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ObjetivoObjetivo
Formalizar relações
de dependência
entre grandezas.
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GrandezasGrandezas
• Escalares: tempo, temperatura,
comprimento, volume, fluxo
luminoso etc.
•...
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RelaçãoRelação
É uma regra que estabelece um vínculo entre
elementos de dois conjuntos distint...
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FunçãoFunção
É uma relação que permite associar a cada
elemento de um dos conjuntos um único
e...
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Formas de RepresentaçãoFormas de Representação
DiagramaDiagrama
AA
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Domínio, Contradomínio e ImagemDomínio, Contradomínio e Imagem
Notação: y = f(x)
O elemento y ...
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ExemploExemplo
Considere os conjuntos A = {-3,-1,0,2} e
B = {-1,0,1,2,3,4}
Domínio =Domínio =
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ExemploExemplo
Relação:
DomínioDomínio:
ImagemImagem:
É uma funçãoÉ uma função
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Propriedades EspeciaisPropriedades Especiais
Funções Sobrejetoras:
Todo.........é imagem de al...
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ExemploExemplo
Seja: = conjunto dos números reais
= conjunto dos números reais não negativos
R...
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Seja: = conjunto dos números reais
= conjunto dos números reais não negativos
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Seja: = conjunto dos números reais
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Seja: = conjunto dos números reais
= conjunto dos números reais não negativos
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Outras Propriedades EspeciaisOutras Propriedades Especiais
Função Par:
Função Ímpar:
f(x)=|x|f...
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Funções MonotônicasFunções Monotônicas
Uma função é denominada monotônica quando
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Funções CompostasFunções Compostas
Seja e
Define-se a composição de X em Z como
Notação:
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ExemploExemplo
Sejam: e
Logo: e
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para todo...............se...................então....................
Funções InversasFunções...
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Pode-se demonstrar que:
ff é bijetoraé bijetora ff é invertív...
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ExemploExemplo
Não é injetoraNão é injetora
Não é sobrejetoraNão é sobrejetora
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onde:
ff é bijetoraé bijetora
ff é invertívelé invertível
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ExercíciosExercícios
Deseja-se construir uma caixa aberta a partir de uma folha de
papel Ofíci...
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ExercíciosExercícios
Para o próximo Maceió Fest, a Prefeitura de Maceió, visando uniformizar
o...
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CurvasCurvas
Representação paramétrica:
],[ bat ∈

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
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CurvasCurvas
Exemplos:
• Linha reta


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
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+
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tv
γ
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CurvasCurvas
Exemplos:
• Espiral


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
=
0
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SuperfíciesSuperfícies
Representação paramétrica:
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
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SuperfíciesSuperfícies
Exemplos:
• Elipsóide


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
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utv
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SuperfíciesSuperfícies
Exemplos:
• Parabolóide
hiperbólico 


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
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

