Testes hp

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  1. 1. 1 EST 105 - Exerc´ ıcios de testes de hip´teses oDefini¸˜o: p-valor ou n´ ca ıvel descritivo ou valor probabil´ ıstico ou valor pO p-valor em um teste de hip´tese ´ o menor n´ de significˆncia para o qual se o e ıvel arejeita H0 . Uma defini¸˜o mais geral: o p-valor ´ a probabilidade de se obter um ca evalor da estat´ ıstica do teste t˜o ou mais extremo do que o valor observado, em favor ada hip´tese alternativa H1 . oA seguir dois exemplos com o c´lculo do p-valor nos testes Z para uma m´dia e χ2 . a e1. Considere o teste Z para uma m´dia e seja Z0 o valor da estat´ e ıstica do teste calculado sob a pressuposi¸˜o de que a hip´tese de nulidade ´ verdadeira, ca o e X − µ0 H0 : µ = µ0 ⇒ Z0 = √ σ/ n Portanto, o p-valor depende do valor z0 e tamb´m se o teste ´ unilateral (H1 : e e µ < µ0 ou H1 : µ > µ0 ) ou bilateral (H1 : µ = µ0 ). Ent˜o, se f (z) ´ a a e fun¸˜o densidade de probabilidade da vari´vel aleat´ria Z, para Z ∼ N (0, 1) ca a o e z ∗ = |z0 | tem-se: ∞ teste unilateral : p-valor = P (Z ≥ z ∗ ) = f (z)dz z∗ ∞ teste bilateral : p-valor = 2 × P (Z ≥ z ∗ ) = 2 × f (z)dz z∗ Informe o p-valor e a decis˜o do teste quando: a a. z0 = −1, 99 e α = 5%, teste bilateral. b. z0 = 1, 83 e α = 5%, teste unilateral. c. z0 = 2, 20 e α = 1%, teste unilateral. d. z0 = −2, 20 e α = 1%, teste bilateral.2. Considere agora o teste de qui-quadrado e seja χ2 o valor da estat´ 0 ıstica do teste sob H0 . Para uma tabela r × c, com r linhas e c colunas, tem-se que ν = (r − 1) × (c − 1) − s ou ν = k − 1 − s (k colunas ou tabela 1 × k) ´ o n´mero de e u graus de liberdade, onde k ´ o n´mero de classes e s ´ o n´mero de parˆmetros e u e u a estimados para se obter as frequˆncias esperadas (s = 0 em geral). Portanto, e p-valor = P (χ2 ≥ χ2 ). Pede-se: informe o p-valor quando, ν 0 a. A tabela ´ 3 × 4 com s = 0 e χ2 = 16, 812. e 0 b. A tabela ´ 1 × 6 com s = 2 e χ2 = 9, 348. e 0 1 Cont´m 10 exerc´ e ıcios em p´ginas numeradas de 1 a 6. a 1
  2. 2. 3. Com o objetivo de tornar seu produto mais competitivo, um fabricante de au- tom´veis deseja extender a garantia oferecida em pe¸as e servi¸os de 15000 Km o c c para 30000 Km. Entretanto, esta mudan¸a somente ser´ vi´vel se for compro- c a a vado que os custos n˜o ir˜o aumentar devido ` esta extens˜o na garantia. A a a a a garantia atual ´ com base em estudos que indicam um custo m´dio de 100um e e (um = unidades monet´rias) por carro na garantia. a a. Suponha que um estudo preliminar trabalhou com uma amostra de 120 carros cujo custo total devido ` servi¸os cobertos pela garantia tenha a c sido superior a 100um por carro. Esta amostra incluia carros na garantia e tamb´m fora da garantia e para cada um destes carros havia o registro e da quilometragem, de modo que obteve-se quilometragem m´dia igual a e 30890 Km. Pede-se: a1. A garantia deve ser extendida ou n˜o? Utilize σ = 5836 Km para a