GELSON IEZZI

2! edição

q FUNDAMENTOS DE

MATEMÁTICA 3
ELEMENTAR

TRIGONOMETRIA

121 exercícios resolvidos
298 exercícios...
Capa

Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulho¡ Cintra Filho

Rua lnhambu,  1235 - S.  Paulo

Composição e desenhos
AM Produçõ...
ÍNDICE

CAPITULO l - ARCOS E ÃNGULOS

 
     

 
 
 
 
  
 
 

l.  Arcos de circunferência .  . .  . .  . .  . .  . .  . ....
CAPITULO IV - REDUÇÃO AO 19 QUADRANTE

I.  Redução do 29 ao 19 quadrante .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  ....
Âügusííhãíouísícauññg
11789  521857):
Engenheiro de Napoleão era monarquista

Augustln~Louis Cauchy nasceu em Paris,  logo após a queda da Bastilha.  Cursou
a E...
3. Medida de um arco ÃÊ em rela- B
ção a um arco unitári9u (u não nulo

e de mesmo raio que AB) é o número

real que expri...
CA

C5

0.6

C.7

Exprimir em graus: 

17 1.' 1!
a) 6 rad h) 7 rad c) ? rad
27! 3T¡ 51!

d) T rad e) 4 rad f) -ê- red

Um ...
Ângulo convexo aüb é a intersec-
ção dos semi-planos a e B. 

twnw

' a ^ y u. .
Angu/ o cancavo 3011 e a reuniao
dos semi...
EXERCÍCIOS

C.1|

6.12

(2.13

0.14

C. 'l5

B-C

Calcular,  em graus,  a medida do ângulo a k
a0h da figura. 

Solução
O(...
39) se x < O,  então realizamos a partir de A um percurso de compri-
mento lxl,  no sentido horário.  O ponto final do per...
6.19 Indicar no ciclo a imagem de cada um dos seguintes números: 

1 Z-C

a) $ i» - 54-"
a) -arr . › 2727-'
Soluçio

. › %...
Padre refugia-se na Matemática

Bernhard Bolzano nasceu e morreu em Praga,  Tchecoslováquia.  e embora
fosse padre tinha i...
Il.  FUNÇÕES PERIODICAS

14. Exemplo preliminar

Dado o número real x,  sempre existem dois números inteiros consecutivos
...
19. Propriedades

1a. ) A imagem da função seno é o intervalo [-1, 1],  isto e',  -1 < sen x <1
para todo x real. 

É imed...
C .24

ZD-C

 

Com este tabela podemos obter 5 pontos do gráfico,  que é simátrioo da senóide em
relação ao eixo dos x. 
...
Corn bass nesta tabela,  podemos obter 5 pontos da curva.  Notemos que o gráfica dava
apresentar para nada x uma ordenada ...
(2.33

! HR-HR dada nor Hx) =  1 + sen x. 

Soluçin

 

Nntamos nua o gráfico deve apresentar para cada x urna ordenada y ...
0.43 Sendo a,  b,  c,  d números reais e positivos,  determinar imagem e período da função
kia-HR dade por f(x) =  a + o ›...
EXERCÍClOS

Determinar o periodo e a imagem a fazer o gráfico drum periodo completo

das funções dadas do (3.47 ao (3.56:
...
Denominamos função tangente a função f:  D -› R que associa a cada real
x,  x at?  + kn,  o real É =  tg x,  isto é,  f(x)...
EXERCÍCIOS
0.64 Qual é o dominio da função real f tal que f(x) =  tg 2x7
Solução

Façamos 2x - t. 
(k G z),  então. 

Sabe...
29. Gráfico

cotg
D
n¡ §    21r x
'. 
i

VII.  FUNÇÃO SECANTE

30x Deriniçso
Dado um número real x, 
;e I
x 2 + kn, 

seja...
VIII.  FUNÇÃO COSSECANTE

33. Definição

Dado um número real x,  x aê kn, 
seia P sua imagem no ciclo.  Conside-
remos a r...
CONDUÇÃO DO CALOR : NOVA TEORIA

Jean Baptista Joseph Fourier nasceu em Auxerre,  em 1758. Órfão aos 8 anos, 
Fourier foi ...
b) Se x =  521-' ,  podemos verificar diretamente a tese:  b) se X =  kn' temos: 

sen X
CO5 X

tgx=0=

3a.  Teo roma

Par...
39. Teorema 40. Teorema

para mdc x rm' x ; É ã ,  kn' me a rehçio Para todo x real,  x $ kn,  vale a relação: 

   

Demo...
41. corolário

 

 

Par¡ 10d! ? X Tea'.  X $ k-n ,  valem as relações:  i
2 t x à_ sen x _ i 7 _ í
g cos x _ í 3
_ 5
cotg...
' Sabendo que secx =  3, calcular o valor da expressão y = san2x+2 r tgzx. 

 

Solução

1 1
cosx=  í =  -
secx 3

senzx :...
0.85

C.87

C. B8

0.89

6.90

C31

C32

48-0

Calcular m de modo que se tenha tg x =  m › 2 e cotg x =  

a + 'I
e cossec...
lV.  DEMONSTRAÇÃO DE IDENTIDADE

44. Para demonstrarmos uma identidade trígonométrica podemos aplicar qual-
quer uma das f...
C39 tg x + cotg x =  sec x ' : Q8590 1

6.100 (tg x + ootg xl (sec x - : :os xl (cossec x - sen xl =  l

0.101 seczx + cos...
47.

4B. 

49.
71 <

no ciclo.  Seia P' o ponto do ciclo,  si-
métrico de P em relação ao centro.  Te-

mos: 

f
AP -
/ 
p...
54. Assim,  por exemplo,  temos: 

sen 2ao° =  -sen isso” - 2so°› =  -sen 90°
cos 34o° :  cos l360° - 340W =  cos 20°

117...
V. 

IDENTIDADES

Ao procurar resolver problemas de redução ao 1? quadrante estabelecemos

igualdades notáveis.  Por exemp...
0.123 lMAPOFEl-74) Simplificar a oxpresllo: 

11
7” sen ix +|11r)cotg(x 4' T")

*°" í * co¡ 191! - x)

6.124 lMAPOFEI-7A) ...
TÁBUA DE VALORES DASFUNÇÕESTRIGONOMÊTRICAS

0° 0,0000 0,0000 , oooo
-1-

0,0175 0,0175 0,0175
0,0349 0,0349 0,0349
3° 0,05...
II.  APLÍCAÇÕES Temos,  então: 
1r 514 R a ñ
_- T

: S4 93m! ? ma* mmum de aplicação desta teoria são aqueles em que sen í...
EXERCÍCIOS

c.12s Calcular sim 15°,  cos 15° e (g 15°. 

 

Solução

sen 15° =  sen g =  “Tu CAPÍTULO VI
Culculemos ! Zn n...
dê",  e 4x,  - XHV + (y,  . Yan =  7o.  Tenqeme de soma

=  - b¡+ 1:
“o” cos 1 [sena +senbl senla +b) sena - oosb+senb - c...
72. Cotangente da soma ¡Xiaclcws

oos(a+b) cosa-cosb-sena-senb

 

com [a + b) =  _íá =    =  c_1a1 Calcular os valores de...
.z

 

0.136 Sabendo que tga : â e senbz-â- com g<b <1l,  calcular tg (aâbl. 

Solução
19) cosb : -/ l ›sen2b: »/1 r É = «...
Soluçio

s,  ,m :  “mx ,  x,  : sem u.  FÓRMULAS DE MULTlPLICAÇÃO

 

   

então

Din =  VR

D =  _W Vamos deduzir fórmula...
75. Funções circulares de 3¡ EXEm-n-¡uos

Fazendo 3a =  2a + a e aplicando as fórmulas de adição,  temos: 

Wsando tnx= â ...
0.154 Se secx :  g e o <x <  calcular ! g 3x.  m' FORMULM DE mvlsÃo IQ: 

.  _ ,  _ J
C155 ¡MAPOFEFW um”,  m:  á _ ms:  1%...
_ M" Solução

Expr. (|)kpar:  cos; =cos(? +2k¡1r)= cos§' cmã= + /1+2cosx: + É= Ê
Expr.  (l) kimpar:  00s ; =cos[ͧ +(2k¡+1...
(2.188 Estudar e variação da função fzR - (x l x $2- + kn]»| R dada po(

l _
f(x) =  (1 - cos2xl3 - (1 + cos2x)

uh-

l
0....
79. Sabemos que:  sen p sen q sen p - cos q - sen q - cos p

cos(a+b)= oosa- cosb-sena- senb tgp-mu:  m” - ms" :  msn' m")...
0.172 Transformar em produto: 

a)Y
b)v
c)Y
d)v

Solução

a)V

b)y

: :JV

d)V

(3.173 Transformar em produto: 

