Um Estudo sobre Lógica Modal

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Um Estudo sobre Lógica Modal

  1. 1. Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática - IFM Curso de Bacharelado em Informática UM ESTUDO SOBRE LÓGICA MODAL Fernanda Oviedo Bizarro Pelotas - RS 1998
  2. 2. ESTA CAIXA DEVERÁ SER PREENCHIDA POR UM BIBLIOTECÁRIO
  3. 3. Fernanda Oviedo Bizarro UM ESTUDO SOBRE LÓGICA MODAL Monografia apresentada ao Curso de Bacharelado em Informática do Instituto de Física e Matemática da Universidade Federal de Pelotas, como requisito parcial à obtenção do título de Bacharel em Informática. Área de Concentração ou ênfase: Sistemas de Computação Orientador: Carlos Antônio Pereira Campani Universidade Federal de Pelotas Pelotas, RS 1998
  4. 4. Monografia defendida e aprovada, em 16 de janeiro de 1998, pela banca examinadora constituída pelos professores: Prof. Carlos Antônio Pereira Campani - Orientador Prof. Luiz Alberto Brettas Profª Débora Schuch da Rosa
  5. 5. Dedico este trabalho carinhosamente à minha mãe e ao meu irmão
  6. 6. AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente à minha mãe, pela paciência e dedicação; ao meu irmão pelo companheirismo sempre mostrado; ao meu pai, que com certeza está torcendo por mim; ao meu orientador, pela oportunidade e atenção no desenvolvimento desse trabalho; a todos os colegas e amigos, que de alguma forma sempre me incentivaram. ii
  7. 7. SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 01 1.1 Lógica Modal............................................................................................... 01 1.2 Uma Teoria de Conhecimento e Ação......................................................... 03 2 SEMÂNTICA DOS MUNDOS POSSÍVEIS DE KRIPKE.......... 05 3 SISTEMAS DA LÓGICA MODAL.................................................... 07 3.1 Sistema K..................................................................................................... 07 3.1.1 Diagrama.................................................................................................... 07 3.1.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 08 3.2 Sistema T...................................................................................................... 09 3.2.1 Diagrama.................................................................................................... 09 3.2.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 10 3.3 Sistema K4.................................................................................................... 11 3.3.1 Diagrama..................................................................................................... 11 3.3.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 12 3.4 Sistema S4.................................................................................................... 12 3.4.1 Diagrama..................................................................................................... 13 3.4.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 13 3.5 Sistema S5.................................................................................................... 14 3.5.1 Diagrama..................................................................................................... 14 3.5.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 15 3.6 Sistema Deôntico (D) ................................................................................... 15 3.6.1 Diagrama..................................................................................................... 16 3.6.2 Apresentação Axiomática............................................................................ 16 3.7 Resumo......................................................................................................... 17 4 A FÓRMULA DE BARCAN................................................................. 18 5 SISTEMA DE TABLEAU..................................................................... 20 5.1 Lógica Modal Proposicional........................................................................ 21 5.2 Sistema de Tableau com Unificação............................................................ 26 6 B-RESOLUTION DE KONOLIGE..................................................... 29 6.1 Lógica Modal Proposicional........................................................................ 29 6.2 Lógica Modal de Primeira Ordem............................................................... 33 7 RESOLUÇÃO UTILIZANDO WORLD-PATHS............................. 35 7.1 Lógica Modal................................................................................................ 35 7.2 P-Lógica........................................................................................................ 36 7.2.1 Sintaxe da P-Lógica..................................................................................... 36 7.3 Tradução da Sintaxe da Lógica Modal para Sintaxe da P-lógica............... 37 7.4 Forma Normal Conjuntiva.......................................................................... 41 7.5 World-Paths - Uma Sintaxe alternativa para W-termos.............................. 41 7.6 Unificação..................................................................................................... 42 8 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS....................................... 46 iii
  8. 8. 8.1 Sistema K...................................................................................................... 46 8.2 Sistema T...................................................................................................... 56 8.3 Sistema D...................................................................................................... 60 8.4 Sistema K4.................................................................................................... 62 8.5 Sistema S5..................................................................................................... 65 9 CONCLUSÕES.......................................................................................... 70 10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................. 71 iv
  9. 9. LISTA DE FIGURAS 1 - Acessibilidade no Sistema K (a)....................................................................... 08 2 - Acessibilidade no Sistema K (b)....................................................................... 08 3 - Acessibilidade no Sistema T............................................................................. 10 4 - Acessibilidade no Sistema K4........................................................................... 11 5 - Acessibilidade no Sistema S4........................................................................... 13 6 - Acessibilidade no Sistema S5............................................................................ 14 7 - Acessibilidade no Sistema D............................................................................. 16 8 - Um exemplo de Modelo.................................................................................... 31 v
  10. 10. Resumo Lógica modal é uma lógica não clássica que trabalha com os conceitos de necessidade, possibilidade e mundos possíveis. Este estudo apresenta três métodos para provas de teoremas: Sistema de tableau, B-Resolution de Konolige e Resolução utilizando World-Paths, desenvolvendo exemplos e, em cima desses exemplos, fazendo comparações entre os métodos. Nossa abordagem teve a finalidade de esclarecê tais métodos e verificar a eficiência de cada um, visto que, em todo material pesquisado, os métodos eram apresentados separadamente, por autores diferentes. Além disso, o trabalho esclarece o conceito de sub-resolução proposto por Konolige, que é um método de resolução por redução de operadores modais. Este estudo têm aplicação na área de Inteligência Artificial, na construção de agentes inteligentes. vi
  11. 11. 1 INTRODUÇÃO Este trabalho tem como objetivo fazer um estudo sobre lógica modal, apresentado métodos de provas de teoremas para esta lógica. Durante a fase de pesquisa bibliográfica, encontramos livros e artigos que traziam métodos de prova, porém com pouca clareza. Outro aspecto que nos chamou atenção foi o fato de que tais métodos eram mostrados separadamente, em artigos separados e por autores diferentes. Essas duas observações foram nossa maior dificuldade e principal motivação para que desenvolvêssemos um material reunindo os métodos encontrados, exemplificando provas de fórmulas para cada método e, principalmente, fazendo a comparação entre esses métodos mediante exemplos. Tal enfoque marca o ineditismo de nosso trabalho e é nossa principal contribuição. Os métodos de provas de teoremas que iremos apresentar e comparar são:  Sistema de tableau;  B-Resolution de Konolige;  Resolução utilizando World-Paths. Cada método tem um capítulo dedicado à sua apresentação e à explicação de seu algoritmo, tanto para a lógica proposicional, quanto para a lógica de predicados de primeira ordem, em vários sistemas da lógica modal. Os mesmos exemplos são desenvolvidos para todos os métodos, para que a comparação entre eles seja clara e objetiva, facilitando o entendimento dos métodos ao leitor e uma possível escolha de qual método adotar futuramente. 1.1 Lógica Modal Lógica modal é uma lógica não clássica que se preocupa com argumentos que envolvem os conceitos de necessidade e possibilidade. Lógicas não clássicas [TUR84] são aquelas que extendem ou rivalizam a lógica clássica [CAS87].Uma verdade
