CMCC - Universidade Federal do ABC

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Algebra Linear

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Prof. Roldao da Rocha

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E permitido o uso e a reproducao destas n...
Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) i
a

Men wanted for hazardous journey. Low rages, bitter cold, long months of ...
Contents

1 Corpos e Espa¸os Vetoriais
c
1.1 Corpos: defini¸˜es fundamentais . .
co
1.2 Os corpos Zp (p primo) . . . . . . ...
CONTENTS

5.3
5.4

Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 1
a

A ´lgebra tensorial de um espa¸o vetorial .
a
c
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Alge...
Corpos e Espa¸os Vetoriais
c

1.1

1

Corpos: defini¸˜es fundamentais
co

Um corpo K ´ um conjunto n˜o-vazio dotado de duas...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
c

Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 3
a

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uma tripla (K, +, ·). E freq¨ente omit...
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a

1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
c

Denotamos tamb´m o conjunto Zn = {[0], [...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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a

a
φ(a ◦ b) = φ(a).φ(b). Podemos provar q...
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a

1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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5. Se (K3 , , ) ´ um corpo, e se ψ : (K2...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
c

Teorema 2:

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a

Seja p um inteiro positivo p...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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Ex.17: Prove que:
1. Se K ´ um corpo, en...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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4. a + b = 0
5. a + b ≥ 0
6. a ∈ R
Em qu...
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Exemplo 3: V = Cn sobre C e V = Rn sobr...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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Obs.2: Dado U = {e1 , . . . , en } um c...
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Prova: Sejam ψ e ψ dois mapas tais que ...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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Vi = i para todo i (1≤ i ≤ n), e a band...
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1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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Ex.32: Mostre que, de acordo com a defin...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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1. Mostre que Tr ´ um funcional linear ...
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1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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Como V ∗ ´ um espa¸o vetorial, ´ natura...
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1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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1.7

N´ cleo e Imagem
u

Considere φ ∈ ...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
c

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a

Corol´rio 2: Temos que dim U = dim Im φ...
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1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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e
ψ : V1 ⊕ (V2 ⊕ V3 ) → V1 ⊕ V2 ⊕ V3
v1...
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1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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cont´m uma base de V . Pelo Teorema ant...
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Aplicando Pj ` igualdade acima, e usand...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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Defini¸˜o 3: A transforma¸˜o
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ca
π:V

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1.9.1

Teoremas de Isomorfismos

O Teore...
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O Teorema acima demonstrado pode ser il...
1. Corpos e Espa¸os Vetoriais
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Ex.67: Suponha que um K-espa¸o vetorial...
2

Operadores Lineares e Dualidade

2.1

Preliminares

Uma aplica¸˜o linear φ : W → V ´ unicamente determinada pelas image...
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a

2. Operadores Lineares e Dualidade

matriz de φ ´ da forma
e


A1 0 · ·...
2. Operadores Lineares e Dualidade

2.2

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Transforma¸˜es Gradiente e Cont...
2. Operadores Lineares e Dualidade

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polariza¸˜o. De fato, usando a propr...
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a

2. Operadores Lineares e Dualidade

2.3.1

Correla¸˜o
ca

Uma correla¸˜o...
Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 32
a

2. Operadores Lineares e Dualidade

onde os covetores {ei } formam uma b...
2. Operadores Lineares e Dualidade

Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 33
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Teorema 19: Sejam φ, φ1 , φ2 ∈ Hom(W...
2. Operadores Lineares e Dualidade

Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 34
a

Em outras palavras, nesta base a mat...
Autovetores e Formas Bilineares

3

Um dos objetivos principais do formalismo de operadores lineares ´ reduzir a matriz de...
3. Autovetores e Formas Bilineares

Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 36
a

Teorema 23: a) O polinˆmio caracter´...
3. Autovetores e Formas Bilineares

Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 37
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Prova: Na base {u, v}, o operador φ|...
3. Autovetores e Formas Bilineares

