Cálculo Integral para Empresariales

Cálculo integral
M. C. Juliho Castillo
3 de marzo de 2017
Escuela de Ciencias Empresariales y Económicas, Universidad Panamericana
1

1 Funciones diferenciables
2 Aproximaciones lineales y diferenciales
Análisis marginal
Aproximación por incrementos
Diferenciales
3 Análisis gráfico de la diferencial de una función
Diferenciación de funciones en forma implicita
Calculando la pendiente de una recta tangente
Aplicaciones a la economía
4 Reglas de diferenciación
Problemas
2

Notación delta
Sea f : R → R una función y x0 en el dominio de f. Sea ∆x
una variación variación infinitesimal, es decir, un cambio muy
pequeño en el valor de x. De manera similar, ∆y una variación
infinitesimal en y = f(x). Entonces
∆y = f(x0 + ∆x) − f (x0) .
4

La tasa o razón de cambio promedio de la función f en el
intervalo [x0, x0 + ∆x] se define como
∆y
∆x
=
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
. (1.1)
5

Ejemplo 1.1.
Sea y = f(x) = x2
+ 2x. Comencemos en x0 = 1, que cambia
a x = 1.5. Entonces ∆x = 0.5. El cambio correspondiente en
y es ∆y = f(1.5) − f(1) = 5.25 − 3 = 2.25. Por tanto, la
tasa de promedio de cambio de f en [1, 1.5] es
∆y
∆x
=
2.25
0.5
= 4.5.
6

La derivada
Si y = f(x), y x0 está en el dominio de f, entonces por la tasa
de cambio instantanea de f en x0 se entiende el límite de la
tasa promedio de cambio entre x0 y x0 + ∆x cuando ∆x se
aproxima a 0 :
l´ım
∆x→0
∆y
∆x
= l´ım
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
siempre que este límite exista. Tal límite se le denomina
derivada.
7

Notación para derivadas
Considere la derivada de f en un punto arbitrario x en su
dominio:
l´ım
∆x→0
∆y
∆x
= l´ım
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
.
El valor de la derivada es una función de x y se indicará
mediante cualquiera de las expresiones siguientes:
Dxf(x) =
dy
dx
= y = f (x) =
d
dx
f(x) = l´ım
∆x→0
∆y
∆x
.
El valor f (a) de la derivada de f en un punto especifico a se
indica mediante: dy
dx
|a.
8

Diferenciabilidad
Una función es diferenciable en un punto x0 si la derivada de
la función existe en ese punto.
De hecho, la diferenciabilidad implica la continuidad.
Diremos que una función es diferenciable si lo es en cada
punto de su dominio.
9

Aproximaciones lineales y
diferenciales
10

diferenciales
Análisis marginal
11

Supóngamos que C(x) es el costo toal de la producción de x
unidades de una mercancía en particular. Si x0 unidades están
siendo producidas actualmente, entonces la derivada
C (x0) = l´ım
∆x→0
C(x0 + ∆x) + C(x0)
∆x
es también llamada el costo marginal de producir x0 unidades.
12

Si ∆x = 1, entonces
C (x0) ≈
C(x0 + 1) − C(x0)
1
= C(x0 + 1) − C(x0),
donde ≈ se usa para indicar una aproximación, y no una
igualdad.
13

Definición 2.1.
Si C(x) es el costo total de producir x unidades de una
mercancía, entonces el costo marginal de producir x0 unidades
es la derivada C (x0), la cual aproxima el costo adicional de
producir una unidad más.
14

Figura 2.1: El costo marginal C (x0)
15

Figura 2.2: El costo adicional C(x0 + 1) − C(x0) de incrementar
la produccion una unidad maś.
16

Definición 2.2.
Supongamos que R(x) es el ingreso generado por x unidades
de un bien en particular, mientras que P(x) = R(x) − C(x) es
la ganancia correspondiente. Cuando x = x0 unidades son
producidad, entonces:
El ingreso marginal R (x) aproxima R(x0 + 1) − R(x0) el
ingreso adicional por producir una unidad más.
La ganancia marginal P (x) aproxima P(x0 + 1) − P(x0)
la ganancia adicional por producir una unidad más.
17

Ejemplo 2.1.
Un manufacturador estima que cuando x unidades de un bien
en particular son producidas, el costo total será de
C(x) = 1
8
x2
+ 3x + 98 dolares y, más aún, que todas las
unidades serán vendidas a un precio de p(x) = 1
3
(75 − x)
dolares por unidad.
(a) Encuentre el costo marginal y el ingreso marginal.
(b) Use el costo marginal para estimar el costo de producir la
novena unidad.
(c) ¿Cuál es el costro real de producir la novena unidad?
(d) Use el ingreso marginal para estimar el ingreso derivado de
la venta de la novena unidad.
(e) ¿Cuál es el ingreso real derivado de vender la novena
unidad?
18

Ejemplo 2.2.
Una manufacturador de cámaras digitales estima que cuando x
cientos de camaras son producidos, la ganancia total será
P(x) = −0.0035x3
+ 0.07x2
+ 25x − 200
miles de dorales.
(a) Encuentre la ganacia marginal.
(b) ¿Cuál es la ganancia marginal cuando el nivel de
producción es x = 10, x = 50 y x = 80?
(c) Interprete estos resultados.
19

diferenciales
20

Como
f (x0) = l´ım
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
,
entonces para ∆x ≈ 0:
f (x0) ≈
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
o de manera equivalente
f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f (x0)∆x.
21

