Frege, g. lógica e filosofia da linguagem

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Frege, g. lógica e filosofia da linguagem

  1. 1. í LÓGICA E FILOSOFIA DA LINGUAGEM Cottlob Frege Ao longa de uma retraída e obscura existência de pro» [essor na Unícenidade de lena, Gotflob F rege realizou uma obra das mais significativas no campo da . Lógica Matemáüca e da Filosofía da Linguagem, obra que conhecida e estimada a princípio por uns poucos especialistas, como Russell, Huaerl e Pearm, iria mais tarde influenciar de maneira decisiva as formulações do pensamento lógico contemporâneo_ O leitor de língua portuguesa, notadamente o professor e o estudante universitário, tem agora a aportmidade de acesso direto aos textos fundamenta": de F rege graças a esta coletânea organi- zada pela Prof. Paulo Alcofomda, da Universidade Federal da Rio de Janeiro Além de ler preparado especialmente para a presente edição um estudo acerca da vida, da obra e do pensamento de Fnege, o Prof. Alcaforado selecionou e tradu- ziu do original alemão os textos aqui reunidos, o que fa: : de LÓGICA E FILOSOFIA DA LINGUAGEM um empreendimento de maior idoneidade e imponência cultural. EDITORA CULTRIX EDITORA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Lógica e Filosofia da Linguagem Editora Culiriv/ Fdíinra m. . llníunvviflorín a. cam Dnnln
  2. 2. GOTTLOB FBECE LÓGICA E FILOSOFIA DA LINGUAGEM C1P~Bniil. Cnulagpçío-ns-Fante Câmara Brasileira do Livro, SP Frage, Gould), 1848-1925. _ . d _ - ; SML high¡ e ¡umdà d_ “Bangu” Sátão_ inkodução' seleçao, Intro uçao, traduçao e notas de indução c notas de Paulo Alooforado. São Paulo, Culttíx, PAULO ALCOFORADO Ei da Univcrsídadc de São Paulo, 1978. Híblipgmfia, (da Universidade Federal do Rio de Janeiro) z. Linguagem _ sitema. 2. Lógica 116gb simbó- 5:: e matemática I. Akofondn, Paulo, 1.937- II. Título. 17. c 13. CDDlóíf 17. -164 18. 511.3 17, e 18. -401 Indices pan galego xàtgmãtico: 1. linguagem : Filosofía 401 (17. c 18.) lbógina : Filasdin 160 (17. c 18.) 1 lógica matemíxiu 164 (17.) 511.3 (i8.) i. lógica simbólica 164 (17.) su. ) (m. ) EDITORA CULTRIX são PAULO EDITORA DA UNIVERSXDADE DE SÂO PAULO
  3. 3. MCMLXÍXV III Direito¡ Ran-vazios EDITORA CULTRIX LTDA. Ru: Conselheiro Furado, 648, íon: 2784811. 1511 São Paulo. SP Impresso nn Brasil Printer! in Brazil SUMÁRIO I ; Introdução I II III IV V VI VII VIII Função e Conceito Sobre o Sentido e a Referência Sobre o Conceito e o Objeto Dígressões Sobre o Sentido e a Referência Que É Uma Função? Aplicações da Ideografin Sobre a Finalidade da Ideografia (hrta de G. Frege a H. Lícbmann 33 59 87 105 117 131 139 153
  4. 4. INTRODUÇÃO
  5. 5. Embora Frege . veja um penxador contemporâneo, de sua vida e de : ua personalidade pouco : e mbe 1. Friedrich Ludwig Goitlob Frege naxceu em Wixmar, Ale- manha, em 8 de novembro de 1848_ Seu par', Karl Alexander, foi o fundador e diretor de uma escola para meninas. Sua mic, Augumz Biallablotz/ ey foi profenora e, maix tarde, diretora da escola que : eu marido lundara. Pouco : e Jabe acerca de . rua infânria e juventude. Aparentemente, teria passado todo eme período em Wismar : ob a orientação dos prafenore¡ Kraín (pai e filho), e _UNION em : eu exame de graduação (Abitur) na pr¡- mauera de 1869, lendo ingrenado imediatamerzle na Universidade de Iena. De sua vida uniuersitúria tampouco : e sabe muito mais, salva a: curmx que fez e o: profexsores que teve. Frege pauoa quatro : emenre: em Iena, da primavera de 1869 ao i'm/ emo de 1871. Durante esse período, leve como prolexxorex, Camber em Química, Fixcber em Filosofia, e Abba, Scbaefier e Sueli em Matemática. A seguir, dirigiu-Je para Cõttingen, onde perma- neceu duran/ e cinco semextre: - da Páxcoa de 1871 a dezembro de 1873 -, and: estudou Filaxofia da Religião, rob a direção de Lotze, Fíxica com Weber e Riedee e Matemática com Clebxcb, Schering e Von. Um de seu: maiorer interesse: quando extudante foi a teoria da: furlçõe: de variáveis complexar, que exrudou com Ablre e Schering. Em 1873, Frege aprcrenra rua disxertação douloral, Sobre uma Representação Geométrica de Figuras Imagínárias 1. Os dados biográficos des: : apresentação dcvoos, em sua maio¡ pane. a T, Bynum. Ao que m: consta, a ele cabe n autoria da biografia mais detalhada que dispomos de Frage. Cf. G. Frage, Canceptual Notation, org. T. Bynum, Oxford, 1972. 11
  6. 6. 11° Plan! ? '. a? ! t qual obter a grau de Doutor pela Urñuersi. Jade de Gõlüagea em 12 de dezembro daquele um_ Amb: que recebeu . ten yu Je Dalmo a Filosofía, Frage pm_ vavelmente pelo professor Abbe, para un posto na Ugiaenlidade de Jana. Entre a: engine-ias que teve que canpcir destaca. ” : ua te: : #ducha-ia (Hnbilitnimsschriit), era-iu pioyaglmgngg em Gotttnga, :ob o título de Métodos de Cálculo Baseados sobre umallàtnnsio elo (Íonccito de Ganha' na qnd dam_ voloeum funcional que contem o: games le na¡ futura: c°"'”b“'Ç0tI a Logica. Tal traballio ¡mprrrrionou : rwízelmente 01' profesxore: Ja Facilidade ie Matemática de Inu, merecendo “Pm-"alfñfflt ; faller elogio: do pro/ error Abbe. Este achou-a 011174. endtfa e madura, indicado grande poder criador, r dotada de verdadeva azginalídade. Etta obra, ainda muito pouco : :tu- tlaíiajdcontáw l-_IIIÍMCIOI conceito: que posteriormente serb deren- "0 W o: : Anna, no : emextre de verão de 1874, Frege inicia . ma atwzdale Jooenre l, durante sem' quarent¡ e quam¡ ano; 17191110: _em Ima, ele dtzíenwolveu uma inlenxa atiuílade de ensino e pes-quam Nunca porem chega: : a ser profesror titular pleno e, eo comemorar_ 60 amor, [aàlbc : regada a conderoraçío mtàxeirm men/ r Cannibal( a todo: os Fofersore: que atingem eua idade 5gb _d alegam¡ Ãe que cartela de : Importância : na atividade aca- dennca par¡ e Universidad? ? . É freqüente afirmar-re que a obra de Frege pernanaeu pm- hcarnenle Jexonbeatia Juraníe toda ou quase Jada na vida. T7¡ 9 _O 4"? Kltrxell afzrma eu inúmeras abra: ', dizendo-Jr : eu ! Inmetro leitor. A verdade, porém, não e' ben: asim. Muito ante; de 1901 ~ ano em que Russell travou o primeífg matam 59'” 0 ? Museum de Frege - inúmeras outra: pessoas, como ""°"'°5 "0 'WG It Jogue, i¡ Enbam lido, comentado e aiticado 1. G.1=, m, - . .., - W, ,-. nã. .., l: ,,í"gzg. ... tg“ãzsf”zzifíüaãz', rrmw"zs "Pufjgido G, Frage, Klein icbrilíen. org. I. Anplcllí Ohs, 1957 Pp. . ' ' 2. G. r . R. a - - - - Croucnbegriigundígíuifã: T EW¡ rñtmgl dê¡ Fica. ; íegríhên, 5084. _ l po: ganga. ? em; .:; ;:= *i°; ;;"= °m ; ,¡3.”§; .,”', ,Í7'. §.'f. '“'“' um": mi B. Russell, Ínfroduçao a Frlorofia Mnrmãtica, 12 mai: de uma de sua: obrax. O penmmento de Frage foi reconhe- cido e elogiado por homen: da envergadura de Husxerl e Penna. O que Runell na verdade realizou não foi propriamente "dex- cobrír" a obra de Frage, ma¡ perceber toda a sua importância e a: implicaçõe: de muito: de : eu: princípios'. Para Frege, mesmo nula fase inicial, já : e vai delineando como algo de fundamental, para aquele que faz Matemática, que ar tópica: básicos - conceito: e presrupoxta: iniciar": - sejam totalmente explicitado: e suficientemente erclarecidor. Irta, aliás, virá a ser um do: objetivos xubiacentes de sua¡ obras e uma da: motivações báxica: de sua: critica: e anzíliser. Axsim, o desejo de classificar a: noçõe: fundamentais' da Matemática e de tornar exata a concatenação dersa: noções - como evidencia uma re : en/ Ja de um insignificante manual de Aritmética¡ pubiicada ainda em 1874 _ talvez tenbam . tido o: fatore: que des-enca- dearam e motivaram a maioria de seu: trabalhar, a xaber, a procura de uma fundamentação para a Aritmética. 'Após algu- ma; explicações parcialmente infelizes - escreve Frage a propó- . tito da obra de Seeger -r da: operações de cálculo e de : eu: símbolos, são aprerentadas alguma: proporições no segundo e terceiro capítulo: :ob o título de "as teorema: fundamentais' e a: fórmula: de tranxfonnaçõex mai: essencímix". Esta: proposiçãex, que formam realmente a fundamentação de toda a Aritmética, :ão reunida: :em provas'. . . A generalização do: conceitos, tão importante em Aritmética, deixa muito a deseiar- . - 0 re- . ndtado de rodar eita: deficiência: é que ao estudante xo' rerta memorizar a: lei: da Aritmética e ficar satisfeito com palavra: que ele não entenda' 2 Dexte moda, apena: com 26 ano: Frege fa' : e encontrava penefrado pela atitude que cmcmízará toda sua atividade inte- lectual: a burra do: elemento: último: e do: modo: pelo: quai¡ se interrelacionam a fim de originar o: diverro: :istema: ou cál- culo: da Matemática. Etta orientação primordial explicaria : eu desinteresse pela pexquixa em Matemática enquanto tal, e mermo, arrixcaria dizer, :eu interene pela Lógica apena: enquanto esta 1. H. Sceger. Die Element: der Aritbmetilr, Hildebrand. 1874. A resenha de Frcgc foi republicada un G. Frage, Kleine . Ycbriften, pp. R$86. 2. Resenha de Frcgc a H. Sceger, Die Elemcnte. Apm! T. Eynum. ap. cit. , p. 9. 13
  7. 7. e' um instrumento ialispensãmel pa¡ seu. : propóñms de [mala- mensar a Aritmética'. Cons isto. eu absoluto, quebre à! que a contribuição Je Frage seia pequena os irrelevatte. Pá¡ con- trário. O que queremos dizer é que, ao que tudo indica, a 'memo contribuição Je Frege à Lógica tai m¡ explicação no flo de ele a entender como ponto de pnnila àseludíoel de ! bla cons- trução matemática. Ela, segundo esta perspectiva, 2 #um como o meio 'mdíspnrível par: a @avaliação ai: .rm Jimi: inicial que é 4 de daríficar our elucidar as noções Eúñzs da Aritmética e que mui¡ Mile se transformará no programa bgistn. É importante odor que Frege, em sua Ideognfia, um¡ Lín- guagem por Fàmuln do Pensammm Puro Modehda sine a da Aritmética ', pubñcada cinta nos Jepois, procurar¡ acata- mente procede-r segrnlo esses prinápizxs. Seu ponto de prtida sera' fixar com exasiião e clareza as noções blink-as sobre as quais se apóia, e a sega? estabelece quais a: proposições : regras de inferêncüs que fama: passível latin o processa dedutivo do sistema. Nesta obra - que em grandes 112mb: : pode ser consideuda como m tratada de Lógica matemática -, Frage pela primeira oez aparenta cr : ea sis-tens¡ notacícmd, qua' dis- crepa essencialmente das soluções contemporâneas por muiito: - o aspecto bidiznevu-iond Ja página iorpressa mediante o sm de barras horizontais e : editais 3. Ele pr: : de quatro noção: pri- mitivas - a negação, a insplicoçio, a idenmílade e a quanlifiaçño universal - e de nove axioma: e cbega a conceitos ia mais alla originalidade e importância, como a : :og-ía de [unção popo- sicional (í. ê., c cruise Jo juizo u¡ função e argument), o uso da quantificação com¡ artíiíre Ja nação de variável'. enmcia EI ftgms primitivas de inferência, esfabeliece a noção Je sqüên- cia e de propriedade hereditária¡ e, determina os : avaliamos lógicos da leosooslrapio por indução matemática. Nesta! aka se encontram de maneira explicita os¡ latente inúmeros dos con- ceitos mais importantes lo sistem Bgico que se Jeoe a Bege. 1. G. Fmp_ Beyiüscbtift, eine der níibnetiscbet riacbgcildeie Formelsprarbe Je¡ reina¡ Denkens, Hal; L Hebert, m9. Rcpuliczdn recentemente : m G. Frç, Begriffsizbriãt : mí under: Aulsiimt, tg. I. Ansezlell-. Aolns. 1564. ~ respámdesnnocaçíovcisuquedízl-'rcge-'llnden Zweck de¡ Begriífsdxriff em G. Fnzc. leyiilsxtbrift, ong. Í. Àsgkllí. PP. 1034 -. xupmdencb is críticas de Scissñder. 