e)v
b)Y
c...
CJBD Provar que tg 81° ~ tg 63° › [g 27° s tg 9° :  4_

6.181 Demonstrar que,  se A,  B e C são ângulos internos de um tri...
Í
3335 Fm" q"" " m" (' * b 'Ú' “" (a 'h " °" “" ('° + b * 'm ¡ “ma °'°°"“° 0.190 Provar aut u os ângulo¡ d¡ um triângulo A...
Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
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Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
Fundamentos.de.matematica.elementar.vol.03.trigonometria
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  1. 1. GELSON IEZZI 2! edição q FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 3 ELEMENTAR TRIGONOMETRIA 121 exercícios resolvidos 298 exercícios propostos com resposta 215 testes de vestibular com resposta _saw @IQ Am MQ EDITORA
  2. 2. Capa Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulho¡ Cintra Filho Rua lnhambu, 1235 - S. Paulo Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 ~ S. Paum Artes Atu al Editora Ltda Fotolitos H. O.P. Fotolitos Ltda. Rua Delmíra Ferreira, 325 - S. Paulo Impressão e acabamento Companhia Melhoramentos de são Pau", Rua Trto. 479 - S. Paulo ctg-menu. Bltalonçímnl-Fenta cum Iraallaiu da Livro, s¡ runalmnm de ¡el-¡tlga slnanur (m) Gohan . ui (e autres] s. . Paulo, um 1a, , 1917-73. Co-mtoraer Cnh¡ IÍurlh-i OIVIHA: Don l - nel Han l t ¡ ' f ' '^ m "un-nx ¡- oe vamu lnlividuau va- paula¡ dauminln ¡r71.-v. s. Bubu-rat. É. , , ... .¡, ¡¡¡¡_, ,_ &nhcolplu | í - «um. .ZIi. iZ. ."°'”¡$? i.°'““°'" ""'"'7' 1. Hate-it( 2a . IL um. c-¡ÍLÍ 11:53:31? 3355.'. 2:33" 3322 Iv. nim-nt, cmo. , m: - ' ' l_ ãziêí-Eztizrlãíâtílego sletmíciee: Todos os direitos reservados a ATUAL EDITORA LTDA Rua José Antônio Coelho, 785 Telefones: 71-7795 e 549-1720 CEP 04011 - São Paulo e se _ emu APRESENTAÇÃO “Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática. ao nrvel da escola de 29 grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como s óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha das ciências". No desenvolvimento dos inúmeros capftulos doselivros de "Fundamentos" procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matematica Elementar, as proposições e teorema¡ estio sempre acompanhados das respectivas demonstrações. Na estruturação das séries de exercicios, buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade. Partimos de problema¡ simple¡ etentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisio. A seqüência do 'texto sugere uma dosagem para teoria e exercicios. Os exercicios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e assim ter seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido. A última parte de cada volume é constitufda por testes de vestibulares ate 1.977 selecionado¡ e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria estudada. Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros eo Prof. Dr. Fernando Furquim de Almeida cujo apoio foi impretcindfvel para que pudéssemos homenagear nesta coleção alguns do¡ grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e suas obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores a o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores uma apre- ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crfticos, os quais agra- decemos. Os autoras
  3. 3. ÍNDICE CAPITULO l - ARCOS E ÃNGULOS l. Arcos de circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-C II. Medidas de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , . 1-C Ill. Ãngulos de duas semi-retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-C IV. Medida de ângulos . . . . . . . ... . . . . . . . . G-C V. Ciclo trigonométríco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . _ . . . . . . . . . 9-C CAPITULO II ~ FUNÇÕES CIRCULAHES l. Noções gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-C Il. Funções periódicas . 16-6 Ill. Função seno . . . . . . . . . 17-C IV. Função cosseno . . . . . . . ZB-C V. Função tangente . . . . . . . 29-6 Vl. Função oolangeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . 33-C VII. Função secante . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . 34-C VIII. Função cossecante . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36-0 CAPITULO III - RELAÇÕES FUNDAMENTAIS l. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39-C ll. Relações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39-C III. Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49-0 IV. Demonstração de identidade . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . 50-C
  4. 4. CAPITULO IV - REDUÇÃO AO 19 QUADRANTE I. Redução do 29 ao 19 quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53-C II. Redução do 39 ao 19 quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54-0 lll. Redução do 49 ao 19 quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55-C IV. Redução de gg] a [og] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . as-c V. Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58-0 Vl. Funções pares e funções ímpares . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60-6 CAPITULO V - ARCOS NOTÁVEIS I. Teorema . . . . . . , . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63-0 II. Aplicações . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64-0 CAPITULO VI - TRANSFORMAÇÕES l. Fórmulas de adição . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67-C II. Formulas de multip icação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75-C III. Fórmulas de divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . 79-0 IV. Tengente do arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82-6 V. Transformação em produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83-C CAPITULO VII - ÉQUAÇÕES I. Equações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93-C Il. Resolução da equação sen a = senü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94-C III. Resolução da equação cosa = cost? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98-C lV. Resolução da equação ma: = m5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101-C V. Soluções de uma equação dentro de certo intervalo . . . . . . . . . . . . 104-C Vl. Equações clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , . . . . . , . . . . . 107-C Vll. Funções circulares inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115-C CAPITULO VIII - INEQUAÇÓES I. Inequações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127-C Il. Resolução de sen x > m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128-C lll. Resolução de sen x < m . . . . . . . . . . . . . . ~ - . - . - - - - - - - ~ - › - 129-0 IV. Resolução de cos x > m . › . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132-C V. Resolução de cos x < m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132-C Vl. Resolução de tg x > m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138-C VlI. Resolução de tg x < m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138-C CAPITULO IX - TRIÃNGULOS RETÂNGULOS I. Elementos principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141-C II. Propriedades geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142-C III. Propriedades triqonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146-C IV. Resolução de triângulos retângulos . . . - - - - - . . . . . - - . . . . . . . . ISO-C CAPITULO X - TRIÃNGULOS QUAISQUER I. Propriedades trigonomótricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155-C ll. Propriedades geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lôõ-C Ill. Resolução de triângulos quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171-C RESPOSTAS DE EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . .. I75-C TESTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185-C RESPOSTAS DOS TESTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . 221-C
  5. 5. Âügusííhãíouísícauññg 11789 521857):
  6. 6. Engenheiro de Napoleão era monarquista Augustln~Louis Cauchy nasceu em Paris, logo após a queda da Bastilha. Cursou a Escola Politécnica, onde mais tarde foi professor, pois gostava muito de ensinar, e aceitou a cadeira de Monge na Academia, quando este foi demitido. Ainda como estudante contou com o apoio de Laplaoe e Lagrange que se interessaram por seu trabalho. Cauchy chegou a ser um dos engenheiros militares de Napoleão. Católico devoto e reacionário convicto, defendia vigorosamente a Ordem dos Jesuítas e quando Carlos X, seu rei, foi exilado, também deixou Paris, recebendo mais tarde o tftulo de barão como recompensa por sua fidelidade. Produziu grande quantidade de livros e memórias, a maioria dedicada à Matemática Pura e sempre dando ênfase às demonstrações rigorosas. Uma de suas caracteristicas marcantes era que, obtendo um novo resultado, logo tratava de publica-lo, ao contrário do que fazia Gauss. Assim, contribuiu amplamente com suas memórias para o "Journal" da Escola Politécnica e para os "Comptes Rendus" (Notícias) da Academia, onde se aplicou, a partir de 1514, em teoria das funções de variáveis complexas, da qual é um dos criadores. Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas, passando a apIícá-Ios nas mais diversas situações como, por exemplo, na propaga- ção de ondas. Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementar o caráter que tem hoje, definindo precisamente limite, derivada e integral; os conceitos de funções e de limites de funções eram fundamentais. Estas obras de Cauchy foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com idéias semelhantes por Bolzano, um padre tcheco. Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais à teoria das funções, e em Geometria conseguiu generalizar a fórmula poliedral de Das- cartas-Euler. Em Teoria dos Números, provou o teorema de Fermat, um dos mais dificeis e produto de pesquisas iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes. Juntamente com Navier, Cauchy foi fundador da teoria matemática de Elasticidade e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica celeste. Cauchy, tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribuiu para quase todas as partes da Matemática e sua grande quantidade de obras publicadas só é superada por Euler. I. ARCOS DE CIRCUNFERENCIA 1. Definição Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica divi- dida em duas partes. Cada uma dessas partes, que incluem A e B, ^e' denomi- nada arca de circunferência AB. Em particular, se os pontos A e B coincidem, eles determinam dois arcos: um deles é um ponto (denominado arco nulo) e o outro é a circunferência ide- nomínado arco de uma volta). Il. MEDIDAS DE ARCOS 2. Se queremos comparar / os "tama- nhos" de dois arcos AB e CD somos naturalmente levados a estabelecer um método que permita saber qual deles é o maior ou se são iguais. Este problema é resolvido estabelecendo-se um método para medir arcos. CAPÍTULO 1 ARCOS E ÂNG ULOS u: >
  7. 7. 3. Medida de um arco ÃÊ em rela- B ção a um arco unitári9u (u não nulo e de mesmo raio que AB) é o número real que exprime quantas vezes o arco u "cabe" no arco AB. Assim, na figura ao lado, o arco u cabe 6 vezes/ ng arco AB, então a , medida do aroo AB e' 6, isto é, arco AB = 6 - arco u. 4. Unidades v Para evitar as confusões que ocorreriam se cada um esoolhesse uma unida- de u para medir o mesmo arco Ãê, limitamcs as unidades de arcos a apenas duas: o grau e o radiano. Grau (simbolo °) é um arco unitário igual a É da circunferência que contém o arco a ser medido. Rediano (simbolo rad) e' um arco unitário cujo comprimento é igual eo raio da circunferência que contém o arco a ser medido. Assim, ao afirmar que um arco ÂÊ mede 1rad estamos dizendo que "esti- cando"'o arco AB obtemos um segmen~ to de reta AB cuja medida é exatamente o raio da circunferência. ' 5. É evidente que uma circunferência mede 360", porém, já não é tã'o fácil dizer quantos radianos mede uma circunferência. Podemos chegar a uma noção intui- C í E tiva dc valor dessa medida, considerando a seguinte construção: I) Em uma circunferência de centro D A O e raio r inscrevemos um hexágono re- gular ABCDEF. Cada lado do hexágono tem cumprimentar: Ãí= íC= Ê=CTÊ= T=ñ= r EF Z-C II) A circunferência fica dividida em 6 arcos de medidas iguais e, sendo o comprimento do arco sempre maior que o comprimento da corda cor- respondente, todos esses arcos são maio- res que 1 rad. Ill) Em cada um dos citados arcos "cabe" 1 rad: rx r rx m f* fN AB' = BC' = CD' = DE' = EF' = FA' :1rad e ainda sobra uma fração de rad. IV) 0 radiano "cabe" E vezes na circunferência e mais a soma dessas "sobras'_'. Mais precisamente demonstra-se que a circunferência mede 6,283584.. . rad (nú- mero batizado com o nome de 21r). Tendo em vista estas considerações, podemos estabelecer a seguinte corres» pendência para conversão de unidades: 3so° 4.4 21! rad 180” <-_› rrrad exencrclos C.1 Exprimir 225° em radianos, Solucic Esrabeieccmos a seguinte regra da três simples: 1ao° «-› nrad 199o x z % : ílrau 2z5° <-› x C2 Exprimir em radianos: a) 21o° b) 24o” c) 27o” di 300" e) 3|5° f) 3:30" C.3 Exprlmir lg! rad em graus. Soluclo Temos: 11rrad <-› 180** HT? ! _ 180 Lsínd 44-# x logo “gesso”