Si f(x) es diferenciable en x = x0 y ∆x es un cambio
suficientemente pequeño, entonces
f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f (x0)∆x,
o de manera equivalente, si ∆f = f(x0 + ∆x) − f(x0),
entonces
∆f ≈ f (x0)∆x.
22

Ejemplo 2.3.
Supongamos que el costo total en dolares de manufacturar q
unidades de cierta mercancía es C(q) = 3q2
+ 5q + 10. Si el
nivel actual de producción es de 40 unidades, estime cuanto
cambiará el costo total si son producidas 40.5 unidades.
23

Propagación del error
Ejemplo 2.4.
Durante un procedimiento médico, el tamaño de un tumor de
forma aproximadamente esferica se estima al medir su
diametro usando la fórmula V = 4
3
πR3
para medir su volumen.
Si el diametro medido es 2.5cm, con un error máximo de 2 %,
¿qué tan acertado es la medida del volumen?
24

Control del error
Ejemplo 2.5.
La producción diaria de cierta fábrica es Q(L) = 900L1/3
unidades, donde L denota el tamaño de la fuerza laboral
medida en trabajador-hora. Actualmente, 1000
trabajador-horas son usadas cada día. Estime el número
adicionar de trabajador-horas de fuerza laboral que se
requerirán diariamente para producir 15 unidades.
25

Fórmula de aproximación del cambio porcentual
Si ∆x es un cambio suficientemente pequeño en x, el
correspondiente cambio porcentual en la función f(x) será
100
∆f
f(x)
≈ 100
f (x)∆x
f(x)
.
26

Ejemplo 2.6.
El PIB de cierto país era N(t) = t2
+ 5t + 200 billones de
dolares después de t años a partir del 2000. Estime el cambio
porcentual en el PIB durante el primer cuarto de 2008.
27

diferenciales
Diferenciales
28

Definición 2.3.
Si ∆x ≈ 0, entonces la diferencial de x es dx = ∆x y si
y = f(x) es una función diferenciable de x, entonces
dy = f (x)dx es la diferencial de y.
29

Ejemplo 2.7.
En cada caso, encuentre la diferencial de y = f(x) :
(a) f(x) = x3
− 7x + 2
(b) f(x) = (x2
+ 5)(3 − x − 2x2
)
30

Figura 2.3: Aproximación de ∆x por la diferencial dy.
31

Análisis gráfico de la diferencial
de una función
32

Las ecuaciones del tipo y = f(x) se conocen como explícitas.
Por ejemplo,
y = x2
+ 3x + 1, y =
x3
+ 1
2x − 3
, y =
√
1 − x2.
Sin embargo, algunos problemas están en forma implicita, es
decir, F(x, y) = 0. Por ejemplo
x2
y3
− 6 = 5y3
+ x,
o de manera equivalente
F(x, y) = x2
y3
− 6 − 5y3
− x = 0.
33

de una función
Diferenciación de funciones en forma
implicita
34

Si tenemos una ecuación en forma implicita F(x, y) = 0, y
queremos obtener y = dy
dx
, podemos intentar despejar y y
derivar directamente. Sin embargo, esto no siempre es simple o
incluso, posible: Por ejemplo, considere
x2
y + 2y3
= 3x + 2y.
En algunos casos es posible, pero cálcular la derivada puede
ser complicado. Por ejemplo, considere
x2
y3
− 5y3
= x + 6.
Entonces
y =
x + 6
x2 − 5
1/3
.
35

Proposición 3.1.
Si f = f(y) y y = y(x) son funciones diferenciables:
df
dx
=
df
dy
dy
dx
= f (y)y (3.1)
Por ejemplo, si y = y(x), entonces
d
dx
y2
=
d
dy
y2 dy
dx
= 2yy .
36

Diferenciación implicita
Ejemplo 3.1.
Encuentre y = dy
dx
si x2
y + y2
= x3
.
37

Método de Diferenciación Implicita
Suponga que una ecuación define y de manera implicita como
una función diferenciable de x. Para encontrar y = dy
dx
:
1 Diferencie ambos lados de la ecuación con respecto a x.
Recuerde que y es en realidad una función de x y puede
usar la regla de la cadena al diferenciar los términos que
contienen a y.
2 Resuelva la ecuación diferencial algebraicamente para y
en términos de x y y.
38

de una función
Calculando la pendiente de una recta
tangente
39

Ejemplo 3.2.
Encuentre la pendiente de la recta tangente al círculo
x2
+ y2
= 25, en el punto (3, 4)− ¿Cuál es la pendiente en el
punto (3, −4)?
Figura 3.1: Gráfica de x2 + y2 = 25.
40

Ejemplo 3.3.
Encuentre todos los puntos de la gráfica de la ecuación
x2
− y2
= 2x + 4y donde la recta tangente es horizontal.
¿Tiene la gráfica alguna tangente vertical?
Figura 3.2: Gráfica de x2 − y2 = 2x + 4y
41

de una función
Aplicaciones a la economía
42

Ejemplo 3.4.
Suponga que la producción de cierta fábrica es
Q = 2x3
+ x2
y + y3
, donde x es el número de horas de trabajo
especializado y y es el número de horas de trabajo no
especializado. La actual fuerza de trabajo consiste de 30 horas
de trabajo especializado y 20 del que no lo es. Estime el
cambio en el trabajo no especializado y que compense un
incremento de una hora de trabajo no especializado x, de
manera que la producción mantenga su actual nivel.
43