14 Deste modo, ele pôde desenvolver um 6510140 l“"'-'¡0”41 d' _-"-"_ ganda ordem cujo cálculo funciona! de primeira ordem constitui uma formalização da Lógica elementar'. ;Talvez seya apenas exa- gerado dizer que esta obra seia o mais importante livro de La- gica jamais escrito 1. O termo 'ideografirz' (Begríffsschríft) ' IGT¡ “(450 P0' Frege pela menos em três acepçães distintas: i) f9Í5'”'d°'V_ à obra por ele publicada em 1879; ii) referindo-Ie) SW 158104 formal ou a _ma linguagem simbólica; e in) refersniio-. re a um sistema simbólico e artificial, elementar, não determinado e do- mdg (pelo menos potencialmente) de uma estrutura e de uma descrição rigorosa. Uma ideogra/ ia - numa ou noutra das : luas últmim' acepçõg¡ . _ como toda linguagem simbólica, tem por ob¡etwo "substituir" e "suplementar" a linguagem natural* Com esias expressões, quer-se caracterizar a função de WM ! mguazem ¡Wj bálica e artificial em relação a uma linguagem natural ou ordi- nãria. A ideografianoisa a substituir a linguagemordliirtãríu face a imperfeição e à insuficiência desta para usos cientificas. Por outro lado, a ideografia é um suplemento da linguagem cnrrenfe na medida em que esta é empregada na construção e descriÇao daquela. Segundo Frege, portanto, a ideografia tem uma característica de osganon ou ndmísxímslum, Lê. , e' concebida de fm? ” WWW"" : cinema instrumental - 'fia de Ariadne', Hnlfsmittel, Inau- chbarcs Werkuug. Com ela, pelo menos tai e' o pensamento de Frege, tem-se um meio precisa de se veicular conceitos ou um maia ; ggum de ; e obter certos resultados cientificamente rele- 04711.95. Embora Frege compartilbe da concepção de Leibniz, de que a ideografia deva ser encarada como um meio e um instrumento, na entanto opõe-se a Leibníz na medzda em que concebe este 1_ Ta] é a opinião de J. van Heijcnoon, From Frege to Gãdel, Harvard, 1967, p. 1. _ 2. Este termo, como se sabe, iâ fora usado anteriormente. a Frase po; ?ÍITrengdenbusg, Hisloriscbe Beitriil! ZW PWWONRC: 331m1: 186% vo. . . 3. "llaais palavras são usadas por WnM- Kntik'. Tb! DEVEÍWMM¡ “l logic, Oxiord, 1962, p. 513. 15
  8. 8. instrumento como tenda : m domina¡ ralrim e Bem leõnitado de atuação. Sab : :ie axpecln, como vemos, ax preteruõexale Frege : ão muito mem: ambiáomx que ar: Je lábniz'. Para ele, a idea- grafia tem : ea domínio de : lação ámtnxcrilo a' Iãgia e à Matemática, :: quanto que para Leíbaiz a lingua chncteríca não deveria ter. , em princípio, lirnfeaçíes. A Ecografia de Frage pretende mbuíuir a linguagem tmn-ente em Jeterminaíq ativi- dade: científica: Deste moda, .ma dabuação ! em coro finali- dade precípaa aperfeiçoar certo: !métodos cientificox e jim de tornar passível o desenvolvimento de deierminadn ciêmíw. 1 A ideografia foi, portanto, concebida por Frege segunda id: prêr -requisitoír rei ílxirumenld em ma natureza e limitada m¡ sua aplicação. 'Assina esta ideogralú É um ÍIIJIfNIII-Ellü, mtebido para detemzíndn: fins científttar, .e que não pode ; n male-nada pelo fato de rtíoxerurir para outras fim. " N eita menu fase, Ialvez por ñnufieiãrtia de mai”, e ainda por : eu vacablcirio ! étnico não x( encontrar : ufiáenteneue de- senvolvido, ele Íohrtula certa: identifitaçõe: que serio, posterior- mfñff, tlíslingídax. Axrím, Gedzmkc, 'pemamtnm', ainda não tem o sentido mico que assumir¡ mai: trde, bem coma, [einen Dcnkens, 'permanente puro', tem' »este momento, run-io em comum com Bcgríff, 'coneeitoÍ Aínda neste período, Frege anocia o termo Inhalt, 'conteúdo', totalidade da não ex- prexira pelo riu¡ e Beãeatlmg à efardraparlida significaria: : dos : mau: A Idcografi¡ teve, na vcrdatle, uma recepção muito fraca, ou mexmo palm-e dizer que passou despercebida, O: :amen- tãrio: e nunka; a que el¡ deu «origem - esxenáalnezte de Laxxwitz, Hoppe, M übaêlir, Tamerjy, Ven¡ e Scbrõdey 1 mesmo quando Human: atitude: mai: azcdbedoras, nela não : iríam- braram acalma program no plaza científico. Talvez um¡ da: _ 1- Quanto i : chão mu: idacgzafn e linguagem corrente_ assim ¡DEEÍPICÍQ R. Smníeld a ¡ñuzk de Fra: n construção d: n¡ Be- ZFIÍÍ-'Ifbüfk 'Mitac nesta às: inicial de nu pensamento. Bege se “WN” Wmpíofidüo çmn o ¡zincípio segundo o qua¡ uma audi: lógica d! ¡IREI-Marq! esta Isenqalmgnle envolvida : un o que ; mk sq- dgobgno _no_uso da ordmãzu. Ele t: : : a ntüfua do microsuój¡ Qlícada “ ¡Hlãuaztm tudu-m x Em de revelar sua estrutura. ” R¡ Suernfü, Fregeü Lozacal Theory, &meu; 111. ma_ p. "v. 2- Brtríl/ Ixbríft. p- ri- 16 razões pela: quais esta obra de Frege tenha tido uma acolhida tão fria seia o caráter intrincado de : eu xixterna notacional, Por outro lado, a originalidade temática e sua apresentação inusitada teria : ido outro fator deua incompreensão. Finalmente, outro componente não derprezivel poderia . rer a carência de uma apli- ração imediata e sua: passion": limitaçõe: bearíxticar. Corn irta, :ea projeto de preeíxar a: noções bãxica: da Aritmética e o: fundamentos mbre o: quai: ela: :e asxentarn . ro/ rea uma parada ou um dexvio. Em vez de levar mai: adiante o dexenuoluirnerxlo de : ua ideogra/ ia e implementar de forma substancial . mas apliv cações, Frege paxxou à sua defesa, rexpondenda a seu¡ opositores. Axxim senda, poucos ano: após a publicação da Ideograíia, Frege redige quatro pequeno: artigo: onde esclarece e defende as pu- . riçõex axsumídas em . teu livra 1. Ao escrever o artigo 'Aplicações' da Icleografia”, .teu intuito fundamental era "dar inúmeros exemplo: de como, me- diante . tua ideografia, relações aritmética: e geométrica: podem . rer expresíui'. E Frege chama a atenção a rerpeita da genera- lidade e ineIpeci/ ícidade da ideograíia dizendo 'que o: xinai: utilizador não foram especialmente inventado: para cada cam e: - pecial, ma: têm xignificado: tão gerai: que ele¡ são suficiente: para dar : :anta de relaçõe: a: mai: gerais”. Em: obra, na ver- dade, pode . ter conríderada como um mem apêndice ou Ixlplt- mento do livro de 1879. Teoricamenfe ela nada avança, apena: fornece exemplo: concreto¡ para indicar, de mada palpável, a capacidade resolution de : eu sistema lógico. A xeguir, Frege e: - creue 'A Lógica Calculatória de Boole e a Ideografia”, artigo : ó paxtumamenie publicado, no qual ele expõe e compara rua ideografia com o que ele denomina de lógica calcnlatória de Bacle. Nele, Frege mara-n que não poderia, para a: fin: a que 1. São ele: : 'Anwendungcn der Bcgriflnchrift' (1879); 'Books red-mande Iogík und die Bcgriffsschríft' (1580-1881) 'über die wis- sensthnftlichc Berechtígung einer Bagríffsschrift' (1882); 'Uber den Zweck der Begtíffsschríft' (1882). A 2. G. Frage, “Anwendungen det Begrífísschrífz', rcpubhcado em G. Fregc, Begriflsxcbri/ t und andem Ati/ mtu, org. I. Angclcllí, Olms, 1964, pp. 89-9). B. Idem. p. 89. 4. G. Frage, 'Books rechnende Ipgík und di: Begríffsschxiít', pu- blícndo em G. Fuga_ Naebgelasrene Scbri/ ten, mgs. Hermes, Kambancl c Kaulbach, Meiner, Hamburg, 1969, pp. 952, 17
  9. 9. ,g pagan/ x, empregar o sistema lógico Je Book, necessitava de um sistema lotada de maiores recursos, e uma Jefemíe a ¡upa-¡oyidgdg d; seu : is-terna sobre o de Bode 1. Derínnndo ligei- ramente pm: um fama de abordagem. Fita; aq! !! 01600 trabalho menos témico, 'Sobre a ! artifício Cnentrfrta uma Ideagmfía' É gl: encerra uma 85% caga l# ZÉ” 452m0' lógica e : bau a atenção para os 'uiatendidos' e 'erros' que 'têm origem no imperfeição de Entrega¡ Para tornar posúoel a exatidão e contornar as inevitáveis equívocos das linguagem naturais, e' necessüío que esta: :cita subsmuícias - nos contextos onde for o uso - por : na linguagem logica mente perfeita, ii, uma iÃeognI/ ía. E, finalmente, no ¡esrno ano de 1882, Prego profere uma conferência - 'Sobre a Fina- lidgdg da ¡indir! _ cujo tema, como o titulo mesmo o indica, nen-ava : abre a Iinalidade e objetivas th! ¡Ãmgmhh P019' mizando com E. Scbrôder. Nda Frege resume brevemente 0: sistemas de Bode e explica por que este não pode NbIl-Íhlf Seu sistema ideogrífüo. Duas razões sã; ¡prexentadas como rele› games. ln timing, o; objetivos de um e de outro são distinto: : Fregc visava a mnslruir uma Engua dunclztistia, enquanto que Book s: proprzb¡ a realizar an¡ almlns ntiotinatot. Fm se- gundo lugar, o título de Baal: não ê apto para exprimir todas as expressões e , formas de inferência a que Frege visava corn _rua idgggmfü_ Dá ele poder dizer na conclusão do uterino: 'Tr- vesse ele [Scbrãder] tentada traduzir para um! 11020070 918 di¡ ser a mel/ Jor algunas das fórmulas do terreiro capítulo d! MÍIJÍM obra [Ideogpafu, Tereeíra Parte), e as qse, b¡ algum tempo, tive a honra le pablítar, e teria verifica/ Ia, :aa Jificuldaaíe desta tarefa, o que b¡ Je errôneo em sua concepção' s. 1. Postaintnmrc. em 1882. acreveu um : :inn-n menor ímitulado 'Boots logische Fumdsprache und nã: : Bqriffsthriíl'. ai¡ piíiüçã° êfgijgiciuda pela diurna, Cir. G. Frage, Nacbgelanme cbrifun, pp, _ífàhng guga, 'Oba the wÉIIsdIÍIÉBc Bctaçhtígunfoánlír à: x t”, .Flqe, Begn'. r$c', .. Anadia . . indução brasilia &vil; miiynrfbirx? H, dos SnnmspOs Portadores, Abril_ Vol. XXXVI. 3. G. Puga, 'Sobre a Juni-bão'. ¡Hd- ¡1351 P- 195- 4. G. Flag; 'Oba' dm Zwui dr: ', :: palácio ! m G. Frage, Begriflmziilt, org. I. An@ellí_ p. 911%. 5. G. Frge, Iepí/ fxscbrifl, mg. I. Angddli, p. 106. 18 Fiada a fa: : por nós definida como "defensiva", Frage ela- bora um de seus livros mais importantes, a saber. Os Fundamentos da Aritmética. Uma Investigação Lógico-Matemática sobre o Com ceim de Número 1, publicado em 1884, e que é sem dúvida a mais [ida, a mai: acessível e a mais filosófica de sua: obras. Nela, cuidadosamente, ?rege exclui toda notação de natureza lógica ou matemática e desenvolve um minucioso estudo crítico das so- luções ja' apresentadas acerca da noção de número e de outras noções fundamentar]- da Aritmética. E o que ele observa é que os matemáticos não estão aptos nem interessados em investigar este: problemas. 'A maior parte dos próprios matemáticos não está preparada para oferecer uma resposta satisfatória a tais questões, Ora, não é vergonhoso para uma ciência estar tão pouco esclarecida acerca de seu objeto mais próximo, e aparente- mente tão simples? 3_ Deste moda, ele se propõe a crititar as soluções apresentadas para explicar a natureza do número e, a seguir, oferecer uma solução para esta questão. A parte crítica ou negativa dessa obra se constitui, essencialmente, numa crítica ao formalismo** - para o qual os números se reduzíriam ao sinal (ou símbolo) enquanto mero objeto material -, ao empi- rismo 4 -- segundo o qual estes teriam por base a experiência psi- cológica oriunda de nosso conhecimento sensorial do mundo físico -, e ao psícologismo 5 e conforme o qua¡ os números teriam por fundamento objetos de natureza psicológica e subjetiva pro~ duzídos pelas lei: inerentes ao pensar - concepções esta: domi- nantes ou subjacentes as diversas soluções apresentadas à questão da fundamentação da Matemática. Os números (e as outras noções fundamentais da Aritmética), segundo Frege, podem ser definidos com exatidão, em última instância, levando-se em conta apenas a: noções da Lógica formal, e as proposições acerca das 1. G. Frage, Dic Cnmdlagen der Aritbmeiik. Eine logíscbvmatbe- matiscbe Unteuucburtg über der¡ Begríl/ der Zabl, Brnlm, Koebner. 1884. Jr¡ contamos com tradução par¡ o português, devida ao prof. L. H. dos Santos_ O: Pensadores, Abril, vol. JDCXVI. Z. G_ Frege, Fundamentos, Introdução. 3. Idem, S 96. O formalismo criticado por Frage não se ídentífia necessariamente com o formalismo hilbeztiano, de elaboração posterior, cuio obictívo básico sería, aproximadamente, a construção de provas mctamate- mâticas consistentes e ííniústas par¡ a matemática clássica. 4. Idem, Introdução. S. Idem_ Introduâo. 19
