Este documento trata sobre el cálculo integral definido y el área bajo la curva. Explica la notación de suma, cómo aproximar el área bajo la curva mediante sumas de Riemann, la definición formal de la integral definida y algunas de sus propiedades como la linealidad. Finalmente, presenta ejemplos resueltos de cálculo de áreas y demostraciones de propiedades de la integral definida.

1. Cálculo Integral
La Integral Definida. Área Bajo La
Curva.
M. en C. Juliho Castillo
31 de enero de 2017
Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana
1

2. 1 La Integral Definida. Área Bajo La Curva.
Notación “Sigma”
Área bajo la curva
Propiedades de la Integral Definida
Ejercicios Resueltos
2

3. La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
3

4. La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Notación “Sigma”
4

5. La letra griega Σ denota adición repetida:
b
i=a
f(i) = f(a) + f(a + 1) + ... + f(b),
siempre que a ≤ b.
5

6. Ejemplo 1.1.
1
5
j=1 j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
2
3
i=0 (2i + 1) = 1 + 3 + 5 + 7
3
10
i=2 i2
= 22
+ 32
+ ... + 102
4
4
j=1 cos(jπ) = cos π + cos 2π + cos 3π + cos 4π.
6

7. Linealidad
Proposición 1.1.
b
i=a
cf(i) = c
b
i=a
f(i) (1.1)
b
i=a
f(i) + g(i) =
b
i=a
f(i) +
b
i=a
g(i) (1.2)
7

8. La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Área bajo la curva
8

9. Sea f una función tal que f(x) ≥ 0 en el intervalo [a, b].
9

10. Figura 1.1: Aproximación de área bajo la curva
10

11. Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).
1 Dividimos el intervalo en N subintervalos
a = x0 < x1 < ... < xN = b.
2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como
δxi = xi+1 − xi.
3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por
N
i=1
f(ξi)δxi,
donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].
11

12. Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).
1 Dividimos el intervalo en N subintervalos
a = x0 < x1 < ... < xN = b.
2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como
δxi = xi+1 − xi.
3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por
N
i=1
f(ξi)δxi,
donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].
11

13. Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).
1 Dividimos el intervalo en N subintervalos
a = x0 < x1 < ... < xN = b.
2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como
δxi = xi+1 − xi.
3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por
N
i=1
f(ξi)δxi,
donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].
11

14. Una manera más concreta de construir una suma de Riemman
es fijando el tamaño del paso:
1 Definimos h =
b − a
N
;
2 Escogemos
ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N;
3 La suma de Riemann correspondiente será
N
k=1
f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN )) .
12

15. Una manera más concreta de construir una suma de Riemman
es fijando el tamaño del paso:
1 Definimos h =
b − a
N
;
2 Escogemos
ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N;
3 La suma de Riemann correspondiente será
N
k=1
f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN )) .
12

16. Una manera más concreta de construir una suma de Riemman
es fijando el tamaño del paso:
1 Definimos h =
b − a
N
;
2 Escogemos
ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N;
3 La suma de Riemann correspondiente será
N
k=1
f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN )) .
12

17. Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derecho
de cada intervalo: xk = a + k ∗ h, pero también podemos
escoger por ejemplo:
el extremo izquierdo:
ξk = a + (k − 1) ∗ h;
o el punto medio de cada intervalo:
ξk = a + k −
1
2
∗ h;
13

18. Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derecho
de cada intervalo: xk = a + k ∗ h, pero también podemos
escoger por ejemplo:
el extremo izquierdo:
ξk = a + (k − 1) ∗ h;
o el punto medio de cada intervalo:
ξk = a + k −
1
2
∗ h;
13

19. Si en un intervalo [a, b], f(x) < 0, entonces la suma anterior
aproxima el área sobre la curva.
Figura 1.2: Aproximación de área bajo la curva
14

