La ecuación será ínvariante si conserva la misma forma cuando se expresa en términos de las nuevas variables x', y', z', r'. En función de las transformaciones de Galileo, primero se encuentra que @H1 M: D w_g_m 1 a m a a a Ê_É_@-ã_ -O a a a a
  23. 23. Problemas adicionales 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 Problemas adiciona/ es 9 Si se aplica la regla de la Cadena a los resultados anteriores, se tiene que 2g êgôr_êg_ôy+ôqbg+ôq§âf 8gb V ô2a5_32q5 ax"arax'ayax 6181C awafax * : MWM En forma similar, W _ a: É? _ ü ôyz _ (gy/ z 322 " 32:2 Además, ar ar ea alegres 32:15 262w ar “ay “L 3:/ 9:2 ” Gt” "axar l' v axa Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de onda, se obtiene a? a? a2 l a2 1 32 a2 m 2,, r , m 8x” 8;/ a# c¡ ari c¡ âx/ ôt' 3x” Por lo tanto, la ecuación de onda no es invariante bajo las transfor- maciones de (Éralíleo, porque su forma ha cambiado debido al térmi- no extra en el lado izquierdo. La ecuación de onda electromagnética se deriva de las ecuaciones de la teoria electromagnetica de Maxwell. Aplicando el procedimiento ya descrito a las ecuaciones de Maxwell, se encuentra que tampoco estas son invariantes bajo las transforrnaciones de Galileo. Compare este resultado con el problema 6.23, en el que se demuestra que la ecuación de onda electromagnética es invariante bajo 1a transformación de Lorentz. . ._ . ._. . . _ . ... ..avs, .___-_. _ , . , . Un hombre (0') en la plataforma de un Camión de 20 pies, que se mueve a 30 pies/ s, registra el disparo de un flash en el frente del Camión 2 s después de que pasa a otro hombre (0) que se encuentra en tierra. Calcule las coordenadas del evento determinadas por cada observador. Respuesta: (x', t') = (20 pies, 2 s); (x, t) = : (80 pies, 2 S) Un niño ve a un venado que huye desde donde él se encuentra. El animal corre a 20 mi/ hr y el niño va tras él a 8 mi/ hr. ;Cuál es la velocidad del venado respecto a la del niño? Respuesta: 12 mi / hr Desde un tren, un niño en un tren lanza una pelota hacia adelante a una velocidad de 20 mi/ hr. Si el tren se mueve a 80 mi/ hr, @cual es la rapidez de la pelota medida por una persona que está en tierra? Respuesra: 100 mi/ hr Un pasajero camina hacia atrás a lo largo del. pasillo de un tren a 2 mi/ hr, cuando este se mueve por un tramo de vía recto a una rapidez constante de 60 rui/ hr. ;Cuál es la rapidez del pasajero medida por un observador parado en tierra? Respuesza: 58 rni/ hr Un conductor parado sobre una plataforma de Íerrocarril sincroniza su reloj con el operador en la parte delantera del tren, el cual 'viaja a 60 mi/ hrl El tren tiene
  24. 24. 19 CAPÍTULO 7 Transformaciones de Galileo 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 una longitud de 1/4 de milla. Dos minutos después de que el tren parte de 1a plataforma, el guardafrenos se sirve una taza de cafe en el último furgón. En este momento, ;cuales son las coordenadas del guardafrenos, determinadas por el ope rador y el conductor? Respuesta: (xÇ 2') = (r mi, 2 min); (x, t) r l-Í" mi, 2 min) Una mujer sentada en un tren sirve dos tazas de café, una 10 min después que la otra. El tren avanza en linea recta a una velocidad de 20 m/ s. gCuál es la distancia de separación entre el servicio de las dos tazas de café, medida por una persona en tierra? Respuesta: i2 O00 m Una bola de 1 kg se mueve hacia el norte a 3 m/ s. Choca de manera perfectamente elástica con una segunda bola, idêntica, en reposo: ambas se desplazan sobre un eje norte-sur después del choque. Calcule, en el sistema del laboratorio, la cantidad de movimiento total antes y después de la colisión. Respuesta: 3 kg - m/ s Para el problema 1.17, calcule la energia total antes y después del choque. Respuesta: 4.5 J Retome el problema 1.17 y calcule 1a cantidad de movimiento total antes y des» pués del choque, medida por un observador que se dirige hacia el norte a 1.5 m/ s. Respuesta: O En funcíón del observador en el problema anterior, calcule la energia total antes y después de 1a colisión. Raspuesta: 2.25 J Repita los problemas 'l. '1.9 y 1.20 considerando un observador que se mueve al este a 2 m/ s. Respuesta: 5 kg - m/ s 37° al norte del este: 8.5 J Una persona se encuentra en un bote que se despaza hacia el este a 15 pies/ s; en el instante que pasa un muelle, hay ahí otra persona que lanza una píedra hacia el norte. La píedra golpea e] agua 6 s más tarde, después de recorrer una distancia de 150 pies desde el muelle. Deduzca las coordenadas de la salpicada, medidas por 1a persona en el bote. Respuexta: (x, y, t) = = (-~~90 pies, '150 pies, 6 s) Considere un choque unidimensional elástico que tiene lugar a lo largo del eje x de origem 0. Demuestre, de acuerdo con las ecuaciones de transformación clásicas, que la energia cinética se conserva a partir de la estimación de un segundo obser» vador, 0', que se mueve a una velocidad constante u también a lo largo del eje de O.
  25. 25. Posiulados de Einstein 2.1 áâpAéio Âasoturo »E ÉTEl-! Wm i Una consecuencia de [as transformaciones de velocidad de Galileo es que si un observador mide una seña] luminosa que viaja a la velocidad de c = 3 >< 103 m/ s, entonces cualquier otro observador que se mueva con respecto a él calculará una velocidad diferente de c para la misma señal luminosa. @Qué determina el marco de referencia particular tal que si un observador estáen reposo respecto a é] pueda medir el valor de c para la velocidad de las señales luminosas? Antes de Einstein generalmente se creia que las ecuaciones de Maxwell eran g válidas para este observador privilegiado. Tales ecuaciones describen la teoria elec- tromagnegça y predicen que las ondas eleqtromagnéticas víajarán a la velocidad de 1 c = l/ x/eg/ ,tg = 3 x 103 m/ s. El espacio que estaba en reposo respecto a tal observador se denominaba “espacio absoluto”. Cualquier otro observador que "se moviera con *- respecto a este espacio absoluto encontraria que la velocidad de la luz era diferem te de c. Como la luz es una onda electromagnética, los físicos del siglo XIX creían que debería existir un medio a través del cual se propagaba la luz. De esta forma, se postuló que el “étef” penetraba todo el espacio absoluto. 2.2 ELmEnxPERyl-&Il/ ¡ENTO DE MAÃICHE-ÉON y MOELEHY _ i à É Si existe un éter, entonces un observador sobre la Tierra que se mueve a través de él deberá observar' un “Viento de éter". Un aparato con sensibilidad para medir el E movimiento de la Tierra a través del éter hipotético fue desarrollado por Michelson en 1881, y refinado por el y Morley en 1887. El resultado del experimento fue que no se dezectó movimiento a través del éter. Véase los problemas 2.5, 2.6 y 2.7., 2.3 MEEICI6NÉSISE LOÍQEITUD YÍITIÀEMPO: UNA CUESTION DE PRINCÍPIOS El único elemento común tanto al experimento nulo de Michelson y Morley como al hecho de que las ecuaciones de Maxwell . sean válidas sólo para un observador privilegiado son las transformaciones de Cialileo. Estas 'transformaciones “obvias” 'H
  26. 26. 12 CAPÍTULO 2 Posfuiddos de Einstein fueron examinadas nuevamente por Einstein aplicando 1o que se podría calificar como un punto de vista “operacional”. Einstein asumió que cualquier cantidad relevante para las teorias físicas debería, al menos en principio, tener un procedi miento bien definido por el cual fuera medida; si tal procedimicnto no se pudiera formular, entonces la cantidad no debería ser empleada en física. Einstein no pudo encontrar una forma de justificar, a través de operaciones, i la transformación de Galileo t' t' t, es decir, el enunciado: dos observadores púeden medir que el tiempo de un evento es el mismo. En consecuencia, la transformacíón t' r t, y con ella el resto de las transformaciones de (ialileo, fue rechazada por Einstein. E» n EWJEMWPOSTULADOS DE EINSTEINM La idea guia de Einstein, a la cual llarnó principio de la relatividad, fue que todos los observadores sin aceleración deberían ser tratados igualmente en todos aspec- tos, aun si se están moviendo (a velocidad constante) uno con respecto al otro. Este principio se puede formalizar com. o sigue: Postulado 1: Las leyes de la fisica son las mismas (invariantes) para todos los observado» res inerciales (no acelerados). Las leyes del movimiento de Newton concuerdan con e] principio de la relatividad pero las ecuacioneside Maxwell, junto con las transformaciones de Galileo, están en conflicto con él. Einstein no encontro alguna razón para una diferencia básica entre las leyes dinamicas y las electromagnétícas_ De aquí su Postulado 2: En el vacío, la velocidad de la luz medida por todos los observadores inerciales es c a: L/ eouo = 3 ›< 103 m/ s independientemente del movimiento de la fuente. . ›n'vv--'"j-y . ... ... . V. fvgA4>_-- . a Problemas resuelios 2.1 Suponga que un reloj B se localiza a una distancia L de un observador. Describa cómo se puede sincronizar B con A que se encuentra en el lugar del observador. Respuesta: Haga que el reloj B (detenido) iea t5 : - L/ c. En 1,, r: 0 (como registra el reloj A) envie una señal luminosa hacia el reloj B' distante, y ponga a éste en marcha cuando reciba la señal. i 2.2 Un flash se dispara a 30 km de un. observador, quien ve el destello a la 1:00 É pm. LCuál es la hora real en que se disparo el flash? É 2 É í
  27. 27. Probíemos resueltos Í 3 Respuarta: El tiempo que le toma a la señal luminosa viajar 30 km es As 30>< 103m ñ c _3 ›< l03m/ s Por lo tanto, el flash se disparo 1 X 10” s antes de la 1:00 p. m. 2.3 Una varilla se mueve de izquierda a derecha. Cuando su extremo izquier- do pasa por una camara se toma una fotografia de la varilla junto con una regla calibrada estacionaria. A1 revelar 1a fotografia el extremo izquierdo de la varilla coincide con 1a marca cero, y el derecho con 0.90 de la regla. Si la varilla se mueve a 0.84: con respecto a la Cámara, determine su longitud real. Respuesta: Para que la señal luminosa del extremo derecho de la varilla sea re gistrada por la Cámara, debió iniciar desde la marca 0.90 m en un tiempo anterior dado por Atz-Aí- OQWL: 3 >< 1o"°s c ~3>< l03m/ s Durante este intervalo el extremo izquierdo de la varilla avanzará una distancia As* dada por (véase la figura 2-1) As* = vAt = (0.3 x 3 >< 108m/ s)(3 x 10-95) = 072m Por lo tanto, 1a longitud real de la varilla es L = 0.90 m + 0.72 m = 1.62 m. Este resultado demuestra que fotografiar una varilla en rnovi~ miento no proporciona la longitud correcta. 2.4 Dos eventos ocurren a distancias iguales de un observador. Suponga que el observador adopta el enunciado siguiente como una definición de la simultaneidad de eventos equidistantes: “Los dos eventos son simultâneos si las señales luminosas emitidas por cada uno me llegan al mismo tiem- o = = O.8c o - 0.80 _-¡› ---› : :J s** «uv-sz- im 50 O 50 lt! ) 50 O S0 la) 150 E: _+4 As' a) La señal empieza en el extremo derecho; el obtura- b) La señal llega del extremo derecho junto con la del dor de la Cámara está cerrado. extremo izquierdo. Ambos son registrados por la camara abierta.