Observación 3.1.
Si Q(x, y) es el nivel de producción, diremos que Q(x, y) = C
es una isocuanta, y la razón de cambio dy
dx
que encontramos
derivando implicitamente se conoce como relación marginal de
sustitución técnica.
44

Este es un resumen de las propiedades más importantes de la
derivada. Al final, se sugiere una lista de problemas que se
pueden resolver con ayuda de las notas de clase y le serán
útiles para repasar los conceptos básicos, ¡intentelos!
46

Definición 4.1.
La derivada de una función f(x) esta definida como
d
dx
f(x) = l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
,
o de manera equivalente,
d
dx
f(x) = l´ım
t→x
f(t) − f(x)
t − x
,
si es que dicho límite existe.
47

Observación 4.1.
En ocasiones, usamos la notación f (x) para la derivada
d
dx
(f(x)).
Al usar esta notación, tenga cuidado en identificar la variable
independiente y la dependiente. Por ejemplo, si y = f(u),
entonces
y =
df
du
.
48

Propiedades fundamentales de la derivada
Sean f, g, u funciones diferenciables y c, k unas constantes.
Linealidad
d
dx
(cf(x) + kg(x)) = c
d
dx
f(x) + k
d
dx
g(x) (4.1)
Regla de Leibniz
d
dx
(f(x)g(x)) =
d
dx
f(x) g(x) + f(x)
d
dx
g(x)
(4.2)
Regla de la cadena
d
dx
(g(u(x))) =
d
du
g(u)
d
dx
u(x) . (4.3)
49

Proposición 4.1.
Si p ≥ 0 es un número entero, entonces
d
dx
(xp
) = pxp−1
. (4.4)
50

Observación 4.2.
La formula 4.4 se puede obtener directamente a partir de la
identidad algebráica
tp
− xp
= (t − x) tp−1
+ tp−2
x + ... + xp−1
,
donde p es necesariamente un entero positivo, o de manera
recursiva a partir de la derivada
d
dx
(x) = 1
(veáse ejericicio 4.1) y la regla de Leibniz.
51

Reglas de diferenciación
Problemas
52

Ejercicio 4.1.
A partir de la definición de la derivada, deduzca que
d
dx
(mx + b) = m, (4.5)
donde m, b son constantes reales.
En particular, deduzca que
db
dx
= 0,
dx
dx
= 1.
53

Ejercicio 4.2.
1 Deduzca que si
f(x) =
g(x)
h(x)
, (4.6)
entonces
f (x) =
g (x) − h (x)f(x)
h(x)
. (4.7)
2 Sustituya (4.6) en (4.7), y simplifique para obtener,
f (x) =
g (x)h(x) − h (x)g(x)
h2(x)
. (4.8)
54

Ejercicio 4.3.
Deduzca que si f(x) =
√
x, entonces
f (x) =
1
2
√
x
. (4.9)
Sugerencia 4.1.
Recuerde que (
√
x)2
= x, así que puede derivar de manera
implicita, usando regla de la cadena o puede aplicar la regla de
Leibniz en el lado izquierdo de la identidad
f(x)f(x) = x.
55

Ejercicio 4.4.
Supongamos que y = m
√
xn, con n, m ≥ 0 número enteros.
Entonces
ym
= xn
. (4.10)
Derive implicitamente la ecuación (4.10) (respecto de x),
despeje y y deduzca que
y =
n
m
x( n
m
−1)
. (4.11)
Sugerencia 4.2.
Recuerde que x( n
m
)
:= m
√
xn.
56

Observación 4.3.
La fórmula (4.11) nos dice que la fórmula (4.4) también es
válida cuando p es una fracción mayor o igual que cero.
57

Ejercicio 4.5.
Sea
y =
1
xp
,
donde p es una fracción positiva. Entonces
y · xp
= 1.
Derive de manera implicita (usando la regla de Leibniz) la
ecuación anterior y deduzca que
y = (−p)x−p−1
. (4.12)
58

Observación 4.4.
Como
x−p
:=
1
xp
,
la fórmula (4.12) nos dice que (4.4) sigue siendo válido para
los exponente que son fracciones negativas y junto con 4.11,
nos dice que la fórmula 4.4 es válida para cualquier exponente
fraccionario, en particular, para números enteros.
59

Resumimos todos resultados anteriores en el siguiente:
Teorema 4.2.
Sea y = xp
, donde p es cualquier fracción. Entonces
dy
dx
= pxp−1
. (4.13)
60

5 Integración por sustitución
Modelos de ajuste de precio
Problemas aplicados a los negocios y la economía
6 Integracion por partes y por fracciones parciales
Integración por partes
La ecuación logística
Integración por Fracciones parciales
Problemas aplicados a los negocios y la economía
7 Integral definida y el teorema fundamental del cálculo
Integral Definida
Teorema Fundamental del Cálculo
61

Sustitución en una integral definida
Variación total
62

Integración por sustitución
63

Calcule la siguiente integral:
(3x + 5)7
dx.
La primera solución sería expandir e integrar término a
término.
(%i1)
expand((3*x+5)^7);
( %o1) 2187 x7
+ 25515 x6
+ 127575 x5
+ 354375 x4
+
590625 x3
+ 590625 x2
+ 328125 x + 78125
64

