1.
UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL ESTADO DE
MEXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
MATERIA: CALCULO 2
PROFESOR : ING. MERCED TORRES SANCHEZ
ALUMNO: BERNA EMMANUEL ROJAS CARDENAS
CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL.

2.
Introducción.
Como se hacen las curvas y superficies de nivel?
Este trabajo tiene como finalidad exponer el tema de curvas y superficies de nivel.
con frecuencia en la vida diaria las funciones que realizamos depende de dos o
mas variables con frecuencia los fenómenos físicos de penden de mas de dos
variables e intentar representar esto en una gráfica es algo difícil para esto
empezaremos por explicar este fenómeno de las matemáticas para las funciones
que dependen de dos variables, para asi seguir con funciones de mas de dos
variables.
se darán algunos ejemplos que nos darán una idea mas clara del tema a tratar y
acompañado a esto algunas imágenes que nos ilustraran en el camino amplio de
las curvas y superficies de nivel.

3.
Antes de comenzar el estudio de las superficies y curva de nivel necesitamos
saber que es una función de varias variables. en la vida diaria necesitamos mas
de una variable asi por ejemlo el trabajo depende de la distancia y de la fuerza o
sea dos variables asi entonces la definición formal es:
definición para función de dos variables:
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. si a cada par ordenado
(x,y) de D le corresponde un único numero real de f(x,y), entonces se dice que f
es una función de x y de y. el conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente
conjunto de valores f(x,y) es el rango de f.
Se dice entonces que una función dada por z=f(x,y) aquí x y son las variables
independientes y z es la variable dependiente. las graficas de este tipo de
funciones son superficies en el espacio que se pueden graficar conforme a trazas
paralelas a los planos xy,xz y zy. y existe otra manera de poder visualizar las
graficas de esta funciones las curvas de nivel.
Que son las curvas de nivel para una función de dos variables?
las curvas de nivel para una función de dos variables son las curvas con
ecuaciones f(x,y)=k donde k es una constante (en el recorrido de f).
Esta representa el conjunto de todos los puntos en que f toma un valor dado k. en
otras palabras muestra donde la función tiene una altura k. las curvas del tipo
f(x,y)=k son los trozos de la grafica de f en el plano z=k proyectado sobre el plano
xy. Asi que si se dibujan las curvas de nivel para una función y se visualizan como
si se elevaran hasta la superficie que inda}ica la altura, es posible trazar toda la
grafica, la superficie es escarpada donde las curvas de nivel se aproximan y es un
poco planas donde se separan.

4.
por ejemplo si tenemos la función 𝑧 = √25 − 𝑥2 − 𝑦2 y queremos definir sus
curvas de nivel le damos un valor a z para comenzar a dibujar ciertas curvas. Por
ejemplo z=0,1,2,3,4
En winplot las las graficas obtenidas son:
esta es la vista del plano xy de alunas de sus curvas de nivel por lo que la fig se
veria asi

5.
las curvas de nivel aparecen como circunferencias de distintos radios no mayor a
5 y a diversas alturas estas paralelas al plano xy.
Ahora que pasaría si tuviésemos tres variables?
para este tipo de curvas se ocupan las llamadas superficies de nivel es decir que
si nuestra función esta formada por tres variables independientes, y entonces esto
seria que para cada triada ordenada (x,y,z) en un dominio de 𝐷 ⊂ ℝ3
un numero
real único denotado con 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧). por mencionar un ejemplo la temperatura en
algún punto del planeta depende de como se relaciona la longitud latidud y el
tiempo en el que se mide la temperatura. si nos damos cuenta esto significa que
para graficar este tipo de funciones tendríamos una grafica en ℝ4
lo cual nos difícil
de imaginar ¿no? bueno entoces para esto se han propuesto las superficies de
nivel, asi como en las funciones de dos variables nos damos a la tarea de que
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘 donde k es una constante la cual representa que si el punto (x,y,z) se
mueve a lo largo de la superficie de nivel el valor de f(x,y,z) continua fijo.
vayamos al ejemplo:
𝑠𝑖 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 4𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
para nuestros usos las ecuaciones para las
superficies de nivel serán de la forma 𝑠𝑖 𝑐 = 4𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
si nos damos cuenta
cuando c es mayor de cero las ecuaciones de las superficies de nivel se
convierten en elipsoides de diferentes dimensiones. Asi se vería:
𝑠𝑖 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 4𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
z
c=4
c=16 x y