  12. 12. necessária é a verdade que não poderia ser contrariada; uma verdade possível é aquela que poderia ser. Adistinção é explicada através de referência à noção de mundo possível: uma verdade necessária é verdade em todos os mundos possíveis, enquanto que uma verdade possível é verdade no mundo real mas não em todos os mundos possíveis. A distinção entre verdades necessárias e possíveis é metafísica e não deveria ser confundida com a distinção entre verdades a priori e a posteriori. Uma verdade a priori é aquela que pode ser conhecida independentemente da experiência, e uma verdade a posteriori é aquela que não pode. Tais noções atraem considerações epistemológicas. Não é possível em um texto como este dar conta de quaisquer desses assuntos. A área inteira sofre com dificuldades filosóficas. Ao invés, nós nos concentraremos nos aspectos formais do assunto e sua possível aplicação à ciência da computação. Nesta seção nós nos envolveremos com lógica modal e sua interpretação semântica. A linguagem modal, LML, é obtida da linguagem do cálculo de predicado (L) pela adição de dois operadores novos:  (pode ser lido como “é necessário que”) e  (pode ser lido como “é possível que”). Mais precisamente, LML é obtido de L pela adição da seguinte regra sintática: se P é uma fórmula bem formada de LML então P e  P também são. Diferente dos conetivos clássicos (     , , , e ) estes operadores não possuem uma interpretação verdade-funcional. Ao invés, representam uma noção de mundos possíveis.  A é verdade se A é verdade em algum mundo possível, e P é verdade se A é verdade em todo mundo possível. Para fazer estes assuntos mais precisos formalmente, nós precisamos introduzir a noção de uma estrutura modal [TUR84]. Definição 1.1. Um estrutura modal M é uma estrutura (W, D,  , F) onde: (i) W é um conjunto não-vazio (de mundos possíveis); (ii) D é um domínio não-vazio de indivíduos; (iii)  é uma relação binária de acessibilidade em W; (iv) F é uma função que atribui a cada par que consiste em um símbolo funcional (n- ário, n 0) e um elemento w de W, uma função de D n D, e para cada par que consiste de um símbolo relacional (n-ário, n>0) e um elemento w de W, um elemento de 2Dn . A interpretação de LML em tal estrutura modal difere da interpretação do cálculo de predicados, pois em tal estrutura o domínio W representa um papel crucial. 2
  13. 13. Porém, a interpretação ainda é determinada com relação a uma função de substituição g que nomeia elementos de D para variáveis individuais. (Para conveniência nós escreveremos w w ' para indicar que <w, w'> satisfaz a relação  ). Nós empregaremos a notação M |= w, g P para indicar que g satisfaz à fórmula bem formada P, para o mundo w, na estrutura M, onde o símbolo |= representa a relação de conseqüência lógica. Isto é definido recursivamente como segue. (1) M |= w, g C(t0,..., tn-1) se e somente se <Val(t0, w, g), ..., Val(tn-1, w, g)>  F(w, C) onde Val se e uma variavel Val Val se , , ) ( , , ) ( ) ( , )( ( ' , , ), , ( ' , , ) ( ' ' t w g g t t F w f t w g t w g t f t tm m       0 1 0 1  (2) M |= w, g t1 = t2 se e somente se Val (t1, w, g) = Val(t2, w, g) (3) M |= w, g P Q se e somente se M |= w, g P e M | = w, g Q, (4) M |= w, g P se e somente se M |= w, g P , onde |= representa que a fórmula não é válida, (5) M |= w, g xP se e somente se para cada d em D, M |= w, g(d|x) P onde g(d/x) representa a substituição uniforme de x por d, (6) M |= w, g P se e somente se existe um w’  W tal que w w ' e M |= w', g P. Além disso, nós definimos P = df P . 1.2 Uma Teoria de Conhecimento e Ação Lógica modal foi utilizada por pequisadores de Inteligência Artificial - IA, onde a interpretação de operadores modais é fornecida por tentativas para construir teorias de crença e conhecimento [TUR84, CER84]. Essas teoria são fundamentais no desenvolvimento de agentes inteligentes. Nós concluiremos este capítulo dando uma explicação de tal aplicação. Em sua tese e em um paper posterior, Moore desenvolveu uma lógica modal de conhecimento e ação [TUR84, CER84, HAR79]. Moore adotou a noção de mundos possíveis para a lógica de conhecimento introduzida por Hintikka (1962, 1971). A 3
  14. 14. semântica de Kripke para necessidade e possibilidade pode ser convertida em semântica de Hintikka para conhecimento mudando a interpretação da relação de acessibilidade  . Para analisar comandos da forma KNOW(p, P) Moore, seguindo Hintikka, apresenta para uma relação K, tal que K(p, W1, W2) significa que o mundo possível W2 é compatível ou consistente com o que o agente p sabe do mundo possível W1. Em outras palavras, tudo o que p conhece de W1, ele pode conhecer da mesma maneira em W2. O predicado KNOW(p, P) representa o que p conhece a respeito de P no mundo atual. A teoria é declarada de fato em metalinguagem - uma linguagem de mais alta ordem que não só permite quantificação em cima de mundos possíveis mas também é rica o bastante em codificação para representar fórmulas bem formadas da linguagem objeto como condições. Por exemplo, a fórmula da linguagem objeto KNOW(JOHN, xP x( ) ) (1) é representado na metalinguagem pelo termo de metalinguagem KNOW(JOHN, EXIST ( , ( ))x P x ) (2) onde JOHN e x são constantes da metalinguagem e KNOW, EXIST e P são funções da metalinguagem. Desta maneira (2) é um termo do qual nós queremos afirmar sua verdade. Isto é alcançado introduzindo um predicado TRUE(predicado DEMO da metalinguagem) na fórmula: TRUE(KNOW(JOHN, EXIST ( , ( ))x P x ). A formalização da análise de conhecimento em mundos possíveis permite serem feitas inferências sobre o conhecimento de um agente em uma construção de primeira-ordem. Esta técnica de formalizar uma explicação semântica de alguma noção intuitiva como teoria de primeira-ordem parece ser útil em IA mesmo quando tudo parece bastante direto. Pelo menos Moore foi explicitamente guiado por considerações semânticas. 4
  15. 15. 2 SEMÂNTICA DOS MUNDOS POSSÍVEIS DE KRIPKE Para apresentarmos um sistema semântico para a lógica modal, é necessário construirmos uma estrutura capaz de conter as noções de mundos, mundos possíveis ou acessíveis. Uma estrutura como esta, que pudesse prover o significado de diversos sistemas de lógicas modais, foi proposta por Kripke [COS92]. Definição 2.1: Uma estrutura é definida como a terna ordenada: W, ,  onde: W é um conjunto não vazio dos referidos mundos possíveis;  é uma relação binária entre mundos possíveis chamada relação de acessibilidade e  é uma função binária, chamada função de valoração, definida como:  : ,W V F onde  é o conjunto de todos os símbolos proposicionais. Definição 2.2: Sejam  o conjunto de todas as fórmulas, P e Q  e W , ,  , uma estrutura onde w é um mundo possível qualquer de W ( w W ). Definimos a noção de satisfação ( ), sendo uma relação com assinatura   W e satisfazendo as seguintes condições: ( S ) w P se e somente se w P, onde indica que a fórmula P não é válida; ( S  ) w P Q se e somente se w P e w Q; ( S  ) w P Q se e somente se w P ou w Q; ( S )w P Q se e somente se w P ou w Q; ( S ) w P se e somente se para todo w W' t.q. w w, '  , w’ P; ( S ) w P se e somente se existir w W' t.q. w w, '  , w’ P. Seja M uma estrutura. Dizemos que M satisfaz P se existe algum mundo w W tal que w P. Uma fórmula P é válida para M se para todo mundo w W , w P. 5
  16. 16. 6
  17. 17. 3 SISTEMAS DA LÓGICA MODAL Dependendo das características da relação de acessibilidade  , existem diversos sistemas de lógica modal [COS92]. Essas características são: reflexividade, simetria, transitividade e serialidade. Os sistemas podem ter acessibilidade com apenas uma dessas características, alguma combinação delas ou nenhuma delas. Os sistemas que apresentam a propriedade serial são chamados deônticos e possuem a característica de que todo mundo existente possui pelo menos um mundo que pode acessar. Este sistema está ligado à idéia de moralidade, na qual se acredita que sempre existirá um mundo mais perfeito que o atual. 3.1 Sistema K Os axiomas  P P  e ( )P Q  ( P  Q) são válidos em quaisquer classes de estruturas (sistemas) modais, independentemente das características da relação de acessibilidade entre os mundos. A fórmula ( )P Q  ( P  Q) é conhecida como fórmula K e é válida em todos os sistemas da lógica modal, sem restrições. Sistema K é o sistema da lógica modal que tem como exigência mínima a validação da fórmula K. 3.1.1 Diagrama Suponhamos que a fórmula ( P  ( ))P Q  Q seja válida em uma estrutura W , ,  e que  P  ( )P Q seja satisfeita em um mundo possível w W . Então, por S, a fórmula Q deve ser satisfeita em w, assim como  P e  ( )P Q , por S  , como ilustra a FIG. 1. ( P  ( ))P Q  Q 7
  18. 18.  P  ( )P Q Q  P w’ ( )P Q w w’’ FIGURA 1 - Acessibilidade no Sistema K (a) Mas, pelo significado do operador , é preciso que P, P Q e Q sejam satisfeitas em todos os mundos w’, acessíveis a partir de w, como ilustra a FIG. 2. ( P  ( ))P Q  Q P  P  ( )P Q ( )P Q Q Q  P w’ ( )P Q P ( )P Q Q w w’’ FIGURA 2 - Acessibilidade no Sistema K (b) Portanto, o diagrama apresentado justifica o axioma ( )P Q  ( P  Q), característico do sistema K. 3.1.2 Apresentação Axiomática O conjunto de axiomas e regras de inferência é o mesmo da Lógica proposicional, acrescido da fórmula K e da regra de inferência de necessitação. 8
  19. 19. a) Axiomas:  P Q P ( ) (Tautologias)  ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q       ( ) (( ) )      P Q P Q P  ( )P Q  ( P  Q) (K) b) Regras de Inferência   P,  P Q (Modus Ponens)  Q  P (Necessitação) P onde P e Q são fórmulas modais proposicionais e  é um conjunto de fórmulas. A regra da necessitação diz que se uma fórmula é um teorema então ela deve ser um teorema em todos os mundos possíveis. Os teoremas da Lógica Modal devem ser aceitos em todos os mundos possíveis. 3.2 Sistema T Nesse sistema, a relação de acessibilidade  é reflexiva, ou seja, dada uma estrutura W , ,  , para todo w W , w w,  . De acordo com essa condição, a fórmula  P P é um axioma. Esta fórmula é característica desse sistema da lógica modal e fornece exatamente a noção de reflexividade - um mundo ser acessível por ele mesmo. 3.2.1 Diagrama Seja a fórmula P válida em uma estrutura W , ,  e P seja satisfeita em um mundo possível w W . Então, por S, a fórmula P deve ser satisfeita em todos os mundos Ww ' acessíveis a partir de w. Como a relação de acessibilidade  é reflexiva (w é acessível a partir dele mesmo), a fórmula P também deve ser satisfeita em w, como mostra a FIG. 3. 9
  20. 20. P P P w’ P w w’’ FIGURA 3 - Acessibilidade no Sistema T Assim, verificamos que a fórmula  P P é um axioma para todos os sistemas com relação de acessibilidade reflexiva. 3.2.2 Apresentação Axiomática Nesse sistema temos todos os axiomas e regras de inferência do sistema K, mais o axioma T. a) Axiomas:  P Q P ( ) (Tautologias)  ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q       ( ) (( ) )      P Q P Q P  ( )P Q  ( P  Q) (K)   P P (T) b) Regras de Inferência   P,  P Q (Modus Ponens)  Q 10
