Cinematica

APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDO
Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino
1
CINEMATICA

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LA CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDO 1
Le grandezze tipiche della cinematica 2
La traiettoria 3
I sistemi di riferimento 3
Il vettore posizione 3
Esempio applicativo 4
Il vettore spostamento 8
Calcolo del vettore spostamento 10
Il vettore velocità media 13
Il vettore velocità istantanea 13
Componenti del vettore velocità 14
I grafici del moto 16
Il diagramma spazio-tempo 17
Il diagramma velocità-tempo 19
Il diagramma accelerazione-tempo 21
I tipi fondamentali di movimento 22
MOVIMENTI SU UNA LINEA RETTA 23
Moto rettilineo uniforme 23
Le leggi del moto uniforme 25
La legge fondamentale – il calcolo della velocità 25
Il diagramma velocità-tempo 26
Il diagramma velocità-tempo e lo spazio percorso 28
Il calcolo dello spazio 30
Diagramma spazio-tempo 30
La rappresentazione grafica della legge per il calcolo dello spazio 30
L’accelerazione nel moto rettilineo uniforme 31
Riepilogo delle leggi del moto uniforme 32
Riepilogo dei diagrammi tipici del moto uniforme 32
ESERCIZI 33
Moto rettilineo non uniforme – moto vario 44
Il diagramma spazio-tempo e la velocità media 44
Esempio 46
Il diagramma spazio-tempo e la velocità istantanea 47
Riepilogo leggi moto vario 49
ESERCIZI 50
Moto rettilineo uniformemente accelerato 54
Le leggi del moto uniformemente accelerato 56
La legge fondamentale – il calcolo dell’accelerazione 56
Il diagramma accelerazione – tempo 58
Il diagramma accelerazione – tempo e la velocità finale 58
La legge per il calcolo della velocità finale o iniziale 60
Il diagramma velocità – tempo 61
Il diagramma velocità – tempo e lo spazio percorso 64
Il diagramma spazio – tempo 66

3
Tabella di riepilogo delle leggi 68
Tabella di riepilogo dei diagrammi tipici 69
ESERCIZI 71
Moto rettilineo naturalmente e uniformemente accelerato 87
Riepilogo delle leggi del moto naturalmente accelerato 88
ESERCIZI 89
MOTO CURVILINEO 91
Retta tangente a una curva 91
Il centro e il raggio di curvatura 93
La velocità istantanea tangenziale 95
L’accelerazione centripeta istantanea 98
Calcolo dell’accelerazione centripeta 99
Calcolo del modulo dell’accelerazione centripeta 100
L’accelerazione tangenziale istantanea 104
Calcolo dell’accelerazione tangenziale istantanea 106
IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME 111
Rappresentazione della circonferenza 112
Rappresentazione cartesiana con centro nell’origine 112
Rappresentazione cartesiana con centro spostato rispetto all’origine 113
Relazioni tra angoli ed archi in una circonferenza 115
Uso delle relazioni 117
Relazioni tra angolo al centro e corda 118
La rappresentazione del cerchio con le formule goniometriche 120
Il moto circolare uniforme – grandezze tipiche del moto 121
Periodo di rotazione 121
Frequenza 122
Relazione tra periodo e frequenza 122
ESEMPIO 123
La velocità tangenziale 124
Calcolo della velocità tangenziale scalare 125
ESEMPIO 126
La rappresentazione grafica del vettore velocità 126
Il vettore velocità angolare 127
L’angolo percorso dal raggio vettore 128
ESEMPIO 129
Una nuova definizione della velocità tangenziale 130
L’accelerazione centripeta 130
TABELLA riepilogo delle leggi del moto circolare uniforme 133
TABELLA con le formule inverse 134
ESERCIZI 135

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IL MOTO ROTATORIO DEL CORPO RIGIDO 151
Il moto rotatorio uniforme 152
Il moto rotatorio uniformemente accelerato 156
Applicazione del teorema dell’energia cinetica al corpo in rotazione 162
IL MOTO PERIODICO O OSCILLATORIO 166
Il pendolo 166
Il pendolo semplice 167
Analisi dinamica del moto oscillatorio del pendolo a filo 169
Il pendolo a molla 175
Analisi dinamica del moto oscillatorio del pendolo a molla 177
Il pendolo composto o pendolo reale 179
Analisi dinamica del moto oscillatorio del pendolo composto 180
Il pendolo a torsione 185
IL MOTO ARMONICO 187
La posizione del corpo in moto armonico 190
ESEMPIO 191
ESEMPIO 193
Diagramma sinusoidale posizione-tempo o posizione-angolo 195
Diagramma spazio percorso – tempo 200
Il diagramma velocità – tempo nel moto armonico 209
Il diagramma accelerazione tempo nel moto armonico 214
La fase del moto armonico semplice 218
La pulsazione naturale dell’oscillatore libero 222
Le oscillazioni forzate e smorzate 224
La forza di smorzamento 225
Analisi dinamica del moto armonico smorzato 226
Riepilogo leggi del moto armonico 233

5
LA CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDO
Con il termine CINEMATICA s’intende quella parte della Fisica che si occupa di studiare il
movimento del punto o del corpo rigido senza dover, in alcun modo, occuparsi delle cause che
hanno provocato il tipo di movimento in esame.
Ad esempio, quando si studia con la CINEMATICA, il movimento di un oggetto in caduta libera
nel vuoto o nell’atmosfera terrestre, non si prendono in considerazione le cause che provocano tale
tipo di movimento.
Lo studio del movimento e delle cause che lo provocano sono affidate ad un’altra parte della Fisica
che è definita DINAMICA e che costituisce, evidentemente, uno strumento d’indagine più raffinato
della CINEMATICA.
Allo scopo di permettere l’indagine scientifica del movimento sarà necessario definire l’oggetto che
si muove nel modo più semplice possibile ed è così che nasce la teoria della cinematica del punto o
del corpo rigido.
Nel primo caso, ogni oggetto, di qualsiasi forma e dimensione, è teoricamente assimilato ad un
punto, in pratica ad un’entità geometrica priva di dimensioni e di altre caratteristiche fisiche.
Nel secondo, l’oggetto è assimilato ad una serie di punti geometrici rigidamente collegati le cui
distanze si mantengono inalterate durante il movimento.
In pratica tutti i punti appartenenti ad un corpo rigido sono dotati dello stesso tipo di movimento;
ognuno percorre una traiettoria diversa ma tutte le traiettorie sono parallele tra loro.
La semplificazione che si ottiene con la CINEMATICA del punto, è quindi evidente: lo studio del
movimento può essere concentrato su una sola traiettoria che sarà così rappresentata dalla
successione dei luoghi geometrici occupati, nel tempo, dal punto che si muove.
Vedremo che una traiettoria può essere considerata essenzialmente di due tipi:
 Traiettoria rettilinea quando il punto o il corpo che si muove occupa, nel tempo, luoghi
geometrici appartenenti ad una retta.
 Traiettoria curvilinea quando il punto o il corpo che si muove occupa, nel tempo, luoghi
geometrici appartenenti a una linea curva
Si parlerà, di conseguenza, di MOVIMENTO RETTILINEO o moto rettilineo nel primo caso, di
moto curvilineo nel secondo.
Ad esempio, la caduta di un corpo verso terra, può avvenire sia su una traiettoria rettilinea (se il
corpo è inizialmente fermo ed è abbandonato a sé stesso e alla forza di gravità terrestre) oppure su
una traiettoria curva a forma di parabola se il corpo viene lanciato ad una certa velocità (moto di un
proiettile, di una freccia, di un pallone ecc.).
Tutte le traiettorie poi, potranno essere contenute in un unico piano (traiettorie bidimensionali)
oppure nello spazio (tridimensionali).
Per descrivere graficamente o analiticamente una traiettoria bidimensionale si utilizzerà il solito
sistema d’assi cartesiani limitatamente all’asse X e Y (oppure un sistema di riferimento polare
bidimensionale); per una traiettoria tridimensionale occorrerà un sistema di riferimento dotato di tre
assi ortogonali (asse X, asse Y, asse Z).
Con il sistema di riferimento cartesiano ogni punto appartenente alla traiettoria sarà così
caratterizzato da due o tre coordinate cartesiane (X,Y oppure X,Y,Z) ognuna delle quali
rappresenterà una distanza dall’origine; con il sistema di riferimento polare (di solito utilizzato per
la navigazione) i punti della traiettoria saranno caratterizzati da una distanza dal punto d’origine e
da uno o due angoli (per un punto situato sulla superficie terrestre dovremo conoscere la sua
distanza dal centro della Terra, l’angolo di latitudine e l’angolo di longitudine).
Se la traiettoria del punto o del corpo rigido è conosciuta, ad esempio per mezzo di un sistema di
riferimento cartesiano ove saranno disegnati i vari punti singoli della curva, sarà possibile
conoscere, in ogni momento, quale sarà la direzione dello spostamento nel momento successivo e
qual è stata nell’istante precedente.

6
Infine, per terminare, utilizzando le regole matematiche, sarà di solito possibile descrivere le
traiettorie reali con funzioni delle due coordinate X e Y.
LE GRANDEZZE TIPICHE DELLA CINEMATICA
Lo studio del moto per mezzo della cinematica coinvolge solo alcune delle grandezze fisiche
descritte nelle pagine precedenti.
Essenzialmente le grandezze sono le seguenti:
o Spazio -- (inteso come lunghezza di un segmento che collega due punti successivi)
Solitamente si utilizzerà il simbolo (S) e il metro come unità di misura (multipli e
sottomultipli)
o Tempo
Sarà di solito utilizzato il simbolo (t) e il secondo come unità di misura
o Velocità
Il simbolo sarà (v) e l’unità di misura i metri al secondo (m/s)
o Accelerazione
Simbolo (a) e l’unità di misura i metri al secondo quadrato (m/s2
)
In particolare, per lo studio del moto curvilineo circolare, saranno coinvolte anche altre grandezze
più specificamente indicate per la descrizione di questo tipo di moto.
Tra queste:
o Periodo di rotazione o tempo d’oscillazione
Caratteristico del moto circolare e di tutti i moti oscillatori (pendolo, vibrazioni, forze
elastiche), il periodo è comunque una grandezza tempo e, come tale, verrà misurato in
secondi.
Il simbolo che si utilizzerà è (T)
o Frequenza di rotazione o d’oscillazione
Simbolo (f) e unità di misura i “secondi alla meno uno” (s-1
) o l’HERTZ (Hz).
Si utilizzeranno anche i “giri al secondo” (giri/s)
o Pulsazione o velocità angolare
Simbolo (ω) e unità di misura “radianti al secondo” o “gradi al secondo”
o Velocità periferica tangenziale
o Velocità periferica normale
o Accelerazione centripeta
o Accelerazione tangenziale
Alcune di queste grandezze sono di tipo scalare e saranno quindi trattate come semplici numeri con
unità di misura propria, altre di tipo vettoriale – vettori a tutti gli effetti – e si dovranno utilizzare le
regole per la somma, sottrazione e moltiplicazione di vettori.
Tra le grandezze scalari:
 Tempo
 Periodo di rotazione
 Frequenza di rotazione
Tutte le altre sono grandezze vettoriali e saranno contraddistinte da: direzione, verso, modulo e
punto d’applicazione.