  10. 10. números pode¡ : er derivada: a partir do: axioma¡ e da regra: de trartsfomiagío da lógica. E iria muiito¡ o que se daonina de progmm: bgícisu_ Exit, :e bn¡ que já cogitado de todo mai: ou menor explícito por outro¡ pandora, só an¡ Frage ganha a: bue¡ operatório: que per-pátio: : derivar a hñuética da Lógica'. O logic-ima de Frege, porá! , tem um : trapo di: - tinto do togdmo de Russell, pois enquanto : :ie procurou re- duzir toda 1 Àlnrtemitíu i Lógicigfrtegcjjtrirqu ertçyposnjilüa ç apena: para ¡Aritmétiu dem-nur e i Anilha. Da Geometria, no entanto, :cnpre leve Ill concepçío distinta_ Eita . raia irre- dutíurel â Lógiu, posto que, o : eu ver, :ai: constituída de mun- ciado: sintéticas a priori. No: Fundamentos da Agitgglijgtñigc des-caga; _na a mon: definição de número (cardind). No entanto, o programa logicisheyroncefído por Frage exigia que exta noção fone defi- nida em termo: extritemeale lógitnu. Segunda Frage, a Ugíca rempre . re ocupou com as noções de cnmdto, mir sob um con- ceito e exrensío de um mnocito. E: : termos lógica, QLQ- v1.1, diz ele, riãgplgggggzggyíbnídogao: indivíduo: (ou coixax), ;nas an; gonceizox. dxsim, ltrmarmpyqgeayivlpaxa- vilhas dam _ _ g5: venAâÃc. estorno; aãyuglggye sob o cuncáto d: : 'maravilha do mundo' caem sete indivíduos. Dita em outras ter-mor, ã pergunta 'Quantas são as noraailba: do mundo. ” a res-parta que cabe . terá um número tardia' e este número será uma pmprícdde do conceito de maravilha tb mundo. Tai; noções, pertencente: ã Lógica para, podem ser "induzidas" ou "reexcrílef em tento: confunda: : utilizando-se a não can- toriana de potência (Midnigkeit). O que levou Frege e for- mular nto definição de número cardiac! foi, pravavclzatz : eu extudo de Calor 2. De feto, não (ai: tido dificil pm¡ Frege notar que cento: conjuntos que Cantor denomina de 'potência' têm toda: a propriedade: : do: número: cardinaix. A: noçõex cxxardci. ; envolvida¡ no conceito canwrimo de . . - . . . . potencia . mo. - classe, pcrtmcncxa e oonupondêrxcna de un para l. _Na fa: de elzbuzáo da Ideogufie, Fxqc, ao que paste, ainda n59 ¡Iffu candido o propria logicisu A idéia da teduñiliade da Ammema i Ilda E como viável ! ns Fundamento: e : S derivar mcnte elabonà, em 1593_ ms leis Famlaaemiu da Arilmílkax, 2. Cfr. Fundamentos, SS 8586, noch e' àmtid¡ a teoria de Cantor. 20 um (do: elemento: de uma clone para o: elemento: de outra clan-e). Mediante a: noçãe: cantoriana¡ acima mencionadas ›- que por sua vez permitem a definição conjuntixia ou clan-ma de número _ Frege evidencia a posribilidade de . re derivar de sua Lógica formal uma teoria do: conjunto: arxemelbada à de Cantor 1. De forma abreviada e pouco precim, o procedimento é o ; eguíntm aí clgsygiyãgiidfpjdagrcorno extenrãe: de certo: conceitos, - : :pertinência a uma clone que Jeja a extemão do conceito F pode ser definida como caindo : ob o conceito F; finalmente, resta definir em termo: lógicos a noção conjuntirta de correspondência de um para um, que ele pôde realizar utili- zando a¡ noções do cálculo funcional por ele desenvolvida; ante riorrnente em sua Ideografia. Arsim . renda, podem definir o número de um conceito F como a externa-ão do conceito : imilar a F. Em definição envolve que . re defina o conceito de segunda ordem , fgirnilarwa F'. Diz-Je que um conceito P é similar ao conceito F : e o: conceito: que caem em P caem também em F e se o: individuo; que caem ml: os conceitos que caem em P caem também : ob o: conceito: que caem em F. É importante ter presente que a definição acima não e' uma definição de 'ná- mero', ma: de 'o número de F'. Note-Je que : eu esforço : e centra esrencialmente em obter uma definição de número (car- dinal) a partir de naçõe: que sejam, em última análise, expecífica¡ à Lógica, e por inc ele parte, como dixsemox, da noção de con- ceito. E, deste modo, ele julgou ter encontrado or meiox, ou pelo ~ menor uma orientação, para a redução da Aritmética a Lógica. No: Fundamentos da Aritmética ainda não aparece a di: - tinção entre sentido (Sion) e referência (Bedeurung), noçãe: que terão a maior relevância no pennzmento de maturidade de . Frege. No entanto, nem¡ obra 3, Frege dixtinguindo de modo radical a: relacãe: entre um obáero e mas propriedades, dá mn pano deciriuo no . rentido do estabelecimento dessa dirtinção. A dixtinção real entre tw¡ objeto e : um propriedades tem, corno I. Idem. É 72, 2. Frage, quando csczevía os Fundamento! , WWÕÍISVH que Su¡ C01¡- cepção de classe fosse idêntica à cmtorizna. Posteriormente, ele modificou sua concepção. Cir. :cscnhl de Fzege a Cannot, Zur Lebre vom Trans- finiten, em Zeítxcbrift für Pbilompbie und pbilompbixcbe Kritilc, 100 (1392), pp. 269272. Replicado cm G. Frage, Kleine Scbriften, pp. 163-166. 3. Fundamentos, S§ 2132. 21
  11. 11. sabemos, repernusãn no plano lingüístico; os objetos serio de sigrtada: por points próprios, enquanto que as propriealndn', por expressões predicatioas. Por outro lado, do tor 0,_Ç4&. .If'. szteeztràrlrilgéàçtmmte. peh razão -, «ru-o : e Já. por exemplo, com os números - o¡ indiretamente pela sas-ação e percepção, Lê, pela apreensão de . mas propriedades, donde a distinção entrega_ o_b_i_eto e propriedades eorrespader à distinção entre um objeto e sea god de apresentação. Este última pode ser o da sensação e percepção, ou ainda, o à: lín- guagem, Lê, pelo entendimento do¡ sinais da linguagens. Em- bora nesta obra Frege ainda não listing¡ Sims de Balatung, no entanto, ele agora emprega este Étimo termo com maior espe- cificidade. Mais ainda, _glejqrnílsgçegos _critérios básicos gundo se tem em vista germinar_ dmtwggjggo¡ temo. Deôzício, isso só e' possível quando se oisualsza a integração do mena num contexto língãístiev mais amplo. ' ¡0 (Satz)____; êm ag-_pglouras prrtgignerrte um significado (Reden- tung)' 1. Ou ainda, 'deyeasç pagarem _pelo significado das pa- lgzggs_M_ç-9gte5tq propggtãq, e não isoladamente' Â Como tais textos indían inequivocamente, segunda . Frage, não fa: sen- tido querer determinar o significado de um termo, a ni) ser dentro de um contexto frasal ou proposicional, pois sonate aí ganha este contenido significativo a possibilidade de vir a ser definido. Tal modo de encarar o significado se apóia n: con- cepção segunda a qua¡ Q siguifjtado de uma palavra Liga sel-_eslabelecido Mediante a noção de coguibuiçãu daigiagza _ao contexto em gate_ lsiq___ __plica dizer que cs pa- lavras, quando i pareçam de significado, mas q: seu sigíifícado só e' ; ›, mediante a [unção que desempeúa em tantexÍoTà com exos. Ma: e' importante notar m! " em' aspecto, embora necessário, não ê suficiente para configurar a Bedcutung de um: expressão. Frege assinala ainda n: outro aspecto. Ass-im, :: create ele, 'dem-ue segardgitidamente 342:¡- C0 P. Este W352i! ? É fundamental, e está profundamente vinculado ao princípio ante» rien-mente entuuíado (Lê, que a delenninação do signütdo de X 1 deu, S 60. 2 Idea, Instalação. 3 lda¡ uma expressão e' dependente do contexto). §e gãg ; e observar o primeiro 2rirrcipicmenczhttL1o. 'Ike-ste 4144x4414.: aêzigadoa tomar_ , como _a_§edeutung_da_s__palavras, imagens internas patos da mente individual', e assim a transgredir ainda o segundo prin- ; ígio ¡. Este tese, como se vê, está em radical oposição ao psí- cologismo. (Errorxeamente se atribui a superação do psicologismo o E. Husserl -_ lngische Untcrsudxungen, 2 ools. , Halle, 1900- -1901. - Na verdade, foi Frege quem pela primeira ue: criticou severamente a tese psícologista e assim influenciou Husserl, mas este nunca reconheceu publicamente este fato Ã) Mediante estes dois princípios, pisa Frege a mostrar que a significado (Bedcutung) de uma expressão não pode ser de naluv reza subjetiva ou individual. Através de sua teoria do signifi- cado, Frage encontra os fundamentos para a sua ideografia, e isto mediante as seguintes pressuposto: : i) os objetos existem¡ ii) as números são um subconjunto deles; iii) os objetos são (aguas- cíveis; e, iv) a Aritmética tem neles seu conteudo 3 Mas o desen- volvimento e as conseqüências destes princípios, estabelecidos em seus Fundamentos, só se darão amu mais tarde, quando seu pen- samento atingir a maturidade. Apesar de todos os esforços desenvolvidos por Frege para ! amar os Fundamentos da Aritmética uma obra interessante, sua repercussão não [oi melhor que a de seu primeiro livro. Mesmo os especialistas mai: proximamente vinculados aos temas nele ver- Mdos, mostraram a mais absoluta indiferença. As resenhas que ele mereceu de Hoppe, Lasswitz e Cantor não foram nem exaus- tivas, nem favoráveis_ Desse modo, o livro_ passou despercebido por mais de duas décadas, excetaando-se as observações que Husserl lbe faz em sua obra Filosofia da Aritmética 4. 1. Idem. 2. G. Patzíg, Sprarbe und Logik, ;L B_ nota 3. Husserl, como s: sabe, estudou com extrema cuidado os Fundamentos e teceu inúmeros comeãnxírios na margem de seu exemplar. Cir. Frege, Kleine Scbríften, Pp. 31~2. 3. R. Egidí, Ontolagia e Conoscenn Matematica, Firenze, 1963, p. 25. 4. E. Husserl, Pbilosopbie der Aritbaetíle. Pryebologiscbe und la- xfmb: Unlersucbangen, Halle - Salle, 1891, pp, 129-134. Frage, por sua vez, responde às críticas formuladas por Husctl, e formula-lhe ainda outras em sua : senha a E. Husscrl, Pbilosopbie da Arítbmetílc, cm Zeitsrbr. für Pbílos. and pbilns. Krilik, 103 (1894), p¡ 313-332. 23
  12. 12. i a n r a _mm_ . ,_ Não abrtnllt a [um recepção de na obra, Frege raiz aban- dona sua: inoedigaçõex_ Em 188,7 profere uma conferência em Ima sobre a teoria formal da Aritmítica 1, onde dixcute em que medida, :: gundo . rua concepção, uma Aritmética pode ser dita formal. Nesta fa: : . mig ' através de un série de nrtípr, ma: contribuições mai: origina: à Filomfía h linguagem. E aqui também seu pensamento dirige a matariÀJe. Deste mola, pode ele contraxtar nu Idcngnfu e o: Fundamcnms da Azitmética corn o: recente¡ lesennrolvírtento: obtida: em : eu: artigo: 'Sobre o Sentído_e a Referência' (1892) efglgigçgçnceito (1891). 'Disto pode-se lepreender, ercreoe ele, que o: anos não pas- mram em não desde o aprecírnento de minha Ideognñ¡ e do: Fundamentos; :lex trouxeram minha abr¡ ã maturidade". E sabendo-xe que 'sobre o Conceito e o QéígtoÍ (1892) [of redi- gido conjuntamente mm ns dois artigos anteriormente mencio- nado: _ pasto que o: cita e dixcute tem: : afim' e complemen- tare: e e estes', por na vez, fazem a ele referência, seguem que . mes ! Lê1_4Lt&zat. .m›vtstMem_2J2enxrrntc_at.2_d. e' matwílaée_ de Íizgg. Esrencialmenle 3M mntribuição ceara-Je numa Jücasxãa virando a cluríficd, de u¡ lado, a: noçõe: de objeto, wnceito e função, e au' relações que se dão entre tu Menna: e, d: outro, a: noções de sentido e referência. A retomada demo: discurso: : é feita por Frege em se¡ npzíxculo Eumg' e Conceígo. de 1891. Aí ele generulíz¡ &miami; a : moção de giro, opgnJo-a read: znãrLfLUmhLqMe. Fuvcíp, :. .r›. êj$e_. são, .os , dois Arame: Íurxdamentai; d¡ realüode. Segundo Fregc, tudo quanto existe ou é função ou É obieto. Ene: doi: aspecto; danificatáaio: :ão irredutívei: : nada pode m, .rímultanmmggtg funçao' g objeto. 0 quanto que a¡ ugçoízLuJw' , . A: funções' . re Herangxiu¡ em tuga); à grimgra grin); -- aquela cujo: argumentos são objeto: _, iggegmdLggrlw 49149141' mio: argumento: são funções de primeira ordem, etc. DO "Ie-WO maria. argunezzmx. _ 1- _G4 _FI-tgc. 'Oba html: Wooden d: : Àtílhmetík', jmaiscbe Zcxncbn/ t [ur Nzuwwiucutbqfl, 19 (1885-6), pp. 94404. 