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Condor 1 1er trabajo io

Minera Enproyec sac.
27 de Apr de 2015
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Condor 1 1er trabajo io

  1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ Facultad de Ingeniería de Minas CURSO: Investigación de Operaciones TEMA: Método gráfico de solución de un Programa Lineal PERTENECE: Condor Araujo Joel Condor 2015 - I Docente : José AVELLANEDA PURI avellaneda7@hotmail.com
  2. EJERCICIOS MÉTODO GRÁFICO DE SOLUCIÓN DE UN PROGRAMA LINEAL 1) Maximizar Z = x2 - 0.75x1 s.a. x1 - x2  0 ….……….. (1) -0.5x1 + x2  1 ………….. (2) x1,x2  0 Solución: Gráfico de las restricciones estructurales: Inecuación (1): x1 – x2  0 m = tg  = -c1 = -(1) = 1 = x2 ; “m” positivo: x2=-1, x1=1 c2 (-1) 1 x1 Si: x2=0; , Si: x1=0; x20x10 Función económica o función objetivo Restricciones estructurales Restricción de no-negatividad m = tg  = -c1 = x2 c2 x1 Si “m”: Positivo (-) x2 (+) x1 Negativo (+) x2 (-) x1
  3. x20 x10 1 2 3 4 5 6-1-2-3 5 4 3 2 1 -1 -2 1 2 Polígono Convexo NO Acotado (Abierto) x2 x1 P(x1,x2) P(x1,x2)=P(2,2) Maximizar Z = x2 – 0.75x1 =2-0.75(2)=0.5
  4. x1-2 x21 Inecuación (2): -0.5x1 + x2  1 Si: x2=0; -0.5x1  1, , Si: x1=0; Gráfico de las restricciones de no-negatividad: X1, x20; y Gráfico de la función objetivo: Maximizar Z = x2 – 0.75x1 = –0.75x1 + x2 m = tg  = -c1 = -(-0.75) = 0.75 = x2 ; “m” positivo: x2=-0.75*2=-1.5, x1=1*2=2 c2 (1) 1 x1 Resolviendo la intersección de (1) y (2): x1 – x2 = 0 ………….. (1) -0.5x1 + x2 = 1 ………….. (2) Se obtiene la siguiente solución óptima única: Maximizar Z = x2 – 0.75x1 = 2-0.75(2) = 0.5 x10 x20 x2=-1.5 x1=2 x1=2 x2=2
  5. 2) Minimizar Z = x1 - 10x2 s.a. x1 - 0.5x2  0 …….….….. (1) x1 - 5x2  -5 ………….. (2) x1,x2  0 Solución: Gráfico de las restricciones estructurales: Inecuación (1): x1 – 0.5x2  0 m = tg  = -c1 = -(1) = 1 = 2 = x2 ; “m” positivo: x2=-2, x1=1 c2 (-0.5) 0.5 1 x1 Si: x2=0; , Si: x1=0; o x1x2 Inecuación (2): x1 - 5x2  -5 Si: x2=0; , Si: x1=0; -5x2-5, x10 x20 x1-5 x21
  6. x20 x10 1 2 3 4 5 6-1-2-3 5 4 3 2 1 -1 -2 1 2 Polígono Convexo NO Acotado (abierto) x2 x1 Minimizar Z = x1 – 10x2 -4-5 Solución NO FACTIBLE o Problema NO SOLUBLE
  7. Gráfico de las restricciones de no-negatividad: x1, x20; y Gráfico de la función objetivo: Minimizar Z = x1 - 10x2 m = tg  = -c1 = -(1) = 0.5 = x2 ; “m” positivo: x2=-0.5, x1=5 c2 (-10) 5 x1 Es un caso excepcional, la recta Z en todo momento es secante al Polígono Convexo NO Acotado (abierto). x10 x20
  8. 3) Maximizar Z = 3x1 + 2x2 – x3 s.a. x1 + 2x2 + x3  10 ……….….. (1) x1 + x2 + 2x3  9 …………….. (2) 2x1 - x3  12 ……….….. (3) x1,x2,x3  0 Solución: x2 x1 x3 Aquí debemos acudir a un espacio tridimensional, y como se deduce el tratar de resolverlo gráficamente resulta muy complicado. Por lo que es menester la solución por otro método y que será uno analítico como veremos en el próximo capítulo.