  28. 28. 3 4 CAPÍTULO 2 E Posiulodos de Einstein u v c* c* A av~ap Qvvs 5 , g as», CVV* B a) Iniciar¡ las señales A y B. b) La señal B llega a 0 C V U e Ausarpçaw~B BCs/ sa . rvàA c) Las señales A y B llegan simultaneamente d) La señal A llega a O. a0. po”. Demuestre que, de acuerdo con esta definición, si el observador esta- blece que ambos eventos son simultâneos, entonces, otro observador que se mueve con respecto a él determinará que no lo son. En la figura 2-2 se observa que si dos señales luminosas alcanzan al primer observador (0) al mismo tiempo, éstas necesariamente llega~ rán al segundo observador (0') en tiempos diferentes, Como las se~ ñales no iniciaron equidistantes de O', éste, de acuerdo con 1a defini- ción anterior, determinará que los dos eventos no ocurrieron simultá» neamente, pero que el evento B sucedió antes que el A, . Respuesttr 2.5 En la figura 2-3 se muestra el diagrama del interferómetro de Michelson y Morley orientado con un brazo (IA) paralelo al “Viento éter", Demuestre que si el aparato gira 90°, el número de franjas AN que pasan por la reticula del telescopio están, hasta e] primer orden, en (tz/ CY, v2 AN = 13,41,, +15) Viento éter <_. _____. __ U Espejo A Fuente o -
  29. 29. LIC al ta. . ; e- ni~~ tá- t y , TC 2.6 Problemas resueltos 1 5 Respuesta: Para el brazo A el tiempo en que la luz viaja hasta el espejo A se obtiene dividiendo la longitud de la Irayectoria 1,, entre la velocidad de la luz; la cual. en función de las transforrnaciones de velocidad de Galileo, es c - u. De regreso, la longitud de la trayectoria aún es [A pero ahora la velocidad es c + v. Por lo tanto, el tiempo total del viaje de ida y Vuelta es _ 21,, /c , '" 1 ~ (uz/ cz) Para viajar a lo largo del otro brazo se debe dirigir un haz de luz de tal manera que su vector de velocidad resultante (velocidad respecto al éter más la velocidad del éter en relación con el intergignetro) sea perpendicular al brazo A. Esto da una velocidad de xfc? w u¡ para ambas direcciones a lo largo de la trayectoria lg; por lo tanto, el viaje de ida y Vuelta se traduce en A 21,, _ zig/ c Si se supone que u/ c « 1, los tiempos tA y 1B se pueden expandir hasta el primer orden en (v/ c)2, y la diferencia de tiempo resulta 21 2 215 v2 ÍA%T<I+ÉZ') É5^«? <l Y 2 -1 212 ! v2 Õ= ÍA“ÍB”“(ZAC"ÂE+ : av "i7 Ahora, si el interferómetro se gira 90°, entonces [A y 1B se intercambian, y también se da una inversíón de la diferencia de tiempo. De esta forma, . 2(l --~l ) l v2 21 v2 y s, .-. -L. -JL A B ( c + C3 a3 el patrón de interferencia observado mostraria un desplazamiento de franja de AN franjas, donde _ 5 a” _ c(õ e a) __ (1, +191; AN f” "A E” "' icz Aqui, 7' y ? t son el periodo y la longitud de onda de la luz, respectiva-v mente. Suponga que la velocidad de la Tierra a través del éter es la misma que su velocidad orbital, de manera que v = 10' 4 c. De acuerdo con un experi- mento de Michelson y Morley, considere que cada brazo de un interferó» metro tiene una longitud de 10 m, uno en dirección del movimiento de 1a Tierra a través del éter. Calcule la diferencia en tiempo de las dos ondas de luz que viajan a lo largo de cada uno de los brazos. Respuesta. A partir del problema 2.5, ainda): --lj * z ______N. ,_, __ e Í t . Iô (° E) (3 x ! Ogm/ skgam) "'33 X' m S
  30. 30. 'i6 CAPÍTULO 2 «É Posfulados de Einstein 2.7 Problemas adicíonales 2.8 2.9 2.10 2.11 En el experimento original de Michelson y Morley se uso un interferem. :- tro con brazos de 11 rn y luz de sodio de 5 900 Ã. El experimento reveló un desplazarniento de franja da 0,005 franjas. , &Cuál es el lírniie superior que da un resultado nulo en la velocidad de la Tierra a través de] éter? Respuesta: De acuerdo con el planteamiento del problema 2.5, el número de frari~ jas AN que se ve pasar por la reticula del telescopio es U2 Êlvz AN 765W +15) = 2(11m)v2 0.005 . :~ a _ (5 900 >< 1040 m)(3 >< l03m/ s)2 Resolviendo, u = 37147 >< 103 m/ s. La velocidad orbital de la Tierra es 3 >< 104 m/ s, por 1o tanto. el interferómetro fue lo suficientemente sensible para detectar este mo» vímiento. No se observo un desplazamiento de franja, Repita el problema 2.3 considerando ahora que la fotografia se toma cuando el extremo derecho de la varilla pasa por el lente de 1a Cámara, Respuesra: 0.18 rn En el instante que el punto medio de una regla en movimiento pasa por una cáma~ ra, el Obturador se abre y le toma una fotografia junto _con una regla calibra- da estacionaria, como en el problema 2.3. Si su velocidad relativa a la Cámara es O.8c, Lcuál será la longitud de la regla en movimiento registrada en la película? Respuesta: 2.778 rn w. pm; su. Retome el problema 2.4. Si las señales llegan simultáneamente a 0 àcuál es su secuencia de tiempo determinada por O? Respuesta: A ocurre antes que B Suponga que la rapidez orbital de la Tierra, 3 >< '104 m/ s, es igual a su velocidad através del éter. Si la luz recorre cn n, segundos un aparato de Michelson y Morley de brazos iguales en dirección paralela a este movimiento; calcule cuánto tíem~ po le tomará viajar perpendicularmente a tal movimiento. Respuesta: (l ~A0.5 >< 'l.0"'“)t, ¡
  31. 31. El postulado 2 de 1a sección 2.4 implica que las transformaciones de coordenadas de Galileo se reemplacen por las transformaciones de coordenadas de Lorenzz. Para los dos observadores de la figura 1.1, éstas son L» _ y f x/ :-4í. iL-_ z^: ~~: :Ê: :: y'= y 2 : Z (34) Si se invierten, se obtiene x” + vt” l + 07X x 2 f r: : -›~--1-_ _y _V : y, 3 ; z Zi t/ l ~- (P/ CZ) l - (ve/ cz) En las ecuaciones 3.] y 3.2, ves la velocidad de 0' con respecto a O a lo largo de su eje común; v es positiva si 0” se mueve en dirección x positiva, y negativa si 0' se mueve en dirección x negativa. Tambien se ha supuesto que ambos Orígenes coincidem cuando se inician los relojes, de manera que t' = t = 0 cuando x' = x = = 0. Obsérvese que las transformaciones inversas se pueden obtener del primer con- junto de transformaciones, intercambiando las variables primas y no primas y ha- ciendo que v -> ~u Esto se espera del postulado 1, puesto que ambos observadores son completamente equivalentes y 0 se mueve con velocidad ~~v respecto a O'. a. ? iéonsínícm seu vzroéíbÃb DEÍÂMiUz Supóngase que en el instante en que O y 0' se pasan uno al otro (en t = t' = O), se envia una señal luminosa desde su origen común en dirección xx positiva. Si O encuentra que las señales espaciales y las coordenadas de tiempo están relacio- nadas por x = ct, entonces, de acuerdo con 3.1, O' estimará que , x ~ vt ct ›~ vz ct[1 ~ (z¡/ c)] li: (v/ c) x ~ - v» r M- . _ - / :~ cl x/ l - (vz/ cz) / l ~- (vz/ J) / [l ~ (tz/ CMN + (v/ c)] l till/ C) u v , __, __, ,, z __ “ai” j: _f * t? ” r[1__-¡(v/ c>] _L V /1 _1 (v/ cl¡ ü~MM)yHMM& mwamm+wm 1+Wd 17
  32. 32. l 3 CAPÍTULO 3 E Tronsformocíones de coordenados de Lorentz De esta forma, O' encontrará que x' = ct', lo que está en Concordancia con el segundo postulado de Einstein. Nóteseçtambién que este evento en la señal lurni~ nosa, t" : é t está en desacuerdo con la suposición de Galileo. »3.2 7 lgNlfÂlâiANcl/ !iw os LAS ECUACIONES V' DE MAXWELL Corno se analizó en los capitulos l y 2, las ecuaciones de Maxwell de la teoria electromagnética no son invariantes bajo las transformaciones de Galileo. Sin embargo, como demostró H. A. Lorentz (antes que Einstein), son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz. Véase los problemas del 6.21 al 6.23. 3.3 cowsibgnAcilosissnei-ÉNEÊÀLES EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS qu: |MPL| CAN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Cuando se aborda cualquier problema de espacioaiempo, el concepto clave a re-« cordar es el de “evento”. La rnayoria de los problemas implican dos (ibservadores que miden las coordenadas de espacio y tiempo de un evento (o eventos). Así, cada evento tiene ocho números asociados: (x, y, z, t), asignados por O, y (x', y', z', f), por 0'. Las transformaciones de coordenadas de Lorentz expresan las relaciones entre estas asignaciones. Muchas veces, los problemas implican la determinación del intervalo espacial. y/ o el intervalo de tiempo entre dos eventos. En este caso, una técnica útil es restar de uno al otro las transformaciones de Lorentz apropiadas que describe-n cada evento. Por ejernplo, supóngase que el observador O' mide el tiempo y los inter valos espaciales entre los eventos A y B y que desea obtener el intervalo de tiempo entre ambos a través de 0. De las ecuaciones 3.2 se deduce, una vez que se resta ÍA de fg (3.3) Como se conocen todas las cantidades del lado derecho de esta ecuación, se puede determinar [B ~- [A, 3.4 samfuiirauslntin iiiiiiiiiiiiiiiii l Dos eventos son simultâneos para un tíibservador si este establece que ambos ocu- . rren al mismo tiempo. En la física clásica, cuando un observador determina que dos las transforrnaciones de Galileo, eventos son simultâneos, entonces, como z” r r en
