Estas notas presentan una introducción informal a las sumas de Riemann, diferentes métodos para calcularlas y una introducción al uso del sistema algebraico de computo SageMath para su estudio.

1. BREV´ISIMA INTRODUCCI ´ON A LAS SUMAS DE RIEMANN
M. C. JULIHO CASTILLO
Condiciones Generales
A menos que se indique de otra manera, en toda esta gu´ıa vamos a suponer que
f(x) es una funci´on continua en un intervalo [a, b] y diferenciable en (a, b).
1. Sumas de Riemann
Para calcular el ´area bajo la curva
b
a
f(x)dx
de una funci´on f(x) en un intervalo dado [a, b], se utilizan las llamadas sumas de Riem-
man. Como hemos visto en clase, para una una paritici´on dada podemos utilizar el
siguiente algoritmo para calcular dicha suma
Algoritmo 1 (Sumas de Riemann). 1. Fijamos una partici´on del intervalo [a, b]
(P) a = x0 < x1 < x2 < ... < xN = b;
2. escogemos un punto de muestra ξk en el k−´esimo subintervalo Ik = [xk−1, xk],
3. calculamos el ´area aproximada bajo la curva
Ak = f(ξk)δkx
en el intervalo Ik (aqu´ı δkx = xk − xk−1)
4. sumamos todas est ´as ´areas aproximadas:
(Suma de Riemann)
N
k=1
f(ξk)δkx.
El punto de muestra se puede escoger de formas diferentes:
M´etodos para k = 1, 2, ..., N
Extremo Izquierdo ξk = xk−1
Punto Medio ξk =
xk−1 + xk
2
Extremo derecho ξk = xk
Soluci´on.
Ejercicio Resuelto 1.1. Aproxime el ´area bajo la curva de f(x) = 16x2
− 96x + 145 en el
intervalo [0, 5] utilizando la partici´on
P : x0 = 0 < x1 = 3 < x2 = 3.5 < x3 = 4 < x4 = 5
con los m´etodos de (i) el extremo izquierdo, (ii) el punto medio y (iii) el extremo derecho.
1

2. 2 M. C. JULIHO CASTILLO
Figura 1. f(x) = 16x2
− 96x + 145
Soluci´on.
k Intervalo Ik ξk Ext. Izquierdo f(ξk) δkx Ak = f(ξk)δkx
1 [0.0,3.0] 0.0 145.0 3.0 435.0
2 [3.0,3.5] 3.0 1.0 0.5 0.5
3 [3.5,4.0] 3.5 5.0 0.5 2.5
4 [4.0,5.0] 4.0 17.0 1.0 17.0
Suma de Riemman: 455.0
k Intervalo Ik ξk Punto Medio f(ξk) δkx Ak = f(ξk)δkx
1 [0.0,3.0] 1.5 37.0 3.0 111.0
2 [3.0,3.5] 3.25 2.0 0.5 1.0
3 [3.5,4.0] 3.75 10.0 0.5 5.0
4 [4.0,5.0] 4.5 37.0 1.0 37.0
Suma de Riemman: 154.0
k Intervalo Ik ξk Ext. Derecho f(ξk) δkx Ak = f(ξk)δkx
1 [0.0,3.0] 3.0 1.0 3.0 3.0
2 [3.0,3.5] 3.5 5.0 0.5 2.5
3 [3.5,4.0] 4.0 17.0 0.5 8.5
4 [4.0,5.0] 5.0 65.0 1.0 65.0
Suma de Riemman: 79.0
Ejercicio de Repaso 1. Aproxime el ´area bajo la curva de f(x) = −9x2
+ 90x − 221
en el intervalo [3, 6] utilizando la partici´on
P : 3 < 3.75 < 4.5 < 5.8 < 6
con los m´etodos de (i) el extremo izquierdo, (ii) el punto medio y (iii) el extremo derecho.