  8. 8. CA C5 0.6 C.7 Exprimir em graus: 17 1.' 1! a) 6 rad h) 7 rad c) ? rad 27! 3T¡ 51! d) T rad e) 4 rad f) -ê- red Um arco de circunferência mede 30 cm E e o raio da circunferência mede 1o cm. R A Calcular a medida do arco em radianos. Solução A . ^ ' a AB 3o [medida de Ae em rad] = '°9, _ = “m . 3 rad comprimento do raio 10 cm Sobre uma circunffmjncia de raro 10 cm marcase um arco AB tal quea corda AB 5 mede 10 cm. Calcular a medida do arco em racuanos. Soluçin O segmento AB e lado do hexágono re« gular inscrito na circunferência, logo, o menor arco AB é -à- da circunferência, isto é, made: 1 7! í x 21|'rad = -a-red Um grau se divide em 60' (60 minutos) e urn minuto se divide em 80” (60 segundos) Por exemplo, um arca de medida 30 é um arco de 05°. Pede-se converter a radia- nos os seguintes arcos: a) 22°30' b) 31°15'45" Solucio a) n°30' = 22 x 60' + 30* = 1350' 180° = 180 >< 60' z 10800' então: 10800' <-› n rad i , 1350 _ l 135o, ›( ogo x 10800 8 rad b) 31°15'45" = 31 x 3600" + 15 x 60" + 45" : 112545" 1so° z 180 x 3600" = 648 ooo" então: 648 ooo” «_› n rad 112 545" e-› x 112 545 › n 112545 - 3,1416 logo xea: 648 ooo 648 ooo : 054553 'ad ca Converter a graus o arca 1 rad. Solução 3,1416 rad í? ? 180° 1 rad <_› x c. i 180° 3,1415 1800 000 31416 229 20o 57°17'44" 09 28a x 60 557 2B! ) 243 120 23 208 x 60 1392 480 135 840 10175 logo x e 7T¡ C.9 Exprimir em radianos as medidas dos arcos a e b tais que e - b = 15° L- a +0: T rad. 0.10 Exprimir em graus as medidas dos arcos a, b e c tais que a + b + c =13°. a + b 4 2c = 'R Ti __ a zu e _ a. 12 i8 B a 4- -Ó C g ra III. ANGULOS DE DUAS SEMI-RETAS 6. Consideremos duas semi-retas 0a e Ob de mesma origem, distintas e não opos› 0 tas. A reta a divide o plano ab em dois semi-planos opostos. aiaDOb e oUicKp/ Ob A reta b divide o plano ab em dois semi-planos opostos aluno. ; e cwzfoa 5-C
  9. 9. Ângulo convexo aüb é a intersec- ção dos semi-planos a e B. twnw ' a ^ y u. . Angu/ o cancavo 3011 e a reuniao dos semi-planos a' e B'. / (como) 7. Em particular, se as semi-retas 0a ge' oww, e Ob coincidem dizemos que elas deter- s minam dois ângulos: um ângulo nulo e uma¡ °"9"'° I um ângulo de uma volta. nu o No caso particular das semi-retas 0a 49° 'a e Ob serem opostas dizemos que deter- , , O minam dois ângulos rasos. 3m. , u¡ IV. MEDIDA DE ÂNGULOS 8. Dado um ângulo aÕb, consideramos uma circunferência de centro 0 e raio r. a Sejam A^e B os pontos onde os lados do A ângulo aOb interoeptam a circunferência. A cada arco É corresponde desta maneira um único ângulo central a/ Õb e vice-versa. Convencionando que a um B arco unit io corresponde um ângulo cen- b val unitário, decorre que o arco ÃÊ e o ângulo central a0b correspondente pas~ sam a ter a mesma medida. S-C Assim, por exempio, temos: 19) ângulo de 1° é um ângulo central correspondente a um arco de 1°, isto e', e um angulo central que determina na circunierencia um arco Igual a 5a desta; 2'? ) ângulo de 1 rad e' um ângulo centrai correspondente a um arco de1 rad, isto é, é um ângulo central que determina na circunferência um arco cujo compri- mento é igual ao do raio; 3'? ) ângulo de 60° é um ângulo central correspondente a um arco de 60°; 4?) ângulo de 1r rad é um ângulo central correspondente a um arco de rr red. 9. Quando queremos medir em radia- nos um ângulo aOb, devemos construir uma circunferência de centro O e raio r e/ verificar quantos radianos mede o arco Y AB, isto é, calcular o quoyiente entre o comprimento il do arco AB pelo raio r da circunferência: a: -he (a em radianos) Por exemplo, se o ângulo centpi 33h é tal que determina numa circunfe- rência de raio r = 5cm um arco AB de medida il = Bcm, então a medida de aOb é: il (I'--' r 8 - í - 1,6rad Ob/ sgrvemos que, fixado um ângulo central a0b de medida a rad e construi- das as circunferências de centro 0_e raios R¡ r¡, r¡, r, os arcos correspondentes 4 a a6!) têm comprimentos Q. , 22, 11,, tais que: ñ t: à = *à = E = = a n V2 "a 7-C
  10. 10. EXERCÍCIOS C.1| 6.12 (2.13 0.14 C. 'l5 B-C Calcular, em graus, a medida do ângulo a k a0h da figura. Solução O( = f; z àrea! , Convertendo a graus: 0 3 c", 1rrad -›1ao° I â) red -> x É 0°"? b 3 _ 1B0° 1o x 54 . , r r, == > x= ezñzi7i| i9. &Icular o comprimento il do arco ÃÊ definido numa circunferência de raio r= i0 cm, por um Angulo central de 60°. A a Solução convertido a radianos, o ângulo central A n aDb tem medida a z «- rad, então: 3 así É Ê= a-r= l-10 r a DOrÍÊHÍOÍ ll = 31:15 . 10,472cm. . . A . p , Calcular a medida do angulo central aOb que determina em uma crrcunlerencia de raio _ 2m r urn arco de comprimento T. 3 Calcular o comprimento il do Moo á definido em uma circunforencia de raio 7 cm por um ângulo central de 4,5 red. Calcular o menor rios ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está assi- nalando: a) 1h; bi 1h15min; c) 1h4Dmin. Solução ai Notemos que os números do mostra- dor de um relógio estão colocados em pontos que dividem a circunferên- cia em 12 partes iguais, cada uma das quais mede 30°. Assim, à 1 h os pon- teiros do relógio formam um ângulo convexo de 30°. b) Sabemos que em 60 minutos opon- d teiro pequeno percorre um ângulo de 30°, então em 15 minutos ele percor- re um ângulo Ottal que: rx_30° íã'so portanto a = 7,5** = 7°30'. Assim, temos: 9 = ea” - oz= 60° - 7°3o' = 52°3o' cl Notemos que em 40 minutos o pon- teiro pequeno percorre o ângulo B tal que: ,i3 , , E 40 ã 60 portanto B r 20°. Assim, temos: d>=150°+B=150°+20°:170° ou ainda o=180° -7 =18o° - 10° =170°. CJE Calcular o menor dos ângulos formados pelo: ponteiros de um relógio que marca: a) 2 h 40 min; b) 5 h 55m¡ c) 6h 3D mm. V. CICLO TRIGONOMETRICO 1D. Definição Tomemos sobre um plano um sistema artesiano ortogonal u0v. Conside- remos a circunferência À de centro 0 e raio r l. Notemos que o comprimento desta circunferência é 27r pois r = l. Vamos agora definir uma aplicação de IR sobre X, isto é, vamos associar a cada número real x um único ponto P da circunferência À do seguinte modo: 19) se x : O, então P coincide com A; 29) se x > 0, então realizamos a partir de A um percurso de comprimen- to x, no sentido anti-horário, e marcamos P como ponto final do percurso.
  11. 11. 39) se x < O, então realizamos a partir de A um percurso de compri- mento lxl, no sentido horário. O ponto final do percurso é P. A circunferência A acima definida, com origem em A, é chamada ciclo ou circunferência trigonométrica. Se o ponto P está associado ao número x dizemos que P é a imagem de x no ciclo. Assim, por exemplo, temos: ¡v e imagem de -; c e' h B a imagem de Ir l A' a ¡mum de _n é A. Av B 311 aimagamdngée' aimaeemde-TÉB 1 0-C 11. Notemos que se P é a imagem do número x0, então P também e' a imagem dos números: xo, x0 + 211, x0 + 47v, x0 + 61r, etc. ê também de xo - 21v, xo - 41r, xo - 611, etc. V x°+ 2k71 Em resumo, P é a imagem dos ele- mentos do conjunto: (x6 IR | x= xn+2k1r, kGZ). *o Dois números reais x, =xo+2knr ik¡ EZ) e x, = xo + 2km ik¡ EZ) que tem a mesma imagem P no ciclo são tais àue x1- x¡ = 2k1r (onde k = - k¡ - k, ) e, por isso, diz-se que x¡ e x¡ são cõngruos módulo 221 ou simplesmente, x¡ e x¡ são cângruos. EXERCÍCIOS C.17 Divida-se o ciclo em 12 partes ÍgUaiS, utilizando-se A como um dos pontos diwsores. Determinar os x ix C lo, 21d) cujas imagens são os pontos divisores. So luçio Nutando que cada parte mede _à - 211 = : g e que F e a imagem de x quando A) = x, podemos construir e tabela abaixo: imagem dex A P¡ P¡ e P3 x o 1 l l E , e a 2 3 l (2.18 Divida-se o ciclo em 8 partes iguais, utilizando-se A como um dos pontos divisores. De- terminar o conjunto dos x (x E [O, 21th cujas imagens são os pontos divisores. 11-C
  12. 12. 6.19 Indicar no ciclo a imagem de cada um dos seguintes números: 1 Z-C a) $ i» - 54-" a) -arr . › 2727-' Soluçio . › % = à - 21r Maroemos, a partir de A, um percur- f* 3 so AP igual a -do ciclo, no sentido 8 anti-horário. 51! 5 b) - T - -8- - 21r Merumus, a partir de A, um percur- f* _ 5 . M) AP Igual e ã-do ciclo, no sentido horária. c) 1m. - 1r +101r como r 111v - 11 c mulriolo de 2m entío 111v e 11 tem e mesme ime- gem (N). d) -31r x n - 41r Como i-an) - n e múltiplo de 2a, 'entilo -31r e 11 : em e mesma ime- gem | A'). u E! 1f'247l n g) a . -3-4T=3_+8n Assim, @ e; time mesma imagem P que o obtida marcando f 1 . um percurso AP Igual a í do ciclo. no sentido anti-horário. f) ' T * F ' 6 “ e Assim - É e EE tôma mesma ' 6 B imagem. Como i: - = % ' 27h il imagem procurada 6 e extremidade FN 5 do percurso AP igual a E do ciclo medido no sentido anti-horário. c) 11W 1911 " ' T C20 Indicar no ciclo as imagens dos seguimos números reais: g, C21 C.22 m 31'! 71! B ' B ' 8 ' E - É É . _ : L 6 ' 2 ' 4 4 ' Representar, no cicio, as imagens dos seguintes conjuntos de números: E-[xêiñ Íx= ;.+k7r, kez) rsfxen Íxzkl' Kez] Solugío x. 21140! 1r . k=0 ; a x-z- limagemzB) k=1 : :o x = 32-” (imagem: 8') k=2 gs x- : :'21 (rapniçsnze) B' O conjunto E tem como imagem os pontos E e B' do ciclo. 1r . k._ 2 =0 É x 0 (imagem: A) =1=›x g Íimewüm: B) 1r (imagem: A') = 3 : eo x = il (imagem: 3') = 4 í x n 21|' (repartido: A) x k k k x 2 = = x k k O conjunto F tem como imagem os pontos A, B, A' e B' do ciclo. Represemer, no ciclo, as imagen¡ dos seguintes conjuntos de números reais: E e (xÉIHVÍ x= k1l', kez] i= =(xeinix= g, uez) G= (xÉlR| x=g-+k1r, xéz] H= [xER| x=%+k; , uez] 1 3-C
  13. 13. Padre refugia-se na Matemática Bernhard Bolzano nasceu e morreu em Praga, Tchecoslováquia. e embora fosse padre tinha idéias contrárias às da lgreia. Suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus contemporâneos. Em 1817 publicou o livro "Re/ n Analytischas Beweis" (Prova puramente analítica), provando através de métodos aritméticos o teorema de locaçãío em Álgebra, exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de uma curva ou função. Bolzano, a essa época, já havia percebido tão bem a necessidade de rigor em Análise, que Klein o chamou "pai da aritmetização", embora tivesse menos influência que Cauchy com sua análise baseada em conceitos geométricos mas, embora os dois nunca tivessem se encontrado, suas definições de limite, derivada, continuidade e convergência eram bem semelhantes. Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou a enunciar propriedades importantes dos conjuntos finitos e, apoiando-se nas teorias de Galileu, mostrou que existem tantos números reais entre 0 e 1, quanto entre 0 e 2, ou tantos em um segmento de reta de um centímetro quanto em um segmento de reta de dois centimetros. Parece ter percebido que a infinidade de números reais é de tipo diferente da infinidade de números inteiros, sendo não enumeráveis, estando mais próximo da Matemática moderna do que qualquer um de seus contemporâneos. Em 1834, Bolzano havia imaginado uma função continua num intervalo e que não tinha derivada em nenhum ponto desse intervalo mas o exemplo dado não ficou conhecido em sua época, sendo todos os méritos dados a Weierstrass que se ocupou em redescobrir esses resultados, depois de cinqüenta anos, Conhecemos ho- je corno teorema de Bolzano-Weierstrass'aquele segundo o qual um conjunto limi- tado contendo infinitos elementos, pontos ou números, tem ao menos um ponto de acumulação. O mesmo aconteceu com os critérios de convergência de séries infinitas que levam hoje o nome de Cauchy e assim também com outros resultados, Há quem diga que Bolzano era "uma voz clamando no deserto". CAPÍTULO II FUNÇÕES CIRC ULARES I. NOÇÕES GERAIS 12. Consideremos um ciclo trigonométrico de origem A. Para o estudo das fun- ções circulares vamos associar ao ciclo quatro eixos: 19) eixo dos oossenos (u) direção: OA sentido positivo: O -› A 29) eixo dos senos (v) direção: l a, por O sentido positivo: de 0 -› B sendo B tal que AB : ã 39) eixo das tangentes (c) direção: paralelo a v por A sentido positivo: 0 mesmo del¡ 49) eixo das ootangentes (d) direção: paralelo a u por B sentido positivo: o mesmo de a. axrx . . . . . 'x R. Os eixos u e v dividem a circunferência em quatro arcos: AB, BA', A'B' e B'A. Dado um número real x, usamos a seguinte linguagem para efeito de IocaI¡« zar a imagem P de x no ciclo: x está no 1'? quadrante c: P E AB : s o + zkrr S x S -Z- + 2k1r x está no 29 quadrante É P E BA' <-= -› Ã + 2k1r S x S n + 2m¡ 2 x está no 39 quadrante ~. -+_› P E o: : 7I' + 2kir S x S a? " + 2k1r x está no 49 quadrante <-: -› P E BTA 4% ? + 2k1r S x S 211 + 2k1i 15-6