  9. 4) Maximizar Z = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + x2 = 8 …………….. (1) 2x1 + 3x2 12 ………….. (2) x1,x2 0 Solución: Gráfico de las restricciones estructurales: Ecuación (1): x1 + x2 = 8 Si: x2=0; , Si: x1=0; Inecuación (2): 2x1 + 3x2 12 Si: x2=0; , Si: x1=0; Gráfico de las restricciones de no-negatividad: x1, x20; y x1=8 x2=8 x16 x24 x10 x20
  10. Gráfico de la función objetivo: Maximizar Z = 2x1 + 3x2 m = tg  = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=3 c2 (3) 3 x1 Del gráfico se deduce: La intersección del semiplano (2x1 + 3x2 12) con la recta (x1 + x2 = 8) viene a constituir la misma recta y es en ella donde se encuentra la solución óptima. Resolviendo la intersección de: x1 + x2 = 8 ………….. (1) x1 = 0 ………….. (2) Se obtiene la siguiente solución óptima única: Maximizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(0) + 3(8) = 24 x1=0 x2=8
  11. x20 x10 1 2 3 4 5 6-1 5 4 3 2 1 1 2 x2 x1 P(x1,x2)=P(0,8) Maximizar Z = 2x1 + 3x2 =2(0)+3(8)=24 7 8 6 7 8
  12. 5) Maximizar Z = 3x1 + 2x2 s.a. x1 + x2  1 …….….. (1) x2 - 5x1  0 ………... (2) 5x2 – x1  0 …….….. (3) x1 – x2 -1 ….….…. (4) x1 + x2  6 …….….. (5) x1  3 …….….. (6) x1,x2  0 Solución: Gráfico de las restricciones estructurales: Inecuación (1): x1 + x2  1 Si: x2=0; , Si: x1=0; Inecuación (2): -5x1 + x2  0 m = tg  = -c1 = -(-5) = 5 = x2 ; “m” positivo: x2=-5, x1=1 c2 1 1 x1 x11 x21 1 punto 1 punto Práctica calificada (23.04.20159
  13. Si: x2=0; , Si: x1=0; Inecuación (3): – x1 + 5x2  0 m = tg  = -c1 = -(-1) = 1 = x2 ; “m” positivo: x2=-1, x1=5 c2 5 5 x1 Si: x2=0; , Si: x1=0; Inecuación (4): x1 - x2 -1 Si: x2=0; , Si: x1=0; Inecuación (5): x1 + x2  6 Si: x2=0; , Si: x1=0; Inecuación (6): x1  3 Si: x2=0; x10 x20 x10 x20 x1-1 x21 x16 x26 x13 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto
  14. Gráfico de las restricciones de no-negatividad: x1, x20; y Gráfico de la función objetivo: Maximizar Z = 3x1 + 2x2 m = tg  = -c1 = -(3) = -3 = x2 ; “m” negativo: x2=3, x1=2 c2 2 2 x1 Resolviendo la intersección de (5) y (6): x1 + x2 = 6 …….….. (5) x1 = 3 …….….. (6) Se obtiene la siguiente solución óptima única: Maximizar Z = 3x1 + 2x2 = 3(3) + 2(3) = 15 x10 x1=3 x20 x2=3 1 punto 2 puntos 1 punto 1 punto
  15. x20 x10 1 2 3 4 5 6-1 5 4 3 2 1 1 2 x2 x1 P(x1,x2)=P(3,3) Maximizar Z = 3x1 + 2x2 =3(3)+2(3)=15 7 8 6 3 4 5 -2 6 1 punto 6 puntos
  16. 6) Maximizar Z = 8x1 + 5x2 s.a. 2x1 + x2  10 …….….. (1) x1 + 3x2  18 ………... (2) 5x1 + x2  4 ………….. (3) x1,x2  0 Solución: Gráfico de las restricciones estructurales: Inecuación (1): 2x1 + x2  10 Si: x2=0; , Si: x1=0; X210X15