3. BREV´ISIMA INTRODUCCI ´ON A LAS SUMAS DE RIEMANN 3
Ejercicio de Repaso 2. Aproxime el ´area bajo la curva de f(x) =
√
2 − 3x en el
intervalo [0, 2
3 ] utilizando la partici´on
P : 0 <
1
4
<
1
2
<
2
3
con los m´etodos de (i) el extremo izquierdo, (ii) el punto medio y (iii) el extremo derecho.
2. M´etodos con paso fijo
Si bien, las particiones de [a, b] pueden construirse con n ´umeros arbitrarios en este
intervalo, para tener un control sistem´atico sobre nuestras sumas de Riemann es divir
el intervalo en subintervalos de la misma longitus.
Supongamos que queremos dividir nuestro intervalo en N subintervalos de la misma
longitud. Entonces fijamos el tama˜no de nuestro paso:
h =
b − a
N
,
y contruimos nuestra partici´on con la f´ormula
xk = x0 + k · h, k = 1, 2, ..., N.
Observe que con este procedimiento obtenemos N + 1 puntos, que formar´an los extre-
mos de N subintervalos
[xk−1, xk], k = 1, 2, ..., N,
todos con la misma longitud h.
De la misma manera que con una partici´on arbitraria, tenemos varias opciones para
escoger el punto de muestra ξk, pero con f´ormulas simplificadas
M´etodos para k = 1, 2, ..., N
Extremo Izquierdo ξk = x0 + (k − 1) · h
Punto Medio ξk = x0 + (k − 1
2 ) · h
Extremo derecho ξk = x0 + k · h
Ejercicio Resuelto 2.1. Aproxime el ´area bajo la curva de f(x) = 16x2
− 96x + 145 en el
intervalo [0, 5] dividido en 10 subintervalos del mismo tama˜no, con los m´etodos de (i) el
extremo izquierdo, (ii) el punto medio y (iii) el extremo derecho.
Soluci´on. En este caso
h =
5 − 0
10
= 0.5
k Intervalo Ik ξk Ext. Izquierdo f(ξk) δkx Ak = f(ξk)δkx
1 [0.0,0.5] 0.0 145.0 0.5 72.5
2 [0.5,1.0] 0.5 101.0 0.5 50.5
3 [1.0,1.5] 1.0 65.0 0.5 32.5
4 [1.5,2.0] 1.5 37.0 0.5 18.5
5 [2.0,2.5] 2.0 17.0 0.5 8.5
6 [2.5,3.0] 2.5 5.0 0.5 2.5
7 [3.0,3.5] 3.0 1.0 0.5 0.5
8 [3.5,4.0] 3.5 5.0 0.5 2.5
9 [4.0,4.5] 4.0 17.0 0.5 8.5
10 [4.5,5.0] 4.5 37.0 0.5 18.5
Suma de Riemman: 215.0

4. 4 M. C. JULIHO CASTILLO
k Intervalo Ik ξk Punto Medio f(ξk) δkx Ak = f(ξk)δkx
1 [0.0,0.5] 0.25 122.0 0.5 61.0
2 [0.5,1.0] 0.75 82.0 0.5 41.0
3 [1.0,1.5] 1.25 50.0 0.5 25.0
4 [1.5,2.0] 1.75 26.0 0.5 13.0
5 [2.0,2.5] 2.25 10.0 0.5 5.0
6 [2.5,3.0] 2.75 2.0 0.5 1.0
7 [3.0,3.5] 3.25 2.0 0.5 1.0
8 [3.5,4.0] 3.75 10.0 0.5 5.0
9 [4.0,4.5] 4.25 26.0 0.5 13.0
10 [4.5,5.0] 4.75 50.0 0.5 25.0
Suma de Riemman: 190.0
k Intervalo Ik ξk Ext. Derecho f(ξk) δkx Ak = f(ξk)δkx
1 [0.0,0.5] 0.5 101.0 0.5 50.5
2 [0.5,1.0] 1.0 65.0 0.5 32.5
3 [1.0,1.5] 1.5 37.0 0.5 18.5
4 [1.5,2.0] 2.0 17.0 0.5 8.5
5 [2.0,2.5] 2.5 5.0 0.5 2.5
6 [2.5,3.0] 3.0 1.0 0.5 0.5
7 [3.0,3.5] 3.5 5.0 0.5 2.5
8 [3.5,4.0] 4.0 17.0 0.5 8.5
9 [4.0,4.5] 4.5 37.0 0.5 18.5
10 [4.5,5.0] 5.0 65.0 0.5 32.5
Suma de Riemman: 175.0
Observaci´on 1. Por el teorema fundamental del c ´alculo
5
0
16x2
− 96x + 145 dx ≈ 191.6667,
de manera que si escogemos N muy grande, es decir N → ∞, nuestra aproximaci´on
es mucho mejor. Lo cual motiva la definici´on del ´area bajo la curva o integral definida
de f en [a, b]
(Integral Definida)
b
a
f(x) = l´ım
N→∞
(Suma de Riemann)
Ejercicio de Repaso 3. Aproxime el ´area bajo la curva de f(x) = −9x2
+ 90x − 221
en el intervalo [3, 6], dividido en 10 subtervalos del mismo tama˜no, con los m´etodos
de (i) el extremo izquierdo, (ii) el punto medio y (iii) el extremo derecho.
Ejercicio de Repaso 4. Aproxime el ´area bajo la curva de f(x) =
√
2 − 3x en el
intervalo [0, 2
3 ], dividido en 10 subtervalos del mismo tama˜no, con los m´etodos de (i)
el extremo izquierdo, (ii) el punto medio y (iii) el extremo derecho.