6.
Asi entonces cada ecuación de tres variables tiene sus diversas superficies de
nivel para cada valor de la constante.
𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
para esta ecuación la familia de ecuaciones de la
superficies de nivel de la forma
𝑐 = 4𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
tal que para cada valor de c corresponde una esfera da radio c
algo asi como una rockaleta con varias capas.
En este caso cada color de una capa de la esfera que
vemos es un diferente valor de la constante c la amarilla
es c=25 la verde pistache es c=16 la azul es c=9 y la
principal es c=4, claro si proponemos a c=0 solo los
daría un punto que seria el origen.
Entonces en que nos ayudan este tipo de graficas para nuestra vida diaria?
Las aplicaciones mas usuales para nuestra curvas de nivel son por ejemplo en
mapas climáticos, las curvas de nivel que tienen igual presión se llaman isobaras,
otra mas es cuando en los mismos mapas tienen las mismas temperaturas para
este caso a las curvas de nivel se les llaman isotermas.
los mapas de contorno por mencionar otros ejemplos se usan para representar la
superficie de la tierra, donde las curvas de nivel representan la altura spobre el
nivel del mar a este tipo de mapas se les llama mapas topográficos. Estos
representan las variaciones de z con respecto a x y y mediante espacios entre las
curvas de nivel. En un mapa de contorno es importante elegir valores de c
uniformemente espaciados para dar una mejor ilusión tridimensional.

7.
En la siguiente imagen por ejemplo esta un mapa topográfico del monte lonesome
aquí las curvas de nivel son representadas con las líneas de contorno estas son
una altura constante por lo que al caminar en una de ellas no se asciende ni
deciende

8.
Conclusión.
Todo el planeta esta dominado por almenos un tipo de curvas de nivel pues
podemos aplicarlas para usos topográficos, climáticos e inclusive podemos medir
el campo y el efecto gravitacional de la tierra. no obstante los usos en la ingeniería
son variados y dependen de que tipo de ingeniero requiera de sus servicios por
mencionar un ejemplo para la ingeniería civil es necesario conocer la estructura
topografica de un lugar destinado para la construcción, para un ingeniero
mecanico es importante conocer la distribución de calor que se presenta en
determinada parte de la maquina para tener en cuenta estos datos y ponerla en
proceso de optimización. El clima que es predicho por los noticieros esta basado
en hechos reales que se dan al cambio dia con dia y que gracias a los satélites
podemos prever las mas grades tormentas o los mejores días para salir de
vacaciones, por todo esto y mas las curvas y superficies de nivel son una parte
aplicada del calculo que nos mantiene al dia y nos brinda sus beneficios a todos
como humanidad.

9.
Bibliografía.
 http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/MultiVrbleFcns.aspx
 http://www.youtube.com/watch?v=CCLrfpD5_sE Level Curves of Functions
of Two Variables
 http://mathispower4u.wordpress.com/2011/01/30/level-curves-of-functions-
of-two-variables-contour-maps/
 calculo 2: de varias variables ron Larson novena edición.
 calculo: conceptos y contextos. james Stewart 2 ed.
 http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/15569293/Superficies-y-
curvas-de-nivel-formulas-y-graficos.html.
 http://www.serbi.ula.ve/serbiula/libros-
electronicos/Libros/topografia_plana/pdf/CAP-9.pdf.