  17. Inecuación (2): x1 + 3x2  18 Si: x2=0; Si: x1=0; Inecuación (3): 5x1 + x2  4 Si: x2=0; Si: x1=0; Gráfico de las restricciones de no-negatividad: x1, x20; y Gráfico de la función objetivo: Maximizar Z = 8x1 + 5x2 m = tg  = -c1 = -(8) = -8 = x2 ; “m” negativo: x2=8, x1=5 c2 5 5 x1 x1  18 x2 6 x1  0.8 x2  4 x10 x20
  18. Resolviendo la intersección de (3) para x2 = 4: 5x1 + x2 = 4 ………….. (3) x2 = 4 entonces: x1 = 0 x2 = 4 Se obtiene la siguiente solución óptima única: Maximizar Z = 8x1 + 5x2 = 8(0) + 5(4) = 20
  19. x20 x10 2 4 6 8 10 12-2-4-6 10 8 6 4 2 -2 -4 2 1 x2 x1 P(x1,x2) Si “m”: Positivo (-) x2 (+) x1 Negativo (+) x2 (+) x1 m = -c1 = tg  = x2 c2 x1 P(x1,x2)=P(0,4) Maximizar Z = 8x1 + 5x2 1614 18 3 Polígono Convexo Acotado (cerrado) Z
  20. 7) Maximizar Z = 8x1 + 5x2 s.a. 2x1 + x2  10 …….….. (1) x1 + 3x2  18 ………... (2) 5x1 + x2  4 ………….. (3) x1,x2  0 Solución: Gráfico de las restricciones estructurales: Inecuación (1): 2x1 + x2  10 Si: x2=0; , Si: x1=0; X210X15
  21. Inecuación (2): x1 + 3x2  18 Si: x2=0; Si: x1=0; Inecuación (3): 5x1 + x2  4 Si: x2=0; Si: x1=0; Gráfico de las restricciones de no-negatividad: x1, x20; y Gráfico de la función objetivo: Maximizar Z = 8x1 + 5x2 m = tg  = -c1 = -(8) = -8 = x2 ; “m” negativo: x2=8, x1=5 c2 5 5 x1 x1  18 x2 6 x1  0.8 x2  4 x10 x20
  22. Resolviendo la intersección de (1) y (2): 2x1 + x2  10 …….….. (1) x1 + 3x2  18 …….….. (2) x2 = 5.2 x1 = 2.4 Se obtiene la siguiente solución óptima única: Maximizar Z = 8x1 + 5x2 = 8(2.4) + 5(5.2) = 45.2
  23. x20 x10 2 4 6 8 10 12-2-4-6 10 8 6 4 2 -2 -4 2 1 x2 x1 P(x1,x2) Si “m”: Positivo (-) x2 (+) x1 Negativo (+) x2 (+) x1 m = -c1 = tg  = x2 c2 x1 P(x1,x2)=P(2.4,5.2) Maximizar Z = 8x1 + 5x2 1614 18 3 Polígono Convexo Acotado (cerrado) Z
  24. 8) Maximizar Z = -5x2 s.a. x1 + x2  1 …….….. (1) -0.5x1 - 5x2  -10 ….….. (2) x1,x2  0 Solución: Gráfico de las restricciones estructurales: Inecuación (1): x1 + x2  1 Si: x2=0; , Si: x1=0; Inecuación (2): -0.5 x1 - 5 x2  -10 Si: x2=0; , Si: x1=0; X11 X21 x1  20 x2  2
  25. Gráfico de las restricciones de no-negatividad: x1, x20; y Gráfico de la función objetivo: Maximizar Z = -5x2 m = tg  = -c1 = -(0) = 0; la recta Z es horizontal c2 -5 No hay una posible intersección de los 4 semiplanos. x10 x20
  26. x20 x10 2 4 6 8 10 12-2-4-6 10 8 6 4 2 -2 -4 2 1 x2 x1 Si “m”: Positivo (-) x2 (+) x1 Negativo (+) x2 (+) x1 m = -c1 = tg  = x2 c2 x1 1614 18 20 Polígono Convexo NO Acotado (Abierto) Polígono Convexo Acotado (cerrado) Solución NO FACTIBLE o Problema NO SOLUBLE Z
  27. 9) Minimizar Z = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + x2  13 …….….. (1) 2x1 + x2  18 ………... (2) x1 + 3x2  21 …….….. (3) x1 + 2x2  18 …….….. (4) x1,x2  0 Solución: Gráfico de las restricciones estructurales: Inecuación (1): x1 + x2  13 Si: x2=0; , Si: x1=0; X213X113