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Ex.81: Seja V = U ⊕ W . O operador d...
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  1. 1. CMCC - Universidade Federal do ABC ´ Algebra Linear ˜ Prof. Roldao da Rocha ´ E permitido o uso e a reproducao destas notas para fins exclusivamente ¸˜ educacionais. ξ ξ U ⊗ (V ⊗ (W ⊗ X)) - (U ⊗ V ) ⊗ (W ⊗ X) - ((U ⊗ V ) ⊗ W ) ⊗ X 6 Id ⊗ ξ = ? U ⊗ ((V ⊗ W ) ⊗ X) ξ ξ ⊗ Id - (U ⊗ (V ⊗ W )) ⊗ X
  2. 2. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) i a Men wanted for hazardous journey. Low rages, bitter cold, long months of complete darkness, isolation and starvation, constant danger, safe return doubtful.1 Ernest Shackleton Recovery is overrated. What counts in a battle is what you do when the pain sets in. 1 Em 29 de dezembro de 1913, an´ncio de um jornal britˆnico, convocando volunt´rios para viagem ao P´lo u a a o Sul. Mais de cinco mil inscritos, dentre os quais trˆs mulheres. e
  3. 3. Contents 1 Corpos e Espa¸os Vetoriais c 1.1 Corpos: defini¸˜es fundamentais . . co 1.2 Os corpos Zp (p primo) . . . . . . . 1.3 Isomorfismo entre corpos . . . . . . . 1.4 Outras estruturas alg´bricas . . . . . e 1.5 Espa¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . c 1.5.1 Subespa¸os Vetoriais . . . . . c 1.5.2 Bases de um Espa¸o Vetorial c 1.5.3 Transforma¸˜es Lineares . . . co 1.5.4 Bandeiras . . . . . . . . . . . 1.6 Espa¸o Dual e Funcionais Lineares . c 1.7 N´cleo e Imagem . . . . . . . . . . . u 1.8 Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Espa¸os Quocientes . . . . . . . . . . c 1.9.1 Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 17 18 21 24 2 Operadores Lineares e Dualidade 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Transforma¸˜es Gradiente e Contragradiente co 2.3 Funcionais Bilineares . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Correla¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.4 Dualidade e Adjunta . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Aplica¸˜es Duais . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 29 29 31 31 32 3 Autovetores e Formas Bilineares 3.1 Aplica¸˜es Ortogonais, sim´tricas e anti-sim´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . co e e 3.2 Espa¸os Euclidianos e Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 35 41 44 4 Forma Canˆnica de Jordan o 4.1 Forma Canˆnica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2 Fun¸˜es de Aplica¸˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co co 47 47 57 ´ 5 Algebra Tensorial 5.1 Aplica¸˜es Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 5.2 Produto Tensorial entre Espa¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 62 62 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  4. 4. CONTENTS 5.3 5.4 Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 1 a A ´lgebra tensorial de um espa¸o vetorial . a c ´ Algebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 O produto exterior . . . . . . . . . . 5.4.2 Opera¸˜es dentro da ´lgebra exterior co a Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 77 77 81 84
  5. 5. Corpos e Espa¸os Vetoriais c 1.1 1 Corpos: defini¸˜es fundamentais co Um corpo K ´ um conjunto n˜o-vazio dotado de duas opera¸˜es bin´rias, denotadas por + e a co a e ·, denominadas soma e produto, respectivamente, satisfazendo as seguintes propriedades: 1. A opera¸˜o de soma tem as seguintes propriedades: ca (a) Comutatividade: para todos a, b ∈ K, a + b = b + a. (b) Associatividade: para todos a, b, c ∈ K vale a + (b + c) = (a + b) + c. (c) Elemento neutro: existe um elemento 0 ∈ K, chamado de elemento nulo, ou zero, tal que a + 0 = a para todo a ∈ K. (d) Inversa: para cada a ∈ K existe um elemento denotado por b com a propriedade a + b = 0. Esse elemento ´ mais comumente denotado por −a. e 2. A opera¸˜o de produto tem as seguintes propriedades: ca (a) Comutatividade: para todos a, b ∈ K vale a.b = b.a (b) Associatividade: para todos a, b, c ∈ K vale a.(b.c) = (a.b).c (c) Elemento neutro: existe um elemento 1 ∈ K, chamado de unidade, tal que a.1 = a para todo a ∈ K. (d) Inversa: para cada a ∈ K, a = 0, existe um elemento denotado por b∗ com a propriedade a.b∗ = 1. Esse elemento ´ mais comumente denotado por a−1 . e 3. Distributividade: o produto ´ distributivo em rela¸˜o ` adi¸˜o: para todos a, b, c ∈ K e ca a ca vale a.(b + c) = a.b + a.c. Alguns autores consideram conveniente incluir tamb´m a hip´tese e o de que o elemento neutro e o elemento nulo s˜o distintos, 1 = 0, pois de outra forma ter´ a ıamos K = {0} (Prove!), uma situa¸˜o trivial. Note-se que corpos s˜o grupos comutativos em rela¸˜o ca a ca a ` opera¸˜o de soma e mon´ides comutativos em rela¸˜o ` opera¸˜o de produto. ca o ca a ca Obs.1: Um grupo ´ um conjunto n˜o-vazio G munido de uma opera¸˜o bin´ria G × G → G, e a ca a −1 ) (bijetora) denominada inversa, com denominada produto, e de uma opera¸˜o G → G (g → g ca as seguintes propriedades: 1) Associatividade: para todos a, b, c ∈ G vale (a.b).c = a.(b.c) 2) Elemento neutro: existe um elemento e ∈ G, denominado elemento neutro, tal que g.e = e.g = g para todo g ∈ G. A distributividade ´ a unica propriedade listada acima que relaciona as opera¸˜es de soma e ´ co e produto. Os elementos de um corpo s˜o comumente denominados escalares. Por motivos a estruturais, ´ importante enfatizar que um corpo depende da defini¸˜o do conjunto K e das e ca opera¸˜es bin´rias + e · nele definidas, e muitas vezes nos referiremos a um corpo como sendo co a
  6. 6. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 3 a ´ uma tripla (K, +, ·). E freq¨ente omitir-se o s´ u ımbolo “·” de produto por escalares quando n˜o a houver confus˜o. a Em um corpo K sempre vale a.0 = 0 para todo a ∈ K. De fato, como 0 = 0 + 0, segue que a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0. Somando-se a ambos os lados o elemento inverso (−a.0), teremos a.0 + (−a.0) = a.0 + a.0 + (−a.0), ou seja, 0 = a.0 + 0 = a.0, como quer´ ıamos provar. Pela comutatividade do produto vale tamb´m 0.a = 0 para todo a ∈ K. e Ex.1: Mostre que o elemento neutro da adi¸˜o ´ unico ca e ´ Ex.2: Verifique que Q, R e C s˜o corpos em rela¸˜o `s opera¸˜es usuais de soma e produto. a ca a co O conjunto das matrizes n × n para qualquer n ≥ 2 com o produto usual de matrizes ´ um e √ √ corpo? Mostre que R[ 2] := {a + b 2 | a, b ∈ R} n˜o ´ um corpo. Mostre que Z e Z6 n˜o s˜o a e a a corpos. Ex.3: Quais s˜o os elementos invert´ a ıveis de Z10 com respeito ` adi¸˜o e ` multiplica¸˜o a ca a ca induzidas? 1.2 Os corpos Zp (p primo) Uma rela¸˜o de equivalˆncia R em um conjunto X ´ uma rela¸˜o (i) reflexiva, (ii) sim´trica e ca e e ca e (iii) transitiva, ou seja, (i) xRx, (ii) se xRy ent˜o yRx, e (iii) se xRy e yRz ent˜o xRz, ∀x, y, z ∈ a a X. O conjunto de todos os elementos equivalentes a x constituem a classe de equivalˆncia de e x, denotada por [x] = {y ∈ X | yRx}. O conjunto dessas classes de equivalˆncia ´ denotado e e por X = X/R = {[x] | x ∈ X}, e denominado espa¸o quociente. Uma nota¸˜o muita utilizada c ca para xRy ´ x ∼ y. Um elemento x ∈ [x] ou qualquer outro elemento em [x] ´ denominado e e representante de [x]. Tais classes de equivalˆncia s˜o disjuntas, no sentido de que [x] ∩ [y] = ∅. Mostraremos que, e a se [x] ∩ [y] = ∅, ent˜o [x] = [y]. Supondo ent˜o que [x] ∩ [y] = ∅, existe c ∈ [x] ∩ [y] tal que c ∼ x a a e c ∼ y. Por transitividade, x ∼ y. Agora mostraremos que [x] ⊂ [y], tomando um elemento arbitr´rio x1 ∈ [x] temos que x1 ∼ x, e como x ∼ y, ent˜o y ∼ x1 , isto ´, x1 ∈ [y], e portanto, a a e [x] ⊂ [y]. Analogamente podemos mostrar que [y] ⊂ [x], e portanto [x] = [y]. Exemplo 1: Para n ∈ N, no conjunto dos inteiros Z podemos definir a seguinte rela¸˜o de ca equivalˆncia: a ∼ b ⇔ a − b = kn, k = 0, ±1, ±2, . . . ou seja, os inteiros a e b s˜o considerados e a equivalentes se diferirem por um m´ltiplo de n. A classe de equivalˆncia de a consiste portanto u e no conjunto [a] = {c ∈ Z | a = c + kn} = {c, c ± n, c ± 2n, c ± 3n, . . .}. O conjunto das classes de equivalˆncia ´ o conjunto Zn = Z/ ∼, o conjunto dos inteiros m´dulo e e o n. Lembramos que, se a, b ∈ Z, dizemos que a ´ congruente a b m´dulo n — e denotamos a ≡ b( e o mod n) — se n| (a − b). Podemos ainda mostrar que nesse caso, a ≡ b( mod n) se, e somente se existir um inteiro k tal que a = b + km. Portanto definimos o conjunto das classes de equivalˆncia a partir da rela¸˜o a ∼ b ⇔ e ca a = b (mod n). Ex.4: Prove que a ∼ b definida por a ≡ b mod n ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia. e ca e Ex.5: Dado (a, b) ∈ Z × Z, com a, b ∈ Z, defina a relacao R em Z × Z por (a, b)R(c, d) se, e somente se ad = cb. Mostre que R ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia. e ca e
  7. 7. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 4 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Denotamos tamb´m o conjunto Zn = {[0], [1], . . . , [n − 1]}, com n ∈ N, n ≥ 2, com a soma e definida por [a] [b] ≡ (a + b) (mod n) = [a + b], para [a], [b] ∈ Zn . Podemos tamb´m considerar e em Zn uma opera¸˜o de produto, definida por [a] • [b] ≡ ab (mod n) = [a.b]. ca Teorema 1: Se o conjunto Zn ´ um corpo com as opera¸˜es acima definidas, ent˜o n ´ e co a e um n´mero primo. u Demonstra¸˜o: As opera¸˜es de soma e produto definidas acima s˜o comutativas, assoca co a ciativas e distributivas (justifique!). Sempre vale que [−a] = [n − a], ∀[a] ∈ Zn , o que implica na existˆncia de um inverso aditivo. Resta-nos estudar a existˆncia de elementos inversos [a]−1 . e e Vamos supor que Zn seja um corpo. Ent˜o [a] ∈ {[2], . . . , [n − 1]} tem uma inversa em Zn , ou a seja, um n´mero [b] ∈ {[1], . . . , [n − 1]} tal que [a] • [b] = 1. Lembrando a defini¸˜o de produto u ca 1 em Zn , isso significa que existe um inteiro k tal que ab = kn + 1. Mas isso implica b − a = k n . a Como o lado esquerdo n˜o ´ um n´mero inteiro, o lado direito tamb´m n˜o pode ser. Portanto a e u e a n/a n˜o pode ser inteiro para nenhum a ∈ {2, . . . , n − 1}, ou seja, n n˜o tem divisores ´ portanto a a e ´ um n´mero primo. e u Os conjuntos Zn tˆm profundas aplica¸˜es em teoria de c´digos e relevante tamb´m em e co o e ´ outras ´reas de Algebra e Geometria. a Exemplo 2: Tome por exemplo n = 7. Neste caso, [4] [6] = [10] = [3], enquanto que [6] • [6] = [6.6] = [36] = [1]. A tabela de multiplica¸˜o para Z7 ´ dada por ca e [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [2] [3] [4] [5] [6] • [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [0] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [0] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [0] [6] [5] [4] [3] [2] [1] Os valores de [a] [b] e [a]•[b] para Z7 s˜o exibidos na intersec¸˜o da [a]-´sima linha [b]-´sima a ca e e coluna, na tabela apropriada. Ex.6: Fa¸a a tabela multiplicativa de Z6 , Z8 e Z9 , identificando quais s˜o os respectivos c a elementos invers´ ıveis de tais conjuntos Proposi¸˜o 1: As opera¸oes ⊕ e • est˜o bem definidas em Zn ca c˜ a Prova: Suponha que [a] = [c] e [b] = [d] em Zn . Ent˜o a = c + un e b = d + vn, para u, v ∈ Z a apropriados. Assim, [a + b] = [c + un + d + vn] = [c + d + (u + v)n] = [c + d] + [(u + v)n] = [c + d] + [0] = [c + d] [a.b] = [(c + un).(d + vn)] = [c.d + (c.v + u.d + u.n.v).n] = [c.d] 1.3 (1.1) Isomorfismo entre corpos Dois corpos (K1 , , ◦) e (K2 , +, .) s˜o ditos isomorfos se existir uma aplica¸˜o bijetora φ : a ca K1 → K2 que preserve as opera¸˜es alg´bricas de K1 e K2 , ou seja, tal que φ(a b) = φ(a)+φ(b), co e
  8. 8. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 5 a a φ(a ◦ b) = φ(a).φ(b). Podemos provar que φ(1K1 ) = 1K2 e φ(0K1 ) = 0K2 . Acima, 1Kj e 0Kj s˜o a unidade multiplicativa e o elemento nulo, respectivamente, de Kj , j = 1, 2. Ex.7: Prove que φ(−a) = −φ(a) para todo a ∈ K1 e que φ(a−1 ) = (φ(a))−1 para todo a ∈ K1 , a = 0K1 a −b , com a, b ∈ R. b a Mostre que esse conjunto ´ um corpo em rela¸˜o `s opera¸˜es usuais de soma e produto de e ca a co matrizes. Mostre que esse corpo ´ isomorfo ao corpo C, atrav´s da aplica¸˜o e e ca Ex.8: Considere o conjunto de todas as matrizes reais da forma Θ : C → M(2, R) (a + ib) → a −b b a (1.2) Considere agora um corpo K com unidade. Para um n´mero natural n, definimos n.1 = u n vezes 1 + · · · + 1. Define-se a caracter´ ıstica de K — e denotamos por char(K) — como sendo o menor n´mero natural n˜o-nulo n tal que n.1 = 0. Se um tal n´mero n˜o existir, dizemos que o corpo u a u a tem caracter´ ıstica zero. Ex.9: Prove que Q, R, C tˆm caracter´ e ıstica zero, e prove que Zp , com p primo, tem caracter´ ıstica p Ex.10: Prove que, quando char(K) = 0, ent˜o char(K) ´ sempre um n´mero primo a e u Ex.11: Prove que, quando char(K) = p, ent˜o ∀a, b ∈ K, (a + b)p = ap + bp . a Ex.12: : Sejam a, b ∈ K. Quais das seguintes rela¸˜es plaus´ co ıveis s˜o necessariamente a verdadeiras? Prove ou justifique. 1. 0.a = 0 2. (−1).a = −a 3. (−a).(−b) = a.b 4. 1 + 1 = 0 5. Se a = 0 e b = 0 ent˜o ab = 0 a Ex.13: Dado um isomorfismo de corpos φ : (K1 , , ∗) → (K2 , +, .), mostre que 1. φ(0K1 ) = 0K2 2. Se 1K1 denota a identidade de K1 , ent˜o a identidade em K2 ´ dada por φ(1K1 ). a e 3. φ(an ) = (φ(a))n 4. φ−1 : K2 → K1 existe e tamb´m ´ isomorfismo. e e