  21. 21.  P (Necessitação) P 3.3 Sistema K4 Nesse sistema, os modelos possuem relação de acessibilidade  transitiva, ou seja, dada uma estrutura W , ,  , para todo w W , se w w, '  e w w' , ' '  , então w w, ' '  . Sistemas da lógica modal com acessibilidade transitiva são caracterizados pelo axioma  P  P. 3.3.1 Diagrama: Seja a fórmula P válida em uma estrutura W, ,  e P seja satisfeita em um mundo possível w W . Então, por S, a fórmula P deve ser satisfeita em todos os mundos acessíveis a partir de w. w1 é acessível diretamente, e os demais acessíveis transitivamente. Dessa maneira, P também é satisfeito em todos os mundos acessíveis a partir de w1, e também para os demais mundos, portanto P é satisfeito em todos os mundos. Daí, P é satisfeito em w, como mostra a FIG. 4. P P P P P P P P w1 w2 w3 w FIGURA 4 - Acessibilidade no Sistema K4 11
  22. 22. Assim, verificamos que a fórmula  P P é um axioma para todos os sistemas com relação de acessibilidade transitiva. Observa-se que a relação reflexiva existente nos mundos w1, w2 e w3 é decorrente do fato que w'=w'' é possível. 3.3.2 Apresentação Axiomática Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema K, mais o axioma K4. a) Axiomas:  P Q P ( ) (Tautologias)  ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q       ( ) (( ) )      P Q P Q P  ( )P Q  ( P  Q) (K)   P P (K4) b) Regras de Inferência   P,  P Q (Modus Ponens)  Q  P (Necessitação) P 3.4 Sistema S4 Nesse sistema, os modelos possuem relação de acessibilidade  reflexiva e transitiva, ou seja, dada uma estrutura W, ,  , para todo w W , ww, e, se w w, '  e w w' , ' '  , então w w, ' '  . 12
  23. 23. 3.4.1 Diagrama: O diagrama nesse sistema é semelhante ao do sistema K4. A diferença é a relação de acessibilidade que, além de transitiva, é reflexiva, como ilustra a FIG. 5. P P P P P P P P P w1 w2 w3 w FIGURA 5 - Acessibilidade no Sistema S4 3.4.2 Apresentação Axiomática Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema T, mais o axioma K4. a) Axiomas:  P Q P ( ) (Tautologias)  ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q       ( ) (( ) )      P Q P Q P  ( )P Q  ( P  Q) (K)   PP  (T)   P P (K4) b) Regras de Inferência   P,  P Q (Modus Ponens)  Q 13
  24. 24.  P (Necessitação) P 3.5 Sistema S5 Nesse sistema, a relação de acessibilidade  é reflexiva, transitiva e simétrica. Entenda-se relação de acessibilidade simétrica como aquela onde, dada uma estrutura W, ,  , se w w W,   , w w,   , então w w , . De acordo com essa condição e as demais já apresentadas para reflexividade e transitividade, a fórmula característica deste sistema da lógica modal é  P   P . 3.5.1 Diagrama Seja a fórmula P válida em uma estrutura W , ,  e P seja satisfeita em um mundo possível w W . Então, por S, a fórmula P deve ser satisfeita em algum mundo w’ acessível a partir de w. Suponhamos que em nosso esquema este mundo seja w2. Como w2 é acessível a partir dos demais mundos, então P é satisfeita em todos os mundos acessíveis a partir de w. Assim, como por S , P é verdadeiro em w, podemos verificar que  P P é um axioma para este sistema de lógica modal, como ilustra a FIG. 6. P P P P P w w1 w2 FIGURA 6 - Acessibilidade no Sistema S5 14
  25. 25. 3.5.2 Apresentação Axiomática Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema T, mais o axioma S5. a) Axiomas:  P Q P ( ) (Tautologias)  ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q       ( ) (( ) )      P Q P Q P  ( )P Q  ( P  Q) (K)   PP  (T)   P P (S5) b) Regras de Inferência   P,  P Q (Modus Ponens)  Q  P (Necessitação) P 3.6 Sistema Deôntico (D) No sistema deôntico (D) os modelos possuem relação de acessibilidade serial, ou seja, dada uma estrutura W, ,  , para todo w W existe um w W' , tal que w w, '  . Nesse sistema, modalidade é relacionada com moral, ou seja, um mundo possível como sendo uma versão melhor que o mundo atual. Temos como axioma característico desse sistema ou o axioma  P P  , ou o axioma    P P. 15
  26. 26. 3.6.1 Diagrama Seja a fórmula P válida em uma estrutura W, ,  e P seja satisfeita em um mundo possível w W . Então, por S, a fórmula P deve ser satisfeita em todos os mundos w’ acessíveis a partir de w. Portanto P é satisfeita em w’ . Assim, como P é satisfeita em algum mundo acessível a partir de w,  P é satisfeita em w, como mostra a FIG. 7. P P P  w w’ FIGURA 7 - Acessibilidade no Sistema D 3.6.2 Apresentação Axiomática Nesse sistema temos todas os axiomas e regras de inferência do sistema K, mais um dos axiomas D. a) Axiomas:  P Q P ( ) (Tautologias)  ( ( )) (( ) ( ))R P Q R P R Q       ( ) (( ) )      P Q P Q P  ( )P Q  ( P  Q) (K)   P P  (D) ou    P P (D’) b) Regras de Inferência   P,  P Q (Modus Ponens)  Q  P (Necessitação) P 16
  27. 27. 3.7 Resumo A TAB. 1 apresenta um resumo das características dos sistemas da lógica modal vistos neste capítulo. TABELA 1 - Resumos das características dos sistemas da lógica modal Sistema Relação de Acessibilidade Axiomas Sistema K ( )P Q  ( P  Q) Sistema T Reflexiva ( )P Q  ( P  Q)  P P Sistema K4 Transitiva ( )P Q  ( P  Q)  P  P Sistema S4 Reflexiva e Transitiva ( )P Q  ( P  Q)  P P  P  P. Sistema S5 Reflexiva, Transitiva e Simétrica ( )P Q  ( P  Q)  P P  P P Sistema Deôntico (D) Serial ( )P Q  ( P  Q)  P P  ou   P P Sistema KB Simétrica ( )P Q  ( P  Q) P   P ou   P  P Sistema B Reflexiva e Simétrica ( )P Q  ( P  Q)  P P P   P ou   P  P 17
  28. 28. 4 FÓRMULA DE BARCAN A lógica modal de primeira ordem poderia ser uma extensão da lógica de primeira ordem obtida pela adição dos operadores modais, como a lógica modal proposicional. Porém, problemas relacionados a existência de vários mundos possíveis e domínios diferentes, tornam a extensão de uma lógica para outra um passo mais complexo. Uma interpretação para a lógica modal de primeira ordem deve considerar questões relacionadas à possibilidade de existência de diversos mundos, ao passo que a lógica clássica de primeira ordem considera indivíduos em somente um universo. Assim questões, como as abaixo, devem ser consideradas antes de se criar uma semântica para a linguagem:  um indivíduo que pertence a um mundo possível w, pode não existir em algum outro mundo possível acessível a partir de w, direta ou indiretamente?  podemos ter novos indivíduos em um mundo alternativo?  uma constante pode ser atribuída a diferentes indivíduos em diferentes mundos alternativos? Em 1946, R.C. Barcan levantou a questão sobre a aceitação da seguinte fórmula, chamada fórmula de Barcan [COS92, TUR84]: x(  P x( ))   ( ( ( )))x P x . De fato, suponha que o antecedente da fórmula de Barcan seja satisfeito no mundo w (isto é, todos os elementos de w têm a propriedada associada a P em todos os mundos acessíveis a partir de w). Imaginemos um mundo w1, acessível a partir de w, no qual existam elementos b não existentes em w. Da aceitação do antecedente (todos os elementos de w possuem propriedade associada a P em todos os mundos acessíveis a partir de w) não podemos concluir que b possua propriedade associada a P. Logo, da aceitação do antecedente em w não segue a aceitação do conseqüente  ( ( ( )))x P x em w, pois isto significaria que em cada mundo 18
  29. 29. acessível a partir de w inclusive o mundo w1, todos os seus elementos (inclusive b) têm propriedade associada a P, em cada um desses mundos. Portanto, se aceitarmos a fórmula de Barcan não podemos ter a presença de novos elementos nos mundos possíveis acessíveis a partir de um outro. A aceitação dessa fórmula impõe um domínio constante ou decrescente nos mundos possíveis. A aceitação da reversa da fórmula de Barcan, isto é:  ( ( ( )))x P x  x(  P x( )) , impõe um domínio constante ou crescente nos mundo possíveis. Aaceitação da fórmula de Barcan e sua reversa, implica um domínio constante. 19
  30. 30. 5 SISTEMA DE TABLEAU Uma refutação [CAS87, GUE88] baseada em tableau [COS92] para a lógica modal exige a criação de diversos sub-tableaux, como que para simular a mudança entre diversos mundos. Além disso, a criação de sub-tableaux e a forma com que as informações circulam por esses tableaux será influenciada pela sistema em que nos encontramos, de tal forma que para cada sistema teremos um conjunto específico de regras de tableau. Se a fórmula de Barcan e sua reversa são aceitas como axiomas, então as regras do sistema implicam na adição de fórmulas a sub-tableaux já existentes, gerando a necessidade de um mecanismo para nomear sub-tableaux. Adotaremos como básico o sistema de tableau onde os sub-tableaux podem ser referenciados. Definição 5.1.1 Um ramo  de um tableau é dito ramo fechado se ele contiver P e P , para qualquer fórmula P. Definição 5.1.2 Um tableau T é dito ser um tableau fechado se cada um de seus ramos for fechado. Definição 5.1.3 Um prefixo é qualquer expressão utilizada para nomear um tableau que pode aparecer na refutação de uma determinada fórmula. Desta maneira, uma fórmula em uma refutação por tableau é unicamente identificada pelo par ( , )T P , onde T é o prefixo do tableau no qual a fórmula P ocorre. Além disso, para administrar a criação de tableau e adição de fórmulas a tableau existentes, foi criado o operador  , que aplicado a um prefixo T e a uma fórmula P ou cria um novo tableau, de nome T, ou adiciona P a um tableau já existente, designado por T. Na seção 5.1 apresentaremos o sistema de tableau para lógica modal proposicional, para os sistemas K, T, D, K4, S4 e S5 e na seção 5.2 apresentaremos um sistema de tableau com unificação para lógica modal de primeira ordem, para o sistema D, baseados no material escrito por Costa [COS92]. Serão desenvolvidas provas de fórmulas válidas nesses sistemas. Essas mesmas fórmulas serão utilizadas para provas 20
  31. 31. nos métodos de resolução de Konolige e por World-Paths, para fins de comparação entre os métodos. 5.1 Lógica Modal Proposicional  Sistema K Regras Tipo A: P Q P Q      ( )P Q P Q    ( )P Q P Q P P Regras Tipo B P Q P Q P Q P Q  ( )P Q P Q Regras Tipo E P ( ' , )T P   P T P( ' , ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por aplicação da regra tipo F (que será vista a seguir) a uma fórmula do ramo. Regras Tipo F P T P( ', ) P ( ', )T P Onde T’ é um novo tableau. 21
  32. 32.  Sistema T Regras Tipo A: P Q P Q      ( )P Q P Q    ( )P Q P Q P P Regras Tipo B P Q P Q P Q P Q  ( )P Q P Q Regras Tipo E P ( ', )T P   P T P( ' , ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo. Regras Tipo E-R P P   P P Regras Tipo F P T P( ', ) P ( ' , )T P Onde T’ é um novo tableau.  Sistema Deôntico (D) Regras Tipo A: P Q P Q      ( )P Q P Q    ( )P Q P Q P P Regras Tipo B P Q P Q P Q P Q  ( )P Q P Q Regras Tipo E P ( ' , )T P   P T P( ' , ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo. Regras Tipo F 22