2. Grundgentzg_ I_ p_ x 24 O¡ conceito: são @Mães de um único argumento, cujg: valores _ção tratores_ dgperdade. Neste mama opúxculo discute ainda a: noções de argumento - entendendo-o como o objeto que corn- plelaria a função --, de valor (de uma função) e percurso de valor (de uma função). No ano seguinte, publica o : eu famoso artigo 'Sobre o Sentido e a Referência', onde a noção de con- teúdo (Inhalt), sistematicamente empregada em obras anteriores, e' decomposta em sentido (Sinn) e referência (Bedeutung). Neste trabalha ele procura mostrar que esta dixtinçãa : e aplica ao: nomer próprios', às Jentençax, bem como a _mas oraçõe: com- ponentes'. O referente de uma exprerrão ê o objeto que ela de- signa. Assim, '2 + 2' e '6 - 2' : e referem ou designou: o mermo referente, irto é, 4. Q modo pelo gua! uma exgrerrão _Iggg particular da: sentença; :eu : entidLé um &gqtggnjojau pro- porição) e . rezueíererrze um valor de 9674413_ (a verdadeiro ou o faixa). Note-se que_ fgezçggttsiticrg. .gzjdgttlàzer@e @jetorhe a: todLJenlença é axrirnitada a mg: nome génio, A : entença '2 + 2 = 4' e' um name próprio de o verdadeira_ Neste mesmo ano, aparece o artigo ' ! <2 QÀQMQÉBÍLME procu_rg desfazer o: @agir/ gear tie §. _Keny acerca de xua___ngç@_zz'g conceito_ tal como 193,10; &LM; Fundamenp_ tidão a noção de conceito, Kerry foi levado a identificar o termo 'conceito', na acepção que tem em Frage, com sua acepção de orientação psicológica, Entre o: temas que aí : Ea dixcutidos, destaca-Je a gcLaniqfrjgge err¡ _admitir_ a_ ! eye de Kerry ; gado : igual um objeto, eventualmente, pode vir a S81' um conceito, c_o_rgo_an_te_a; ;jtuwações ou contextos. Para Erçge, um Qbieta cai : job um conceito com o conceito the assinale; como valor o ver- , dgdeiro Um çnnceita cai em outro conceito (ou está : ubordi 'Mão «outra conceito) x , cam, sa1› . sz P . .g_zzuvd0› Toda: esta: invextigaçõe: tiveram profunda: repercusxões, embora muito: anos depois, sobre a Lógica e a Filosofia, e deram origem a uma nova filosofia da linguagem. Quatorze ano¡ zzpó: a publicação de : ua Ideografia, Frage publica a primeiro volume de sua monumental obra, Leis Fun- Como este livro não derem/ vlw com a cuida exa- 25
  13. 13. damentais da Arimxaica 1, c- que procure. mr- rxtrmo rigor. levar a cabo seu moita de redsão d¡ Aritmética à Lógica. A¡ ele lama a rzczplicrm : fuma mmioul, a teoria¡ do: níancm: eardinair, a : copio de alemão nun: .veqíêria, uma : érie de digrenõe: le : duran Hosãfira - tai: coma n gtjipgíçglggfíttto, agf; ag_ rlz: -- e ainda outro: tópico: afins. NOÍEQ' q e tais tentar, le um : do ou de outro, em : na essêrh cia, fã tinhas¡ . tida valeria-mente &metida; em outra: obrax. Ixto porém nã: tàu n _pule odor date livro 1m que concerne a' precixãa do: macular, à : união das demomtrcgñe: e ao duen- volvímenta de ÍIIJÍMCIIS outra: noções que ate' então não tinham : ido por ele foruahdn. A recepção da abra [ni extremamente fria. Aperta: daa: relerzba: apareceram a 21¡ rexpeilo, uma por R. Hoppe e outra por C. Penna, e ambn lesfaanráveix. Isto, no entanto, não arre- ieceu o ardor de Fray tw sentido de levar a termo : eu projeto logicíxta. E mesmo parque o primeiro volume dessa obra enter rava apena: um¡ pagina portrait tudo quanto Frage teria de desenvolver pa: tomplrlar o su¡ intento. Desta forma, o pri- meiro volume qua: : q: : : :tn-ú a exigir um segundo que o viene a completar. No entanto, Frege não o fez imediatamente. Ante: da . rurgimertio do se vnlume, publicou m: : : ei: artigo: ver- : ando acerca de problema: relativos a' m¡ ideogralia e à noção de número. Em 1903, o . segundo vohune da: 1x15 Fundamentais da Arit- mética 7 ia' : e encantam no prdo, e Frege sentia-xe totalmente realizado no que respeita¡ concretizado de : eu projeto, uma vez que, nesxa obra, ele aaníitn¡ ter efetivamente demomtnda que toda a Aritmética ter: m¡ [andamento na Lógica. Assim, após dirmtír rrrinttcioxamzenft z Lógica primlogista, que crê . ter bmw'- terztâvel, afirma que 'M10 o : :gundo volume [de Leis Funda- mentais] é, m¡ verdade, 'um denominação d: m: : earicepçõe: lógicas. De xaída, e' ; mto provável que : emelbante edifício _ 1. G. Frage, Graham: : ler Arítbmelik. Bcpíffntbriltlicb abge 70W! , VOL I. Ima, H. Bila, 1193_ Bananauemc, rqmblicada, sob o mesmo título, po: G. ou, imduhnan, 1962. 2. G. Fn-. gc, Cmslgnuxe ler Azítbnerik. Beyílfrwbriftlieb abge- Ieitet, vuI. II, jun, H_ Pdk, m). Repnblicndz, anjunmncmc mm o pnmeíro volume, por 01m, 1962. 26 ? miau m. ,Mzguda mb" um [andamento inseguro ou errôneo. Qzâem quer que tenha outra. : concepszesçfoítfúeyfâfiitlfpátü-TÍTL' : o re erra: uma corutruçao : eme an _ , _ . _› que não funciona tão bem. Como refutaçao : ó ppdena 'admitir que alguém mortraxse : u prática que com cortcepçoe: bancas du- tínlas pode-xe edificar algo de melhor/ df "Mi-f 56H40: 33mm"" tram que meu: principio: levam n_ ggrt-Ttâüíñmf V“¡WI'”"“° falsa! , Ixto, porém ninguém conseguira 1._ Neila_ 057a. ele 461W' value a: noçõe: de número negativo, füílaflllr 1774153034¡ e co? ” plexo, além das operaçõex asim": da Arttnjêflta. ?#3774740 “NV” a diseunão em tomo das nações essencial. ? ! I'd ÁYIÍMFÍI5Ê< No entanto, em junho de 1902, Bertrand Ramil eJcreve-lbe uma carta mostrando que : ea sistema implicava um paradoxo qu? If tornou posteriormente conhecido como o 'paradoxo 'de Rufl? ” - Em emerge da teoria do: conjuntos, que Frtge utiliza 4 f"" d? definir a noção _de número. Expecificamente, este problema : e localiza em _mg Lc¡ Fundamental V, lei esta : abre a qual o pro- pria Frege fizera alguma: rellriçãe: É_ Sua "M630 ll" de Pmlímdü decepção e melancolia. 'Nadnb mai; íiffifíf. 9137998' fle¡ 5053 ocorrer a um autor e uma o ra nen! ! IM; 4P! " 0 em"" mesma, que ver estremecer um dos fundamentar de . ma con: - tração. Nesta situação [nd colocado por uma carta da . Sr. Ber- trartd Rurxell, exatamente quando re consuma” a ímprexrao deste volume' 3_ Durante o veria de 1902, Frege tentou encontrar' uma _mida para o paradoxo de Rusrell, ma: todo: o: :eu: esforço: jam”, 930;, No Mo xgguinte, aparece o : egundo volume da: Lens Fundamentais da Aritmética, no qual, Em #Píñdiãtl ele d¡ f¡ Cof ubecer a deJmberta de Rursell, e exibe a solução que ele acredi- tava rewlver a problema. Sabe-se, no entanto, que em: tentatívajoi ¡nlmfílffd "- Frege, alicia', não procurou, mediante : ubterfugza: ou polêmIM-Tr defender a: posições previamente anumzdas. Com toda' 1111470 1. Grundgerelze, p( XXVI. 5czU¡¡P| '?*¡mmF“m 1 "iduçh d' u' Moulincs, G. Frege, Estudio: Sobre Semarmta, A114 197k P« 151 2. Grumãgexetzt, 253 rt, . . ã. âçunlgâetzcsmk de W_ Quim, .On Fnac. ; WW Out' . rámprlessa cm seus Select! !! Lol! ? PGFN-T: R“d°"- Nm"? Iclrquf' pp. 146158. Pura uma 159015550 impla. R. Stemfcld, ob. m. , c. , Appcndix. 27
  14. 14. publicoic a Mil-added: descoáetu por Ruxxell. Este aliás, falando f "5¡P°'”0 493” 9191540, "W110i M0: Jepcíx, asian : e exprena. Quando perua em ato: de garden e de thtegrilade, aperceber nmã qm' M0 000540 ¡Imbru- companível à dedicação d: Frege à verdade. Enconham-Je de a um pano de tarjeta: a obra a', Êuahmda, anamaria de ; eus trabalho: fora ignorada ea¡ pmveifo e' omni: nham-Jeane : tam: mmpetentex, xe¡ ; qndo mu"" e¡ “W PMMG l cptrecer e, no ter conhecimento que : eu pre-nu. por! ? fandanenld em errôneo, reagiu com prazer intelectual, 'EPHMÕIJO todo «alimento de decepção pag-nal_ Em da, qua¡ que : abre-buena e : m: ¡adiado! àquilo de que o: homen¡- , ao cüpazenquanolo : e dedicam ao trabalho criador e ao conhecimento, ao inves do rude d¡ de dominam» e tomarem-re femea-ox' 1. _ Ápó: a da : :gula volume da: Laís Fundamm. “[55 F79# "i0 Ma! fe ocupar¡ de grandes tubdba: acerca de LOS! ” P da Matemática. Por catia lado, ¡ ; menu gzlíxpjganãemal que Fregc_ mantém, ;mu épgçg' to”, cama”, her. , mms-Indica, Hung! , Jam, pano' L5; ? ZZÉÍÍZÊL ? Wlpyíüzmstm e Varlatz, Êemomtra que a im I”, 7 “É”, '"'“""'”“ *'30 ? uma : :percebida para os 'Inatemlancax e [daíffox de : eu tempo. Em 1904, ¡uablica a artigo Que e ama Furlan? '_, em homenagem a L. Boliviana pelo : eu : exagéximo mina-iria de nascimento. Publicou ainda nene Períüdü, 42ml! lmbllbo: :obra o: fundamento: Ja Óeometria »- como consequencia de conerpondênda que magnum com Hi1. ben ante: da detccberta do pamoíoxo de Ramil _ e também tre: artigo: - com? raposa ã: obieções 4': I. Tbomae -- em 9M' ataca a concepçxa Iormdíxte de Ayitmética_ Rudoflíeg: epoca, dguiu' de : eu: carro. : foranfuiyuzia; po¡ d mari; 4:' M* *m* e 'W m» tw 'www iniciadoraT b' &PÉ-talk; 911d- 1701.37” a? " Pvc# é ° P" e n¡ di! ! Em tttgenrtew mostrou inter-a: : em conhece, - g t " 0 P0' este aconselhado a estudar car: Run-gli_ d A Mm' d' 19!? , Frage começ¡ a pôr em dúvida, de certo mo o, :ua tese [aguenta, e na: chamada Invmigaçõs 153k” Zl- V? ap. sit. . p. 127. . - › ngnfín ist eine Flmhion? , Fancy# L “um”, 37h10m Gebwmge, 20. Fevereiro JIM, Iaeipzig, 1904, 28 (Logíschen Unterssuchungen) - a saber, 'O P 9174777757110) l, 'A Negaçãa”, 'Penxamentox Compostof” e 'Generalidade Ló- gica' * - : revela uma perspectiva bem mai: expeculativa e explo- ratória. Em: trabalha: representam um dos momentos mai: altos do pensamento de Frege, e é de : e ! animar que não tenham mare- cido a atenção devida. Eles, em conjunto, abrem uma dupla ver- tente na: especulações fregeanas. De um lado, conxtítuem um novo modo de abordar o cálculo rentencial, procurando definir or Conectiva: lógicos por meios operatórios, em vez da definição axiamática, claxsicamenle desenvolvida em obra: como Ideografiz, Leis Fundamentais, Prlncipia Mathematics, etc. Por outro lado, Frege, em : ua: Investigações, abre nova: roteiro: em Lógica fila- : áfica através da: díscusxães que derenuolue em torno das naçãer de verdade, negação, sentença, penmmento, (IISBIÇEO, etc. Além da: Investigações, Frage excreveu inúmeros outros ira- balbos, como o revelou a edição de seu: Nachgelassene Schríftcn, que acabam de ser publicaJaJ. Frege infelizmente não viveu o suficiente para contemplar a: repercusxõe: e conseqüência: de ma obra, No entanto, ele tinha plena consciência do valor de sua: contribuições' 5. Em 1918, ele abandona : ua tendência em lena e : e retira para Badkleinen. Corn a idade de 77 anos, em 26 de [alba de I92Í, vem a falecer. -k 1. G. Fregc, 'Dei Gedanke: Em: Logische Unlersuchung', Beitrãge zur Pbiloxopbic de! detmcben Idealirmua', 1 (1918), pp. 58-77. 2. G. Frage, 'Dic Verneínung: Eine Iagischc Untcrsuchung', idem, 1 (1913), pp. 143457. 3. G. Frage, 'lagisclxc Untersuchungen; Dxíttcr Tell: Gedanken Ge- fiige', idem, 3 (1923). pp. 3651. 4. Este trabalho, :: aim provavelmente entre 1923 e 1925, Frage o deíxou incompleto, e só postumamcnte foi publicado, sob o título de 'ãogisschc Allgemeínheit', em G. Frage, Nachgelasxene Scbri/ ten, pp. 7&2 l. 5. Assim, em carta datada de 12 de ianeím dc 1925 a seu filho, diz: 'Não dsprezes meus manuscritos. Huber: nem tudo seia valioso, há neles no entanto coisas valiosas. Crcío que chegará um dia cm que certas coisas serão mais valorizadas do que boia. Cuide que nada se cxtxavief G. Frcge, Nacbgelasxcne Scbrijten, p. uxiv. 29