  33. 33. Problemas resueitos Í 9 cualquier otro observador encuentra lo mismo. Por otro lado, en la física relativista, ›n el um; dos eventos que son simultâneos para un observador en general no lo son para otro. Por ejemplo, Suponga que los eventos A y B medidos por O' son simultâneos, de manera que t; t: rg. De acuerdo con la ecuación 3.3, el observador O mide la desviación de tiempo de estos dos eventos íguales como t t (v/ czxe ~ n) B “ A ~ “mí-í” l/ l -- (vz/ cz) : Gsi: Si ambos eventos ocurren en la misma localización espacial, de manera que x3; = = x24, 'bah entonces también son considerados simultâneos por 0. Pero si x; 75 xg, entonces O J determina que los eventos no son simultâneos. Obsérvese que si ambos eventos ocurren en la misma localización espacial, sólo se necesita un reloj por cada observador para determinar sí son simultâneos; pero si los dos están separados espacialmente, entonces cada observador necesíta _- dos relojes, adecuadamente sincronízados, para determinar si los eventos son si~ multáneos o no. : :é l Problemas resueltos cada M), Ones i 3.1 Evalúe l - (vz/ cz) para (1): ) z l0"“2c; b) v = 0.9998c. acial Respuesta: En la siguiente ecuación se usa la expansión binomial : star É n n(n ~ l) Cada v (l-+. x) . _l+nxv+~-›--2 f+w ater' ' a) Hacíendo x = = --l0'“ y n = *ã en la expansión binomial, como x mp0 es tan pequeña se mantienen sólo los dos primeiros términos de 'esta ; la expansión; por lo tanto, i (1 - 104W? e 1 195040-4) z 1 - 0.00005 = 0.99995 3.3) _________ _a_ » mnvrmru_ . ._. ... ... ._. _.. _. b) / iÍ (uz/ cz) = Ã (0.9993)2 = 1 ~ (1 - 0.0002? lede Para evaluar (1 -r 0.0002? se emplea la expansión binomial para obtener (l --~ 0.0002)l à l ~ 2(0.0002) = l -- 0.0004 Usando esto en la expresión anterior se tiene que , /1 _ (63752) Ji 'ÍÍZT7Í ? R$016 . -. «00004 0.02 ocu- ~, dos 3.2 De acuerdo con las rnedicíones de O, se dispara un flash en x = lOO km, y 313o, r 10 km, z = l km, en t = 5 >< 10"* s. ;Cuáles son las coordenadas xZy”. z¡
  34. 34. 29 CAPÍTULO 3 Transformaciones de coordenados de Lorentz 3.3 3.4 y t' de este evento determinadas por un segundo observador, O', que se mueve, en relación con O, -0.8c a lo largo del eje común , r-x"? Respuesta: A partir de las transformaciones de Lorentz. r x _ , /l ~ (vz/ cz) W x- m' IOOkm - @os x 3 x 105 km/ s)(5 x 10"** s) - ~- z 307m J 176.53 (~0i8)(l00 km) U l- *x 5 >< 10'** s - _-›-«-›--- r : a: -- - ~-~~í-_3Íí-L9Í5Vls« z 12.3 >< 10"* s W "(19/62) 1 - (0.292 y' : y = 10km z' = z = 1km Suponga que una partícula se mueve con respecto a O' a una velocidad constante de c/ 2 en el plano x'y', de manera que su trayectoria forma un ângulo de 60° con el eje x. Si la velocidad de O' con respecto a O es 0i6c a lo largo del eje x-x', encuentra las ecuaciones de movimiento de la par- tícula determinadas por 0. Respuesta: Las ecuaciones de movimiento determinadas por O' son z r 1 ___ C o I I _ r 1 __ C o r x : uxt - í(cos 60 )t y - uy¡ - 5(sen 60 )t Sustituyendo en la ecuación 3.1 la primera expresión, resulta . ... .í ' ”' : É(cos 60°)~~ t_ ; Ex t/ l - (vz/ cz) 2 t/ l --(1›2/c2) . r - (O.6c)t = §(cos 50°)(: - 95x) C x = (0.74c)t Si la sustitución se hace de la segunda expresión, entonces se tiene U r- -~x C2 y' = y = 5(sen 60°)- --_~ 3 l 1-(v2/r: Z) ((. ),30c)z Un tren de à mi de longitud (medido por un observador en el tren) viaja a una velocidad de 100 mi/ hr. Dos rayos caen en los extremos del tren simultaneamente, de acuerdo con un observador en tierra. ¡JCuál es la des- viación de tiempo medida por el observador en el tren? Respuesta: Se tiene . lh o _a r tIOOXnI/ hIÁB--ááí-â z 2.78 >< l( ? mi/ s /
  35. 35. .Nazaxáfvzs. xmaasssaaasauaassssa . vu . o ' , a . si. sas. .as. ... e nega», ' *anwnasnmaaa _. ._ y, .¡»› '>/ r$: «««_'_ní 3.5 3.6 Problemas resuelios 2¡ Sean los eventos A y B definidos por la caída de cada rayo. Con 0 como el observador en tierra, de la ecuación 3.3 resulta (a v- 0) +§<xs -xjil *B ' °* z 2.78 >< lOÍmi/ s (1.86 x 105 mi/ s)z , /1 -(v2/c2) (fix - F2) + (0-5 mí) o _. . ____ . . Resolviendo, t; ~ t; t: ~~4.02 >< 10'3 s. El signo menos denota que el evento A ocurrió después que el B. La persona 0 observa que dos eventos están separados en espacio y tiem- po por 600 m y 8 >< 10” s. LQué tan rápido se debe mover un observador O' en relación con O para que perciba los dos eventos como simultâneos? Respuesta: Restando dos transformaciones de Lorentz, se obtiene (12 '“ 51) - 55052 “x0 ”"“'=71-:0r: r" 600m 10-7 -3 _--- 0 : ix S c<3 >< 103 rn/ s) /1 __ (vz/ cz) à La respuesta es, entonces, v/ c = 0.4. Las coordenadas espacio~tiempo de dos eventos medidas por O son x¡ = 6 X104m, y1= z1= 0m, t3 = 2 ><10'4s, yx2 = 12 ><10“m, y2 = 2g = 0m, tz = 1 >< 10” s. &Cuál será la velocidad de 0' con respecto a 0, si O' estima que ambos eventos ocurren simultaneamente? Respuesta: A1 sustraer dos transformaciones de Lorentz, ocurre que f: _[1 '“ *: *:: *_'**“" 1!I~4<l;2l(z2) , A 12 104 ~ 4 (1 x 10-4s -x 2 >< 10"* s) -Í(_Í~-_'Ê_Ê-QLT) O _ v . .ã_2:)_9_*;9zê____ V"l - (uz/ cl) Resolviendo, u/ c = '~] /2. Por lo tanto, vestá en dirección . x negativa.
  36. 36. 22 CAPÍTULO 3 Transformociones de coordenados de Lorentz 3.7 Retorne el problema 3.6. LCuál es la separación espacial de los dos eventos medidos por 0'? En este caso también se restan dos transformaciones de Lorentz: Respuesta: x12 _ X: z UL" X| ).'. ._Ê(Í_ZW L) , /1 (zw/ tn) A partir del problema 3.6, v/ 'c = 4 o U = _115 X 103 m/ s_ X, _ v, (12____x_104is_1 -À~_Ê><10*7rn)-r(--1.5 >< 103m/ s)(1 x_1O-4s~2 >< 10"4s) Z . . _ - __ x . ... ... _ V1 ~ (~0.5)3 = 5.20 x 104 m Problemas adicionales 3.8 Obtenga la ecuación 3.2 de 1a 3.1. 3.9 De acuerdo con la perspectiva de 0', un rayo cae en x' = 60 m, y' = z' = O, t' = 8 >< 10"” s. 0' se desplaza a una velocidad de 0.6c a lo largo del eje JC de O. &Cuáles son las coordenadas espacio~tiempo del rayo determinadas por O? Respuesta: (xhy, z, t) = (93 m, 0,0,2 >< 10'” s) 3.10 El observador 0* tiene una velocidad de 0.80 respecto a O; ambos ajustan sus relojes de manera que t = t' = O cuando . x = x' = 0. Si O determina que un flash se dispara en x = 50 m, y t = 2 >< 10"7s, Lcuál es el tiempo de este evento determina- do por Õ? Respuesta: 1.11 >< 10” s 3.1 'l , Nuevamente en el problema 3.10, si un segundo flash se dispara en x' = 10 m, y t' = 2 >< 10” s, según cálculos de 0', gcuál es el intervalo de tiempo entre los dos eventos medido por O? Respuesta: 1.78 >< 10” s 3.12 Regrese al problema 3.11. @Cuál es la separación espacial de los dos eventos medi~ da por a) O' y b) O? Rerpuesta: a) 6.67 m; b) 46.7 m t, E
  37. 37. Coniracción relativista de la longitud 4.10” DEF-INICIÓN DE lsÊEGITUD- Si un cuerpo esta' en reposo con respecto a un observador, su longitud se determina midiendo la diferencia entre las coordenadas espaciales de sus puntos extremos. Ya que el cuerpo no se mueve, estas medícíones se pueden realizar en cualquier tiem~ po, y la longitud así determinada se llama la longitud en reposo o longitud propía del cuerpo. Sin embargo, para un cuerpo en movimiento el procedimiento es más corn~ plicado, puesto que las coordenadas espaciales de sus puntos extremos deben medirse al mismo tiempo. Entonces, la diferencia entre estas coordenadas es la longitud del cuerpo. Ahora, considere una regla orientada a lo largo de la dirección x-x', y en reposo con respecto al observador 0'. Se quiere determinar cómo están relaciona- das' las medícíones de longitud de O y O' una con otra cuando O' se mueve respecto a 0 con una velocidad v en dirección x-x'. Sean los extremos de la regla designadospor A y B, de la transformación de Lorentz (ecuación 3.1) se obtiene La diferencia x'g - xÇ, = L0 es la longitud (propia) de la regla medida por 0'. Si O Í mide x1, y xA al mismo tiempo, de manera que t5 ~ ty = 0, entonces la diferencia x9 ~ xA = L será 1a longitud de la regla medida por O. Así, se tiene L = L1, JT? (w375i (4.11 Corno J. ezvZ/ cz) < 1 , en consecuencia L < L0; de manera que la longitud de 1a regla en movimiento medida por O está contraída. Este resultado se llama Contraca- ción de Lorentz y Fitzgerald.