  14. 14. Il. FUNÇÕES PERIODICAS 14. Exemplo preliminar Dado o número real x, sempre existem dois números inteiros consecutivos n e n + 1 tais que n ã x < n + 1. Consideremos a função f que associa a cada real x o real x - n onde n é o maior número inteiro que não supera x. Temos, por exempio: r(o,1›= 0,1; f(1,1)=1,1-1= 0,1,- n2,1)= 2,1- 2 = 0,1; H3) = 3 - 3 = 0; fi-E) = (-5) - (-5i = O; H7) = 7 - 7 = 0. De modo geral, temos: 0<x<1 = «=›f(x) 1<x<2 = f(x)= x-1 2<x<3 : ›f(x)= x-2 etc. -1<x<0 : fui -2<x<-1âf(x) -3<x<-2:f(x) etc. I› x I li x X-(-1)= x+1 X-(-2i= x+2 X-i-3)= x+3 Seu gráfico é: x+2 x+3 x+4 Temos: f(x)= f(x+1i= fix+2) = f(x+3)= f(x+4)= ... -V-xGiR portanto existem infinitos números p inteiros tais que f(x) = fix + D). 'VX EIR. 15. O menor número p > O que satisfaz a igualdade fix) = f(x + PLVX E IR é o número p = 1, denominado per/ cido da função f. A função f é chamada função periódica porque foi possivel encontrar um número p > U tal que 1 6-C dando acréscimos iguais a p em x, o valor calculado para f não se altera, isto é. o valor de f se repete periodicamente para cada acréscimo de p à variável. 16. Definição Uma função f: A-›B é periódica se existir um número p > O satisfa- zendo a condição f(x + p) = fix). 'Vx E A O menor valor de p que satisfaz a condição acima é chamado per/ ado de f. 17. O gráfico da função periódica se caracteriza por apresentar um elemento de curva que se repete, isto é, se quisermos desenhar toda a curva bastará cons- truirmos um carimbo onde está desenhado o tal elemento de curva e ir carimban- do. Período é o comprimento do carimbo (medido no eixo dos x). Y x periodo III. FUNÇÃO SENO 18. Definição Dado um número real x, seja P sua imagem no cicio. Denominamos seno de x (e indicamos sen x) a ordenada (T. do ponto P em relação ao sistema u0v. Denominamos função sena a função f: R-› IR que associa a cada real x o real É¡ = sen x, isto é: fix] = sen x. 17-C
  15. 15. 19. Propriedades 1a. ) A imagem da função seno é o intervalo [-1, 1], isto e', -1 < sen x <1 para todo x real. É imediata a justificação pois, se P está no ciclo, sua ordenada pode variar apenas de -1 a +1. 23:) Se x é do primeiro ou segundo quadrante, então senx e' positivo. De fato, neste caso o ponto P está acima do eixo u e sua ordenada é po- sitiva. 3?) Se x é do terceiro ou quarto quadrante, então senx é negativo. De fato, neste caso o ponto P está abaixo do eixo u e sua ordenada é negativa. 4?) Se x percorre o primeiro ou o quarto quadrante. então senx é CFESCEDÍE. É imediato que, se x percorre o primeiro quadrante, então P percorre r o arco AB e sua ordenada cresce. Fato análogo acontece no quarto quadrante. S? ) Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então sen x é decres- cente. É imediato que, se x percorre o segundo quadrante, então P percorre o f arco BA' e sua ordenada decresce. Fato análogo acontece no terceiro quadrante. 63.) A função seno é periódica e seu periodo e' 21v. É imediato que, se senx : ÕF¡ e k EZ, então sen (x + k - 211) = 0T¡ pois x e x + k - 221 têm a mesma imagem P no ciclo. Temos, então, para todo x real: senx z senix+k . 21r) e, portanto, a função seno é periódica. Seu período é o menor valor positivo de k - 21!, isto é, 21r. ' 1 8-C 20. Gráfico Façamos x percorrer o intervalo [D, 211] e vejamos o que acontece com sen x. Se a imagem de x (ponto P) da' uma volta completa no ciclo, no sen- tido anti-horário, a ordenada de P varia segundo a tabela: decresce decrosco cresce Fazendo um diagrama com x em abscissas e sen x em ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, denominado senóíde, que nos indica como varia a função fix) = sen x. Observamos que. como o dominio da função seno e' IR, a senóide continua para a direita de 21r e para a esquerda de D. No retângulo em destaque esta' representado apenas um periodo da função. Notemos ainda que as dimensões desse retângulo são 211 X 2, isto e', aproximadamente 6,28 X 2. EXERCÍCIOS Determinar o periodo e a imagem e fazer o gráfico de um periodo completo das funções dadas do C23 ao C42: C13 (: IR-›)R dada por fix) : -sen x. Solução Vamos construir uma tabela em três etapas: 1*? ) atribuimos valores a x; 2?) associamos a cada x o valor de sen x: 3?) multiplícamos sen x por -1. 19-6
  16. 16. C .24 ZD-C Com este tabela podemos obter 5 pontos do gráfico, que é simátrioo da senóide em relação ao eixo dos x. É imediato que: Irnlf) x 1-1, n] plfl = 21r o / zn x / senóide ! HR-HR dada por Nx) e 2 - senx Snluçia Vamos conltruir uma tabela em três etapas: 1?! atríbuhnos valores a x; 2*? ) associemos a cada x o valor de sen x; 3?) multiplicamos sen x por 2. : .25 .26 27 com esta tabela podemos obter 5 pontos do gráfico, que deve apresentar para cada x uma ordenada y que é o dobro da ordenada correspondente da senóide. E imediato que: lmlrl = [-2, 2] plfl = 21¡ *v Í: IR~>IH dada por Nx) = »2 - sen x. : :n-nn dada por em = Isenxl_ Solução Recordemos inicialmente que para um dedo número real a, temos: a à O : o | a| = e a < o e la¡ -e Aplicando esta delinição, temos: 59H20 É lsenxl = senx (quando sen x > 0, os gráficos y = Ísen xl e y = sen x coincidem) ¡enx <0 : s Ísenxl _- -senx (quando sen x < O, us gráficos y : lsen xl e y r sen x são simétricos em relação ao eixo dos xl. É imediato que: |m(f) -. lo, 1] nlí) = 1r t: lR-›lR dada por Nx) l i3 ~ senxl MFC-VIR dada por (lx) = sen2x Soluáo vemos construir uma tabela em três etapas: 1*? ) atribuímos valores a t = 2x; 2?) associamos a cada 2x o correspondente sen 2x; 3°. ) calculamos x lx : i. L 2 21-C
  17. 17. Corn bass nesta tabela, podemos obter 5 pontos da curva. Notemos que o gráfica dava apresentar para nada x uma ordenada y que é o sano do dobro da x. Notemos amda que para san t completar um período 6 necessário que I : 2x percorra o ¡ntzr- 1 vale [O, 21d, ¡sm 6, x percorre o inter- vnlo [u, 7r]. Assim, o perfudo da f é: pl! ) = 1r - 0 = 7r É imediata qua: lm(f) = l~1, ! l n39 mta-HR dada por Hx) : sen 5. Soluçio 22-C E imediato que: |m(f) x [-1, 1] pÍÍ) : 41! Y a_ o -1 27V 31r 41r C30 MR -HR dada por Nx) = sen 3x Snluçlo E imediato que: lmlf) = [-1,1] 21! pH) = T (2.31 RIR-HR dado por Hx) -san-u 6.32 f: |R-›R dada por Nx) 3 › sen 4x. 23-0
  18. 18. (2.33 ! HR-HR dada nor Hx) = 1 + sen x. Soluçin Nntamos nua o gráfico deve apresentar para cada x urna ordenada y que é igual ao sono da x mais uma unidade. Sa nada seno sofra um Icróscimo da 1, então a senóidn safra uma translaçãa da uma unidade "para cima". É imediato qua: 1mm : [o, 21 ou) = 21¡ C34 f: IR-›R dada por Nx) = -2 + sen x› c. ; f; IR-›R dada por Hx) - 1 + 2 - san x. 6.36 í: R-›F| dada por Nx) z 2 - san x. C37 nua-HR dada por Hx) = -1 + sen 2x. cas nun-nn um por flx)=1+ 3 - sen 24-0 cm : :n-m dada por rm = san lx - ; L Snluçlo Notnmos que o gráiico dave aurawntar para (zda x uma ordenada y que é o seno de n x - í. Notnmos qua para san t mmplamr um período 6 nacassário qua t - x - â percorre a ¡nmvalo [O, 211]. isto t, x plrcorra o intnrvala [â, 97H Assim, o cortado do i ú: p(f)= -%1-r-14'-=21r É imediato qua: Imm = [-1, 1]. *v 6.40 : :n-na um por m¡ . mu + g). 0.41 f: R-›R dada por Nx) e sanüx - g). C41 f: R-›R duda por f(x)=1+ 2 - seMâ - g). 25-0
  19. 19. 0.43 Sendo a, b, c, d números reais e positivos, determinar imagem e período da função kia-HR dade por f(x) = a + o › sen (cx + di. Solução Façamos cx + d = t. Quando x percorre IR, t percorre IFI ! nois e funçla afim r = ax + b é sobrejetora) e, em conseqüência, sont percorre o intervalo [-1, 1], h - sent percorre o intervalo Í-b, b] e y = a + b - sent percorre o interveio [a - b, a + el, que é e imagem dei. Para que f complete um periodo é neceuàrio que t varie de 0 a 21r, então: ¡: o : ›cx+a= o s= =›, .--S_ t=27r = cx+d=2n : x=2T”-§ portanto: d p= Ax= ¡H_? )_(-E¡, H. 6.44 Construir o gráfico de um periodo da função RIR-HR tal que lix)=1- 2 - seni2x - gi. 0.45 Para que valores de m existe x tal que sen x = 2m - 57 Solução Para que exista x satisiazendo e igualdade acima devemos ter: -1<2m-5<1e= › 4<2m<s c: : 2$m<3. 0.46 Em cada caso abaixo, para que valores da m existe x satisfazendo e igualdade? m-1 a) senx=2-5m; hlsenx= írz IV. FUNÇÃO COSSENO 21. Definição Dado um número real x, seja P sua imagem no ciclo. Denominamos cos- seno de x (e indicamos cos x) a abscis- sa ÕÊ do ponto P em relação ao sistema u0v. Denominamos função cosseno a função f: lR -› lR que associa a cada real x o real O-P¡ : cos x, isto é fix) = cos x. 26-0 22. Propriedades 4*? ) A imagem da função cosseno é o intervalo [-1, 1], ¡sm é_ -1 < cosx < 1 para todo x real. 25) Se x é do primeiro ou quarto quadrante, então oosx é positivo. 3?) Se x é do segundo ou terceiro quadrante, então cosx é negativo. 43:) Se x percorre o terceiro ou o quarto quadrante, então oosx é crescente. 5?) Se x percorre o primeiro ou o segundo quadrante, então cosx é decrescente. 6*? ) A função cosseno é periódica e seu periodo é 21v. 23. Gráfico Façamos x percorrer o intervalo [O, Zrr] e vejamos o que acontece com cos x. Se a imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo, no senti- do anti-horário, a abscissa de P veria segundo a tabela: CFESCE Fazendo um diagrama com x em abscissas e cos x em ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, denominado cassenáide, que nos indica como varia a função fix) = cos x *r Observamos que, como o domínio da função cosseno é IR, a oossenóide continua para a direita de 21r e para a esquerda de O. No retângulo em destaque esta' representado apenas um período da função. Notemos ainda que as dimensões desse retângulo são 27r X 2, isto é, aproximadamente 6,28 X 2. 27-6
  20. 20. EXERCÍClOS Determinar o periodo e a imagem a fazer o gráfico drum periodo completo das funções dadas do (3.47 ao (3.56: c.47 r: IFi a IFl dada por f(x) -cos x. CAS l: iR -› IR dada por fix) = 2 - cos x. (1.49 i: R -› Fl dada por fix) = -3 ' cos x. cao f: a -› lR dada por rm icosx). (2.51 f; R -› IR dada por fix) cos 2x, 6.52 r: IR -› na dada por fix) e cos n C53 f: R -r IR dada por fix) 1 + oos x. 0.54 f: R -› IFi dada por fix) 1 + 2 -cos 3x, 0.55 f: H -r IR dada por fix) coslx - %). cas r: a -› iR dada por fix) = 2 - cotix - g). C57 Determinar imagem a periodo da função f: IR -› | R dada por fix) = -1+ 2 c oolillx - ; L (+27 0.58 Para que valores da t exista x satisfazendo a igualdade cosx - 2t-1 C.5! Determinar o sinal da expressão y - sen107° + aos 107a. Solução Examlnando o ciclo, notamos qua: isen 1:i5°I = |cos1a5°| e 90° < x < l35° = isen xi > icos x). (3.60 0.61 (2.52 C53 Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões? y, = son 45° + oos45° y, = sen z25° + cos 225° y3=sen L4". + cos E y. , = sen aoo° + cos 30o”. Esboçar a gráfico da função f: Fl -> Fl tal que fix) = sen x t co¡ x. So intão Notemos que para cada x esta função associa um y que é a soma do seno com o cossenc de x. Vamos, então, colocar num diagrama a senóide I a oosxenóida e, para cada x, somemos as ordenadas dos pontos encontrados em cada cur- va. Veremos mais adiante qua: lmll) _ [- x/ íx/ Éi PU) ' 21!. Esboçar o gráfico de um periodo da função f: R* IR dada por fix) = cos x »sen x. Provar qua se 0 < x < g então senx + cos x > 1. Sugestão: ciclo trigonométrico. V. FUNÇÃO TANGENTE 24. Definição Dado um número real x, x# +k1r, I 2 28-C Como sen 1o7° > o, cos107° < C) ten107° + ooi1o7° > o. a Isen 107°i > icosl07°), decorra: seja P sua imagem no ciclo. Conside- remos a reta OP e seia T sua inter- secção com o eixo das tangentes. De nominamos tangente de x [e indicamos tg x) a medida aigébrica do segmento Ã? , 29-6