realizar um teste de hip´tese e escreva as hip´teses estat´ o o ısticas em termos do problema em quest˜o e tamb´m em termos de um teste de a e hip´tese. o a2. Conclua para α = 1% e tamb´m para α = 5%. e a3. Para averiguar se haver´ um aumento no custo m´dio por carro, a e devido ` extens˜o na garantia, quais mudan¸as devem ser realizadas a a c no estudo? explique. b. Se um novo estudo for realizado conforme descrito em (a3.) considerando- se os valores n = 120 e σ = 25, informe os valores x para se rejeitar H0 : µ = 100 em favor de H1 : µ > 100 a 5% e 1%.4. Suponha que a m´dia da distribui¸˜o das estaturas (X) dos adultos seja 1, 60m e ca com desvio-padr˜o igual a 0, 18m. Se uma amostra aleat´ria de 200 adultos a o fornece m´dia X, qual deve ser o valor x para se declarar que: e a. a m´dia aumentou a 1% de significˆncia. e a b. a m´dia se alterou a 5% de significˆncia. e a5. Um fabricante informa que um medicamento ´ 90% eficiente para curar dores de e cabe¸a (explique o significado desta informa¸˜o). Um estudo com 200 pacientes c ca resultou em 170 pacientes curados. Pede-se: Utilize σ = 0, 3 para testar a informa¸˜o do fabricante, (informe o p-valor) e conclua para α = 0, 01 (1%). ca6. Uma m´quina est´ regulada para fornecer µ = 500g por pacote e seja σ 2 = 25 a a g2 . Seja d = |X − µ|, calcule o tamanho da amostra para se concluir a 5% de probabilidade que a m´quina n˜o est´ bem regulada quando: d = 1; d = 0, 8; a a a d = 0, 6; d = 0, 4 e d = 0, 2.7. O n´mero de defeitos nas placas de circuito impresso ´ suposto seguir a dis- u e tribui¸˜o poisson. Uma amostra aleat´ria de 80 circuitos forneceu os dados ca o 2
  3. 3. informados na tabela abaixo. Realize um teste a 5% de probabilidade e con- clua. N´mero de defeitos u 0 1 2 ≥3 N´mero de placas u 35 22 13 108. Uma amostra aleat´ria de 300 notas forneceu m´dia X = 56 e desvio-padr˜o o e a SX = 22. Deseja-se testar a hip´tese de que estas notas sejam de uma dis- o 2 tribui¸˜o normal(µ, σ ). A tabela a seguir mostra resultados parciais do teste ca de hip´tese, utilizando-se 6 classes de notas equiprov´veis. Pede-se: Calcule o a as frequˆncias esperadas e explique como os valores das notas que dividem as e classes (Li ) foram calculados, execute o teste e conclua para α = 0, 025(2, 5%) e tamb´m para α = 0, 05(5%). e Frequˆncias e Classe(i) notas(Xi ) observadas (Oi ) esperadas (Ei ) 1 0 ≤ Xi < 34, 88(L1 ) 41 2 34, 88 ≤ Xi < 46, 54(L2 ) 55 3 46, 54 ≤ Xi < 56, 00(ˆ) µ 59 4 56, 00 ≤ Xi < 65, 46(L3 ) 48 5 65, 46 ≤ Xi < 77, 12(L4 ) 60 6 77, 12 ≤ Xi ≤ 100 379. Utilize a nota¸˜o da tabela a seguir para demonstrar como se obt´m a f´rmula, ca e o ni. n.j Eij = nij = ˆ , frequˆncias esperadas (Eij ) nos testes de χ2 para, e n.. independˆncia: H0 : X e Y s˜o independentes, e e a homogeneidade: H0 : As popula¸˜es s˜o homogˆneas para as categorias de Y . co a e Y Popula¸˜o ca ou X y1 y2 ... yC Total 1 x1 n11 n12 ... n1C n1. 2 x2 n21 n22 ... n2C n2. ... ... ... ... L xL nL1 nL2 ... nLC nL. Total n.1 n.2 ... n.C n..10. Para testar a hip´tese de que um dispositivo adicionado ao cinto de seguran¸a o c diminua a for¸a m´dia exercida no peito do passageiro durante o impacto, c e 3