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=
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  1. 1. Disciplina:Disciplina: Fundamentos para a Análise EstruturalFundamentos para a Análise Estrutural Código:Código: AURB006AURB006 Turma:Turma: AA Período Letivo:Período Letivo: 20072007--22 Professor:Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e UrbanismoFaculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e UrbanismoCurso de Arquitetura e Urbanismo Maceió/ALMaceió/AL FunçõesFunções
  2. 2. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ObjetivoObjetivo Formalizar relações de dependência entre grandezas.
  3. 3. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL GrandezasGrandezas • Escalares: tempo, temperatura, comprimento, volume, fluxo luminoso etc. • Vetoriais: força, velocidade, posição, aceleração, torque etc.
  4. 4. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL RelaçãoRelação É uma regra que estabelece um vínculo entre elementos de dois conjuntos distintos, em particular, entre elementos de conjuntos numéricos. Exemplo (Circunferência) ( ) ( ) ( ){ }912,,:, 22 =−+−ℜ∈= yxyxyxR x y 3 2 1 Representação gráficaRepresentação gráfica
  5. 5. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL FunçãoFunção É uma relação que permite associar a cada elemento de um dos conjuntos um único elemento do segundo conjunto. RelaçãoRelação FunçãoFunção Toda função é umaToda função é uma relação, mas nemrelação, mas nem toda relação é umatoda relação é uma função.função. AA a1 a2 a3 BB b1 b2 b3 AA a1 a2 a3 BB b1 b2 b3
  6. 6. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL Formas de RepresentaçãoFormas de Representação DiagramaDiagrama AA a1 a2 a3 BB b1 b2 b3 f = {(a1,b1), (a2,b3), (a3,b2)} Pares OrdenadosPares Ordenados x y (a1,b1) b1 a1 (a2,b3) a2 b3 (a3,b2) b2 a3 GráficoGráfico
  7. 7. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL Domínio, Contradomínio e ImagemDomínio, Contradomínio e Imagem Notação: y = f(x) O elemento y B que resulta da relação f(x) = y é denominado imagemimagem de x A. O conjunto de todos os elementos de B que são imagens dos elementos de A é chamado de conjunto imagemimagem. Contradomínio Em f : A → B A = domíniodomínio de f B = contradomíniocontradomínio de fx y=f(x) Variável dependente Variável independente
  8. 8. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExemploExemplo Considere os conjuntos A = {-3,-1,0,2} e B = {-1,0,1,2,3,4} Domínio =Domínio = ImagemImagem = AA -3 -1 0 2 BB -1 0 1 2 3 4 Seja f : A → B x y=f(x)=x+2 É uma funçãoÉ uma função {{--3,3,--1,0,2}1,0,2} {-1,1,2,4} Contradomínio =Contradomínio = {{--1,0,1,2,3,4}1,0,1,2,3,4} ?? ?? ??
  9. 9. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExemploExemplo Relação: DomínioDomínio: ImagemImagem: É uma funçãoÉ uma função ?? ??
  10. 10. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL Propriedades EspeciaisPropriedades Especiais Funções Sobrejetoras: Todo.........é imagem de algum elemento de A. Funções Injetoras: Para todo............existe um único.........tal que . . Funções Bijetoras: É ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
  11. 11. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExemploExemplo Seja: = conjunto dos números reais = conjunto dos números reais não negativos Regra: 1º CASO: Não é sobrejetoraNão é sobrejetora
  12. 12. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExemploExemplo Seja: = conjunto dos números reais = conjunto dos números reais não negativos Regra: 2º CASO: É sobrejetoraÉ sobrejetora
  13. 13. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExemploExemplo Seja: = conjunto dos números reais = conjunto dos números reais não negativos Regra: 3º CASO: É injetoraÉ injetora Não é sobrejetoraNão é sobrejetora
  14. 14. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExemploExemplo Seja: = conjunto dos números reais = conjunto dos números reais não negativos Regra: 4º CASO: É sobrejetoraÉ sobrejetora É injetoraÉ injetora É bijetoraÉ bijetora
  15. 15. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL Outras Propriedades EspeciaisOutras Propriedades Especiais Função Par: Função Ímpar: f(x)=|x|f(x)=|x| f(x)=xf(x)=x44+x+x22 f(x)=2xf(x)=2x33 f(x)=sin(x)f(x)=sin(x) f(x)=f(-x) f(x)=-f(-x)
  16. 16. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL Outras Propriedades EspeciaisOutras Propriedades Especiais Função nem par nem ímpar: f(x)=f(-x) e f(x)=-f(-x) f(x)=sin(x)+xf(x)=sin(x)+x22 g(x)=[f(x)+f(g(x)=[f(x)+f(--x)]/2x)]/2 h(x)=[f(x)h(x)=[f(x)--f(f(--x)]/2x)]/2 Toda função, na pior das hipóteses, pode ser escritaToda função, na pior das hipóteses, pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar.como a soma de uma função par com uma função ímpar. f(x)=g(x)+h(x)
