1.
EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DE
INEQUAÇÕES MODULARES
1. |x − 1| − |x + 1| ≤ 1
|u| =
u se u ≥ 0
−u se u 0
|x − 1| =
x − 1 se x − 1 ≥ 0
−x + 1 se x − 1 0
=
x − 1 se x ≥ 1
−x + 1 se x 1
|x + 1| =
x + 1 se x + 1 ≥ 0
−x − 1 se x + 1 0
=
x + 1 se x ≥ −1
−x − 1 se x −1
Caso a: x −1
|x − 1| − |x + 1| ≤ 1
−x + 1 − (−x − 1) ≤ 1
−x + 1 + x + 1 ≤ 1
2 ≤ 1
falso
intervalo descartado
1

2.
caso b: −1 ≤ x 1
−x + 1 − (x + 1) ≤ 1
−2x ≤ 1
x ≥ −
1
2
Logo, x ≥ −1/2 e x 1 (condição do caso b). Então, a solução deste
caso b é [−1/2, 1)
Caso c: x ≥ 1
x − 1 − (x + 1) ≤ 1
x − 1 − x − 1 ≤ 1
−2 ≤ 1
verdadeiro
Logo, todo o intervalo x ≥ 1 pertence à solução, ou seja, [1, +∞)
Combinando os três casos,
S = [−1/2, 1) ∪ [1, +∞)
S = [−1/2, +∞)
ou
S = {x ∈ R|x ≥ −1/2}
2. |3x − 2| − |2x + 1| ≥ 1
|3x − 2| =
3x − 2 se x ≥ 2/3
−3x + 2 se x 2/3
|2x + 1| =
2x + 1 se x ≥ −1/2
−2x − 1 se x −1/2
2

3.
caso a: x −1/2
−3x + 2 − (−2x − 1) ≥ 1
−3x + 2 + 2x + 1 ≥ 1
−x + 3 ≥ 1
−x ≥ −2
x ≤ 2
Então, x ≤ 2 e x −1/2 (condição do caso a). Logo, x −1/2
caso b: −1/2 ≤ x 2/3
−3x + 2 − (2x + 1) ≥ 1
−3x + 2 − 2x − 1 ≥ 1
−5x ≥ 0
x ≤ 0
Assim, x ≤ 0 e −1/2 ≤ x 2/3 (condição do caso b). Logo, −1/2 ≤ x ≤
0
caso c: x ≥ 2/3
3x − 2 − (2x + 1) ≥ 1
x − 3 ≥ 1
x ≥ 4
Combinando os três casos: S = (−∞, 0] ∪ [4, +∞)
3