  28. Inecuación (2): 2x1 + x2  18 Si: x2=0; , Si: x1=0; Inecuación (3): x1 + 3x2  21 Si: x2=0; , Si: x1=0; Inecuación (4): x1 + 2x2  18 Si: x2=0; , Si: x1=0; x1  9 x2  18 x1  21 x2 7 X1 18 X2  9
  29. Gráfico de las restricciones de no-negatividad: x1, x20; y Gráfico de la función objetivo: Minimizar Z = 2x1 + 3x2 m = tg  = -c1 = -(2) = -2 = x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=3 c2 3 3 x1 x10 x20
  30. • Resolviendo la intersección de (1) y (4): • x1 + x2 = 13 …….….. (1) x1 + 2x2 = 18 …….….. (4) x2 = 5 x1 = 8 • Se obtiene la siguiente solución óptima única: • Minimizar Z = 2x1 + 3x2 = 2(8) + 3(5) = 31
  31. x20 x10 2 4 6 8 10 12-2-4-6 10 8 6 4 2 1 2 x2 x1 P(x1,x2) Si “m”: Positivo (-) x2 (+) x1 Negativo (+) x2 (+) x1 m = -c1 = tg  = x2 c2 x1 P(x1,x2)=P(8,5) Minimizar Z = 2x1 + 3x2 1614 18 3 12 14 16 18 20 21 4 Polígono Convexo NO Acotado (Abierto) Z
  32. 10) Una compañía posee dos minas: la Mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La Mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operación es de 2.000 dólares en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el costo sea mínimo? Solución mediante el método gráfico:
  33. PRODUCCION (ton/dia) mina Calidad ALTA ton/dia Calidad MEDIA ton/dia Calidad BAJA ton/dia DIAS COSTO $/DIA A 1 3 5 X1 2.000 B 2 2 2 X2 2.000 Cuadro de resumen de datos: Planta concentradora: 80 ton 160 ton 200 ton capacidad
  34. COSTO A = 2.000 $/DIA COSTO B = 2.000 $/DIA Restricciones estructurales: (1ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 80 (3ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 160 (5ton/dia)x(X1dias) + (2ton/dia)x(X2dias) >= 200 X1; X2 >= 0 Minimizar costos=(2.000$/día)x(X1dias) + (2.000$/día)x(X2dias)
  35. Resumiendo se tiene: MIN Z =2.000X1 + 2.000X2 COSTO A = 2.000 $/DIA COSTO B = 2.000 $/DIA s.a. 1X1 + 2X2 >= 80……(1) 3X1 + 2X2 >= 160 ……(2) 5X1 + 2X2 >= 200 ……(3) X1; X2 >= 0 Solución: Gráfico de las restricciones estructurales: Inecuación (1): 1X1 + 2X2 >= 80 Si: x2=0; , Si: x1=0;X1 80 X2  40
  36. • Inecuación (2): 3X1 + 2X2 >= 160 • Si: x2=0; Si: x1=0; • Inecuación (3): 5X1 + 2X2 >= 200 • Si: x2=0; Si: x1=0; Gráfico de las restricciones de no-negatividad: • x1, x20; y X1 40 X2 100 X1 53.33 X2  80 x10 x20
  37. Gráfico de la función objetivo minimizar 2.000X1 + 2.000X2 m = tg  = -c1 = -(2) = -2= x2 ; “m” negativo: x2=2, x1=2 c2 2 2 x1
  38. • Resolviendo la intersección de (1) y (2): • 1X1 + 2X2 = 80 …….….. (1) 3X1 + 2X2 = 160 …….….. (4) x1 = 40 x2 = 20 • Se obtiene la siguiente solución óptima única: • Minimizar Z = 2.000x1 + 2.000x2 = 2.000(40) + 2.000(20) = 120.000
  39. x10 x20 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 X2x(10) P(x1,x2)=P(40,20) X1x(10) 1 2 3 Z P(x1,x2) Polígono Convexo NO Acotado (Abierto)
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