Observación 5.1.
La diferencial de u = f(x) es du = f (x)dx.
Hacemos la sustitución (o cambio de variable) u = 3x + 5 de
manera que du = 3dx o de manera equivalente
dx =
1
3
du.
65

(3x + 5)7
dx = u7 1
3
du
=
1
3
1
8
u8
+ C
=
1
24
u8
+ C
=
1
24
(3x + 5)8
+ C
66

Ejercicio 5.1.
Verifique el resultado anterior, derivando. Sugerencia: Utilice la
regla de la cadena.
67

Método 1 (Integración por sustitución de f(x)dx).
1 Escoja una sustitución u = u(x) que simplifique el
integrando f(x)dx.
2 Exprese toda la integral en términos de u y du = u (x)dx.
Esto significa que todos los términos que involucren tanto
x como dx deben transformarse, para involucrar solo u y
du.
3 Al concluir con el paso 2, la integral debe tener la forma
f(x)dx = g(u)du.
De ser posible, evalue esta transformación encontrando
una antiderivada G(u) para g(u).
4 Reemplace u por u(x) para obtener una antiderivada
F(x) = G(u(x)) para f(x) de manera que
68

Ejemplo 5.1.
Encuentre
√
2x + 7dx
69

Ejemplo 5.2.
Encuentre 8x(4x2
− 3)5
dx.
70

Ejemplo 5.3.
Encuentre x3
ex4+2
dx.
71

Ejemplo 5.4.
Encuentre x
x−1
dx.
72

Ejemplo 5.5.
Encuentre 3x+6√
2x2+8x+3
dx.
73

Ejemplo 5.6.
Encuentre (ln x)2
x
dx
74

Ejemplo 5.7.
Encuentre e5x+2
dx.
75

Ejemplo 5.8.
Encuentre x2+3x+5
x+1
dx.
76

Ejemplo 5.9.
Encuentre 1
1+e−x dx.
77

Ejemplo 5.10 (Cuando la sustitución falla).
Encuentre x4
ex4+2
dx.
78

Ejemplo 5.11.
Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
separable
dy
dx
=
√
4 − y2
xy
.
79

Ejemplo 5.12 (Una aplicación que involucra una
sustitución).
Se estima que el precio p en dólares de cada unidad de cierto
bien cambia a una tasa de
dp
dx
=
−135x
√
9 + x2
dónde x (medido en cientos de unidades) es la demanda del
consumidor (el número de unidades adquiridas a este precio).
Supongamos que 400 unidades, es decir, x = 4 son
demandadas cuando el precio es $30 por unidad.
1 Encuentre la función demanda precio p(x).
2 ¿A que precio serán demandadas 300 unidades?
3 ¿Cuantas unidades serán demandadas a un precio de $20
por unidad.
80

Modelos de ajuste de precio
81

Supongamos que S(p) es el número de unidades de cierto
artículo ofrecido en el mercado a un precio p, y D(p) el
número correspondiente de unidades demandas por el mercado
al mismo precio.
El modélo de ajuste de precio de Evans supone que
dp
dt
= k (D − S) ,
donde k > 0.
82

Ejemplo 5.13 (Estudio de ajuste de precio).
Se introduce un producto con precio inicial de $5 por unidad.
La gerente de ventas determina que después de t meses, el
precio estará cambiando a una tasa igual al 2 % de la escasez
D − S, donde la oferta S(p) y la demanda D(p) del producto
(cada una en miles de unidades) está dada por
D = 50 − p, S = 23 + 2p, 0 ≤ p < 9.
1 Plantee y resuelva un problema de valor inicial para el
precio unitario p(t).
2 ¿Qué ingreso debe esperar la gerente a partir de la venta
del producto después de 6 meses?
3 ¿Cuál es el precio de equilibrio pe? Demuestre que p(t) se
aproxima a p en el largo plazo (cuanto t → ∞.)
83

Problemas aplicados a los negocios y la
economía
84

Problema 5.1 (Costo marginal).
En cierta fabrica, el costo marginal es 3(q − 4)2
dólares por
unidad cuando el nivel de producción es q unidades.
1 Exprese el costo total de producción en función de los
gastos indirectos (el costo de producir 0 unidades) y el
número de unidades producidas.
2 ¿Cuál es el costo de producir 14 unidades si el gasto
indicado es $ 436?
85

Problema 5.2 (Ingreso).
El ingreso marginal por la venta de x unidades de cierto
artículo se estima será R (x) = 50 + 3.5xe−0.01x2
dólares por
unidad, donde R(x) es el ingreso en dólares.
Determine R(x), suponiendo que R(0) = 0.
¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?
86

Problema 5.3 (Utilidad marginal).
Una compañia determina que el ingreso marginal por la
producción de x unidades es R (x) = x(5 − x)3
cientos de
dólares por unidad, y el costo marginal correspondiente
C (x) = 5 + 2x cientos de dólares por unidad. ¿En cuánto
cambia la utilidad cuando el nivel de producción se eleva de 1
a 5 unidades?
87