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LA TRAIETTORIA – I SISTEMI DI RIFERIMENTO – IL VETTORE POSIZIONE
Come si detto, le svariate posizioni che, nel tempo assume l’oggetto che si muove costituiscono una
linea continua, retta o curva, che è definita TRAIETTORIA.
Essa può essere rappresentata mediante un sistema cartesiano dotato di un punto fisso di riferimento
se si conoscono le svariate posizioni del punto nel tempo.
Ogni punto della traiettoria sarà individuato da una coppia di coordinate X e Y se la traiettoria si
sviluppa nel piano, dalla serie di coordinate X, Y e Z se nello spazio.
Potremo dire che la posizione di un punto P che descrive la traiettoria è conosciuta se si conoscono,
attimo per attimo, le coordinate del punto.
Useremo perciò la seguente simbologia:
P → P (x,y,z) nello spazio
P → P (x,y) nel piano
Cioè: la posizione del punto P dipende dalle sue coordinate ed è quindi una funzione di X,Y,Z.
A loro volta, poi, le coordinate X,Y e Z sono dipendenti dal tempo:
X = f1 (t)
Y = f2 (t)
Z = f3 (t)
Avendo a disposizione le coordinate del punto è anche possibile calcolare la lunghezza e la
direzione angolare del segmento che unisce l’origine del sistema d’assi cartesiani con il punto sulla
traiettoria.
Tale segmento, orientato dal punto origine verso il punto P e inclinato di un angolo α rispetto
all’asse X, è definito VETTORE POSIZIONE di P.
La lunghezza e l’inclinazione del vettore posizione r varieranno continuamente in funzione della
variazione delle coordinate.
Tenendo presente il vettore r si dirà che la posizione del punto P è anche definita in funzione di r:
P → P (r)



 
Figura 1 – IL VETTORE POSIZIONE r

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ESEMPIO APPLICATIVO:
Dall’alto di una collina d’altezza pari a H = 1.500 (m) rispetto al suolo, un cannone in posizione orizzontale spara un
proiettile.
Tenendo conto che il proiettile esce dal cannone con una velocità vx= 200 (m/s) e trascurando l’effetto d’attrito con
l’aria, determinare la traiettoria mantenuta dal proiettile e la distanza a cui deve essere collocato un obiettivo a terra per
essere colpito.
Svolgimento:
La posizione del proiettile, dopo lo sparo, dipende dal tempo trascorso.
L’insieme delle varie posizioni costituirà la traiettoria del proiettile la quale inizia dalla bocca del cannone e termina sul
bersaglio.
Nell’insieme “tempi” sono contenuti tutti i valori compresi tra l’istante in cui il proiettile esce dalla bocca del cannone e
l’istante in cui cade a terra.
Il valore minimo del tempo contenuto nell’insieme è naturalmente il valore zero che corrisponde all’uscita dal cannone
e determina l’istante d’inizio del conteggio tempi con un cronometro.
Il valore massimo del tempo, per il momento, è incognito; sarà oggetto di calcolo e può essere, simbolicamente
indicato, con tmax e corrisponde, naturalmente, al tempo impiegato dal proiettile per toccare il suolo.
Il sistema di riferimento cartesiano può essere collocato con l’origine in un punto qualsiasi, quindi anche in una
posizione che corrisponde esattamente alla proiezione ortogonale sull’asse orizzontale del punto di sparo.
L’asse Y corrisponde alla linea verticale condotta per il punto di sparo e l’origine sarà collocata ad una distanza di 1.500
(m) verso il basso; in questo modo le coordinate del punto di sparo saranno rispettivamente:
X = 0
Y = + 1.500 (m)
Ora dall’insieme dei tempi occorre passare agli insiemi X e Y nei quali sono contenute le coppie di coordinate che ci
permetteranno di conoscere la posizione del proiettile durante il moto di caduta.
Per passare dall’insieme dei tempi all’insieme di coordinate è necessario conoscere il tipo di funzione (legame) tra la
variabile indipendente “tempo” e le due variabili dipendenti “X” e “Y”.
Nello schema sottostante, queste due funzioni sono indicate rispettivamente:
X = f (t)
Y = m (t)
Ove con f e con m s’intendono due funzioni diverse tra loro.
Senza entrare nel dettaglio, in quanto ciò sarà poi oggetto di studio, è abbastanza comprensibile pensare che mentre il
proiettile avanza verso l’obiettivo (moto orizzontale diretto verso coordinate X positive), subisce anche un
abbassamento di quota (moto verticale diretto verso la coordinata Y di valore pari a zero) sino a toccare il suolo.
Anticipando gli argomenti futuri potremo dire che:
 Il moto orizzontale, con l’ipotesi di trascurare l’effetto dell’attrito, sarà di tipo uniforme e quindi con
velocità costante. Ciò vuol dire che il proiettile manterrà, durante tutto il moto, la stessa velocità che ha
nel momento in cui esce dalla bocca del cannone.
Per tale tipo di movimento lo spazio percorso (in orizzontale) è uguale al prodotto della velocità (costante)
per il tempo:
Per cui:
X = vx ∙ t
La funzione f (t) sarà quindi la seguente:
f (t) = vx ∙ t
Per cui il legame tra X e t è di tipo “Direttamente proporzionale”.
 Il moto verticale, con l’ipotesi di trascurare l’effetto dell’attrito, sarà invece di tipo accelerato con la
velocità vy che aumenta man mano che il corpo cade verso il basso (moto naturalmente accelerato dalla
gravità terrestre g). Vedremo che l’aumento di velocità dipende, oltre che dal tempo di caduta, anche dal
valore del campo gravitazionale. Sulla Terra il valore della costante caratteristica del campo gravitazionale
è indicato con g (accelerazione di gravità terrestre) il cui valore è, approssimativamente, g = 9,81
(m/s2
).
Per tale tipo di movimento lo spazio percorso (in verticale) è uguale al prodotto della costante g per il
quadrato del tempo il tutto diviso per due:
Per cui:
Y = ½ ∙ g ∙ t2
La funzione f (t) sarà quindi la seguente:
m (t) = ½ ∙ g ∙ t2

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ATTENZIONE: IN QUESTO CASO, CALCOLANDO IL VALORE DI Y, NON SI OTTIENE
DIRETTAMENTE LA COORDINATA VERTICALE DEI PUNTI DELLA TRAIETTORIA RISPETTO
AL SISTEMA D’ASSI CARTESIANI PRINCIPALE MA L’ABBASSAMENTO DI QUOTA DEL
PROIETTILE RISPETTO ALLA COORDINATA VERTICALE OVE E’ POSIZIONATA LA BOCCA
DEL CANNONE. PER OTTENERE LA VERA COORDINATA Y DEI PUNTI DELLA TRAIETTORIA
SARA’ NECESSARIO, ISTANTE PER ISTANTE, FARE LA DIFFERENZA TRA LA QUOTA
MASSIMA (1.500 m) E L’ABBASSAMENTO DI QUOTA Y.
YTRAIETTORIA = YMAX – Y
Vediamo ora come, in concreto, si passa dall’insieme dei tempi agli insiemi di coordinate X e
YTRAIETTORIA.
Immaginiamo che l’insieme dei tempi contenga dei valori compresi tra il valore zero (uscita del
proiettile dalla bocca del cannone) e un valore che, arbitrariamente, consideriamo uguale a 100 s.
Immaginando di incrementare il tempo di un secondo alla volta e, utilizzando le funzioni f (t) e m
(t), passiamo ai valori di X e Y contenuti nei relativi insiemi.
Raccogliamo i risultati in una tabella:
Figura 2 – CALCOLO ANALITICO DELLA TRAIETTORIA

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
Figura 3 – SCHEMA DI CALCOLO DELLA TRAIETTORIA.
Siamo ora in grado di tracciare graficamente la traiettoria seguita dal proiettile utilizzando i dati
contenuti nei due insiemi X e YTRAIETTORIA.
Da notare che tra il 18 e il 19 secondo il proiettile ha toccato terra (si nota dal fatto che la
YTRAIETTORIA è NEGATIVA cioè la coordinata Y della traiettoria è sotto il suolo e ciò naturalmente
non è possibile)
Figura 4 – RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA TRAIETTORIA.

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Figura 5 – RIEPILOGO DATI ANALITICI.
Vediamo ora come si passa all’insieme dei VETTORI POSIZIONE r.
La direzione dei vettori posizione r è misurata dall’inclinazione d’ogni vettore posizione rispetto
all’asse X positivo.
Il modulo dei vettori r può essere calcolato mediante il teorema di Pitagora oppure con le regole
della goniometria:
a) r = √X2
+Y2
α = TAN-1
(Y/X)
b) r = X/COS(α) α = COS-1
(X/r)
c) r = Y/SIN(α) α = SIN-1
(Y/r)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
Figura 6 – CALCOLO ANALITICO DEL VETTORE POSIZIONE

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Figura 7 – GRAFICO DELLA TRAIETTORIA OTTENUTA CON IL VETTORE POSIZIONE
IL VETTORE “SPOSTAMENTO”
La traiettoria percorsa da un corpo che si muove nel piano o nello spazio è quindi definita
dall’insieme dei punti occupati dal corpo nel tempo.
Si è visto, in seguito, che i punti sono individuabili, rispetto ad un sistema d’assi cartesiani, con:
 Coordinate cartesiane (X ; Y) ( X; Y; Z)
 Vettore spostamento ( r ; α ) (r; α; ω)
I due modi sono interdipendenti, nel senso che è possibile, conoscendone uno, passare all’altro.
Vediamo ora di affrontare il problema successivo che è quello di calcolare, conoscendo la
traiettoria, lo spostamento del corpo tra due istanti successivi.
L’istante dal quale s’inizia a studiare lo spostamento, è, di solito, individuato con il tempo ti o
“tempo iniziale” mentre lo studio dello spostamento termina con il tf o “tempo finale”.
In pratica il tempo iniziale è quello indicato da un orologio nel momento in cui s’inizia a
cronometrare, mentre il tempo finale corrisponde a quello indicato nel momento in cui si termina il
cronometraggio.
Di solito il tempo iniziale ha un valore nullo per il fatto che il cronometro è azzerato prima della
misura e quindi la durata di un qualsiasi fenomeno corrisponde al tempo finale.
Se il cronometro non è azzerato la durata del fenomeno che si osserva è uguale alla differenza tra il
tempo finale e quello iniziale.
A questi due istanti corrispondono due posizioni ben definite del corpo sulla sua traiettoria che sono
individuate dai punti Pi e Pf.
A loro volta i punti Pi e Pf sono individuati dalle loro coordinate o dai loro VETTORI
POSIZIONE:
Pi → (Xi ; Yi ) (ri ; αi )
Pf → (Xf ; Yf ) (rf ; αf )

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Se il corpo si muove su una linea retta (moto rettilineo), lo spostamento dal punto iniziale a quello
terminale, è definito dal VETTORE che unisce i due punti.
Tale vettore è detto “VETTORE SPOSTAMENTO” Δr ed è rappresentato da:
 Lunghezza del segmento Pi Pf (modulo del vettore spostamento)
 Direzione (inclinazione rispetto all’asse X)
 Verso (dal punto iniziale a quello finale – freccia)
 Punto d’applicazione (per definizione nel punto iniziale del moto)
Se il corpo si muove su una linea curva (moto curvilineo) il VETTORE SPOSTAMENTO Δr è
definito come precedentemente a condizione che il punto iniziale e quello terminale NON siano
troppo distanti tra loro e che la linea curva che li collega (traiettoria reale) possa essere confusa con
il segmento che li unisce (traiettoria virtuale).
La curva e il segmento possono ritenersi equivalenti se hanno una lunghezza approssimativamente
uguale, se la curva è continua e il suo raggio di curvatura si mantiene costante per tutta la distanza
tra il punto iniziale e finale.
 Il modulo del vettore spostamento o lunghezza del segmento Pi Pf può essere calcolato
utilizzando il Teorema di Pitagora (fig.70):
o Δr = Pi Pf = √ ΔX + ΔY
ΔX = Xf – Xi
ΔY = Yf – Yi
 Il verso è quello indicato dal senso dì percorrenza della traiettoria



 


Figura 8 – VETTORE SPOSTAMENTO Δr

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CALCOLO DEL VETTORE SPOSTAMENTO
Il Vettore spostamento Δr rappresenta il percorso fatto dal corpo che si sposta dal punto iniziale al
punto finale e può essere calcolato in modi diversi:
 Utilizzando le regole di somma e/o sottrazione vettoriale (grafici o analitici)
 Utilizzando le regole della goniometria
REGOLE DI SOMMA E/O SOTTRAZIONE VETTORIALE GRAFICA.
Il vettore Δr è la somma vettoriale dei vettori ΔX e ΔY oppure la differenza vettoriale tra i vettori
rf e ri:
 Δr = ΔX + ΔY
 Δr = rf - ri
Per quanto riguarda la somma è possibile utilizzare la regola del parallelogramma, mentre conviene
utilizzare la regola del poligono per la differenza.
Utilizzando il metodo grafico sarà poi possibile misurare l’inclinazione del vettore con un
goniometro oppure procedere al calcolo con il metodo goniometrico.
 
Figura 9 – VETTORE SPOSTAMENTO CON SOMMA VETTORIALE GRAFICA ΔX + ΔY

15


Figura 10 – VETTORE SPOSTAMENTO CON SOTTRAZIONE GRAFICA – REGOLA DEL POLIGONO.
ESEMPIO APPLICATIVO:
Utilizzando i dati e i grafici dell’esempio in precedenza descritto si vuole determinare gli spostamenti Δr subiti dal
proiettile, mentre percorre la traiettoria di caduta.