  38. 38. 24 CAPÍTULO 4 S Controcción relafivista de Ia iongitnd ¡Una advertencial Es esencial mantener clara la distinción entre los conceptos de “separación de co- ordenadas espaciales” y “longitud”. Un error común en la solución de problemas es simplemente multiplicar o dividir un intervalo espacial dado por o entre el término . Esta aproximación funcionará si se está interesado en encontrar las relaciones entre longitudes a partir del concepto de “longitud”, que se define pre» cisamente arriba. Sin embargo, si se está interesado en el intervalo espacial entre dos eventos que no ocurren simultaneamente, entonces la respuesta se obtiene por medio de la técnica de la resta, planteada en la sección 3.3. La respuesta correcta m) se obtendrá multiplicando o dividiendo la separación espacial original por o entre , /l - (vz/ cz) . Problemas resueltos 4.1 @Qué tan rápido tiene que viajar un cohete espacial para que su longitud se contraiga 99% de la que tiene en reposo? Respuerta: De acuerdo con la expresión para la contracción de la longitud (ecua-v ción 4.1), i1." L __. ._ l-=0.99=/ l -(v2/c2) o v= O.l4lc 0 4.2 Calcule la contracción de Lorentz del diametro de la Tierra, medida por un observador O' estacionario con respecto al Sol. Respuesta: Tomando la velocidad orbital de la Tierra como 3 >< 10" m/ s 'y su diâmetro como 7 920 mi, la expresión para la contracción de Lorentz BS í**- 2 D = Dot/ l - (uz/ cz) = (7.92 x 103 mnw_ (ãi; ~í_g? íâ) z (7.92 x 103 mi)(l -- 0.5 x 10's) Resolviendo, D, _ D = 3.96 >< 104 mí = 2.51 pulg. se observa que para las velocidades normalmente encontradas los efectos relativistas son muy pequenos. 4.3 Una regleta graduada forma un angulo de 30° respecto al eje x' de 0', ¡JCuáI debe ser el valor de v si la regleta forma un ângulo de 45° respecto al eje x de O? Respuesta: Se tiene que: tj Li = L' sen 9¡ z (1 m) sen 30° = 0.5 m L; = 170059/ : (1 “W005 30° = 0.866 rn Como sólo habrã una contracción de la longitud en dirección mx', L. = L; = 0.5 m L, = L; ,/1 «- (v2/c2): (0.866m)s/ l 402/271' É i
  39. 39. 4.4 4.5 Problemas adicionais: Y dado que tan 6 = Lyl/ Lx, tan45° - 1 ~ ~ 05 m (0.866 mm - (ul/ eli Resolviendo, u = 0816C. Véase el problema 43. ¡JCuál es la longitud de la regleta graduada medida por O? Respuesta: Use el teorema de Pitágoras o, en forma más simple, L . V = 05m =0.707m L _. sen45° -sen45° Un cubo tiene un volumen (propio) de l O00 cm3. Encuentra el volumen determinado por un observador O' que se mueve a una velocidad de 0.85 respecto al cubo, en dirección paralela a una de sus caras. Respuesta: El observador mide Ia cara del cubo que esparalela a la dirección de su movimiento, y que por lo tanto tiene la longitud contraída I; = [xr/ l ~ (vz/ cz) = (10 cm)/ l - (0,8): = 6cm Las longitudes de las otras caras no cambian: l; =Iy= I;= l,=10cm Por lo tanto, V' = 41' 1; = (6 cm)(10 cm)(10cm) = 600m3 . V Problemas adicionales 4.6 4.7 4.8 4.9 Un aeroplano se mueve con respecto a la 'Iierra a una velocidad de 600 m/ s. Su longitud propia es de 50 m. Para un observador en la 'Tierra (gcuánto parecerá haberse contraído? Respuexta: 10'” m Calcule la contracción de Ia longitud de un tren de de milla cuando viaja a 100 rni/ hr. Rexpuesta: 5.58 X 10'” mi = 3.52. X 10'” pulg. LA qué velocidad se debe mover un observador mas allá de la Tierra, de manera que esta parezca una elipse cuyo eje mayor es' seis veces su eje menor? Respuesta: 0.9866 Un observador O' sosriene tina regleta de 1.00 m en un ângulo de 30° respecto al eje x' positivcx O' se mueve en dirección x-x' positiva a una velocidad de 0.86 respecto al observador 0. ¡JCuáles son la longitud y e] ângulo de Ia regleta medi» dos por 0'? Respuesra: 0.721 m; 43,9°
  40. 40. 25 CAPÍTULO 4 E Confraccíón relotivisro de lo Iongirud 4.10 4.11 4.12 Un área cuadrada de 100 em: está en reposo en el marco de referencia de O, El observador O' se mueve en relación con 0 a 0.85 y paralelo a un lado del cuadra- do. Desde la perspectiva de 0', @cuanto mide el área? Respuesta: 60 cmz Para el cuadrado del problema 4.10, encuentre el área medida por O' si éste se moviera a una velocidad de 0.8c con respecto a O y a lo largo de una diagonal del cuadrado. Respuesta: 60 cmz Repita el problema 4.5 considerando ahora que O' se mueve a la misma veloci› dad, paralelo a una diagonal de una cara del cubo. Respuesta: 600 cm3 (xy/ :ÀWÊTWWAV «. _, ,A_. ,W_V, ,., _c
  41. 41. «raw- . , g_ 5.; TIEMPC; PRJOW Si un observador, digamos 0, determina que los eventos A y B ocurren en la misma localización, entonces puede calcular el intervalo de tiempo entre ambos con sólo un reloj. Este intervalo, Ig ~ t4 = = Ato, medido por' O con sólo un reIoj, se llama intervalo de tiempo propio entre 'los eventos. lDILATACIÓCNTDfELTTIEMPOB l Ahora, considere los mismos eventos A y B vistos por un segundo observador, 0', moviéndose con respecto a O, _a una velocidad v, Ese observador determinará necesariamente que los dos eventos ocurren en diferentes localizaciones y, por lo tanto, tendrá que usar dos relojes adecuadamente sincronizados para determinar la separación de tiempo t3; ~ tÇ¡ = At'_ entre A y B. Para encontrar la relación entre las separacíones : de tiempo medidas por O y O' se restan dos transforrnaciones de tiempo de Lorentz, obteniendo No ”' 35053 “ 95/4) At/ r. : ------------_--«~ v 1 t~ (02/02) Como 0 estima que los dos eventos ocurren en la misma localización, x3 - 25,, = 0. Entonces At At” z ------, __°__ v1 ~ awe-z) Además . JiW-Ê/ ucl? < LAI' Ata, de manera que el intervalo de tiempo entre los dos eventos medidos por O” está dilatado (alargado). 27
  42. 42. :e CAPÍTULO 5 Dílafación relafivísfo de! tiempo Relojes 1 y 2 avanzan* a lo largo de At > Ah, El reloj individual avanza Reloj individual a través de Atol, A¡ Reloj 2 x' ! Reloj 1 l b) Reloj 2 x Reloj 1 a) En el ejemplo anterior, el reloj individual estaba en reposo con respecto a 0. E1 mismo resultado se obtendría si el reloj estuviera en reposo respecto a 0'. De esta forma, en general, Suponga que sólo un reloj avanza por un intervalo de tiempo Ato; si se mueve a una velocidad u con respecto a un observador, éste determinará que sus dos relojes avanzan por un intervalo de tiempo Az dado por Ato Aí: Véase figura 5-1. La dilatación del tiempo es un efecto muy real. Suponga que en 1a figura 5-1 se colocan cámaras en la ubicación del reloj 2 y en la del reloj individual, y que se toma una fotografia por cada Cámara cuando el reloj individual pasa al reloj 2. Cuando se revelan las fotografias, cada una mostrará lo mismo: que el reloj indi- vidualravanízô a través de ; Am “míentrasgqueyel 2 1o hizo a través demAt > Ato, con At y Ato relacionados por la expresión de la dílatáción del tiempo. ¡Unu qdverfencm! «Es importante mantenér *clara la distinción entre l_a “separación del tiempo” y el , “intervalo “de tiempo propio” entre dos eventos. Si los observadores O y O” miden 153 la 'separación de tiempo entre dos eventos' que para ambos ocurren en espacios ' diferentes, entonces esas separacionegggestíin relacionadas símplemente por 1.a multiplicación o la división entre JI: (uz/ cz). @romanas resueitos i l 5.! El promedio de vida de los mesonesqr, a una velocidad de 095a se traduce en 6 >< 10* s. Calcule cuál será este promedío en los mesones-M dentro de un sistema en el cual se encuentran en reposo. Respuesrzz: El tiempo medido en un sistema en el que los mesones-¡r/ están en reposo es el tiempo propio. m0 = (Am/ i ~ (Lê/ H) x (6 'x wmv 1 (095% ; - 137 >< 10% - ~ r i--~~w--w-~~›-m__ç , _,V . , . . .. , . ., . . . ._, _,A, _ . .___ m"" , _ _WW g