Problema 5.4 (Oferta).
El propietario de una cadena de comida rápida determina que
si se ofertan x miles de unidades de una nueva comida, el
precio marginal a ese nivel de oferta estará dado por
p (x) = x
(x+3)2 dólares por unidad, donde p(x) es el precio por
unidad a la cual todas las x miles de unidades se venderán.
Actualmente se ofertan 5000 unidades a un precio de $2.20
por unidad.
1 Determine la función de oferta p(x)
2 Si se ofertan 10,000 unidades de alimentos a restaurantes
en la cadena, ¿qué precio unitario se deberá cobrar para
que se vendan todas las unidades?
88

Problema 5.5.
Sean S(t) la función de oferta y D(t), la de demanda.
Suponga que el precio cambia a una tasa proporcional a la
escasez D(t) − S(t), con la constante de propocionalidad k
indicada y el precio inicial p0. En cada ejercicio:
(a) Plantee y resuelva la ecuación diferencial para p(t)
(b) Encuentre el precio unitario del artículo cuando t = 4
(c) Determine lo que sucede con el precio cuando t → ∞
1 S(t) = 3 + t; D(t) = 9 − t; k = 0.01; p0 = 1
2 S(t) = 2 + 3p(t); D(t) = 10 − p(t); k = 0.02; p0 = 1
89

Integracion por partes y por
fracciones parciales
90

Integración por partes
91

Proposición 6.1 (Regla del producto).
Si u, v son diferenciables en x
d
dx
(u(x)v(x)) = u(x)
d
dx
v(x) + v(x)
d
dx
u(x)
De manera breve,
(uv) = u v + uv .
92

En forma diferencial, podemos escribir la regla del producto
como:
d (uv) = udv + vdu,
de donde
uv = udv + vdu.
93

Proposición 6.2 (Integración por partes).
udv = uv − vdu (6.1)
94

Ejemplo 6.1.
Calcule
x2
ln(x)dx
95

Método 2 (Integración por partes).
Para calcular f(x)dx :
(a) Escoja u, v de manera que f(x) = udv.
(b) Encuentre du y v = dv
(c) Aplique la fórmula (6.1)
96

Ejemplo 6.2.
Encuentre
xe2x
dx
97

Ejemplo 6.3.
Encuentre
x
√
x + 5dx
Intente el mismo ejercicio por sustitución.
98

Ejemplo 6.4 (Integración por partes doble).
Encuentre
x2
e2x
dx
99

La ecuación logística
100

Una ecuación diferencial de la forma general
dQ
dt
= kQ (M − Q) (6.2)
con k, M contantes se denomina ecuación logística, y l gráfica
de su solución y = Q(t) se denomina curva logística.
101

Ejemplo 6.5 (Propagación de un rumor).
A las 6 a.m., dos ejecutivos contables de una empresa
corredora, escuchan el rumor de que una nueva acción que se
ofrece, se presentará a medio día. El rumor se propaga a través
de 26 ejecutivos de la empresa a la tasa
dN
dt
= 0.025N (26 − N)
donde N(t) es el número de ejecutivos que oyeron el rumor t
horas después de las 6 a.m.
1 Determine N(t)
2 ¿Cuántos ejecutivos no han oído el rumor a mediodía?
102

Integración por Fracciones parciales
103

En esta sección, consideraremos funciones racionales, es decir,
cocientes de polinomio. De hecho, consideraremos sólamente f.
r. propias, es decir aquellas en las que el dividendo es de grado
estrictamente menor que el divisor.
104

Ejemplo 6.6.
2x4
− 3x3
− 4x2
− 17x − 6
x3 − 2x2 − 3x
dx = 2x + 1 +
4x2
− 14x − 6
x3 − 2x2 − 3x
dx
= x2
+ x +
4x2
− 14x − 6
x3 − 2x2 − 3x
dx
105

Ejercicio 6.1.
Compruebe que
1
4x2
− 14x − 6
x3 − 2x2 − 3x
=
2
x
+
3
x + 1
−
1
x − 3
Este desarrollo se conoce como fracciones parciales.
2
4x2
− 14x − 6
x3 − 2x2 − 3x
dx = 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| − ln |x − 3|
106

Ejemplo 6.7.
Determine
2x + 1
3x2 − 27
dx
107

Ejemplo 6.8.
Evalue
6x2
+ 13x + 6
(x + 2)(x + 1)2
dx
108

Determine
−2x − 4
x3 + x2 + x
dx
109

Problemas aplicados a los negocios y la
economía
110

Problema 6.1 (Costo marginal).
Un fabricante encontró que el costo marginal es
(0.1q + 1)e0.02q
dólares por unidad cuando se produjeron q
unidades. El costo total de producir 10 unidades es $200.
¿Cuál es el costo total de producir las primeras 20 unidades?
111

El problema de valor inicial es
C (q) = (0.1q + 1)e0.02q
, C(10) = 200.
cuya solución es
C(q) = e(0.02q)
(5q − 200) + 383.21
de donde obtenemos C(20) = 234.028.
112

Integral definida y el teorema
fundamental del cálculo
113

Integral Definida
114

Definición 7.1 (Área bajo la curva).
Sea f(x) continua y tal que f(x) ≥ 0 sobre el intervalo
a ≤ x ≤ b. Entonces la región bajo la curva y = f(x) en el
intervalo dado tiene área
A = l´ımn→∞
[f(x1) + ... + f(xn)]∆x
donde xj es el punto extremo izquierdo del j−ésimo intervalo,
si el intervalo a ≤ x ≤ b se divide en n partes iguales, cada
una con longitud
∆x =
b − a
n
.
115