Figura 11 – SCHEMA PER IL CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI Δr

16




















Figura 12 – TABELLA DI CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI Δr




Figura 13 – VETTORI SPOSTAMENTO
Vediamo come si svolge il calcolo per uno dei punti della traiettoria:
ΔX12 = X12 – X11 = 2.200 – 2.000 = 200 (m)
ΔY12 = Y12 – Y11 = 906,50 – 1.009,50 = -103 (m)
Δr12 = √(ΔX12)2
+ (ΔY12)2
= √2002
+ (-103)2
= 224,96 (m)
α12 = TAN-1
(ΔY12/ ΔX12) = TAN-1
(-103/200) = -27,25 ° ( ° )

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Da notare che l’inclinazione del vettore spostamento è calcolata in senso antiorario ed è perciò
negativa.
IL VETTORE “VELOCITA’ MEDIA” E “VELOCITA’ ISTANTANEA”
Sino ad ora si è detto che un punto o un corpo materiale subisce, in determinato tempo, uno
spostamento sulla sua traiettoria passando dalla posizione iniziale a quella finale.
Si è definito il “VETTORE POSIZIONE”, necessario per stabilire la posizione iniziale e quella
finale, e il “VETTORE SPOSTAMENTO”, necessario per stabilirne il percorso o lo spazio fatto
durante lo spostamento.
Per ricordare i concetti essenziali:
 Definizione di tempo trascorso tra l’istante iniziale e quello finale (durata):
Δt = t. finale – t. iniziale = tf - ti (s)
 Definizione della posizione mediante coordinate cartesiane:
Pf → (Xf ; Yf)
Pi → (Xi ; Yi)
 Definizione della posizione mediante il vettore posizione:
Pf → (rf ; αf)
Pi → (ri ; αi)
 Definizione dello spostamento (vettore Δr) dal punto iniziale al punto finale nel tempo Δt:
Δr = rf – ri VETTORE (intesa come sottrazione vettoriale)
Δr = ΔX + ΔY VETTORE (intesa come somma vettoriale)
Il vettore Δr è caratterizzato da:
o
Modulo = Δr = √ ΔX2
+ ΔY2
Intensità o modulo
o α = TAN-1
(ΔY / ΔX ) Inclinazione della retta direttrice rispetto all’asse X
o Verso diretto nel senso di percorrenza della traiettoria
Ora, tenendo conto dello spostamento Δr, subito dal corpo nel tempo Δt, si può definire la velocità
media durante lo spostamento, come il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato:
vm = spazio percorso/tempo impiegato = spostamento / Δt = Δr/ Δt
vm = Δr/ Δt La velocità media è un vettore
Se il tempo impiegato dal corpo per passare da una posizione iniziale a una finale è molto breve, la
velocità media coincide con la velocità istantanea quindi, per concetti reciproci, intenderemo la
velocità istantanea al pari della velocità media nel caso che il tempo Δt sia molto piccolo (si dice
che il tempo necessario per passare da una posizione iniziale a una finale ha la tendenza a essere
nullo):
vistantanea = v = Δr/ Δt
v = Δr/ Δt La velocità istantanea è un VETTORE
Se, contrariamente a quanto detto, lo spostamento avviene in tempi elevati, non sarà più possibile
definire il valore istantaneo di velocità, ma occorrerà utilizzare il concetto di velocità media.

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Se si ammette che il valore della velocità tra l’istante iniziale e finale è un valore medio, allora si
dovrà tenere conto del fatto che il vettore velocità non abbia sempre i
ATTENZIONE: LA VELOCITA’, PER COME E’ STATA DEFINITA, E’ UNA GRANDEZZA VETTORIALE CHE
HA LA STESSA DIREZIONE E LO STESSO VERSO DEL VETTORE SPOSTAMENTO.
LA VELOCITA’ E’, INFATTI, IL RISULTATO DI UN PRODOTTO DI UN VETTORE (Δr) PER
UNO SCALARE (1/ Δt) CHE, IN PRATICA, E’ UN NUMERO.
Figura 14 – VETTORE VELOCITA’ COME PRODOTTO DI UN VETTORE PER UN NUMERO
COMPONENTI DEL VETTORE VELOCITA’
Il vettore velocità, sia media che istantanea, può essere scomposto nelle sue due componenti
principali dirette secondo l’asse X e l’asse Y utilizzando la regola del parallelogramma, le regole
goniometriche oppure calcolando direttamente le componenti tenendo conto delle componenti
principali del vettore spostamento che sono rispettivamente ΔX e ΔY
Si otterrà:
 v = vx + vx Vettore velocità come somma vettoriale delle due componenti
 vx = ΔX / Δt Componente del vettore VELOCITA’ secondo X
 vy = ΔY / Δt Componente del vettore VELOCITA’ secondo Y

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

Figura 15

20
I GRAFICI DEL MOTO
Sino ad ora si è illustrato il moto di un corpo dal punto di vista della traiettoria percorsa, prendendo
in esame principalmente le coordinate spaziali che permettono di conoscere la posizione rispetto ad
un sistema di riferimento e il calcolo della velocità e dell’accelerazione sempre partendo dalle
coordinate dei punti della traiettoria.
Questa metodologia è quella classica e ci permette di risolvere in modo generale i vari problemi che
riguardano la cinematica.
Lo schema generale a cui fare riferimento è quello già illustrato in precedenza e che si riporta
adesso in modo completo.

Figura 16 – SCHEMA GENERALE CON TUTTE LE GRANDEZZE DELLA CINEMATICA
L’utilizzo di tale schema è però abbastanza complesso e, nello stesso modo, non permette di
sintetizzare efficacemente i risultati dei calcoli e la comprensione dei vari fenomeni.
Di solito, allo scopo di semplificare il più possibile la descrizione del fenomeno, si utilizzano
schemi più sintetici nei quali sono facilmente individuabili le variazioni delle grandezze tipiche
della cinematica in funzione del tempo.
Tali schemi sono detti “grafici del moto” o “diagrammi del moto” e sono delle rappresentazioni
cartesiane in cui la variabile indipendente è sempre il tempo.
I grafici del moto sono i seguenti:
 Diagramma “spazio-tempo”
 Diagramma “velocità-tempo”
 Diagramma “accelerazione-tempo”

21
IL DIAGRAMMA “SPAZIO – TEMPO”
Il diagramma “SPAZIO – TEMPO” permette di rappresentare lo SPAZIO PERCORSO da un
corpo in un determinato tempo.
Il tempo è la variabile indipendente, asse cartesiano X, mentre lo spazio è la variabile dipendente,
asse cartesiano Y.
Le due variabili sono connesse mediante la funzione principale e quella inversa.
S = f (t) Funzione principale
t = f -1
(S) Funzione inversa
Generalmente la funzione principale è del tipo direttamente proporzionale se il corpo si muove con
velocità costante, di tipo direttamente proporzionale quadratica se il moto è accelerato o decelerato
e la velocità non è costante, di tipo sinusoidale, quando i movimenti sono periodici.
 S = K ∙ t Funzione principale di tipo “direttamente proporzionale”. Tipica del
moto uniforme
 S = K ∙ t2
Funzione principale di tipo “direttamente proporzionale quadratica”.
Tipica del moto
accelerato.
 S = K ∙ SIN(ω∙t) Funzione principale di tipo “sinusoidale”. Tipica del moto periodico o
oscillatorio.
Figura 17 – DIAGRAMMA “SPAZIO-TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO UNIFORME.

22
Figura 18 – DIAGRAMMA “SPAZIO-TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO ACCELERATO.
 
 
Figura 19 – DIAGRAMMA “SPAZIO-TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO OSCILLATORIO.
DA NOTARE: In tutti i diagrammi SPAZIO-TEMPO illustrati, la pendenza dei vari segmenti costituenti la spezzata
che approssima una curva (angolo che ogni segmento forma con l’asse orizzontale), misura la grandezza fisica
VELOCITA’. Difatti il rapporto tra lo spazio e il tempo è proprio la velocità.
In particolare, nel primo diagramma costituito da una linea retta non spezzata, la pendenza è costante (non cambia mai
da punto a punto) e quindi significa che la velocità è sempre la stessa e il moto è uniforme.

23
IL DIAGRAMMA “VELOCITA’ – TEMPO”
Il diagramma “VELOCITA’ – TEMPO” permette di rappresentare la VELOCITA’ di un corpo in
un determinato istante.
Il tempo è la variabile indipendente, asse cartesiano X, mentre la velocità è la variabile dipendente,
asse cartesiano Y.
v = f (t) Funzione principale
t = f -1
(v) Funzione inversa
Generalmente la funzione principale è del tipo “COSTANTE” se il corpo si muove con velocità
costante, di tipo direttamente proporzionale se il moto è accelerato o decelerato e la velocità non è
costante, di tipo sinusoidale, quando i movimenti sono periodici.
 v = K Funzione principale di tipo “COSTANTE”. Tipica del moto uniforme
 v = K ∙ t Funzione principale di tipo “direttamente proporzionale”. Tipica del
moto
accelerato.
 v = K ∙ SIN(ω∙t) Funzione principale di tipo “sinusoidale”. Tipica del moto periodico o
oscillatorio.
Figura 20 – DIAGRAMMA “VELOCITA’ – TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO UNIFORME.

24
Figura 21 – DIAGRAMMA “VELOCITA’ – TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO ACCELERATO.
DA NOTARE: In tutti i diagrammi VELOCITA’-TEMPO illustrati, l’area compresa tra la linea superiore (parallela
all’asse X- fig.80 o inclinata rispetto a X-fig.81), la linea orizzontale costituente l’asse X e la linea verticale tratteggiata
da ogni istante, corrisponde fisicamente allo SPAZIO PERCORSO dal corpo dall’istante iniziale (t=0 s) all’istante
finale considerato.
In particolare, nel primo diagramma di fig. 80, l’area è quella di un rettangolo la cui base è il tempo e l’altezza è la
velocità.
Nel secondo diagramma di fig. 81, l’area è invece quella di un triangolo la cui base è il tempo considerato e l’altezza è
la velocità all’istante considerato.
DA NOTARE: In tutti i diagrammi VELOCITA’-TEMPO illustrati, la pendenza della linea rappresenta fisicamente
la grandezza fisica ACCELERAZIONE.
In particolare, nel primo diagramma la linea è orizzontale quindi la pendenza è nulla e di conseguenza il moto è
uniforme (senza accelerazione).
Nel secondo diagramma la pendenza è costante quindi è costante anche l’accelerazione e il moto è di tipo
uniformemente accelerato.

25
IL DIAGRAMMA “ACCELERAZIONE – TEMPO”
Il diagramma “ACCELERAZIONE – TEMPO” permette di rappresentare l’ACCELERAZIONE
di un corpo in un determinato istante.
Il tempo è la variabile indipendente, asse cartesiano X, mentre l’ACCELERAZIONE è la variabile
dipendente, asse cartesiano Y.
a = f (t) Funzione principale
t = f -1
(a) Funzione inversa
Generalmente la funzione principale è del tipo “COSTANTE” se il corpo si muove con
ACCELERAZIONE costante, di tipo sinusoidale, quando L’ACCELERAZIONE E’ VARIABILE
con legge periodica sinusoidale.
 a = K Funzione principale di tipo “COSTANTE”. Tipica del moto
UNIFORMEMENTE
accelerato.
 a = K ∙ SIN(ω∙t) Funzione principale di tipo “sinusoidale”. Tipica del moto periodico o
oscillatorio.
Figura 22 – DIAGRAMMA “ACCELERAZIONE – TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO UNIFORMEMENTE
ACCELERATO.