5. BREV´ISIMA INTRODUCCI ´ON A LAS SUMAS DE RIEMANN 5
3. Funciones crecientes y decrecientes
La funci´on f(x) es creciente en un subintervalo Ik = [xk−1, xk] si para cada par de
puntos ξ1, ξ2 de Ik, tales que ξ1 < ξ2, entonces f(ξ1) < f (ξ2) .
Una manera sencilla de verificar que f(x) es creciente en Ik es comprobar que su
derivada f (x) es siempre positiva en dicho intervalo.
Figura 2. f(x) = 9x2
− 18x − 16
Ejemplo 3.1. La funci´on f(x) = 9x2
−18x−16 es creciente si x > 1 porque f (x) = 18x−18
es positiva si x > 1 :
x > 1 ⇐⇒ x − 1 > 0
⇐⇒ 18(x − 1) > 0
⇐⇒ 18x − 18 > 0.
Figura 3. f(x) = −9x2
− 36x − 32
Ejemplo 3.2. La funci´on f(x) = −9x2
− 36x − 32 es creciente si x > −2 porque f (x) =
−18x − 36 es positiva si x > −2 :
x > −2 ⇐⇒ x + 2 > 0
⇐⇒ −18(x + 2) < 0
⇐⇒ −18x − 36 < 0.

6. 6 M. C. JULIHO CASTILLO
De manera similar, f(x) es decreciente en un subintervalo Ik = [xk−1, xk] si para cada
par de puntos ξ1, ξ2 de Ik, tales que ξ1 < ξ2, entonces f(ξ1) > f (ξ2) .
Una manera sencilla de verificar que f(x) es decreciente en Ik es comprobar que su
derivada f (x) es siempre negativa en dicho intervalo.
Ejemplo 3.3. La funci´on f(x) = 9x2
− 18x − 16 es decreciente si x > 1 porque f (x) =
18x − 18 es positiva si x < 1 :
x < 1 ⇐⇒ x − 1 < 0
⇐⇒ 18(x − 1) < 0
⇐⇒ 18x − 18 < 0.
Ejemplo 3.4. La funci´on f(x) = −9x2
− 36x − 32 es decreciente si x > −2 porque f (x) =
−18x − 36 es positiva si x < −2 :
x < −2 ⇐⇒ x + 2 < 0
⇐⇒ −18(x + 2) > 0
⇐⇒ −18x − 36 > 0.
En general, una funci´on cuadr´atica f(x) = ax2
+ bx + c, a > 0 es creciente si x > h y
decreciente si x < h, donde h es el punto cr´ıtico de f(x).
Recordemos que h es punto cr´ıtico de f(x) si f (h) = 0. En este caso, como f (x) =
2ax + b
f (h) = 0 → 2ah + b = 0
→ h = −
b
2a
.
De manera similar, una funci´on cuadr´atica f(x) = ax2
+ bx + c, a < 0 es decreciente
si x > h y creciente si x < h, donde h es el punto cr´ıtico de f(x).
Ejercicio Resuelto 3.1. Determine en que intervalos es la funci´on f(x) = 16x2
−96x+145
es creciente o decreciente.
Primero, determinamos el punto cr´ıtico. La derivada de f(x) es f (x) = 32x − 96.
Entonces
f (h) = 0 → 3h − 96 = 0
→ h = 3.
Ahora bien, como el coeficiente l´ıder de f(x) es a = 16 > 0, entonces f(x) es decreciente
si x < 3 (es decir, en (−∞, 3]) y es creciente si x > 3 (es decir, en [3, ∞))
Ejercicio Resuelto 3.2. Determine en que intervalos es la funci´on f(x) = −9x2
+90x−221
es creciente o decreciente.
Soluci´on. Primero, determinamos el punto cr´ıtico. La derivada de f(x) es f (x) = −18x+
90. Entonces
f (h) = 0 → −18h + 90 = 0
→ h = 5.
Ahora bien, como el coeficiente l´ıder de f(x) es a = −9 < 0, entonces f(x) es creciente
si x < 5 (es decir, en (−∞, 5]) y es decreciente si x > 5 (es decir, en [5, ∞))
Ejercicio Resuelto 3.3. Determine cuando la funci´on f(x) =
√
2x − 1 es creciente o
decreciente.