  43. 43. â z 5.2 5 . i3 5.4 5.5 Problemas resuelfos Un aeroplano se mueve con respecto a la Tierra 21.600 m/ s. Determinado por relojes en tierra, @cuanto tiempo le tomará _al reloj de la nave atrasarse dos microsegundos? Respueszfá: Considerando la expresión de la dilatación del tiempo, At › Atrium-a Attierra à Atüerra _ [term 2 2 2 1_ 2 X l0_¡2 1_”_ 1h_ É_><_l0 m/ s C2 3 >< 1o8m/ s (2 X loúlõAttier-ra k Allíerra _ Atneroplana : 2 X 10% 5 Atum, z 105 s = 11.6 días Este resultadoindíca la pequeñez de los efectos relativistas en veloci~ dades ordinarias. Los observadores 0 y O” se aproximan uno al otro a una velocidad relati- va de 0.66'. Si O mide la distancia inicial hasta C' igual a 20 m, ócuánto tiempo pasarã, de acuerdo con 0, antes de que ambos se encuentren? Respuesta; Se tiene que = _distancia _ 20 m ___11_1X10_E s A, velocidad 0.6 >< 3 >< 103 m/ s En el problema 5v.3,, g,çuánto tiempo pasará, en función de 0', antes de que se encuentre con O? Respuesta: Los eventos considerados son: a) la posición de 0' cuando 0 realiza su 'medición inicial; y b) 1a coincidencia de 0 y Oñíàmbos eventos ocurren en el origen de 0'. Por lo tanto, el lapso medido por O' es igual al tiempo propio entre los eventos. Así, a partir de la expresión de la dilatación del tiempo, Ato = (Am/ l «~(v2/c2) : (11.1 >< 1045) 1- (0.6)2 : 8.89 x 1045 Este problema también se puede resolver tomando en cuenta que la distancia inicial determinada por 0' está relacionada con la distancia medida por O a través de 1a contracción de Lorentz: L” . -_~ Lm/ l -- (uz/ cf) = (2o mw 1 - (0.6) = 16m Entonces, ” 16 A/ :â - m : _----=8.s9~1"3. v O.6><3><lO3m/ s Á O g Los piones tienen una vida , media de 1.8 >< 10"* s. Un haz de piones sale de un acelerador a una velocidad de 0.80. Desde la perspectiva clásíca, Lcuál es la distancia esperada a la que se desintegrará la mitad de los piones? Respuesta: Se tiene: Distancia r um = (0.3 x 3 x 1o3m/ s)(1.s x 1045) = 432m
  44. 44. CAPÍTULO 5 Dilotoción reíotivísra de¡ tiempo 5.6 Determine la respuesta relativista para el problema 5.5. Resypuesta: La vida media de 1.8 'X 10's s es determinada por un observador en reposo con respecto al haz de piones. Desde el punto de vista de un observador en el laboratorio, la vida media se ha incrementado debi- do a la dilatación, y está dada por .3 10"* ~ A: : A10 -ã-u X -5:3 X1045 . /1 _ (02/62) " , /1 w (0.502 Por lo tanto, la distancia recorrida es d = v At = (0.8 x 3 x 108 m/ s)(3 x 10's s) z 720m Para el observador en reposo respecto al haz de piones, la distancia dp que éstos deben recorrer es más corta que la del laboratorio d), por la contracción de Lorentz: dp = d, ,/1 - (u2/c2 ' = ;in/ FÉ (o. s)2 = 06d, El tiempo transcurrido en cubrir esta distancia es 1 4,, ,S n_ 06d, A1"? ° 18x10 “osxsxiosm/ s Despejando, d, = 7.20 m, lo cual concuerda con 1a respuesta determí- p í' nada por medio de la dilatación del tiempo. ' --- _ . .-c -wa. Frobãemos odcnonoles 5.7 Un átomo se desintegra en 2 >< 10* s. gCuál es el tiempo de desintegración medi~ do por un observador en un laboratorio cuando e] átomo se mueve a una ve1oci~ . dad de 0.81:? Respuesta: 3.33 >< 10* s 5.8 ; Qué tan rapido tendría que viajar un cohete espacial si un observador en el enve» jeciera la mitad que uno sobre la Tierra? Respuesta: 0,866<: 5.9 'Un hombre con una expectativa de vida de 60 años quiere viajar a una galaxia distante, la cual se encuentra a una distancia de 160 O00 años luz. gCuál deberá ser su velocidad constante? Respuesta: v/ c 1 -~ (0.703 >< 104) 5.10 Una partícula que se mueve a 0.80 en un laboratorio se desintegra después de viajar 3 m. Medido por un observador en el laboratorio, Lcuánto tiempo existió? Respuesta: 1.25 >< 10'* s 5,11 ; Cuánto tiempo existió 1a partícula antes de desintegrarse de acuerdo con la me- dición hecha por un observador que se mueve como la partícula del problema 5.10? Respttesta: 0.75 >< l0"3s
  45. 45. En los capítulos anteriores se analizaron, más o menos y por separado, las medi- ciones relativistas espaciales y de tiempo. Sin embargo, existen muchos tipos de problemas donde tales medícíones están entrelazadas y no se pueden tratar sepa- radamente. Problemas resueros 6.1 6.2 ---- ----"r - . , , _ . › . -1 . 1,¡ Una regleta se mueve a una velocidad de (Lóc con respecto a usted a lo largo de la dirección de su propia longitud. gEn cuánto tiempo lo pasará la regleta? Respuesta: La longitud de la regleta medida por usted se obtiene de la contrac- ción de Lorentz: L = Lot/ l (ul/ cl) = (1 m)/1'~ (O.6)2 = 0.3 m Entonces, el tiempo para que la regleta lo rebase se determina a par- tir de Distancia = velocidad >< tiempo 08m = (0.6 >< 3 >< 103 m/ s) >< At A: z: 4.44 x 11W s La luz viaja durante 105 años para llegar a nosotros desde las partes mas distantes de nuestra galaxia. ;Podría un ser humano llegar allá, a una velo- cidad constante, en 50 años? La distancia recorrida por la luz en 105 años es, de acuerdo con un Respuesta: observador en reposo con respecto a la Tierra, de do z: can) l05c donde c se expresa en, supongamos, mi/ afio. Si ahora este observador se mueve con rapidez constante v con . respecto a la 'l'ierra, la distan- cia d que el viajará se acorta de acuerdo con la contracción de Lorentz: d z dot/ TÂÍ 1121-” / c2) z (lüêcjv/ l.: 1112/02) 31
  46. 46. 32 CAPÍTULO ó Mediciones relativistas de espacio-tiempo 6.3 6.4 6.5 El intervalo de tiempo disponible para viajar esta distancia es 50 años, de manera que Resolviendo, É: x/ T- 2.5 xTóí e 0.999 999 875 C Por lo tanto, un ser humano que se desplaza a esta velocidad encon- trará que cuando termine el viaje, ha envejecido 50 años. Un mesón-p, con promedio de vida de 2 X 10'* s se crea en la atmosfera superior a una altura de 6 O00 m. Al nacer tiene una velocidad de 0998C con dirección hacia 1a Tierra. LCuál es la distancia prornedio que viajará antes de desintegrarse, según determina un observador en la Tierra? (Clá- sicamente, la distancia es d = v A: x: (0.998 x 3 x 108m/ s)(2 x 1076 s) = 599m de manera que los mesones-p. , en promedio, no alcanzarian 1a Tierra. ) Respuesta: Determinada por un observador en la. Tierra, el margen de vida se incrementa debido a la dilatación del tiempo: -s A' _if-19.3_- = 31.6 x 10-6 s AtTierra É f¡ (vz/ cz) : Jr_ (Ohggmz La distancia promedio recorrida, de acuerdo con un observador en la Tierra, seria d = v 13115,", -. = (0.998 x 3 x 10* m/ s)(3l.6 x 10* s) z 9 470m De esta forma, tal observador estimaría que, en promedio, un mesón- p. sí alcanzará la Tierra. Si ahora es una persona en reposo quien observa el mesón-u del problema 6.3, gqué tan lejos veria el observador aproximarse a la Tierra hacia él antes de que el mesón-p. se desintegre? Compare esta distancia con la que él mide desde el punto de Creación del mesón-p. hasta la Tierra, Determinada por un observador en reposo respecto al mesón-u, 1a Respuesta: distancia recorrida por la Tierra es d = v A20 = (0.998 >< 3 x 103 m/ s)(2 x 10* s) 599m Sin embargo, 1a distancia inicial L hasta la Tierra se acerta debido a la contracción de Lorentz: L z Lmà xx (1.a/ CT) : (6 x 104* m), /1 «x (09931-1 z 379m De esta forma, el observador calculará que, en promedio, el mesón-p. alcanzará la Tierra, de acuerdo con el resultado del problema 6.3. Un piloto viaja en una nave espacial a una velocidad de 0.6c. Cuando pasa por la Tierra, ajusta su reloj de manera que coincida con las 12:00 pm.