  17. 17. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL Funções MonotônicasFunções Monotônicas Uma função é denominada monotônica quando for crescentecrescente ou decrescentedecrescente, ou estritamenteestritamente crescentecrescente ou estritamenteestritamente decrescentedecrescente ou constanteconstante. Estritamente Crescente:Estritamente Crescente: x1 x2 f(x1) f(x2)⇒ << Crescente:Crescente: x1 x2 f(x1) f(x2)⇒ ≤< Estritamente Decrescente:Estritamente Decrescente: x1 x2 f(x1) f(x2)⇒< > Decrescente:Decrescente: x1 x2 f(x1) f(x2)⇒ ≥<
  18. 18. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL Funções CompostasFunções Compostas Seja e Define-se a composição de X em Z como Notação:
  19. 19. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExemploExemplo Sejam: e Logo: e
  20. 20. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL para todo...............se...................então.................... Funções InversasFunções Inversas Sejam e Para todo...............se...................então...................e Notação:
  21. 21. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL Funções InversasFunções Inversas Pode-se demonstrar que: ff é bijetoraé bijetora ff é invertívelé invertível uma vez que funções bijetoras estabelecem uma correspondência biunívoca entre todos os elementos de X e de Y.
  22. 22. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExemploExemplo Não é injetoraNão é injetora Não é sobrejetoraNão é sobrejetora
  23. 23. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExemploExemplo onde: ff é bijetoraé bijetora ff é invertívelé invertível
  24. 24. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExercíciosExercícios Deseja-se construir uma caixa aberta a partir de uma folha de papel Ofício 2 cortando quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados para cima (uma cola fantástica garantirá a junção de arestas, quando necessária), conforme esquematização abaixo. Pede-se: a) Escreva o volume V da caixa como uma função da medida do lado do quadrado de corte. Qual o domínio da função? b) Estime um valor para a medida de corte que resulte em uma caixa de maior volume. dobre aqui dobre aqui dobre aqui dobre aqui
  25. 25. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL ExercíciosExercícios Para o próximo Maceió Fest, a Prefeitura de Maceió, visando uniformizar o tamanho dos blocos, estabeleceu que o cordão de isolamento deve ter 200 m de comprimento. O bloco Funanestru & Cia, sob o comando do vocalista Eduardo Nobre, vai contratar 6 pessoas para montar o cordão de isolamento na forma especificada abaixo (um retângulo combinado com dois triângulos equiláteros). Pede-se: a) Escreva a área de ocupação do bloco na avenida em função da largura do mesmo. Qual o domínio da função? b) Sabendo-se que, em média, um animado folião precisa de um espaço de 0,8 m x 0,8 m para evoluir seus passos, estime o número máximo de abadás que podem ser vendidos. Largura
  26. 26. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL CurvasCurvas Representação paramétrica: ],[ bat ∈           = )( )( )( )( tz ty tx tv r 3 : ℜℜC a b A representação paramétrica cria uma curva orientada )(bv r )(av r )(tv r t x y z ℜ 3 ℜ
  27. 27. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL CurvasCurvas Exemplos: • Linha reta           + + + = tz ty tx tv γ β α 0 0 0 )( r Reta que passa pelo ponto (x0, y0, z0) e que se desenvolve na direção do vetor (α, β, γ). Reta passando pelo pontoReta passando pelo ponto (8,(8, --10, 6)10, 6) e possui a direçãoe possui a direção do vetordo vetor ((--3, 4,3, 4, --2)2), com, com tt variando no intervalovariando no intervalo [0, 5][0, 5].. x y z
  28. 28. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL CurvasCurvas Exemplos: • Espiral           = 0 )sin()( )cos()( )( ttf ttf tv r A escolha de f(t)=a.t, com o valor de a positivo leva a espiral de Arquimedes. A escolha de f(t)=ea.t leva a espiral logarítmica. Espiral de ArquimedesEspiral de Arquimedes f(t)=t/10f(t)=t/10 Espiral LogarítmicaEspiral Logarítmica f(t)=ef(t)=et/10t/10
  29. 29. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL SuperfíciesSuperfícies Representação paramétrica: ( )],[],[),( dcbaut ×∈           = ),( ),( ),( ),( utz uty utx utv r 32 : ℜℜS x y z 2 ℜ 3 ℜ t u c d a b ),( utv r
  30. 30. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL SuperfíciesSuperfícies Exemplos: • Elipsóide           = tc utb uta utv cos sinsin cossin ),( r Os coeficientes a, b e c definem os semi-eixos do elipsóide centrado na origem. O domínio da função é ([0,π]x[0,2π]). Elipsóide centrado na origem e de semiElipsóide centrado na origem e de semi--eixos 3, 4 e 2,eixos 3, 4 e 2, respectivamente nas direçõesrespectivamente nas direções xx,, yy ee zz..
  31. 31. EduardoNobreLages–CTEC/UFAL SuperfíciesSuperfícies Exemplos: • Parabolóide hiperbólico           − = 2222 ),( ubta t u utv r As seções ortogonais ao eixo z são hipérboles e as seções ortogonais aos eixos x ou y são parábolas. Parabolóide hiperbólico comParabolóide hiperbólico com aa22 igual a 0,9 eigual a 0,9 e bb22 igual a 0,5.igual a 0,5.

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