7. BREV´ISIMA INTRODUCCI ´ON A LAS SUMAS DE RIEMANN 7
Figura 4. f(x) = −9x2
+ 90x − 221
Figura 5. f(x) =
√
2x − 1
Soluci´on. Primero observemos que el dominio de la funci´on es [1
2 , ∞) porque s´olo tiene
sentido evaluar en f(x) si 2x − 1 ≥ 0, es decir, si x ≥ 1
2 .
Despu´es, al calcular la derivada obtenemos
f (x) =
1
√
2x − 1
,
cuyo dominio es (1
2 , ∞), por razones similares (excluimos x = 1
2 porque en ese caso el
denominador ser´ıa 0). Observe que f (x) siempre ser´a positiva en su dominio y por lo
tanto f(x) siempre sera creciente en (
1
2
, ∞).
Como f(0) =
√
0 = 0 ≥
√
x = f(x) para toda x ∈ [1
2 , ∞), concluimos que f(x) es una
funci´on creciente en su dominio.
Ejercicio de Repaso 5. Determine cuando
f(x) =
√
2 − 3x
es creciento o decreciente.

8. 8 M. C. JULIHO CASTILLO
4. Optimizaci ´on en compactos
En un curso de c´alculo diferencial, se aprende a calcular m´aximos y m´ınimos de una
funci´on. En general, con los criterios de la primera y segunda derivada s´olo podemos
encontrar m´aximos y m´ınimos locales, es decir, puede ser que s´olo lo sean en cierto
intervalo, pero no para todo el dominio de la funci´on.
Sin embargo, si consideramos funciones restringidas a intervalos compactos
[a, b], a, b ∈ R,
entonces podemos usar el siguiente algoritmo para optimizar la funci´on, es decir, en-
contrar los m´aximos y m´ınimos en todo ese intervalo.
Algoritmo 2 (Optimizaci´on en compactos). Sea f(x) una funci´on continua en [a, b]
y diferenciable en (a, b).
1. Encuentre los puntos cr´ıticos de f en (a, b), es decir, todos los puntos c tales
que a < c < b y f (c) = 0;
2. Evalue en f(x) los extremos a y b del intervalo y cada punto cr´ıticos obtenido
en el paso anterior y ordene estos valores de menor a mayor.
3. El menor valor m de esta lista es el valor m´ınimo de f en todo el intervalo [a, b].
4. De manera similar, el mayor valor M de esta lista es el valor m ´aximo de f en
todo el intervalo [a, b].
Ejercicio Resuelto 4.1. Encuentre el valor m ´aximo y el m´ınimo de la funci´on
f(x) = x3
− 3x2
+ 1
en el intervalo [−1
2 , 4].
Demostraci´on. 1. Calculamos la derivada f (x) = 3x2
− 6x y resolvemos la ecuaci´on
del punto cr´ıtico f (c) = 0, es decir,
3c2
− 6c = 0.
Las soluciones son c1 = 0 y c2 = 2.
2. Evaluamos f en los extremos y los puntos cr´ıticos
x f(x)
−1
2
1
8
0 1
2 17
4 −3
y ordenamos los valor de f(x) enlistados en la segunda columna
−3 <
1
8
< 1 < 17.
3. Por tanto, el valor m´ınimo m de f(x) en [−1
2 , 4] es m = −3. De hecho, este m´ınimo
se alcanza en x = 4.
4. De manera similar, el valor m´ınimo M de f(x) en [−1
2 , 4] es M = 17. De hecho,
este m´ınimo se alcanza en x = 2.
Ejercicio de Repaso 6. Optimice la funci´on f(x) = −9x2
+ 90x − 221 en cada uno de
los siguientes intervalos:

9. BREV´ISIMA INTRODUCCI ´ON A LAS SUMAS DE RIEMANN 9
Figura 6. Suma superior de f(x) = 16x2
− 96x + 145
1. [4.5, 4.8]
2. [4.8, 5.1]
3. [5.1, 5.4]
Observaci´on 2. Como pudo observar en el ejercicio de repaso anterior, bajo las
condiciones generales, si una funci´on f(x) es creciente en el intervalo [a, b] entonces
su valor m´ınimo es f(a) y su valor m ´aximo es f(b).
De manera similar, si una funci´on f(x) es decreciente en el intervalo [a, b] entonces
su valor m´ınimo es f(b) y su valor m ´aximo es f(a).
5. Sumas superiores
Si al calcular una (Suma de Riemann) de f(x) en [a, b], utilizando una partici´on
a = x0 < x1 < x2 < ... < xN = b,
escogemos el punto de muestra ξk del intervalo [xk−1, xk+1] de tal forma que f(ξk) sea
el valor m´aximo en dicho intervalo, entonces diremos que es la suma superior (de
Riemann) de f(x) (para la partici´on dada).
En general, no es tan f´acil maximizar una funci´on f(x) en un intervalo
Ik = [xk−1, xk], k = 1, 2, ..., N.
Para esto tendremos que utilizar el algoritmo 2 (optimizaci´on en compactos) en cada
uno de los subintervalos Ik.
Sin embargo, por la observaci´on 2, podemos simplificar el procedimiento de la si-
guiente manera:
Observaci´on 3. 1. Si f(x) es creciente en [xk−1, xk], su valor m ´aximo es f(xk) y
se alcanza en el extremo derecho xk.
2. Si f(x) es decreciente en [xk−1, xk], su valor m ´aximo es f(xk−1) y se alcanza
en el extremo izquierdo xk−1.
Ejercicio Resuelto 5.1. Encuentre la suma superior de f(x) = 16x2
− 96x + 145 en [0, 5],
divido en 10 subintervalos del mismo tama˜no.

10. 10 M. C. JULIHO CASTILLO
Soluci´on. Por el ejercicio resuelto 3.1, f(x) es decreciente si x < 3 y creciente si x > 3.
Por lo tanto, en los subintervalos
[0, 0.5], [0.5, 1], ..., [2.5, 3]
la funci´on f(x) es decreciente y su m´aximo se alcanza en cada extremo izquierdo.
Por el contrario, en los subintervalos
[3.0, 3.5], [3.5, 4], ..., [4.5, 5]
la funci´on f(x) es creciente y su m´aximo se alcanza en cada extremo derecho.
k Intervalo Ik ξk Suma superior f(ξk) δkx Ak = f(ξk)δkx
1 [0.0,0.5] 0.0 145.0 0.5 72.5
2 [0.5,1.0] 0.5 101.0 0.5 50.5
3 [1.0,1.5] 1.0 65.0 0.5 32.5
4 [1.5,2.0] 1.5 37.0 0.5 18.5
5 [2.0,2.5] 2.0 17.0 0.5 8.5
6 [2.5,3.0] 2.5 5.0 0.5 2.5
7 [3.0,3.5] 3.5 5.0 0.5 2.5
8 [3.5,4.0] 4.0 17.0 0.5 8.5
9 [4.0,4.5] 4.5 37.0 0.5 18.5
10 [4.5,5.0] 5.0 65.0 0.5 32.5
Suma de Riemman: 247.0
Ejercicio Resuelto 5.2. Encuentre la suma superior de f(x) = −9x2
+ 90x − 221 en [3, 6],
dividido en 10 subintervalos del mismo tama˜no.
Soluci´on. Por el ejercicio de repaso 3, la funci´on es creciente si x < 5 y decreciente si
x > 5. Entonces en los subintervalos
[3.0, 3.3], [3.3, 3.6], .., [4.5, 4.8]
el m´aximo se alcanzar´a en cada extremo derecho. De manera similar, en los subinter-
valos
[5.1, 5.4], [5.4, 5.7], [5.7, 6.0]
el m´aximo se alcanzar´a en cada extremo izquierdo.
Sin embargo, en el intervalo [4.8, 5.1] la funci´on cambia de concavidad, es decir, en
algunos puntos es creciente y en otros decreciente. Aqu´ı tendremos que usar el algo-
ritmo 2 (optimizaci´on en compacto) para encontrar el m´aximo en dicho intervalo, pero
ya lo hemos hecho en el ejercicio de repaso 6, inciso (2).