  4. 4. testou-se 12 carros com e sem o dispositivo. Nestes testes o carro colide com um murro de concreto a uma velocidade de 60km/h e ap´s a colis˜o avalia- o a se a for¸a exercida no peito dos passageiros (bonecos dummy), registrada no c aparelho apropriado. a. Com base nos dados da tabela a seguir execute um teste unilateral a 1% de significˆncia e conclua sobre a efic´cia do dispositivo em reduzir a for¸a a a c m´dia do impacto em 2 Kg. e Dispositivo For¸a (Kg) c SEM 5,0 8,0 9,3 10,2 4,8 6,5 COM 2,5 4,0 5,0 7,2 3,2 4,5 b. Se um novo estudo for conduzido com 14 carros (n = 7 para cada amostra) e forem obtidos os valores da tabela a seguir, conclua sobre a efic´cia do a dispositivo em reduzir a for¸a m´dia do impacto em 3Kg, em um teste c e bilateral a 5%. Dispositivo m´dia variˆncia e a SEM 8,8 3,25 COM 4,5 2,98 RESPOSTAS1.(Z uma m´dia) A decis˜o do teste ser´ rejeitar H0 quando p-valor ≤ α. e a a a. 2 × 0, 0233 = 0, 0466 = 4, 67%, b. 0, 0336 = 3, 36%, c. 0, 0139 = 1, 39%, d. 0, 0278 = 2, 78%.2.(χ2 ) a. p-valor = 0, 01, b. p-valor = 0, 0253.(Z uma m´dia) a. H0 : µ = 30000, a amostra ´ de uma popula¸˜o com quilome- e e ca tragem m´dia igual a 30 mil Km e portanto os custos ir˜o aumentar com a e a extens˜o da garantia, j´ que nesta amostra o custo foi superior a 100um por a a carro. Se H1 : µ > 30000 e a decis˜o for rejeitar H0 (optar por H1 ), n˜o se a a pode concluir quanto ao aumento do custo m´dio por carro com a extens˜o e a da garantia, j´ que a amostra ´ de carros com custo superior a 100um por a e carro e veio de uma popula¸˜o com quilometragem m´dia superior a 30 mil. ca e Alternativamente, se H1 : µ < 30000 n˜o h´ necessidade do teste j´ que a a a X = 30890. a2. Z0 = 1, 67 e p-valor = 0, 0475(4, 75%), portanto rejeita-se H0 a 5% (Z = 1, 64 ou 1, 65 tabelado) e n˜o se rejeita a 1% (Z = 2, 33 tabelado) a a3. trabalharia com uma amostra aleat´ria de carros com quilometragem o maior do que 15 mil e no m´ximo 30 mil Km e com os registros dos custos por a 4
  5. 5. carro (dos itens na garantia), para testar H0 : µ = 100 versus H1 : µ > 100. Neste caso, n˜o rejeitar H0 significa mudar a garantia, ou extender para 30 a mil Km, j´ que os carros amostrados s˜o uma amostra aleat´ria da nova po- a a o pula¸˜o de carros que ser´ acrescida ` popula¸˜o da garantia atual. ca a a ca b. x ≈ 103, 8(5%) e x ≈ 105, 3(1%).4.