26
I TIPI FONDAMENTALI DI MOVIMENTO
Anche se in generale il movimento di un punto o di un corpo rigido avviene secondo modalità
complesse (si pensi ad esempio ad una gara motociclistica durante la quale il pilota affronta
traiettorie in parte curve e in parte diritte, con velocità a volte costanti a volte no, con continui e
repentini cambi di velocità mediante accelerazioni e brusche frenate), lo studio del moto per mezzo
della cinematica è semplificato dal fatto che, d’abitudine, si è soliti distinguere i movimenti in
tipologie fondamentali semplici e applicare poi tali tipologie, ove possibile, al moto complessivo.
In questo modo potremo considerare un moto rettilineo a velocità costante se il pilota affronta un
rettilineo mantenendo la stessa velocità, un moto con velocità variabile, quando il pilota accelera o
frena, un moto curvo con velocità costante ecc. ecc.
Il moto di un oggetto che si sposta realmente sarà quindi una composizione semplice o complessa di
movimenti fondamentali.
In effetti le moderne tecnologie di rilevazione automatica delle grandezze coinvolte (spazio,
velocità e tempo) – telemetria- ci permette di ricostruire quasi istantaneamente tutti i parametri del
movimento.
I movimenti semplici fondamentali che saranno studiati sono i seguenti:
MOVIMENTI SU UNA LINEA RETTA:
 Moto rettilineo uniforme
 Moto rettilineo non uniforme – moto vario
 Moto rettilineo uniformemente accelerato o decelerato
 Moto rettilineo naturalmente e uniformemente accelerato o decelerato
 Caduta dei gravi
 Caduta lungo piano inclinato
 Moto rettilineo vario
MOVIMENTI SU UNA LINEA CURVA:
 Moto curvilineo a velocità costante
 Moto curvilineo uniformemente accelerato o decelerato.
 Moto circolare uniforme
 Moto circolare uniformemente accelerato o decelerato
 Moto parabolico
MOVIMENTI OSCILLATORI O PERIODICI:
 Moto armonico senza smorzamento
 Moto armonico smorzato
 Moto del pendolo e moto di una massa soggetta a forze elastiche sinusoidali
ATTENZIONE:
Lo studio dei moti rettilinei può avvenire trattando le grandezze vettoriali velocità e accelerazione
come se fossero grandezze scali in quanto sono sempre parallele tra loro e quindi è possibile
sommarle e sottrarle utilizzando i soli mezzi algebrici.
I moti curvilinei sono invece caratterizzati da vettori non paralleli per cui sarà indispensabile
utilizzare le regole di somma e sottrazione vettoriale (metodi grafici o analitici).

27
MOVIMENTI SU UNA LINEA RETTA
MOTO RETTILINEO UNIFORME
In questo caso la traiettoria seguita dal corpo o dal punto che si sposta è una linea retta (rettilineo).
D’ora in avanti si penserà allo spostamento di un corpo le cui dimensioni fisiche possono essere
considerate piccolissime rispetto al suo spostamento; in queste condizioni ogni corpo potrà essere
considerato un punto (ad esempio il suo baricentro).
Le grandezze fisiche che caratterizzano il moto rettilineo uniforme sono quelle tipiche della
cinematica già prese in esame in precedenza:
 Il tempo (t) (secondi)
 Lo spazio percorso o spostamento (S) (metri)
 La velocità (v) (metri al secondo – m/s)
 L’accelerazione (a) (metri al secondo quadrato – m/s2
)
NOTA BENE: Tenendo presente che il moto è rettilineo (la traiettoria è una linea retta), le
grandezze fisiche velocità ed accelerazione, che sono sempre da considerarsi vettoriali, sono
rappresentate da vettori aventi la caratteristica fondamentale d’essere tutti paralleli.
Si ricorda che i vettori paralleli hanno l’esclusiva proprietà di poter essere sommati e sottratti con le
semplici regole algebriche.
Questo fatto, come si vedrà più avanti, differenzia in modo importante il moto rettilineo uniforme
dal moto curvilineo uniforme.
Già da ora si può anticipare che:
 Se un punto si muove su una linea retta con velocità costante, l’accelerazione è nulla (a = 0
m/s2
).
 Se un punto si muove su una linea curva con velocità costante, l’accelerazione non è nulla
(a ≠ 0 m/s2
).
Il moto uniforme è caratterizzato dal fatto che, mentre il punto si sposta sulla traiettoria rettilinea,
non cambia mai il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo oppure,
ragionando in altri termini, in tempi uguali sono percorsi spazi uguali.
Il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato non cambia durante il moto ed è quindi da
considerarsi una costante del moto che è definita velocità.
L’accelerazione è nulla.
ΔS / Δt = costante = K
K = velocità = v
Quindi:
v = ΔS / Δt
ΔS = Sf - Si
Δt = tf - ti

28
QUINDI: IL MOTO RETTILINEO DI UN CORPO E’ ANCHE UNIFORME SE, DURANTE IL MOTO, RIMANE
COSTANTE LA VELOCITA’.
NELLO STESSO TEMPO UN MOTO UNIFORME PUO’ NON ESSERE RETTILINEO SE LA TRAIETTORIA E’
CURVA.
Figura 23 – CONDIZIONI DI MOTO RETTILINEO UNIFORME.
Figura 24 - CONDIZIONI DI MOTO RETTILINEO UNIFORME

29
LE LEGGI DEL MOTO UNIFORME
Il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato è la velocità .
La velocità è costante sia come modulo che come direzione e verso se il moto è rettilineo uniforme,
se il moto è solo uniforme e non rettilineo, la velocità è costante soltanto come modulo mentre, la
direzione e il verso cambiano continuamente.
Si tenga presente che, per un corpo che si muove di moto uniforme, l’istante iniziale corrisponde al
momento in cui s’inizia a cronometrare il movimento e l’istante finale a quello in cui si termina il
cronometraggio.
ATTENZIONE:
 All’istante iniziale il corpo è già in movimento e lo studio del moto non riguarda la fase
precedente all’istante iniziale. Un esempio di moto uniforme può essere un’automobile che
percorre senza accelerare o frenare un tratto di strada. E’ evidente che per raggiungere la
velocità desiderata l’automobile deve aver necessariamente accelerato, ma ciò è successo
prima dell’inizio del conteggio dei tempi e non rientra nello studio del moto uniforme.
 Durante il conteggio dei tempi, la velocità del corpo non subisce variazioni. Non sono
quindi ammissibili, nel moto uniforme, aumenti o diminuzioni di velocità. Ogni variazione
di velocità fa decadere le condizioni di moto uniforme e deve essere oggetto di diverso
studio.
LA LEGGE FONDAMENTALE – IL CALCOLO DELLA VELOCITA’
Il moto uniforme è caratterizzato dalle seguenti relazioni tra le grandezze tipiche:
v = ΔS / Δt = (Sf – Si) / (tf – ti)
In particolare se, all’istante iniziale, il corpo si trova sull’origine del sistema di riferimento delle
distanze e il tempo iniziale corrisponde al valore 0 (il cronometraggio inizia con il cronometro
azzerato), si avrà:
Si = 0 (m)
ti = 0 (s)
da cui:
v = Sf / tf
Se poi l’istante finale tf è generalizzato come “istante qualsiasi” anche lo spazio percorso Sf sarà
generalizzato come “spazio percorso all’istante qualsiasi” e si avrà:
v = S /t = Costante
v = S /t Legge fondamentale del moto uniforme

30
IL DIAGRAMMA VELOCITA’ - TEMPO
Prendendo in esame le grandezze fisiche contenute nella legge e le relative unità di misura, si vede
che:
S Spazio percorso (m)
t Tempo impiegato per percorrere lo spazio S (s)
V Velocità (rapporto spazio-tempo) (m/s)
Sono state considerate le Unità di Misura del Sistema Internazionale S.I.
Considerando che il moto è uniforme e che, di conseguenza, la velocità è costante, possiamo
rappresentare la relazione con il grafico VELOCITA’-TEMPO:
Figura 25 – MOTO UNIFORME (DIAGRAMMA VELOCITA’ – TEMPO)

31
Figura 26 – DIAGRAMMA DI MOTO UNIFORME CON VELOCITA’ DIFFERENTI
Come si nota le linee del grafico che rappresentano il moto uniforme sono rette parallele all’asse dei
tempi.
Nel secondo diagramma, le linee inclinate rappresentano le frenate o le accelerazioni più o meno
brusche (il cambio di velocità che avviene più velocemente è nel passaggio da 10 m/s a 160 m/s).
Figura 27 – DIAGRAMMA VELOCITA’-TEMPO. MOTO UNIFORME CON VELOCITA’ NEGATIVA.

32
IL DIAGRAMMA VELOCITA’ – TEMPO E LO SPAZIO PERCORSO.
Oltre a dare indicazioni circa la velocità mantenuta dal corpo in movimento in funzione del tempo
trascorso, il diagramma VELOCITA’-TEMPO, permette anche di visualizzare o di calcolare lo
spazio percorso.
Lo spazio è rappresentato dall’area delle figure racchiuse dalle seguenti linee:
 La linea retta che indica il valore della velocità (per il moto uniforme una linea parallela
all’asse dei tempi – per il moto non uniforme una linea inclinata)
 Dalle due linee verticali, una a sinistra e una a destra, che indicano i valori dei tempi tra i
quali si desidera calcolare lo spazio percorso
 Dalla linea orizzontale costituita dall’asse dei tempi
Quando il moto è uniforme le figure saranno rettangoli mentre se non è uniforme saranno, di
solito, triangoli o trapezi.
Se la velocità è espressa in m/s e il tempo in secondi, l’area della figura rapprenderà il valore dello
spazio percorso espresso in metri.
Figura 28 – DIAGRAMMA VELOCITA’-TEMPO E SPAZIO PERCORSO IN MOTO UNIFORME. CASO CON
VELOCITA’ POSITIVE E NEGATIVA.

33
Figura 29 – DIAGRAMMA VELOCITA’-TEMPO E SPAZIO PERCORSO IN MOTO UNIFORME, ACCELERATO
E DECELERATO. CASO CON VELOCITA’ SOLO POSITIVA.
Figura 30 – DIAGRAMMA VELOCITA’-TEMPO E SPAZIO PERCORSO IN MOTO UNIFORME,
ACCELERATO E DECELERATO – CASO CON VELOCITA’ POSITIVE E NEGATIVA.

34
IL CALCOLO DELLO SPAZIO – DIAGRAMMA SPAZIO - TEMPO
Utilizzando ora la legge fondamentale del moto uniforme è possibile, invertendo la formula, trovare
la relazione che permette di calcolare lo spazio percorso in un certo tempo, quando un corpo
procede con velocità costante:
t
S
v
tvS  Legge per il calcolo dello spazio percorso.
LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA LEGGE PER IL CALCOLO DELLO
SPAZIO
La grandezza Spazio è dipendente dal tempo; il legame di dipendenza è del tipo “Direttamente
proporzionale” e il coefficiente di proporzionalità è la velocità che, nel moto uniforme, si sa essere
costante.
La funzione che trasforma ogni valore del tempo nel corrispondente valore dello spazio percorso è
rappresentabile mediante una retta inclinata rispetto all’asse dei tempi.
L’inclinazione della retta è detta anche “coefficiente angolare” e il suo valore numerico è espresso
dalla tangente dell’angolo α che è rilevato sul diagramma Spazio-Tempo.


Figura 31

35
L’ACCELERAZIONE NEL MOTO RETTILINEO UNIFORME.
La grandezza fisica “accelerazione” è definita dalla variazione della velocità nel tempo.
Si dirà che il moto è accelerato se la velocità all’istante finale della misurazione del tempo è, in
qualche modo, diversa dalla velocità rilevata all’istante iniziale.
Ora, nel moto rettilineo uniforme, la velocità nei vari istanti è rappresentata da un vettore con il
modulo costante, con la stessa direzione (la linea retta sulla quale si sviluppa il moto) e con lo
stesso verso.
E’ quindi evidente che la variazione del vettore velocità da un istante all’altro è nulla in quanto
ottenuta dalla sottrazione di due vettori uguali:
a (vf – vi) / Δt
Il moto è uniforme e rettilineo quindi:
vf = vi
Per cui:
(vf – vi) = 0
Quindi:
a (vf – vi) / Δt = 0/ Δt = 0
a 0
E’ così dimostrato che, nel moto rettilineo uniforme, l’accelerazione è nulla.
Figura 32 – L’ACCELERAZIONE, NEL MOTO RETTILINEO UNIFORME, E’ NULLA.

36
RIEPILOGO DELLE LEGGI DEL MOTO UNIFORME
a
t
v


= ( v f - v i ) / t = 0
a ( v f - v i ) / t = 0
L’accelerazione è sempre nulla se il moto è rettilineo.
L’accelerazione NON è nulla se il moto è curvilineo.
v =
t
S
Legge per il calcolo della velocità
S = tv  Legge per il calcolo dello spazio percorso
t
v
S
 Legge per il calcolo del tempo
RIEPILOGO DEI DIAGRAMMI TIPICI DEL MOTO UNIFORME
Diagramma tipico VELOCITA’-TEMPO
(velocità positiva)
Diagramma tipico VELOCITA’-TEMPO
(velocità negativa)
Diagramma tipico SPAZIO-TEMPO

37
ESERCIZI – MOTO UNIFORME
Esercizio 1
Determinare la velocità in m/s e in km/h di un corpo che percorre con moto uniforme uno spazio di 1,5 km in un tempo
di 50 s.
Soluzione:
 Dati del problema:
S = 1,5 (km)
t = 50 (s)
Moto uniforme quindi con velocità costante
 Sistema di misura consigliato:
Sistema Internazionale: S.I.
S (m)
t (s)
v (m/s)
 Leggi del moto da utilizzare:
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

 Equivalenza:
S = 1,5 (km)
1 (km) = 1.000 (m) = 103
(m)
S = 1,5 (km) · 1.000 (m/km) = 1.500 (m) = 1,5·103
(m)
 Soluzione:
v =
t
S
=
)s(50
)m(500.1
= 30 (m/s) Velocità espressa in m/s
 Equivalenza tra m/s e km/h:
1 (h) = 3.600 (s)
v = 30 (m/s) · 3.600 (s/h) = 108.000 (m/h)
v = 108.000 (m/h) / 1.000 (m/km) = 108 (km/h) Velocità espressa in km/h
 Equivalenza da ricordare:
Per passare da una velocità espressa in (m/s) a (km/h) si moltiplica per 3,6
 Possibile altra soluzione:
Effettuare l’equivalenza da un tempo espresso in secondi a un tempo espresso in ore:
t = 50 (s)
1 (h) = 3.600 (s)
t = 50 (s)/3.600 (s/h) ≈ 0,01389 (h)
v = 1,5 (km)/0,01389 (h) ≈ 107,99 (km/h)
Come si nota il risultato è approssimato in quanto è stato approssimato il tempo.