  33. 33. P T P( ', ) P ( ', )T P Onde T’ é um novo tableau.  Sistema K4 Regras Tipo A: P Q P Q      ( )P Q P Q    ( )P Q P Q P P Regras Tipo B P Q P Q P Q P Q  ( )P Q P Q Regras Tipo E P ( ' , )T P   P T P( ' , ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo. Regras Tipo E-T P ( ' ,T P)   P T P( ', ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo. Regras Tipo F P T P( ', ) P ( ' , )T P Onde T’ é um novo tableau.  Sistema S4 Regras Tipo A: P Q P Q      ( )P Q P Q    ( )P Q P Q P P Regras Tipo B P Q P Q P Q P Q  ( )P Q P Q Regras Tipo E 23
  34. 34. P ( ' , )T P   P T P( ' , ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo. Regras Tipo E-R P P   P P Regras Tipo E-T P ( ' ,T P)   P T P( ', ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo. Regras Tipo F P T P( ', ) P ( ' , )T P Onde T’ é um novo tableau.  Sistema S5 Regras Tipo A: P Q P Q      ( )P Q P Q    ( )P Q P Q P P Regras Tipo B P Q P Q P Q P Q  ( )P Q P Q Regras Tipo E P ( ' , )T P   P T P( ' , ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo. Regras Tipo E-R P P   P P Regras Tipo E-T P   P T P( ', ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por 24
  35. 35. ( ' ,T P) aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo. Regras Tipo E-S P P P P Regras Tipo F P T P( ', ) P ( ' , )T P Onde T’ é um novo tableau. Regras Tipo F-S P T P( ', ) P ( ' ,T  P) Onde T’ é um tableau previamente gerado. 25
  36. 36. 5.2 Sistema de Tableau com Unificação Iniciaremos a apresentação desse sistema de refutação [COS92] com algumas considerações necessárias para obtenção da forma normal de Skolem de uma fórmula dada. As formas normais de Prenex e Skolem na lógica modal são obtidas como na lógica clássica, considerando somente os operadores externos aos operadores modais. Para exemplificar, vamos encontrar uma das formas normais de Skolem da fórmula x    yP x y z( , )  R z( ) Skolemizando, x    yP x y z( , )  R z( )  z x(   yP x y( , )  R z( )   z x(   yP x y( , )  R z( )  z(   yP f z y( ( ), )  R z( ) temos z(   yP f z y( ( ), )  R z( ) ) como uma de suas formas normais de Skolem. Teorema 5.2.1 Seja P uma fórmula na forma normal de Prenex e P’ a sua forma normal de Skolem correspondente. Então P é insatisfatível se e somente se P’ o for.  Regras do sistema de tableau com unificação Regras Tipo A: P Q P Q      ( )P Q P Q    ( )P Q P Q P P Regras Tipo B P Q P Q P Q P Q  ( )P Q P Q 26
  37. 37. Regras Tipo C   xP xP P x yy ( / )    xP xP P x yy ( / ) Onde a variável y é nova para o tableau e Py é obtida conforme definido abaixo. Regras Tipo D xP P x t( / )   xP P x t( / ) Onde t é um termo nova para o tableau Regras Tipo E P ( ', )T P   P T P( ' , ) Onde T’ é um tableau previamente gerado por aplicação da regra tipo F a uma fórmula do ramo. Regras Tipo F P T P( ' , ) P ( ' , )T P Onde T’ é um novo tableau. Na utilização das regras do sistema de tableau com unificação devemos tomar os seguintes cuidados:  em qualquer estado do tableau, qualquer fórmula está na forma normal de Skolem;  o algoritmo de unificação é usado a fim de se obter pares complementares de fórmulas atômicas;  depois de cada aplicação das regras E ou F, precisamos skolemizar a fórmula resultante. Notamos que as regras do tipo C apresentam uma notação desconhecida. Abaixo apresentaremos uma formalização para as regras do tipo C. 1.. O processo de renomeação de variáveis para unificação fica sujeito à seguinte restrição: Seja Q (ou Q) uma subfórmula de xP . Se aplicarmos a regra F a Q (ou Q), então não podemos renomear a variável x quando formos unificar a fórmula Q (ou alguma de suas subfórmulas) no sub-tableaux gerado. E, indicamos este procedimento colocando uma marca “” antes da variável x. 27
  38. 38. 2.. Sejam P uma fórmula e x uma variável ou uma variável marcada na forma x y  . Então, a fórmula Px é obtida pelas regras: 3.. P Px  , se P é uma fórmula atômica; 4.. P Qx x   , se P Q  ; 5.. P Q Rx x x   , se P Q R  ; 6.. P xQx x   , se P xQ  ; 7.. Px  x Qx , se P   Q com polaridade positiva; 8.. Px  x Q x , se P   Q com polaridade negativa. OBS: A ocorrência de uma subfórmula Q tem polaridade positiva em uma fórmula se P está no escopo de um número par de operadores “”, implícitos ou explícitos. Caso contrário, P é dita ter uma polaridade negativa. 28
  39. 39. 6 B-RESOLUTION DE KONOLIGE A resolução clássica não é completa para a lógica modal a menos que, de alguma maneira, hajam restrições. Existem duas razões para isto. A primeira é que quando um literal se encontra no escopo de diferentes operadores modais, seu valor verdade pode ter interpretações diferentes. Ou seja, o literal p pode não ter necessariamente o mesmo valor quando ocorre uma vez no escopo de um operador  e ocorre novamente no escopo de outro operador . Portanto, mesmo quando p ocorre num contexto e p ocorre em outro, não há justificativa para resolvê-los. A segunda complicação se deve à quantificação em contextos modais: quando o escopo de um quantificador se extende através do escopo de operadores modais diferentes, não existe garantias de que a interpretação de uma variável em duas ocorrências seja a mesma. A seguir serão apresentadas duas técnicas que tentam extender o método de resolução da lógica clássica para a lógica modal. Neste capítulo o método apresentado será o método descrito por Konolige em 1986 [PEL93, COS92], considerado um método misto, e no próximo capítulo apresentaremos um método de resolução que utililiza a noção de World-Paths. Konolige descreve um sistema no qual existe um senso misto. Discutiremos inicialmente o caso da lógica modal proposicional e após as adições ao modelo requeridas pela lógica modal de primeira ordem. 6.1 Lógica Proposicional Konolige usa o que chama de B-resolution, que é um sistema de resolução para lógicas modais K, K4, K45, T, S4 e S5, baseado na total narrow theory resolution de Stickel. Primeiramente, se faz necessário apresentar definições relativas ao uso de cláusulas em linguagem com modalidades. Para transformar um fórmula qualquer em 29
  40. 40. uma fórmula na forma normal conjuntiva, pode-se utilizar as mesmas regras de transformação da lógica clássica considerando fórmulas modais (P ou P) como literais. Ou seja, as transformações ocorrem somente fora dos quantificadores modais. Como exemplo encontraremos a forma normal clausal da fórmula  (P Q)   ( )P Q . 1.  (P Q)   ( )P Q 2.  (P Q)    P Q 3. P  Q   P Q Portanto,  (P Q)   ( )P Q tem como sua forma normal clausal P  Q   P Q Uma vez obtida a forma normal conjuntiva, as cláusulas são separadas e tratadas isoladamente. A B-resolution de Konolige, em sua forma geral diz que: Sejam     1 2, ,... e     1 2, ,... dois conjuntos finitos de fórmulas e     1 2, ,... um conjunto finito de literais fora do escopo de algum operador modal. Sejam os Ci’s, Cj’s, etc., cláusulas arbitrárias. Então:  1 1 C   n nC 1 1 C '  m mC ' 1 1 C ''  i iC '' C C C C C Cn m1 1 1 1         ' ' ' ' ' ' 30
  41. 41. onde: (1) Para K e T: { , , , }  k n1  é insatisfatível para algum k . (2) Para K4 e S4: { , , , ,  k n1   1 , ,n} é insatisfatível para algum k . (3) Para S5: { , , , ,  k n1   1 , , n ,  1 , ,  m ,   1 , ,  i} é insatisfatível para algum k . Além das regras acima, para aqueles sistemas com relação de acessibilidade reflexiva, temos: (4)   C   C Porque podemos usar somente um conjunto i nas regras apresentadas? Consideremos a seguinte refutação: ( )P Q P Q Z P Q P Q   { , , } é um conjunto insatisfatível na lógica modal clássica, porém na lógica modal não é, pois podemos apresentar o modelo da FIG. 8. ( )P Q ( )P Q P Q Q ( )P Q P FIGURA 8 - Um exemplo de modelo Pelo conceito de insatisfatibilidade não poderia existir um modelo de representação dessas fórmulas pois isso significa que elas são satisfatíveis na situação 31
  42. 42. considerada. A figura apresentada acima é um modelo para aquele conjunto de fórmulas, portanto se existe um modelo, o conjunto não é insatisfatível. P significa que em algum mundo acessível a partir de w, P é satisfeito, ou seja, P , valendo o mesmo para Q. Portanto, pode perfeitamente existir um mundo acessível a partir de w onde P e Q são satisfeitos. Todas as regras tratam fórmulas que apresentam o operador . O operador  pode ser representado em função de  (P   P ), sendo assim tratável pelas mesmas regras. Note que a regra (1) não é efetiva, involvendo uma sub-resolução aninhada para verificar se algum outro conjunto é satisfatível. Dependendo de que teste será usado para determinar este outro conjunto, a regra poderia ter ou não um valor prático. Nós notamos que o conjunto a ter sua consistência testada deve conter apenas literais (incluindo literais modais). O método de Konolige faz uso desse fato; um conjunto de literais Z é insatisfatível se e somente se um outro conjunto W (no qual os membros são efetivamente determináveis de Z), que tem um caminho modal menor que Z, é ele próprio insatisfatível. Tal conjunto W varia de um sistema modal para outro. Por exemplo, no sistema K, se Z onde { 1 ,  2 , ,  1 ,  2 , } , então o conjunto requerido W de menor caminho modal poderia ser { , , , }  1 2  i , para algum i . Neste ponto, sentimos claramente a necessidade de sub-resoluções. Mas o que é uma sub-resolução dentro do método de Konolige? Sub-resolução é o processo no qual ocorre a redução dos operadores modais. Esta é a idéia principal por trás da B- resolution. Quanto mais simples é a relação de acessibilidade do sistema da lógica modal empregada, maior número de sub-resoluções serão necessárias. Ao verificarmos que nas regras de resolução apresentadas um conjunto insatisfatível para o sistema K é menor que um conjunto insatisfatível para o sistema S5, entendemos porque mais operadores modais precisam ser reduzidos no primeiro caso que no segundo, por exemplo. Esta noção de sub-resolução não estava clara em nenhum artigo ou livro que pesquisamos. O ponto inicial para desenvolvermos esta idéia foi dado por uma citação de Geissler e Konolige [PEL93], que diz o seguinte: “Suppose, each time we wish to do a resolution, we start another refutation procedure using the indicated sets of sentences. Then we intermix the executation in the subsidiary ones being used to check unsatifiability. If at 32