11. BREV´ISIMA INTRODUCCI ´ON A LAS SUMAS DE RIEMANN 11
Figura 7. Suma superior de f(x) = −9x2
+ 90x − 221
k Intervalo Ik ξk Suma superior f(ξk) δkx Ak = f(ξk)δkx
1 [3.0,3.3] 3.3 −22.01 0.3 −6.603
2 [3.3,3.6] 3.6 −13.64 0.3 −4.092
3 [3.6,3.9] 3.9 −6.89 0.3 −2.067
4 [3.9,4.2] 4.2 −1.76 0.3 −0.528
5 [4.2,4.5] 4.5 1.75 0.3 0.525
6 [4.5,4.8] 4.8 3.64 0.3 1.092
7 [4.8,5.1] 5.0 4.0 0.3 1.2
8 [5.1,5.4] 5.1 3.91 0.3 1.173
9 [5.4,5.7] 5.4 2.56 0.3 0.768
10 [5.7,6.0] 5.7 −0.41 0.3 −0.123
Suma de Riemman: -8.655
6. Sumas inferiores
De manera similar a las sumas superiores, si al calcular una (Suma de Riemann)
de f(x) en [a, b], utilizando una partici´on
a = x0 < x1 < x2 < ... < xN = b,
escogemos el punto de muestra ξk del intervalo [xk−1, xk+1] de tal forma que f(ξk) sea el
valor m´ınimo en dicho intervalo, entonces diremos que es la suma inferior (de Riemann)
de f(x) (para la partici´on dada).
Para minimizar la funci´on f(x) en un subintervalo
Ik = [xk−1, xk], k = 1, 2, ..., N,
tendremos que utilizar el algoritmo 2 (optimizaci´on en compactos) en cada uno de los
subintervalos Ik.
Sin embargo, por la observaci´on 2, podemos simplificar el procedimiento de la si-
guiente manera:
Observaci´on 4. 1. Si f(x) es decreciente en [xk−1, xk], su valor m´ınimo es f(xk)
y se alcanza en el extremo derecho xk.
2. Si f(x) es creciente en [xk−1, xk], su valor m´ınimo es f(xk−1) y se alcanza en
el extremo izquierdo xk−1.

12. 12 M. C. JULIHO CASTILLO
Figura 8. Suma inferior de f(x) = 16x2
− 96x + 145
Ejercicio Resuelto 6.1. Encuentre la suma inferior de f(x) = 16x2
− 96x + 145 en [0, 5],
divido en 10 subintervalos del mismo tama˜no.
Soluci´on. Por el ejercicio resuelto 3.1, f(x) es decreciente si x < 3 y creciente si x > 3.
Por lo tanto, en los subintervalos
[0, 0.5], [0.5, 1], ..., [2.5, 3]
la funci´on f(x) es decreciente y su m´ınimo se alcanza en cada extremo derecho.
Por el contrario, en los subintervalos
[3.0, 3.5], [3.5, 4], ..., [4.5, 5]
la funci´on f(x) es creciente y su m´ınimo se alcanza en cada extremo izquierdo.
k Intervalo Ik ξk Suma inferior f(ξk) δkx Ak = f(ξk)δkx
1 [0.0,0.5] 0.5 101.0 0.5 50.5
2 [0.5,1.0] 1.0 65.0 0.5 32.5
3 [1.0,1.5] 1.5 37.0 0.5 18.5
4 [1.5,2.0] 2.0 17.0 0.5 8.5
5 [2.0,2.5] 2.5 5.0 0.5 2.5
6 [2.5,3.0] 3.0 1.0 0.5 0.5
7 [3.0,3.5] 3.0 1.0 0.5 0.5
8 [3.5,4.0] 3.5 5.0 0.5 2.5
9 [4.0,4.5] 4.0 17.0 0.5 8.5
10 [4.5,5.0] 4.5 37.0 0.5 18.5
Suma de Riemman: 143.0
Ejercicio Resuelto 6.2. Encuentre la suma inferior de f(x) = −9x2
+ 90x − 221 en [3, 6],
dividido en 10 subintervalos del mismo tama˜no.
Soluci´on. Por el ejercicio de repaso 3, la funci´on es creciente si x < 5 y decreciente si
x > 5. Entonces en los subintervalos
[3.0, 3.3], [3.3, 3.6], .., [4.5, 4.8]