38
Esercizio 2:
Calcolare il tempo necessario affinché la luce, la cui velocità è costante e uguale a 300.000 (km/s), percorra 1 (km) e lo
spazio percorso in 2 (s) e 5/10 (s)
Soluzione:
v = 300.000 (km/s)
S = 1 (km)
t = 2 + 5/10 (s)
Moto uniforme quindi con velocità costante.
S (m)
t (s)
v (m/s)
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

 Equivalenza:
v = 300.000 (km/s)
1 (km) = 1.000 (m) = 103
(m)
v = 300.000 (km/s) · 1.000 (m/km) = 300.000.000 (m/s) = 3·108
(m/s)
1 (km) = 1.000 (m)
t = 2 + 5/10 = 2 + 0,5 = 2,5 (s)
 Soluzione:
1) Calcolo del tempo impiegato per percorrere lo spazio di 1 (km):
t
v
S

)s/m(000.000.300
)m(000.1
 =
)s/m(
8
103
)m(
3
10

 =
3
1
· 10(3-8)
≈ 0,33 · 10-5
= 3,3 · 101
· 10-5
= 3,3 · 10(1-5)
=3,3 · 10-4
(s) = 0,00033 (s)
2) Calcolo dello spazio percorso nel tempo di 2,5 s:
S = tv  = 300.000.000 (m/s) · 2,5 (s) = 750.000.000 (m) = 750.000 (km)
Esercizio 3:
Calcolare in m/s e in km/h la velocità raggiunta da un atleta che ha percorso i 100 m in un tempo di 9,9 s.
Soluzione:
Si tratta, essendo una gara di velocità, di un problema in cui sicuramente il moto non è uniforme ma vario.
L’atleta, nella fase iniziale del moto, parte da fermo ed accelerando giunge alla velocità massima per poi o
mantenerla o rallentare.
La soluzione del problema è quindi il calcolo della velocità media di moto uniforme che l’atleta dovrebbe
mantenere per percorrere i 100 m nel tempo previsto di 9,9 s.
S (m)
t (s)
v (m/s)

39
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

 Soluzione:
1) Calcolo della velocità in m/s:
v
t
S

)s(9,9
)m(100
 ≈ 10,101 (m/s)
2) Calcolo della velocità in km/h:
v = 10,101 (m/s) · 3600 (s) /1000 (m/km) ≈ 36,36 (km/h)
Esercizio 4:
Sapendo che la velocità del suono è di 340 m/s, calcolare a quale distanza è caduto un fulmine se tra la visione della
scarica e la percezione del suono sono passati 12 s (si ritenga infinita la velocità della luce).
Soluzione:
v(suono) = 340 (m/s)
t = 12 (s)
Moto uniforme quindi con velocità costante per quanto riguarda la velocità del suono.
Inoltre si deva fare l’ipotesi che la propagazione della luce avvenga a velocità infinita anche se tale
affermazione non corrisponde a verità.
Con tale ipotesi la percezione visiva del fulmine corrisponde esattamente all’istante in cui il fulmine si è
sviluppato.
S (m)
t (s)
v (m/s)
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

 Soluzione:
Calcolo dello spazio percorso dal suono nel tempo di 12 s:
S = tv  = 340 (m/s) · 12 (s) = 4.080 (m) = 4.080 (m) /1000 (m/km) = 4,08 (km)

40
Esercizio 5:
Determinare la velocità di un treno contando i colpi prodotti dai giunti delle rotaie: essi sono 10 ogni 6 secondi e la
lunghezza di ogni pezzo di rotaia è di 12 m.
Soluzione:
n. colpi prodotti dal treno = 10
tempo durante il quale vengono prodotti i 10 colpi = 6 (s)
Lunghezza tra i giunti delle rotaie = 12 (m)
Moto uniforme del treno quindi con velocità costante.
S (m)
t (s)
v (m/s)
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

 Soluzione:
Calcolo dello spazio percorso dal treno in un tempo di 6 s:
S = N. colpi · lunghezza rotaia = 10 · 12 (m) = 120 (m)
Calcolo della velocità:
v =
t
S
= 120 (m) / 6 (s) = 20 (m/s)
v = 20 (m/s) · 3.600 (s/h) /1.000 (m/km) = 72 (km/h)
Esercizio 6:
Un treno percorre un tratto di 40 km in 20 minuti; poi sosta per 5 minuti, percorre altri 20 km in 40 minuti. Tracciare il
grafico del moto del treno, supponendo che i due tratti di moto avvengano a velocità costante.
Soluzione:
S1 = 40 (km)
t1 = 20 (minuti)
S2 = 0 (Km)
t2 = 5 (minuti)
S3 = 20 (km)
t3 = 40 (minuti)
S (m)
t (s)
v (m/s)

41
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

 Diagrammi del moto da utilizzare:
SPAZIO – TEMPO
VELOCITA’ - TEMPO
 Soluzione:

42
Esercizio 7:
Un treno parte da una stazione con una velocità costante di 50 km/h. Dopo 2 ore un secondo treno parte dalla stessa
stazione e raggiunge il primo treno dopo 4 ore. Calcolare la velocità del secondo treno..
Soluzione:
v1 = 50 (km/h)
t1 = 2 + 4 (ore)
 Incognite:
Spazio percorso da entrambi i treni = S (km)
Velocità del secondo treno = v2 (km/h)
S (km)
t (h)
v (km/h)
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

 Soluzione:
 Considerando che il secondo treno raggiunge il primo dopo 4 ore e che il primo treno era partito 2 ore
prima si conclude che il primo treno abbia viaggiato complessivamente per 6 ore prima di essere
raggiunto.
 Calcolo dello spazio percorso dal primo treno e quindi, ovviamente, anche dal secondo:
 S = tv  = 50 (km/h) · 6 (h) = 300 (km)
 Calcolo della velocità uniforme del secondo treno:
v =
t
S
=
h4
km300
= 75 (km/h)
Esercizio 8:
Due treni partono allo stesso istante dalla stessa stazione muovendosi in senso opposto su un percorso rettilineo con una
velocità costante di 60 e 70 km/h rispettivamente. Dopo quanto tempo distano di 26 km? E se si muovessero nello
stesso verso).
Soluzione:
v1 = 60 (km/h)
v2 = 70 (km/h)
S = 26 (km)
 Incognite:
Tempo impiegato dai due treni che si muovono in senso opposto per portarsi ad una distanza di 26 km.
S (km)
t (h)
v (km/h)

43
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

 Soluzione 1:
 La distanza di 26 km sarà la somma degli spazi percorsi rispettivamente dal primo e dal secondo treno nel
tempo incognito t.
 S = S1 + S2 = 26 km
 Supponendo di conoscere la durata del viaggio (ovviamente la stessa per i due treni visto che partono
contemporaneamente) che è il tempo incognito e dalla conoscenza delle rispettive velocità potremmo
calcolare gli spazi percorsi:
 S1= v1 · t
 S2 = v2 · t
 Quindi lo spazio complessivo sarà: v1 · t + v2 · t = 26 km
 Da cui:
 t · (v1 + v2) = 26 km
 t · (60 + 70) = 26 km
 t · 130 = 26 km
 Da cui si ottiene il tempo t:
 t = 26 (km) / 130 (km/h) = 0,2 (ore)
 Lo stesso tempo in minuti: 0,2 (ore) · 60 (min/ora) = 12 (minuti)
 Soluzione 2:
 La distanza di 26 km sarà, questa volta, la differenza degli spazi percorsi rispettivamente dal secondo (più
veloce) e dal primo treno (meno veloce) nel tempo incognito t.
 S = S2 - S1 = 26 km
 Supponendo di conoscere la durata del viaggio (ovviamente la stessa per i due treni visto che partono
contemporaneamente) che è il tempo incognito e dalla conoscenza delle rispettive velocità potremmo
calcolare gli spazi percorsi:
 S1= v1 · t
 S2 = v2 · t
 Quindi lo spazio complessivo sarà: v2 · t – v1 · t = 26 km
 Da cui:
 t · (v2 - v1) = 26 km
 t · (70 - 60) = 26 km
 t · 10 = 26 km
 t = 26 (km) / 10 (km/h) = 2,6 (ore)
 Lo stesso tempo in minuti: 2,6 (ore) · 60 (min/ora) = 156 (minuti)
Esercizio 9:
Due corpi vengono lanciati l’uno contro l’atro con moto uniforme da due posizioni A e B distanti 1,8 m lungo la retta
che congiunge i punti A e B.
Il primo con velocità di 4 cm/s ed il secondo con velocità di 5 cm/s.
Dopo quanto tempo si incontrano e a quale distanza dal punto A?
Soluzione:
v1 = 4 (cm/s)
v2 = 5 (cm/s)
SAB = 1,8 (m)
Moto uniforme

44
 Incognite:
Tempo impiegato dai corpi per incontrarsi. I corpi si muovono uno contro l’altro
Distanza alla quale si incontrano misurata dal punto A
S (cm)
t (s)
v (cm/s)
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

 Soluzione 1:
 I corpi si incontreranno, quando la loro distanza reciproca sarà nulla e quindi quando la somma dei loro
spostamenti nel tempo incognito sarà uguale alla loro distanza iniziale di 1,8 m.
 S = S1 + S2 = 1,8 m
 Supponendo di conoscere il tempo incognito (ovviamente la stessa per i due corpi visto che partono
contemporaneamente) e dalla conoscenza delle rispettive velocità potremmo calcolare gli spazi percorsi:
 S1= v1 · t
 S2 = v2 · t
 Quindi lo spazio complessivo sarà: v1 · t + v2 · t = 1,8 m
 Da cuiA
 t · (v1 + v2) = 1,8 m
 t · (4 + 5) = 1,8 m
 Attenzione: le unità di misura dello spazio e delle velocità non concordano ed è quindi necessario
procedere con l’equivalenza. Ad esempio si può trasformare lo spazio, dato in metri, in centimetri. Si avrà:
 t · 9 = 1,8 (m) ·100 (cm/m) = 180 (cm)
 t = 180 (cm) / 9 (cm/s) = 20 (s)
 Oppure trasformare le velocità espresse in (cm/s) in (m/s). Si avrà:
 t · 9 (cm/s) / 100 (cm/m) = 1,8 (m)
 t · 0,09 (m/s) = 1,8 (m)
 Da cui:
 t = 1,8 (m) / 0,09 (m/s) = 20 (s)
 Ovviamente i risultati devo essere uguali
 Soluzione 2:
La distanza alla quale si incontrano dopo un tempo ora non più incognito t = 20 s può essere calcolata tenendo
conto che il corpo che parte dal punto A mantiene una velocità di 4 cm/s. Quindi:
Spazio percorso dal corpo che parte dal punto A in un tempo di 20 s sino ad incontrarsi con il corpo che
proviene dal punto B e che a viaggiato anch’esso per 20 s:
SA = v1 · t = 4 (cm/s) · 20 (s) = 80 (cm)
Quindi mentre il primo corpo ha percorso 80 cm, il secondo ha invece percorso 100 cm.