  47. 47. 6.6 6.7 6.8 33 Problemas resuelros Cuando e] piloto observa en su reloj ias 12:30 p. m. ia nave espacial está pasando una estación espacial fija con respecto a 1a Tierra. &Qué hora es en la estacíón cuando pasa 1a nave? Respuesta: Según Ia expresión de 1a dilatación del tiempo TÊÊLI; r; = 375 min Vi _(1:78) j1~(0.6)3 Aíasxación - Por io tanto, en la estación espacial son las 12237.5 p. m. En el problema 6.5, gcuál es ia distancia de 1a Tierra a la estación espacial determinada por a) el piloto, b) un observador en la Tierra? Respuesta: a) Distancia = velocidad >< tiempo = = (0.6 >< 3 >< 108 m/ s)(30min x óOs/ mín) : z 3.24 x i0” m b) Distancia = velocidad >< tiempo = :(0.6 x 3 x 1o“m/ s)(37.5 min x 60s/ min) = 4.05 x 1o” m Retorne los problemas 6.5 y 6.6. Cuando el cohete pasa la estación espa- cial, el piloto se reporta a la Tierra por medio de un radio. ¡JEn qué instan- te 1a Tierra recíbe la señal? , a) de acuerdo con 1a hora en la Tierra? , b) de acuerdo con la hora en el cohete? Respuesta: a) Según el observador en la'l"ierra, . . H . = fgígíãgs = temas? x ar: = Así, la señal llegaría a la Tierra a las 12237.5 p. m. -+ 22.5 min = 1:00 p. m. b) De acuerdo con el piloto, distancia 3.24 ><10“m 1 min . -~ ~ - »mv >< ---- = 18mm T. ___ _ _ lcmpo velocidad 3 >< 10” m/ s 60 s En este caso, el piloto considera que la señal llega a Ia Tierra a las 12:30 prm. + 18 min = 12:48 p. m. Su on a ue un observador O determina ue dos eventos están se arados P g q _ q h P por ? L6 >< 10** m, y que ocurren con una separación de 2 s. ¡JCuáI es el intervalo propio entre ambos? Existe un segundo observador, 0', quien se mueve respecto al prime-- ro y determinará que los dos eventos ocurren en 1a misma localiza-- ción espacial; E1 intervalo propio entre ambos eventos es el medido por este observador. [Jesignando los eventos como A y B, respective» mente, se obtiene mediante 1a sustracción de las dos transformado» nes de Lorentz, Respuesta: X5 “ *A r "'71 __ (U2 162) _36 x l08r11;v(2s3 " 1 . - (v3/c2)
  48. 48. 34 CAPÍTULO ó Mediciones relativisros de espacio-tiempo Nuevamente, restando dichas transformaciones, se obtiene el interva- lo propio como sigue u 0.6 x 3.6 x 103 (ta '" 77.4) ” 629519 xa) 25 e 3 X ¡Osm/ sm/ Ê - z 1.65 / t H_ E A «I-(vz/ cz) V/1»(0.6)2 Otra forma de resolver este problema es usar v y la expresíón de la dilatación del tiempo: A20 = (Am/ T - (vz/ cl) = (2 of a: '(1555 z 1.65 6.9 Para el observador O, dos eventos son simultâneos y ocurren a 600 km de separación. ¡Çuál es 1a diferencia de tiempo entre tales eventos de acuer- do con 0', si é] establece que su separación espacial es igual a l 200 km? Respuesta: Designemos como A y B a estos dos eventos. Restando dos transfor- maciones de Lorentz se obtiene , ,_(x ~x)«~v(t -tJ 6x105m~v(0) 12 x l05m= ------- t/ l-(v2/c2) É = 0.866 C Nuevamente, restando ambas transformaciones se obtiene 0.86605 x 105 m) (la 'r ÍA) '“ (x3 "XD 3 X 108 m/ s ' C - . _-- = --3.46 x 10"* s rbd” mxñrwz/ CZ) _ , /l-(0.866)2 El signo menos denota que A ocurrió después que B, determinado por O”. Los problemas del 6.10 a1 6.12 ilustran el famoso “efecto gemelo” en relatividad especial, 6.10 El observador 0', se mueve a una velocidad de 0.80 con respecto a una plataforma espacial; viaja a Alfa Centauro, la cual está a una distancia de 4 años luz, y es la estrella más cercana a la plataforma. Cuando 0' llega a la estrella, inmediaramente regresa a la plataforma a 1a misma velocidad. Compare la edad de O', en el momento en que llega, con la de su hermana gemela 0, quien ha permanecido en la plataforma. De acuerdo con O, el tiempo transcurrido durante el viaje, desde la Respuesta: plataforma espacial hasta Alfa Centauro, es de ' distancia 4 años >< distancia recorrida por la luz/ año _ A¡ z rrrrrr v4 - ~ ----~--›---e~w---ww-we- ~-~~~-~~-~›-~~ = 5 anos velocidad w 7 0.8 x distancia recorrida por 1a luz/ año Como O viaja de. regreso a la misma velocidad, el tiempo total trans. eurrido tnedido por O de @ibama . redondo : años
  49. 49. 6.11 6.12 6.13 35 Problemas resuelfos Por su parte, O' mide el intervalo del tiempo propio entre la SalÍ~ da de la plataforma y la llegada a la estrella. Así, de la expresión de 1a dilatación del tiempo, m, = (Azyji - (vi/ cz) = (5 añoswl _(034 = 3 años y el tiempo total transcurrido, medido por O', es de Arm”, = 6 años Por lo tanto, 0' es 4 años más joven que 0 cuando se reúnen. Este resultado ilustra el famoso "efecto gemelo" en relatividad especial. Obsérvese que el movimiento de los gemelos no es símétrico. Con objeto de regresar a la Tierra, el gemelo que viaja debe dar Vuelta. Este giro es real (0' experimenta aceleraciones medibles), en con- traste con el giro aparente que O' observa de 0 (quien no acelera durante todo su recorrido). Así, el movimiento de O' es equivalente a1 de dos observadores inerciales diferentes, uno que se mueve con v = +O.8c y el otro con v = ~-0.8c. Por otro lado, el gemelo 0 es equi_ valente a un observador iriercial individual. Retome el problema 6.10. En función de O, Suponga que éste envia cada año una señal luminosa a O'. &Cuántas señales son recibidas por 0' en cada parte de su viaje? (En otras palabras, ;que es lo que en realidad vería el gemelo 0' si mirara a su hermana O a través de un telescopio? ) Respuesta: Calculando por 0, su hermano llega a Alfa Centauro en t = 5 años. Para que una señal luminosa llegue simultaneamente con O' debe ser enviada por O con anterioridad, determinado por , , distancia 4 años x distancia recorrida por la luz/ año _ Tiempo = - ' ------ -------- -~ - = 4 anos velocidad m distancia recorrida por la luz/ año Por lo tanto, la señal que envia O en t = 1 año llegará a Alfa Centau- ro simultaneamente con 0'. Como O envia un total de i0 señales, las nueve restantes llegan a O' en el viaje de regreso. Considere los problemas 6.10 y 6.11. Imagine que cada año, calculado por O', éste envia una señal luminosa a O. Considere la señal enviada por 0” justo cuando llega a Alfa Centauro. Según la estimación de 0, @cuando se recibirá esta señal? (Es decir, ;qué sería lo que la gemela O veria si mirara a su hermano 0' a través de un telescopio? ) Respuesta: Determinado por O, su hermano O' llega a Alfa Centauro en t = 5 años. Una señal luminosa enviada por O' desde Alfa Centauro llega~ rá a 0 en un intervalo (determinado por 0) de . distancia 4 años x distancia recorrida por la luz/ año a Tiempo~ -› - -- ~ -~--~----~v --~ - ' ---- -- «4 anos velocidad _ distancia recorrida por la luz/ año Por lo tanto, esta señal llega a 0 en t = 5 años + 4 años = = 9 años. De aqui' que de las seis señales enviadas por O', tres son recibidas por O durante los primeros nueve años (una cada tres años), y las restantes tres durante el último año. Un hombre ubicado en la parte trasera de un cohete dispara una bala a alta velocidad hacia un objetivo que se encuentra en el frente. El cohete
  50. 50. 36 CAPÍTULO 6 É Mediciones relorivistos de espacio-tiempo 6.14 6.15 6.16 6.17 tiene una longitud de 60 m y la *velocidad de la bala es de 0.82; ambas medícíones son hechas por la persona. De acuerdo con esto, calcule el tiem- po que la bala está en el aire. Respuesta: Se tiene _ distancia _ __>_ z 2050x1043 A _ 71._ _ t velocidad 0.8 >< 3 x 103 m/ s Retome el problema 6.13. Si el cohete se mueve a una rapidez de 0.6c respecto a la Tierra, calcule el tiempo que la bala está en vuelo, medido por un observador en la Tierra. Respuesta: Restando dos transformaciones inversas de Lorentz: (0.6)(60 m) 3 >< 103 m/ s M , /i - (0.6)2 (xr/ A -goza-w 2.5x l0”7s+ 4.63 x 10'” s 'A _ t/ l _(v2/c2) ? a Las longitudes en reposo de las naves especiales A y B son de 90 y 200 m. , respectivamente. A medida que viajan en direcciones opuestas, el piloto de A determina que 1a nariz de la B requiere 5 >< 10” s para recorrer la longi- tud de A. ;Cuál es la velocidad relativa de las dos naves espaciales? Respuesta: Según el cálculo del piloto de A, u-í- 90m ~= 1.8 >< lO8m/ s=0.6c _At_5><l0'7s En el problema 6.15, Lcuál es el 'intervalo estimado por un piloto en 1a nariz de B entre el recorrido de las partes frontal y trasera de A? Las velocidades relativas son las mismas determinadas por cada ob~ servador. El piloto B mide la longitud de la nave espacial A como contraída de acuerdo con Respuesta: L : a Lot/ l m (uz/ â) = (9o m) 1 - (0.6)2 z 72m Entonces, el intervalo medido por B es de L 72m AtB= -=-- ____ --7 v 0.6><3><l05m/ s 4x10 s Un cohete espacial de 90 m de longitud viaja a una velocidad constante de 0.8c con respecto a la Tierra. Cuando Ia nariz de la nave pasa a un observa- dor en la Tierra, el piloto activa una linterna hacia la cola de la nave. @En qué tiempo llega la señal, si es registrada por a) el piloto, b) e] observador en la Tierra? Respuesta: a) Sean los eventos A y B definidos por la emisión de la señal lumino~ sa y el momento en que esta llega a la cola de la nave, respectiva- mente. Como la señal viaja a una velocidad c en dirección negativa -90 m _ M___. :3 '47 -c -3 >< l03m/ s X10 S Wdu__“? _rm_hnw___vmhrâmwrvü-á_
  51. 51. 6.18 6.19 6.20 íximuaamnmaammduamwwwaru» 37 Problemas rest/ elfos b) Restando dos transformaciones de Lorentz se obtiene (-90m) 3 >< 103 m/ s , /1~›(o, s)2 Retome el problema 6.17. @Cuando pasa 1a cola del cohete al observador en Tierra, de acuerdo con a) el observador, y b) el piloto? (q, ~ 5,) - ; ía/ B 44,) 3 x 1o” s + (os) , /l ~(v2/c2) = : E 2,, _lxl0°7s a) Determinada por el observador en Tierra, la longitud L del cohete es de L = Lm/ 1 - (ul/ II) = (9o m), /1 - (0.292 = -54m Entonces, Respuesta: 54m : ííxãíãã-T = “S X “'75 L At : E m/ s É: 90m v 20.8 x 3 x l03m/ s b) At' _ = 3.75 x l0"7s La velocidad de un cohete respecto a una estación espacial es de 2.4 X 108 m/ s. Los observadores O' y O en el cohete y la estación espacial, respecti» vamente, sincronizan sus relojes en la forma usual (es decir, t = t' = O cuando x = x' 0). Suponga que 0 mira el reloj de 0' a través de un telescopio. ;Qué tiempo ve en el reloj de 0'cuando el suyo marca 30 s? Respuesza: Sean los eventos A y B, definidos respectivamente por la emisión de Ia señal luminosa de 0' y la recepción de la misma por O. El proble~ ma es encontrar tg. Aplicando las transformaciones inversas de Lorentz al evento A se obtiene __ gi- (v/ CZM _ lí¡ + (v/ CZXO) _ ZA_ 0.6 t _ . _ ___ __ A v¡ r (02/02) 1 - (0.201 8 ; A *Í* + "Ú = 91195 * 3 X10 mm* = (4.0 x 1o* m/ s)tj, : v 1 r (02/02) , /i - (os); La señal luminosa viaja en dirección negativa a la velocidad c, de manera que x3 -~- x) z -c(tB - IA) Sustituyendo en la ecuación anterior o m (4,0 x 10* m/ sy; x (_3 x l08m/ s)<30s - É? ) Al despejar, t; = 10.0 s. Este resultado, y el del problema 6.20, señalan la distinción entre observar un evento y medir las coordenadas del mismo. Regrese al problema 6.19. Si O” mira el reloj de O a través de un telesc0« pio, @que tiempo marca su propio reloj cuando él lee 30 s en el de O?