  9. 9. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 6 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c 5. Se (K3 , , ) ´ um corpo, e se ψ : (K2 , +, .) → (K3 , , ) ´ isomorfismo, ent˜o ψ ◦ φ : e e a (K1 , , ∗) → (K3 , , ) ´ tamb´m um isomorfismo e e 1.4 Outras estruturas alg´bricas e Considere elementos a, b, c em um conjunto S, e as seguintes propriedades: A1) a + b = b + a A2) (a + b) + c = a + (b + c) A3) ∃z ∈ S tal que z + a = a + z = a A4) para cada a ∈ S, ∃a∗ ∈ S tal que a + a∗ = a∗ + a = z M1) a.b = b.a M2) (a.b).c = a.(b.c) M3) ∃e ∈ S tal que e.a = a.e = a M4) para cada a ∈ S tal que a = z, ∃a ∈ S tal que a.a = a .a = e D) a.(b + c) = a.b + a.c e (a + b).c = a.c + b.c Z) Se a.b = z ent˜o a = z ou b = z (ou ambos). a Usamos as palavras zero e identidade para descrever os elementos z e e respectivamente. Qualquer elemento a ∈ S (incluindo a = z) para o qual existe b = 0 tal que a.b = z ou b.a = 0 ´ e chamado de divisor de zero. Substitu´ ımos as nota¸˜es 0, 1, −a, a−1 respectivamente por z, e, a∗ co a para evitarmos atribuir inconscientemente algumas propriedades que decorrem das defini¸˜es, co mas n˜o s˜o axiomas e devem ser provadas. A seguinte tabela ilustra as diversas estruturas a a alg´bricas advindas do conjunto S equipado com as opera¸˜es bin´rias + e ·: e co a A1 A2 A3 A4 M2 D M1 M3 M4 Z S, +, · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • − • − − • • − • − • − − • − • − • • • • − − − − − − − − • • − − − • − • • • • • anel anel comutativo anel unital anel sem divisores de zero anel comutativo unital anel comutativo sem divisores de zero anel unital sem divisores de zero anel de integridade anel de divis˜o a corpo Um exemplo de anel bastante utilizado ´ o anel dos polinˆmios. e o Ex.14: Prove que as propriedades M 4 e Z n˜o s˜o satifeitas para Zn quando n ´ um inteiro a a e composto. Prove que todas as outras propriedades s˜o satisfeitas a
  10. 10. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Teorema 2: Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 7 a Seja p um inteiro positivo primo. Ent˜o Zp satisfaz as propriedades M4 e Z a Prova: a) Suponha que [a] ∈ Zp , onde [a] = [0]. Ent˜o p a em Z, e portanto (p, a)=1. a Portanto, existem r, s ∈ Z tais que rp + sa = 1. Ent˜o [1]=[rp + sa] = [sa] = [s] • [a]. Logo a [s] • [a] = [a] • [s] = 1, e Zp satisfaz M4. b) Agora suponha que [b], [c] ∈ Zp tais que [b] • [c] = 0. Ou [b] = [0] e n˜o h´ mais nada a se a a provar, ou [b] = [0]. Pela parte a) da prova, ent˜o existe [t]∈ Zp tal que [t] • [b] = [1]. Ent˜o, a a [0] = [t] • [0] = [t] • ([b] • [c]) = ([t] • [b]) • [c] = [1] • [c] = [c]. Portanto quando assumimos que [b] • [c] = [0] conclu´ ımos ou que [b] = [0] ou que [c] = [0], e portanto a propriedade Z ´ satisfeita e para Zp 1.5 Espa¸os Vetoriais c Um espa¸o vetorial V sobre um corpo K ´ um conjunto de elementos chamados vetores, c e munido de uma opera¸˜o aditiva +: V × V → V , denominada soma vetorial, e tamb´m de um ca e produto por escalares ·: K × V → V com as seguintes propriedades: 1) A cada par u, v ∈ V de vetores, ´ associado um elemento u + v ∈ V , denominado soma e de u e v, com as seguintes propriedades: (a) A soma ´ comutativa: u + v = v + u para todos u, v ∈ V e (b) A soma ´ associativa: u + (v + w) = (u + v) + w para todos u, v, w ∈ V e (c) Existe um vetor denotado por 0, denominado vetor nulo, tal que u + 0 = u para todo u ∈ V (d) A cada u ∈ V existe associado um unico vetor denotado por −u tal que u + (−u) = 0 ´ 2) A cada par a ∈ K, u ∈ V existe associado um vetor denotado por a.u ∈ V , denominado produto de u por a, de forma que (a) O produto por escalares ´ associativo: a.(b.u) = (ab).u, para todos a, b ∈ K e u ∈ V , onde e ab ´ o produto de a por b em K. e (b) 1.u = u para todo u ∈ V , onde 1 denota a unidade de K. (c) O produto por escalares ´ distributivo em rela¸˜o ` soma de vetores: a.(u + v) = a.u + a.v, e ca a para todo a ∈ K e todos u, v ∈ V . (d) O produto por escalares ´ distributivo em rela¸˜o ` soma de escalares: (a + b).u = a.u + b.u, e ca a para todos a, b ∈ K e todo u ∈ V . Ex.15: Prove que os espa¸os vetoriais s˜o grupos comutativos em rela¸˜o ` opera¸˜o de c a ca a ca soma Os elementos de um corpo sobre os quais um espa¸o vetorial se constitui s˜o freq¨entemente c a u denominados escalares. Usamos o s´ ımbolo “+” tanto para a opera¸˜o de adi¸˜o do corpo K ca ca quanto para a opera¸˜o de adi¸˜o do espa¸o vetorial V , ainda que se trate de opera¸˜es distintas. ca ca c co Igualmente usamos o mesmo s´ ımbolo “0” para designar o vetor nulo de V e o elemento nulo de K. Ex.16: Mostre que, usando os postulados acima, que 0.u = 0 para todo u ∈ V , onde, o 0 do lado esquerdo representa o zero do corpo K e o do lado direito o vetor nulo de V . Em seguida, prove que para todo a ∈ K e todo u ∈ V vale (−a).u = −(a.u), sendo que −a denota a inversa aditiva de a em K e −(a.u) denota a inversa aditiva de a.u ∈ V
  11. 11. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 8 a Ex.17: Prove que: 1. Se K ´ um corpo, ent˜o K ´ um espa¸o vetorial sobre K com as mesmas opera¸˜es de soma e a e c co e produto definidas em K. 2. Se K ´ um corpo e L ´ um subcorpo de K (ou seja, um subconjunto de K que ´ por si s´ e e e o um corpo com as opera¸˜es definidas em K), ent˜o K ´ um espa¸o vetorial sobre L. co a e c 3. Se K ´ um corpo, o produto Cartesiano Kn = {(k1 , . . . , kn ), kj ∈ K, j = 1, . . . , n} ´ um e e espa¸o vetorial sobre K com a opera¸˜o de soma definida por (k1 , . . . , kn ) + (l1 , . . . , ln ) = c ca (k1 + l1 , . . . , kn + ln ) e o produto por escalares por a.(k1 , . . . , kn ) = (ak1 , . . . , akn ) para todo a ∈ K. O vetor nulo ´ o vetor (0, . . . , 0). e 4. O conjunto Mm×n (K), de todas as matrizes m × n cujos elementos de matriz pertencem a K, ´ um espa¸o vetorial sobre K, com a soma sendo a soma usual de matrizes e o produto e c por escalares sendo o produto usual de matrizes por n´meros escalares. O vetor nulo ´ a u e matriz nula Ex.18: Determine se os seguintes conjuntos s˜o espa¸os vetoriais: a c 1. K = C, V = C, com soma usual, e multiplica¸˜o definida por a • v = a2 v, ∀v ∈ V e a ∈ K. ca 2. K = C, V = C, com soma usual, e multiplica¸˜o definida por a • v = (Re a) v, ∀v ∈ V e ca a∈K 3. O conjunto de todas as fun¸˜es pares. co 4. O conjunto de todas as fun¸˜es ´ co ımpares. Ex.19: Considere o conjunto R com a opera¸˜o de soma usual, um corpo Zp , com p primo ca e o produto Zp × R → R, a ∈ Zp e x ∈ R dada pelo produto usual em R. Essa estrutura define um espa¸o vetorial? Justifique c 1.5.1 Subespa¸os Vetoriais c Um subconjunto U = ∅ de um espa¸o vetorial V ´ dito ser um subespa¸o vetorial de V se e c e c somente se, dados a, b ∈ K e u, v ∈ U , au + bv ∈ U . Subespa¸os s˜o nesse sentido fechados com c a rela¸˜o a combina¸˜es lineares. Adicionalmente, o conjunto {0} ´ elemento de todo subespa¸o ca co e c de V . De fato, se U ´ subespa¸o vetorial de V , ent˜o se w ´ um elemento arbitr´rio de U , ent˜o e c a e a a 0.w ∈ U , e j´ que 0.w = 0, ent˜o 0 ∈ U para todo U ⊂ V . a a Ex.20: Considere V = C3 e os seguintes conjuntos U ⊆ V consistindo dos vetores (a, b, c), onde a, b, c ∈ C tais que 1. a = 0 2. b = 0 3. a + b = 1
  12. 12. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 9 a 4. a + b = 0 5. a + b ≥ 0 6. a ∈ R Em quais desses casos U ´ subespa¸o vetorial de V ? e c Ex.21: Considere V como sendo o espa¸o vetorial complexo dos polinˆmios de grau n e c o U ⊆ V consistindo dos polinˆmios p(t) sobre um corpo K tais que: o 1. possuem grau trˆs e 2. 2p(0) = p(1) 3. p(t) ≥ 0 sempre que 0 ≤ t ≤ 1 4. p(t) = p(1 − t), ∀t ∈ K Em quais desses casos U ´ subespa¸o vetorial de V ? e c Ex.22: Em um corpo finito Zp , p primo, calcule o n´mero de subespa¸os vetoriais de u c n dimens˜o j em um Zp -espa¸o vetorial (Zp ) a c Ex.23: Prove que a intersec¸ao de subespa¸os vetoriais ´ um subespa¸o vetorial c˜ c e c Ex.24: Prove que os unicos subespa¸os de R, s˜o o pr´prio R e o subspa¸o nulo. Mostre ´ c a o c que todos os subespa¸os de R2 s˜o o pr´prio R2 , o subespa¸o nulo ou o subespa¸o consistindo c a o c c 2. de um m´ltiplo de um vetor fixo em R u 1.5.2 Bases de um Espa¸o Vetorial c Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K. Um conjunto finito v1 , . . . , vn ∈ V de vetores c ´ dito ser linearmente dependente se existir um conjunto de escalares a1 , . . . , an ∈ K, nem todos e nulos, tais que a1 v1 + · · · + an vn = 0. Um conjunto arbitr´rio de vetores ´ dito ser linearmente a e independente se n˜o possuir nenhum subconjunto finito que seja linearmente dependente. a Para um conjunto finito de vetores {v1 , . . . , vn } ⊂ V e de escalares {a1 , . . . , an } ⊂ K, uma express˜o como a1 v1 + · · · + an vn ´ dita ser uma combina¸˜o linear dos vetores vi . a e ca Considerando agora um conjunto de vetores U ⊆ V , o espa¸o gerado por U (“linear span”) c de U denotado por spanlin (U), ou U , ´ o conjunto de todos os vetores de V que podem ser e escritos como uma combina¸˜o linear finita de elementos de U . ca Denotando um conjunto arbitr´rio n˜o-vazio de ´ a a ındices por J, uma base em um espa¸o c vetorial V ´ um conjunto A = {vi , i ∈ J} de vetores linearmente independentes que geram V e (qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito de modo unico como uma combina¸˜o linear de elementos ´ ca de A). Um espa¸o vetorial ´ dito ser de dimens˜o finita se possuir uma base finita. Se um espa¸o c e a c vetorial V tem dimens˜o finita, sua dimens˜o ´ definida como sendo o n´mero de elementos de a a e u sua base. Ex.25: Dois conjuntos disjuntos de R2 podem gerar o mesmo espa¸o vetorial? Qual ´ em c e 3 o espa¸o gerado pelo conjunto {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)}? R c
  13. 13. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 10 a Exemplo 3: V = Cn sobre C e V = Rn sobre R s˜o ambos espa¸os vetoriais de dimens˜o a c a n sobre R ´ espa¸o vetorial de dimens˜o finita 2n. Isso mostra a finita n, enquanto que V = C e c a dependˆncia da dimens˜o com o corpo utilizado. Esse conceito ser´ bastante utilizado quando e a a falarmos de produto tensorial Exemplo 4: Os polinˆmios de uma vari´vel real com coeficientes complexos Pn (t) = an tn + o a · · · + a1 t + a0 , t ∈ R, ai ∈ C, ´ polinˆmio de grau n quando an = 0 e o Exemplo 5: V = R sobre o corpo dos reais. O conjunto dos reais sobre o corpo dos reais ´ um espa¸o vetorial de dimens˜o 1, pois qualquer elemento v ∈ R pode ser escrito como e c a v = v.1, onde {1} ´ o unico elemento da base de R. Ao considerarmos V = R sobre o corpo Q e ´ dos racionais, tal espa¸o vetorial n˜o possui dimens˜o finita, pois n˜o existe um conjunto finito c a a a {x1 , . . . , xm } de n´meros reais tais que todo x ∈ R possa ser escrito como x = q1 x1 + · · · + qm xm , u onde qi ∈ Q. Como Q ´ um conjunto cont´vel, a cole¸˜o de n´meros que podem ser escritos como e a ca u o lado direito ´ uma cole¸˜o cont´vel e tem a mesma cardinalidade de Qm , por´m o conjunto R e ca a e n˜o ´ cont´vel a e a Teorema 3: Se em um espa¸o vetorial V existir um conjunto {vi } de n vetores linearmente c independentes, ent˜o a dimens˜o de V ´ maior ou igual a n a a e Prova: Suponhamos por absurdo que exista uma base B = {u1 , . . . , uk } em V com k < n. Ent˜o podemos escrever v1 = a1 u1 + · · · + ak uk pois B ´ uma base e pelo menos ak = 0, portanto a e uk = (ak )−1 (v1 − a1 u1 − · · · − ak−1 uk−1 ) (1.3) Analogamente temos que v2 = b1 u1 + · · · + bk uk e usando a Eq.(1.3) escrevemos v2 = c1 u1 + · · · + ck−1 uk−1 + d1 v1 . Os ci n˜o podem ser todos nulos, sen˜o v2 = d1 v1 , contrariando a hip´tese de a a o que os {vi } s˜o L.I.. Suponhamos que ck−1 seja o elemento n˜o-nulo, podemos escrever uk−1 a a como uma combina¸˜o linear envolvendo {u1 , . . . , uk−2 } e os vetores v1 e v2 . Ap´s k passos ca o provamos que vk+1 = α1 v1 + · · · + αk vk , contrariando a hip´tese de que os vi s˜o L.I.. o a Ex.26: Se K ´ um corpo com p elementos, quantas bases existem em Kn ? e Vimos que o espa¸o V tem dimens˜o finita se ele possui uma base finita. Duas bases quaisquer c a de V tˆm o mesmo n´mero (finito) de elementos. e u Ex.27: Prove as seguintes afirma¸˜es: a) O conjunto de vetores {e1 , . . . , en } ´ L.D. se e co e somente se pelo menos um dos vetores ej for combina¸˜o linear dos outros. ca b) Se o conjunto {e1 , . . . , en } ´ L.I. e o conjunto {e1 , . . . , en , en+1 } ´ L.D., ent˜o en+1 ´ come e a e bina¸˜o linear de e1 , . . . , en ca Ex.28: Considere Kn−1 [x] o espa¸o dos polinˆmios na vari´vel x que tˆm grau menor ou c o a e igual a n − 1, com coeficientes em um corpo K. Verifique que: a) O conjunto {1, x, . . . , xn−1 } forma uma base de Kn−1 [x], e as coordenadas de um polinˆmio o f ∈ Kn−1 [x] em tal base s˜o seus coeficientes. a b) O conjunto {1, x − a, (x − a)2 , . . . , (x − a)n−1 } forma uma base de Kn−1 [x]. Se char(K)= (n−1) (a) p > n, ent˜o os coeficientes de um polinˆmio f s˜o {f (a), f (a), . . . , f (n−1)! }. a o a c) Sejam a1 , . . . , an ∈ K elementos distintos dois a dois. Seja gi (x) = i=j (x−aj )(ai −aj )−1 . Os polinˆmios g1 (x), . . . , gn (x) formam uma base de Kn−1 [x] — denominada base de interpola¸˜o o ca — e as coordenadas do polinˆmio f nessa base ´ {f (a1 ), . . . , f (an )} o e