  43. 43. some point a subsidiary refutation succeds, we can construct a resolvent in the main refutation.” No capítulo 8 serão apresentados exemplos de resoluções utilizando o método de Konolige para os sistemas K, T, K4, S4 e S5 da lógica modal proposicional. 6.2 Lógica Modal de Primeira Ordem Para generalizar o método de Konolige para lógica modal de primeira ordem, é necessário direcionar o problema de interpretação de quantificadores cujas variáveis ocorrem em diferentes contextos modais. Intuitivamente, a interpretação de uma variável é determinado com respeito ao mundo possível no qual quantificador da expressão é interpretado. Em ( )( ( ) x F x G x( )) , o ( )x ocorre no mundo atual, e todas as ocorrências da variável se referem a este item particular. Mesmo que o x que ocorre em G x( ) seja interpretado como o x cuja interpretação é dada pelo quantificador da expressão, tal que G x( ) nesta sentença signifique o item do mundo atual, x, o qual está atualmente em F, tal item está em G em todo o mundo possível. O resultado disso é que o quantificador não pode ser movido para fora do operador modal sem que sua interpretação mude de “falando sobre entidades de um mundo” para “falando de entidades de outro mundo”. Além disso, quantificadores do lado de fora não permitem instanciação para constantes internas. Isto se torna mais claro quando interpretamos  como acredita e  como sabe: pode ser verdade que, de todos os alemães que vivem atualmente, Mary acredita que todas essas pessoas falam alemão. Embora o Major de Edmonton seja alemão, Mary poderia não acreditar que ele fale alemão, pois ela não sabe que este Major é alemão. Porém, Mary acredita que Manfred fala alemão, mesmo sendo ele o Major de Edmonton (Manfred é o Major de Edmonton em outro contexto). Para resolver este último problema, Konolige introduziu um operador chamado bullet () que é aplicado a variáveis sempre que aparecem dentro de um contexto modal menor que o do quantificador e a substituição será redefinida tal que a variável torne-se o desejado, de acordo com a interpretação de mundo relativo. A variável marcada diz basicamente que: não importa em qual mundo eu ocorra, interprete-me como o que eu era no mundo no 33
  44. 44. qual meu quantificador da expressão ocorre. Visto isso, o bullet é uma espécie de operador de atualidade. As regras para B-resolution de Konolige são aplicadas da mesma maneira que na lógica modal proposicional. Porém, convém salientar que no momento da unificação uma variável marcada não pode ser renomeada, como visto no sistema de tableau com unificação. 34
  45. 45. 7 RESOLUÇÃO UTILIZANDO WORLD-PATHS Os métodos de refutação para a lógica modal apresentados anteriormente possuem limitações como veremos mais adiante, por isso Ohlbach propõe um novo método refutacional baseado em resolução [OHL88]. Inicialmente nós iremos caracterizar brevemente as lógicas modais particulares que nós estaremos considerando. 7.1 Lógica Modal As fórmulas são as mesmas da lógica de predicados de primeira ordem com a adição dos dois operadores modais (necessidade) e (possibilidade). Para limitar a variedade sintática da lógica modal (sem perder a expressividade), as fórmulas a serem provadas passarão por um processo de tradução, onde os sinais de implicação e de equivalência são retirados, e todos os sinais de negação são movidos para frente dos átomos. Ao final do processo de tradução teremos a fórmula em sua forma normal negada e somente então terá início o processo de unificação. Qualquer fórmula pode ser trazida para esta forma fazendo-se uso das regras de transformação apropriadas da lógica de predicados e das regras adicionais  P P  e  P  P . Podem ser distinguidas duas classes principais de relações de acessibilidade: serial e não serial. Nós consideraremos apenas relações de acessibilidade seriais, porém em combinação com as seguintes propriedades ou relações  : reflexividade, simetria e transitividade. Em interpretações seriais, relações simétricas e transitivas são também reflexivas. 35
  46. 46. 7.2 P-lógica P-lógicas (P para estilo de lógica de Predicado) são variantes sintáticas de lógicas modais onde os operadores modais são substituídos através de world-terms [OHL88]. Um world-term representa o contexto modal, isto é, a seqüência de operadores modais aninhados, e está amarrado às condições e átomos como um argumento adicional. Assegura a informação de qual mundo o termo ou fórmula é interpretado. Para preservar a semântica dos mundos possíveis para fórmulas da P- lógica, um world-term tem que denotar um mundo e não um elemento do domínio. Isto sugere às fórmulas da P-lógicas a idéia de uma lógica de dois conjuntos disjuntos: conjunto D (para Domínio) e conjunto W (para Mundos). Os World-Paths [OHL88] são variantes sintáticas dos world-terms e serão introduzidos abaixo. Os world-terms são mais apropriados para entendimento da semântica desta estrutura, enquanto que os World-Paths são considerados uma estrutura de dados satisfatória para os algoritmos de unificação. 7.2.1 Sintaxe da P-lógica Começaremos com a definição de uma assinatura que consiste em um conjunto D e um conjunto W. O conjunto D, isto é, símbolos D-variáveis (variáveis do domínio), símbolos funcionais D-estimados e símbolos predicativos, são os mesmos da lógica modal. O que surge de novo é o conjunto W que é usado para construir os world- terms. Consiste em símbolos funcionais W-estimados que são funções de skolem quando trabalhamos com world-terms, substituindo o operador , e símbolos W-variáveis que substituem o operador . Definição 7.2.1.1: Assinatura da P-Lógica O alfabeto para construção de termos e fórmulas da P-logica [OHL88] consiste de conetivos lógicos e dos seguintes símbolos: VD é um conjunto de variáveis (símbolos D-variáveis) FD é o conjunto dos símbolos funcionais (símbolos funcionais D-estimados) P é o conjunto de símbolos predicativos 0 é um símbolo constante W-estimado, denotando o mundo inicial VW é o conjunto dos mundos possíveis (símbolos W-variáveis) 36
  47. 47. FW é o conjunto dos símbolos funcionais relativos à mundança de mundos (símbolos funcionais W-estimados). Assim, o conjunto  p D D W wV F P V F { , , , , }0, é uma P-assinatura. Exemplos de termos e fórmulas da P-lógica e seus correspondentes na lógica modal: Lógica Modal P-Lógica P wP w( ( ))0 P P g( ( ))0 x ( ( ))P Q x   x u P u Q u x( ( ( ( ( ), ))0 0 7.3 Tradução da Sintaxe da Lógica Modal para Sintaxe da P-lógica Nós temos que definir como traduzir a assinatura da lógica modal para a assinatura da P-lógica e fórmulas da lógica modal para fórmulas da P-lógica [OHL88]. 1. Tradução da assinatura: Seja uma P-assinatura inicial  p D DV F P { , , , ,{ }, }0 0 onde VD, FD e P são as mesmas variáveis, símbolos funcionais e predicativos das fórmulas da lógica modal. 2. Tradução de termos e fórmulas. Seja a função de tradução  que toma uma fórmula da lógica modal P, traduz para uma fórmula ( )P da P-lógica e atualiza a assinatura  P com as W-variáveis geradas que substituem o operador  e as funções de skolem que substituem o quantificador  e o operador .  precisa de uma função auxiliar  que faça o descendente recursivo na fórmula e termos modais.  registra como um segundo argumento o contexto modal na forma de um W-termo w e como um terceiro argumento as variáveis universalmente quantificadas D-vars. Faça  P ser uma variável global que é atualizada durante o descendente recursivo. D-vars + x significa a concatenação de uma lista D-vars = ( )x xn1 com x, cujo resultado é ( )x x xn1 f (w+D-vars) denota o termo f w x xn( , , , )1  onde D-vars = ( )x xn1 As regras de transformação são: 37
  48. 48. 1. A chamada da função num primeiro nível é ( ): ( , , ())P P  0 onde ( ) é uma lista vazia. 2.  ( , ,P Q w D-vars): ( , ,P w D-vars)  ( , ,Q w D-vars) 3. ( , ,P Q w D-vars): ( , ,P w D-vars)  ( , ,Q w D-vars) 4. ( , ,xP w D-vars): x P w( , , D-vars + x) 5.  ( P,w,D-vars): u P u w( , ( ), D-vars), onde u é adicionado em VW como um novo mundo para  P . 6.  ( , ,xP w D-vars):  ( , ,P w D-vars)[ x f w ( D-vars)], onde f é adicionada em FD como um novo símbolo funcional 7.  ( P,w,D-vars):  ( , (P g w  D-vars),D-vars), onde g é adicionada em FW como novo símbolo funcional relativo a mudança de mundos Seja P um símbolo predicativo n-ário e seja f um símbolo funcional n-ário. 8.  ( ( , , ), ,P t t wn1  D-vars) : P w t w( , ( , , 1 D-vars), , ( , , t wn D-vars)) 9. ( ( , , ), ,P t t wn1  D-vars) : P w t w( , ( , , 1 D-vars), , ( , , t wn D-vars)) 10. ( ( , , ), ,f t t wn1  D-vars) : f w t w( , ( , , 1 D-vars), , ( , , t wn D-vars)) 11.  ( , ,x w D-vars) : x, onde x é uma variável. Para entendermos melhor as regras de tradução 4, 5, 6 e 7, que envolvem quantificadores e funções de Skolem, consideraremos o seguinte exemplo: seja o predicado L x y( , ) , cujo signifcado é “ x ama y”. Sejam as fórmulas: a)  x yL x y( , ) - que significa “todo mundo tem alguém que ama” b)  y xL x y( , ) - que significa “existe alguém que é amado por todo mundo” Apesar da semelhança entre as fórmulas, notamos que seus significados são diferentes. Após serem skolemizadas, tal diferença fica mais clara: a) xL x f x( , ( )) , onde f x( ) é uma função de Skolem que mapeia um indivíduo do domínio: f D D:  . x f(x) Maria Carlos José Maura 38
  49. 49.   b) xL x a( , ) , onde a é um indivíduo específico (constante) do domínio D. Quando temos fórmulas modais, a função de Skolem tem um significado mais complexo. Vamos considerar os seguintes casos: a) xP x( ) Como vimos, esta fórmula pode ser traduzida para xP g w x( ( ), ) , onde g é uma função de Skolem que mapeia um mundo do conjunto W . Neste caso a função de Skolem tem a notação g W W:  w g(w) w1 w2 w2 w3   b)  x P x( ) Quando traduzido para P-lógica fica xP g w x x( ( , ), ) . Por que a função g agora mapeia também um elemento do domínio D? Porque a função de Skolem, neste caso tem que mapear um indivíduo do mundo atual num mundo possível, garantindo a interpretação correta desse indivíduo, portanto g W D W:   x w g(w) a w1 w2 b w2 w3    Desenvolveremos agora uma tradução, baseado no exemplo do artigo de Ohlbach [OHL88]. 39