  52. 52. 38 CAPÍTULO 6 E Mediciones relotivistos de espaciodiempo Respuesta: Sean los eventos A y B, definidos por la emisión de la señal luminosa de O y la recepción de la misma por O', respectivamente, El proble~ ma es encontrar x39. Aplicando las transformaciones de Lorentz al even- to A, da t, _ xA -vtÁ : _O~(3 x l03rn/ 's)(3Os)_ ” Ji - (uz/ cz) JT_ (08,2 z, - (il/ mx, _ 30s 4,12/axo) 50s / ._ ZA S r"1__(U2/C2) V 1_ (Os); Medida por 0', la señal luminosa viaja en dirección positiva a velocí» dad c, de manera que 450 x 103m xi¡ - x2¡ r: CU; -- tg) Si se sustituye en la ecuación anterior, o 445o x 103 m) = (3 x iosm/ sxzg 50s) Resolvienclo, tj», = 100 s. 6.21 La ecuación para un pulso esférico de luz partiendo de su origen en r = t' = O es ' x2+y2+z2-c2t2=0 A partir de las transformaciones de Lorentz demuestre que para 0' este pulso también es esférico, de acuerdo con el segundo postulado de Einstein, el cual enuncia que la velocidad de 1a luz es 1a misma para todos los obser- vadores. Respuesta: De las transformaciones inversas de Lorentz « 2 x2 = = 'rjàÚ-CT) (xa + 02/2 + 2vx't') 2 / +( 5x” 1 2, , 2 r/ 'É 't : iííí/ zãsilir” “z t? ) : y/Z 22 2 z/ Z Sustituyendo, se determina que x2 +xvz _j_ z) _ C323 : xa + Vá + 212 __ C210, Por lo tanto, como x3 + y: + 23 - C21* = 0, también resulta x/ z _j_ y/ Z +zr2 __ elf/ Z : Z O de manera que el pulso determinado por O' también es esférico. 6.22 Demuestre que la expresión diferencial at? + dy; +4.# ~ cw es invariante bajo una transforrnación de Lorentz.
  53. 53. Problemas resueltos 39 Respuesta: Si la expresión es invariante, conservará la misma forma en términos de las coordenadas primas. Al aplicar la transformación inversa de Lorentz se determina 2 4x2 . -. [É l” ” d” J z .1.¡¡w1.«_(zzx/2 + v3 d# + 20 dx' dz) . /l - (vz/ cz) ' (vz/ Cl) 2 t2_ dH-(v/ ciyzr z_ 1 (v2 ,2 g , d [$13.55 1~(v2/C2)c4dx »bdtú-l-Czdxdt df = dy* 422 = dz” Sustituyendo estas expresiones, se tiene que dx2+dy2+d22~c2dt2zdxü+dya+dza-czdta 6.23 Demuestre que la ecuación de onda electromagnética, es ínvariante bajo una transformación de Lorentz. Respuesta: La ecuación será invaríante si conserva la misma forma cuando se expresa en términos de las nuevas variables x', y', z', t'. Para expresarla en términos de variables primas, primero se hace uso de las transfor- maciones de Lorentz, de manera que av l 8x' v ar__ v/ cz ar_ 1' 7°? " *E íÍ/ TTTVÊ à/ :Êfízl Êzãzfiz . .za ôy ôz ãy ôz 8x Al adecuar la regla de la cadena a los resultados anteriores se tiene âLêíéâã+êéítà+ââã+ââílLm 1 . at, -v/ cz a1 asfazaax ayax atas arax” f'“'“"”1_(, ,2/c2)ax 5? Diferenciando nuevamente respecto a x, se obtiene ai? __ 1 (21245 + v2 32a M_ 21) ala 8x2 l ~ (vz/ cz) 6x4 c** a# (22 8x' 81') En forma similar, 53)_ -v a4s+_____m1 ass C531 T v' 1 - (vz/ coõ? zl -- (vz/ cz) at' 320 _ 1 2 320 320 32d? azz 'i ~ (uz/ sz) (v 5552 T E192 " 2” 8x' a? ) 321? _ 320 820 y 320 É ” ay? 322 '"' az?
  54. 54. 40 CAPÍTULO 6 Mediciones relofivisfas de espacio-tiempo Problemas udicionales 6.24 6.25 6.26 6.27 6.28 6.29 6.30 Si se sustituye esto en la ecuación de onda, resulta azrppale 32a 132gb algum 3345 332415 6x2 ' ayz +íz2 'A a2 a# “ 3x2 “lay/ Ti az? de manera que la ecuación de onda, es invariante bajo las transfer maciones de Lorentz; pero no lo es bajo las de Galileo (problema 1.10). . ~ '7"'“”'"7 Una partícula inestable con un promedio de vida de 4 [LS se forma en un acelera- dor de alta energia y se proyecta a través de un laboratorio a una rapidez de 0.6c. a) ; Qué promedio de vida le atribuirá un observador ubicado en el laboratorio? b) ; Cuál es la distancia promedio que 1a partícula viaja en el laboratorio antes de desintegrarse? c) Si el observador se encuentra en reposo con respecto a 1a par- tícula, gqué tan lejos podrá desplazarse él antes de que 1a partícula se desintegre? Respuesta: a) 5 ns; b) 900 rn; c) 720 m Un mesón-y. con una vida de 8 >< 10” s se forma a 10 000 m de altura en la atmós« fera superior y se mueve directamente hacia la Tierra. Si el mesón-p se desintegra justo cuando llega a la superficie, Lçuál es su rapidez, con respecto a la Tierra? Respuesta: 0972C Una regleta se mueve a lo largo del eje x a una velocidad de 0.6c. __EJ punto medio de la regleta pasa a O en t = O. En función de O, ;donde están los extremos de la regleta en t = O? Respuesm: 40 cm y «40 cm El observador 0 calcula el área de un círculo en reposo en su plano xy igual a 12 cm7'. También la mide O' quien se mueve con respecto a O a 0.8c. ¡gQué medida obtiene O' del área? Respuesta: 7.2 cm¡ E] observador O perciba el destello de una luz roja, y 10'” s más tarde el de una luz azul a una distancia de 600 m sobre el eje x. gCuáles son 1a magnitud y direc~ ción de la velocidad de un segundo observador 0', si él estima que los destellos rojo y azul ocurren simultaneamente? Respuesta: + 0.5( En el problema 6.28, ¡puál es la separación espacial de los destellos rojo y azul determinados por 0'? Respuesta: 520 m Un cohete espacial de 150 m de longitud viaja a una rapidez de 0.6x. Cuando 1a cola del, cohete pasa a una persona en una plataforma espacial estacionaria, esta hace destellar una linterna en dirección de la nariz del cohete. a) &Qué tan lejos de la plataforma se encuentra la nariz del cohete cuando la . luz le llega? b) Medido por el observador en la plataforma espacial, ;cuánto tiempo transcurre entre la emisión y la llegada de la señal luminosa? c) ; Cuál es el intervalo entre la emisión y la recepción de la señal, determinado por un observador en la nariz del cohete? Respuesra: a) 300 m; b) 10” s; c) 0.5 X10” s
  55. 55. "izzarzmzxzysammwrxrsa-çe/ mmmcm 6.31 6.32 6.33 6.34 6.35 6.36 6.37 Problemas adicioncles Dos eventos ocurren en el mismo lugar y están separados por un intervalo de 4 según los cálculos de un observador. Si de acuerdo con un segundo observador tal separación es de 5 s, gen cuánto determina que es su separación espacial? Respuesta: 9 >< 103 m Un observador dispara dos flashes que están en su eje x. Él registra que el primero se dispara en su origen a la 1:00, y que e] segundo lo hace 20 s más tarde en x = 9 >< 108 m. Un segundo observador se mueve a lo largo del eje común . taxi a una velocidad de ~ 0.6c con respecto al primero. &Cuáles son las separaciones de tiemv po y espacio entre los dos flashes medidas por el segundo observador? Respuesta: 27,3 s; 56.3 X 105 m La rapidez relativa de O y 0” es de O.8c. En t' = 2 X10” s, se dispara una súper bala desde x' = 100 m. Viajando en dirección negativa x', a rapidez constante, la bala da en el blanco en el Origen de 0' en t' = 6 >< 10” s. Determinada por O, Lcuál es la rapidez de 1a bala y que' tan lejos viajo? Respuerta: 3 >< 107 m/ s; 6.67 rn Un observador en 'Pietra determina que a un cohete torna 5 >< 10"” s viajar entre dos marcas en la Tierra, las cuales tienen una separación de 90 m. ¡_A que velocím- dad se desplaza el cohete de acuerdo con el observador? Respuesta: 0.6c Retome el problema 6.34. En función de un observador en e] cohete, ;cual es la distancia entre las dos marcas y el intervalo en que el cohete pasa por ambas? Respuesta: 72 m; 4 >< 10'7 s Un láser gira a 150 rev / min y lanza un haz sobre una pantalla localizada a 50 000 millas. LCuál cs la rapidez de barridc) del haz a través de la pantalla? Respuesta: 7.85 >< 105 mi/ s. (Nota: como c = 1.86 >< 105 mi/ s, la rapidez de barrido es mayor que c. ) Demuestre que las expresiones x2 + y” + z¡ -- cz t2 y dxz + dy¡ + dz? r' a2 dt” no son invariantes bajo las transformaciones de (íalileo.