  15. 15. Eua tradução se tomou possível graças ao apoio dispensado pela professora Celma Junqueira - ebefe da Departamento de Filosofia da Pontifícia Universidad: Católica do Rio de janeiro -- pur ter-me concedido um semestre . robótica durante o qua¡ pude elalgorar este trabalha. Agradeço ainda ao prof. dr. Ghida Je Almeida pela: sugestões e esclarecimento: quanto i #dução d! 08H11: pnugcus; tais agradecimentos atendem-se únÃa do: Professores Luiz Alberto Cerqueira Batista e Ivo Korylmask¡ pelo xumrtsável auxílio nas revisões sucessiva: à: quai: foram name. :: das os ! tarifas que ora publicamos, bem como a José Paio Paz¡ e funcionam: do Departamento Editorial da Editora Citrix, pela atenção que dispensaram ã presente obra. Rio de Janeiro, maio de 1975 PAULO ALcoFonAno 30 BIBLIOGRAFIA OBRA DE . PRI-IGE O: livros, artigos e opúsculas inéditos de Frege encontram-se nas seguintes publicações que, tomada: em conjunta, encerram toda a sua obra: 1. G. Frege, Begriffrxrbrífr and Anderc Aufsülze, hrsg. I Ange- lelli. G. Olms, Híldcsheím, 1964. 2. G. Fxege, Grundlagen de! Aritbmelik. .Eine Iagíscb-¡nalbema- Iiscbe Untermchung über den Begriff der Zahl, G. Olms, Hildahcím, 1961. 3. , Grundgeseixe der Arilbmelile. Begriflssebrifrlieb abgeleilet, Bd. I-II, G. Olms, Hildeshcim, 1966. 4. , Kleine Scbrilteu, lusg. l. Angclcllâ, G. Olms, Hi)- deshcim, 1967. 5. , Nacbgelassene Sai/ ten, hssg. H. Hermes, F. Kum- bmcl und F. Knulhzch, F. Meincr, Hamburg, 1969. 6. , Wissenrcbafllíeber Briefwcrbsel, htsg. H. Hermes, F. Kambanel und F. Kaulbnch, F. Meíner, Hamburg, 1976. OBRAS SOBRE . FREGE A lina que : e . regue enterra o: mai: important: : lívro: escrito: sobre Frege: l. Angelelli. l. , Studies on Goulob Frege and Traditional Philo- . rapby, D. Rcidel, 1967. 2. Bixjukov, B. , Two Sovie! Studies on Frege, md. I. Angeklli, Oxford, 1964. 3. Dummett, M. , Frege: Philosophy o] Language, Duckworth, Lon- don, 1973. 4. Gmssmann, R. , Reflection: an Frage? Philosophy, Northwestem, 1969. 5. Lnrgcault, j. , Lagíque e! pbilosnpbie : be: .Frege, Paris, 1970. 6. Szemfeld, R. , Fregeís Logical Theory, Illinois, 1966. 7. Thiel, C. , Sim: and Brdculung in ler Iogile Gould; Freges, Hain, Ncísenhcim. 1967. 31
  16. 16. . ç, .gv 8. Tnindnto, M. , b: lilalofia Jelfaritmetíu d¡ Gould Frege, Torino, 1967. 9. Wdscr, J. , A Study of Frege, Oxford. 1965. C. Quan! !! an: artigos publíealos sobre Frege, seu número e' enorme. Conta [Iate bibliografia indiano: : 1. G. Fuga, Caneeplnd Natalia: : an¡ Related Article; cd. T. Bynum, Oxíotd, 1972. Em obra encena a bibliqxnfia de Fnac, de 1873 a 1966. 2. Pag, G. , Subi/ tm zur Logie um¡ Sprarbpbíloxopbie, hssg. G. Gabriel, F. Meinet, Hamburg. 1971. Contém 1mm hlliognfia dc Frege, que vai de 1873 até 1971. 3. E. nunk: (uma). Eng: na¡ Frege, Illinois, 1968. [hn exce- kmc coletânea de : :tips : alle Frage, e que queen-n também um repertório bibliográüm_ ' I FUNÇÃO E CONCEITO Conferência referida na reunião de 9 de janeiro de 1591 da Jenaircben Gerellxebaft ! Für Medízir¡ and Namrwissemcbaft, H. Pohlc, Jem, 1891, 31 pp. Republicado em Funktion, Beçriff, Bedeutung: Fun¡ logxscbe Studien, organizado por G. Pztzig (Gõttmgen: Vandenboek 61 Ruprecht, 1962), pp. 17-39. 32 . ___. ... _.. .__
  17. 17. í l l 2 Há muito tempo 1, tive a honra de falar a esta Sociedade sobre o método de designação que dcnominei ideogrzfía. Hoje gostaria de elucidar este assunto de outro ângulo e falar-lhes sobre alguns complementos e novas concepções cuja necessidade me ocorreu desde então. Não pretendo dar uma exposição com- pleta de minha ideografia, mas apenas elucidar algumas idéias fun- damentais. Meu ponto de partida é o que se chama de função em &t- (emálica. Esta palavra não teve inicialmente uma referência tão ampla quanto a que obteve mais tarde. Será bom começar nossas reflexões com o uso originário desta palavra e, só após, consi- derar suas extensões posteriores. Por enquanto, só falarei de funções de um único argumento. Uma expressão científica apa- rece em sua referência mais nítida quando ela é empregada na enunciação de leis. Tal é o que se deu, no que diz respeito à função, com a descoberta da Análise superior, quando se pro- curou apresentar leis que valessem para as funções em geral. Deve-se recuar, pois, ao tempo da descoberta da Análisesugerior, se se quer saber o que, inicialmente, se entendeu em Matemática pela palavra "função". A esta pergunta, obtém-se certamente a resposta: "por uma função de x entende-se_ uma_ expressão do cálculo que contenha x, uma fórmula contendo a letra x". Deste modo, a expressão 2Íx3+x seria uma função de x, e 2 .23 + 2 seria uma função de 2. Esta resposta não nos pode saüsfnzer, na medida em que não distingue a ígrma dg conteúdo, o sinal 1. A 10 de janeiro de 1879 e a 27 de ianeiro de 1882. 15
  18. 18. do dcsiggdo, :no este aliás freqüente nos acritos matemáticos atuais, inclusive de autores atinentes. Ji apanhei, numa ocasião anterior 1, os dzieirm das amis teorias formais da Arignêtica. Fa _io. .oçui siçrvqnme-&Inlqecr . con- teúdo- no entanto, se mas atribuem . .qoe sôyodem ctgregpondçr, di: modo rtional, a um: aluminio do 51ml. O mesmo se d¡ umbem aqui: mmmerxgioéfmn de um conteúdo, mas só 0. 4XX19 sergmgríszmmiio. Mn qual c' 0 ftq= cia de “2,23 -| - 2"? A mana que a dir "ll" ou de "L6". A igualdade 2.23 + 2 = 18 exprime que a : deferiu da seqüência de sinais à direita do sinal de igualdade é a mama que a refe: rência da seqüência de sinais à esquerda. Devo aqui me _opor a opinião de que, por cxanplo, 2 + 5 e 3 -l- 4 S50 iguais. 11135 não o mesmo. En: @imita se baseia : na uaofusiw ia' mencionada entre forma e contraído, sinal e designado. É como se se qui' sesse considerar a violeta perfumada «Estima da viola adoram, porque os nomes soam díversarncntt na- ção não 'grificrq pg s¡ só, urna díversiinL 31: _dçjg-nados. Em Matemática esta norma é menos evidente, pás a referência do numeral 7 não é sunoriaimenre perceptível_ A tendência atual: r (Lgiípossa serr geutbidqpelos sentidos les-a a considerar os próprios numczaismm a comsideaãbs como o próprio . chic-toda. rsíl. ': e. mim *Mim 7 7 'í' 7 “dam “mf” mente distintos. . M: um¡ tal concepção é insustentável, pois números sem tem _ A: ' , dos HM11511135- A Pmplícdade do 1, por atuado, de que. muitiplicndo por s¡ msmo, resulta novamente nd; próprio, cri¡ um pur-io &macio; pois nenhuma investigaáo mícxostfyicn ou química. P01' D55 ¡Pmfundidñ que fosse, iaruais poderia daoobtir esta plonríedadc na ¡JIUCFHÍÊ imagem que cimmnns o numero! um. Talvez alguns queiram 1 . DE( Gundam de¡ Arübnelià, Breda, 1884, S 92 ss 5 Silztmgf- berfcbte der [marinha Gaúcha# fi! M2633! : and Nalwwrrrensrball, 1885, reunião de 1T é: íulln. 2. Cfr. os artigos EH: : m¡ Merten aienbirtbzwetíccb behatbtet. de H. v. Helmlwfxx e Diver den: Zuhibegrift, à L. Krõnedrer (Philo- ropbircbc Aulrãlzz. Ella¡ Zeller zu : einen Iinfinihigtn Docloriubz- lãum gtwidmd, Láüg 1887). 36 ver aqui uma definição; mas nenhuma definição é criadora, a ponto de poder dar a uma coisa propriedades que esta coisa não tenha; no máximo, ela clara' a uma coisa a propriedade de ex- primir e designar aquilo para que a definição a introduz como sinal 1. Pelo contrário, as imagens que denominamos numerais têm propriedades físicas e químicas que dependem do material com que se escreve. Poder-se-ia imaginar que se introduzam, um dia, numerais completamente novos, assim como, por exemplo, os numerais arábicos substituir-am os romanos. Ninguém está seriamente supondo que, deste modo, obtebse-iam números intei- ramente novos, objetos arirméricos inteiramente novos, com pro- priedades até então não-investigadas. Assim, se ternos que dis- tinguir os numerais daquilo a que eles se referem, então se terá (de reconhecer também que as expressões "Z", “l + 1", "3 -V 1", '$239' têm a mesma referência; pOlS não se pode ver onde estaria a diferença, 'Talvez se diga: I + 1 e' uma soma, mas 6:3 é uma divisão. O que é porém 6:3? O número que, multiplicado por 3, dá 6. Dizemos "o número" e não "um número"; com o artigo definido, indica~se que ha' apenas um único número. Agora temos: (1+1)+(1+1)+(I+1)=6. e portanto, (1 + 1) é exatamente o número que foi designado por (65). As diferentes expressões correspondem a diferentes concepções e aspectos, porém, sempre à mesma coisa. De outro modo, a equação x' = 4 teria, além das duas raízes 2 e _2, (1 + 1) e inúmeras outras diferentes entre si, embora, sob certo aspecto, semelhantes. Reconhecendo-se somente duas raízes reais, rejeita-se a opinião de que o sinal de igualdade não significa uma coincidência completa, mas apenas uma concordância parcial. Admitida isto, vemos que as expressões "2.1› + 1", “u, ,r 2.¡ "2.4= + 4" se referem a números, a saber, 3, 18 e 132. Assim, se a_ função nada mais, _f_0_ss_ç___g_ue_q _referência _de uma expressão do cálculo, 1. Ao se definir, associa-se. a um sinal, um sentido ou uma refe- rência. Onde faltam integralmente sentido e referência, não se pode propriamente falar de um sinal, nem de uma clefiniçio. 37
  19. 19. ela seria precisamente gpwnnQngero; e istn nada traria de novo para a Ao se usar n palavra “iunção", é-se levado a pensar, halitualmente, em expressões em que um número é indicado indeünidamente pela letra z, como em “243 + x"; mas isto nada muda; pois umbém esta aptessão apenas indica indefinidamente um número; e não faz nerdmma diferença essen- cial se eu o escrevo ou se apenas esczevo "x". No entanto, _é ptçcjsamsntgmescrevet “Lípira ¡Indice! ialde-fínídmemgaue Sonuzslmdnsuxma mansão. x de o ggumemo da RÉU_ e, em "Zla + l", "2.43 + 4", n25; + 5», reconhecese mvamente a ¡msma função, :penas com dilerentes argumentos, a saber, 1, 4 e 5. Aqui se depreende que o asençigl a uma fuga-o E encontra¡ no gue _há de comum a S, a saber. Ossesuhsismdc "mas x" g_lgu_g_ "x", que se poderia escrever assim: :.24 )3+( V_ Importa mostrar que g__áa_r_grlggçgl_tç›_, _u_ig_é , parteda fxtngão, mas compõe, 'puramente com s função, um Iodo complem; pois Lfrançâgegnrnsi só, .d§_vc ser denominada de incompleta, necese suada . ou insnturzda. E. a este resptíto. as funções diferem fundamentalmente dos números. Posto ser esta a essência d: função, explicese que, de um lado, reconhecemos a mesma fruição cm “2.13 + 1" e “'22” + 2", não obstante estas exprcssõu se refer-irem a números difermtes, enquamo que. por outro lado, não achamos a mesma Íunçio em "2.1° + 1" e "4 w l", :pm: de seus valores numéricos serem iguais. Tam- bém vemos agora como É fácil ser erroneammte induzido a ver o que é essencial à função exatamente na forma da expressão. Para racing; a fuma' e' necessário _ essão 38 ong: ela oçggg e a possibilidade de uma tal decomposição é sugerida pela estrutura da expressão_ As duas partes em que a expressão do cálculo está decom- posta, o sinal do argumento c a expressão da função, são hete- _mgêneasz o argumento e' um número, um todo completo em si mesmo, o que a função não é. Isto pode ser comparado com a divisão de uma reta num ponto. Fica-se inclinado, assim, a associar o ponto de divisão a ambas as semi-retas. Mas se se quer fazer a divisão de maneira rigorosa, de modo a não contar nada duas vezes, nem deixar nada de fora, tem-se que associar o ponto de divisão a apenas uma das semi-retas. Esta semíqem se tornara' inteiramente fechada em si mesma e pode ser comparada ao argu- mento, enquanto que à outra semireta faltará alguma coisa. O ponto de divisão, que poderia se: denominado de seu ponto ter- minal, não lhe pertence. Somente completando-a com esse ponto terminal ou uma reta com dois pontos terminais obtém-se algo completo, Se dizemos, por exemplo, "a função 24:3 + x", então x não deve ser considerada como pertencente à função, pois esta letra só serve para indicar a espécie de complementação de que a função necessita, mostrando os lugares onde o sinal do argu- mento deve entrar. Denominamos àquilo em que resulta a função, quando com- pletada por seu argumento, o valor da função para este argumento. Assim, 3 é o valor da função 2.x” + x para o argumento 1, ia' que temos 2.12 + 1 = 3. Existem funções como, por exemplo, 2 + x7 x ou 2 + 0.x, :: não valor é sempre o mesmo qualquer que seia seu argumento; temos 2 = 2 + x - x e 2 = 2 + 0.x. Ora, se mntássemos o argumento como pertencente a esta função, deve- ríamos sustentar que o número 2 é esta função. Mas isto é incorreto. Embora aqui 0 valor da função seia sempre 2, a função em si mesma deve ser distinguida de 2; pois n expressão de_ _uma hmçãndeze . mostrar. .sempreum otLmais lugares quedevem , ser premchidoswcom . o sinaLdmargumento. O método da Geometria analítica fornece-nos um meio de tornar intuítivos os valores de uma função para diferentes argu~ mentos. Pois, se consideramos o argumento como valor numé- rico da abscissa de um pomo e o valor correspondente da função como valor numérico de sua ordenada, obtemos uma totalidade 39