  21. 21. Denominamos função tangente a função f: D -› R que associa a cada real x, x at? + kn, o real É = tg x, isto é, f(x) = tgx. NOÍEMUS que. Para X = É + kn, P está em B ou B' e, então, a <-› reta 0P fica paralela ao eixo das tangentes. Como neste caso não existe o ponto T, a tgx não é definida. 25. Propriedades 1?) 0 dominio da função tangente é D = (x E IR I x # g + kn). 2?) A imagem da função tangente é FI, isto é, para todo y real existe um x real tal que tgx v. De fato, dado y E lR, Consideremos sobre o eixo das tangentes o ponto _ «-› T tal que AT : y. Construindo a reta OT, observamos que ela intercepta o ciclo em dois pontos P e P', imagens dos reais x cuja tangente é y. 3?) Se x é do primeiro ou terceiro quadrante, então tg x é positiva. De fato, neste caso o ponto T está acima de A e ÃT é positiva. 4'? ) Se x é do segundo ou quarto quadrante, então tgx é negativa. De fato, neste caso o ponto T está abaixo de A e A-T é negativa. 5'? ) Se x percorre qualquer um dos quatro quadrantes, então tgx é crescente. , Provemos, por exemplo, quando x percorre o 19 quadrante. Dados x, e x3, com x¡ <x¡, temos a¡<a¡ e, por propriedade de Geometria Piana, vem fr¡ < H2, isto é: tg x¡ <tg x2. S? ) A função tangente é periódica e seu periodo é 1r. De fato, se tgx = É e k EZ, então tg(x + kn) = A-T pois x e x + k1r têm imagens P e P' coincidentes ou diametralmente opostas no ciclo «-› <_› e, assim, (0.5 = OP', portanto, 0P ñ c = OP' ñ c. Temos, então, para todo x real e x #É 321 + kn: tgx = tgix + kn) e a função tangente é periodica. Seu período é o menor valor positivo de kn, isto é, n. 30-C 26. Gráfico Façamos x percorrer o intervalo [O, 21!] e vejamos o que acontece corn tg x. Se a imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo no sentido anti-horário, a medida algébrica ÃT varia segundo a tabela: CFÉSCE Fazendo um diagrama com x em abscíssas e tg x em ordenadas, podemos construir o gráfico seguinte, denominado tangenrá/ de, que nos indica a variação da função f(x) = tg x. 1K¡ x 31-0
  22. 22. EXERCÍCIOS 0.64 Qual é o dominio da função real f tal que f(x) = tg 2x7 Solução Façamos 2x - t. (k G z), então. Sabemos que exista tgt se, e somente se, t ; É g- + K1! w2xaég+ knzx#%+kglkãz) e oui= íxeialxse§+ k uez). 6.65 Qual é o dominio das seguintes funções reais? a) f(x) = tg 3x a) glx) = tgi2x - g). (3.66 Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões? y¡ = tg269°+sen178° V2=tl1 É' -isen 51 +cos É). 7 11 12 0.37 Para que valores do i1 exista x tal que tgx = V E - 50: + 47 0.68 Esboçar o gráfico, dar o dominio e o periodo da função real f(x) = tg (x e -z-L Solução: 1l Façamosx-: :L Temos: 3tgt= t$§+k7r= x-%$ +kn 1 2 então ou) _lxelnlxae ã +kn, kezl. Para tg t descrever um período completo devemos ter: . l<¡<. "_<= ›.l x_Ã<le= .l<x<§-7Í 2 2 2 4 2 4 4 então pill = Como a função associa a cada x a tg lx - %), teremos (por analogia com as funções na vistas) um gráfico n¡ -% que é a tangentóide deslocada de ã- para a direita. 6.69 Esboçar o gráfico, dar o dominio e o período da função real fix) = tg 12x + %). 32-C Vl. FUNÇÃO COTANGENTE 27. Definição Dado um número real x, x ; É kn, seja P sua ima em no ciclo. Considere- mos a reta P e seja D sua in- tersecção com o eixo das cotangentes. Denominamos cotangente de x (e indi- camos cot x) a medida algébrica do segmento B . Denominamos função co- tangente a função f: D -› IR que associa a cada real x, x ; é kn, o real Ê = = cotg x, isto é, f(x) = cotg x. Notemos que, para x = kn, Fi: está em A ou A' e, então, a reta OP fica paralela ao eixo das cotangentes. Corno neste caso não existe o ponto D, a cotgx não édefinida. 2B. Propriedades i? ) O domínio da função cotangente é D = [x E IR lx ai: kn]. 2a. ) A imagem da função ootangente é IR, isto é, para todo y real existe um x real tal que cotg x = y. 3?) Se x é do primeiro ou terceiro quadrante, então cotg x é positiva. 4?) Se x é do segundo ou quarto quadrante, então cotgx é negativa. 5a. ) Se x percorre qualquer um dos quatro quadrantes, então cotgx é decrescente. 6?) A função cotangente é periódica e seu periodo é n. As demonstrações dessas propriedades ficam como exercicio para o leitor. 33-0
  23. 23. 29. Gráfico cotg D n¡ § 21r x '. i VII. FUNÇÃO SECANTE 30x Deriniçso Dado um número real x, ;e I x 2 + kn, seja P sua imagem no ciclo. Considere- mos a reta s tangente ao ciclo em P e seja S sua intersecção com o eixo dos cossenos. Denominamos secante de A' x (e indicamos secx) a abscissa US do ponto S. Denominamos função m- cante a função i: D -› R que associa a cada real x, x a* g + k1r, o real ÕÊ = secx, isto é, fix) = senx. B' Notemos que, para x = + kn, P está em B ou B' e, então, a reta NI: s fica paralela ao eixo dos oossenos. Como neste caso não existe o ponto S, a secx não é definida. 34-C 31. Propriedades 1?) o dominio da função secante é D = (x E 'H i x a* â + kvri. 2?) A imagem da função secante é IR - ]-1, 1[, isto é, para todo real y, com y < -1 ou v > 1. existe um x real tal que secx = y. 3?) Se x é do primeiro ou quarto quadrante, então secx é positiva. 4?) Se x é do segundo ou terceiro quadrante, então secx é negativa. 5?) Se x percorre o primeiro ou o segundo quadrante, então secx é crescente. 6a. ) Se x percorre o terceiro ou o quarto quadrante, então secx é decrescente. 7?) A função secante é periódica e seu periodo é 21r. As demonstrações dessas propriedades ficam como exercicio para o leitor. 32. Gráfico hecx 1 . a 31v . l o l'. n_ i a x 2 2 2 2 .14 35-C
  24. 24. VIII. FUNÇÃO COSSECANTE 33. Definição Dado um número real x, x aê kn, seia P sua imagem no ciclo. Conside- remos a reta s tangente ao ciclo em P e seja C sua intersecção com o eixo dos senos. Denominamos cossecante de x (e indicamos por cossec x) a ordenada CY) do ponto C. Denominamos função cossecanre a função f: D -› IR que associa a cada real x, x # kn, o real ÕC = cossec x, isto “é, f(x) = = cossec x. Notemos que, para x = kn, P está em A ou A' e, então, a reta s fica paralela ao eixo dos senos. Como neste caso não existe o ponto C, a cossec x não é definida. 34. Propriedades l? ) O dominio da função cossecante é D = (x E IR | x ae kn). 2?) A imagem da função cossecante é IR - ]-1, 1[, isto é, para todo real y, com y < -1 ou y à 1, existe um x real tal que cossecx = y. 3?) Se x é do primeiro ou segundo quadrante, então oossec X é positiva. 49) Se x é do terceiro ou quarto quadrante, então cossecx é negativa. 5a. ) Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então cossecx é crescente. S? ) Se x percorre o primeiro ou o quarto quadrante, então cossec x é decrescente. 7?) A função cossecante é periódica e seu periodo é 21r. As demonstrações dessas propriedades ficam como exercicio para o leitor. 36-C 35. Gráfico tcossec x ' i ' ' *r i › *W _l O _n_ n _a 2n x 7 2 2 _1 _ i i periodo completo da função cossecante exenciclos 0.70 Determinar dominio e periodo das seguintes funções reais; f(x) = cotg (x - g), elx) z sec 2x, hix) = :: ossec ix +§L 0.71 Em cada caso determinar o conjunto ao qual m deve pertencer de modo que existe x satisfazendo e igualdade: a) cotgx = V2 -rn b) sec x : 3m - 2 2m - 1 ) a c cossec x 1 _ 3m C.72 Determinar o sinal das seguintes expressões: y¡ = cos 91° + cossec91° sen 1D7° + sec 107° 9n 7n n - ° i - + 7 ). SEC B ÍQ 6 COÍB 7 V1 Y] 37-C
  25. 25. CONDUÇÃO DO CALOR : NOVA TEORIA Jean Baptista Joseph Fourier nasceu em Auxerre, em 1758. Órfão aos 8 anos, Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigido pelos beneditinos. Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento, redigindo ser- mões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos de Matemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convi- dado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revo- Iucão de 1789. Fourier que sempre desejara ser militar, ,aderiu com entusiasmo à causa da Revolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foi conferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram co- mo matemático. Data dessa época sua teoria para calcular raizes irracionais das equações algébricas, cuio estudo Newton iniciara. : Ô ? a Jean B. J. Fourier (1768 - 1830) Tendo acompanhado Napoleão no Egi- to, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueo- logia, tornando-se especialista em egiptolooia. Fourier trabalhou nessa época como enge- nheiro, dirigindo uma fábrica de armamen- tos do exército francês no Egito. Voltando à França em 1812, Fourier desenvolveu, na sua obra "Memorial", uma teoria sobre a condução do calor, tornando- -se precursor da Fisica-Matemática. Neste úiti- mo estudo, o matemático francês foi levado a criar um novo tipo de desenvolvimento em sé- rie, diferente do método de Taylor por em- pregar funções periódicas am vez de potên- cias, e que recebeu seu nome. Em 1830. morreu Fourier, vitima de um aneurisma cerebral. CAPÍTULO 11¡ RELAÇÕES FUNDAMENTAIS l. INTRODUÇÃO Para cada x ; E R? " definimos sen x, cos x, tg x, cotg x, sec x e cossec x. Vamos mostrar agora que essas seis números guardam entre si certas relações denominadas relações fundamentais. Mais ainda, mostraremos que a partir de um deles sempre é possivel calcular os outros cinco. Il. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 36. Teorema Para todo x real vale a relação: sen¡ x + coszx Demonstração aiSe x ; t kz-¡haimagem de x é distinta de A, B, A' e B', então existe o triângulo OP¡P retângulo, portanto: IO-Pglz + IÚI¡ = KW” e cosax + sen¡x = I 39-0
  26. 26. b) Se x = 521-' , podemos verificar diretamente a tese: b) se X = kn' temos: sen X CO5 X tgx=0= 3a. Teo roma Para todo x real, x at k1r, vale a relação: 37. Teorema Demonstração Para todo x real, x ; e Í + kn, vale a relação: 1¡ V 2 a) Se x aê E + kn, a imagem E D U de x é distinta de A, B, A' e B', v d então temos: L P D t _ AOBD ~ AOP, P 'A emons rapaz? IED l WTF' u a) Se x e* l<1r, a Imagem da x é ' distinta de A, e, A' e e', então temos: ma¡ i? " AOAT~AOP, P iootgxi - @j IÃTI _ IPÊPI Fi ' IOEI bmx¡ Utilizando o quadro de sinais ao ¡YQ Xi = 'em XI ® lado, observamos que o sinal da cotgx é igual ao sinal do quociente cosx sen x ® De ® e ® decorre a tese. Utilizando o quadro de sinais ao lado, observamos que o sinal da tgx sen x cos x De ® e ® decorre a tese é igual ao do quociente 1305)( bisex ll + kn, temos cotg x = O = NI: sen X 40-3 41-c
  27. 27. 39. Teorema 40. Teorema para mdc x rm' x ; É ã , kn' me a rehçio Para todo x real, x $ kn, vale a relação: Demonstração alSe x# . g +kn, aimagem Demonstraçía de x é distinta de A, B, A' e B', ) se à k _ d então temos: a x n. a imagem e x e distinta de A, e, A' e e', então ^°P° * MI! ” temos: lÕTI| _ IOPI AOPS ~ AOP¡P IÕFl l6l5,| Lis' = LT' icossecxl = 1 ® lOP| |OP¡l 'mui land: icosxi ® Utilizando o quadro de sinais ao lado, observamos que o sinal de cossec x é igual ao sinal de sen x De G) e ® decorre a tese. Utilizando o quadro de sinais ao lado, observamos que o sinal de secx e' igual ao sinal de cos x De (D e C1D decorre a tese. n sinal de sec x sinal de cos x b) Se x = g + kn, temos: oossecx = 1 = -L (k par) sen x ou b) Se x= kn, temos secx=1=oosx (k par) ou secx= -1=cosx 1 (k rmpar). cossecx = -1 = sen x (k ímpar) 42-6
  28. 28. 41. corolário Par¡ 10d! ? X Tea'. X $ k-n , valem as relações: i 2 t x à_ sen x _ i 7 _ í g cos x _ í 3 _ 5 cotgx: -3 : :os x 5 3 cotgx_ senx 4 - . í tg“x + 1 : mean '5- li-ootfx-cosseêx mx: l = _'___= _ã cos x _ í 3 oosix = 1 5 CDSSCCX = 1 = -1- = ã sen x í 4 5 CJ4/Sabendo que oossecx = ~ ã e 11 < x < É , izlcular as demais funções circu- Demonstraçaa mas de x_ cos x 1 1 cole x = sen x = É = m7 ? Sabendo que tgx = É e n < x < 221' , calcular as demais funçõescirculares ele cos x k 2 1 2 . tggx + 1 = senjx + 1 z sen x +1 cos x É 1¡ = secgx soluçao cos x oos x cos x cmgx _ i _ 1 _ 5 z 3 z ' tgx ' 2 _ 12 1+ cotgzx =1+ °°5 >< = m = i = Cosmzx g sen¡x sen¡x senzx a” Notando que 1! < x < í à rec x < 0, temos: (max = 1' = $ r-*r 14 Fãs' i3 secx 'gx socx= -1+tgx= - 1+í= - %: -í s 2 sen¡x= cos7x- senx( : coszx-tgzx = $1- -t7x= _Ig-x_ 1 ¡ 5 cosx 1+tg¡x l+tgzx oosx= - = - 7 secx n 13 senx= tgx'cosx= i1-2-) (-%l= - 4% EXERCICNJS mise” : 1 = 1 = 7 É i 4 n_ sen x » 1g 12 3 Sabendo ue senx = - e - < x <1r, calcular as demais funções circulares de 13 q 5 2 x. _, ,- sul _ 76 Calcular cosx sabendo que cotg x = í T com m > 1. uçao ' n _- <O : N°mm° u” 2 < x < n = m x ' m"" C17 Calcular secx sabendo que sen x : fibra¡ com a > a >o. /f 44-C 46-0
  29. 29. ' Sabendo que secx = 3, calcular o valor da expressão y = san2x+2 r tgzx. Solução 1 1 cosx= í = - secx 3 senzx :1-cos2x=1- . i. 9 2 tg2x: sacx-1:9-1=8 , E '9 então y: sen2x+2'fg2x= É +18: %.9/Sendo senx = l 3 1 1 y _- a o -a _ COSSBC X *it CDÍQ X COSSBC X - COIQ X É e 0 < x < g , calcular o valor da calcular o valor da expressão C/ BÚ/ Sabendoqua cotgx: 274 e 1l<x< tgx - cosx V = ll +cosxll1 -cosxl Solução 1 Calculamos tg x, oosx e finalmente v: _ i = l m x _ corg x 24 coszx: à - : É = É: : cosx= - â 575 l l ii- 3 ) - l y: tgx-cosx 24 25 a 25 = _ 25 (1+cosx)l1 »cosxl (1 _ Em + E¡ É 7 25 25 G25 Soluçío 2 Simplilicamos v e depois calculamos o que for necessário: 5°" x - cos x 1 : 59"* = 1 : cosseç)(= 1 - cos¡x sen7x sen x = -V1+cotg: x=-/1+E = _§ 49 7 w' Dado que cosx= Ê- e a? ” <x<21l, obterovelor de V = ii + rghi' + i1 - 297m2. 46-C &Calcular senx e oos. x sabendo que 3 ' : :os x + sen x a -1. Solução Vamos resolver o sistema: lã 3'cosx+sonx= -1 Z oosgx +sen x=1 DeG) vem: senx= -1 -S-cosx (D Substituindo ® Dos Z isto é cos1x+l +6-cosx+9-cos ou ainda 1 x+l-1-3°cosx)1=1 l em ® resulta: x=1 l0-cosx+6-cosx=0 então cosx=0 ou cosx-- Substituindo cada uma dessas alternativas em (D , anoontramol: senx--l-Cl-O--l ou sanxx-l-Qi-âi- - Assim, tamos duas soluções: 1*? ) ou 2'. ) oosx=0 o senxa-l oosx-- É e senx= 5 4 5 . jâ/ Calcular senx e cosx sabendo que 5 - : ac x - 3 - tqzx - 1. 6.84 Obter tgx CBE Calcular m da modo qua se tenha san x - 2m + 1 So luçío sabendo que sanQx - 5 ~ san x - oos x + cosax - 3. Corno san¡x + coszx - l, resulta: iamnihiamnf-i _. .<4m*+4m+1›+rism°+am+n.1 e oosx-4m+1. : zomzsqznuisogmsíí W. -12 t B 4D : mpg ou m: - l 1o' 47-C