Observación 7.1.
En realidad, podemos elegir cualquier punto xj en el j−ésimo
intervalo. Por ejemplo, es común elegir el punto medio, el otro
extremo (derecho), el punto donde la función alcanza el
máximo en el intervalo o el mínimo.
116

Ejemplo 7.1.
Sea R la región bajo la gráfica de f(x) = 2x + 1 sobre el
intervalo 1 ≤ x ≤ 3, como se muestra en la gráfica 7.1.
Cálcule el área como límite de una suma.
117

La región R se muestra en la figura 7.1, (b) aproximada por 6
rectángulos, cada uno de ancho h =
3 − 1
6
≈ 0.33.
Retomaremos los puntos extremos de cada intervalo y sus
valores en la siguiente tabla:
118

En el ejemplo anterior, el error absoluto se calcula como
Errabs = |Aproximación − Valor Exacto| ,
mientras que el error relativo está dado por
Errrel =
Errabs
Valor Exacto
× 100 %
119

Definición 7.2 (Suma de Riemman).
Sea f(x) una función continua en a ≤ x ≤ b. Se divide el
intervalo a ≤ x ≤ b en n partes iguales, cada una con un
ancho
∆x =
b − a
n
=: h,
y se elige un número xk en cada k−ésimo subintervalo, para
k = 1, ..., n. Se plantea la suma de Riemman:
n
i=0
f(xi)∆x = f(x1)h+...+f(xn)h = (f(x1) + ... + f(xn)) h
120

Definición 7.3 (Integral indefinida).
La integral indefinida de f en el intervalo a ≤ x ≤ b, denotada
por
b
a
f(x)dx
es el límite de la suma de Riemman cuando n → ∞ :
b
a
f(x)dx =
n
i=0
f(xi)∆x.
121

La función f(x) recibe el nombre de integrando, y los número
a y b se conocen como límite inferior y superior de integración,
respectivamente. El proceso de cálcular una integral indefinida
se denomina integración indefinida.
122

Definición 7.4 (Área como integral definida).
Si f(x) es continua y f(x) ≥ 0 en el intervalo a ≤ x ≤ b,
entonces la región R bajo la curva y = f(x) intervalo dado
tiene una área
A =
b
a
f(x)dx.
123

Teorema Fundamental del Cálculo
124

Si la función f(x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b,
entonces
b
a
f(x)dx = F(b) − F(a) =: F(x)|b
a
donde F(x) es cualquier antiderivada de f(x) en a ≤ x ≤ b.
125

Ejemplo 7.2.
Utilice el TFC para determinar el área de la región bajo la
recta y = 2x + 1 sobre el intervalo 1 ≤ x ≤ 3
Solución.
A =
3
1
(2x + 1) dx = x2
+ x|3
1
(3)2
+ 3 − (1)2
+ (1) = 10
126

Ejemplo 7.3.
Una parcela de tierra mide 100 pies de ancho y está delimitada
en 3 de sus lados, y por un arroyo en el otro lado del río. Un
agente de bienes raíces determina que se puede establecer un
sistema de coordenadas en el que las calles se representen por
las líneas y = 0, x = 0 y x = 1, y el arroyo por la curva
y = x3
+ 1, dónde x y y se miden en cientos de pies.
Si la tierra en la parcela se avalúa en $12 por pie cuadrado,
¿cual será el valor total de la parcela?
127

Ejemplo 7.4.
Evalúe la integral definida
1
0
e−x
+
√
x dx
129

Ejemplo 7.5.
Evalúe 4
1
1
x
− x2
dx.
130

Proposición 7.1 (Reglas para integrales definidas).
Sean f, g funciones continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b.
Linealidad: Si c1, c2 son cualesquiera dos constantes,
entonces
b
a
c1f(x) + c2g(x)dx = c1
b
a
f(x)dx + c2
b
a
g(x)dx
Regla aditiva: Si c ∈ [a, b], entonces
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
b
c
f(x)dx.
131

Problema 7.1.
A partir de la regla aditiva, deduzca las siguiente propiedades:
a
a f(x)dx = 0,
a
c f(x)dx = − c
a f(x)dx
132

Ejemplo 7.6.
Sean f(x), g(x) funciones continuas en −2 ≤ x ≤ 5 y que
satisfacen
5
−2
f(x)dx = 3,
5
−2
g(x)dx = −4,
5
3
f(x)dx = 7.
Utilice esta información para evaluar cada una de las siguientes
integrales definidas:
5
−2 (2f(x) − 3g(x)) dx
3
−2 f(x)dx
133

Sustitución en una integral definida
134

Proposición 7.2.
b
a
f(g(x)) · g (x)dx =
g(b)
g(a)
f(u)du,
donde u = g(x), du = g (x)dx.
135

Ejemplo 7.7.
Cálcule 1
0
8x(x2
+ 1)3
dx
Ejemplo 7.8.
Evalúe
2
1/4
ln(x)
x
dx
136

Variación total
137

Definición 7.5.
Si Q (x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b, entonces la
variación total de Q(x) cuando varía de x = a a x = b está
dada por
Q(b) − Q(a) =
b
a
Q (x)dx.
138