  20. 20. de pontos que se apresenta à intuiâo, nos casos correntes, como uma curva. Cada ponto da curva curesponde a um argumento e ao corrapondeme valor da função. Assim, ;r z: x3 w 4x corresponrk a uma parábola, on "y" indica o valor da função e o valor numérico da mdenatk, e "x" indica o argumento e o valor numérico da abscíssa Se comparamos esta função com z(x-4), achamos que elas tomam sempre o mesmo valor para o mesmo argumento. Geralmente temos xz-4x = x(x-4), qualquer que seia o número que tomarmos para x. Donde a curva que obtemos de y= x=_4x ser a mesma que resulta de y = x(x*4). Exprimo isto do seguinte modo: a função x (Jc-lí) tem o mes- mo percurso de valores que a Íunáo a* - 4 x. Quando emrevemos xi-4x = x(: -4), não identifimmos uma funão com a outra, mas apenas identifi- camos seus valmes. E se mtaidemos que esta quação deva ser válida par¡ lodo argumento que substitua x, exprimimos assim a generalizado de uma equação. Mas, em va disto, podemos também dia: : “o percurso de valores da função x(x-4) é igual ao da função x2 - 4 x", e assim temos uma igualdade entre Percursos de valores. A 1i- zaçiojeumaigiaaldade . entre valor: : de funções como uma igual- dade, ,a_Ll›ex, _cgmo uma igualdade um: percursos de valores, 40 'Wrwnswa-Q* não_ pode, creio eu__se_r demonstrada, mas_deize. .set . considerada uma lei _fundameLl da Lógica l. Podemos, ademais, introduzir um modo de designação abre- viado para o percurso de valores de uma função. Para este fim, substitua o sinal do argumento na expressão da função por uma vogal grega, encerra o todo entre parênteses e anteponho a eles a mesma letra grega com um espírito fraco. Assim Hat-tis) é o percurso de valores da função x2_4x e à (ala-sil) e' o percurso de valores da função x (x - 4), de modo que em "HE" _ 42) = à(a. [a - 4] )" temos a expressão de que o primeiro percurso de valores é o mesmo que o segundo. Escolheram-se diferentes letras gregas deliberadamente para indicar que nada nos obriga a tomar as ITÀCSÍTIZS. A expressão "xZ-4x : x (x-4)" exprime na verdade o mesmo sentido que a expressão anterior, sc a entendemos como anteriormente, mas o exprime de modo diferente. Ela representa o sentido à maneira generalizada de uma equação, enquanto que a expressão recém-introduzida é sím- plesmente uma identidade [entre percursos de valores], cujo lado direito tem, assim como o lado esquerdo, uma referência com- pleta em si mesma, Em “x” -4x = x (x--4)" o lado esquerdo, considerado isoladamente, indica um número apenas indefinidamente, e o mesmo se dá com o lado direito. 1. Em algumas locuções de expressão corrente em Matemática, a Palavra "função" corresponde certamente ao que chamei aqui de percurso de valores de uma função. Mas a função. no sentido em que a emprego, é logicamente anterior. 41
  21. 21. 5.: ÍÍYÉÂSCÍLJ§__W , . -: _-_4_Lx'; '. escrever cm seu lusatff -. .4 'Z . . . . . . ma: «ass-nuns »as "r. como . g_um_nú_nruuo . apenas nndefuuahmaare. Mas se asso- clamos os dois lados num: nqnaáo, temas : pe escolhe¡ g mesma letra para unhas cs lados e, afsím, eatyrimianos algo ; ue não está contido ncmum lado agrado por si sã, nem no lacloelireito, nem no sm_nl tguuldade, a ala-r, ; naturñ-ncnte, o que expnnunns é a ; entidade de uma amigão, ma; apesar- de tudo, c' fundamaualmeme uma generalixhk. dg-ngmxmés d . cmr_es. sa. t.s. a1_eLa_lidadç. hmbêm se moessica tlgktsaxpara indicar uma furgão índeñnidamerxte. Pam este Ílmhemprcgam-s: ordinariamente as letras Lgf, de tal main que, @P1 " "F x 7', x representa o argumento. - fLdaíeÁcmmpltggta/ .áíq Ingá: : . é , lato de que S. ..? aim 5.8.2326_ par de parêntem, cujo apaço iiterior dns EQCÇÀÇLOAÃRIJ. tsunami. Deste modo, «H(¡)n indica o percurso de valores dc uma função ainda indefinià. , Mas como foi ampliada n referência da palavra "font-à" com o progresso d¡ ciência? Podem-st aqui distinguir (has dieções. Em Primeiro luar. sznctnuães. de cálculo . que. têm [tw-tt na constatação Mim da adição, multiplicação, potenciaãn c de suas opcmçõm ínrersas, foram íntroduziths diferemc pmcodimentns de avaliado de lí- mítes, sem que se tivesse sangra uma clan '* ' k que se estava : :sim : doando algo esxncíalmenue novo, Foi-se ainda mais longe, e se fa neoesário recorrer à linguagem oràuíria, quando a linguagem simbólica d¡ Análise se mnmv: insnfiiente, POI_ CXCÍ-BIPÍD. no uso de uma função cuío valor para argumentos raaonais é 1, e para argumento: írracionais e' 0. Em Segundo lua-r. .foi tam» do que. pude ser “mada 501110. arznmcttto C. .Vll0t. ..<. lÇ. |.1ma _limão pela admissão ' com Simdtaneamente, mu¡ isto o amido d” CXPTESSÕG "Soma", "produto". etc. teve d: sa redcñnido. Vou ainda mais longe em ambas as ditadas. Antes à mais nada, aos simis +, ~, em. , que servem par¡ a formado de uma expressão funcional, manicure¡ ainda sinais com = , 42 >, <, de modo que poderei falar, por exemplo, da função x3' = 1, onde x, como acima, está no lugar do argumento. A primeira pergunta que surge aqui é quaíggãg 05 . YñlQLÇSDJFÍCSÍ-ñ fgngãqggrg_difçgçg_tç_s__qlgumcgtns. Se substituimos, sucessiva- mente, x por - 1, 0, 1, 2, obtemos l-- 1): o: 12 22 H | | | | ll _P-¡blii-h-l Destas identidades, a primeira e a terceira são verdadeiras, u' 'i' . ¡ e as outras, falsas. Assim, digo: "_o_g_alor e n vagrtgç yerdade" e_ _gliggingg_ _entre ugalot, de. verdad: .do . verda- ÇLÍIQ _e_ mynlor. . ds_. xerdada. _dsz__falso. Chamo o primeiro. para abrevíar, de o yçrdgdggq, e o segundo, de 351153. Conseqüente- mente, 'f ? ,;_4Jj, _mt_ . ..a_o_yeIdTadsiI0 como. dig1qtoñsk"22" ; e _regina 4. E “'22 2 l" se refere ao falso. Assim, (S22 = 4"_ uz > In, «za ____ 42): referem-se à mesma coisa, a saber, o verdadeiro, de modo que (27=4)= (2>I) é uma igualdade correta. Pode-se fazer aqui a obiaño de que "P = 4." C92 > v1", ~ « entretanto, significam coisas totalmente diferentes, ex rimem en- s . .distintos; porém, também "2* = 42" e - a ~~ "4.4 -_- 43" exprimem pensamentos diferentes; mas, apesar disto, pode-se substituir "2*" por "L4", uma vez que ambos os sinais têm a mesma referência. Por conseguinte, "2* = 42" C "4.4 = 42" têm também a mesma referência. Disto conçluímos que a 4em encia a . Seduçruqsia Estrelas . Slíeàpetlinaié um planeta cuja revolução é menor que a da Terra", o pensa- mgrgqgugggtímimos é diferente do da_ _sçntençar "a Estrela Matutina é um planeta cuja revolução é menmf quê 3 da Taiff); pois quem __não_st_ciba_ gut i_. ESl¡$l'9| Matutínl é a . ESIICIZÃLCÊ 43
  22. 22. «L pertigetmcrríappnsidgaagmarías , como verdadeira c amiguinho. falsa; e, no entanto, unhas as sentenças devem ter a mesma referência, pois apenas se trocaram as palavras "Es- trela Vespuúm" e "Estrela Mamúnn”, que têm a mesma refe- rência, isto é, são nomes próprios do mam corpo celute. 'Lungs dg distiggg' mu: gundo c ring. ” ' Certamente "2*" c "i4" têm a mama rcfcrênda, isto e', ão nomes próprios do mesmo númau, mas não têm D m sumida. Daí terem "24 z 4'” e "4.4 = 4'", na verdade, 1 : numa referência, mas o mesmo senúdo, isto e', nat: caso raio contêm o msmo pensa- mento '. . Deste modo, com o mesmo direito com que escrevemos «.24 = L4” podemos também escrever “(24 = 42) z (4.4 : 42)" "(22 = 4) = (2 > 1)”, Assim, poderia-ia perguntar qual ê, pois_ a fímlíciade de se admitir os sinais = , > , < no campo dos sinais que servem para forma: uma expressão hmcíonal. PJLQL_MÀÍ_QVDÀIDÇDTC, queymw : :adia vez, mai, "de defemnm; :sli , ,dumnquis- tAàL Aúnnétinimjcgnvohimento expansívo da lógica, de que um: hacks-narração mais rigorosa dAs. -1_eí. s._ari_t_In= .ças. as. rçd_uz___a$ís pumnentc . .lógicas e a tais leiszpcnas_ Sou também desta opinião c ncia fundamento a exí- gência de a linguagem símbólína aritmáia ser expandida num simbolismo Tenho agora de indímr como ocorra esta expansão no caso em questão. e nossa fun ', .ãalésçmprein demàaie. Ora, ter- 1. Nín ¡ksmnheçn que esta couve-win poa: parecer. ã primeira VM? , Rrbilrilia e artífidal e que se possa exigir uma ¡nsúñnçío mais minuciosa. Cfr. meu artigo "Sobre a sentida e a Referência" em ãziIÉebri/ t hit Pbãoropbíe and pbil. Kritík. [Nau edição pp. 59-86. (N. 0 JJ 44 mingdístlagrjgxemylg_ W-Lrq valçr da função_ é o verdadeira podemos exprimílo como se segue: " pro- gríedadc de ggeeeiLquadradg. .é 13'; ou mais concisamentêi : :J é uma raíz uadrada dc 1", ou quãdfâd. : de 1". Se o valor da funçao x2 = 1 para um argu- mento, por exemplo, 2, é o falso, podemos cxprími-lo como se segue: "Znão é raiz quadrada de 1" ou "2 não cai sob o con- ceito de raiz quadrada de l". YsmnLassmgnãn. estreitamente ligado está_ 9.313:: se chama de conceito em Lógica com o que &aging; dewfunção. Com efeito, pode-se dizer imediatamente: um conceito ' 1 ' 1' ' dade, Também o valor da função (x+1)2=2(›<+1) é sempre um valor de verdade. Obtemos o verdadeiro, por exem- plo, para o argumento --I, e isto pode também ser expresso deste modo: - 1 é um número gue_é_ umggidade Lnor Àqrqu: outg gmmgujrtgxgmde_ guaí ao seu dobro. Cqmnsm. eyggrímíu-sç g casg d; ___0,111ím§m_-_-_1_CãÃL$9b_11m, conserto. As funções x°=1 e (x+l)'=2(X+1) têm sempre o mesmg 12101' para o mesmo argumento, a saber. D verdadeiro para os argumentos #l e + 1, e o falso para todos os outros argumentos. De acordo com nossas convenções ame- ríores, diremos, pois, que estas funções têm o e exprimir-emos isto em sinais, assrm: é(e2:1)= a([a+1 = =2Ia+ 11). Em, légíçan , çmma-_seiistxxàeijtuakgmdm ÃCJÊZLÍQILSÊLÀDSJM- _calma_ Portanto, @lemos desigtm, mtensão de um con- ce 41eyn1mu de uma função cujo valor, para qual- * guer grgumenm, _é_um_yalo. r_de _verdade N ç®s . 5' é _form . linggigsgica _ÀQQQuaçLiCsJÊ uma. seem-Asa egextíva. Tal sentença ¡ cqgggxlcomo. SCUJÃÕQJJDI pensamento - ou, pelo menos, 5° * -. , , ~ 1 _Í propoe a conter - e es_te pensgmentp e, emgçramzerdndeiro ¡ ilàiLfalso; isto Lelentem em geralmmuzalor . demasiada. que 1 evqâer, 549133312 , coma . tefcrênciada sentença. ¡Ssím 60mm . I 45' um. u