  30. 30. 0.85 C.87 C. B8 0.89 6.90 C31 C32 48-0 Calcular m de modo que se tenha tg x = m › 2 e cotg x = a + 'I e cossecx r 1 ati . /'_¡+2' Determinar a de moda que se tenha : os x = Determinar uma relação entre x e v, independente de t, sabendo que x =3›sent e y : xt-cost. Solução z 2 como sen t + cos t = l, resulta: + rom; 2 : V8 =1=›16x7+9y“=144 Determinar uma relação entre x e y, independente de t, sabendo que x=5-lgt e v=3-cosseci. Solução Como cossecit = cotgzt + 1 e cotgt = à , resulte: 2 (lüuíñm: Y_ = L5 +1=› x¡y“=225+gx1 : a 3 x 9 x2 = JV¡ - 9x¡ = 225. Se senx + cos x = a e sen x - cos x = b, obter uma relação entre a e b. inda~ pendente de x. 4 4 Dadoóque senx- cosx = rn, calcular o valor de y : sen x + cos x e 1 -_ '-' sen X + COSÕX. So luçío como a¡ + n37 E [a + biz - 25h, temos: Y : lsenzx): + lcosnxi¡ z lsenqx + cosixi¡ ~ 2 ~ sen2x - cos2x = -.1° -zv-lsenx-cosxf =1-2m°. Como a: + ba 7 (a + bila¡ › ab + bz), lemos: 2 z = (senzx): + (coszxia = (senzx + coszxHsenqx - senzx - cas x + nos°xi = = sen4x + coslx - sen2 x'cos2xxy-issnx'oosxiz= =1-2m“-m°=1-3m', Sabendo que senx + cos x = a la dado), calcular y : senax + cosax. III. IDENTIDADES 42. Definição Sejam f e g duas funções de domínios D¡ e D¡, respectivamente. Dizemos que Í é idêntica a g, e indicamos fE g, se, e somente se, f(x) . = glx) para todo x em que ambas as funções estão definidas. Colocando em simbolos: se. . u fix) - . m. v x stamp, ^' 43. Exemplos 1?) f: lR _› IR tal que f(x) = (x +1›* - (x -1)¡ e g: iR -› IR tal que g(x) = 4x sic idênticas pois: _§(x)= x7+2x+l-x7+2x-1=4x= g(xi. VxE IR. 29) f; |R-›| Fl tal que Nxl= x+1 e x2-1 g: IR - [l]-› IR tal que glx) = são idênticas pois: g(x)= W = x+1=f(xi, VxE| R-[l] 39) Í: lR -› IR tal que f(x) = sen°x a g: IR -› IR tai que gÍx) = 1 - cosa¡ são idênticas pois: f(x) = sen7x =1- cos'x = gba), V x E R. 4'? ) f: [x E lFllx #É g- + kr! ) -› | R tal que f(x) = secix - tg¡x e g: IR -› iR tal que g(x) = 1 são idênticas pois: f(x) = sec7x - tg¡x = (1 + tgzx) - tg¡x =1-g(x) para todo xãig+k7h 49-0
  31. 31. lV. DEMONSTRAÇÃO DE IDENTIDADE 44. Para demonstrarmos uma identidade trígonométrica podemos aplicar qual- quer uma das fórmulas (que são também identidades] estabelecidas na teoria, a saber: as relações fundamentais, as fórmulas de redução, as de adição, as de multiplicação, as de divisão e as de transformação em produto. É evidente que na série de exercicios seguinte só podemos usar as relawes fundamentais. 45. Existem basicamente três processos para provar uma identidade. Conforme a dificuldade da demonstração escolhemos o método mais adequado entre os seguintes: i9) partimos de um dos membros (geralmente o mais complicadoi da identidade e o transformamos no outro. 29) transformamos o 19 membro (f) e, separadamente, o 29 membro ig), chegando com ambos na mesma expressão (h). A validade deste método é justificada pela propriedade: fzh nani : fig 3'? ) construímos a função h = f - g e provamos que h E 0. A validade deste método é justificada pela propriedade: f-g§0 É f. =.g EXERCÍCIOS C33 Provar que li + cotgjxiii - coszx) : 'l para todo x rml, x ; É krr. Soluçío 2 flxi - (1 4 cotgzxili - coszxi = (1 + m; x i - senzx : senlx @fi . ma, = 1 g , m seníx ' c. s4 Provar que 2 - sec x - tg x = __'__ + De para todo x real cossecx - 1 cossecx + l x 2 ; é l + kn. 0.96 C36 0.97 0.98 Solução gix) = i + I z icossec x + 'li + icossec x - 1i = cossec x : :ossec x + 1 (cossac x - 1) lcossec x + 'li = 2 - cossec x = 2 - coasec x _ 2 _ senix _ oossecÍx ~ l cotq¡x sen x cos¡x ; zh 1 _senx CDSX CUSX =2°secx-tgx=1(xi. Prever que i1 - tg xi¡ + ll - cota xi¡ = (se: x - : ossec xii. para tado x real, K1! x # 2 . Solução flxi = u _mf +11- cotgx): =(1- 5°” ›° + u - m” P = :os x sen x = (cotx-: enx¡2+¡senx-cosxp_1-2-senx-: osx + oosx sen x oos7x v, = i1_zesgnxecosx›( 1¡ . 11;: SEH X CUS X sen X = |-2-senx'cosx = Mx) cosix ~ sen x ' gixi - (secx - cossec xi¡ = i 1 - 1 i2 = C052( 59h¡ = 1-2~senx-cosx _hm oos¡x-sen7x (senx -cosx)i cosx -senx 1- 1- Prover que ; NL #senx = í +tgx pera todox real, x$g . senx-cosx tgx 2 Soloçio i(x¡. g(x)= DSL +senx- 'í . ¡¡x= senx-cosx tgx . +sEnx~ . senx = SÉHX'CDÍX SEHX COSX 1- cosx + senix - cosx - oosix t (1 - : os xi - senzx 5Bl'| X'COSX l - cotx + (1 - coszxi . oosx › coszx (1 - cos x) - i1 - coszxi sen x n C05 X _ 1 -cosx +cosx-cos3x-cos3x+cos3x-1+cot7x _o senX-CÕSX Demonstrar as identidades seguintes: cosdx + sen4x + 2 - (sen x - cos xi¡ =1 senx +cosx=1 : :ossec x sec x 51 -C
  32. 32. C39 tg x + cotg x = sec x ' : Q8590 1 6.100 (tg x + ootg xl (sec x - : :os xl (cossec x - sen xl = l 0.101 seczx + cosseczx = seczx - cosseczx 2 CAO! :: ã-mw X = coszx 1 + cotg x : l 3 em: sen x - cos x senx -cosx e l -rsenx-cosx 2 0.104 cossecix + tgzx = 5962* l' C919 >* 3,105 21m¡ x + tg xlioos x + cotg x) = (1 + sen x + co¡ xl¡ 6.106 (1 + cotgx) + (1 - com *i1 = 2 ' °°55°°2*' ¡ 4 c.1o71_2-cosx+cosx : me X 1 - 2 - seníx + senzx 1 C305 (com x - ea; n¡ + (1 ~ sen xl¡ = i1 - conec x) cmncotx +cosy _ senx +seny ' senx - senV CNY - 005* Quo : :ou + cota x _ cos X _ mu¡ X tgx + secx 1 2 CJ" sen x - cos v +1 = (921 492V oosãx - cosiv qu: 'í - icossec x - cotg xl¡ 1 + oos x cñ11a C019 X + COIB Y . cotgx-cotgx( IBK+ÍSY 2 _ . 7 c.114isecx-secv+| n›<'9Yl -1+(tecx tqv+ncv till 1 (2.115 secx - tax = É (2.116 cosxecúx - cotqóx u l + 3-- 00192* ' 9039992 'l' 52-0 CAPÍTULO IV REDUÇÃO AO 1.” QUADRANTE Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de x, com x não pertencente ao 19 quadrante, relacionando x com algum elemento do 19 quadrante. A meta é ficar conhecendo sen x, cos x e tg x a partir de uma tabela que dê as funções circulares dos reais entre 0 e l. REDUÇÃO DO 29 AO 19 QUADRANTE 46. Dedo o número real x tal que g< x < 1r, seja P a imagem de x no ciclo. Seja P' o ponto do ciclo, simetri- oo da P em relação ao eixo dos senos. Temos: F PN e, como AP' = PA', vem A rs AP + AP' - fl / portanto AP' = 1r - x. É imediato que: senx = sen (1r - x) cosx = -cos (n - x) A;
  33. 33. 47. 4B. 49. 71 < no ciclo. Seia P' o ponto do ciclo, si- métrico de P em relação ao centro. Te- mos: f AP - / portanto AP' = x - 1r. Levando em conta as relações fundamentais, decorre: 59'** : sen (Ir - x) cos x -cos (1r - xl t9><= =-tg(1r-xl cotgx = -cotg (1r - xl sec x = -sec (Il - x) cossec x z cossec (17 - x) Assim, por exemplo, temos: sen 115° = sen (180° -115°› = sen 55° cos 13o” = -cos(lB0° - 13o°› = -cos 50° Zn 2 tg? " = -tgln- í)= -t9§ 41r 41r 7r cotg -5- = -cotg (1r - í) = -cotg E REDUÇÃO DO 39 A0 19 QUADRANTE Dado o número real x tal que x < 3-2”, seja P a imagem de x / . . AP' = 1r (no sentido anti-horário) É imediato que: sen x = -sen (x - nl cos x z -cos (x - rrl 50. Em conseqüência temos: - - l cotg x = cotg (x - n) sec x = -sec(x - rr) cossec x = -cossec (x - n) 54-C 51. Assim, por exempIo, _-temos: sen 21o” = -sen mu** - 1eo°) = -m. 30° cos 225" = -cos (2Z5° 1804,) = -cas 45° 4 4 tg 3" Hal; -rrl : zgg ser: E = -sec(7l -nl = _sec 1 6 6 6 lll. REDUÇÃO DO 49 A0 19 OUADRANTE 52. Dado o número real x tal que ? < X < 27'. seja P a imagem de x no ciclo. Seja P' o ponto do ciclo, sima'. trico de P em relação ao eixo dos oos- senos. Temos: / / N AP + PA = Zn (no sentido anti-horário) ! à / Â e, como AP' = PA, em: A rx AP+AP'=21r / portanto AP' = 21r - x. É imediato que: sen x -sen (21r - x) oosx= oos(21r - x) 53. Em conseqüência temos: sen x _ -sen (21r - x) t = _ m. 9x oosx oos(21r-xl = -tg (Zn - xl ootg x = -cotg (21r - x) secx = sec (21r - x) cossecx = -cossec (21r - x) 55-0
  34. 34. 54. Assim, por exemplo, temos: sen 2ao° = -sen isso” - 2so°› = -sen 90° cos 34o° : cos l360° - 340W = cos 20° 117: 111v n tg-e-é-tgi27r- el--tgs cossec sí" = -cossec(21r - ãaí) = -cossec g EXERCUÍIIOS 0.117 Reduzir aa 19 quadrante: a) oos17B° b) sen 251” c) tg 29o° d) cotg % e) sec1924° f) eosec 'LÊ-l 7 5 . 3 g) uni-í") buen-í") . im-fi . 21 31 111! 1) sen % k) cos -ín I) Ig -3- IV. REDUÇÃO DE [g g1 A [o, g1 55. Dado o número real x tal que % <x< seiaPaimagemdexno ciclo. Seja P' o ponto do ciclo simétvico de P em relação à bissetriz do 1'? qua- drante. Temos: m rx 1¡ AP + PB = í (no sentido anti-horário) f* KN e, como FB = 'AP', vem: m / N , r A n ÂP+AP'Z É, então AP'= É -x. Considerando a congruéncia dos triângulos DPP¡ e OP'P'¡, temos: 56-0 ÕP¡= ÕP'; É senx= ccsil . xi 2 PÍF= FÍP7 É oosx: seMg -x) 56. Em conseqüência, temos: sen X cos _ x) 7( l '9*= É = í,, - = °°(9Íí-x) sen (í - x) cotgx = m; - x) n sec x = cossec (í - x) t 7! cossecx = seclí - x) 57. Assim, po( exemplo, tamos: sen 71° = cos l90° - 71°) = W519” nos 60° = sen (90° - 50°) = ;en 30° tu 50° = cmg (90° - 50°) = cotg 40° SEng= D0¡Í%-§)= oo¡1sr. Em _ 1r 51: n W512 -50015 - ñ) = sen 1-2 E _ Yi' 31|' n t9 a _cotglí - É = çoggí EXERCÍCIO 0.11¡ Roduzir no inurvnlo [O, . El W' 2:1” , bl 0012881” c) tg511° ' _E 2 'x41 snn 3 c) co¡ í" _H t¡ É H 7 9) "“ 5 hi co¡ ? n ¡) q¡ lg il nnl-g) k) 0031-? ) i) mp? ) 57-6
  35. 35. V. IDENTIDADES Ao procurar resolver problemas de redução ao 1? quadrante estabelecemos igualdades notáveis. Por exemplo, mostramos que se 73'- < x < 1¡ então sen x = = sen (11 - x) e oosx = -cos (1r - x). Vamos agora estender essas igualdades para todo x real. 58. Teorema 58-0 Para todo' x real valem as seguintes igualdades: -xo 1) senx = senhr - x) e cosx = -ooslrr - x) 2) senx = -san(x-1r) e cosx : fcosix -1r) 3) senx = -sen l21r-x) e cosx = cosi2rr - x) 4) senx = oos(1 -x) e oosx = sen(í -x) 2 2 V V 'l-Xo Ko : É U *o Demonstração 1) Para todo x 6 IR temos x = xo + 2k1r onde O < x. , < 21v e kE 2. Asgm_ n - x . -. (1: - xo) - Zkn o que mostra que no ciclo simétricas em relaâo ao eixo dos senos. Em conseqüência temos: sen(1r-x): senx, VxE ÍR, cosilr-x) = -cosx, VxG lR 2), 3) e 4) provam-se analogamente. x e 1! - x têm imagens EXERCÍCIOS 0.118 simplificar e¡ seguintes expressões: a) uniâ + x) c) uni? e) sul? soluçlo e) senil + x) 2 7) b) cosi-irx) 2 c) mui? d) 003132-7' 31( e) sent? f) nos! ? 0.120 Simplificar Soluçln _ l-sen x) i-cos x) ' l-ootg x) (tg x) b) mmHg-i' x) -x) d) coüí-n-x) +1) f) cos(§21+x) sen[1r-(§+x)]= sen(-§ -›() : cosx n -coe[1r-(; +x)]= -coslg-x) = -senx -x) : aenhç -x) -1I']--seni-â'--x) s-COSX -x) z-cosU-az-f-r -x) -1!]--cos(g- -x) = -senx +1) = -sen[21r-(§21 + x)]= -sen(g -x) = -cosx +1) : eospn-(a-Z" +x)]-cos(g -x) : senx v= seniZIr-xPcmUr-x) fg1g+ x) ' comi? " -x) : wenx-cosx 6.121 simplificar as expressões: a) fg (Zn - sen l-x) - co¡ (g + x) x) - cos in - x) b) sen (1ao° - x) - (g (90° + x) › cotg 1270! + x) - 00512705 - x) san: ÍT) - 7! xJ-lgix- ) cossec 191! - x) - cosgi-x) a) senía? " -x)+cosl47r-x)+tg(3í" -x) 0.122 lMAPOFEl-76) simplificar a expressão: 9 sen(-21-l)-cos(x+ É) -sen17rr-xl. 2 58-0
  36. 36. 0.123 lMAPOFEl-74) Simplificar a oxpresllo: 11 7” sen ix +|11r)cotg(x 4' T") *°" í * co¡ 191! - x) 6.124 lMAPOFEI-7A) Simpliiimr a expressão: a7 cos1B0° - (a - M¡ sun 270” + 2 ab nos 0° b¡ sen 90° 0.125 (MAPOFEl-75) Fazcr o gráfico da ! unção y = sen (x › g) i 2. Vl. FUNÇÕES PARES E FUNÇÕES IMPARES 59. Defíniçio Uma função í: A-› B, é denominada função par se, e somente se: f(x) = fi-xl, Vx E A isto é, dando valores simétrioos à variável, obtemos o mesmo valor para a função. Exemplos 1.°) f(x) = lxl éfunçio par pois l-xl = lx), VXE IR 29) f(x) = x' e' função par pois (-x)¡ = x7, Vx E R 1 - . 1 1 39) f(x) = :7 éfunçao par pois Sã; = ; L VxE R' Da definido decorre que o gráfico de uma função par é simétrioo em relação ao eixo y pois: v-lxl 80-6 60. Definição Uma função f: A-›B, é denominada ! unção ímpar se, e somente se: íl-x) = 41x), Vx E A isto é, dando valores simétricos à variável, otnemos valores simétricos para a função. Exemplos 19) f(x) = 2x e' função impar pois 2(-x) = -2x, Vx E IR 29) f(x) = x3 e' função ímpar pois (-x)° = -x3, Vx E IR 39) f(x) = g(- é função impar pois (jm = -à, VX E IR' Da definição decorre que a gráfico de uma função impar é simétrico em ru- lação à origem do sistema cartesiano pois: (x, y) Ef : a l-x, -y)Ef =2 = 3 : L Y ? í V X Y x í) -íi É K x x 61. Os números x e -x têm, no ciclo, imagens simétricas em relação ao eixo dos cossenos. Em conseqüência, temos: san l-x) = -sen x, Vx E | R cos l-x) = cos x, Vx E IR portanto, de acordo com as definições dadas, a função seno 6 função ímpar e a função cossano é função par. 61-6