13. BREV´ISIMA INTRODUCCI ´ON A LAS SUMAS DE RIEMANN 13
Figura 9. Suma inferior de f(x) = −9x2
+ 90x − 221
el m´ınimo se alcanzar´a en cada extremo izquierdo. De manera similar, en los subinter-
valos
[5.1, 5.4], [5.4, 5.7], [5.7, 6.0]
el m´ınimo se alcanzar´a en cada extremo derecho.
Sin embargo, en el intervalo [4.8, 5.1] la funci´on cambia de concavidad. Aqu´ı tendre-
mos que usar el algoritmo 2 (optimizaci´on en compactos) para encontrar el m´ınimo en
dicho intervalo, pero ya lo hemos hecho en el ejercicio de repaso 6, inciso (2).
k Intervalo Ik ξk Suma inferior f(ξk) δkx Ak = f(ξk)δkx
1 [3.0,3.3] 3.0 −32.0 0.3 −9.6
2 [3.3,3.6] 3.3 −22.01 0.3 −6.603
3 [3.6,3.9] 3.6 −13.64 0.3 −4.092
4 [3.9,4.2] 3.9 −6.89 0.3 −2.067
5 [4.2,4.5] 4.2 −1.76 0.3 −0.528
6 [4.5,4.8] 4.5 1.75 0.3 0.525
7 [4.8,5.1] 4.8 3.64 0.3 1.092
8 [5.1,5.4] 5.4 2.56 0.3 0.768
9 [5.4,5.7] 5.7 −0.41 0.3 −0.123
10 [5.7,6.0] 6.0 −5.0 0.3 −1.5
Suma de Riemman: -22.128
Ejercicio de Repaso 7. Encuentre las sumas superior e inferior de f(x) =
√
2x − 1
en el intervalo [−1
2 , 2], dividido en 3 intervalos iguales. Ca´lcule el valor exacto del
´area bajo la curva con el teorema fundamental del c ´alculo y compare estas tres can-
tidades.
Ejercicio de Repaso 8. Encuentre las sumas superior e inferior de f(x) =
√
2 − 3x
en el intervalo [0, 2
3 ], dividido en 3 intervalos iguales. Ca´lcule el valor exacto del ´area
bajo la curva con el teorema fundamental del c ´alculo y compare estas tres cantida-
des.

14. 14 M. C. JULIHO CASTILLO
Ejercicio de Repaso 9. Encuentre las sumas superior e inferior de f(x) = 9x2
−
18x−16 en el intervalo [−2, 4], dividido en 16 intervalos iguales. Ca´lcule el valor exacto
del ´area bajo la curva con el teorema fundamental del c ´alculo y compare estas tres
cantidades.
Ejercicio de Repaso 10. Encuentre las sumas superior e inferior de f(x) = −9x2
−
36x−32 en el intervalo [−4, 2], dividido en 8 intervalos iguales. Ca´lcule el valor exacto
del ´area bajo la curva con el teorema fundamental del c ´alculo y compare estas tres
cantidades.
Ejercicio de Repaso 11. Encuentre las sumas superior e inferior de f(x) =
√
4 − x2
en el intervalo [−2, 2], dividido en 10 intervalos iguales. Utilice la definici´on geom´etri-
ca de la integral definida para calcularla de manera exacta y compare estas tres
cantidades.
Sugerencia 6.1. Grafique la funci´on e idetifique que figura geom´etrica describe.
Ejercicio de Repaso 12. Encuentre las sumas superior e inferior de f(x) =
x4
tan(x)
2 + cos(x)
en el intervalo [−1, 1], dividido en 4 intervalos iguales. Demuestre que f(x) es una
funci´on impar, y utilice este argumento para calcular la integral definida y compare
estas tres cantidades.
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