  50. 50. Tradução:   x R x( ( )  y R y( ))        p x y R , , , , , , 0 0 1)   (  x R x( ( )  y R y( )) ) 2)  (   x R x( ( )  y R y( )) , 0, ( ) ) [de 1) pela regra 1] 3) u  (  x R x( ( )  y R y( )) ,  u 0 , ( ) ) [de 2) pela regra 5]        p x y R u , , , , , , , 0 0 4) u x  ( ( )R x   y R y( ) ,  u 0 ,  x ) [de 3) pela regra 4] 5) u x     ( ( ), , ) (R x u x0    y R y( ) ,  u 0 ,  x ) [de 4) pela regra 2] 6) u x         ( , , , ) (R u x u x0 0   y R y( ) ,  u 0 ,  x ) [de 5) pela regra 9] 7) u x    ( , ) (R u x0    y R y( ) ,  u 0 ,  x ) [de 6) pela regra 11] 8) u x    ( , ) (R u x w0    y R y( ) ,   w u 0 ,  x ) [de 7) pela regra 5]        p x y R u w , , , , , , , , 0 0 9) u x    ( , ) (R u x w0   R f w u x( ( ( ( )), ))0 ,   w u 0 ,  x ) [de 8) pela regra 6]          p x y f R u w , , , , , , , ,0 0  10) u x   R u x w0 , ) R g w u x f w u x( ( ( ( )), ), ( ( ( ( ))), ),0 0   g w u x( , )0 ,  x )) [de 9) pela regra 9] 11) u x   R u x w0 , )  R g w u x f w u x( ( ( ( )), ), ( ( ( ))), ),0 0   ( , ( , )x g w u x0 ,  x )) [de 10) pela regra 10] 40
  51. 51. 12) u x   R u x w0 , )  R g w u x f w u x( ( ( ( )), ), ( ( ( ))), ),0 0 x) [de 11) pela regra 11] Teorema 7.3.1: Completude e Correção do Algoritmo de Tradução P é uma fórmula modal satisfatível se e somente se ( )P é uma P-fórmula P-satisfatível. A prova segue o recursão de  e assegura que a informação sobre o contexto modal foi corretamente modificada de operadores modais aninhados para W- termos. Esses resultados são a base para um procedimento de prova completo: para provar que uma fórmula da lógica modal é insatisfatível, é suficiente provar que a fórmula da P-lógica traduzida é P-insatisfatível. 7.4 Forma Normal Conjuntiva Considerando que a sintaxe da P-lógica não contém nem quantificadores existenciais nem operadores modais, uma transformação de uma fórmula arbitrária para um conjunto equivalente de cláusulas é essencialmente igual à lógica de predicado, mas sem a necessidade de skolemização. 7.5 World-Paths - Uma Sintaxe alternativa para W-termos W-termos contêm símbolos de W-variáveis em uma posição funcional e são então termos de mais alta ordem. Para muitos propósitos, especialmente para a definição dos algoritmos de unificação, a sintaxe de World-Paths é muito mais conveniente pois passamos a trabalhar com lógica de primeira ordem. A transição de W-termos para World-Paths pode ser explicada facilmente no nível semântico onde símbolos funcionais e símbolos W-variáveis (mundos) são interpretados como funções. Seja a operação currying, que transforma uma função n-ária f em uma função (n-1)-ária f c e produz uma 41
  52. 52. função unária que, quando aplicada aos argumentos restantes retorna o mesmo valor que f retornaria quando aplicada a todos os n argumentos de uma só vez, isto é f s s s f s sn c n( , , ) ( , , )1 1 2  . A operação currying pode ser usada para remover o argumento “mundo” da interpretação de um símbolo funcional relativo a mudança de mundo (W-estimado) (1,n)-ário, deixando uma função que é aplicável somente a elementos do domínio. Para uma chamada de função aninhada como f g w s s t tn m( ( , , , ), , , )1 1  a chamada de função curried equivalente é vista como: g w s s f t t wg s s f t t w g s s f t tn c m c n c m c n c m( , , , ) ( , , ) ( ( , , )) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))1 1 1 1 1 1        onde “ ” é a composição de funções. Um termo f t tc m( , , )1  cujo primeiro argumento não é um W-termo será chamado um CW-termo. Exemplos de diferentes versões sintáticas Lógica Modal P-Lógica, c/ W-termos P-Lógica, c/ World-Paths P wP w( ( ))0 wP w[ ]0 P P g( ( ))0 P g[ ]0  x Q x a( , ) xQ h x x a h x( ( , ), , ( ( , )))0 0xQ h x x a h x([ ( ), , [ (0 0 P wP h w g( ( ( ( ))))0wP gwh[ ]0 7.6 Unificação A unificação de World-Paths deve produzir substituições compatíveis com a relação de acessibilidade  (substituições  -compatíveis). Esta é então a única diferença em relação à unificação entre termos da lógica de predicados de primeira ordem.  Unificação quando a relação de acessibilidade não tem propriedades especiais World-Paths como [ ]0va e [ ]0bw são unificáveis tendo como um unificador{ , }v b w a  . Esta é uma substituição  -compatível para este tipo de relação de acessibilidade. Agora, os termos [ ]0va e [ ]0vuw iriam requerer uma substituição  -não compatível { [ ], }v bc w a  . Estes termos não são unificáveis. Em geral dois World- Paths são unificáveis quando eles têm tamanho igual e os CW-termos são unificáveis 42
  53. 53. com unificadores compatíveis. Assim, os World-Paths podem ser tratados como termos ordinários não havendo diferença significante em relação unificação de termos da lógica de predicados de primeira ordem. Há no máximo um unificador mais geral para cada problema de unificação.  Unificação quando a relação de acessibilidade é somente reflexiva O componente de substituição w  [ ] representa a declaração da identidade mapeando uma W-variável (um mundo). É  -compatível porque em interpretações reflexivas um mundo é acessível a partir de si mesmo. Os componentes de substituição w  [ ] removem uma variável completamente de um World-Path, tal que os World- Paths [ ]0va e [ ]0vuw sejam unificáveis com o dois unificadores independentes { ,v bu  [ ], }w a e { , ,v bu aw   [ ]}. O algoritmo de unificação tem que considerar todas as possibilidades para remover W-variáveis w pelo componente de substituição w  [ ] e unificar os CW-termos com um número reduzido de pares World-Paths. Já que podem existir muitas variáveis a serem finitamente removidas, há no máximo um número finito de unificadores mais gerais para cada problema de unificação.  Unificação quando a relação de acessibilidade é somente simétrica Quando a relação de acessibilidade  é simétrica, símbolos funcionais relativos a mudança de mundos tem uma função inversa associada. Um componente de substituição w a 1 é apropriado para eliminar o World-Path parcial [ ]aw em [ ]aa  1 [ ]. É permitido a uma W-variável (mundo) substituições  -compatíveis para substituir um World-Path parcial com exatamente um CW-termo ou um CW-termo inverso. A inversa v 1 de uma W-variável (mundo) também é permitida, pois a interpretação de uma W-variável é também uma função cuja inversa existe em interpretações simétricas. Por exemplo os dois World-Paths [ ]0vw e [ ]0 é unificável com um unificador { }w v 1 . O algoritmo de unificação tem que considerar todas as possibilidades para se tranformar uma W-variável w e seu predecessor t no World-Path, através do componente de substituição w t 1 , no caminho vazio [ ] e unificar os CW- termos num número reduzidos de pares World-Paths. Já que podem existir muita 43
  54. 54. variáveis a serem finitamente transformadas, há no máximo um número finito de unificadores mais gerais para cada problema de unificação.  Unificação quando a relação de acessibilidade é reflexiva e simétrica As duas idéias básicas para reflexividade e simetria podem ser simplesmente unidas. O algoritmo de unificação tem que considerar todas as possibilidades para remover W-variáveis w pelo componente de substituição w [ ] e transformar uma W- variável w e seu predecessor t no World-Path pelo componente de substituição w t 1 no caminho vazio [ ], e unificar os CW-termos com um número de pares World-Paths reduzido. Já que podem existir muitas variáveis a serem finitamente removidas ou transformadas, há no máximo um número finito de unificadores mais gerais para cada problema de unificação. Por exemplo os dois World-Paths [ ]0auv e [ ]0w são unificáveis com dois unificadores independentes { , }u a v w 1 e { , }v u w a 1 .  Unificação quando a relação de acessibilidade é somente transitiva Substituições  -compatíveis podem substituir World-Paths parciais arbitrários para uma W-variável. Um unificador para os dois World-Paths [ ]0vcd e [ ]0abwd seria { [ ], }v ab w c  , mas a substituição { [ ' ], [ ' ]}v abw w w c  com uma nova W-variável w’ é também um unificador. O algoritmo de unificação para dois World-Paths s s sn [ ]1 e t t tm [ ]1 trabalha da esquerda para a direita. Consiste claramente em três passos principais: 1. Unifique o termo s1 com t1 e chame o algoritmo de unificação de World-Paths recursivamente para [ ]s sn2  e [ ]t tm2  . 2.a. Quando s1 é uma W-variável, então para i = 2,..., m crie o componente de substituição s t tm1 1 [ ]e chame o algoritmo de unificação de World-Paths recursivamente para [ ]s sn2  e [ ]t ti m1 . 2.b. Quando ti é uma W-variável, então divida ti em duas W-variáveis novas [ ]uv , crie o componente de substituição { [ ], [ ]}s t t u t uvi i1 1 1   e chame o algoritmo de unificação de World-Paths novamente para [ ]s sn2  e [ ]vt ti m1 .  Unificação quando a relação de acessibilidade é reflexiva e transitiva 44
  55. 55. As idéias para o caso reflexivo e caso transitivo podem ser unidas sem problemas adicionais. O algoritmo para o caso transitivo simplesmente deve ser aumentado com um passo que remove W-variáveis w com um componente de substituição w [ ]. Ainda há no máximo um número finito de unificadores mais geral para cada problema de unificação.  Unificação quando a relação de acessibilidade é uma relação de equivalência (S5) World-Paths para interpretação do sistema S5 na forma normal de grau modal 1 consistem de, no máximo, dois CW-termos, isto é, eles parecem com [ ]0 ou [ ]0t .Dois World-Paths [ ]0 e [ ]0t só podem ser unificados quando t é uma variável e o unificador é t  [ ]. Dois World-Paths [ ]0s e [ ]0t podem ser unificados quando s e t são unificáveis. Então há no máximo um unificador mais geral para cada problema de unificação. 45
  56. 56. 8 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS Este capítulo terá como ênfase a comparação dos diversos métodos apresentados. A literatura sobre o assunto não apresentava uma abordagem desse nível, além disso, apresentava poucos exemplos de provas de teoremas. Nenhum material pesquisado trazia exemplos de resolução e a teoria apresentada era pouco clara na maioria dos casos. Daí veio a motivação de se elaborar um trabalho reunindo os métodos conhecidos, como tableau, e outros menos conhecidos na área, como o de World-Paths, desenvolvendo exemplos e, o mais interessante, fazendo comparações entre os métodos utilizando esses exemplos. Neste capítulo um mesmo exemplo será desenvolvido através dos três métodos apresentados nos capítulos anteriores, as diferentes provas serão comparadas e suas vantagens e desvantagens comentadas. Procuramos desenvolver no mínimo um exemplo para cada sistema da lógica modal (K, T, D, K4, S4 e S5), porém quase todos os sistemas têm pelo menos dois exemplos apresentados. Os algoritmos para prova de teoremas apresentados cobrem tanto a lógica modal proposicional, como a lógica modal de primeira ordem, porém, por falta de espaço neste trabalho, apresentaremos apenas exemplos da lógica modal proposicional. 8.1 Sistema K Exemplo 8.1.1 - Vamos provar a fórmula ( ) (P Q   P  Q).  Sistema de Tableau 1) ( ( ) (P Q   P  Q)) (negação da fórmula) 2) ( )P Q (de 1, pela regra A) 3) (  P  Q) (de 1, pela regra A) 4) P (de 3, pela regra A) 46