  14. 14. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 11 a Obs.2: Dado U = {e1 , . . . , en } um conjunto finito de vetores em V , e W = {ei1 , . . . , eim } um conjunto L.I. de U , dizemos que W ´ maximal se cada elemento de U puder ser escrito como e uma combina¸˜o linear dos elementos de W ca Proposi¸˜o 2: ca gerado S de S Qualquer conjunto {e1 , . . . , en } ⊂ S maximal L.I. ´ uma base do espa¸o e c Prova: Mostraremos que qualquer vetor em S pode ser escrito como uma combina¸˜o linear ca de e1 , e2 , . . . , ek . Por defini¸˜o, qualquer vetor em S pode ser expresso como uma combina¸˜o ca ca linear de vetores em S. Qualquer vetor v ∈ S pode ser expresso com uma combina¸˜o linear ca de e1 , e2 , . . . , ek . Para v ∈ {e1 , . . . , en } ⊂ S, isso ´ ´bvio. Para v ∈ {e1 , . . . , en }, sabemos que eo / um vetor v pode ser expresso como qualquer combina¸˜o linear de e1 , . . . , en se, e somente se ca v, e1 , . . . , en s˜o L.D.. Portanto segue o enunciado a Aplicando as considera¸˜es do Lema anterior a S = V , obtemos o co Teorema 4: Qualquer conjunto de vetores L.I. em V pode ser completado a uma base Em particular, qualquer 0 = v ∈ V est´ contido em alguma base de V , e qualquer conjunto a de n vetores L.I. em um espa¸o vetorial V n-dimensional forma uma base de V . c Teorema 5: Qualquer subespa¸o vetorial U de um espa¸o vetorial de dimens˜o finita V c c a tamb´m possui dimens˜o finita, e dim U ≤ dim V. Al´m disso, se U = V , ent˜o dim U < dim e a e a V Prova: Seja {e1 , . . . , ek } um sistema maximal de vetores L.I. em U . {e1 , . . . , ek } ´ uma base de e U e dim U = k. O conjunto L.I. {e1 , . . . , ek } pode ser completado a uma base de V , e se U = V , ent˜o dim V > k a Ex.29: Dados U, W subespa¸os vetoriais de V , para quais espa¸os vetoriais V temos v´lida c c a a propriedade V ∩ (U + W ) = V ∩ U + V ∩ W ? Ex.30: Prove que se U ´ um subespa¸o de V e dim U = dim V < ∞, ent˜o U = V e c a 1.5.3 Transforma¸˜es Lineares co Considere U e V espa¸os vetoriais sobre um corpo K. Um mapa φ : U → V ´ dito ser c e linear se ∀u, v ∈ U , a ∈ K, tivermos φ(au) = a φ(u) e φ(u + v) = φ(u) + φ(v). Uma aplica¸˜o ca linear ´ um homomorfismo de grupos aditivos. Com efeito, φ(0) = φ(0.0) = 0.φ(0) = 0 e e φ(−u) = φ((−1).u) = −φ(u). Denotamos por Hom(U, V ) o conjunto dos homomorfismos entre U e V. Ex.31: Mostre que os mapas de homotetia f : V → V , definidos por f (u) = a.u, ∀a ∈ K, u ∈ V , s˜o transforma¸˜es lineares a co Dizemos que dois K-espa¸os vetoriais U, V s˜o isomorfos se o homomorfismo φ : U → V for c a uma aplica¸˜o bijetiva. A aplica¸ao φ ´ denominada isomorfismo entre U e V . ca c˜ e Proposi¸˜o 3: Sejam U, V espa¸os vetoriais sobre um corpo K, e considere {e1 , . . . , en } ⊂ U ca c e {h1 , . . . , hn } ⊂ V dois conjuntos de vetores com o mesmo n´mero de elementos. Ent˜o, se u a e1 , . . . , en coincide com U , existe somente uma aplica¸˜o ψ : U → V tal que ψ(ei ) = hi , para ca todo i entre 1 e n. Al´m disso, se {e1 , . . . , en } for L.I. — e neste caso {e1 , . . . , en } forma uma e base de U — ent˜o a aplica¸˜o ψ existe, e ´ um isomorfismo a ca e
  15. 15. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 12 a Prova: Sejam ψ e ψ dois mapas tais que ψ(ei ) = ψ (ei ) = hi . Considere o mapa φ = ψ−ψ , onde (ψ − ψ )(ei ) = ψ(ei ) − ψ (ei ). Verifique que φ : U → V ´ linear, e dado u = a1 e1 + · · · + an en ∈ U , e temos que φ(u) = 0. Portanto ψ(u) = ψ (u), ∀u ∈ U , logo ψ = ψ . Agora, j´ que cada elemento a de u ∈ U pode ser unicamente representado na forma u = a1 e1 +· · ·+an en , definimos ψ : U → V por ψ(a1 e1 + · · · + an en ) = b1 h1 + · · · + bn hn . Prove que tal aplica¸˜o ´ linear ca e Ex.32: Mostre que o conjunto Hom(U, V ) ´ um espa¸o vetorial e c Exemplo 6: Seja ξ ∈ Hom(U, V ) um mapa bijetivo, e portanto existe ξ −1 : V → U . Mostraremos que ξ −1 ´ linear. J´ que ξ ´ bijetiva, existem vetores — unicamente definidos — e a e u1 , u2 ∈ U tais que V vi = ξ(ui ). Das express˜es ξ(u1 +u2 ) = ξ(u1 )+ξ(u2 ) e ξ(a u1 ) = a ξ(u1 ), o −1 em ambos os lados dessas duas express˜es, e portanto u +u = ξ −1 (ξ(u )+ξ(u )) aplicamos ξ o 1 2 1 2 −1 (a ξ(u )). Portanto, ξ −1 (v ) + ξ −1 (v ) = ξ −1 (v + v ) e a ξ −1 (v ) = ξ −1 (a v ) e a u1 = ξ 1 1 2 1 2 1 1 Ex.33: Mostre que se φ ´ uma aplica¸˜o linear, ent˜o φn (∀n ∈ N) tamb´m ´ linear e ca a e e Proposi¸˜o 4: Qualquer K-espa¸o vetorial V n-dimensional ´ isomorfo a Kn ca c e Prova: Seja {e1 , . . . , en } uma base de V . Considere o mapa φ : V → Kn que associa a cada vetor v ∈ V , a n-upla (a1 , . . . , an ) de coordenadas do vetor v na base {ei }. Tal mapa ´ bijetivo. e Agora, se v = a1 e1 + · · · + an en , e u = b1 e1 + · · · + bn en , ent˜o a u + v = (a1 + b1 )e1 + · · · + (an + bn )en λv = (λa1 )e1 + · · · + (λan )en Portanto φ ´ isomorfismo e Teorema 6: Dois K-espa¸os vetoriais U, V de dimens˜o finita s˜o isomorfos se, e somente c a a se eles possuem a mesma dimens˜o a Prova: O isomorfismo φ : U → V leva a base de U na base de V , e portanto dim U = dim V . Reciprocamente, considere dim U = dim V . Considere {e1 , . . . , en } ⊂ U e {h1 , . . . , hn } ⊂ V respectivamente bases de U e V . A express˜o φ(a1 e1 + · · · + an en ) = b1 h1 + · · · + bn hn a define uma aplica¸˜o linear de U em V , de acordo com o Lema. Al´m disso φ ´ bijetiva, pois ca e e a1 e1 + · · · + an en = φ−1 (b1 h1 + · · · + bn hn ) Obs.3: Na demonstra¸˜o acima tomamos o isomorfismo φ : U → V , e se {e1 , . . . , en } ´ ca e base de U , ent˜o {φ(e1 ), . . . , φ(en )} ´ base de V , portanto dim U = dim V . Reciprocamente, a e provamos no Teorema acima que qualquer K-espa¸o vetorial V n-dimensional ´ isomorfo a Kn , c e e portanto esses espa¸os tamb´m s˜o isomorfos entre si, por rela¸˜o de equivalˆncia c e a ca e 1.5.4 Bandeiras Um dos m´todos padr˜o para se estudar conjuntos S que possuem estruturas alg´bricas ´ e a e e por meio de seq¨ˆncias de subconjuntos — ou cadeias crescentes — S0 ⊂ S1 ⊂ S2 ⊂ . . .. No ue formalismo dos espa¸os vetoriais, uma seq¨ˆncia estritamente crescente de subespa¸os (supondo c ue c dim V = n), correspondendo ` filtra¸˜o V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vr em V ´ denominada bandeira. O a ca e n´mero r ´ denominado comprimento da bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vr . A bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ u e . . . ⊂ Vn ´ dita ser maximal se V0 = {0}, n Vi = V , e um subespa¸o n˜o pode ser inserido e c a i=1 entre Vi e Vi+1 : se Vi ⊂ M ⊂ Vi+1 , ent˜o ou Vi = M ou M = Vi+1 . Quando r = n, ent˜o dim a a
  16. 16. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 13 a Vi = i para todo i (1≤ i ≤ n), e a bandeira ´ denominada completa. Neste caso a bandeira ´ e e uma s´rie de composi¸˜o de V . e ca Denominamos assinatura da bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn ` seq¨ˆncia {dim V0 , dim V1 ,. . . , a ue dim Vn }. Uma bandeira de comprimento n pode ser constru´ a partir de qualquer base do espa¸o ıda c V , definindo-se V0 = {0} e Vi = span {e1 , . . . , ei }, para i ≥ 1. Tal bandeira ´ maximal e tal e constru¸˜o nos fornece todas as bandeiras maximais. ca Teorema 7: maximal de V A dimens˜o do espa¸o vetorial V ´ igual ` dimens˜o de qualquer bandeira a c e a a Prova: Seja V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . uma bandeira maximal em V . Para todo i ≥ 1, tomamos um vetor ei ∈ Vi Vi−1 e mostraremos que {e1 , . . . , ei } formam uma base de Vi . Primeiramente, spanlin {e1 , . . . , ei−1 } ⊂ Vi−1 , e ei ∈ Vi−1 , portanto segue-se por indu¸˜o sobre i (j´ que e1 = 0), / ca a que {e1 , . . . , ei } ´ L.I. para todo i. e Agora, por indu¸˜o em i mostramos que {e1 , . . . , ei } gera Vi . Assuma que tal afirma¸˜o seja ca ca verdadeira para i − 1 e seja M = spanlin {e1 , . . . , ei }. Ent˜o Vi−1 ⊂ M de acordo com a hip´tese a o de indu¸˜o e Vi−1 = M , j´ que ei ∈ Vi−1 . A defini¸˜o de maximalidade de uma bandeira implica ca a / ca que M = Vi . Se V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ Vn = V ´ uma bandeira maximal finita em V , ent˜o de acordo e a com o que j´ foi mostrado, os vetores {e1 , . . . , en }, onde ei ∈ Vi Vi−1 , forma uma base de V tal a que dim V = n. Se V cont´m uma bandeira maximal infinita, ent˜o essa constru¸˜o fornece um e a ca n´mero arbitrariamente grande de conjuntos de vetores em V , e portanto V possui dimens˜o u a infinita Ex.34: Prove que qualquer bandeira em um espa¸o V de dimens˜o finita pode ser estendida c a a ` bandeira maximal, e seu comprimento n˜o excede a dim V a Ex.35: Mostre que em uma bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vr , verifica-se que 0 ≤ dim V0 < dim V1 < · · · < dim Vr ≤ n Uma bandeira de qualquer comprimento pode ser obtida a partir de uma bandeira completa, quando eliminamos alguns subespa¸os vetoriais apropriados. Reciprocamente, qualquer bandeira c pode ser completada, inserindo tamb´m subespa¸os vetoriais apropriados. Em geral isso pode e c ser feita de maneiras alternativas. Ex.36: Complete a seguinte bandeira de R3 : {0} ⊂ R2 (plano-xy) ⊂ R3 , de duas maneiras diferentes Sejam V e W dois K-espa¸os, com bases {e1 , e2 , . . . , en } e {f1 , f2 , . . . , fn } respectivamente. c Uma transforma¸˜o φ : V → W ´ denominada uma transforma¸˜o (ou aplica¸˜o) linear se ca e ca ca φ(au+bv) = aφ(u)+bφ(v), ∀a, b ∈ K, u, v ∈ V . A matriz A ∈ Mm×n (K) de φ em rela¸˜o `s bases ca a acima tem elementos Aij tais que φ(ei ) = a1i f1 + · · · + ami fm , i = 1, . . . , n. (Isto ´, as colunas e de A s˜o as coordenadas dos vetores φ(e1 ), . . . , φ(en ) em rela¸˜o ` base {f1 , f2 , . . . , fn } ⊂ W . a ca a 1.6 Espa¸o Dual e Funcionais Lineares c Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K. Uma aplica¸˜o α : V → K, definida sobre todo c ca V , ´ dita ser um funcional linear se α(au + bv) = aα(u) + bα(v), ∀u, v ∈ V e para todo a, b ∈ K. e
  17. 17. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 14 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Ex.32: Mostre que, de acordo com a defini¸˜o acima, para qualquer funcional linear α ca temos que α(0) = 0 O conjunto de todos os funcionais lineares de V em K ´ denominado espa¸o dual de V e e c ∗ . O conjunto V ∗ ´ um espa¸o vetorial (sobre K), ao definirmos (aα + bβ)(u) := denotado V e c ∗ , a, b ∈ K, u ∈ V . α(au) + β(bu), ∀α, β ∈ V Ex.37: Prove que V ∗ ´ espa¸o vetorial sobre K e c O vetor nulo de V ∗ ´ o funcional linear que associa trivialmente todo vetor de V a zero: e α(u) = 0, ∀u ∈ V . Exemplo 7: Sejam a1 , . . . , an ∈ K escalares. Definimos φ : Kn → K a aplica¸˜o φ(x1 , . . . , xn ) = ca a1 x1 + · · · + an xn . A matriz de φ ´ (a1 , . . . , an ) em rela¸˜o ` base usual de Kn e ` base {1} de K. e ca a a n s˜o dessa forma, e se x = x e +· · ·+x e ∈ Kn , Notamos que todas as fun¸˜es lineares sobre K a co 1 1 n n ent˜o φ(x) = x1 φ(e1 ) + · · · + xn φ(en ). Denote φ(ei ) = ai a Ex.38: Defina um funcional α ∈ (C2 )∗ tal que α(1, 1) = 0. Defina um funcional α em (C3 )∗ tal que α(1, 1, 1) = 0 e α(1, i, 3) = 0. Ex.39: Considere um funcional linear sobre um C-espa¸o vetorial. Tal funcional pode c assumir somente valores reais? Ex.40: Seja C[a, b] o espa¸o das fun¸˜es cont´ c co ınuas, f : [a, b] → R. Definimos φ(f ) = Prove que φ ´ um funcional linear e b a f (t)dt. O seguinte teorema ´ verdadeiro e ser´ implicitamente usado v´rias vezes no que segue. e a a Teorema 8: Seja um espa¸o vetorial V sobre um corpo K. Se um vetor v tem a propriedade c ∗ ent˜o v = 0 que α(v) = 0 para todo α ∈ V a Prova: Seja B uma base em V . Para cada elemento u ∈ B podemos associar um funcional linear αu , definido como αu (v) = vu , ∀v ∈ V (1.4) onde, como todo v ∈ V pode ser escrito como uma combina¸˜o linear finita de elementos de B, ca podemos sempre escrever v = vu u + v , onde v ´ uma combina¸˜o linear finita de elementos de e ca B, e vu ∈ K. Al´m disso, vu = 0, caso u n˜o compare¸a na decomposi¸˜o de v em uma soma e a c ca finita de elementos de B). Ex.41: Mostre que, para cada u ∈ B, αu : V → K dada pela Eq.(1.4) ´ um funcional linear e Seja ent˜o v um vetor como no enunciado do teorema. Se α(v) = 0 para todo α ∈ V ∗ , vale a obviamente que αu (v) = 0, para todo u ∈ B. Isso implica que v = 0. Ex.42: Considere o espa¸o das matrizes n × n M(n, K). Denotando as componentes de c A ∈ M (n, K) por {Aij }, defina o tra¸o da matriz como sendo o operador c Tr : M(n, K) → K n A → Aii = A11 + A22 + · · · + Ann i=1