20. Por esta razón, cuando no distinguimos cuando f(x) cambia
de signo en un intervalo, hablamos del área con signo.
Figura 1.3: Aproximación de área bajo la curva
15

21. Definición 1.1.
La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por
b
a
f(x)dx = l´ım
N→∞
N
i=1
f(ξi)δxi ,
siempre y cuando el límite exista.
Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).
La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conoce
como suma de Riemman.
16

22. Definición 1.1.
La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por
b
a
f(x)dx = l´ım
N→∞
N
i=1
f(ξi)δxi ,
siempre y cuando el límite exista.
Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).
La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conoce
como suma de Riemman.
16

23. Definición 1.1.
La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por
b
a
f(x)dx = l´ım
N→∞
N
i=1
f(ξi)δxi ,
siempre y cuando el límite exista.
Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).
La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conoce
como suma de Riemman.
16

24. Ejemplo 1.2.
Calcule 5
1
1dx.
17

25. Ejemplo 1.3.
Calcule 5
0
xdx.
18

26. Ejemplo 1.4.
Calcule 5
1
xdx.
19

27. Proposición 1.2.
b
a
1dx = b − a (1.3)
b
a
xdx =
b2
2
−
a2
2
(1.4)
20

28. Ejemplo 1.5.
Aproxime la integral
b
a
1
√
2π
e−1
2
x2
dx
utilizando el algoritmo 1.1 fijando el tamaño del paso, con
a = −1, b = 1, N = 5 y usando el extremo derecho de cada
intervalo.
21

29. Evaluación Continua 1.
Aproxime la integral del ejemplo 1.5 cuando:
1 a = 0, b = 3, N = 4;
2 a = −2, b = 2, N = 8;
3 a = −3, b = 3, N = 16.
22

30. La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Propiedades de la Integral Definida
23

31. Propiedades: Linealidad
b
a
cf(x)dx = c
b
a
f(x)dx (1.5)
b
a
(f(x) + g(x)) dx =
b
a
f(x)dx +
b
a
g(x)dx (1.6)
24

32. Propiedades: Linealidad
b
a
cf(x)dx = c
b
a
f(x)dx (1.5)
b
a
(f(x) + g(x)) dx =
b
a
f(x)dx +
b
a
g(x)dx (1.6)
24

33. Propiedades: Límites
c
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx +
c
b
f(x)dx (1.7)
a
a
f(x)dx = 0 (1.8)
b
a
f(x)dx = −
a
b
f(x)dx (1.9)
25

34. Propiedades: Límites
c
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx +
c
b
f(x)dx (1.7)
a
a
f(x)dx = 0 (1.8)
b
a
f(x)dx = −
a
b
f(x)dx (1.9)
25

35. Propiedades: Límites
c
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx +
c
b
f(x)dx (1.7)
a
a
f(x)dx = 0 (1.8)
b
a
f(x)dx = −
a
b
f(x)dx (1.9)
25

36. La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Ejercicios Resueltos
26

37. Ejercicio Resuelto 1.
Supongamos que f y g son integrables en [a, b]. Demostrar
que:
(a) Si f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces b
a f(x)dx ≥ 0.
(b) Si f(x) ≤ g(x) en [a, b], entonces
b
a
f(x)dx ≤
b
a
g(x)dx.
(c) Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces
m (b − a) ≤
b
a
f(x)dx ≤ M (b − a) .
27

38. Ejercicio Resuelto 2.
Evalue 1
0
x2
dx
a partir de la definición.
28

39. Ejercicio Resuelto 3.
Demuestre la fórmula
n
k=1
k =
n (n + 1)
2
.
29

40. Bibliografía
Las notas de estas sección se basaron en el capítulo 23 ``The
Definite Integral. Area Under a Curve'' de nuestro
libro de texto ``Ayres, F. and Mendelson,
E.;``Calculus''; Schaum's Outlines, McGraw Hill;
5th Edition.''
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