(Z uma m´dia) a. x ≥ 1, 629 e b. x ≤ 1, 575 ou x ≥ 1, 625.5. (Z uma m´dia) Seja Xi = 1, se paciente curou e Xi = 0 se paciente n˜o curou, e a ap´s tomar o medicamento, para i = 1, 2, . . . , 200. Ent˜o, X = p = 0, 85. o a H0 : µ = 0, 9 e a informa¸˜o do fabricante ´ verdadeira, H1 : µ < 0.9, n˜o ´ ca e a e verdadeira. Z0 ≈ −2, 36, portanto p-valor = 0, 5 − 0, 4909 = 0, 0091(0, 91%) e rejeita-se H0 a 1%.6. (Z uma m´dia) n = 96; n = 151; n = 267; n = 600 e n = 2401. e7. (χ2 aderˆncia) H0 : O modelo poisson(m) ´ adequado e H1 : poisson n˜o ´ e e a e adequado. m = 78/80 = 0.975 defeitos por placa, estimado com os dados ˆ (s = 1) e utilizando-se x = 3 na classe ≥ 3. Ei = P (xi ) × 80, P (xi ) = e−m mxi /xi !, para os valores xi = 0, 1, 2 e P (≥ 3) = 1 − P (0) − P (1) − ˆ ˆ P (2). Obt´m-se χ2 ≈ 5, 3 com ν = 4 − 1 − s = 2 graus de liberdade. A e 0 hip´tese H0 n˜o deve ser rejeitada a 5% de significˆncia, χ2 (5%, 2) = 5, 991. o a a Abaixo a solu¸˜o obtida com o sistema SAS (software estat´ ca ıstico) xi 0 1 2 ≥3 P (xi ) 0,37719 0,36776 0,17928 0,07576 Oi 35 22 13 10 Ei 30,1754 29,4210 14,3427 6,0609 χ2 0,77139 i 1,87184 0,12570 2,560158. (χ2 aderˆncia) H0 : o modelo normal(µ, σ 2 ) ´ adequado e H1 : o modelo normal e e 2 n˜o ´ adequado. E1 = . . . = E6 = 300/6 = 50, χ0 = 9, 20 com ν = k − 1 − s = a e 6 − 1 − 2 = 3 graus de liberdade, pois µ e σ foram estimados por X = 56 e SX = 22. Os valores Li indicados na tabela s˜o obtidos por X = Zσ + a µ =⇒ Li = Zi SX + X, em que os valores Zi s˜o os correspondentes `s classes a a com probabilidade 1/6 ≈ 0, 166, z1 = −0, 96; z2 = −0, 43; z3 = 0, 43; z4 = 0, 96, portanto l1 = 34, 88; l2 = 46, 54; l3 = 65, 46; l4 = 77, 12. Os valores tabelados s˜o χ2 (5%, 3) = 7, 815 e χ2 (2, 5%, 3) = 9, 348, portanto rejeita-se a H0 a 5% e n˜o se rejeita a 2, 5%. a9. No teste para independˆncia, H0 : P (xi , yj ) = P (xi )P (yj ) ∀ (xi , yj ), e ni. P (xi ) = n.. , probabilidade marginal para X n.j P (yj ) = n.. , probabilidade marginal para Y. 5
  6. 6. portanto, nij ni. n.j ni. n.j = ⇒ nij = ˆ . n.. n.. n.. n.. n.j No teste para homogeneidade H0 : P (i, yj ) = n.. ∀ (i, yj ), nij P (i, yj ) = , propor¸˜o da categoria Yj na popula¸˜o i ca ca ni. portanto, nij n.j ni. n.j = ⇒ nij = ˆ . ni. n.. n..10.(t duas m´dias) a. Tem-se H0 : µSEM − µCOM = 2 e H1 : µSEM − µCOM < e 2. Observe que X SEM − X COM = 2, 9 > 2 e portanto n˜o h´ nenhuma a a evidˆncia contr´ria a H0 e o teste n˜o ´ necess´rio. Observe tamb´m que o e a a e a e valor tabelado t(1%, 10) = 2, 76 se refere ao valor sim´trico ` direita da curva, e a isto ´, P (t10 ≤ −2, 76) = P (t10 ≥ 2, 76) = 0, 01. Apenas por curiosidade, o e valor calculado seria, (X SEM − X COM ) − 2 (7, 3 − 4, 4) − 2 t0 = = ≈ 0, 794 2 2 SSEM +SCOM 1 1 (5, 016 + 2, 684)/6 2 6 + 6 b. tem-se H0 : µSEM − µCOM = 3 e H1 : µSEM − µCOM = 3. t tabelado igual a t12 (5%) = 2, 179 = 2, 18 e o calculado igual a, (8, 8 − 4, 5) − 3 t0 = ≈ 1, 38 (3, 25 + 2, 98)/7 A decis˜o ser´ de n˜o rejeitar H0 . Conclui-se que n˜o h´ evidˆncias para a a a a a e se suspeitar que o dispositivo seja ainda mais eficiente do que se suspeitava inicialmente, ou seja, ele n˜o diminui a for¸a m´dia em mais do que 3kg (j´ a c e a que 8, 8 − 4, 5 = 4, 3). 6

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