  18. 18. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 15 a 1. Mostre que Tr ´ um funcional linear sobre M(n, K). e 2. Dadas matrizes A, B ∈ M(n, K), mostre que Tr(AB) = Tr(BA). 3. Mostre que n˜o existem matrizes A, B ∈ M(n, K) tais que AB − BA = In×n a 4. Exiba operadores A, B ∈ End(W ), onde W ´ um espa¸o vetorial de dimens˜o infinita, e c a onde AB − BA = IdW 5. Suponha que AB − BA = I. Mostre que Am B − BAm = mAm−1 , m ∈ N. Proposi¸˜o 5: Se dim V = n, ent˜o dim V ∗ = n e V ca a V∗ Prova: Seja {e1 , . . . , en } uma base de V . Para cada i, 1 ≤ i ≤ n, existe um unico ei ∈ V ∗ ´ tal que ei (ej ) = δij , j = 1, . . . , n. Os funcionais e1 , . . . , en s˜o L.I.: se α = α1 e1 + · · · αn en , ent˜o a a n j (e ) = α ei (e ) = α . Suponhamos α = 0, logo α = 0, i = 1, . . . , n. O conjunto α(ei ) = i=1 αj e i i i i i 1 , . . . , en } forma uma base de V ∗ : se α ∈ V ∗ , ent˜o α(e ) = α , e α = α e1 + · · · + α en . A {e a i i 1 n j } ´ dita base dual de {e } base {e e i Corol´rio 1: Utilizando a nota¸˜o acima, α = n α(ei )ei e v = n ei (v)ei , para cada a ca i=1 i=1 n i a ´ α ∈ V ∗ e v ∈ V . De fato, seja α = i=1 αi e . As coordenadas αi s˜o unicas, dadas por a α(ei ) = αi . Analogamente, se v = n bi ei , ent˜o ej (v) = bj ej (ej ) = bj i=1 Obs.4: O isomorfismo (entre espa¸os vetoriais) V c V ∗ n˜o ´ canˆnico ou natural, no sentido a e o que tal isomorfismo depende da escolha de bases. Se mudamos de base em V , o isomorfismo tamb´m ´ modificado. e e Exemplo 8: Suponha V tal que dim V = 1, para qualquer 0 = e1 ∈ V , o conjunto {e1 } ´ base de V . Considere a base dual {e1 } ⊂ V ∗ , que satisfaz por defini¸˜o e1 (e1 ) = 1. Dado e ca −1 e1 } ⊂ V ∗ ´ a base dual associada. Mas a ∈ K{0}, tome outra base {a e1 } de V , portanto {a e os mapas lineares φ : e1 → e1 e φa : ae1 → a−1 e1 s˜o diferentes no caso onde a2 = 1 a A todo espa¸o vetorial V est´ naturalmente associado o espa¸o dual V ∗ de V . J´ vimos que c a c a esse espa¸o ´ o conjunto dos funcionais lineares α : V → K — tamb´m denominados covetores. c e e i (i = 1, . . . , n) foram definidos como Al´m disso os covetores e e i ei (ej ) = δj = 1, i = j, 0, i = j. Segue-se que os covetores {ei } formam uma base para V ∗ . As coordenadas de um covetor arbitr´rio α nessa base s˜o dadas pelo valor de α na base {ei } de V . De fato, dado v = n v i ei , a a i=1 n n n i i ie ) = ent˜o α(v) = α( i=1 v i a i=1 v α(ei ) = i=1 v αi . Ex.43: Seja {e1 , e2 , e3 } uma base de V = R3 dada por e1 = (1, 0, 1)T , e2 = (1, 1, −1)T e e3 = (0, 1, 2). Seja α ∈ V ∗ o covetor dado por α(e1 ) = 4, α(e2 ) = 1, α(e3 ) = 1. Determine α(v) para v = (a, b, c)T e expresse α em termos da base canˆnica de R3 o
  19. 19. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 16 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Como V ∗ ´ um espa¸o vetorial, ´ natural nos perguntarmos se podemos definir tamb´m um e c e e ∗ . Isso ´ poss´ espa¸o dual ao espa¸o V c c e ıvel, e para tal definimos os funcionais lineares τ :V → (V ∗ )∗ v → τv : V ∗ → K α → α(v) (1.5) Nesse sentido, temos que τv (α) = α(v). Obviamente τv : V ∗ → R. A soma desses funcionais lineares ´ dada por τu + τv = τv+u e a multiplica¸˜o por um escalar por aτv = τ(av) . N˜o ´ dif´ e ca a e ıcil vermos que dim (V ∗ )∗ = dim V . O resultado fundamental aqui ´: e Teorema 9: Os espa¸os vetoriais V e (V ∗ )∗ s˜o (canonicamente) isomorfos c a Prova: Pela defini¸˜o, dados a, b ∈ K, u, v ∈ V e α, β ∈ V ∗ , ent˜o τ(au+bv) (α) = α(au + bv) = ca a ∗ )∗ e ´ linear. Como dim V = aα(u) + bβ(v) = aτu (α) + bτv (α). Portanto τu ´ elemento de (V e e dim V ∗ = dim (V ∗ )∗ , ent˜o τ ´ isomorfismo de V em (V ∗ )∗ a e Ex.44: Prove que se dim V < ∞, ent˜o toda base de V ∗ ´ a dual de alguma base de V a e Ex.45: Seja dim V < ∞ e φ ∈ (V ∗ )∗ . Mostre que ∃ ! v ∈ V tal que φ(α) = α(v), ∀α ∈ V ´ Obs.5: E sabido que todos os espa¸os vetoriais com a mesma dimens˜o s˜o isomorfos, mas c a a o resultado aqui ´ mais forte: existe um isomorfismo natural (canˆnico) entre V e (V ∗ )∗ dado e o por τ . J´ vimos que para um espa¸o vetorial V e o seu dual V ∗ n˜o existe um isomorfismo a c a natural (no sentido discutido acima). Precisamos de uma estrutura a mais para definirmos o isomorfismo entre estes espa¸os, e essa estrutura adicional ´ chamada uma correla¸˜o. Para c e ca tanto precisamos munir V com uma m´trica, i.e., uma forma bilinear sim´trica n˜o-degenerada. e e a Considere agora um subespa¸o U ⊂ V , definimos o anulador (ou aniquilador ) de U : c ˚ U = {α ∈ V ∗ | α(v) = 0 , ∀v ∈ U } (1.6) ˚e Ex.46: Mostre que U ´ subespa¸o de V ∗ . Se U = {0}, ent˜o U = V ∗ ; se U = V , ent˜o c a ˚ a ˚ = {0} ⊂ V ∗ U Lema 1: ˚ dim U = dim V − dim U Prova: Seja {e1 , . . . , en } uma base de V tal que U = e1 , . . . , ek . Se {e1 , . . . , en } ´ uma e base de V ∗ , ent˜o U = ek+1 , . . . , en a ˚ J´ que sabemos identificar os espa¸os V e (V ∗ )∗ , o aniquilador de um subespa¸o Z ∈ V ∗ est´ a c c a ∗ )∗ | τ (α) = α(v) = 0 , ∀α ∈ Z}. em V . Por defini¸˜o, Z = {τv ∈ (V ca ˚ v ˚ ˚ Teorema 10: U U , para todo subespa¸o U ⊂ V c ˚ ˚ Prova: U = τe1 , . . . , τek ˚ ˚e e1 , . . . , ek = U . O isomorfismo U ´ canˆnico o Ex.47: Dado um K-espa¸o vetorial V , mostre que se U ⊂ V , ent˜o V ⊂ U c a ˚ ˚ Ex.48: Sejam U1 e U2 subespa¸os de um K-espa¸o vetorial V . Mostre que (U1 ˚ U2 ) = c c ∩ ˚1 + U2 . ˚ U
  20. 20. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 17 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c 1.7 N´ cleo e Imagem u Considere φ ∈ Hom(U, V ). O conjunto ker φ = {u ∈ U | φ(u) = 0} ⊂ U ´ denominado n´cleo e u de φ, e o conjunto Im φ = {v ∈ V | ∃u ∈ U, φ(u) = v} ⊂ V ´ denominado imagem de φ. e Ex.49: Seja A ∈ End(R3 ) definida por: A(x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 + 2x3 , 2x1 + x2 , −x1 − 2x2 + 2x3 ). Verifique que A ´ uma transforma¸˜o linear e determine a imagem e o posto de A e ca Ex.50: Mostre que ker φ e Im φ s˜o respectivamente subespa¸os vetoriais de U e V a c Teorema 11: φ ∈ Hom(U, V ) ´ injetiva se, e somente se, ker φ = {0} e Prova: Suponha que ker φ = {0}. Ent˜o φ(u1 ) = φ(u2 ) ⇒ φ(u1 − u2 ) = φ(u1 ) − φ(u2 ) = 0 a e u1 − u2 ∈ ker φ, o que implica que u1 − u2 = 0, ou seja, u1 = u2 . Reciprocamente, se u ∈ ker φ, ent˜o φ(u) = 0 = φ(0) ⇒ u = 0, logo ker φ = {0} a Ex.51: Mostre que φ ∈ Hom(U, V ) ´ injetiva se, e somente se, φ leva vetores L.I. em U em e vetores L.I. de V Obs.6: Vimos que um homomorfismo φ : U → V ´ uma aplica¸˜o que preserva estruturas e ca alg´bricas, no sentido de que ∀u, v ∈ U , a ∈ K, φ(au + v) = aφ(u) + φ(v). Um homomorfismo e que possui o n´cleo trivial — e portanto injetivo — ´ denominado monomorfismo (ou imers˜o). u e a No caso em que φ(U ) = V , e portanto φ ´ sobrejetivo, φ ´ denominado um epimorfismo. Ainda, e e denominamos por endomorfismo todo elemento φ ∈ Hom(V, V )= End(V ), e por automorfismo um isomorfismo φ : V → V (isomorfismo do mesmo espa¸o) c Ex.52: No espa¸o Kn [x] dos polinˆmios na vari´vel x, considere as aplica¸˜es φ, ψ ∈ End(V ) c o a co definidos por φ(ao + a1 x + · · · + an xn ) = a1 + a2 x + · · · + an tn−1 ψ(ao + a1 x + · · · + an xn ) = a0 x + a1 x2 + · · · + an tn+1 Mostre que φ ◦ ψ = I e ψ ◦ φ = I. A aplica¸˜o φ possui inversa? ca Teorema 12: (Teorema do N´cleo e da Imagem) Seja U um espa¸o vetorial de dimens˜o u c a finita e φ ∈ Hom(U, V ). Ent˜o ker φ e Im φ tˆm dimens˜o finita, e dim ker φ + dim Im φ = a e a dim U Prova: ker φ tem dimens˜o finita, j´ que ker φ ´ subespa¸o vetorial de U . Tome uma base a a e c {e1 , . . . , em } de ker φ e estenda esta base a uma base {e1 , . . . , em , em+1 , . . . , em+n } de todo o espa¸o U . Mostraremos que os vetores φ(em+1 ), . . . , φ(em+n ) formam uma base de Im φ. c Qualquer vetor em Im φ possui a forma m+n φ m+n ai ei i=1 = ai φ(ei ), (1.7) i=m+1 pois m aj φ(ej ) = 0, j´ que {e1 , . . . , em } ⊂ ker(φ), o que significa que φ(e1 ) = 0 = · · · = φ(em ). a j=1 Portanto, φ(em+1 ), . . . , φ(em+n ) geram Im φ. Seja agora a combina¸˜o linear m+n ai φ(ei ) = ca i=m+1 m+n 0. Ent˜o, φ a ai ei = 0, o que significa que m+n ai ei ∈ ker φ, i.e., m+n ai ei = i=m+1 i=m+1 i=m+1 m m+n (aj )ej , pois {e1 , . . . , em } ´ base de ker φ. Mas φ e ai ei = 0 s´ ´ poss´ se todos oe ıvel j=1 i=m+1 os coeficientes ai , ai forem nulos, pois {e1 , . . . , em , em+1 , . . . , em+n } ´ base de U . Portanto os e vetores φ(em+1 ), . . . , φ(em+n ) s˜o L.I., pois em particular os ai s˜o nulos a a
  21. 21. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 18 a Corol´rio 2: Temos que dim U = dim Im φ se, e somente se dim ker φ = 0, i.e., ker φ = a {0}. Neste caso, φ ´ injetiva e tamb´m sobrejetiva, i.e., φ ´ isomorfismo e e e Um subespa¸o de dimens˜o n − 1 de um K-espa¸o V de dimens˜o n ´ denominado de c a c a e ∗ e se dim V = n, ent˜o dim Im α hiperplano — ou subespa¸o de codimens˜o 1. Se 0 = α ∈ V c a a = 1 e dim ker α = n − 1, pois Im α = K, e dim K = 1. O teorema do N´cleo e da Imagem nos u diz que dim ker α = n − 1. Obs.7: Quando a dimens˜o de V ´ infinita, um hiperplano ´ um subespa¸o U ⊂ V tal que a e e c U = V , e se W ´ um subespa¸o, U ⊆ W ⊆ V , ent˜o W = V ou W = U , o que caracteriza U e c a como um subespa¸o pr´prio maximal de V c o Teorema 13: Se 0 = α ∈ V ∗ , ent˜o ker α ´ hiperplano em V . Reciprocamente, todo a e ∗ (α n˜o ´ unico). hiperplano de V ´ o n´cleo de um funcional α ∈ V e u a e´ Prova: Dado 0 = α ∈ V ∗ , existe v ∈ V tal que α = 0. Seja u ∈ V , definamos a = α(u)/α(v). Ent˜o w = u − av ∈ ker α, pois α(w) = α(u − av) = α(u) − aα(v) = 0. Portanto u = w + av ∈ a (ker α + v ), e portanto ker α ´ hiperplano. Reciprocamente, seja ker α um hiperplano em V , e e seja v ∈ V ker α. Ent˜o, j´ que ker α ´ subespa¸o pr´prio maximal de V , temos que V = a a e c o ker α + v , e cada u ∈ V tem a representa¸˜o u = w + av, a ∈ K e w ∈ ker α. Se tiv´ssemos ca e u = w + a v, a ∈ K e w ∈ ker α, ent˜o (a − a )v = w − w. Se a − a = 0, temos v ∈ ker α, o a que n˜o ´ poss´ a e ıvel. Portanto a = a e w = w Ex.53: Seja V = M(n, K). Prove que End(V ) (End(V ))∗ (Dica: Prove que para qualquer α ∈ V ∗ existe uma unica matriz A ∈ V com a propriedade de que α(X) = Tr(AX), ∀X ∈ V ). ´ 1.8 Soma Direta Considere {Vi }n subespa¸os vetoriais de um K-espa¸o vetorial V . Dizemos que V ´ soma c c e i=1 n direta de V1 , . . . , Vn se todo v ∈ V puder ser representado da forma v = i=1 vi , onde vi ∈ Vi . Se isso ocorrer, escrevemos n V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn = Vi i=1 ´ Exemplo 9: Considere {e1 , . . . , en } uma base de V e seja Vi = ei . Ent˜o V = ⊕n Vi . E a i=1 n n V ent˜o V = claro que quando V = ⊕i=1 i a ıproca n˜o ´ verdadeira. a e i=1 Vi . A rec´ Mais geralmente, se tivermos uma cole¸˜o finita de espa¸os vetoriais V1 , . . . , Vn sobre um ca c mesmo corpo K procedemos analogamente, primeiro definindo o grupo abeliano V1 ⊕ · · · ⊕ Vn e depois definindo a multiplica¸˜o por escalares por a(v1 ⊕ · · · ⊕ vn ) := (av1 ) ⊕ · · · ⊕ (avn ), com ca a ∈ K e v1 ⊕ · · · ⊕ vn ∈ V1 ⊕ · · · ⊕ Vn . O espa¸o vetorial (sobre K) assim definido ´ denotado c e por V1 ⊕K · · · ⊕K Vn . Ex.54: Mostre que dados vi ∈ Vi , as aplica¸˜es co φ : (V1 ⊕ V2 ) ⊕ V3 → V1 ⊕ V2 ⊕ V3 (v1 + v2 ) + v3 → φ((v1 + v2 ) + v3 ) = v1 + v2 + v3 (1.8)
  22. 22. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 19 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c e ψ : V1 ⊕ (V2 ⊕ V3 ) → V1 ⊕ V2 ⊕ V3 v1 + (v2 + v3 ) → ψ(v1 + (v2 + v3 )) = v1 + v2 + v3 (1.9) s˜o isomorfismos (canˆnicos) a o Ex.55: Sejam V1 e V2 subespa¸os vetoriais de V , com V1 ∩ V2 = {0}. Defina a aplica¸˜o c ca linear φ : V1 × V2 → V1 ⊕ V2 (v1 , v2 ) → φ(v1 , v2 ) = v1 + v2 , v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 Prove que φ ´ um isomorfismo. e Agora, se V1 ∩ V2 = {0}, defina a aplica¸˜o linear ca φ : V1 × V2 → V1 + V2 (v1 , v2 ) → v1 + v2 , v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 φ ´ sobrejetiva, o que implica que dim Im φ = dim (V1 + V2 ). Al´m disso, ker φ = {(v, −v) | v ∈ e e V1 ∩ V2 }. A aplica¸˜o ca ψ : V1 ∩ V2 → ker φ v → (v, −v) ´ um isomorfismo (Prove!). Portanto, e dim V1 + dim V2 = dim(V1 × V2 ) = dim ker φ + Im(φ), pelo Teorema do N´cleo e da Imagem, u = dim ker φ + dim(V1 + V2 ) = dim(V1 ∩ V2 ) + dim(V1 + V2 ) Ex.56: Dados U1 e U2 subespa¸os vetoriais de U tais que U1 ∩ U2 = {0}, mostre que B1 ∪ B2 c ´ base de U1 ⊕ U2 , onde B1 ´ base de U1 e B2 ´ base de U2 . e e e Teorema 14: Sejam {Vi }n ⊂ V subespa¸os vetoriais de um K-espa¸o vetorial V . Ent˜o c c a i=1 V = ⊕n Vi se, e somente se valer qualquer uma das seguintes condi¸˜es: co i=1 a) V = n Vi e Vj ( i=j Vi ) = {0}, ∀j = 1, . . . , n. i=1 b) V = n Vi e n dim Vi = dim V (aqui assumimos que dim V = n < ∞). i=1 i=1 n Prova: a) A unicidade da representa¸˜o de qualquer vetor v ∈ V na forma ca i=1 vi ∈ V n n ´ equivalente ` unicidade do vetor 0 ∈ V . Com efeito, se e a a i=1 vi = i=1 vi , ent˜o 0 = n (vi − vi ) e vice-versa. Se existir uma representa¸˜o n˜o-trivial de 0 = n (vi − vi ), na ca a i=1 i=1 qual, digamos, vj − vj = 0, ent˜o vj − vj ∈ i=j Vj ∩ ( i=j Vi ), e portanto a condi¸˜o a) n˜o ´ a ca a e mais v´lida. a b) Se V = ⊕n Vi , ent˜o n Vi = V e n dim Vi ≥ dim V , pois ∪n Vi = V e portanto a i=1 i=1 i=1 i=1
