GEOMETRIA ANALÍTICA
“Penso, logo existo”
René Descartes (1596 - 1650)
Pai da Geometria Analítica
Prof. Luiz Gustavo da Sil...
O Plano Cartesiano
Eixos
• X  eixo das abscissas
• Y  eixo das ordenadas
• Z  eixo das cotas (3ª dimensão)
OBS: No momento vamos trabalhar...
Sinais dos quadrantes
Distância entre dois pontos
Razão de Secção
Ponto Médio
Baricentro de um triângulo
Condições de Alinhamento de 3 pontos
0
1
1
1
=
CC
BB
AA
yx
yx
yx
3 pontos alinhados horizontalmente
3 pontos alinhados verticalmente
3 pontos numa reta não-paralela aos eixos
Se 0
1
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≠
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Os pontos A, B e C são vértices de um
triângulo!
Área de um Triângulo
2
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Área =
Mediatriz
Simetria
A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas
geométricas, equações matemáticas ou out...
Equações da Reta
Equação Geral da Reta
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
ax+by+c=0
Equação Segmentária da Reta
1=+
q
y
p
x
q = 3
p = 1
Equações Paramétricas da Reta
Se y = f(x), temos:
x = f(t)
e
y = g(t)
Rt ∈∀
Exemplo
Se ax + by + c = 0 ,
Vamos parametrizá-la!
Escolhendo x = t ,
Teremos,
at + by + c = 0
by + c = -at
by = -at – c
P...
Equação Reduzida da Reta
y = mx + q
Onde,
m= -a/b
q (o mesmo da equação segmentária) = -c/b
Coeficiente angular da reta
x
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(conhecidos o coeficiente angular e um ponto P de r)
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Pra que servem essas Equações?
• Usadas na Química;
• Usadas na Física (Sxt no MU, vxt no MUV, etc....)
• Usadas em divers...
Representação gráfica de Retas
Basta plotarmos 2 pontos no plano cartesiano!
É aconselhável usarmos a equação Reduzida par...
Coordenadas do ponto de intersecção entre duas ou mais retas
Nada mais é do que o ponto comum entre elas!
Basta pegarmos a...
Posições relativas entre retas
• Duas ou mais retas são paralelas, se e somente se, tiverem
coeficientes angulares iguais!...
Ângulo entre duas Retas
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Distância entre um Ponto e uma reta
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EXERCÍCIOS...
Apresentaogeometriaanaltica 1
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  1. 1. GEOMETRIA ANALÍTICA “Penso, logo existo” René Descartes (1596 - 1650) Pai da Geometria Analítica Prof. Luiz Gustavo da Silva
  2. 2. O Plano Cartesiano
  3. 3. Eixos • X  eixo das abscissas • Y  eixo das ordenadas • Z  eixo das cotas (3ª dimensão) OBS: No momento vamos trabalhar somente com duas dimensões (x,y).
  4. 4. Sinais dos quadrantes
  5. 5. Distância entre dois pontos
  6. 6. Razão de Secção
  7. 7. Ponto Médio
  8. 8. Baricentro de um triângulo
  9. 9. Condições de Alinhamento de 3 pontos 0 1 1 1 = CC BB AA yx yx yx
  10. 10. 3 pontos alinhados horizontalmente
  11. 11. 3 pontos alinhados verticalmente
  12. 12. 3 pontos numa reta não-paralela aos eixos
  13. 13. Se 0 1 1 1 ≠ CC BB AA yx yx yx Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo!
  14. 14. Área de um Triângulo 2 1 1 1 CC BB AA yx yx yx Área =
  15. 15. Mediatriz
  16. 16. Simetria A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou outros objetos
  17. 17. Equações da Reta Equação Geral da Reta 0 1 1 1 = BB AA yx yx yx ax+by+c=0
  18. 18. Equação Segmentária da Reta 1=+ q y p x
  19. 19. q = 3 p = 1
  20. 20. Equações Paramétricas da Reta Se y = f(x), temos: x = f(t) e y = g(t) Rt ∈∀
  21. 21. Exemplo Se ax + by + c = 0 , Vamos parametrizá-la! Escolhendo x = t , Teremos, at + by + c = 0 by + c = -at by = -at – c Portanto, y = (-a/b)t – c/a
  22. 22. Equação Reduzida da Reta y = mx + q Onde, m= -a/b q (o mesmo da equação segmentária) = -c/b
  23. 23. Coeficiente angular da reta x y xx yy b a tgm AB AB ∆ ∆ −= − − −=−== )( )( θ
  24. 24. Equação de uma reta r (conhecidos o coeficiente angular e um ponto P de r) )( )( P P xx yy m − − −=
  25. 25. Pra que servem essas Equações? • Usadas na Química; • Usadas na Física (Sxt no MU, vxt no MUV, etc....) • Usadas em diversas disciplinas das mais variadas engenharias; • Usadas em qualquer tipo de problema onde há um constante crescimento ou decrescimento; • E muito mais!
  26. 26. Representação gráfica de Retas Basta plotarmos 2 pontos no plano cartesiano! É aconselhável usarmos a equação Reduzida para isso! Assim, Teremos y = f(x) , que é uma função do 1º grau. E sabemos que toda função do 1º grau gera uma reta!
  27. 27. Coordenadas do ponto de intersecção entre duas ou mais retas Nada mais é do que o ponto comum entre elas! Basta pegarmos a equação de cada reta e fazermos um sisteminha entre elas!
  28. 28. Posições relativas entre retas • Duas ou mais retas são paralelas, se e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais! • Duas ou mais retas são concorrentes, se e somente se, tiverem coeficientes angulares diferentes! • Duas retas são perpendiculares quando o produto entre seus coeficientes angulares for ( - 1 )! Você pode dizer também que o coeficiente angular de uma reta é o inverso negativo do coeficiente angular da outra reta!
  29. 29. Ângulo entre duas Retas sr sr sr sr mm mm arctg mm mm tg + − =⇒ + − = 11 θθ
  30. 30. Distância entre um Ponto e uma reta ²² , ba cbyax d PP rP + ++ =
  31. 31. Bissetrizes de duas retas 2222 ,, ss sss rr rrr sPrP ba cybxa ba cybxa dd + ++ ±= + ++ ⇒=
  32. 32. EXERCÍCIOS...

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