Ejemplo 7.9 (Determinación de la variación total en el
costo).
En cierta fábrica, el costo marginal es 3(q − 4)2
dólares por
unidad cuando el nivel de producción es de q unidades. ¿En
cuanto se incrementará el costo total de manufactura si el
nivel de producción se aumenta de 6 a 10 unidades?
139

8 Aplicaciones de la Integral Definida
Área entre curvas
Exceso Neto de Utilidad
Curvas de Lorenz
Valor promedio de una función
9 Aplicaciones adicionales
Determinación del valor futuro de una anualidad
Disposición a gastar y curva de excedente de los
consumidores
140

Aplicaciones de la Integral
Definida
141

Definida
Área entre curvas
142

Definición 8.1.
Si f(x) y g(x) son continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b, y
f(x) ≥ g(x) en este intervalo entonces el área A entre las
curvas y = f(x) y y = g(x) en este intervalo está dada por
A =
b
a
(f(x) − g(x)) dx
143

Ejemplo 8.1.
Determine el área de la región R acotada por las curvas
y = −x2
+ 1 y x2
− 1.
144

Ejemplo 8.2.
y = x3
y x2
.
145

Ejemplo 8.3.
y = 4x y x3
+ 3x2
.
146

Ejercicio 8.1.
En los siguientes ejercicios, grafique la región R, delimitadas
por las curvas indicadas y después determine su área.
1 y = x, y = −x y la recta x = 1.
2 el eje x y y = −x2
+ 4x − 3.
3 el eje x y y = x2
− 2x.
4 y = x2
− 2x y y = −x2
+ 4.
5 y = x3
− 3x2
y x2
+ 5x.
147

Definida
Exceso Neto de Utilidad
148

Suponga que dentro de t años, dos planes de inversión
generarán utilidades P1(t) y P2(t), respectivamente, y que se
espera que las tasas de rentabilidad respectivas, P1(t) y P2(t)
satisfagan P2(t) ≤ P1(t) durante los próximos N años, es
decir, en el intervalo 0 ≤ t ≤ N.
149

Entonces
E(t) = P2(t) − P1(t)
representa el exceo de utilidad del plan 2 sobre el plan 1 en el
tiempo t, y el exceso neto de utilidad
NE = E(N) − E(0)
en el intervalo 0 ≤ t ≤ N esta dado por la integral:
NE =
N
0
E (t)dt =
N
0
(P2(t) − P1(t)) dt.
150

Figura 8.1: Exceso neto de utilidad como el área entre curvas de
las tasas de rentabilidad.
151

Suponga que dentro de t años, uan inversión generará
utilidades a una tasa
P1(t) = 50 + t2
cientos de dólares por año, en tanto que una segunda inversión
generará utilidadea una tasa de P2(t) = 200 + 5t ciento de
dólares por año.
1 ¿Durante cuántos años sobrepasa la tasa de rentabilidad
de la segunda inversión a la primera?
2 Calcule el exceso neto de utilidad para el periodo
determinado en el inciso (a). Interprete el exceso neto de
utilidad como un área.
152

Definida
Curvas de Lorenz
154

Definición 8.2.
La curva de Lorenz de la economía de una sociedad particular
es la gráfica de la función L(x), que denota la fracción del
ingreso nacional anual total recibido por el x100 % de menor
salario del total de trabajadores asalariados en la sociedad,
para 0 ≤ x ≤ 1.
155

Por ejemplo, si el 30 % = 0.030 de menor salario de todos los
trabajadores recibe el 23 % = 0.23 del ingreso total de la
sociedad, entonces
L(.0.30) = 0.23.
156

Observe que L(x) es una función en 0 ≤ x ≤ 1 que tiene las
siguiente propiedades:
1 L(x) es una función creciente;
2 0 ≤ L(x) ≤ 1;
3 L(0) = 0;
4 L(1) = 1;
5 L(x) ≤ x.
157

Figura 8.2: Curva de Lorenz y = L(x) y su índice de Gini
158

El índice de Gini GI, también llamado índice de desigualdad
del ingreso, se puede calcular mediante la fórmula
GI =
1
0 (x − L(x)) dx
1
0 xdx
=
1
0 (x − L(x)) dx
1
2
,
es decir,
GI = 2
1
0
(x − L(x)) dx.
159

Ejemplo 8.4.
Una agencia gubernamental determina que las curvas de
Lorenz para la distribución del ingreso para odontólogos y
contratistas en cierto estado están dadas por las funciones
L1(x) = x1.7
, L2(x) = 0.8x2
+ 0.2x,
respectivamente. ¿Para cuál profesión es más justa la
distribución del ingreso?.
161

Definida
Valor promedio de una función
162

Definición 8.3 (Valor promedio de una función).
Sea f(x) una función que es continua en el intervalo
a ≤ x ≤ b. Entonces el valor promedio V de f(x) en
a ≤ x ≤ b está dado por la integral definida
V =
1
b − a
b
a
f(x)dx
163

Ejemplo 8.5.
Un fabricante determina que t meses después de introducir un
producto nuevo, las ventas de la compañía serán S(t) miles de
dólares, dónde
S(t) =
750t
√
4t2 + 25
¿Cuál es el promedio de las ventas mensuales de la compañía
en los primero 6 meses después de la introducción del
producto nuevo?
164