  57. 57. 5) Q (de 3, pela regra A) Agora, de 5, pela regra F obtemos um novo tableau começando com Q : 5.1) Q (de 5, pela regra F) 5.2) P (de 4, pela regra E) 5.3) P Q (de 2, pela regra E) 5.4) P Q (de 5.3, pela regra B) Temos assim um sub-tableaux fechado (por 5.1 e 5.4 e por 5.2 e 5.4), logo o ramo que deu origem a ele é fechado também e como ele é o único ramo do tableau original, este também o é.  B-Resolution de Konolige 1) ( ( ) (P Q   P  Q))  (negação da fórmula) 2)   ( ( ) (P Q    P  Q))  3)  ( ) (    P Q  P  Q)  4)  ( )   P Q  P   Q  5)  ( )  P Q  P   Q (forma normal clausal) Z = { 1 ,  2 ,  1 } onde:  1 : ( ) P Q  2 :  P 1 : Q (1) De (1) verificamos a necessidade de uma nova sub-resolução. 1ª Sub-resolução: W = { , , }  1 2 1 47
  58. 58. onde:  1 :  P Q  2 : P 1 : Q (2) Como chegamos a cláusula vazia por (2), o conjunto em (1) é insatisfatível. Logo, como o corte em (1) pode ser feito, é provado o teorema.  Método de Resolução Utilizando World-Paths 1) ( ( ) (P Q   P  Q))  (negação da fórmula) 2)   ( ( ) (P Q    P  Q))  3)  ( ) (    P Q  P  Q)  4)  ( )   P Q  P   Q  5)  ( )  P Q  P   Q (forma normal clausal) Tradução: a) (  ( )  P Q  P Q  ) b)  (  ( )  P Q  P Q  , ,0 ( )) (de a, pela regra 1) c)  ( ( ), P Q 0, ( ))  (  P, ,0 ( ))   ( , ,Q 0 ( )) (de b, pela regra 2) d) u ( , ( ), P Q u 0 ( ))  w P w( , ( ),0 ( ))  ( , ( ),Q g 0 ( )) (de c, pelas regras 5 e 7) e) u ( , ( ),P u 0 ( ))  ( , ( ),Q u 0 ( ))  wP w( ( ))0  Q g( ( ))0 (de d, pelas regras 3, 8, 9) f) u ( ( ( ))P u 0  Q u( ( ))0 )  wP w( ( ))0  Q g( ( ))0 (de e, pelas regras 8,9) Unificação World-Paths C1: P u( ( ))0 Q u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 Q u[ ]0 48
  59. 59. C2: P w( ( ))0 C2’: P w[ ]0 C3: Q g( ( ))0 C3’: Q g[ ]0 49
  60. 60. C1’: P u[ ]0 Q u[ ]0 C2’’: P u[ ]0 { }w u C3’: Q u[ ]0 { }g u  Exemplo 8.1.2 - Vamos provar o teorema ( P   Q)   ( )P Q .  Sistema de Tableau 1) ( ( P   Q)   ( )P Q ) (negação da fórmula) 2)  P  Q (de 1, pela regra A) 3)  ( )P Q (de 1, pela regra A) 4) P (de 2, pela regra A) 5) Q (de 2, pela regra A) Agora, de 3, pela regra F obtemos um novo tableau: 3.1  ( )P Q (de 3, pela regra F) 3.2 P (de 4, pela regra E) 3.3 Q (de 5, pela regra E) 3.4 P Q (de 3.1, pela regra B)  B-Resolution de Konolige 1) ( ( P   Q)   ( )P Q )  (negação da fórmula) 2)  ( ( P   Q)   ( )P Q )  3)  ( ( P   Q)   ( )P Q )  4)  ( P  Q)    ( )P Q )  5)   P  Q    ( )P Q (forma normal clausal) 50
  61. 61. Z = { 1 ,  2 ,  1 } onde:  1 : P  2 : Q 1 :  ( )P Q (1) Assim verificamos a necessidade de uma sub-resolução. 1ª Sub-resolução: W = { , , }  1 2 1 , derivado de Z, onde:  1 : P  2 : Q 1 :  ( )P Q (2) Como chegamos a cláusula vazia por (2), o conjunto em (1) é insatisfatível. Logo, como o corte em (1) pode ser feito, é provado o teorema.  Resolução Utilizando World-Paths 1) ( ( P   Q)   ( )P Q )  (negação da fórmula) 2)  ( ( P   Q)   ( )P Q )  3)  ( ( P   Q)   ( )P Q )  4)  ( P  Q)    ( )P Q )  5)   P  Q   ( )P Q  6)   P  Q P Q    ( ) (forma normal clausal) Tradução a) (  P  Q P Q    ( ) ) b)  (  P  Q P Q    ( ) ,0,( )) (de a, pela regra 1) c)  (  P, ,0 ( ))  ( Q,0,( ))     ( ( ), ,P Q 0 ( )) (de b, pela regra 2) d) u P u ( , ( ),0 ( ))  w Q w( , ( ),0 ( ))    ( , ( ),P Q g 0 ( )) (de c, pelas regras 5, 7) 51
  62. 62. e) uP u( ( ))0  wQ w( ( ))0  ( ( , ( ), P g 0 ( ))   ( , ( ),Q g 0 ( ))) (de d, pelas regras 9, 3) f) uP u( ( ))0  wQ w( ( ))0  ( ( ( ))P g 0  Q g( ( ))0 ) (de e, pela regra 8) Unificação World-Paths C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 C2: Q w( ( ))0 C2’: Q w[ ]0 C3:  P g Q g( ( )) ( ( ))0 0 C3’:  P g Q g[ ] [ ]0 0 C1’: P g[ ]0 { }u g C2’’: Q g[ ]0 { }w g C3’:  P g Q g[ ] [ ]0 0  Exemplo 8.1.3 - Vamos provar o teorema  ( )P Q  ( P  Q).  Sistema de Tableau 1) ( ( )P Q  ( P  Q)) (negação da fórmula) 2) ( )P Q (de 1, pela regra A) 3) (  P  Q) (de 1, pela regra A) 4) P Q (de 3, pela regra B) Agora, da fórmula 4 no ramo da esquerda e pela regra F, obtemos um novo tableau: 4.1.1 P (de 4, pela regra F) 4.1.2 P Q (de 2, pela regra E) 4.1.3 P (de 4.1.2, pela regra A) 4.1.4 Q (de 4.1.2, pela regra A) 52
  63. 63. Agora, da fórmula 4 no ramo da direita e pela regra F, obtemos um novo tableau: 4.2.1 Q (de 4, pela regra F) 4.2.2 P Q (de 2, pela regra E) 4.2.3 P (de 4.1.2, pela regra A) 4.2.4 Q (de 4.1.2, pela regra A)  B-Resolution de Konolige 1) ( ( )P Q  ( P  Q))  (negação da fórmula) 2)  ( ( )P Q  ( P  Q))  3)  ( )P Q   ( P  Q))  4)  ( )P Q    P  Q (forma normal clausal) Z = { 1 , 1 } ou Z’ = { 1 , 2 } onde: onde:  1 : ( )P Q  1 : ( )P Q 1 : P 2 : Q (1) Assim, verificamos a necessidade de uma sub-resolução. 1ª Sub-resolução: W = { , } 1 1 ou W’ = { , } 1 2 derivado de Z, derivado de Z’, onde: onde:  1 : ( )P Q  1 : ( )P Q 1 : P 2 : Q (2) Como chegamos a cláusula vazia por (2), o conjunto em (1) é insatisfatível. Logo, como o corte em (1) pode ser feito, é provado o teorema.  Método de Resolução Utilizando World-Paths 1) ( ( )P Q  ( P  Q))  (negação da fórmula) 2)  ( ( )P Q  ( P  Q))  3)  ( )P Q   ( P  Q))  53
  64. 64. 4)  ( )P Q    P  Q  5)  ( ) ( )P Q P Q     (forma normal clausal) Tradução a) ( ( ) ( )P Q P Q     ) b)  ( ( ) ( )P Q P Q     , 0, ( )) (de a, pela regra 1) c)  ( ( ), ,P Q 0 ( ))    ( , ,P Q 0 ( )) (de b, pela regra 2) d)  u P Q u( , (0),( ))  ( ( , , P 0 ( ))   ( , ,Q 0 ( ))) (de c, pelas regras 5, 3) e) u P u( , ( ),0 ( ))   ( , ( ),Q u 0 ( ))  ( ( , ( ), P g 0 ( ))  ( , ( ),Q g 0 ( ))) (de d, pelas regras 2, 7) f) uP u( ( ))0  Q u( ( ))0  ( ( ( ))P g 0  Q g( ( ))0 (de e, pelas regras 9, 8) Unificação World-Paths C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 C2: Q u( ( ))0 C2’: Q u[ ]0 C3:  P g Q g( ( )) ( ( ))0 0 C3’:  P g Q g[ ] [ ]0 0 C1: P u[ ]0 C2: Q u[ ]0 C3’:  P u Q u[ ] [ ]0 0 { }g u  Notamos que neste exemplo que tanto para o método de tableau quanto para a B-resolution houve a necessidade de ramificação para que a prova fosse efetuada. Pensando-se computacionalmente, isto é um problema pois o espaço de busca fica muito 54
  65. 65. grande. Entretanto, o método de resolução utilizando World-Paths jamais ramifica, reduzindo o esforço computacional para prova de teoremas. Exemplo 8.1.4 - Vamos provar o teorema ( )P Q  ( Q  P) .  Sistema de Tableau 1) ( ( )P Q  (  Q  P) ) (negação da fórmula) 2) ( )P Q (de 1, pela regra A) 3) ( Q  P) (de 1, pela regra A) 4)  Q (de 3, pela regra A) 5)  P (de 3, pela regra A) Agora, de 5, pela regra F obtemos um novo tableau: 5.1 P (de 5, pela regra F) 5.2 Q (de 3, pela regra E) 5.3 P (de 5.1, pela regra A) 5.4 P Q (de 2, pela regra E) 5.5 P Q (de 5.4, pela regra B)  B-Resolution de Konolige 1) ( ( ) (P Q   Q  P) )  (negação da fórmula) 2)  ( ( ) (P Q   Q  P) )  3)  ( ( ) (  P Q   Q  P) )  4)  ( ) (   P Q   Q  P) )  5)  ( )   P Q    Q  P  6)  ( )  P Q   Q  P (forma normal clausal) Z = { 1 ,  2 ,  1 } onde:  1 : ( ) P Q  2 : Q 55
  66. 66. 1 : P (1) Assim, verificamos a necessidade de uma sub-resolução. W = { , , }  1 2 1 , derivado de Z, onde:  1 : ( ) P Q  2 : Q 1 : P  P (2) Como chegamos a cláusula vazia por (2), o conjunto em (1) é insatisfatível. Logo, como o corte em (1) pode ser feito, é provado o teorema.  Resolução Utilizando World-Paths 1) ( ( ) (P Q   Q  P) )  (negação da fórmula) 2)  ( ( ) (P Q   Q  P) )  3)  ( ( ) (  P Q   Q  P) )  4)  ( ) (   P Q   Q  P) )  5)  ( )   P Q    Q  P  6)  ( )  P Q    Q P (forma normal clausal) Tradução a) ( ( )  P Q    Q P ) b)  ( ( )  P Q    Q P ,0,( )) (de a, pela regra 1) c)  ( ( ), P Q 0, ( ))  (  Q, ,0 ( ))   ( P ,0,( )) (de b, pela regra 2) d)   u P Q u( , (0),( ))   w Q w( , ( ),0 ( ))  ( , ( ),P g 0 ( )) (de c, pelas regras 5, 7) e)  u P u( ( , ( ), 0 ( ))   ( , ( ),Q u 0 ( )))   w Q w( ( ))0  P g( ( ))0 (de d, pelas regras 3, 8, 9) 56
  67. 67. f)  u P u( ( ))0  Q u( ( ))0   w Q w( ( ))0  P g( ( ))0 (de e, pelas regras 8, 9) 57
  68. 68. Unificação World-Paths C1: P u( ( ))0 Q u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 Q u[ ]0 C2: Q w( ( ))0 C2’: Q w[ ]0 C3: P g( ( ))0 C3’: P g[ ]0 C1: P u[ ]0 Q u[ ]0 C2: Q w[ ]0 { }w u C3’: P g[ ]0 { }g u  8.2 Sistema T Exemplo 8.2.1 - Vamos provar o teorema  P P .  Sistema de Tableau 1) (  P P ) (negação da fórmula) 2) P (de 1, pela regra A) 3) P (de 1, pela regra A) 4) P (de 2, pela regra E-R)  B-Resolution de Konolige 1) (  P P )  (negação da fórmula) 2)  (  P P )  3)   P P   4)   P P  (forma normal clausal) 58
  69. 69. Z = { 1 ,  1 } onde:  1 : P 1 : P (1) Assim, verificamos a necessidade de uma sub-resolução. 1ª Sub-resolução: W = { , } 1 1 , derivado de Z, onde:  1 :P 1 : P (2) Como chegamos a cláusula vazia por (2), o conjunto em (1) é insatisfatível. Logo, como o corte em (1) pode ser feito, é provado o teorema.  Resolução Utilizando World-Paths 1) (  P P )  (negação da fórmula) 2)  (  P P )  3)   P P   4)   P P  (forma normal clausal) Tradução a) (  P P  ) b) (  P P  , ,0 ( )) (de a, pela regra 1) c) (  P, ,0 ( ))  ( , ,P 0 ( )) (de b, pela regra 2) d) u P u( , ( ),0 ( ))  P( )0 (de c, pelas regras 5, 8) e) uP u( ( ))0  P( )0 (de d, pela regra 9) 59
  70. 70. Unificação World-Paths C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 C2: P( )0 C2’: P[ ]0 C1’’: P[ ]0 {u [ ]} C2’: P[ ]0  Exemplo 8.2.2 - Vamos provar a fórmula  P  P.  Sistema de Tableau 1) (  P  P) (negação da fórmula) 2) P (de 1, pela regra A) 3) P (de 1, pela regra A) Agora, de 3, pela regra F obtemos o seguinte tableau 3.1 P (de 3, pela regra F) 3.2 P (de 2, pela regra E) 3.3 P (de 3.2, pela regra E-R)  B-Resolution de Konolige 1) (  P  P)  (negação da fórmula) 2)  (  P  P)  3)   P   P 4)   P   P (forma normal clausal) Z = { 1 , 1 } onde:  1 : P 1 : P (1) 60
  71. 71. Assim, verificamos a necessidade de uma sub-resolução. 1ª Sub-resolução W = { 1 ,  1 }, derivado de Z, onde:  1 : P 1 : P (2) Como existem operadores modais a serem eliminados ainda, precisamos de uma segunda sub-resolução. 2ª Sub-resolução: Y = { , } 1 1 , derivado de Z, onde:  1 :P 1 : P (3) Como chegamos a cláusula vazia por (3), o conjunto em (2) é insatisfatível. Dessa forma, o conjunto em (1) também é insatisfatível. Logo, como os cortes em (2) e em (1) podem ser feitos, é provado o teorema.  Resolução Utilizando World-Paths 1) (  P  P)  (negação da fórmula) 2)  (  P  P)  3)   P   P 4)   P   P 5)   P P  (forma normal clausal) Tradução a) (  P P  ) b) (  P P  , ,0 ( )) (de a, pela regra 1) c) (  P, ,0 ( ))   ( , ,P 0 ( )) (de c, pela regra 2) d) u(  P u, ( ),0 ( ))  ( , ( ),P g 0 ( )) (de d, pelas regras 5, 7) e)  u w( P w u, ( ( )),0 ( ))  P g( ( ))0 (de d, pelas regras 5, 8) 61