  23. 23. digamos, o número 4 é a referência da npresb "2 + 2" e Londres é a ref-créu¡ da expressão "x capital d¡ Inglarerrâ", As sentenças : ssetlinasnpodermsu como as equaçoes ou expaessoesanalliucas, como docompostas em duas partes, urna completa em sr mesma e a Dum¡ necssitando de com- plementaçao, senado insamradai. Assim, por exemplo, pode-se decompor n sennenp "Gamicünquistou as Grill” em "César" e "Lçrmquktou as Gália". A segunda parte é insa- Eufadã, Elf¡ 00h16m unLlugII vazio, c somente quando este lugar e preenchido atrevá de um nome próprio, ou de uma expressão que _represente 1mm nome próprio, :parece o sentido completo_ ¡Hàvibémedtmmiírêo tie-função n referência desta parte insa- mxnda. Neste caso, o argumento é (Isa. _ Vemos que aqui se empreeudeu simultaneamente uma exten- saoma outra direção, n saber, :Inplimslo o campo dos possíveis argumentos. Não _upa-ms números_ mas objetos em geral, são Iamb. .. _agora adnnsíveis, eaqm aípgsaas dum_ ; em dçuida, _nl1is: ms. Os dois valores de verdade já introduzidos são as pmsíveis valores de uma Devemos mmgzs . ndlante. giúcros, sem_ _v ; es de 539531' Pa" qu* 93 @Blá Um exemplo disto, consideramos, por exemplo_ a expnsção "m capital do Império Alemão". E13¡ OlJVÍWICHÍC» Inocente um nome próprio e refere-se a um obwto, Se, agora, mas a decompomos nas partes “a capital b" "Império Alemão", onde considero a ¡pariímla genítíva [alemã] l como integrante da L_ 11011550. “Império Alemão" ocorre, enquanto componente da “pressao a capital: do Império Alemão", m form¡ genitit ; porém, de- °°mP°5t3 'ii' Cxíwãihjlssana figurar rn form nornínauva, enquanto que o equivalente : alemao a do per-nunca m ; mimo (N_ do T_)_ 46 "M. . u «. primeira parte, então esta é insaturada, enquanto que a outra é completa em sí mesma. Assim, de acordo com o que disse antes, chamo "a capital de x" de a expressão de uma função. Se tomamos o Império Alemão como argumento, obtemos, como o valor da função, Berlim. Quando adrm _o_s_desggrgglggobjetçsjmrestrkão COmO argumsqwsesqxnq valnrssde_ função. surge a questão do que égue çharpgrnos aqui de objeto, Considero impossível uma defl- níção regular, já que temos aqui algo que, por sua simplicidade, não admigugmgpglgçomposição lógica. So' é possível indicar o que se quer dizer. Aqui só se pode dizer sucintamente: u obeto é; 49,396 não__é umÍLfunç-? OLÀE mqdo sua : um 9x25; não eamem lugar Vazio. Uma _ssiltensa assgti1@o con1§m_1t1ge. r_33;i9, e pprtanto. d_ wns_ícls_rsr_cnx_ega, rsfçrêr›çia. é_um . czbjsto- Estanrsíc- rência, porém, é_u_r_n valor, de verdade. Logo, ambos os_ valores ele verdade são objetos. Anteriormente, apresentamos identidades entre percursos de valores, por exemplo "ê(c”-4s) = á(a[a- 4D". Podemos decompor isto em “ê(c*~4c)” e "( ): à.(a[a-4] Y'. Esta última parte necessita de complementação, já que, à esquerda do sinal de igualdade, ela contém um lugar vazio. A primeira parte, "ê(e”-4a)", é inteiramente completa em si mesma e rcferese, assim, a um objeto. Os percursos de valores das funções _singbjetos enguantogue as_ funções em si mesmas não o são. Denominamos também de percursos de valores a Élã” 1), mas poderiamos também designar esta expressão de extensão do conceito raiz quadrada de 1. Tamkm a§_§Ll_CASõES cqnce. í_tua_is_. são, sizjetos. embora , os , conceitos em si mesmos não o sejam. Depois de ter estendido o campo do que pode ser tomado como argumento, devemos fazer especificações mais exatas sobre as referências dos sinais_ i2¡ em uso antes desta extensão. Na medida em que se considerem como únicos objetos da aritmética 47
  24. 24. .x À; ›-. «.. « w4›'-. . -xÚ os números inteiros. as letras a e b em "a+ b" indicam scmgmg números intciros, c o sinal dc adição da: set elucidndo : penas entre os números inráms. Cada extensão do campo dos dietas, indicados aqui por 'f' e "b", toma nooessixio um novo sland- mento do sinal de niçio. Pargcgser um: : norma de ug' tícngí. fico cercar-x dos devidos cuidados _uniu exprcsio nunca Seia carçntgndç , ngfcréncizg para que, inachtrddammzc, numca se calcule com sinais vazios, na crença de qu: se esteja lidnnrb com objetos. No passado, houve experiências dcsintcrssznta. com séries infinitas divcrgmles. É, assim, necacssíi-io cstabelecn con- venções das quais dncrma, por exemplo, :a que se refere "O + 1", se "G" deve referir: : ao Sol. Como stats cnnvençõu ão intro- duzidas, c' relativamente irrelevante, mas é uscncial quc s: faça que "a + b" tenha sempre uma referência, quaisquer que sejam os sinais de objetos determinados que pmsnm substitui: "a" e "b". M951; tange Ig; gpnceitos isto : :zig qucLgan cada argu- mento, ele tenha por valor um valor de vcrdade, c que, para cada objeto, determine-sc s: cai ou não sob o conceito. Em runas Palavra-S. ?lisina dos 9:19:39; que tcmbam umxydelínizacü DÍEÂÀLPQͧ. ,§Ç. .çIQ__II¡U Í°_r SSÚSÍEQQLEEÊELSEÂVEÍ estalzlcccr ' leis lógicas a seu rweim. Para cada argumento x, para o qual « "x + l" seja car-eme dz referência, a fumpi) x j; l z 10 tam- pouco (cria valor e, asim, tampouco teria vnlnr de verdsk, de modo que o conocim "que ¡umcmaclo de l reswilaklril" _t n50 àeLíLlilââuniúdns Portanto, a exigàzmjarshzünñação z precisa ; log çonceims leva consigo a cxigênn": de que as funções, em geral, devam tzr um valprgara cada argumento. Até aqui, cupsidqamus os vala Vtnla en- quanto valores de frmçõa, não como argnmrçggos. Pelo que aca- bamos cle dizer, também uma função deva ter um valor quando toma um valor de verdad: como atgumullo; mas, quanto aos sinais [funcionais] wneutcs, uma convtnçiv pode scr stipzdada (Víããndo a fixar um valor para a fundoL se deter nn ¡atu- reza desta cstipulaão. Mas, vamos agua «insider-ar mtas 48 funções interessantes de se examinar quando seu argumento é um valor de verdade. Introduza como uma tal função *XV convencionado que o valor desta função deva ser o verdadeiro sc o verdadeiro for tomado como argumento, enquanto que o valor desta função será o falso em todos os outros casos, a saber, quando o argumento é o falso ou quando ele não é absolutamente um valor de verdade, Segundo o que acabamos de dizer, por exemplo. _1+3=4 é o verdadeiro, enquanto que, tanto ~1+3=5 quanto - -w 4 são o falso, Esta Eungãg tem, pois, como seu valor o próprio argumçnto quandg_ é um valor de verdádê- NO 9355840. CU tinha denominado este tr_aç_g horizontal de traço de conteúdo ', nome que não mais me parece apropriado. Quero agora clmamárlo simplesmente de o hcLizgntal. Quando se escreva uma igualdade ou uma desigualdade, por exemplo, 5 > 4J quer-sc habitualmente com isto expressar simul- taneamente urn juízo; quer-sc, em nosso caso, asserir quc 5 é maior que 4_ Consoante a concepção que apresentei aqui, tem-sc em "5 > 4" ou “l + 3 2 5" apenas expressões de valores de verdade, sem que com isto algo seja asserído. Esta separação entre o_ jugar e aquilqgobre qqgglsç julga_ pnrgçcelggrggpen sável pois) de mcgggqntrízíúgnggçagríamo; exprimir uma mera suposição_ _ __ à _ _s _m fazer_ _simultanea- mente um iuízo sobre seu surgimento ou não Preçjsamos. EQÍS. de um singlggpgrliggãpoyje; asgerir _algo_ Para este fim, l. Cfr_ Bzgri/ frxcbri/ l, S 2 (N. do T-l- 49
  25. 25. utilizo um traço vertical à extrema esquerda do horizontal, tal que, por exemplo, rnczlianre "r-2+ 3~= S" assere-se qu: 2 + 3 ê ¡su! I 5. _DELÉLIÍQQJEEQSIW nas vales. de vçzdgdc, wwe em , :já mas simultaneamente, dizendo também que ele e' o verdadeiro l, A próxima função mais simples pode ser aquà cujo valor é' o falso apenas para as : momentos para os quais o valor de - x e' o verdadeiro, e recíprocamente, caio valor e' ó verdadeiro para os argumentos pa¡ os quais o Valm- de _x é o falso. Designa¡ : sim T x, e denomina o pequeno traço vertical de traço de mgação. Con- cebo esta Íunçio como mm função cujo argumento é _1.- (T x| == (T É-xl). onde imagino que os dois traços lwrimntaís se hsionanm em um único. Mas tem-se ainda i-[T xl) = (T x). já que o valor de T x é sempre um nlor de verdade. Assim. em " T x”, considero as dns parta do traço à : incita e à es- querda do u-¡çu de negão como um horizontal, no sentido espe- cífico que de¡ anteriormente a esta palavrn. Assim, por exemplo. 'T 2': 5" refere-se m verdadeiro, e podemos acrescentar o laço de juízo: _1- 0 traço de juízo não pode scr ! Isiah para fuma-uma aplessãn @M1004 pois el: nío seus, mniuntmlcnle cum outros nuns, para de- 548"" |13|! Óiew- “i- 2 -l- 3: S" nada designa. mas uses: alguna coisa. 50 H-z¡ = › com o qual asserimos que 2” = 5 não é o verdadeiro, ou que 2* não c' igual a 5. Mas, além disto, -¡-2 é o verdadeiro, já que -2 e' o falso: H2' isto é, 2 não e' o verdadeiro. Meu modo de representar a generalidade pode ser mais bem visto mediante um exemplo. Suponhamos que se tenha que ex- pressar que todo objeto é igual a si mesmo. Em x É X temos uma função cujo argumento é indicado por "x". Temos agora de dizer que o valor desta função é sempre o verdadeiro, qualquer que seja o argumento. Expresso, pois, com "aew nar', o verdadeiro, quando a função [(34) tem como valor sempre o verdadeiro, qualquer que seja seu argumento; em todos os outros casos, a u. “M” deverá referir-sc ao falso. No que tange à função x = x temos o primeiro caso. Deste modo, -x9-°1=d e' o verdadeiro, e isto escrevemos assim: I-"ér-m-U- = a. Os traços horizontais à direita e à esquerda da concavídade devem u . . ser considerados horizontais no nosso sentido. Em vez de tl ,
  26. 26. qualquer outra letra gótica poderia ter sido escolhida, exceto aquelas que devem servir como letras de funções, como f e F. Esta espécie de dtsignação daí a ssibilídade de n - natalidade. como un i _Vó-uz = l. Ot: seja, _JL-UF = l é o falso, já que nem todo argumento torna o valor da função x* = I o verdadeiro. Assim, por exem- plo, para o argumento2 obtemos 2¡ = l, cisto é o falso. Agora, se -xS-a' = 1 ê o falso então “l d. ” = 1 é o verdadeiro, y *rx/ - de acordo com o que foi conveneionado anteriormente a respeito do traço de negação. Deste modo, temcs [fdb-az = l; isto é, "nem todo objeto é raiz quadrada de 1", ou "há objetos que não são raízes quadradas de 1", Pode-se expressar também que há raízes quadradas de l? Certamente, basta apenas tomar, em vez da função x7 = 1, a função -¡- x9 = 1. A partir de u a a¡ = 1.. obtemos, por fusão das horizontais, í-JET a2 = 1". Isto se refere ao falso, já que nem todo argumento torna o valor da função -¡- x” = l o verdadeiro. Por exemplo, ñ- 12 = 1 e' o falso, uma vez que l¡ z l é o verdadeiro. Mas, já que _efron _ 1 52 é o falso, então 2 _ 'TC/ Ta n 1 e' o verdadeiro: Hit/ T"? = 1; isto e', "nem todo argumento torna o valor da função 'J _ _r __ 1 o verdadeiro", ou "nem todo argumento torna o valor da função x” = l o falso", ou “existe pelo menos uma raíz quadrada de 1". A seguir apresentaremos ainda alguns exemplos mediante sinais e palavras: Íu-Êrru à O» existe pelo menos um número positivo; h-ÕT °~ < °v existe pelo menos um número negativo; [1-&7-«3 v# 3a” + 2a = 0, existe pelo menos uma raiz da equação x*-3x2 + 2x : O. A partir disto, podese ver como expressar sentenças exis- tenciais mais importantes. Se, mediante a letra de função f índi- camos indefinidamente um conceito temos então em -j-Çi/ -rllfal a forma comum de nossos últimos exemplos, se não levarmos em como o traço de juízo. As expressões 'R-T-Õrra¡ Z 1"; nwarrag 0T -u-&wa < 0"- 'Lrxfrrax *m 342 'l' 2a : o" 53