  56. 56. uwrmmw-wm _. ._ . v.uunvrviwv-“MMNMI'Hewwm-*rnri-mvbkavuakmwalvrrrwdrmv-w «wmammwmmmmamanamamw-Vwr/ matwi
  57. 57. rensrermeeienes rei ? Meme de ve! Para encontrar las transformaciones de velocidad se considera un arreglo idéntico al de las transformaciones de coordenadas de Lorentz (figura 7.1). Por ejernplo, imagine a un observador 0' que se mueve a lo largo del eje común x-x', a una velocidad constante u con respecto a un segundo observador, 0. Cada uno mide la velocidad de una sola partícula; 0 registra (um uy, uz) y O' (ug, ug, 14;), para las componentes de la velocidad de la partícula. De las transformaciones de coorde- nadas de Lorentz, se obtienen las si guíentes transformaciones de velocidad de Lorentz (véase el problema 7.1): , ux - v , _ uw/ l - (vz/ cz) _ uzdl - (vz/ Ez) (71) ””: ”7-'<7m "W" I-(v/ cou, “é” 1-<v/ c2)u, Igual que antes, la velocidad v es positiva si O' se mueve en dirección x positiva, y negativa si se mueve en dirección x negativa. Cuando estas ecuaciones se invier-v ten, resulta u; + v a u. ;¡1!l <~- (02/62) __ ; tg/ l ~ (vz/ cz) (7 2) u” z l + (v/ c2)uj, › uy a l + '(v/ c2)u; u” u _l -- (v/ c2)u, ', Obsérvese que, de la misma manera que con las transformaciones de coordenadas de Lorentz, las transformaciones inversas de 1a velocidad se pueden obtener de las transformaciones de la velocidad _ecuación 7.1-› al intercambiar las variables primas y las no primas y haciendo v -a ~- v. Esto se espera de la simetria, puesto que de acuerdo con el postulado 1 de la sección 2.4, ambos observadores son comple- tamente equivalentes, y O se mueve a una velocidad de -u respecto a 0', 43
  58. 58. 44 CAPÍTULO 7 E Transformaciones relafivísfas de lc¡ velocidad , ", "'K%VUWVY› . -àvv/ rpvvwx ¡ 7.1 TRANSÍFORÍÀACIONES lBE VELOCIEBÁD DE LORENTZ Y VELOCIDAD DE LA LUZ Considere nuevamente el experimento analizado en la sección 3.1, en que una señal luminosa se envía en dirección x-x', desde el origen común, cuando O y O' se pasan uno al otro en t = t' = 0. Si O mide los componentes de la velocidad de la señal como u, = c, u, r u¡ = 0, entonces, por medio de la ecuación 7.1. O' tiene c-v , u~v u¡ x C Llzugzo FTÍÕFÉÍÍWEÊÉ: Así, O” también determina que 1a. señal luminosa viaja con velocidad c, de acuerdo con el segundo postulado de Einstein. 7.2 _CONSIlJERACIONES GEINCÍERÃIÍÉS ENmlA SOLUCION DE PROBLEMAS DE VELOCIDAD En problemas de velocidad existen tres objetos involucrados: dos observadores, O y 0', y una partícula, P. Esta última tiene dos velocidades (y seis números) asocíadas con ella: su velocidad con respecto a O, (u, ,, uy, uz), y su velocidad con respecto a 0', (ug, 14;, ug). La cantidad vque aparece en las transformaciones es la velocidad de O” con respecto a O. Cuando se analiza un problema de este tipo, primero se dcberán determinar cuáles objetos serán identificados como 0, 0' y P. Algumas veces esta ídentificación se puntualiza; otras, se hace arbitrariamente (Vea, por ejemplo, el problema 7.3). Una vez que se ha hecho la identificacíón, se usan las transformaciones de velocí~ dad de Lorentz adecuadas para obtener la respuesta. Al tratar con problemas de velocidad, la mejor forma de evitar errores es no olvidar la frase “con respecto a". La frase “velocidad de un objeto" no tiene signi- ficado ni clásica ni relativísticamente or ue una velocidad siem re se mide con P respecto a algo. 7.3 EFECÍO DOPPÇIÍÉR Considere una fuente que emite radiación electromagnétíca con frecuencia v9 medida por un observador que está en reposo con respecto a la fucnte. Suponga que esta misma fuente está en movimiento con respecto a otro observador, quien mide la frecuencia v de la radiación recíbida desde ella. Con el angulo 0 y la velocidad v de la fuente como se define en la figura 7-1, la frecuencía v medida por el obser- vador 0 está dada por la ecuación de Doppler: x/ l -(U2/c7:) v r V0 l - (D/ CÕCÉ-SÊ " " ” , ~. ., ;~ . r,~. ..›. -., m.g. isgasga›lam. ____,
  59. 59. Problemas resuelfos FIGURA 7-1 FãíLa D ~ 0 K --------0 Observador Si la fuente y el observador se mueven uno hacia el otro, 9 = O; por lo tanto, f. ? v : v O r; - v En este caso, v > vo. Si la fuente y el observador se alejaiz uno del otro, 9 = 180° y se tiene c - v v = v0 c + v Ahora resulta que v <' vo. Si la radiación es transversal a la dirección del movimiento, 6 = 9(Í)°, entonces, v = vox/ l -(1›2/C2) Así, v < v0. Dado que todos los observadores miden la velocidad de la luz como c, las ecuaciones anteriores también permitem que el cambio en la longitud de onda se obtenga por medio de 'A = c/ v. Problemas resueltos 7.1 Deduzca la transformación de velocidad de Lorentz para la dirección x. Respuesta: Tomando las diferenciales entre las trasformaciones de coordenadas de Lorentz wecuación 3.1 ~-, se obtiene dx, 1_ Wdx e udt , /l w (vz/ Ã V JT: (vz/ cz) Si ahora se divide dx' entre dt', da I/ Hcàcf_ dxwvdt _dl U _E ux-u b X ~ dt, m dt ~ (30%- 1 _ 1'” (D/ CZW;
  60. 60. É. 46 CAPÍTULO 7 I Tronsformaciones relafívisms de fa velocidad 7.2 ; A qué velocidades difieren en 2% las expresiones de (Éralileo y Lorentz para ug? Respuesta: Sea la transformación de Galileo : :QG = a, - v, 1a transformación de Lorentz: u/ __ “x T U V _ “irc _ *R 1 - (ir/ coa, 1 - (v/ c2)u, Reacomodando, “ ir: _ FE: uÇR c¡ Así, si el producto vu, excede 0.0202, el error a1 usar la transforma- ción de Galileo en vez de la de Lorentz excederá en 2%, 7.3 Un cohete A viaja a la derecha, y otro B a la izquierda, a velocidades de 0.8:* y 0,642, respectivamente, en relación con la Tierra. ;Cuál es la veloci- dad de A medida desde B? Respuzavta: Si se asocia a los observadores 0 y 0' y a la partícula con la Tierra, y los cohetes B y A, respectivamente, entonces, u, __ __ u¡ - v H _ $9.80 - (-O.6c) x h” l - (v/ c2)u, , _ l _ (-0.6c)(O.8c) C2 El problema también se puede resolver con otras asociaciones_ Por ejemplo, O, 0' y la partícula con A, B y la Tierra, respectivamente. De 2 0.9466 ahí que , u, - v ~0.8c - v = ---›---- 0.6 = --~------ l** 1 -- (U/ Czylx ° ° I - <v/ c2›<~o. sc› Despejando, v = ~('J.946c, lo cual concuerda con la respuesta ante~ rior. (El signo menos aparece porque ves la velocidad de O' con res- pecto a O; la cual, con 1a asociación presente, es la velocidad de] co› hete B en relación con el cohete A. ) 7.4 Repita el problema 7.3, suponiendo ahora que si el cohete A viaja a una velocidad de 0.8c en dirección + y respecto a la Tierra. (El cohete B aún viaja en dirección ~x. ) Respuesta; Dado que 0, O' y la partícula fueron asociados con la Tierra, el cohe» lie B y el cohete A, respectivamente, entonces, a; - v 0 ›~ (-~0.6c) = O.6c l u : z «~~----~ X 1- (uma, “ 1_o uyV/ l . .- (tz/ aí) 0 9.30,/ 1 E (Omi _ OMC 1 _ u-V : l ; YU/ cãu, lo cual da la magnitud y dirección de la velocidad deseada como a _. . : : / íííããz + (05442 = essa Y u; 0646 , v . ' z _ z. : ~_~- z 1.07 : 40.8” m” d) u; 0.606 O 45 7.5 Una partícula se mueve a una rapidez de 08o en un ângulo de 30° respecto al eje x, según lo determina O. ¡gCuál sería la velocidad de la partícula de . ,. , , . _W_____; V.. ___. _-:
  61. 61. 7.6 7.7 Problemas resuelfos 47 acuerdo con el cálculo de un segundo observador O' que se mueve a una rapidez de ~0.6c a lo largo del eje común x-xf? Respuesta: En función de 0, se tiene u, = (0.8c)cos 30° = 0.6390 u, = (0.8c) sen 30° = 0.4006 Usando las transformaciones de velocidad de Lorentz, el observador 0' calcula que u; : u¡ -g z 0.6930 -e (-0.6c) = 0.9136 l " WC W* 1 _ : L'0f°)(0.693c) c , _ 38/1 - (uí/ ?Ê _ (0.4c), /1"n (0.6)2 z 0226C uy g 1 t' (ma: _ 1 - (0.693c) La rapidez medida por O” es u' = /uçz + ug: = , /(0.913c)2 + (o.226c)2 = 0.9410 y el ângulo 4)' que 1a velocidad hace con el eje x' es , u; 0.226s , , = _.= ._-= .24 =13.9 ta" d' u' 0.9l3c O 8 ° "l x Considere un núcleo radiactivo que se mueve a una rapidez constante de 0.5c con respecto al laboratorio. El núcleo se desintegra y emite un elec- trón que se desplaza a 0.9c respecto al núcleo, a lo largo de 1a dirección del movimiento. Encuentre la velocidad del electrón en el laboratorio. Respuesta: Sean el observador del laboratorio, el núcleo radiactivo y el electrón, respectivamente, asocíados con 0, 0' y 1a partícula, entonces, , , ___1.'». _t2.__L9§+_°-5°_=0996, X _ l + (v/ c2)u; _ (Ô-5CXÔ-9C) '“ l + T En el problema 7.6, Suponga ahora que el electrón emitido viaja a una velocidad de 0.900 en dirección perpendicular a la del movimiento (del laboratorio), determinada por un observador en reposo con respecto al núcleo. Encuentre la velocidad del electrón medida por el observador en el laboratorio, Respuesta: Con la misma asociacíón que en el problema 7.6, se tiene u; + v 0 + 0.5c u z »oa-t-a-r r. * 1 + (v/ cou; 1 + 0 u, 171125727) __ MaÁÍÍÍS-Í _ O 779 l+(v/ c7~)u', " GTM” ' c = 0.5c “v de donde di** 2 a = + u; = / (O.5c) + (01795) -_- 0.9260 u, M 0.779s' m” 2 ; Í ” ' 0.5c x : rss o 4». :57.3°

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