  72. 72. f)  u w P w u( ( ( )))0  P g( ( ))0 (de e, pela regra 9) Unificação World-Paths C1: P w u( ( ( )))0 C1’: P uw[ ]0 C2: P g( ( ))0 C2’: P g[ ]0 C1’’: P u[ ]0 {w [ ]} C2’: P u[ ]0 { }g u  No sistema T, as provas no sistema de tableau ficaram um pouco mais simples que a B-resolution, porém, em ambos, nota-se que ao aumentarmos o número de operadores modais aninhados, o número de sub-tableaux e sub-resoluções aumenta. No caso de uso de World-Paths, o processo de tradução trata os operadores modais aninhados, e a prova nunca vai precisar do que mais de um passo. A novidade nesse método é que o número de possibilidades de unificações bem sucedidas aumenta, mas isto não significa que o espaço de busca vai aumentar. 8.3 Sistema D (Deôntico) Exemplo 8.3.1 - Vamos provar o teorema  P P  .  Sistema de Tableau 1) (  P P  ) (negação da fórmula) 2) P (de 1, pela regra A) 3) P (de 1, pela regra A) Agora, de 2 (ou 3) obtemos pela regra E o seguinte tableau: 2.1 P (de 2, pela regra E) 62
  73. 73. 2.2 P (de 3, pela regra E)  B-Resolution de Konolige 1) (  P P  )  (negação da fórmula) 2)  (  P P  )  3)   P P   4)   P    P  5)   P   P (forma normal clausal) Z = { 1 ,  2 } onde:  1 : P  2 : P (1) Existem operadores modais a serem eliminados, portanto necessitamos de uma sub-resolução. 1ª Sub-resolução: W = { , } 1 2 , derivado de Z, onde:  1 :P  2 : P (2) Como chegamos a cláusula vazia por (2), o conjunto em (1) é insatisfatível. Logo, como o corte em (1) pode ser feito, é provado o teorema.  Resolução Utilizando World-Paths 1) (  P P  )  (negação da fórmula) 2)  (  P P  )  3)   P P   4)   P    P  5)   P   P (forma normal clausal) 63
  74. 74. Tradução a) (  P   P) b) (  P   P, ,0 ( )) (de a, pela regra 1) c) (  P, ,0 ( ))  (  P, ,0 ( )) (de b, pela regra 2) d) u P u( , ( ),0 ( ))   w P w( , ( ),0 ( )) (de c, pela regra 5) e) uP u( ( ))0   w P w( ( ))0 (de d, pelas regras 9, 8) Unificação World-Paths C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 C2: P w( ( ))0 C2’: P w[ ]0 C1’: P u[ ]0 C2’: P u[ ]0 { }w u  8.4 Sistema K4 Exemplo 8.4.1 - Vamos provar o teorema  P  P.  Sistema de Tableau 1) (  P  P) (negação da fórmula) 2) P (de 1, pela regra A) 3) P (de 1, pela regra A) Agora, de 3, pela regra F obtemos um novo tableau: 3.1 P (de 3, pela regra F) 3.2 P (de 2, pela regra E-T) 64
  75. 75.  B-Resolution de Konolige 1) (  P  P)  (negação da fórmula) 2)  (  P  P)  3)   P  P 4)   P  P (forma normal clausal) Z = { 1 , 1 } onde:  1 : P 1 : P (1) Existem operadores modais a serem eliminados, portanto necessitamos de uma sub-resolução. 1ª Sub-resolução: W = { 1 , 1 }, derivado de Z, onde:  1 :P 1 : P (2) Existem ainda operadores modais a serem eliminados, portanto precisamos de uma segunda sub-resolução. 2ª Sub-resolução: Y = { 1 ,  1 }, derivado de W, onde:  1 :P  1 : P (3) Como chegamos a cláusula vazia por (3), o conjunto em (2) é insatisfatível. Dessa forma, o conjunto em (1) também é insatisfatível. Logo, como os cortes em (2) e em (1) podem ser feitos, é provado o teorema. 65
  76. 76.  Resolução Utilizando World-Paths 1) (  P  P)  (negação da fórmula) 2)  (  P  P)  3)   P  P 4)   P  P 5)   P P  (forma normal clausal) Tradução a) (  P P  ) b) (  P P  , ,0 ( )) (de a, pela regra 1) c) ( P,0,( ))  ( , ,P 0 ( )) (de b, pela regra 2) d) u P u( , ( ),0 ( ))   ( , ( ),P g 0 ( )) (de c, pelas regras 5, 7) e) uP u( ( ))0   ( , ( ( )),P h g 0 ( )) (de d, pelas regras 9, 7) f) uP u( ( ))0  P h g( ( ( )))0 (de e, pela regra 8) Unificação World-Paths C1: P u( ( ))0 C1’: P u[ ]0 C2: P h g( ( ( )))0 C2’: P gh[ ]0 C1’: P gu[ ']0 { '}u gu C2’: P gu[ ']0 { '}h u  Aqui percebemos novamente o problema dos operadores modais aninhados. Na B-resolução precisamos novamente de duas sub-resoluções para efetuar a prova, mesmo não sendo necessário eliminar todos os operadores modais. 66
  77. 77. 8.5 Sistema S5 Exemplo 8.5.1 - Vamos provar a fórmula ( )P Q   ( )P Q  Sistema de Tableau 1) ( ( )P Q   ( )P Q ) (negação da fórmula) 2) P Q (de 1, pela regra A) 3)  ( )P Q (de 1, pela regra A) 4)  ( )P Q (de 2, pela regra E-S)  B-Resolution de Konolige 1) ( P  P)  (negação da fórmula) 2)  (  P  P)  3)   P  P 4)  P  P (forma normal clausal) Z = { 1 , 1 } onde:  1 : P 1 : P (1) Existem operadores modais a serem eliminados, portanto precisamos de uma sub-resolução. 1ª Sub-resolução: W = { 1 ,  2 } { 1 ,  2 }, derivado de Z, onde:  1 : P  2 : P (2) Como chegamos a cláusula vazia por (2), o conjunto em (1) é insatisfatível. Logo, como o corte em (1) pode ser feito, é provado o teorema.  Resolução Utilizando World-Paths 67
  78. 78. 1) ( ( )P Q   ( )P Q )  (negação da fórmula) 2)  (   ( )P Q  ( )P Q )  3)     ( )P Q     ( )P Q )  4)  ( )  P Q ( ) P Q  5)  ( )  P Q  ( )P Q  (forma normal clausal) Tradução a) (   P Q ( ))P Q  b) (   P Q ( ), ,P Q  0 ( )) (de a, pela regra 1) c) ( , ,P 0 ( ))  ( , ,Q 0 ( ))  ( ( ), ,P Q  0 ( )) (de b, pela regra 3, 2) d)   P Q( ) ( ) (0 0  ( ), ( ),P Q g  0 ( )) (de c, pelas regras 8, 9, 7) e)     P Q u P Q u g( ) ( ) ( , ( ( )),0 0 0 ( )) (de d, pela regra 5) f)    P Q u P u g( ) ( ) ( ( , ( ( )),0 0 0 ( ))  ( , ( ( )),Q u g 0 ( ))) (de e, pela regra 2) g)      P Q uP u g Q u g( ) ( ) ( ( ( ))) ( ( ( )))0 0 0 0 (de f, pela regra 9, 8) Unificação World-Paths C1: P( )0 Q( )0 C1’: P[ ]0 Q[ ]0 C2: P u g( ( ( )))0 C2’: P gu[ ]0 C3: Q u g( ( ( )))0 C3’: Q gu[ ]0 C1’: P[ ]0 Q[ ]0 C2’: P[ ]0 { }u g 1 C3’’: Q[ ]0 { }u g 1  68
  79. 79. 69
  80. 80. Exemplo 8.5.2 - Vamos provar a fórmula ( )P Q   ( )P Q .  Sistema de Tableau 1) ( ( )P Q   ( )P Q ) (negação da fórmula) 2) ( )P Q (de 1, pela regra A) 3)  ( )P Q (de 1, pela regra A) Agora, de 2 (ou de 3), pela regra F obtemos o novo tableau: 2.1 P Q (de 2, pela regra F) 2.2  ( )P Q (de 3, pela regra F) Agora de 2.1, pela regra F-S, obtemos o seguinte tableau: 2.1.1 ( )P Q (de 2.1, pela regra F-S) 2.1.2  ( )P Q (de 2.2, pela regra F-T)  B-Resolution de Konolige 1) ( ( )P Q  ( )P Q )  (negação da fórmula) 2)  ( ( )P Q  ( )P Q )  3)  ( ( )  P Q ( ) P Q )  4)  ( )  P Q ( ) P Q  5)  ( )  P Q ( ) P Q  6)  ( )  P Q ( ) P Q  7)  ( )P Q   ( )P Q  (forma normal clausal) Z = {1 ,2 } onde: 1 : ( )P Q  2 : ( )P Q  (1) Como existem operadores modais a serem eliminados, precisamos de uma sub-resolução. 70
  81. 81. 1ª Sub-resolução: W = {1 , 1 }  {1 , 1 }, derivado de Z, onde: 1 : ( )P Q   1 : ( )P Q  (2) Como chegamos a cláusula vazia por (2), o conjunto em (1) é insatisfatível. Logo, como o corte em (1) pode ser feito, é provado o teorema.  Resolução Utilizando World-Paths 1) ( ( )P Q  ( )P Q )  (negação da fórmula) 2)  ( ( )P Q  ( )P Q )  3)  ( ( )  P Q ( ) P Q )  4)  ( )  P Q ( ) P Q  5)  ( )  P Q ( ) P Q  6)  ( )  P Q ( ) P Q  7)  ( )P Q   ( )P Q   8)      ( )P Q ( )P Q  (forma normal clausal) Tradução a) ( ( )   P Q  ( )P Q  ) b) ( ( )   P Q  ( ), ,P Q  0 ( )) (de a, pela regra 1) c) ( ( ), ,  P Q 0 ( ))  ( ( ), ,P Q  0 ( )) (de b, pela regra 2) d) ( , ( ), P Q g 0 ( ))  ( ( ), ( ),P Q h  0 ( )) (de c, pela regra 7) e) ( , ( ),P g 0 ( ))  ( , ( ),Q g 0 ( ))    u P Q u h( , ( ( )),0 ( )) (de d, pelas regras 3, 5) f) P g( ( ))0  Q g( ( ))0  u P u h( ( , ( ( )), 0 ( ))   ( , ( ( )),Q u h 0 ( ))) (de e, pelas regras 8, 9, 2) 71
  82. 82. g) P g( ( ))0  Q g( ( ))0  uP u h( ( ( )))0  Q u h( ( ( )))0 (de f, pelas regras 9, 8) 72
  83. 83. Unificação World-Paths C1: P g Q g( ( )) ( ( ))0 0 C1’: P g Q g[ ] [ ]0 0 C2: P u h( ( ( )))0 C2’: P hu[ ]0 C3: Q u h( ( ( )))0 C3’: Q hu[ ]0 C1’: P Q[ ] [ ]0 0 {g [ ]} C2’’: P[ ]0 { }u h 1 C3’’: Q[ ]0 { }u h 1  Notamos que nos exemplos do sistema S5, a B-resolução se tornou mais efetiva que antes, pois como já haviamos comentado no capítulo 6, as regras de insatisfatibilidade para este sistema são mais efetivas, permitindo mais cortes. Na resolução com World-Paths as possibilidades de unificação bem sucedida aumentam bastante, porém como já dissemos, isto não é problema. 73
  84. 84. 9 CONCLUSÃO Nosso trabalho apresentou uma comparação entre os diferentes métodos de provas de teoremas para a lógica modal. O maior mérito da nossa abordagem foi conseguir esclarecer o que é uma sub-resolução no método de Konolige e, principalmente, reunir esses três métodos num único trabalho, comparando-os através de exemplos, o que até então era inédito. Como conseqüência deste trabalho de comparação, chegamos à conclusão de que o método de resolução utilizando World-Paths se mostrou mais efetivo computacionalmente, já que não apresenta o problema do espaço de busca se tornar muito grande e de possuir um processo de unificação mais tranqüilo, o que é um dos principais problemas do método de tableau. Perspectivas para trabalhos futuros seriam:  extensão do método de resolução utilizando World-Paths para sistemas não seriais;  implementação computacional desse método;  o estudo de lógica modal de conhecimento e ação para o desenvolvimento de agentes inteligentes.
  85. 85. 10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [CAS87] CASANOVA, M. et alii. Programação em Lógica e a Linguagem Prolog. São Paulo, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1987, 461p. [CER84] CERRO, L. MOLOG: A system that Extends PROLOG with Modal Logic. [s.l.]:[s.n], [1984?], 26p. (Relatório). [COS92] COSTA, M. Introdução à Lógica Modal Aplicada à Computação. Gramado: VIII Escola de Computação, 1992, 200p. [GUE88] GUERREIRO, R. et alii. Programação em Cláusulas Genéricas Utilizando o Método de Eliminação de Modelos. In: SBIA, 5., 1988, Natal, Anais..., Natal: SBC, 1988, p.508-519. [HAR79] HAREL, D. First Order Dynamic Logic. Berlim: Springer-Verlag, 1979, p.5- 56. (Lecture Notes in Computer Science, Vol. 68) [OHL88] OHLBACH, H. A Resolution Calculus for Modal Logics. In: Conference on Automated Deduction, 3., 1988, Arjanne: Anais..., Berlim: Springer- Verlag, 1988, p.500-516. [PEL93] PELLETIER, F. Automated Modal Logic Theorem Proving in THINKER. [s.l.]:[s.n], [1993?], p.26-31. (Relatório) [TUR84] TURNER, R. Logics for Artificial Intelligence. Inglaterra:. Ellis Horwood Limited, 1984. p10-20

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