  27. 27. surgem da dita forma de ntaneira similar, por exemplo, àquela a partir da qual dc x* surgem "V", "P", "P". Do mesmo modo que em x? ternos uma função cujo argumento é indicado por "x", assim também concebe -e- fm" como a exptesio de uma função cujo argumento e' indicado por "f". Igl_ funçao' é está : bm fundamentalgge diferente dg- Q1515.. asi-anixi cpnsídcradnxpois somente uma fupão pode nnsnw› ; §.. §nnçõçs são_fgndamentalmentendgejçntes dos objetos, assim também as funções cujots argumentos sin e devem ser funções são fundamen- talmente diferentes das furgões cujos argumentos são objetos e nada_ mais_ podem ser. A estas denomina ftgrgkrpçlgprjgneyo nível_ e, _às ÍIAÃSLWEIIHÇÕCS de §ggt_rndo_nível. Do mesmo modo, di; ín_ençg_ '. De fato, funções de segundo nível há muito têm sido usadas em Anílíse, por exemplo, nas integmís defimlhs, na medida em que se mmidere a função a ser integrada como o argumento. Acrescentarei ainda alguma coisa sobre far-msgs' gm doi; argumentos (Xnivemos a expressão de uma função ao decom~ por o sinal compiexo que designa um objeto numa pax-te saturada e em outra ímsatutada. Potkmos cfccompor, por exemplo, o sinal do verdadeiro u¡ > 2» em "B" e "x > Z". Podemos ainda decompor a parte imawtada "x > 2" do mesmo modo em "2" 'e "x > y", onde "y" permite reconhecer o lugar vazio que anterior-mm: : fora preenchido por "2". Em x>y 1. Cir, meu: Fundamento¡ d¡ Antmérira, Breslau. 1884, Em do S 53, onde mei o : :mm "segunda adam" em vez de "stegundu 115ml". A Prova ontológiea rh existência de Deus padece th falácia de trau- a exis- tência como um conceito : lc primeiro ivcl. 54 temos uma função com dois argumentos, um dos quais indicado u u n n por x, eooutropor y, eem 3>2 ternos o valor desta função para os argumentos 3 e 2. Temos aqui uma função cujo valor é sempre um valor de verdade. 'I_': _i_i_s_f_tm5ões comnmugttmentg denominamos de conceitos; as que têm dois argnmentosrímominamoâ dssrelaçõcs- TEMOS tam* bém relações, por exemplo, em ' x' + 3'” 3 9 e em x2 + y* = 9, enquanto que a função x” + y” tem números como valores. Assim sendo, não as denomínaremos de relação. Podese agora introduzir uma fun à Aritmética. . O valor da função Tí deve ser o falso, se se torna o verdadeiro corno o y-argumento e, simultaneamente, um objeto que não e' o verdadeiro como x- argumento; em todos os outros casos, o valor desta função deve ser 0 verdadeiro. O traço horizontal inferior e as duas partes em que o traço horizontal superior e' dividido pelo traço vertical devem ser considerados como horizontais. Por conseguinte, podem-se sempre tornar como argumentos de nossa função +- x e - y, isto é, valores de verdade. Entre as funções de um argumento, distínguímos as de primeiro e as de segundo nível. Aquí e' possível uma mato): vane- dade de casos. Urna funsãmds dois argumenmumdesermquanto a estende mesmo ¡iível ou, _de nível distinto: funçoes de nivel 55 rn " tl"
  28. 28. igual ou de nível desigual. As que até : :pi consider-aum uam de nível igual. Urm fim 'o de nível d§jgqíl_ég_p_o__r cxu-¡çb›_o 53 tomamos cano ugumentos, 'kdoi a função a ser diferenciada, e, ck outro, o argumento par¡ o qual ss diferencia: dcixida, desde que se tornem como : :pimentos a furgão a scr imegrada e o ligne superior¡ As funçoes Ele nível igual pode-m ainda, por ; m m, ser divididas em frames de prinúm e de segundo nível. Um exemplo de um: de segundo nível e' Hfillíl. onde "F" e "j" indicam os argumentos. d_ _ ASÃUDÇÕCS (lt Segundo nívcl de un argumento des-emse rstmgurr segundo posa aparecer (nino seu argumento uma inn- ç3° de “m afãllmmm. OU um¡ d: dás; pois uma função deum argumento é ! in esencialmentc (listinha de uma de -dois gugu. "W305. que um¡ mn pode ocorrer como argumento no mesmo lugar em que pode ocorrer a outra. Algumas funções de @M0 nivel de um argulncmo exigem qu: este seia uma função de am argumento, wilson outras exijam uma função d: dois argumenbs, e estas duas classs de funções saio nitidamente distintas. __¡ÍJ. _3¡ U h : a TMJ) IPJ! ) é um CXKMPÍO de ! Inn Ínnçío de squndo nível de um argumento, que (01313 _para argumento um¡ fusão de dois argumentos. A ¡lim! Í mdiceaqur o argumento, e oa (bis lugares separados got Virgula, dentro dos parenteses que se seguem a "f", evidencia¡ que Í representa um função de dás argumentos. _ Para_ funções de dois argumentos, a varímdade de casa. é ainda maior. S Íaz§müJ1m _dn_tLesenvdvi- 111.: .& _I2sxLehmp9:1s_siç_seu avanço etapa por 591513' ãmcmlmcntc, Calcuiava-s: um¡ números individuais, um 0 . O , etc. 2+3=5,2.3=6 56 são teoremas da Aritmética. A seguir, obtiveram-se leis mais gerais, que valem para todos os números. O que Corresponde a isto no modo de designação é a transição para o cálculo li- teral. Em (a + b). c = a.c+b. c temos um teorema do cálculo literal. Isto posso, já se tinha che- gado à consideração de funções individuais, mas sem ainda cm- pregar esta palavra em seu sentido matemático e sem ainda ter apreendido a sua referência. A etapa superior que se seguiu foi o conhecimento de leis gerais das funções e o estabelecimento da expressão técnica "função" A esta etapa, corresponde no modo de designação a introdução de letras como f e F, como indica- dores inclefinídos para funções. Em df(x). F(x) dflx) dF(x) í? = FÍX) - + fl! ) dx dx dx temos um teorema da Analise. A esta altura, tinhamse já fun- ções isoladas de segundo nível, sem se ter depreendido o que chamamos de funções de segundo nível. Ao realizar-se isto, deu-se o próximo passo à frente. Poder-seia pensar que se continuaria assim indefinidamente. Porém, provavelmente, este último passo já não dispõe de tantas conseqüências como os anteriores, pois, como os progressos obtidos, em lugar de funções de segundo nível pode-se Lidar com funções de primeiro nível, como será mostrado em outro lugar 1._ Deste: _gngdg_p_o_rérq, Lia_ se_ elimina 'fercn a cntrc fun ões de rímeiro e de se un nível 'á ue e ta diferwp _Lfgkitaeamgmmsntecmasny un amento grofundo na natureza das ggisas. Pode-se também lidar, em lugar de funções de dois argu« mentos, com funções de um único argumento, se bem que com- plexo, mas apesar disto, a distinção entre funções de um e de dois argumentos ainda permanece com toda a sua nitidez. l. Cfr. Gmndzerelze der Aritbnetilc, I, SS 25, 34-37. (N. do '1'. ). 57
  29. 29. SOBRE O SENTIDO E A REFERÊNCIA Publicado pela primeira vez sob o titulo "über Sion und Bedeurung" em Ztimbrij: für Philzuopbie and pbiloJopbiJ/ :t Kritik, NF, 100 (1892) pp. 25-50. E republicada em Fun/ alien, Eegrí”, Bedeutung: Fünf lagircbe Stu- dien, organizado por G, Patzig (Gõtringen: Vandenl-noek Br Ruprccht, 1962) pp. 40-65.
  30. 30. A igualdade 1 desafia a reflexão dando origem a questões que não são muito fáceis de responder. É ela uma relação? Uma relação entre 91:11:19; ou entre nomes ou sinais 51g gbietos? Em minha Begri/ /srcbrift 2 assumi a última altemativa. As razões que parecem apoiar esta concepção são as seguintes: a = a e a = b são, evidentemente, sentenças de valor cognitivo diferentes; a : - a sustenta-se a priori e, segundo Kant, deve ser denominada de analítica, enquanto que sentenças d¡ forma a = b contêm, fre- qüentemente, extensões muito valiosas de nosso conhecimento, e nem sempre podem ser estabelecidas a priori. A descoberta de que o sul nascente não e' novo cada manhã, mas é sempre o mesmo, foi uma das descobertas astronõmicas mais ricas em con- seqüências. Mesmo atualmente, o reconhecimento de um pequeno planeta ou de um cometa nem sempre é evidente por si. Assim, se : luíséssernos considerar a igualdade como uma reláo entre aquilo a que os nomes "a" e "b" se referem, pareceria que a = b não poderia diferir de a = a, desde que a = b seja verda- deira. Deste modo, expressaríamos a relação de uma coisa consigo mesma, relação que toda coisa tem consigo mesma, mas que nunca se dá entre duas coisas distintas. Por outro ladq__ggr_çgc_gne por_ a z b . _qu. er-se'_, dizer . que os sinais ou os nomes "n" e "b" r秧5egk§e_à_r_r; esni__ coisa, e neste caso, a discussão versaxia sobre esteuinais; u -s_e_r. h_as_se_ridn› Mas esta te- lação se rnanteria entre os nomes ou sinais, apenas na medida em que denominassem ou designasscm alguma coisa. Ela seria mediada pela conexão de cada um dos dois sinais com a mesma coisa designada. 13.519.53.359.. _EIÊmÉ_ arbitrária. Ninguém pode ser impedido de empregar qualquer evento ou objeto arbitra- 1. Usa esta palavra no sentido de identidade e entendo "a = b" no sentido de "a e' o mesmo que b" ou “a e b coincidem". 2. Begrif/ rrchríft. eine der witbmetíscbm nacbgebildzt: Formels- prarbe d: : reivm¡ Dtnkenrjl-lalle, 1879, S 8. lN. do T. ) '61
  31. 31. l É 'Nu riamente produzida como um sinal para qumquq¡ mi¡ com ÍSÍO, ã 55111909¡ l = b não mais se refer-iria a ua cria mas . - . __ ' apenas a maneira pda qml a designanms; nao &programa; po¡ seu ¡numédlfh PWPÚITICDW. nenhum cunhuámcnto. Mas é justamente isto o qn qmremos muitos asas. Sue o áral "aii apenas enquanto disto (aqui, por sua configuraçao), .ao en. quanto sinal - 'um é, não pela maneira como clsigna alguma corsa -_- então o vb: cognitivo de a = a mma-seia essencial- rnente igual ao de a = b, desde que a e b seja verdadeira. uma drfsrsnsuimdeáagger se à 291331:: umaetüfârãm , m m o _ apresentação _que é tkfstgxgdo. Sejam a lv, t as linhas que Íigarn os vêrcícs de um _triangulo com os pontos médios ellos lados opostos. O parto de interseção de a c ó 5.901¡ o mesmo que o ponto dc interseção de b e c. Temos, assim, âfuentes designações para o msmo ponto, e estes nomes (“pomo de interseção de l c b" e "pmln à inter- seção de b e c") imitam, simultammnlenle, ¡¡_ _E2552 c, em coraseqíêmin, a sentença contêm um (Dnhetímcnto real. É. POÍS. PÊWSÍ-'d P553¡ que 5155111. unido a um sinal tnome, combinação de pah-nus, letra), allám _ qu! ? pode ser chan-indu de sua referência, ainda o que eu pstaría de Chamüt dt 0 onde esta' contido o : Indo de Conseqüentemmte, ' nossouem. plo, a referência da expressões "o _ponto debaterá den e 12" e -17v-2°m° e in 'O dãÀL-"Ííia l. ..! !_¡§§! ¡!¡! .. mas não os seus sentidos. _A ^ ' *t , h v- - u. <1 2§9.g. s:ntí<lo. Ngle contam claro que, por "sin " c por "mme", “Fendi 911514103' 3B913530 que rcpruente um ( ), ' « ' - , _ _ '. A designação de um 051m0 : Insular pode também consistir em várias palavras ou Outros 5131315. Plata sermos breves, (baum-emos asda uma destas dêslgnñçoes de noche móprio. 1. Cir. "Sobre @cunho eo obiem", nesta ediçio, p. 87 (N. do T. ). 62 O sentido de um nome próprio é entendido por todos que' estejam suficientemente familiarizados com a linguagem ou com a Ç totalidade de designações a que ele pertence 1; isto, porém, :lu: ' caso ele tenha uma. Msd IEs. parcial, Para um conhecimento total da referência, exigibse-ia “que iôssemos capazes de dizer, i nte, se um dado sen- tiiígpertence ou não a essa referência. Isto, porém, nunca con- seguiremos. A conexão regular entre o sinal, seu sentido e sua referência é de tal modo que ao ' s n ' ' e__ 0 mesmo sentido tem ex- pressões diferentes em diferentes linguagens, ou até na mesma linguagem. É verdade que exceções a esta regra ocorrem. Certa- mente deveria corresponder, a cada expressão, que pertença a uma totalidade perfeita de sinais, um sentido determinado; mas, freqüentemente, as linguagens naturais não satisfazem a esta exi- gência e deve-se ficar satisfeito se a mesma palavra tiver sempre lur/ o mesmo sentido num mesmo contexto. lalvez possa ser assegg- l- z rado gue uma expressão gramaticalmente bem construida, e gue desempcnheggmddeínnmeprémioàxeam ~ ~ sentido. Mas com isto não se quer dizergue ao sentido corres- ponda sempre uma referência. As palavras "o corpo celeste mais ln_ distante da Terra" têm um sentido, mas é muito duvidoso que também tenham uma referência. ' " ' ' vel-ge menos rapidamente" tem um geutidgwrnaLprgyadanreme n_i; o__tçm _referência_ já que para cada série convergente dada, uma_gutra sgÍriegggLçonurge menos rapidamente pode sempre ser encontrada. Portanto, entender-se um sentido nunca assegura sua referência. 1. No caso de um nome próprio genuíno como "Aristóteles", as opiniões quanto ao sentido podem certamente divergir. Poderaseia, por exemplo, tomar como seu sentido o seguinte: o discípulo de Platão e o mestre de Alexandre Magno. Quem fizer isto ¡ssociarâ outro sentido à sentença "Aristóteles nasceu em Estagíra" do que alguém que tornar como sentido daquele nome: o mestre de Alexandre Magno, que nasceu em Estagíra. Enquanto a referência permanecer a mesma, tais variaçõc de sentido podem ser toleradas, ainda que elas devam ser evitadas na estru- tura teórica de uma ciência demonstrativa, e não devem ter lugar numa linguagem perfeita. 63

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