  23. 23. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 20 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c cont´m uma base de V . Pelo Teorema anterior — que diz que dim V1 dim V2 = dim (V1 ∩ V2 ) e + dim (V1 + V2 ) — aplicado aos subespa¸os Vj e i=j Vi , temos c   dim Vj ∩ ( Vi ) + dim V = dim Vj + dim( i=j Vi ) i=j Mas a asser¸˜o a) nos diz que dim Vj ∩ ca i=j Vi ca i=j Vi = ⊕i=j Vi , e, por indu¸˜o, provamos que   dim  = 0. Ademais, se Vi  = i=j n i=1 Vi = ⊕n Vi , ent˜o a i=1 dim Vi . i=j n i=1 Vi = dim V . Portanto, dim a a Reciprocamente, se dim n Vi = dim V , ent˜o a uni˜o das bases de todos os Vi consiste i=1 de dim V elementos, e gera todo o K-espa¸o vetorial V , sendo portanto uma base de V . Com c efeito, uma representa¸˜o n˜o-trivial do vetor 0 ∈ V na forma n vi ∈ V forneceria uma ca a i=1 combina¸˜o nula n˜o-trivial de elementos da base, o que seria imposs´ ca a ıvel Dizemos que uma aplica¸˜o linear P : V → V ´ um operador de proje¸˜o se P 2 = P ◦ P = P . ca e ca Podemos associar n operadores de proje¸˜o {Pi }n ` soma direta n Vi da seguinte maneira: ca a i=1 i=1 para quaisquer vj ∈ Vj ,   n Pi  vj  = vi j=1 Os mapas Pi est˜o bem definidos, j´ que v ∈ V pode ser unicamente representado por v = a a n 2 ca j=1 vj , vj ∈ Vj . A linearidade de Pi e a propriedade Pi = Pi seguem diretamente da defini¸˜o. Evidentemente, Vi = Im Pi . Ex.57: a) Verifique que Pi Pj = 0, se i = j. b) Prove que n Pi = I i=1 Ex.58: Quando a soma de dois operadores de proje¸˜o ´ novamente um operador de proje¸˜o? ca e ca Ex.59: Dado φ ∈ Hom(U, V ) tal que φ2 (1 − φ) = 0, φ ´ idempotente? Tal condi¸˜o ´ e ca e equivalente a φ(1 − φ)2 = 0? Teorema 15: Sejam P1 , . . . , Pn : V → V um conjunto finito de operadores de proje¸˜o ca n satisfazendo as condi¸˜es Pi Pj = 0, se i = j, e co a i=1 Pi = I. Seja Vi = Im Pi . Ent˜o, n V = i=1 Vi . Prova: Aplicando-se o operador I = n Pi a cada vetor v ∈ V , obtemos v = n Pi (v), i=1 i=1 n onde Pi (v) ∈ Vi . Portanto V = e i=1 Vi . Para mostrar que essa soma ´ uma soma direta, pelo crit´rio a) do Teorema anterior, considere v ∈ Vj ∩ e ca c i=j Vi . A defini¸˜o dos espa¸os Vi = Im Pi implica que existem vetores v1 , . . . , vn tais que v = Pj (vj ), pois em particular se v ∈ Vj ∩ i=j Vi , isso significa que v ∈ Vj = Im Pj e v ∈ v = Pj (vj ) = Pi (vi ). i=j i=j Pi (vi ). Portanto,
  24. 24. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 21 a Aplicando Pj ` igualdade acima, e usando que Pj2 = Pj , Pi Pj = 0, i = j, obtemos a Pj Pj (vj ) = Pj (vj ) = Pj Pi (vi ) = 0. (1.10) i=j Provamos que dado um vetor v ∈ Vj ∩ Vj ∩ i=j i=j Vi arbitr´rio, ent˜o v = 0, o que significa que a a Vi = {0}, e portanto pelo crit´rio a) do Teorema 14, segue-se que e n i=1 Vi = {0} Obs.8: Se dim V = n < ∞, ent˜o para qualquer subespa¸o V1 ⊂ V , existe um subespa¸o a c c V2 ⊂ V tal que V = V1 ⊕ V2 . Dizemos que V2 ´ o complemento direto de V1 . e n Podemos definir somas diretas de operadores lineares, considerando U = i=1 Ui e V = n ca i=1 Vi e φ : U → V uma aplica¸˜o linear tal que φ(Ui ) = Vi . Denotamos por φi : Ui → Vi o mapa linear induzido, e escrevemos φ = n φi . Escolhendo bases de U e V como a respectiva i=1 uni˜o de bases de Ui e Vi , a matriz de φ ´ a uni˜o de blocos diagonais. a e a Ex.60: Considere V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn uma bandeira em um K-espa¸o vetorial de dimens˜o c a finita, onde mi = dim Vi . Prove que, dada uma outra bandeira V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn tal que mi = dim Vi , ent˜o existe ζ ∈ Aut(V ) que leva uma bandeira na outra se, e somente se, mi = mi , a ∀1 ≤ i ≤ n Teorema 16: Seja P ∈ End(V ). Se P 2 = P , ent˜o V = ker P ⊕ Im P a Prova: Para todo v ∈ V , podemos escrever v = P (v) + (v − P (v)). Um c´lculo imediato mostra a que (v − P (v)) ∈ ker P , e portanto V = ker P + Im P . Se u ∈ ker P ∩ Im P , temos que P (u) = 0 e P (u) = u, pois ∀u ∈ Im(P ), temos que u = P (w), para algum w ∈ V , o que significa que P (u) = P (P (w)) = P (w) = u. Portanto u = 0 e V = ker P ⊕ Im P Ex.61: Considere uma involu¸˜o ω ∈ End(V ) (isto ´, ω 2 = I). Defina os conjuntos V1 = ca e {v ∈ V | ω(v) = v} e V2 = {v ∈ V | ω(v) = −v}. Mostre que V1 e V2 s˜o subespa¸os vetoriais de a c V e que V = V1 ⊕ V2 . Mostre que para todo v = v1 + v2 , onde va ∈ Va (a = 1, 2), temos que 1 ω(v) = v1 − v2 , e que P = 2 (ω + I) ´ a proje¸˜o sobre V1 paralelamente a V2 e ca Ex.62: Considere Kn [x] o conjunto dos polinˆmios de grau menor igual que n, sobre um corpo o K. Mostre que o conjunto de todos os polinˆmios pares KE [x] (p(x) = p(−x)) e o conjunto de o n O [x] (p(x) = −p(−x)) s˜o subespa¸os vetoriais. Mostre tamb´m todos os polinˆmios impares Kn o a c e que Kn [x] = KE [x] ⊕ KO [x] n n 1.9 Espa¸os Quocientes c Considere um subespa¸o vetorial U ⊆ V . Existem geralmente v´rios subespa¸os W ⊂ V c a c tais que W ∩ U = {0} e W + U = V . Em outras palavras, U pode ter diversos complementos, e n˜o h´ uma maneira natural de escolher qualquer um desses complementos. Contudo, existe a a uma constru¸˜o natural que associa a U e V um novo espa¸o que para fins pr´ticos desempenha ca c a o papel de complemento de U em rela¸˜o a V . A vantagem formal que essa constru¸˜o possui ca ca sobre qualquer outra que possa descrever um complemento arbitr´rio de U ´ que ela tem um a e car´ter natural, e em particular n˜o depende da escolha de uma base. a a Suponha por exemplo V = R2 e U = {(x, y) | y = 0} o eixo-x. Cada complemento de U ´ e uma linha — que n˜o seja o eixo-x — atrav´s da origem. Observando que cada complemento a e
  25. 25. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 22 a possui a propriedade de que a unica interse¸˜o com o eixo-x consta de um unico ponto, a id´ia ´ ca ´ e 2 a partir de linhas que paira sobre espa¸os quocientes neste caso ´ podermos construir todo o R c e horizontais. Voltando agora ao caso mais geral, se v ∈ V , o conjunto v+U que consiste de todos os vetores v + u, u ∈ U , ´ denominado classe lateral de U . No exemplo do par´grafo anterior, as classes e a laterais s˜o linhas horizontais. Pelo que vimos na Se¸˜o (1.2) podemos ter v1 + U = v2 + U , a ca mesmo que v1 = v2 . Dado um subespa¸o vetorial U ⊆ V , as transla¸˜es de U por um vetor v ∈ V correspondem c co ao conjunto v + U = {v + u | u ∈ U }. Tais transla¸˜es n˜o s˜o, necessariamente, subespa¸os vetoriais de V, e s˜o denominadas subvarco a a c a iedades lineares. Defini¸˜o 1: Dados U ⊆ V um subespa¸o vetorial e v1 , v2 ∈ V , dizemos que v1 ´ congruente ca c e U a v2 m´dulo U se v1 − v2 ∈ U e escrevemos v1 ≡ v2 (mod U ) ou v1 ≡ v2 (U ) ou v1 ≡ v2 . A o congruˆncia m´dulo U ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia sobre V . (Mostre!) e o e ca e Obs.9: Se v ∈ V , a classe lateral de v ´ dada por v = {w ∈ V | v − w ∈ U } = {v + w | w ∈ U }. e ¯ Por essa raz˜o indicamos v = {v + U | v ∈ V }. a ¯ Defini¸˜o 2: A cole¸˜o de todas as classes laterais de U ser´ indicada por V /U . Dados ca ca a v1 , v2 ∈ V e a ∈ K, definimos a soma e multiplica¸˜o por escalar como: a) v1 + v2 = v1 + v2 ca ¯ ¯ b) av1 = av1 ¯ A fim de verificarmos que a defini¸˜o est´ correta, devemos mostrar que a soma e mulca a tiplica¸˜o por escalar independem dos representantes, e dependem exclusivamente das classes ca laterais. Suponha que v1 (= v1 + U ) = w1 (= w1 + U ). Pela defini¸˜o, v1 − w1 = u1 ∈ U e ¯ ¯ ca v2 − w2 = u2 ∈ U . Portanto, v1 + v2 = (v1 + v2 ) + U = (w1 + w2 ) + u1 + u2 + U = (w1 + w2 ) + U = w1 + w2 Agora, como v1 − w1 = u1 ∈ U , ent˜o av1 − aw1 = au1 ∈ U e portanto a av1 = av1 + U = aw1 + au1 + U = aw1 + U = aw1 Isso mostra que a soma e multiplica¸˜o por escalar dependem somente das classes laterais e ca est˜o bem definidas. O espa¸o vetorial V /U assim obtido ´ denominado espa¸o quociente de V a c e c por U . Obs.10: O vetor nulo ¯ de V /U ´ a classe de equivalˆncia que consiste de ¯ = {0 + U } = U . 0 e e 0 Ex.63: Mostre que o conjunto V /U ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo K com as opera¸˜es e c co definidas acima
  26. 26. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 23 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Defini¸˜o 3: A transforma¸˜o ca ca π:V → V /U v → π(v) = v = v + U ¯ ´ denominada proje¸˜o canˆnica. e ca o Podemos provar que π ∈ Hom(V, V /U ) e que ker π = U e Im π = V /U . De fato, dados u, v ∈ V e a ∈ K, temos que π(au + v) = au + v + U = a(u + U ) + v + U = aπ(u) + π(v). Al´m disso, e ¯ = 0 + U = U }, e portanto v ∈ U . Podemos da´ demonstrar o ker π = {v ∈ V | π(v) = 0 ı Proposi¸˜o 6: Se V tem dimens˜o finita, ent˜o dim V /U = dim V − dim U ca a a Prova: Em rela¸˜o ` aplica¸˜o canˆnica π : V → V /U , j´ que ker π = U e Im π = V /U , pelo ca a ca o a Teorema do N´cleo e da Imagem, temos que dim ker π + dim Im π = dim V , e portanto dim u U + dim V /U = dim V . Portanto, dim V /U = dim V − dim U Obs.11: O n´mero dim V /U ´ geralmente denominado codimens˜o do subespa¸o vetorial u e a c U em V , e denotado por codim U ou codimV U Defini¸˜o 4: Sejam W, V dois K-espa¸os vetoriais. Dado φ ∈ Hom(W, V ), a coimagem e o ca c con´cleo de φ s˜o definidos por u a coim φ = W/ker φ, coker φ = V /Im φ A coimagem e o con´cleo est˜o bem definidos, no sentido de que Im φ ´ subespa¸o de V , enquanto u a e c ker φ ´ subespa¸o vetorial de W . e c Definimos tamb´m o ´ e ındice de φ como sendo o n´mero u ind φ = dim coker φ − dim ker φ No caso onde V e W possuem dimens˜o finita, obtemos do Teorema acima, que a ind φ = (dim V − dim Im φ) − (dim W − dim Im φ) = dim V − dim W Nesse caso, o ´ ındice de um operador φ ∈ Hom(W, V ) somente depende dos espa¸os V e W . c Ex.64: Prove que ind φ = 0, ∀φ ∈ Aut(V ), onde V ´ um K-espa¸o vetorial de dimens˜o e c a finita Vimos que existe um epimorfismo natural (canˆnico) π entre V e o espa¸o quociente V /U , o c que mapeia v ∈ V a sua classe de equivalˆncia v = [v]. O n´cleo de tal epimorfismo ´ o subespa¸o e ¯ u e c U . Definimos a seq¨ˆncia exata ue 0 - U - V π - V /U - 0
  27. 27. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 24 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c 1.9.1 Teoremas de Isomorfismos O Teorema a seguir diz que dado um homomorfismo ϕ : V → U entre dois K-espa¸os c vetoriais, ent˜o a V /ker ϕ Im ϕ Teorema 17: Seja ϕ ∈ Hom(V, U ) tal que ϕ(V ) = U . Ent˜o existe um unico isomorfismo a ´ ϕ : V /ker ϕ → U tal que ϕ = ϕ ◦ π, onde π : V → V /ker ϕ ´ a proje¸˜o canˆnica ¯ ¯ e ca o Prova: Note que π : V → V /ker ϕ e ϕ : V /ker ϕ → U , e portanto ϕ = ϕ ◦ π : V → U = ϕ(V ). ¯ ¯ Defina a aplica¸˜o induzida ca ϕ : V /ker ϕ → U = ϕ(V ) ¯ v = v + ker ϕ → ϕ(v) ¯ Primeiramente devemos verificar se ϕ ´, de fato, bem definida. Com efeito, dados v1 , v2 ∈ V e ¯e portanto v1 = v1 + ker ϕ, v2 = v2 + ker ϕ ∈ V /ker ϕ, se v1 = v2 , significa que v1 + ker ϕ = ¯ ¯ ¯ ¯ v2 = v2 + ker ϕ. Da´ existe w ∈ ker ϕ tal que v1 = v2 + w. Segue-se que ¯ ı, ϕ(v1 ) = ϕ(v1 ) = ϕ(v2 + w) = ϕ(v2 ) + ϕ(w), pois ϕ ∈ Hom(V, U ) ¯ ¯ = ϕ(v2 ) + 0, pois w ∈ ker ϕ = ϕ(v2 ) = ϕ(v2 ) ¯ ¯ Portanto a fun¸˜o ϕ est´ bem definida. ca ¯ a A fim de provar que ϕ ´ isomorfismo, resta agora provar que ϕ ´ bijetiva e linear. Por ¯ e ¯ e constru¸˜o ϕ ´ linear, pois ´ a composi¸˜o de duas aplica¸˜es lineares. ca ¯ e e ca co Para ver que ϕ ´ sobrejetiva, como ϕ(¯) = ϕ(v) e j´ que ϕ(V /ker ϕ) = ϕ(V ) = U , ent˜o a ¯e ¯v a ¯ a fun¸˜o ϕ : V /ker ϕ → U contempla todo o espa¸o de chegada U . ca ¯ c Agora para provar que ϕ ´ injetiva, mostraremos que ker ϕ = ¯ Por defini¸˜o, ¯e ¯ 0. ca ker ϕ = {¯ ∈ V /ker ϕ | ϕ(¯) = 0} ¯ v ¯v = {v + ker ϕ | ϕ(v) = 0} = {v + ker ϕ | v ∈ ker ϕ} = ker ϕ = 0 + ker ϕ = ¯ 0 (1.11) J´ demonstramos que se o n´cleo de uma aplica¸˜o consistir somente do elemento zero, ent˜o a u ca a tal aplica¸˜o ´ injetiva. Portanto ϕ ´ bijetiva e linear, sendo portanto um isomorfismo. Resta ca e ¯e mostrar que tal isomorfismo ´ unico. Suponha que existam dois isomorfismos ϕ1 : V /ker ϕ → U e´ ¯ e ϕ2 : V /ker φ → U , ambos com a propriedade ϕ(¯) = ϕ(v). Ent˜o, para todo v ∈ V , ¯ ¯v a ϕ1 (¯)− ϕ2 (¯) = ϕ(v)−ϕ(v) = 0, e portanto (ϕ1 − ϕ2 )(¯) = 0, ∀¯ ∈ V /ker ϕ. Conseq¨entemente, ¯ v ¯ v ¯ ¯ v v u ϕ1 − ϕ2 = 0 e ϕ1 = ϕ2 = 0 ¯ ¯ ¯ ¯
  28. 28. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 25 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c O Teorema acima demonstrado pode ser ilustrado pelo seguinte diagrama: ϕ U V 6 π ϕ ¯ - V /ker ϕ Obs.12: Esse Teorema ´ mais conhecido como o 1o Teorema dos Homomorfismos. Aqui ele e ´ enunciado em termos de espa¸os vetoriais por se tratarem de grupos abelianos com rela¸˜o ` e c ca a soma. Exemplo 10: Ao tomarmos a proje¸˜o P : Rn+1 → Rn dada por P (x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 ) = ca (x1 , x2 , . . . , xn , 0), podemos ver que ker P = (0,0,. . . ,0,xn+1 ) R e portanto pelo teorema acima, considerando-se V = Rn+1 , temos que Im (P ) = Rn , e portanto, segue-se que Rn+1 /R = Rn Ex.65: Mostre que Rn /Rp Rn−p para todo p = 0, 1, . . . , n A seguir enunciaremos e demonstraremos o chamado 2o Teorema dos Homomorfismos Teorema 18: Considere V1 , V2 ⊂ V dois subespa¸os vetoriais de V . Ent˜o c a V1 + V2 V2 V1 V1 ∩ V2 Prova: Defina a aplica¸˜o ca V1 + V2 V2 → v1 + V 2 , σ : V1 → v1 ∀vi ∈ Vi , i = 1, 2 J´ que v1 + V2 = v1 , ent˜o σ ´ um epimorfismo, pois sendo sobrejetiva, dados a ∈ K e w1 ∈ V1 , a a e σ(av1 + w1 ) = av1 + w1 = av1 + w1 = aσ(v1 ) + σ(w1 ) e portanto σ ´ linear. Agora provaremos que ker σ = V1 ∩ V2 . Por um lado, ker σ = {v1 ∈ e V1 | σ(v1 ) = ¯ = 0 + V2 }. Mas σ(v1 ) = v1 + V2 , o que implica que v1 deve estar em V2 tamb´m. 0 e Portanto dado v ∈ ker σ, necessariamente v ∈ V1 ∩ V2 . Reciprocamente, dado v ∈ V1 ∩ V2 , ent˜o a ¯ pois em particular v ∈ V2 . Portanto ker σ = V1 ∩ V2 . σ(v) = v + V2 = V2 = 0, A partir do 1o Teorema dos Isomorfismos, sabemos que para σ ∈ Hom(V1 , (V1 + V2 )/V2 ) segue-se que V1 /ker σ Im σ, pelo Teorema 17. Como ker σ = V1 ∩ V2 e Im σ = (V1 + V2 )/V2 , portanto V1 + V2 V1 , V2 V1 ∩ V2 Ex.66: Dados V1 , V2 subespa¸os vetoriais de V , explicite o Segundo Teorema dos Isomorfisc mos quando V1 ´ o eixo-x e V2 ´ o eixo-y e e
  29. 29. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 26 a Ex.67: Suponha que um K-espa¸o vetorial V possa ser escrito como V = V1 ⊕ V2 . Considere c a aplica¸˜o canˆnica ca o V V2 v → v = v + V2 ¯ κ : V1 → Mostre que κ ´ um isomorfismo e Ex.68: Dado U um subespa¸o vetorial de um K-espa¸o vetorial V , mostre que (V /U )∗ c c ˚ U