45
Esercizio 10:
Due punti A e B si muovono lungo due assi cartesiani ortogonali X e Y partendo dall’origine con velocità uniformi v1 e
v2. Esprimere in funzione del tempo la distanza AB (ipotenusa di un triangolo rettangolo).
Soluzione:
v1X = (m/s) Le unità di misura sono scelte a piacere
v2Y = (m/s)
Moto uniforme sia lungo l’asse X sia lungo l’asse Y
Angolo di 90° tra i due moti (gli spostamenti dei punti sono i cateti mentre la loro distanza è
l’ipotenusa del triangolo rettangolo)
 Incognite:
Distanza SAB tra i due punti in funzione del tempo
Diagramma che rappresenti la distanza SAB in funzione del tempo
S (m)
t (s)
v (m/s)
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

Teorema di Pitagora
 Soluzione 1:
 La distanza SAB tra i due punti che si allontanano tra loro muovendosi rispettivamente lungo l’asse X e Y
può essere calcolata per mezzo del Teorema di Pitagora in cui:
 SAB = BY
2
AX
2
SS 
 La distanza, funzione del tempo e della velocità, a cui si portano i due punti rispetto all’origine degli assi,
si calcola:
SAX = v1· t
SBY = v2· t
Quindi la distanza SAB, in funzione del tempo, è:
SAB = √(v1· t)2
+ (v2· t)2
=
22
2
22
1 tvtv  =   2
2
2
1
2
tvv  =  2
2
1
2
vvt 
Esercizio 11:
Due ciclisti partono dal vertice di un angolo retto e ne percorrono i lati: se le rispettive velocità sono di 27 e 36 km/h, a
quale distanza saranno dopo 2 minuti e dopo quanto tempo si troveranno alla distanza di 12 km?
Soluzione:
v1X = 27 (km/h)
v2Y = 36 (km/h)
t = 2 (minuti)
S12 = 12 (km)
Moto uniforme sia lungo l’asse X sia lungo l’asse Y
Angolo di 90° tra i due moti (gli spostamenti dei punti sono i cateti mentre la loro distanza è
l’ipotenusa del triangolo rettangolo)

46
 Incognite:
Distanza S12 dopo un tempo di 2 minuti
Tempo impiegato per portarsi ad una distanza di 12 km
S (m)
t (s)
v (m/s)
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

Teorema di Pitagora
 Soluzione 1:
 La distanza S12 tra i due ciclisti che si allontanano tra loro muovendosi rispettivamente lungo l’asse X e Y
può essere calcolata per mezzo del Teorema di Pitagora in cui:
 S12 = Y2
2
X1
2
SS 
 La distanza, funzione del tempo e della velocità, a cui si portano i due ciclisti rispetto all’origine degli assi,
si calcola:
S1X = v1· t = 27 (km/h) · 2 (min) = (27 km/h /60 min/h ) · 2 (min) = 0.9 km
S2Y = v2· t = 36 (km/h) ·2 (min) = (36 km/h/60 min/h) · 2 (min) = 1.2 km
Quindi la distanza S12 è:
S12 = √ 0,92
+ 1,22
= 1,5 km
 Soluzione 2:
 Tenendo presente l’esercizio precedente e il fatto che la distanza tra i due ciclisti debba essere di 12 km si
può calcolare il tempo necessario con la formula seguente:
S12 = √(v1· t)2
+ (v2· t)2
=
22
2
22
1 tvtv  =   2
2
2
1
2
tvv  =  2
2
1
2
vvt 
S12 =  2
2
1
2
vvt  = 12 km
Da cui si ottiene il tempo necessario:
t =
 2
2
1
2
12
vv
S

=
 22
3627
km12

= 0,2666667 h = 0,2666667 (h) · 60 (min/h) = 16
(min)
Esercizio 12:
Durante una gara ciclistica di velocità su pista con percorso di 2.500 m, un concorrente sulla linea del traguardo precede
un avversario di 5 m: la velocità del vincitore è stata di 54 km/h. Calcolare la velocità tenuta dal secondo ciclista.
Soluzione:
v1 = 54 (km/h)
Spazio fatto dal primo ciclista = S1 = 2.500 (m)
Distanza tra i due ciclisti al taglio del traguardo del 1° ciclista = 5 (m)
Spazio fatto dal secondo ciclista all’arrivo del 1° ciclista = S2 = 2.495 (m)
Moto uniforme

47
 Incognite:
tempo impiegato dal primo ciclista per tagliare i traguardo
Velocità del 2° ciclista
S (m)
t (s)
v (m/s)
v =
t
S
S = tv 
t
v
S

 Soluzione:
 Il tempo impiegato dal 1° ciclista, la cui velocità è risultata di 54 km/h, per vincere tagliando il traguardo,
si può calcolare:
t
v
S
 =
h/km54
m500.2
 =
s/m
600.3
100054
m500.2

 = 166,66 s
 Il secondo ciclista ha quindi impiegato lo stesso tempo del 1° ciclista ma ha percorso uno spazio di 5 metri
inferiore al primo. Possiamo quindi calcolare la velocità del 2°:
v =
t
S
=
s66,166
m495.2
= 14,97 (m/s) · 3.600 (s/h) /1.000 (m/km) = 53,894 (km/h)

48
MOTO RETTILINEO NON UNIFORME – MOTO RETTILINEO VARIO
La traiettoria è sempre una linea retta, ma la velocità non è costante ed è quindi variabile da punto a
punto o da istante ad istante.
Il vettore velocità mantiene la direzione mentre il modulo e il verso possono cambiare.
Nello stesso tempo potremo dire che, mentre il corpo si muove, il rapporto tra lo spazio percorso e il
tempo impiegato non è costante,.
Possiamo rappresentare il moto “NON UNIFORME” sia col diagramma “SPAZIO–TEMPO” sia
col diagramma “VELOCITA’–TEMPO”.
IL DIAGRAMMA SPAZIO-TEMPO E LA VELOCITA’ MEDIA
Il diagramma seguente rappresenta la variazione dello spazio percorso da un corpo che si muove di
moto vario.
Come si nota la linea caratteristica del moto non è una linea retta ma una curva qualsiasi e ciò
significa che la velocità non si mantiene costante, ma aumenta o diminuisce durante il moto.
Dalla lettura del diagramma si possono trarre i dati seguenti:
 Tra l’istante t1= 2 (s) e l’istante t2= 4 (s), quindi in 2 (s), il corpo percorre circa 21 (m).
 Tra l’istante t4= 9 (s) e l’istante t5= 17,75 (s), quindi in 8,75 (s), il corpo percorre circa 45
(m)
.
Dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato tra i vari istanti si ottiene la velocità media
mantenuta dal corpo in movimento; ovviamente le velocità sono diverse tra loro e ciò dimostra che
il moto NON è uniforme:
 v(media)1-2 = S1-2/t1-2 = 21(m)/2(s) = 10,5 (m/s)
 v(media)2-3 = S2-3/t2-3 = 25(m)/4(s) = 6,25 (m/s)
 v(media)3-4 = S3-4/t3-4 = 32(m)/1(s) = 32 (m/s)
 v(media)4-5 = S4-5/t4-5 = 45(m)/8,75(s) = 5,14 (m/s)
La velocità media vM non è, in realtà, la vera velocità mantenuta dal corpo durante il movimento
bensì la velocità fittizia di moto uniforme che dovrebbe mantenere per percorrere lo stesso spazio
nello stesso tempo.

49
Figura 33 – DIAGRAMMA SPAZIO-TEMPO CARATTERISTICO DEL MOTO VARIO.
E’ naturalmente possibile estendere il calcolo della velocità media all’intero percorso nel modo
seguente:
v(media)1-5 = S1-5/t1-5 = 123(m)/15,75(s) = 7,81 (m/s)
I valori delle velocità medie calcolate tra i vari istanti, rappresentano, sul diagramma SPAZIO-
TEMPO, le diverse pendenze dell’ipotenusa dei vari triangoli rispetto alla retta orizzontale.
ESEMPIO 1:
Calcolare la velocità media mantenuta da un motociclista che percorre un tratto di strada di 20 km
in un tempo di 6,5 minuti.
Per determinare la velocità media del motociclista è necessario dividere lo spazio percorso per il tempo impiegato:
vM= Stotale / ttotale
Si decide di utilizzare il metro come unità di misura dello spazio e il secondo come unità di misura del tempo.
Equivalenza:
Spazio 20 (km) · 1.000 (m/km) = 20.000 (m)
Tempo 6,5 (min) · 60 (s/min) = 390 (s)
Calcolo della velocità media:
vM= 20.000 (m)/390 (s) = 51,28 (m/s)
Equivalenza

50
ESEMPIO 2:
Un’automobilista percorre un tratto di strada di 15 km in un tempo di 25 minuti, si ferma in un
autogrill per 15 minuti, un altro tratto di 40 km in 12,5 minuti, sosta per 4 minuti per rifornimento
di carburante e, infine, un ultimo tratto di strada di 50 km in 43 minuti.
Determinare le velocità medie nei vari tratti e la velocità media sull’intero percorso.
Dati del problema:
S1 = 15 (km) t1= 25 (min)
S2 = 0 (km) t2= 15 (min)
S3 = 40 (km) t3= 12,5 (min)
S3 = 0 (km) t4= 4 (min)
S3 = 50 (km) t4= 43 (min)
EQUIVALENZA UNITA’ DI MISURA. SI ADOTTANO LE UNITA’ DI MISURA DEL SISTEMA
INTERNAZIONALE.
S1 = 15 (km) → 15 (km) x 1.000 (m/km) = 15.000 (m)
S2 = 0 (km) → 0 (km) x 1.000 (m/km) = 0 (m)
S3 = 40 (km) → 40 (km) x 1.000 (m/km) = 40.000 (m)
S3 = 0 (km) → 0 (km) x 1.000 (m/km) = 0 (m)
S3 = 50 (km) → 50 (km) x 1.000 (m/km) = 50.000 (m)
t1= 25 (min) → 25 (min) x 60 (s/min) = 1.500 (s)
t2= 15 (min) → 15 (min) x 60 (s/min) = 900 (s)
t3= 12,5 (min) → 12,5 (min) x 60 (s/min) = 750 (s)
t4= 4 (min) → 4 (min) x 60 (s/min) = 240 (s)
t4= 43 (min) → 43 (min) x 60 (s/min) = 2.500 (s)
CALCOLO DELLE VELOCITA’ MEDIE PARZIALI:
vM1 = S1/t1= 15.000 (m)/1.500 (s) = 10 (m/s)
vM2 = S2/t2= 0 (m)/900 (s) = 0 (m/s)
vM3 = S3/t3= 40.000 (m)/750 (s) = 53,33 (m/s)
vM4 = S4/t4= 0 (m)/240 (s) = 0 (m/s)
vM5 = S5/t5= 50.000 (m)/2.500 (s) = 20 (m/s)
CALCOLO DELLA VELOCITA’ MEDIA SU TUTTO IL PERCORSO:
vM = Stotale/ttotale= (15.000+0+40.000+0+50.000) (m) / (1.500+900+750+240+2.500) (s) =
vM = 105.000 (m) / 5.890 (s) = 17,83 (m/s)
EQUIVALENZA DA (m/s) A (km/h):
vM = 17,83 (m/s) x 3.600 (s/h)/1.000 (m/km) = 17,83 x 3,6 = 64,18 (km/h)