  37. 37. TÁBUA DE VALORES DASFUNÇÕESTRIGONOMÊTRICAS 0° 0,0000 0,0000 , oooo -1- 0,0175 0,0175 0,0175 0,0349 0,0349 0,0349 3° 0,0524 0,0523 0,0524 19,081 4° 0,0698 0,0698 0,0699 14,301 0,9976 1,5010 86° 5° 0,0873 0,0872 0,0875 11,430 0,9962 1,4835 85° 6° 0,1047 0,1045 0,1051 9,5144 0,9945 1,4661 84° 7° 0,1222 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 1,4486 83° 8° 0,1396 0,1392 0,1405 7,1154 0,9903 1,4312 82° 9° 0,1571 0,1564 0,1584 6,3138 0,9877 1,4137 81° 10° 0,1745 0,1736 0,1763 5,6713 0,9848 1,3963 80° 11° 0,1920 0,1908 0,1944 5,1446 0,9816 1,3788 79° 12° 0,2094 0,2079 0,2126 4,7046 0,9781 1,3614 78° 13° 0,2269 0,2250 0,2309 4.3315 0,9744 1,3439 77° 14° 0,2443 0,2419 0,2493 4,0108 0,9703 1,3265 76° 15° 0,2618 0,2588 0,2679 3,7321 0,9679 1,3090 75° 16° 0,2793 0,2756 0,2887 3,4874 0,9613 1,2915 74° 17° 0,2967 0,2924 0,3057 3,2709 0,9563 1,2741 73° 18° 0,3142 0,3090 0,3299 3,0777 0,9515 1,2566 72° 19° 0,3316 0,3256 0,3443 2,9042 0,9455 1,2392 71° 20° 0,3491 0,3420 0,3640 2,7475 0,9397 1,2217 70° 21° 0,3665 0,3584 0,3839 2,6051 0,9336 1,2043 69° 22° 0,3840 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 1,1868 68° 23° 0,4014 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 1,1694 67° 24° 0,4189 0,4067 0,4452 2,2460 0,9135 1,1519 66° 25° 0,4363 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 1,1345 65° 28° 0,4536 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 1,1170 64° 27° 0,4712 0,4540 0,5095 1,9626 0,8910 1,0996 63° 28° 0,4887 0,4695 0,5317 1,8807 0,8829 1,0821 62° 29° 0,5061 0,4848 0,5543 1,8040 0,8746 1,0647 61° 30° 0,5236 0,5000 0,5774 1,7321 0,8660 1.0472 60° 31° 0,5411 0,5150 0,6009 1,6643 0,8572 1,0297 59° 32° 0,5585 0,5299 0,6249 1,6003 0,8480 1,0123 58° 33° 0,5760 0,5446 0,6494 1,5399 0,8387 0,9948 57° 34° 0,5934 0,5592 0,6745 1,4826 0,8290 0,9774 56° 35° 0,6109 0,5736 0,7002 1,4281 0,8192 0,9599 55° 36° 0,6283 0,5878 0,7265 1,3764 0,8090 0,9425 54° 37° 0,6458 0,6018 0,7536 1,3270 0,7986 0,9250 53° 38° 0,6632 0,6157 0,7813 1,2799 0,7880 0,9076 52° 39° 0,6807 0,6293 0,8098 1,2349 0,7771 0,8901 51° 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 0,8727 50° 0,6561 0,8693 1,1504 0,6691 0.9004 1,1106 0,6820 0,9325 1,0724 0,6947 0,9657 1,0355 1.0000 1,0000 -- Co seno Cotnng. Tangente Sono Radianos m CAPÍTULO V ARCOS NO TÁ VEIS Verificaremos no que segue que as funções circulares dos reais x = , : I: n E N e n > 3, podem ser calculadas a partir de 52,. , lado do polígono regular de n lados inscrito no ciclo. l. TEOREMA Para todo n E N e n > 3, vale a relação En nnn-- Í 2 Demonstração Seja AÕP = AÔP' = Como P'ÔP = â, decorre que P'P = En. No triângulo isósceles P'0P o eixo dos cossenos é bissetriz e também altura e mediana, isto é, P'P J. u e P¡ é pon- to médio de P'P. Então ! Z seng= í=ín 63-0
  38. 38. II. APLÍCAÇÕES Temos, então: 1r 514 R a ñ _- T : S4 93m! ? ma* mmum de aplicação desta teoria são aqueles em que sen í = 2 = 2 n = , e . ll Em conseqüência, vem: 1_ _ 21: , -1_: _'_= :/_° 62. Valores das funções em g ms 4 ' 1 se" 4 2 x77 'Z n V 2 Aplicando o teorema de Pitágoras 1r se" 4 T í 1 ao triângulo assinalado na figura: 'g Í z n = _ 1 2 _ 2 °°s T T t, + 9,. , - (2a) sz; + R7 = 4a¡ 92g = an* 64. Valores das funções em % 'Ã 2;, Sendo P0 = M5 o lado do hexágo- no regular inscrito, o triângulo OPQ é Notando que o raio do ciclo é R = 1, temos: equilátero e, então: 1r §Z3_R/ í V3 Em conseqüência, vem: C05 g. ._. t/1_ sen¡ L : ,/1_ â = à_ Temos, então: 3 1r É R 1 n JÉ sen É = í** = í = í , iumí 2-a um 1/3 g3_ n 1" cos~é=1-sení=1-í= T cos - - 3 2 n 1 - g 1 _a '9 í ' n “ v1 ' x/ “a ' 3 ~ w °°= í ? 53. Valores das funçoes em 7 Aplicando o teorema de Pitágoras y, ao triângulo assinalado na figura: 14 65_ Condumdo' podemos “nunka, es_ ! ZZ + Ei = (ZR): ses resultados na seguintes tabela: 2123 = 4a* É: = ZR¡ oísneno 64-6 . ss-c
  39. 39. EXERCÍCIOS c.12s Calcular sim 15°, cos 15° e (g 15°. Solução sen 15° = sen g = “Tu CAPÍTULO VI Culculemos ! Zn no ! riãngulu POR: ~ m z Em m_ = L; :à TRAN SF ORMA ÇOES RP=0P-0Fl=1-/ Tí anula 123;¡ = l-â-l¡ + (1 - g ser¡ á _ . E22 = z; 3 co¡ 11'¡ : J -mz 112 = 1- 23V¡ = 4;. ; I. FORMULAS DE ADIÇÁO tg 1 . . - ___V2- W 1¡ › m: L ' 2 + J; Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonomótrias da soma 17 (a + b) e da diferença (a - b) de dois números reais quaisquer a e b, conheci- das as funções circulares de a e de b. (2.117 Calcular sen g, co¡ g e t¡ CJZB Dnnrminar o¡ alamentol do conjunto A = (x - ! g ? | k G 2]'. es' coluna d. mma Solucío Sejam P, O e R os pontos do ciclo associados aos números a, a + b e-b. respectivamente. Em relação ao sistema cartesiano u0v as coordenadas dessas pon- Dando valores a k, tamos: k = O a x g (g0 = o k=1 íx= tgg= va tos sáb: 2 k=2â”= '9'gl*' 3 Ploosmsena) k=3 -= › x= tg1l= D #Qiiqs_l_a_+_piiçn›(_a+b)) k=4 ix= wg= ñ Rwosbmíínbiñ › 5,, d_ Os arcos AQ e RP têm a mesma medida, portanto, as mr as A0 e PR são k = 5 x = 'g T z ' 3 iguais. Aplicando. então, a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria k = 5 = = x = 1927¡ = 0 imperioso) como A = f-s/ É, o, x/ É), Analrtica, temos: c.1zs Determinar A ñ a sabendo que: - dia = (xo - xAP w (yo - yAP = .. 2 _ 3 . . A: 51:52h g ÍKEZ) . a= [x= cns g Inez). -[°°““b' 'll *Í°°"l°“°' °1* = cos¡(a+b)-2- cos(a+b)+1+sen“(a+b) = 0.130 (MAPOFEI~74) Calcular todas as funções trigonamútríms da um amo da 9:0'”. = 2 ' 2 ' °°' h + b) “Fc 67-6
  40. 40. dê", e 4x, - XHV + (y, . Yan = 7o. Tenqeme de soma = - b¡+ 1: “o” cos 1 [sena +senbl senla +b) sena - oosb+senb - cosa 00523-2-cosa-cosbivcos2b4-sen1a+2-sena-senb+ tg(a+bl- - - +sen¡b=2_2_c°sa_cosb+2_sena. senb cosia+bl cosa cas sena senb u dAo : um e 2-2 . mu¡ , M : z _2, cosa _ msb+ sena o cosb+senb- cosa i-Z-sena-senb _ msa' °°5b = ' cosa-oosb-sena-senb e, então, vem a fórm l : u a cos a - cash sena-coro _fsenb-cprà cosa-cor! ) opera-cost¡ core-cod: _ sene-senb enshib) -jeneei een¡ - eenb 67. Cosseno de diierença W' 7 A m_ m” ' “um m” ' a” b e ao cosla - b) = cos [a + (-b)] = cosa - cos? - - sena - senl-b) = = cos a - cos b - sen tri-sen b) _L * u. b. .. . então wh+M-1'WÍ'W¡3 Este fórmula só é aplicável se: aatgd-kn, b$%+kn a a+b$g+kn 68. Seno de mma 71. Tlnqente de diferença sen(a+b)= cos[; -(a+b)]= cos[(; -a)-b]= tga + (gl-b) _ : :mig -e) - co¡b+sen(-72L-a) -senb 'gh 'm = mh+ HM: _ então A = m¡ + (49 b) . t-¡i- fo. " V-»w- s» tvi-tissue** : r 9°- mzí; 1 ' t" ' ("w 69. Seno de diferença sen (a - b) = sen [a + (-b)] = sena - cos (-b) + senl-b) - cosa = = sena - oosb + i-senb) - cosa então Em fórmula só ú aplicável se: l$-; r+kn, magna: e a-bas-ã-'rkn
  41. 41. 72. Cotangente da soma ¡Xiaclcws oos(a+b) cosa-cosb-sena-senb com [a + b) = _íá = = c_1a1 Calcular os valores de: se" (a + b) sen a ms b + se" b aos a a) co¡ 15° b) sen 105° cl rg 75° dl sec 285" cosa - cosb - sena - senb _ sen a - sen b _ Solução se" a ' C05 b + se" b ' 9953 a) cos 15° = co¡ (45° - 30°¡ = cos 45° - cos 30° + sen 45° - sen 30° = sena-seno JÉ_§+_x/ §.1__/ E+/ É = T 2 2 2 ' 4 oosa-cosb scyzvá-syrb = _L a . . se; b . s9/a_' 59,6 b) sen 105° = sen (60° t 45°) = sen 60° - co¡ 45° + sen 45° - co¡ 80° = senra›cosb+serñ-cosa J; J¡ q; 1 . /6,/ ; seara-seno sena-sgnrb = z'2*_"í“'_T_ então o_ e , , _ tg45°+tg30° _ mwwm-Wm. mens¡ c) :975 . cgmsvnnlnír-_õgdgw _m3 h _3 ootgeyrcotg _ u. 3 _cwñ ' 1 _1 _ _3 ' 3 - x/ 'ã 3 Esta fórmula só é aplicável se: u 255** = ° = _.51 = e; = 4 a á k1r b a* kn e a + b a* kn › m: s" 75 W575 “S145 + 30°) a ' 2 / cnaz Calcular cotg 165°, sec 255" e casser: 15°. 73. Cotangente da diferença / Rttàa lFEI-76) Sendo tgA = 2 e tgE = 1, ache tg (A - a). cm a _ cm Pb) _ 1 iMAPOFEl-75) Calcular o valor da expressão sen105° - cos 75°. cotg (a - b) = cotgla + (-b)] = #Jan-í = cotga + cotg l-b) 3 5 n ? IS/ Decor sen x = í e cos y = ñ, calcular o cos (x + yl, sabendo que 0 <x<í cotg aJ-catg b) - 1 _ 3." _ cotga+ -cotgbl e 2 <V<2"' Solução 19lcosx= +/1-sen7x= +/1-Ê; =ê então 79¡ senV: "V1-| J051V= -V1- LÊ = _E 169 13 Esta fórmulasóéaplicávelse: 39) coslxwty) zcogxwcgsy_sgnxn5gny= _ix í_3 X ü -E aaékmbaéknea-baêkn '5 13 í 13's5 7o-c 71-3
  42. 42. .z 0.136 Sabendo que tga : â e senbz-â- com g<b <1l, calcular tg (aâbl. Solução 19) cosb : -/ l ›sen2b: »/1 r É = «ã 4 29) tgb: -3 39| igla+bl = tgãutgb 1 6.137 Sabendo que sen x : É, / 17 senlx + vl, coslx + Yl e tg lx + v). senv: -ê,0<x<; e 1l<y< aín. calcular C.138 Demonstrar as Identidades: /Blsenla + b) - senla - b) = coszb - cos3a / l/lEPUSP-SZ) l 1 1 senx seny senz = senlx-v)+senly-z)+senlz-xl CDSX CCSV CO5¡ cos¡(a + bl t cosib -2 - cosla +b) - cosa - cosb = sen¡e Soluçio al l? membro : (sena - cosb + sent: - cosallsene › cosb - senb - cosel x - senia - cosíb -eenzb - cos7a = (1 - coâal - cos7b - (1 - cos¡ b) - cos1a . - C057!) - : :asia = 2? membro Se" S571 l Se" X 52" 1 SGH X 59H v b) 1? membro = y l › [ + cos y cos z cos x cos 1 cos x cos v senlv~zl rsenlx-zlwtsenlx-v) = senix A Vl + senly - 1) + sen [z - xl =2Ê7membro 1'? membro = (cosa - cosb -sena - sen bl2+cos2b- -2-ílcosa-¡cosb-sena-senb)-coee-cosh: 2 z : co: a~cos b›2'sena-senb-cmn-cosb+sen I°sen b+ +cos2b -2-cosza-cos¡b+2-senewenb-cosa-cosb- = ssn7a ~ seníb-cosía - cosíb +oos2b = = sen7a - (1 ›cos¡b) -ll -senzel - cos7h +cos¡b = = sen2a -senía - cos7b ›cos¡b + sen1e - 120511¡ + cos¡b e = sen7a = 29 membro cl 72-C C. 'l '(MAPOFEl-75) Demonstrar e identidade: v1 + sen 2x tg (45° + xl ~ cotgl45° - xl = e ÇJQO Se e e l: são ângulos agudos e positivos, demonstrar que: senla 4 h) <sene + senb Saindo Seja X : senlaí-bl -sena vsenb : sena v acabe» Henbocosa-sena-senbxmnalcosb-t) #senbicml-l) Temos: O<a<gí sene>o e cosa<1 o<a<§_í_› senb>ü e oosb<1 E ntão sena-lcosb-1)+senb- (cosa-lie X<0 _, _, e? â_ , fd >o <o >o <o e X<Oí senle+bl<sena+senb 9m (ePusP-ea) Provar que se § <a <-;1 e § < b < então senle+bl<sene+ê-senb (2.142 PirTovar que os ângulos interno¡ A, B e C de um triângulo não retângulo verificam a re ação: tgA+tga+tgc= rgA . ma . mc Solucin A+E+C= l80° = -›A+B-1BO°-C à : glA+e›. çg(1eo°-c›= tgA+tgB 1 = -tqC í ¡gA+¡gB= tgC(tgA. igB-1)í : :o t9A+tgB+tgC: tgA - tgB 'tgc / AÍ-lbemonstrar e identidade: 4 - sen lx + 60°) - cos (x 4 30°) = 3 - em¡ g _ 53"¡ x_ &Hyfstudar a variação das seguintes funções reais: _/ “ a) fix) = sen2x - oolx+senx - coe2x blglxl= íz›cosx+ -senx cl hlx) = “'“ l-tgx 73-C
  43. 43. Soluçio s, ,m : “mx , x, : sem u. FÓRMULAS DE MULTlPLICAÇÃO então Din = VR D = _W Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de 2a. 3a, 3 4a, etc, conhecidas as funções circulares de a. 1mm : [.1, 1] 74. Funções circulares da 2a n n n _ b) 9'** = C05 X ' C05 T * 55" * ' 5°" í '- 0°* Í* ' í' › Ficamos 2a = a + a e aplnquemos as fórmulas de adição: então D(g)= IR l) cos2a= cos(a+a)= cosa-cosa-sena-sena p = 21r | m(g) = [-1.1] V então 1 cash a aos' a - nn¡ a 0 no02¡ u 2 - 1:01'¡ - 1 cash - 1 - 2 - un¡ a 4 7¡ tg í + lg x n °“'“):1 11 = '°(x+í) ll)sen2a= sen(a+a)= sena-cosa+sena-cosa - tg ¡- - lg x então Dth): [xEIR | x;&: -+k1r] “ entao D = 7¡ x-A Í = › rat-Í» -"-›-: go= o 0.145 Estudar a variação das seguintes tunções reais: al f(x)= cos22x-sen72x m lga+tga )t 2 : t + = _o_ h)g(x)= /3-ccsx-senx g a “a a) 1-tga›tga c¡ mxmsiií( COSX'SEUX mas Qual e o período da função run-nn dada por em” f(x) : senx - ccs2x - cosax -senx - senzx - sen 3x + +cosx - sen2x - casãx+cosx - sen3x ~ cos2x 7442 75-6
  44. 44. 75. Funções circulares de 3¡ EXEm-n-¡uos Fazendo 3a = 2a + a e aplicando as fórmulas de adição, temos: Wsando tnx= â e 1r<x<y, calcular mizx. 2 l) cos3a= cos(2a+a)= oos2a- cosa-sen2a›sena= › Snlvvh 9 = l2-cos1a-1) cosa-(Z-sena-cosalsena: mui_ mix = _ 16 _g_ : lZ-cosza-llcosa-Zsenia-cosa: 1*' l' 1,1 5 = (2~cos2a-1) cosa-Zrll-cosza) cosa 'e CüiXz- 1 : - 1 _i . Í 1+t x 1+2 5 entao '5 ven2x=2-unx-cotx=2-l-êl-l-âl= % 'x gJlÍIFEl-Wl Calcular san 2x sabendo-se qua: tg x 4 cota x = Cl. 6.149 Sendo cotgx x g a O<x<; , calcular cosZx, Jll sen3a = sen (2a + a) = sen 2a - cosa + sena - cos2a = Saindo = (2-sena-cosa)«cosa+sena(1-2-senía): «í l 144 13 5 cossec=1+t¡. _1+_. _í = _ :2-sena~(1-sen¡a)+sena'(1-Zsenzal X m¡ 25 5 m” 13 cos2x=1-2-sen¡x=1-2-§= [E 189 159 “m” cqsormAuA-rrlscndo: ¡Indnê com o<a<g / a) calcula sanlg+lal bl calculo aula-rw” Ztga +tga ma] Sonda ncx= § a É <x<21l, calcular tg2x. 7 _ tg2a+tga _ l-tg a _ _›, ' | ||)tg3a-tg(2a+a)_1_tg2a. lga - 21a e soma. 1' 1- 5 ' '93 625 7 19a tgx= -/ scc¡x-1=-/576-1=-ñ _ 2- tga+tga - (1 -tgzal _H-tÉal-Lta-ta _i ° ° . .2_.2-= ex= i.-E t-@x ¡__4í 527 576 então 3 a” MS¡ oosx= ›5- e 7 <x<21r, tzlcular ssn3x. 12 n 35a senx: 1-3 e í<x<1ncnlcular cosílx. 76-4: 77-C