  30. 30. 2 Operadores Lineares e Dualidade 2.1 Preliminares Uma aplica¸˜o linear φ : W → V ´ unicamente determinada pelas imagens dos vetores da ca e base de U . Com efeito, dada uma base {ei } de W , para todo vetor v = i ai ei temos φ(v) = ai φ(ei ) i Se vi ∈ V s˜o vetores arbitr´rios, ent˜o φ : W → V definido como φ(v) = ai vi ´ linear, e a a a e φ(ei ) = vi . Considerando φ : Kn → Km um mapa linear, aplicando φ a e1 , e2 , . . . , en ∈ Kn , temos que φ(ej ) = (a1j , a2j , . . . , amj )T ∈ Km , j = 1, 2, . . . , n. A matrix do operador φ na base {ei } ´ a matriz (aij ) determinada por φ(ei ) = e i aij ej . Defini¸˜o 5: Um subespa¸o vetorial U ⊂ V ´ invariante com respeito a um operador linear ca c e φ ∈ End(V ) se φ(U ) ⊂ U A restri¸˜o φ |U de φ ao subespa¸o invariante U ´ uma aplica¸˜o linear em U . Se escolhemos ca c e ca uma base {e1 , . . . , en } de V , tal que U = e1 , . . . , ek — o que ´ sempre poss´ e ıvel — ent˜o a a matriz de φ tem a forma A B 0 C (2.1) onde A ´ a matriz do operador φ|U na base {e1 , . . . , ek }, C ´ uma matriz de ordem n − k e B ´ e e e uma matriz k × (n − k). No caso em que V = U ⊕ W , onde U e W s˜o dois subespa¸os invariantes, se {e1 , . . . , ek } ´ a c e base de U e {ek+1 , . . . , en } ´ base de W , ent˜o {e1 , . . . , en } ´ base de V , e nessa base podemos e a e escrever a representa¸˜o matricial de φ como ca A 0 0 C onde A ´ a matriz do operador φ|U na base {e1 , . . . , ek } e C ´ a matriz do operador φ|W na base e e {ek+1 , . . . , en }. Mais geralmente, se pudermos cindir V como a soma direta de k subespa¸os c invariantes V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk , ent˜o na base de V , formada por bases dos subespa¸os Vi , a a c
  31. 31. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 28 a 2. Operadores Lineares e Dualidade matriz de φ ´ da forma e  A1 0 · · ·   0 A2 · · ·  . . ..  . . . .  . 0 0 ··· 0 0 . . .       An onde Ai ´ a matriz do operador φ|Vi . e Exemplo 11: A rota¸˜o de um vetor por um ˆngulo θ ´ um operador linear em R2 . Em ca a e uma base ortonormal sua matriz ´ dada por e Π(θ) = cos θ − sin θ sin θ cos θ Em particular, uma rota¸˜o de π/2 nessa base corresponde ` matriz ca a 0 −1 . Encontremos a 1 0 matriz de tal operador na base e1 = 2e2 e2 = e1 − e2 A matriz mudan¸a de base B ´ dada por c e B= 0 1 2 −1 ⇒ B −1 = 1/2 1/2 1 0 Portanto Π(θ) = B −1 Π(θ)B = 1/2 1/1 1 0 0 −1 1 0 0 1 2 −1 = −1 1 −2 1 Ex.69: Seja φ : K3 → K3 dada por φ(x, y, z) = (x + z, −2x + y, −x + 2y + 4z). A matriz de φ em rela¸˜o ` base canˆnica de K3 ´ dada por ca a o e   1 0 1   −2 1 0 −1 2 4 Seja uma outra base {f1 , f2 , f3 } de R3 dada por f1 = (1, 0, 1), f2 = (−1, 2, 1) e f3 = (2, 1, 1). Determine a matriz de φ na base {fi } Exemplo 12: Similarmente, a rota¸˜o em torno de um eixo por um ˆngulo θ ´ um operador ca a e 3 . Numa base ortonormal {e , e , e } tal que e seja colinear com o eixo de rota¸˜o, linear em R ca 1 2 3 3 o operador tem a seguinte forma: Π(θ) 0 0 1 Isso concorda com a maneira pela qual R3 ´ cindido na soma direta R3 = e1 , e2 ⊕ e3 e
  32. 32. 2. Operadores Lineares e Dualidade 2.2 Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 29 a Transforma¸˜es Gradiente e Contragradiente co A diferen¸a entre vetores e covetores pode ser bem explorada considerando-se, por exemplo, c B o efeito de uma mudan¸a de base. Vamos considerar uma mudan¸a B −→ B descrita por c c ej = n B ij ei . Um vetor v tem coordenadas {v i } na base B e coordenadas {v i } na base B , de i=1 modo que v = i v i ei = i v i ei . A rela¸˜o entre essas coordenadas ´ portanto v j = i B ji v i . ca e ∗ = {ei } e B ∗ = {e i } as bases respectivamente duais `s bases B = {e } Sejam agora B a i i (e ) = e i (e ) = δ . Como vimos acima, as e B = {ei }, respectivamente. Temos portanto e j ij j coordenadas de um funcional α ∈ V ∗ nas bases B∗ e B ∗ s˜o dadas pelo valor desse funcional a nas bases B e B , respectivamente. Logo α = αi ei = αi e i onde αi = α(ei ) e αi = α(ei ). Se ej = i B ij ei ent˜o αj = i B ij αi e da´ ej = i B ji e i . Em resumo, numa mudan¸a de base as a ı c coordenadas de um covetor transformam-se da mesma maneira que os vetores da base, ou seja, enquanto que as coordenadas de um vetor transformam-se da mesma maneira que os covetores da base dual. ` As vezes se denomina a transforma¸˜o dos vetores da base de gradiente e a transforma¸˜o ca ca das coordenadas de contragradiente. Segundo essa denomina¸˜o ent˜o os vetores da base dual se ca a transformam de maneira contragradiente enquanto as coordenadas dos covetores se transformam de maneira gradiente. 2.3 Funcionais Bilineares Os axiomas de espa¸o vetorial n˜o incorporam a geometria dos vetores no espa¸o euclidiano c a c pois n˜o h´ como se definir comprimento e ˆngulo entre vetores sem introduzir o conceito de a a a m´trica no seu espa¸o. Consideramos nesta Se¸˜o fun¸˜es que generalizam o produto interno. e c ca co Defini¸˜o 6: Um funcional bilinear (ou forma bilinear) em um K-espa¸o vetorial V ´ uma ca c e fun¸˜o g : V × V → K que ´ linear em cada argumento ca e Por bilinearidade entendemos a linearidade em cada um dos argumentos da aplica¸˜o, ou seja, ca dados a, b ∈ K e u, v, w ∈ V , ent˜o g(av + bu, w) = ag(v, w) + bg(u, w) e g(v, au + bw) = a ag(v, u) + bg(v, w). Exemplo 13: O produto interno em R3 ´ uma fun¸˜o bilinear em R3 . A fun¸˜o g(f1 , f2 ) = e ca ca ´ uma fun¸˜o bilinear em C[a, b]. J´ a fun¸˜o g(X, Y ) = Tr(XY ) ´ uma fun¸˜o e ca a ca e ca bilinear no espa¸o M(n, K) c b a f1 (x)f2 (x)dx O n´cleo de uma fun¸˜o bilinear g ´ o subespa¸o ker g = {v ∈ V | g(u, v) = 0, ∀u ∈ V }. u ca e c Dizemos que g ´ n˜o-degenerada se ker g = {0}. e a Pode-se mostrar que o funcional bilinear g ´ n˜o-degenerado se e somente se para cada vetor e a v = 0 existir um vetor u = 0 tal que g(v, u) = 0. O espa¸o vetorial equipado com um funcional bilinear g : V × V → K ´ dito um espa¸o com c e c produto escalar. A quantidade g(v, u) ´ muitas vezes chamada produto escalar entre os vetores e v e u. Se g(v, u) = 0 dizemos que os vetores v e u s˜o ortogonais em rela¸˜o a g. Num caso a ca arbitr´rio um vetor n˜o-nulo v pode ser ortogonal a si pr´prio, ou seja, g(v, v) = 0. Tais vetores a a o s˜o ditos isotr´picos. a o Um funcional bilinear g ´ dito sim´trico se g(v, u) = g(u, v). Um espa¸o vetorial equipado e e c com um funcional bilinear sim´trico ´ dito um espa¸o quadr´tico. Um funcional bilinear sim´trico e e c a e ´ completamente determinado pela forma quadr´tica Q(v) = g(v, v) atrav´s do processo de e a e
  33. 33. 2. Operadores Lineares e Dualidade Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 30 a polariza¸˜o. De fato, usando a propriedade de bilinearidade para calcularmos Q(v + u) = ca g(v + u, v + u), podemos escrever 1 g(v, u) = (Q(v + u) − Q(v) − Q(u)). 2 Formalmente, dizemos que uma forma quadr´tica ´ um par (V, Q) onde V ´ um K-espa¸o a e e c vetorial de dimens˜o finita e Q : V → K ´ a aplica¸˜o que satisfaz as seguintes propriedades: a e ca a) Q(av) = a2 Q(v), ∀a ∈ K, v ∈ V b) O mapa g(v, u) = 1 (Q(v + u) − Q(v) − Q(u)) ´ bilinear. e 2 Um funcional bilinear ´ dito anti-sim´trico quando o denotaremos por σ, se σ(v, u) = e e −σ(u, v). Um espa¸o vetorial equipado com um funcional bilinear anti-sim´trico (n˜o-degenerado) c e a ´ imediato que em um espa¸o simpl´tico todos os vetores s˜o ´ dito um espa¸o simpl´tico. E e c e c e a isotr´picos. o ´ Obs.13: E comum definirmos formas quadr´ticas somente para corpos K com char(K) = 2 a Um funcional bilinear h : V × V → K ´ dito alternado quando h(u, u) = 0, para todo u ∈ V . e Ex.70: Mostre que toda forma bilinear alternada ´ tamb´m anti-sim´trica. Prove que quando e e e char(K) = 2 toda forma bilinear anti-sim´trica ´ tamb´m sim´trica, e portanto identicamente e e e e nula Definimos o complemento ortogonal de um subespa¸o U (com respeito a g) como sendo o c subespa¸o c U ⊥ = {v ∈ V | g(u, v) = 0, ∀u ∈ U } Em particular, ker g = V ⊥ . Proposi¸˜o 7: Se g ´ n˜o-degenerada, ent˜o ca e a a dimU ⊥ = dim V − dim U e (U ⊥ )⊥ = U Prova: Fixe uma base {e1 , . . . , ek } de U . Ent˜o a U ⊥ = {v ∈ V | g(ei , v) = 0, i = 1, 2, . . . , k} Agora, k k λi g(ei , v) = g i=1 λi ei , v i=1 e portanto tal combina¸˜o linear ´ nula se e somente se λi = 0, pois g ´ n˜o-degenerada. ca e e a ⊥ = n − k, onde n = dim V . Assim, dim (U ⊥ )⊥ = n − (n − k) = k = dim U . Portanto, dim U Como g(u, v) = 0, se v ∈ U e u ∈ U ⊥ , ent˜o v ∈ (U ⊥ )⊥ , e portanto (U ⊥ )⊥ = U a
  34. 34. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 31 a 2. Operadores Lineares e Dualidade 2.3.1 Correla¸˜o ca Uma correla¸˜o ´ uma aplica¸˜o linear τ : V → V ∗ . Uma correla¸˜o define naturalmente ca e ca ca um funcional bilinear g : V × V → K atrav´s de e g(v, u) = τ (v)(u) Se ker τ = {0} a correla¸˜o ´ dita n˜o-degenerada. Dizemos tamb´m que V e o funcional ca e a e ∗ , se ker τ = {0} ent˜o τ ´ bilinear associado a τ s˜o n˜o-degenerados. Como dim V = dim V a a a e um isomorfismo, ou seja, uma correla¸˜o n˜o-degenerada estabelece um isomorfismo entre um ca a espa¸o vetorial e o seu dual. c Em um espa¸o simpl´tico temos que σ(v, u) = −σ(u, v) e portanto a correla¸˜o τ nesse caso c e ca satisfaz a rela¸˜o τ (v)(u) = −τ (u)(v). ca Ao longo deste texto iremos considerar apenas espa¸os quadr´ticos e faremos uso consider´vel c a a das correla¸˜es sim´tricas τ : V → V ∗ e τ −1 : V ∗ → V . Nesse caso iremos usar uma outra co e nota¸˜o para essas correla¸˜es: ca co : V → V ∗, de modo que = −1 e = Escreveremos geralmente −1 . :V∗ →V Estes isomorfismos ser˜o chamados isomorfismos musicais [7]. a v = (v), α = (α) Por defini¸˜o temos portanto ca v (u) = g(v, u), g(α , v) = α(v) Para v = i v i ei e u = i ui ei podemos escrever g(v, u) = ij gij v i uj , onde gij = g(ei , ej ) = gji . Como v (u) = v i ui , onde v i s˜o as componentes do covetor v na base {ei }, ou seja, v = a i , segue que v = j . Equivalentemente temos e = g ej . Nesse sentido, kj = v ie ij i i j gij v k gik g j δi . 2.4 Dualidade e Adjunta No Cap.(1) associamos a um K-espa¸o vetorial V o seu espa¸o dual V ∗ = Hom(V, K), onde c c ∗ (se a dimens˜o de V for finita) e constru´ mostramos que dim V = dim V a ımos o isomorfismo canˆnico τ : V → V ∗∗ . Incluiremos agora nesse conceito aplica¸˜es lineares, subespa¸os e espa¸os o co c c quocientes. Dados a ∈ K, α ∈ V ∗ e v ∈ V , ao inv´s de denotarmos α(v), usaremos o s´ e ımbolo α, v , a ∗ × V → K, o qual podemos provar que ´ linear em cada um dos seus partir do mapa , : V e argumentos: aα1 + α2 , v = a α1 , v + α2 , v α, v1 + av2 = α, v1 + a α, v2 Vimos que, com essa nota¸˜o, ca i ei , ej = δj = 1, i = j, 0, i = j. (2.2)
  35. 35. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 32 a 2. Operadores Lineares e Dualidade onde os covetores {ei } formam uma base para V ∗ , enquanto que {ei } ´ base de V . O mapa e ∗∗ pode ser definido pela condi¸˜o τ , α = α, v , e j´ que V e V ∗∗ s˜o canonicamente τ :V →V ca a a v isomorfos, ent˜o a f´rmula τ (v), α = α, v ´ reescrita como v, α = α, v , j´ que nesse sentido a o e a V pode ser considerado com o espa¸o dual a V ∗ . As bases {ei } e {ej } formam um par dual e c essa rela¸˜o ´ sim´trica. ca e e Obs.14: Denotaremos α ∈ V ∗ por v = τ (v) ∈ V ∗ , o que implicitamente implica que estamos fazendo uso de uma m´trica em V , ou seja, essa identifica¸˜o necessita que V preciso ser munido e ca de um produto interno, e portanto o mapa , : V ∗ × V → K corresponde ao produto interno , : V × V → K induzido por uma m´trica em V e 2.4.1 Aplica¸˜es Duais co Seja φ : W → V uma aplica¸ao linear entre K-espa¸os vetoriais W e V . Mostraremos que c˜ c ∗ : V ∗ → W ∗ — denominado adjunta — que satisfaz existe um unico mapa linear φ ´ φ∗ (v ), u = v , φ(u) ∀v ∈ V ∗ , u ∈ W De agora em diante est´ impl´ a ıcito que o espa¸o vetorial ´ munido de uma m´trica, e denotaremos c e e a rela¸˜o acima por φ∗ (v), u = v, φ(u) . ca Tal aplica¸˜o ´ unica. Com efeito, suponha que h´ dois mapas φ∗ e φ∗ . Ent˜o φ∗ (v), u = ca e ´ a a 1 2 1 ∗ (v), u , ∀u, v ∈ V. Segue-se que (φ∗ − φ∗ )(v), u = 0. Fixando-se v e variando-se u, temos que φ2 1 2 o funcional linear (φ∗ − φ∗ )(v) ∈ W ∗ se anula em todos os vetores de V , e portanto, φ∗ − φ∗ = 0, 1 2 1 2 o que implica que φ∗ = φ∗ . 1 2 Existˆncia de φ∗ . Fixamos v e consideramos v, φ(u) uma fun¸˜o em W . A linearidade de φ e ca e a bilinearidade de ( , ) implica que (v, φ(u)) ´ linear, e portanto pertence a W ∗ . Denotamos e ˜ v, φ(u) = φ∗ (v). Da linearidade de (v, φ(u)) segue-se que ˜ ˜ ˜ φ∗ (v1 + v2 ) = φ∗ (v1 ) + φ∗ (v2 ), ˜ ˜ φ∗ (av) = aφ∗ (v) sendo φ∗ portanto linear. Considere agora bases ortonormais de W = {e1 , . . . , en } e V = {f1 , . . . , fm } e suas respectivas bases duais de W ∗ e V ∗ . Considere A a matriz correspondente de φ nessas bases. Ent˜o a matriz a ∗ ´ At . Com efeito, de φ e m Aej = n Alj fl , A∗ fi = l=1 Bki ek k=1 Como ambas as bases s˜o ortonormais, temos para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n: a n n k Bji = Bki e (ej ) = k=1 Bki ek , ej k=1 m = A∗ fi , ej = fi , Aej = fi , Alj fl l=1 m = m l=1 = Aij m j Alj δi Alj f j (fi ) = Alj fi , fl = l=1 l=1 (2.3)