51
IL DIAGRAMMA SPAZIO-TEMPO E LA VELOCITA’ ISTANTANEA.
Il valore della velocità media vM non basta però a caratterizzare i vari istanti costituenti il moto di
un corpo.
Per esempio, dall’esercizio precedente, siamo in grado di conoscere la velocità media mantenuta
dall’automobilista nei vari tratti del suo percorso, ma, non sappiamo assolutamente nulla di quanto è
successo, a proposito della velocità, nei vari istanti del moto.
Infatti, salvo nei tratti in cui l’automobilista si è fermato e la sua velocità è evidentemente nulla, non
siamo in grado di valutare le effettive velocità mantenute dallo stesso.
Sappiamo che il primo tratto di 15 km è stato percorso in 25 minuti ad una velocità media di 10
(m/s), ma, quali sono state le effettive velocità mantenute durante il trascorrere dei 25 minuti?
L’esercizio non contiene i dati necessari per rispondere alla domanda.
Occorre quindi ripartire dal concetto di velocità media utilizzando il grafico “Spazio-tempo” già
preso in considerazione concentrando l’attenzione su una parte dello stesso.
Come si è già definito, la velocità media è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato.
Se il moto non è uniforme la linea del diagramma “spazio-tempo” non è una line retta, ma una linea
curva; la velocità media è invece rappresentata dal tratto di segmento che unisce il punto iniziale
con il punto finale.
Nel punto iniziale e finale del moto, indicati sul grafico con i simboli t1 e t2, la curva e il segmento
coincidono indicando così lo stesso spazio percorso.
Ma tra l’istante iniziale e quello finale le due linee sono separate da una certa distanza che è
variabile in funzione del tempo.
La distanza tra le due linee rappresenta la differenza tra lo spazio percorso dal corpo che si muove
di moto vario (linea curva) e lo spazio percorso (nello stesso istante) da un corpo ipotetico che
invece si muove di moto uniforme con la velocità media calcolata (segmento).
Al tempo t2 entrambi i corpi, anche se con velocità differenti, hanno però percorso lo stesso spazio.
Si può quindi affermare che, se il segmento fittizio e la curva reale non sono troppo distanti tra loro,
le differenze di spazio percorso sono minime e quindi il segmento approssima la curva.
In altri termini potremo dire che il moto uniforme tra i due istanti è simile al moto vario reale tra gli
stessi istanti e quindi la velocità media è prossima al valore della velocità che realmente ha il corpo
se la curva e il segmento si confondono.
Per confondere una linea curva con un segmento occorre che la loro distanza sia minima e ciò è
possibile immaginando di restringere l’intervallo di tempo tra l’istante iniziale e quello finale.
Ad esempio, sul primo diagramma in figura si è considerato un intervallo di tempo compreso tra il
tempo t1= 1 (s) e il tempo t2= 6 (s) quindi Δt= 5 (s), mentre sul secondo diagramma si è considerato
un intervallo di tempo Δt = 3 (s) tra gli istanti t1= 2 (s) e t2= 5 (s).
Si può notare che nel secondo caso il segmento e la curva sono più ravvicinati, si confondono
meglio e quindi la velocità media ha un valore prossimo alla velocità reale.
Ora si può pensare di ridurre ulteriormente l’intervallo di tempo sino a pensare i due istanti molto
ravvicinati tra loro.
Quanto ravvicinati?
Teoricamente tanto ravvicinati da poter confondere l’istante iniziale con quello finale e viceversa;
praticamente invece la vicinanza tra i due istanti dipenderà dal tipo di strumento di cronometro
utilizzato.
Ad esempio con un cronometro di sensibilità 1/1000 saremo in grado di distinguere istanti di tempo
diversi tra loro per la millesima parte di secondo.
Seguendo questo procedimento risulta chiaro che il segmento che unisce due punti tanto ravvicinati
è praticamente uguale alla curva reale caratteristica del moto.
In queste condizioni particolari la velocità media che andremo a calcolare corrisponde alla velocità
reale del corpo che si muove.
Questa particolare velocità media sarà, d’ora in avanti, definita VELOCITA’ ISTANTANEA.

52
La velocità istantanea (in un determinato istante) è quindi il valore limite cui tende la velocità
media se essa è calcolata considerando un intervallo di tempo piccolissimo e quindi tendente a
zero.
Il valore della velocità istantanea è anche rappresentato dalla pendenza, rispetto alla retta
orizzontale dei tempi, della linea retta tangente alla curva dello spazio nell’istante considerato.
Ragionando in questo modo potremo dire che la velocità istantanea è più elevata nei punti in cui la
curva è più ripida, ed è uguale a zero (il corpo è fermo) se la curva diventa una linea retta
orizzontale.


Figura 34 – DIAGRAMMA SPAZIO-TEMPO – LA VELOCITA’ ISTANTANEA.
Figura 35 – LE VELOCITA’ ISTANTANEE AI VARI ISTANTI – PENDENZA DELLA TANGENTE.

53
RIEPILOGO DELLE LEGGI DEL MOTO VARIO
VMEDIA =
TOTALE
TOTALE
t
S
Legge per il calcolo della velocità MEDIA
STOTALE = TOTMEDIA
tv  Legge per il calcolo dello spazio percorso
.TOT
t
MEDIA
TOTALE
v
S
 Legge per il calcolo del tempo
VISTANT.=
t
S
Legge per il calcolo della velocità ISTANTANEA
(per il calcolo della velocità istantanea occorre però che
il tempo, al denominatore, sia molto piccolo)

54
ESERCIZI – MOTO VARIO
Esercizio 1:
Un ciclista percorre un tratto di strada in pianura lungo 8 km in 32 minuti; poi percorre una strada in salita lunga 3 km
in 20 minuti, infine una discesa lunga 4 km in 8 minuti.
Calcolare la velocità media relativa all’intero percorso e la velocità media relativa ai singoli percorsi parziali.
Soluzione:
S1= 8 (km)
t1 = 32 (min)
S2= 3 (km)
t2 = 20 (min)
S3= 4 (km)
t3 = 8 (min)
Moto vario sia su tutto il percorso sia nei vari tratti
 Incognite:
Velocità media sull’intero percorso
Velocità medie su tutti i tratti del percorso
S (m)
t (s)
v (m/s)
vMEDIA =
TOTALE
TOTALE
t
S
STOTALE = TOTALEMEDIA
tv 
t TOTALE
MEDIA
TOTALE
v
S

 Soluzione:
 La velocità media sull’intero percorso è data dal rapporto tra lo spazio totale e il tempo complessivamente
impiegato sul percorso.
vMEDIA =
TOTALE
TOTALE
t
S
=
321
321
ttt
SSS


=
82032
438


=
min60
km15
= 15 km/h
 Le velocità medie sui vari tratti sono invece:
v1media =
1
1
t
S
= hmin/60
min32
km8
 = 15 km/h
v2media =
2
2
t
S
= hmin/60
min20
km3
 = 9 km/h
v3media =
3
3
t
S
= hmin/60
min8
km4
 = 30 km/h

55
Esercizio 2:
Un’auto parte da una città alle ore 14 ed arriva a destinazione alle ore 18 e 43 minuti: la lunghezza del percorso è di 420
km.
Si calcoli la velocità media sul suddetto percorso espressa in m/s e in km/h.
Sapendo che l’auto, esattamente a metà percorso, è arrivata alle ore 16 e 35 minuti ed è ripartita alle ore 17, si determini
la velocità media dell’auto nei due tratti.
Soluzione:
S1= 420 (km)
S2= 210 (km)
tp = 0re 14 istante della partenza
ta = ore 18 e 43 minuti istante di arrivo
Δt1 = 18 e 43 – 14 = 4 ore e 43 minuti = 283 minuti durata del viaggio
tintermedio= ore 16 e 35 minuti istante intermedio
tripartenza= ore 17 istante ripartenza
Δt = 17 – 16 e 35 = 25 minuti fermata
Δt2 = 18 e 43 – 17 = 1 ora e 43 minuti = 103 minuti durata 2° tratto
Δt3 = 283 – 103-25 = 155 minuti durata 1° tratto
 Incognite:
Velocità media sull’intero percorso espressa in m/s e in km/h
Velocità medie sui due tratti di percorso intervallati dalla fermata
S (m)
t (s)
v (m/s)
vMEDIA =
TOTALE
TOTALE
t
S
tv 
t TOTALE
MEDIA
TOTALE
v
S

 Soluzione:
 La velocità media sull’intero percorso è data dal rapporto tra lo spazio totale e il tempo complessivamente
impiegato sul percorso.
vMEDIA =
TOTALE
TOTALE
t
S
=
min283
km420
= 1,4841 km/min · 60 (min/h) = 89,06 (km/h)
vMEDIA= 89,06 (km/h) · 1.000 (m/km) /3.600 (s/h) = 24,74 (m/s)
 Le velocità medie sui vari tratti sono invece:
v1media =
1
1
t
S
= hmin/60
min103
km210
 = 122,33 (km/h)
v1media= 122,33 (km/h) · 1.000 (m/km)/3.600 (s/h) = 33,98 (m/s)

56
v2media =
2
2
t
S
= hmin/60
min155
km210
 = 81,30 km/h
v1media= 81,30 (km/h) · 1.000 (m/km)/3.600 (s/h) = 22,58 (m/s)
Esercizio 3:
Con una moto si è percorso un giro turistico consumando 25 litri di benzina: se il consumo di carburante è stato in
media di 20 cm3
per km e si sono impiegate complessivamente 25 ore, quale velocità media si è tenuta?
Soluzione:
Q = 25 (lt) consumo complessivo di benzina
q = 20 (cm3
/km) consumo medio di benzina per ogni km
t = 25 (h) tempo complessivamente impiegato
 Incognite:
Velocità media sull’intero percorso
S (m)
t (s)
v (m/s)
vMEDIA =
TOTALE
TOTALE
t
S
tv 
t TOTALE
MEDIA
TOTALE
v
S

 Soluzione:
 Considerato che si conosce il consumo totale di carburante e il consumo medio per km è possibile
calcolare lo spazio complessivo fatto dal motociclista.
 Equivalenza tra volume di benzina espresso il litri e volume espresso in cm3
:
1 litro = 1 dm3
= 10 · 10 · 10 = 1.000 cm3
25 litri = 25 (lt) · 1.000 (cm3
/lt) = 25.000 (cm3
)
 Calcolo dello spazio percorso complessivo:
S = 25.000 (cm3
) /20 (km/cm3
) = 1.250 (km)
 Calcolo della velocità media:
vMEDIA =
TOTALE
TOTALE
t
S
=
ore25
km250.1
= 50 (km/h)

57
Esercizio 4:
Un treno raggiunge una località con una velocità media di 70 km/h. Al ritorno procede per 1ora e 15 minuti ad una
velocità media di 55 km/h; si ferma per 30 minuti in una stazione di transito ed arriva alla località di partenza
impiegando un tempo totale di 5 ore, procedendo dopo la sosta ad una velocità media di 90 km/h.
Calcolare la distanza della località ed il tempo impiegato nell’andata.
Soluzione:
v1MEDIA = 70 (km/h)
v2MEDIA = 55 (km/h)
t1 = 1 ora e 15 minuti = 75 (min)
t2 = 30 (min)
tT = 5 ore = 300 (min)
v3MEDIA = 90 (km/h)
 Incognite:
Distanza della località
Tempo impiegato nell’andata
S (m)
t (s)
v (m/s)
vMEDIA =
TOTALE
TOTALE
t
S
tv 
t TOTALE
MEDIA
TOTALE
v
S

 Soluzione:
 Utilizzando il tragitto di ritorno si calcola lo spazio complessivo:
S1 = 1MEDIA t2v  = 55 (km/h) · 75 (min) / 60 (min/h) = 68,75 (km)
S2 =  12TMEDIA ttt3v  = 90 (km/h) · (300-30-75) (min) / 60 (min/h) = 292,5 (km)
STOTALE = 68,75 + 292,5 = 361,25 (km)
 Calcolo del tempo impiegato per il viaggio di andata:
t TOTALE
MEDIA
TOTALE
v
S
 =
h/km70
km25,361
 = 5,16 (h) · 60 (min/h) = 309,64 (min)

58
MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Il moto del corpo si sviluppa lungo una traiettoria rettilinea e la velocità aumenta o diminuisce
sempre dello stesso valore in uno stesso intervallo di tempo.
Se la velocità aumenta nel tempo il moto è uniformemente accelerato, se diminuisce il moto è
uniformemente decelerato.
Un esempio importante di moto uniformemente accelerato è la caduta dei corpi sottoposti alla forza
gravitazionale terrestre (caduta dei gravi) in cui la velocità di caduta aumenta di un valore pari a
circa 9,81 (m/s) per ogni secondo di durata del fenomeno.
In pratica, lasciando cadere un corpo da una certa altezza e supponendo che la caduta avvenga nel
vuoto, la sua velocità dopo 1 (s) sarà di 9,81 (m/s), dopo 2 (s) sarà di 2x9,81 (m/s) e così via.
E’ invece un esempio importante di moto uniformemente decelerato la salita in verticale di un corpo
lanciato in alto e sottoposto sempre all’azione gravitazionale terrestre.
In questo caso la velocità del corpo subirà una diminuzione di circa 9,81 (m/s) per ogni secondo di
durata del fenomeno.
Anche in questo caso dovremo supporre che il moto avvenga nel vuoto e quindi senza l’attrito con
l’aria.
La variazione di velocità può essere provocata da cause naturali, quali la forza di gravità, oppure in
modo artificiale con l’intervento di macchine inventate dall’uomo (motore di un’automobile,
propulsore a reazione di un razzo o di un aereo).
Nel primo caso si parlerà di MOTO NATURALMENTE E UNIFORMEMENTE
ACCELERATO mentre, nel secondo, di MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.
Con i termini “UNIFORMEMENTE ACCELERATO” s’intende che il rapporto tra il valore
dell’incremento di velocità (o il decremento) tra l’istante iniziale e quello finale e il valore
dell’intervallo di tempo, è costante durante tutto il moto ed è definito “ACCELERAZIONE” se
positivo, “DECELERAZIONE” se negativo.
Sfruttando la simbologia già adottata per gli altri tipi di moto studiati, potremo dire che il moto è
UNIFORMENTE ACCELERATO se:
( v f - v i ) / ( t f - t i ) = costante = K
Cioè:
t
v


= K
Con il seguente significato dei simboli:
v f → Velocità all’istante finale (m/s)
v i → Velocità all’istante iniziale (m/s)
t f → Tempo segnato dal cronometro all’istante finale (s)
t i → Tempo segnato dal cronometro all’istante iniziale (s)
v = v f – v i → Incremento (decremento) di velocità (m/s)
t = f
t - i
t → Intervallo di tempo (s)
K → Costante del moto o ACCELERAZIONE (m/s2
)
Tenendo presente che il valore della costante K è l’accelerazione, potremo scrivere la legge
fondamentale del moto “uniformemente accelerato” nel modo seguente:

59
a =
t
v


= ( v f - v i ) / ( t f - t i ) LEGGE DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.
Come si nota le grandezze velocità sono da considerarsi dei vettori e l’accelerazione, essendo
ottenuta dal rapporto tra un vettore e un numero (Δt), continua ad essere un vettore.
Si ricorda che, trattandosi di moto rettilineo, tutti i vettori sono paralleli tra loro e possono quindi
essere sommati e/o sottratti con il metodo algebrico.
Ciò continua ad essere importante ai fini della distinzione tra moto rettilineo e moto curvilineo.
Figura 36 – CONDIZIONE DI MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.
Figura 37 - CONDIZIONE DI MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.