  45. 45. 0.154 Se secx : g e o <x < calcular ! g 3x. m' FORMULM DE mvlsÃo IQ: . _ , _ J C155 ¡MAPOFEFW um”, m: á _ ms: 1% + m g › (g 1g'. Vamos deduzir fórmulas para calcular as funçoes trigonomótncas de 1, conhecida uma das funções circulares de x. (2.156 Provar que: a) senda = 4 - sena v cos3a -4 - sen3a - cosa b) cos4a:8-cos4a~8~cos7a+1 75_ Edadoo em¡ 4-tga-4-t3a c) t94e= ¡-¡7--:9-ga_6_tg¡a*1 * z Sabemos que cos 2a = 2 cos' a - 1 e cos 2a = 1 - 2 - sen' a, portanto, &Eüemonstrar pelo principio da indução finita que: f“°"d° 2° = *r mem": › 2h - cosa-cos2a-cos4a-. ..-cos2“'¡-a= x cos x = 2oos¡ É - 1 0.158 (POLl-Bi) Eshocar o gráiico da Íuncío y n 2 - sen¡ x utilizando o gráfico de cos 2x. Solução A partir de identidade oos 2x = 1 - 2 - sen¡ x, temos: cos x = y=2 -sen3x : v-l -cosíx sen 5 I x _ 2 g 2 ' x cos 5 'v l Os sinais (t) só têm sentido quando se conhece cos x, sem conhecer x. i Assim, sabendo que cos x = cos xo, temos: 'l u I , a . X Xa ¡ . .solução. x - xo + ? kn z 5 = 3 + kn (l) ir 2, - x xo . soluçao: x = -xo + 2k1r à í = . í + kn (lll C159 ESWÚ” a V'"¡°^75° d” “9“¡"'“ '“"°'5“ "aki As expressões (l) e lll) nos indicam que, dado cos x, existem 4 possiveis n) fix) = cos4x - seMx b) glx) : B - senZx - cos? x x _ _ _ _ _ _ c) hlxl = cash( + seMx arcos í, pois k pode assumir valores pares ou ímpares, os quais dao origem 0.150 Qual o o periodo das seguintes funções reais? a dois valores para co¡ ã, sen É e tg Provemos que existem dois valores 1 - 2 g)f(x)= senx›cosx blgIxM-íuiâzç _ , _ x simetnoos para cos -, por exemplo: c) hlx) = oos5 x t» senõ x 78-C 794:
  46. 46. _ M" Solução Expr. (|)kpar: cos; =cos(? +2k¡1r)= cos§' cmã= + /1+2cosx: + É= Ê Expr. (l) kimpar: 00s ; =cos[ͧ +(2k¡+1)1r]= ços(? +1y): -co5 ? (22 tg à = + = + É . g * Xo X x Observamos que E < 5 < E Expr. lll) k par: cos í = cos(--z- + 2km) = cos l-â) = co; í** 4 2 2 5 Expr. (lll k impar: cos ã : cosl-ç +(2k¡ +1)n]= cos(-Ã29 4.") : - cneasa (gx: 1T, calcular sen xo Soluçlo = -cos - 2 I 'l / I 11 cosx-t 1?(-i 14§x1ñ 14 77. É dedo o senx 1; _ :7i/1-oo¡x_¡ t/13+12 ""2' : a: ' 2 ' ze 53h97m” QUE 005 X = :v 1 - sen¡ x, portanto, tendo sen x, calculamos cos x e entramos com es fórmulas do parágrafo anterior. entio na 4 possibilidades para : en ã: + _L_ - _L_ 4, _L ou - _L_ x/ ze; vzs" x/ zs x77? / ,, / ~ . | EXERCÍCIOS CJSWAUUSP-GQ) Sabem-loan que x o um arco da primeiro quadrante e coax - 5, x x d t ' - e t -. C461 Calcular a: funções circulares u¡ -. ' "mm" u" 2 q 7 Cdeiseoendo que ooxx - 'g e 0 < x < calcular san eo¡ § e tg ndo ¡ecxsl e a1-"<x<21r, calcular tqinêxl. (2.187 Estudar u variação de lunoio ! zh-HR dede por f(x) = Saluçlo Soluçlo De co¡ 2x = l - 2 sen¡ x decorre que $ - sen? x, Dortanto, fix) a V sen¡ x - inn xl já vlmo¡ que: 2,, ,, X oil) . n 6.162 Se sen x = - e - < x < n, calcular as funções circulares de -. p n 1( 25 2 2 lmlol . lo; 1] / 576 7 cosx= -/1-sen1x: -1-6-H = -í senâ= +l1ííã°sx = +lâg : É 30-0 * _ al-c
  47. 47. (2.188 Estudar e variação da função fzR - (x l x $2- + kn]»| R dada po( l _ f(x) = (1 - cos2xl3 - (1 + cos2x) uh- l 0.169 Qual é o periodo da função f: IR-›IR dada par mg) = (1 + cos mai? klT (k ez), provar que 0.170 al Para todo real a $ í uma = cmg g _ cotg a_ bl Demonstrar. utilizando o resultado anterior, que 'I Í 1 Í 8 n sena + sen 2a + sen4e + + sen2"a : m9 í 'M92 a' IV. TANGENTE DO ARCO METADE Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométrioas de x, oo- nhecida a tg Das fórmulas de multiplicação, temos: 2 cos a sena 1 sen2a=2-sena-cosa=2-sena- =2› - 1 cosa cosa seca _ Z-tga 7 'll-tgía 192a: ízqia i-tga Fazendo 2a = x e a = temos: 580)( Notando que cos x = , l 2 tg x emos 82-0 A utilidade destas três últimas fórmulas é permitir a substituição de sen x, oosx e tg x por uma única função (tg ã), através de expressões racionais. Esse tipo de substituição ú fraquentemanta utilizado na resolução de equações trigonométricas. V. TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO 78. Em Álgebra Elementar, tem grande importância prática os recursos para transformar um polinômio em produto de outros polinõmios (fatoraáo). Assim. por exemplo, temos: x1 - 2x = xlx - 2) a colocação em evidência ' x2 - 4 = (x + 2) (x - 2) e diferença de quadrados x2+4x+4=lx+2l2 . x, _ 4X + 4 = (x _ 2), % a trlnomlos quadrados perfeitos x3 + 8 = (x + 2)(x¡ - 2x + 4) se soma de cubos x3 - 8 = (x - Zllx¡ + 2x + 4) e diferença de cubos x3+3x°+3x+l= (x+1)° . . . xgr_ 3x¡ + 3x _ 1 = (x _ n, -__› pollnômlos cubos perfeitos Muitas vezes aplioaremos esses recursos à Trigonometria, recorrendo a trens- formações como: sen2x- 2 - senx : senx (senx-Z) sen” x - cos¡ x = (sen ›< + cos xlisenx - cos x) Além dos recursos algébricos, a Trigonometria dispõe de fórmulas que per- mitem completar uma fatoreção. Assim, no exemplo acima, podemos fatorar: SEHX + COSX ê senx - COSX. Vamos deduzir agora as fórmulas para transformar somas e diferenças tr¡- gonométricas em produtos, 83-6
  48. 48. 79. Sabemos que: sen p sen q sen p - cos q - sen q - cos p cos(a+b)= oosa- cosb-sena- senb tgp-mu: m” - ms" : msn' m") à cos(a-b)= cosa-oosb+sana-senb g r sen(a+b)= sena-cosb+senb›cosa = =› sen(a-b): sena-cosb-senb-cosa g y l' O rn O cacàeíê” cos(a+b) +cos(a-b) =2- cosa - cosb cos(a+b) -cosla-b) = -2 - sena- senb sen (a + b) + sen (a - b) = 2 - sen a - cos b Exeacfcms sen (a + b) » sen (a _ b) -_-. 2 . ;en b - cosa 0.171 Transformar em produto: _ . , l = 5 + 3 Estas relaçoes são denominadas formulas de Werner. É, y m x m x @QQQ y = oos 3x + cos x c) y = sen7a + sen5a -tenaa - sena d) y z cassa + cos5a - cos3a - cosa 80. Fazendo nas fórmulas de Werner: 9' V = "M * 5°" b * 5'" ° ' 5°" (5 * 'J * 0) ' Soluoio + = + - ía b pportanto, a=p Qeb= -:p q 5+¡ 5_3 ¡'b= q 2 2 a)v=2-sen Xzx-cos X2X=2-sen4x-cosx obtemos as fórmulas de transformação am produto: b) 3x + x 3x - x y=2-eos 2 -cos 2 xz-coslxrcosx c) y = lsen7a +sen5al - (senJa + sena): -2- senEa -cosa-2 - aan2a- cosa = 2 - cosa - (senao -sen2al = 2 -cose - (2 ~ sen2a r cos4a) = =4 - cosa - sen2e - cosAa unp-l/ unq-Z - _ dl y = (cassa + co¡ 5a) - (cos 3a s cosa) = V ~ p-l' . " =2-oos7a-cos2a-2'cos2e-cosa=2'cos2a-(cash-cosa): ”"P'T, ”"°_'y2'”n_ z __ , L-4-cos2avsen4a-san3a e) v= lsena+senbl-[senla+b+c)-senc]= « - . *b ~b b b 2 81. Temosamda que: a2-sen a2 -cos 'z -2-sen ag -cos 3% : senp senq senp-cosq-rsenq-cosp = _ . 'Hi', LLELÊ_ 8-17 x g tgp+tgq= íJ+aÊ= És 7 *en 2 [Cos ¡ cos 2 J ^ a+b+2e+a-b _ a+b+2c›a+b = -2., e,, “*b . çz-seníle-sanà, 2 2 2 7 4 +b + =4-sen°-2- - senazc - senbzc Bat-C 85-6
  49. 49. 0.172 Transformar em produto: a)Y b)v c)Y d)v Solução a)V b)y : :JV d)V (3.173 Transformar em produto: e)v b)Y cly Solução a)V b)Y clv dlv n n C174. Transformar em produto: 1+sen2x sénia*b+cl-senla-b+c) " a) v= 1+cosx y/ b) y= cosla+2b)+cosa 1+ccsa+eos2a c) vvsena+sen(a4r)+sen(a+2r)+sen| a+3r) sena + 2 - senCfa + senãa d) y = cos(a + 3D) rcosla v 2h) +cos(a + b) +cosa e) y : CcsZp-coszq r) y: sen7p-sen1q 1¡ ) = cos7p -senzo sení+sen2x=2-sen| %+x)-cosI%-x)= g y senza+sengb 1¡ h) y: cos2a-cos2b 2-sen¡ lí+x) 1+sena ” V * Tí cosD+cosx=2-oos1-cosl-§)=2-cos7 2 2 (cos 2a + cos 0) + cosa : 2 - çgsla + cosa = C175 (MAPOFEI-76) Transformar o produto oos 2x - cos 4x em uma suma equivalente. 2-cosa(cosa+l):2-mse[cosa+cos ll: 'M' n 2 3 C.176 lFEFAAP-77) Provar que (sen A + cos AV = Aces** (A - í)- J-cosa-cosl; +-g) -coüã-gl ' ' 13” n" (sen 5a + sen a) + 2 - sen 3a = 2 - sen 3a - cos 2a + 2 - sen 3a = (2,177 Calcular o valor numérico da expressão: y = sen í - cos 2-sen3a-[cos2a+l]=2›sen3e›[cos2a+cos0]= V' 2tsen3e~[2tcosa 'C0!HJ¡4'5EH3B“C0§z5 y s°m°°° Fazendo p É q = ?lr e - obtemos senx + cosx o) y = sen¡ 5x - senzx p g _ 2,, a q = f. ” n g, portanto: cos2x -sen2x sena+senb 1 13,¡ 117, n 1 1 1 e) : í __ . ._. . _s_ . .=_ _= __ cosíax-coszx V °°“”°°“' V' 2 (2 5°" 12 °°s 1 ) 2“°"2"“°" s' 21°' 2) 4 0.178 Calcular o valor numárico das ex ressães. P sanx#oosx= senx+sen(; -x)= a›v= m¡g_msg 1l' 7T 11 2 sení-eosix-¡l-VZ-colix-í) b¡y= senE§_s9nH n 12 12 - . _ _ = 5 cos2x coslz 2x) n n cyy= senz_z_cosi7lí -2 › sen § - seni2x - í) = -JE- senl2x - -¡) (cos 3x + cos x) - lcos 3x - cos xl x C379 “Ovar um cos 40° - co: 80° - cos '|60° = - l. 8 (2 - cos 2x - co¡ xH-2 - sen 2x - sen x) : -12 r sen 2x - cos 2x) (2 - sen x - cos x) = 5°'“9¡° -enn4x r sen2x . o . 4 o (sen 5x + sen xllsan 5x - sen x) = 00:40" - cos8D° - canso” - . co, 15m = i2 - san 3x o cos km2 - sen 2x - cos 3x; z , a (cos 1zo° + co; 40°) . 505130** 2-san3x-cos3x2-sen2x-cos2x - 2 = sen 5x - sen 4x 1 1 2 n+b l-í)-cas160°+í-2-oos40°-cos160° ' SEU ' COS = 2 a 2 2_c°s 34h _aos = -coc150°+cos200°+cos120° cos120° 7_1_ 2 : T1 “ 4 “ e 87-0
  50. 50. CJBD Provar que tg 81° ~ tg 63° › [g 27° s tg 9° : 4_ 6.181 Demonstrar que, se A, B e C são ângulos internos de um triângulo, vale a relação: a) senA-tsenB+senC=4-cosê -cosE -cos-c- 2 2 2 b) eosA+cosB+cosC= l+4-sen2-senÊ-seng c) sen2A + senZE + senZC = 4 o senA ~ senB - senC d) CDSZÀ + cosZB + cosÍC z 1 -2 - cosA ~ cosB - cosC Preliminares: senlñ + C) : senA I)A+E+C=7r íà (B4-C)=1r-A -_= › cosfB+C): -cosA B+C , r A $EnE+C= CD5ê nlA+e+c: n=› = ___= . 2 7 2 2 2 B+C A C05 2 : sení Solução a) f? membro= senA+senE+senC= =senA+2-sen 3:6 = ~senê-cos§+2-cosê 2 À A - e -eosí-[sení+cos 52%. =2-cosê-Ícos à +cos A =2-cosí-[2-ct›sg-cos §]= A B : ct-cosíocos-z- 'COS§=2?m9mbro b) 15' mrn-ibro= cosA+cosB+cosC= = cosA+2-cos São -cos BEC: À _ = (1-2sen¡ í)+2-sen--cos 52a: A A - = 'l-2-sení[sen7-cose2c]= A E - =1-2-sení[cos ; c-casszc): Á xl-Z-seníl-Qseng-senê): A B C =1+4-sení-sení-sení=29mgmgm c) 7.0 membro sen ZA + sen 2B + sen ? C = = sen ZA + Zsen (E T' CLCOS ÍB- C) = =2 r senA ' COS +2senA ' CDSÍB -C) = =2-senA[cosA+cos(B-C)]- n 88-0 =2senA[-coslB +0) +ceslB -C)]: -2-senA[cos(B+C)-coa(B -C]= -2 - senA l-Z - senB -senC) = 4 ~ senA - senB - senC : ima/ nora ? à f' l d) Sabemos que cos 2a x 2005201- le cos2d = E? ? coa2E + 1 +cos ! CLI 2 1+WÉA+ cos2B+cos2C _ . ííí _ 1+cos7A+cosiB+C)-coslB-C)= =1+cos¡A-cosA-cos[B-C)= =1-cosA[cos(E-C)'°>sA)= -eosA[cot(E+C)+cos(B-C)]= =1 -2-eosA-cosaccosc=2."mentbro 7'? membro = cos¡ A + u 0.132 Demonstrar que, se A, B, C são ângulos internos de um triângulo, vale a relação: A-sanE-sensvcosí a) senB+senC-senA 2 2 v1+4-cos; -co¡§-senâ c) cos2A+cas2B+cos2C= -1-4 -cosA -cosE - cosC d) san1A+sen? B+sen¡C . Z - (l +cosA - cosB -cosCl 1 1 1 rr É_ í -: -=1Aa, c - tgArtgB ' tgB-tgC + tgC-tgA (' T2' bl eosB +cosC -cosA a) 0.183 Provar que se a 4 b + c = E então: 2 al tga - tgbr tgb - tgc+tgc - tga : l b)cos1a rcoszb i-coszc -2 - sena - senb ~ senc -2 C.1B4 Provar que se (san ZA, sen 2B, sen 2G) a uma progressão aritmóticn, então o mesmo ocorre com (tg (A r B), tg (C + A), lg (B + 6)). Solucin Por hipótese, ternos: sen 2B-sen2A= sen2C-sen 2B 2-senlB-A)-coslB+A)=2-sen(C-B) -cos(C+B) sen[(B+C)-(A+Cl]-cos(B+A)= sen[(C+A)-(A+B)]-cos(C+B) [sgnla+c)-cos(A+C)-seniA+C)-cosiE+C)]-cosÍB+A)- = [san(C+A)-cos(A+B)-sen(A+B)-cos(C+A)]-cos(C*B) senlbrrCl -coslC+A)~cosiA+B)-san(C+A)-cosiB+C) -cos(A#B)= =sen(C+A)-coslA+B)-cos(E+C)-senlA+Bl-coslC+A)-coslC+B) Dividindo por eos(A+E) - cosll! +cl -cos iC+A). )emos: sen(B+C) senlC+A) _ senlC+A) _ sen (Af-E) cos lB+Cl oosiC+A) A cos lC+A) cos (A+B) istoe: toiB+CJ-z¡lC+Al= tglC+A)-tg(A+a)
  51. 51. Í 3335 Fm" q"" " m" (' * b 'Ú' “" (a 'h " °" “" ('° + b * 'm ¡ “ma °'°°"“° 0.190 Provar aut u os ângulo¡ d¡ um triângulo ABC vorificam n rolado cosA + cosB ; arltmüim. então o "il-mv 0m"- wm (t9 = › *u b. m c¡- , sen c, ¡ntão o triângulo o rnêngulo. 0.186 Provar que se a + b Í c = então Saw” sen7a + sen3b + senic +2 - sena - senb - senc =1 casA + cosB = senC í? soma. , _ A+B_ A-B_ _ C_ C o 1-cos2b 1-cos2r: 2 °°° 2 °°5 2 “z 5°" 2 m2 '° I. membro= sen¡a+a+? T-«z-sana-senb-sanc: c A_B c c ÉSBH*'COS : WH*'CDS*É cos 2h + 6052C 1 7 7 2 . |+sen1a-a+2~sana-senb-senc= n i1* 2 “Hb (b H2 b_ _ A E c A-B: C=›AxB+C= -7 - sena-oos c cos -c -sana-sen senc_ : ums _Em_ É_ ou =1+san3a-sana-ooHb-c)+2-sena-senb-sencx 7 7 ff A-B: -C= › EzA+C= _ =1+senn›[¡ena-co¡Íb-c)]+2-sena-senb-sznc: 2 =1+sana ' [coslb +ci - casíb vei] + 2 ~ sena - senb - senc = , | - 2 . s. " . . “np › senc x 2 . ,Ena . se" b . ¡enç = 1 = c.191 Pravnr qu¡ s: os ângulos d¡ um triângulo ABC vnriiicam a relação san 4)¡ + sen 4B + = 2? membro san CC - 0, envio o trilngulo d mlngulo. 0.187 Estudar a variação, m ! unção f: IR-› IR dada por f(x) = cos x - sen x. C192 Dcmomtrar que todo triângulo cujos ingutos vnrilioam a rllacao san : IA + un 3B + 4» sun 3G = O um um ângulo da 60°. Selado Nx) = coxx-cos(g - x) --2 - sen § - senb( - ; l - z . x/É- mix - ; i Portanto: DU) = IR p . 27! 1mm . l-x/ É, x/ É] Y TZ 1 > 0 x -1 -H 6.188 Estudar a variação da função kR-»R dada por f(x) = sen 2x + : os 2x. '| «rtqx7 0.189 Qual O o purfodo da função f(x) = s. so-c À 81-6

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