Ejemplo 8.6.
Como parte de una investigación, se modela la temperatura T
(en ◦
C) en cierta ciudad del norte durante el periodo de 6
A.M. a 6 P.M. mediante la función
T(t) = 3 −
1
3
(t − 4)2
,
para 0 ≤ t ≤ 12, donde t es el número de horas después de las
6 A.M.
1 ¿Cuál es la temperatura promedio en la ciudad durante
las horas de trabajo, de 8 A.M. a 5 P.M.?
2 ¿En qué momento durante el día de trabajo se debe
esperar que la temperatura sea mayor o igual a la
temperatura promedio que se obtuvo en el inciso (a)?
165

Proposición 8.1 (Interpretación de la tasa del valor
promedio).
El valor promedio de una función f(x) en un intervalo
a ≤ x ≤ b, dónde f(x) es continua, es el mismo que la tasa de
cambio promedio de cualquier antiderivada F(x) de f(x) en el
mismo intervalo.
166

Aplicaciones adicionales
Determinación del valor futuro de una
anualidad
168

Se tranfiere dinero a una cuenta, a una tasa constante de
$1200 dólares por año. La cuenta gana intereses a una tasa
anual de 8 % capitalizada continuamente. ¿Cuánto habrá en la
cuenta al cabo de dos años?
169

Observación 9.1.
P0 dólares invertidos a una tasa anual r y capitalizados
continuamente valdrán
P(t) = P0ert
,
después de t años.
170

Figura 9.1: Valor futuro (aproximado) del dinero depositado
durante el j-ésimo subintervalo.
171

Dinéro depositado
(dólares por año) (número de años) = 1200∆t
VF del deposito en el j-ésimo intervalo
1200e0.08(2−tj)
∆t
VF de flujos de ingresos (aprox.)
n
j=1
1200e0.08(2−tj)
∆t
VF del flujo de ingresos
2
0
1200e0.08(2−t)
dt
172

Definición 9.1 (Valor futuro de un flujo de ingresos).
Suponga que se transfiere dinero continuamente a una cuenta
durante un periodo 0 ≤ t ≤ T, a una tasa dada por la función
f(t), y que la cuenta gana interés a una tasa anual r,
capitalizada continuamente. Entonces el valor futuro V F del
flujo de ingresos después de T años está dado por la integral
definida
V F =
T
0
f(t)er(T−t)
dt = erT
T
0
f(t)e−rt
dt.
173

El valor presente de un flujo de ingresos generados a una tasa
continua f(t), durante un plazo especifico de T años, es la
cantidad de dinero V P que se debe depositar hoy, a la tasa de
interés prevaleciente, para generar el mismo ingreso que el
flujo de ingresos durante el mismo periodo de T años:
V P erT
= erT
T
0
f(t)e−rt
dt.
174

Definición 9.2.
Con las mismas condiciones de la definición anterior, diremos
que el valor presente está dado por
V P =
T
0
f(t)e−rt
dt.
175

Ejemplo 9.1.
Una persona trata de decidir entre dos inversiones. La primera
cuesta $9000 y se espera que genere un flujo de ingresos
continuo a una tasa de
f1(t) = 3000e0.03t
dólares por año. La segunda inversión es una anualidad que
cuesta $12000 para comprar y generar ingreso a una tasa
constante de f2(t) = 4000 dólares por año. Si la tasa anual
permanece fija a 5 % capitalizada continuamente durante los
próximos 5 años, ¿cuál inversión generá más ingreso neto
durante este periodo?
176

Aplicaciones adicionales
Disposición a gastar y curva de
excedente de los consumidores
177

Definición 9.3.
La disposición a gastar (total) del consumidor hasta q0
unidades de una mercancía está dada por
WS =
q0
0
D(q)dq
donde p = D(q) es la función de demanda del artículo.
Geométricamente, ésta es el área bajo la curva de demanda
sobre el intervalo 0 ≤ q ≤ q0.
179

El gerente de una granja determina que q toneladas de grano
se venderán cuando el precio sea p(q) = 10 (20 − q2
) dólares
por tonelada. Encuentre el número total de compradores
dispuestos a gastar hasta 3 toneladas de grano.
180

[Excedente del consumidor] = [Cantidad total que
los consumidores están dispuestos a gastar] -
[Gasto real del consumidor por q0 unidades].
181

Definición 9.4 (Excedente del consumidor).
Si q0 unidades de un artículo se venden a un precio de p0 por
unidad y si p = D(q) es la función de demsnda del consumidor
para un artículo, entonces el excedente del consumidor EC
está dado por
EC =
q0
0
D(q)dq − p0q0.
182

Definición 9.5 (Excedente del productor).
Si q0 unidades de un artículo se vende a un precio de p0 dólares
por unidad y p = S(q) es la función de oferta del artículo,
entonces el excedente del productor EP está dado por
EP = p0q0 −
q0
0
S(q)dq
183

Ejemplo 9.2.
Un fabricante de neumáticos estima que los mayoristas
comprarán (demandarán) q miles de neumáticos radiales
cuando el precio sea
p = D(q) = −0.1q2
+ 90 dólares por neumático,,
y el mismo número de neumáticos se ofertará cuando el precio
sea
p = S(q) = 0.2q2
+ q + 50 dólares por neumático.
Determine el precio de equilibrio, así como la cantidad
ofertada y demandada a ese precio.
Determine el excendente de los consumidores y el de los
productores en el precio de equilibrio. 184

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