60
LE LEGGI DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
La velocità del corpo non è mai costante, ma aumenta (o diminuisce) in modo graduale in
proporzione al tempo trascorso.
La variazione del valore della velocità, per ogni secondo, è uguale al valore dell’accelerazione o
della decelerazione.
Il vettore velocità, pur variabile come modulo, mantiene però sempre la stessa direzione rettilinea.
LA LEGGE FONDAMENTALE – IL CALCOLO DELL’ACCELERAZIONE.
Il moto uniformemente accelerato è caratterizzato dalle seguenti relazioni tra le grandezze tipiche:
a = Δv / Δt = (vf – vi) / (tf – ti)
In particolare se, all’istante iniziale, il tempo iniziale corrisponde al valore 0 (il cronometraggio
inizia con il cronometro azzerato), si avrà:
ti = 0 (s)
da cui:
a = (vf – vi) / tf
Se poi l’istante finale tf è generalizzato come “istante qualsiasi” si avrà:
a = (vf – vi) /t = Costante
a =
t
v


= ( v f - v i ) / t Legge fondamentale del moto uniformemente accelerato
IL DIAGRAMMA ACCELERAZIONE - TEMPO
Il diagramma accelerazione-tempo, quando il moto è uniformemente accelerato, è rappresentato da
una linea retta orizzontale e quindi parallela all’asse dei tempi.
Ciò è dovuto al fatto che l’accelerazione è uniforme e che quindi il suo valore è sempre lo stesso per
ogni istante considerato.
Nel caso in cui l’accelerazione è positiva, cioè diretta nel senso positivo del moto, la retta sarà
collocata superiormente all’asse dei tempi, mentre sarà collocata sotto l’asse dei tempi nel caso
contrario (decelerazione).
L’accelerazione positiva provoca un aumento della velocità se la velocità iniziale ha verso positivo
oppure una diminuzione della velocità se la velocità iniziale ha verso negativo.
L’accelerazione negativa provoca una diminuzione della velocità se la velocità iniziale ha verso
positivo oppure un aumento se la velocità iniziale ha verso negativo.

61
Figura 38 – MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO - (DIAGRAMMA ACCELERAZIONE – TEMPO)
Figura 39 – DIAGRAMMA DI MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO CON VARIAZIONI DI
ACCELERAZIONE
Come si nota le linee del grafico che rappresentano il moto uniformemente accelerato sono rette
parallele all’asse dei tempi.
Nel secondo diagramma, le linee inclinate rappresentano che l’accelerazione, tra i tempi indicati,
NON è costante ma subisce delle variazioni proporzionali.
Nel caso della fig. 102 si possono individuare quattro moti uniformemente accelerati e quattro
cambi di accelerazione.

62
IL DIAGRAMMA ACCELERAZIONE – TEMPO E LA VELOCITA’ FINALE.
Oltre a dare indicazioni circa l’accelerazione mantenuta dal corpo in movimento in funzione del
tempo trascorso, il diagramma ACCELERAZIONE-TEMPO, permette anche di visualizzare o di
calcolare la velocità del corpo ad un certo istante qualora sia nota la velocità ad un istante
precedente.
Cioè, in definitiva, se è noto il diagramma accelerazione-tempo e la velocità iniziale è possibile
calcolare la velocità finale ad un istante qualsiasi.
L’incremento o il decremento di velocità rispetto alla velocità iniziale è rappresentato dall’area
delle figure racchiuse dalle seguenti linee:
 La linea retta che indica il valore dell’accelerazione (per il moto uniformemente accelerato
una linea parallela all’asse dei tempi – per il moto non uniformemente accelerato una linea
inclinata o curva)
 Dalle due linee verticali, una a sinistra e una a destra, che indicano i valori dei tempi tra i
quali si desidera calcolare la variazione di velocità
 Dalla linea orizzontale costituita dall’asse dei tempi
Quando il moto è uniformemente accelerato le figure saranno rettangoli mentre se non è
uniformemente accelerato saranno, di solito, triangoli o trapezi.
Se l’accelerazione è espressa in m/s2
e il tempo in secondi, l’area della figura rappresenterà la
variazione di velocità espressa in metri al secondo (m/s).
Figura 40 – DIAGRAMMA ACCELERAZIONE-TEMPO E INCREMENTO DI VELOCITA’ NEL MOTO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO. CASO CON ACCELERAZIONE POSITIVA E/0 NEGATIVA.

63
Figura 41 – DIAGRAMMA ACCELERAZIONE-TEMPO E VARIAZIONE DI VELOCITA’ NEL MOTO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO E NEI TRATTI DI MOTO CON VARIAZIONE LINEARE
DELL’ACCELERAZIONE. CASO CON SOLA ACCELERAZIONE POSITIVA.
Figura 42 – DIAGRAMMA ACCELERAZIONE-TEMPO E VARIAZIONE DI VELOCITA’ NEL MOTO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO E NEI TRATTI DI MOTO CON VARIAZIONE LINEARE
DELL’ACCELERAZIONE. CASO CON ACCELERAZIONE POSITIVA E NEGATIVA

64
LA LEGGE PER IL CALCOLO DELLA VELOCITA’ FINALE O INIZIALE
Utilizzando ora la legge fondamentale del moto uniformemente accelerato è possibile, invertendo
la formula, trovare la relazione che permette di calcolare la velocità ad un determinato istante
supponendo di essere a conoscenza della velocità ad un istante precedente.
Si ricorda, infatti, che, nel moto accelerato o decelerato con accelerazione costante (moto
uniformemente accelerato), la velocità con la quale procede il corpo in movimento NON E’ MAI
costante, ma cambia da istante ad istante.
Dalla legge fondamentale del moto uniformemente accelerato:
a = (vf – vi) /t = Costante
a =
t
v


= (v f - v i ) / t Legge fondamentale del moto uniformemente accelerato
Si ricava, invertendo la formula:
vf = vi + a • t Legge per il calcolo della velocità finale
Oppure, qualora occorra calcolare la velocità iniziale:
vi = vf - a• t Legge per il calcolo della velocità iniziale
Da tenere presente che, anche se si è rinunciato al simbolo del vettore, la velocità è comunque
sempre una grandezza vettoriale.
N.B.: Nelle due formule per il calcolo della velocità finale o di quella iniziale compare la
grandezza accelerazione preceduta dal segno positivo (per il calcolo della velocità finale) e dal
segno negativo (per il calcolo della velocità iniziale).
Negli esercizi applicativi l’accelerazione a potrà essere positiva (accelerazione – la velocità finale
del corpo aumenta durante il movimento se la velocità iniziale è già positiva oppure diminuisce se
la velocità iniziale è negativa) oppure negativa (decelerazione – la velocità finale del corpo
diminuisce durante il movimento se la velocità iniziale è positiva oppure aumenta se la velocità
iniziale è negativa).
In ogni caso il valore dell’accelerazione da inserire nelle due formule sarà comprensivo anche del
segno algebrico caratteristico e il risultato finale dovrà tenere conto dei segni algebrici che
precedono:
Caso 1:
Accelerazione positiva: a > 0 Accelerazione (aumento di velocità)
Velocità iniziale positiva: vi > 0 Concorde col verso positivo
vf = vi + a • t = +vi + (+a) • t = vi + a • t
Caso 2:
Accelerazione negativa: a < 0 Decelerazione (frenata)
Velocità iniziale positiva: vi > 0 Concorde col verso positivo
vf = vi + a • t = +vi + (-a) • t = vi - a • t

65
Caso 3:
Accelerazione positiva: a > 0
Velocità iniziale negativa: vi < 0 Discorde col verso positivo
vf = vi + a • t = -vi + (+a) • t = -vi + a • t
Caso 4:
Accelerazione negativa: a < 0
Velocità iniziale negativa: vi < 0 Discorde col verso positivo
vf = vi + a • t = -vi + (-a) • t = -vi - a • t
IL DIAGRAMMA VELOCITA’ – TEMPO NEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Quando il moto è uniformemente accelerato il diagramma velocità-tempo è rappresentato da una
retta più o meno inclinata rispetto alla direzione orizzontale costituita dall’asse dei tempi.
L’inclinazione della retta dipende dal valore dell’accelerazione.
Valori elevati dell’accelerazione comportano un aumento dell’inclinazione della retta e viceversa.
Se l’accelerazione è positiva l’inclinazione della retta sarà compresa tra il valore 0° e 90° (il valore
dell’accelerazione corrisponde al coefficiente angolare della retta – in pratica il valore
dell’accelerazione è anche la Tangente dell’angolo formato dalla retta con l’asse dei tempi nel
sistema cartesiano velocità-tempo).
Se l’accelerazione è negativa (decelerazione) l’angolo sarà compreso tra il valore di 90° e 180°
(oppure un angolo negativo rispetto all’asse dei tempi).
In ogni caso il diagramma lineare costituito dalla linea retta rappresenta fisicamente una variazione
della velocità rispetto al tempo con valore sempre uguale al valore dell’accelerazione.
Se, per esempio, l’accelerazione ha un valore di 3 m/s2
ciò sta a significare che il valore della
velocità aumenta di 3 m/s per ogni secondo.
ESEMPIO:
vi = 5 m/s
a = 3 m/s2
t = 1 (s) v1= 5 + 3 (m/s) = 8 (m/s)
t = 2 (s) v2= 5 + 3·2 (m/s) = 11 (m/s)
t = 3 (s) v3= 5 + 3·3 (m/s) = 14 (m/s)
t = 4 (s) v4= 5 + 3·4 (m/s) = 17 (m/s)
Il diagramma velocità-tempo dipende quindi dal valore della velocità che ha il corpo in moto
uniformemente accelerato all’istante che consideriamo iniziale (ad esempio all’istante t = 0 s).
Se la velocità iniziale è nulla significa che il corpo parte da fermo e la linea retta passerà per
l’origine degli assi con inclinazione positiva se positivo è il valore dell’accelerazione (accelerazione
di un’automobile nel caso di partenza da fermo ad un semaforo), con inclinazione negativa se
negativo è il valore dell’accelerazione (caso di partenza in retromarcia).
La funzione che ci permette di costruire il diagramma è la LEGGE PER IL CALCOLO DELLA
VELOCITA’ FINALE nella sua formulazione più generale:

66
vf = vi + a • t
in cui, come prima detto, la velocità iniziale è nulla:
Quindi:
vf = vi + a • t = 0 + a • t = a • t



Figura 43 – DIAGRAMMA VELOCITA’-TEMPO NEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.
CASO CON PARTENZA DA FERMO ALL’ISTANTE INIZIALE E ACCELERAZIONE
POSITIVA.


Figura 44 - DIAGRAMMA VELOCITA’-TEMPO NEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.
CASO CON VELOCITA’ INIZIALE POSITIVA ALL’ISTANTE INIZIALE E ACCELERAZIONE
POSITIVA.

67


CASO CON VELOCITA’ INIZIALE POSITIVA ALL’ISTANTE INIZIALE E ACCELERAZIONE
NEGATIVA.


CASO CON VELOCITA’ INIZIALE NEGATIVA ALL’ISTANTE INIZIALE E ACCELERAZIONE
POSITIVA.

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