  36. 36. 2. Operadores Lineares e Dualidade Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 33 a Teorema 19: Sejam φ, φ1 , φ2 ∈ Hom(W, V ) e h ∈ Hom(V, Z), onde V, W, Z s˜o K-espa¸os a c vetoriais, e a ∈ K. Ent˜o a a) (φ1 + φ2 )∗ = φ∗ + φ∗ , b) (aφ)∗ = aφ∗ , c) (hφ)∗ = φ∗ h∗ 1 2 d) I ∗ = I, e) 0∗ = 0, f ) φ∗∗ = φ Ex.71: Prove o Teorema anterior Teorema 20: Seja (V, g) um K-espa¸o vetorial munido de uma m´trica, dim V = n. Para c e ⊥ todo subespa¸o vetorial U ⊆ V ´ poss´ cindir V = U ⊕ U c e ıvel Prova: Tome {e1 , . . . , en } uma base ortonormal de V , onde {e1 , . . . , ek } (k ≤ n) — quando U ´ subespa¸o pr´prio de V temos que k < n — ´ base ortonormal de U . Estendendo-se a base e c o e {e1 , . . . , ek } de U ` base de V {e1 , . . . , en } (pelo processo de Gram-Schmidt), temos que a base a {ek+1 , . . . , en } de U ⊥ ´ ortonormal e cada vetor dessa base ´ ortogonal a U , o que implica que e e ⊥ , pois U ∩ U ⊥ = {0} V =U ⊕U Defini¸˜o 7: Dizemos que um subespa¸o U ⊂ V ´ n˜o-degenerado com respeito a uma ca c e a fun¸˜o bilinear B se B|U for n˜o-degenerada ca a Obs.15: Provamos que o Teorema vale quando V ´ munido de uma m´trica, ou seja, uma e e forma bilinear sim´trica n˜o-degenerada. A propriedade de ser n˜o-degenerada ´ crucial, uma e a a e ⊥ = ker α| . Se U ∩U ⊥ = {0}, ent˜o ker B| = {0}, e portanto a cis˜o V = U ⊕U ⊥ vez que U ∩U a a U U s´ ´ poss´ se o espa¸o quadr´tico (V, B) for n˜o-degenerado oe ıvel c a a Ex.72: Prove que φ ∈ Hom(V, W ), onde V, W s˜o K-espa¸os vetoriais de dimens˜o finita a c a munidos de uma m´trica, ent˜o ker φ∗ = Im(φ)⊥ , ker φ = Im(φ∗ )⊥ , Im (φ) = ker (φ∗ )⊥ e Im e a (φ∗ ) = ker (φ)⊥ . (Dica: use que φ∗∗ = φ e W ⊥⊥ = W ) Dizemos que φ ∈ End(V ) ´ auto-adjunto se e φ(v), u = v, φ(u) ∀u, v ∈ V Ex.73: Mostre que se φ, ψ ∈ End(V ) s˜o auto-adjuntos, ent˜o φψ ´ auto-adjunto se, e a a e somente se, φψ = ψφ Teorema 21: Se um subespa¸o U ⊂ V ´ invariante por φ ∈ End(V ), ent˜o U ⊥ ´ invariante c e a e ∗ ∈ End(V ∗ ) por φ Prova: Dados u ∈ U e v ∈ U ⊥ , ent˜o φ(u) ∈ U . Ent˜o, u, φ∗ (v) = φ(u), v = 0, portanto a a ∗ (v) ∈ U ⊥ e portanto U ⊥ ´ invariante por φ∗ φ e No caso de formas bilineares anti-sim´tricas σ : V × V → K, denominamos uma base e {e1 , . . . , en } ⊂ V simpl´tica (com respeito a σ) se e σ(e2k−1 , e2k ) = σ(e2k , e2k−1 ) = 1, σ(ei , ej ) = 0, k = 1, . . . , m para todos os outros casos poss´ ıveis. (2.4)
  37. 37. 2. Operadores Lineares e Dualidade Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 34 a Em outras palavras, nesta base a matriz de σ ´ dada por e  0 1  −1 0    0 1   −1 0   ..  .    0 1   −1 0    0                         0 0 .. . 0 onde o n´meros de blocos u Teorema 22: base simpl´tica e 0 1 −1 0 na diagonal ´ m. e Para toda forma quadr´tica anti-sim´trica em V (dim V = n) existe uma a e Prova: Indu¸˜o em n. Para n = 1 n˜o h´ nada a se mostrar. Seja n > 1. Se σ ≡ 0 tamb´m ca a a e n˜o h´ nada a se mostrar. Se σ = 0, existem vetores e1 , e2 tais que σ(e1 , e2 ) = 0, que podem a a ser normalizados de modo que σ(e1 , e2 ) = 1 = −σ(e2 , e1 ). A matriz de σ| e1 ,e2 tem a forma 0 1 −1 0 na base {e1 , e2 }, e em particular ´ n˜o-singular. Pelo Teorema, ´ poss´ e a e ıvel escrever V = e1 , e2 ⊕ e1 , e2 ⊥ . Por indu¸˜o, existe uma base simpl´tica {e3 , e4 , . . . , en } em e1 , e2 ca e Portanto eis a base simpl´tica de V : {e1 , e2 , e3 , e4 , . . . , en } e ⊥.
  38. 38. Autovetores e Formas Bilineares 3 Um dos objetivos principais do formalismo de operadores lineares ´ reduzir a matriz de uma e aplica¸˜o linear ` sua forma mais simples, a partir da escolha de uma base particular. Para ca a tanto ´ preciso saber um pouco mais sobre subespa¸os invariantes. e c Defini¸˜o 8: Um vetor 0 = v ∈ V ´ dito ser um autovetor de um operador φ ∈ End(V ) se ca e φ(v) = λv para algum λ ∈ K, que por sua vez ´ um autovalor associado ao vetor v e Obviamente, um vetor 0 = v ∈ V ´ autovetor se, e somente se o subespa¸o v de uma e c dimens˜o ´ invariante. Em uma base de autovetores — se essa base existir — a matriz associada a e a ` aplica¸˜o linear ´ diagonal. ca e Exemplo 14: Para o operador de derivada no espa¸o de polinˆmios na vari´vel x, o c o a unico autovetor (m´dulo multiplica¸˜o por escalar) ´ o polinˆmio P (x) = 1, com autovalor ´ o ca e o correspondente λ = 0. Neste caso n˜o existe base de autovetores a Ex.74: Mostre que os autovetores do operador Π(α), com α = kπ no espa¸o 3-dimensional c s˜o os vetores sobre o eixo de rota¸˜o (e seu autovalor correspondente 1). Verifique que, quando a ca α = kπ, os vetores ortogonais ao eixo de rota¸˜o tamb´m s˜o autovetores, com autovalores (−1)k ca e a Um autovetor com autovalor λ existe se, e somente se o operador φ − λI for singular. Com efeito, φ(v) = λv implica em (φ − λI)v = 0, isso ocorrendo quando 0 = v ∈ ker(φ − λI), ou seja, quando n˜o existir inverso de (φ − λI). Portanto, quando det (φ − λI) = 0. a Defini¸˜o 9: Seja V um K-espa¸o vetorial de dimens˜o finita, e considere φ ∈ End(V ) ca c a com a matriz A associada em alguma base de V . Denotamos por P (t) (ou Pφ (t)) o polinˆmio o det(A − tI) com coeficientes no corpo K, que ´ denominado polinˆmio caracter´ e o ıstico do operador φ e da matriz A Ex.75: Calcule os poss´ ıveis autovalores de uma proje¸˜o φ ∈ End(V ), φ2 = φ ca Ex.76: Mostre que dadas duas matrizes A, B ∈ M(n, K), os autovalores de AB e BA s˜o os a mesmos, se A ou B for invert´ ıvel. Ex.77: Calcule os autovalores da aplica¸˜o de permuta¸˜o φ ∈ End(C3 ) tal que φ(x1 , x2 , x3 ) = ca ca (x2 , x3 , x1 ), onde xi ∈ C Ex.78: Seja u, v ∈ V dois autovetores da aplica¸˜o φ ∈ End(V ) correspondentes a autovalores ca distintos. Mostre que au + bv (a, b ∈ K) n˜o pode ser um autovetor de φ a
  39. 39. 3. Autovetores e Formas Bilineares Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 36 a Teorema 23: a) O polinˆmio caracter´ o ıstico de φ independe da escolha da base na qual a matriz associada A ´ representada. e b) Qualquer autovalor de φ ´ raiz de P (t) e qualquer raiz de P (t) em K ´ um autovalor de φ, e e correspondendo a algum subespa¸o pr´prio de V c o Prova: a) A matriz de φ em uma outra base ´ escrita como B −1 AB, onde B ´ a matriz mudan¸a e e c de base. Portanto det(B −1 AB − tI) = det(B −1 (A − tI)B) = (det B)−1 det(A − tI) det B = det(A − tI) Notamos que P (t) = tn − (Tr A) tn−1 + · · · + (−1)n det A. b) Seja λ ∈ K uma raiz de P (t). O mapa φ − λI ´ representado por uma matriz singular e e portanto seu n´cleo ´ n˜o-trivial. Seja v = 0 um elemento de ker (φ − λI). Ent˜o φ(v) = λv u e a a e portanto λ ´ autovalor de φ e v o respectivo autovetor. Reciprocamente, se φ(v) = λv, ent˜o e a v ∈ ker (φ − λI) e portanto det (φ − λI) = P (λ) = 0 Um operador linear sobre um R-espa¸o vetorial pode n˜o ter autovetores. Contudo o uso c a dos n´meros complexos nos permite obter informa¸˜es valiosas sobre aplica¸˜es lineares sobre o u co co corpo dos reais, com o recurso da complexifica¸˜o. ca Ex.79: Calcule os   0 0 1 0 1 0 0 0 1 0     ,  1 0 0 0 0 0 1 0 0 0  autovalores de  0 0 0 1 0 0  , 0 −1 0  0 0 −1 cada  0 1   0 0 uma das seguintes matrizes:    1 0 0 0 −i 0 0 0 0 0  i 0 0 0     ,  , 0 0 1 0 0 0 −i 0 1 0 0 0 i 0   1 0 0 0 0 −1 0 0      0 0 1 0  0 0 0 −1 Seja V um espa¸o vetorial real. Um espa¸o vetorial VC ´ constru´ tomando-se pares (u, v), c c e ıdo onde u, v ∈ V e definindo a adi¸˜o e multiplica¸˜o por complexos de tais pares como: ca ca (u1 , v1 ) + (u2 , v2 ) = (u1 + u2 , v1 + v2 ), (a + ib)(u, v) = (au − bv, bu + av), a, b ∈ R (3.1) Por defini¸˜o, a adi¸˜o de pares do tipo (u, 0) e sua multiplica¸˜o por n´meros reais prov´m ca ca ca u e das opera¸˜es correspondentes sobre a primeira componente do par ordenado. Identificamos co V u = (u, 0), tendo portanto a imers˜o V → VC . Al´m disso, (u, v) = u + iv, e toda base de a e V sobre R ´ tamb´m base de VC sobre C. e e Qualquer operador linear φ ∈ End(V ) pode ser unicamente estendido ao operador φC ∈ End(VC ). Lema 2: Um vetor u + iv, u, v ∈ V , ´ um autovetor de um operador φC com autovalor e a+ib (a, b ∈ R, b = 0) se, e somente se, U = u, v ⊂ V ´ um subespa¸o invariante bidimensional e c de φ e φ(u) = au − bv φ(v) = bu + av (3.2)
  40. 40. 3. Autovetores e Formas Bilineares Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 37 a Prova: Na base {u, v}, o operador φ|U tem a matriz a b , e as Eqs.(3.2) implicam que o −b a vetor u − iv ´ autovetor de φC com autovalor a − ib e Como corol´rio do Lema anterior, temos o a Teorema 24: Toda aplica¸˜o linear φ ∈ End(V ) sobre o corpo dos reais possui um subespa¸o ca c invariante de dimens˜o 1 ou 2 a Prova: O polinˆmio caracter´ o ıstico sempre possui ra´ ızes em C Para um dado autovalor λ, os autovetores correspondentes podem ser encontrados a partir do sistema homogˆneo de equa¸˜es (A − λI)X = 0, onde X denota a matriz coluna de componentes e co do vetor a ser encontrado. Juntamente com o vetor nulo, os autovetores asociados ao autovalor λ constituem o subespa¸o c Vλ (φ) = ker(φ − λI) denominado autoespa¸o da aplica¸˜o φ correspondente ao autovalor λ. A dimens˜o de Vλ ´ (n − c ca a e dim Im (φ − λI)), e n = dim V . Provaremos agora um caso mais geral do teorema que afirma que a autovalores diferentes do mesmo operador correspondem autovetores L.I.: Teorema 25: aplica¸˜o φ s˜o L.I. ca a Autoespa¸os correspondentes a autovalores distintos λ1 , . . . , λk de uma c Prova: Indu¸˜o em k. Para k = 1 n˜o h´ nada a se provar. Suponha que k > 1 e seja ca a a a1 e1 + · · · + ak−1 ek−1 + ak ek = 0, ei ∈ Vλi (φ), ai ∈ K. Aplicando-se φ na equa¸˜o acima, obtemos ca a1 λ1 e1 + · · · + ak−1 λk−1 ek−1 + ak λk ek = 0 Subtraindo a segunda equa¸˜o da primeira, multiplicada por λk , obtemos ca a1 (λ1 − λk )e1 + · · · + ak−1 (λk−1 − λk )ek−1 = 0 Pela hip´tese de indu¸˜o, a1 = · · · = ak−1 = 0. Portanto ak = 0 o ca Como Corol´rio, podemos afirmar que a Teorema 26: Se o polinˆmio caracteristico Pφ (t) possui n ra´ o ızes distintas, ent˜o existe a uma base de autovetores de φ Ex.80: Mostre que se dim(V ) = n, e se φ ∈ End(V ) possui n autovalores distintos, ent˜o a existe uma base de V em rela¸˜o a qual a matriz associada a φ ´ diagonal ca e Exemplo 15: Seja V = U ⊕ W . O operador de proje¸˜o P ∈ End(V ) definido como ca P (u + w) = u, u ∈ U, w ∈ W ´ a proje¸˜o de U ao longo de W . Obviamente, os autoespa¸os s˜o dados por V0 (P ) = W e e ca c a V1 (P ) = U . Na base de V obtida das bases de U e W , a matriz de P ´ diagonal com 0’s e 1’s e na diagonal
  41. 41. 3. Autovetores e Formas Bilineares Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 38 a Ex.81: Seja V = U ⊕ W . O operador de reflex˜o R ∈ Hom(V, V ) definido como a R(u + w) = u − w, u ∈ U, w ∈ W ´ a reflex˜o de U ao longo de W . Obviamente, os autoespa¸os s˜o dados por V1 (R) = W e e a c a V−1 (R) = U . Na base de V obtida das bases de U e W , a matriz de R ´ diagonal com 1’s e e (-1)’s na diagonal. Mostre que um operador φ ∈ Hom(V, V ) ´ reflex˜o se, e somente se φ2 = I e a Ex.82: Mostre que Pφ∗ (t) = Pφ (t) A fim de obtermos condi¸˜es necess´rias e suficientes ` existˆncia de uma base que consista co a a e de autovetores de uma aplica¸˜o φ ∈ End(V ), precisamos provar o seguinte lema: ca Lema 3: O polinˆmio caracter´ o ıstico da restri¸ao φ|U de uma aplica¸˜o linear φ ∈ End(V ) c˜ ca a um subespa¸o invariante U ⊂ V divide o polinˆmio caracter´ c o ıstico de φ Prova: Sejam A e A|U as representa¸˜es de φ ∈ End(V ) em M(n, K). Numa base de V , onde co os primeiros k vetores formam uma base de U , a matriz A de φ ´ da forma dada na Eq.(2.1). e Portanto PA (t) = PA|U (t). det(C − tI) Corol´rio 3: Como Corol´rio, podemos afirmar que a dimens˜o de um autoespa¸o Vλ de φ a a a c — tamb´m chamada de multiplicidade geom´trica de λ — nunca excede ` multiplicidade de λ e e a no polinˆmio caracter´ o ıstico — tamb´m chamada de multiplicidade alg´brica de λ e e Prova: Seja dim Vλ (φ) = k. O polinˆmio caracter´ o ıstico de φ|U ´ dado por (t − λ)k . Aplicando o e Lema anterior ao subespa¸o U = Vλ (φ), temos portanto Pφ (t) = (t − λ)k det(C − tI). Supondo c por absurdo que a multiplicidade geom´trica fosse maior que a multiplicidade alg´brica de λ, e e ter´ ıamos que dim Vλ (φ) > k, e portanto o polinˆmio caracter´ o ıstico de φ|U seria dado por (t−λ)j , para algum j > k. Assim completamos a prova Exemplo 16: Diferencia¸˜o ´ um operador linear no espa¸o dos polinˆmios Kn [x]. Na base ca e c o 2 , . . . , xn }, o operador de deriva¸˜o possui a matriz {1, x, x ca   0 1 0 ··· 0 0 0 0 2 · · · 0 0    . . . .  . . . .. . .  . . . . . . .    0 0 0 · · · 0 n 0 0 0 ··· 0 0 e portanto o polinˆmio caracter´ o ıstico associado ´ tn+1 , que possui raiz λ = 0 e multiplicidade e n + 1, mas a dimens˜o do autoespa¸o correspondente ´ 1. Isso mostra que a dimens˜o do aua c e a toespa¸o pode ser estritamente menor que a multiplicidade da raiz correspondente no polinˆmio c o caracter´ ıstico O conjunto de todas as ra´ ızes do polinˆmio caracter´ o ıstico ´ chamado espectro da aplica¸˜o e ca φ, e se todas as multiplicidades alg´bricas forem iguais a um, o espectro ´ dito simples. e e Uma aplica¸˜o φ ∈ End(V ) em geral n˜o possui autovalores (e portanto n˜o ´ diagonaliz´vel) ca a a e a se seu polinˆmio caracter´ o ıstico P (t) n˜o possui raiz no corpo K. Por exemplo, considere a a

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