La unidad 4 se enfoca en el estudio de la elipse y la circunferencia, incluyendo sus definiciones geométricas, elementos que las definen, y cómo obtener sus ecuaciones cartesianas. El propósito es reafirmar el método analítico para derivar las ecuaciones y avanzar en el reconocimiento de formas geométricas y la resolución de problemas euclidianos.

1. Unidad 4: Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas. Propósitos: Reafirmar el método analítico al obtener las ecuaciones de la elipse y la circunferencia y avanzar en el reconocimiento de formas y estructuras, en la formulación de conjeturas y en la resolución analítica de problemas de corte euclidiano. Unidad 4 1 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

2. Aprendizajes significativos Al finalizar la unidad, el alumno: Respecto al estudio de la elipse. Realizará al menos una construcción de la elipse y en función de ello: Identificará los elementos que la definen. Reconocerá los tipos de simetría de esta curva. Obtendrá la definición de elipse como lugar geométrico. Deducirá la expresión con radicales que expresa la propiedad de los puntos de dicho lugar geométrico Unidad 4 2 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

3. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 3 A partir de la expresión anterior, comprenderás cómo se obtiene la ecuación ordinaria Utilizando la ecuación ordinaria de la elipse, obtendrá las otras formas. Transitará de la ecuación general de la elipse a la ecuación ordinaria y viceversa. Para ello, aplicará el método de completar cuadrados. Determinará los elementos esenciales de una elipse, a partir de su ecuación dada en la forma ordinaria o general, y los utilizará para bosquejar su gráfica. Concatenará con coherencia sus argumentos y deducciones en el proceso para obtener la definición , la ecuación y la grafica de una elipse. Aplicara los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas.

4. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 Con relación a la circunferencia: Reconocerá a la circunferencia como el lugar geométrico de mayor frecuencia en su entorno. Obtendrá el lugar geométrico de la circunferencia como caso límite de la elipse. Identificará los elementos que determinará una circunferencia. Obtendrá la definición de circunferencia como lugar geométrico. Deducirá la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen, a partir de la ecuación ordinaria de la elipse.

5. Transitará de la forma ordinaria a la forma general y viceversa, para ello, utilizará el método de completar cuadrados que ya conoce. Determinará el centro y el radio de una circunferencia, a partir de su ecuación, dada tanto en la forma general como ordinaria y construirá una gráfica. Ante un ecuación ordinaria de un elipse identificará si se trata del caso límite cuando se obtienen una circunferencia, en caso contrario, indicará a cual de los ejes de coordenadas es paralelo su eje mayor Aplicará los conocimientos adquiridos en la resolución de diversos problemas. Unidad 4 5 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

6. TEMÁTICA Estudio de la elipse: La elipse como lugar geométrico. Trazo de la elipse y sus propiedades de simetría. Definición geométrica de la elipse. Elementos que definen a la Elipse: Distancia focal, eje mayor y eje menor, relaciones entre ellos. Ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas: Ecuación ordinaria con centro fuera del origen. Ecuación ordinaria con centro en el origen. Ecuación general. Aplicaciones: La tangente en la elipse en un punto que pertenece a ésta. Intersecciones de rectas con la elipse. Resolución de problemas diversos. Unidad 4 6 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

7. Estudio de la circunferencia. La circunferencia como lugar geométrico: Definición geométrica de la circunferencia. Elementos que definen a la circunferencia. Ecuación de la circunferencia. Ecuación ordinaria con centro fuera del origen. Ecuación ordinaria con centro en el origen. Ecuación general. Ecuación de la circunferencia. Aplicaciones La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos. Ecuación de la recta tangente a una circunferencia, en uno de sus puntos. Intersecciones de rectas con una circunferencia. Resolución de problemas de diferente índole. Unidad 4 7 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

8. UNIDAD 4: LA ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS PROPÓSITOS: Reafirmar el método analítico al obtener las ecuaciones las ecuaciones de la elipse y la circunferencia y avanzar en el reconocimiento de formas y estructuras, en la formulación de conjeturas y en la resolución analítica de problemas de corte euclidiano. Unidad 4 8 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

9. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 9 Aprendizaje. El Alumno: Realizará al menos una construcción de la elipse, y en función de ello: Identificará los elementos que la definen Reconocerá los tipos de simetrías de esta curva. Obtendrá la definición de elipse como lugar geométrico Deducirá la expresión con radicales que expresa la propiedad de los puntos de dicho lugar geométrico. A partir de la expresión anterior, comprenderá como se obtiene la ecuación ordinaria (en el origen) de la elipse. Utilizando la ecuación ordinaria de la elipse, obtendrá las otras formas.

10. Temática: Estudio de la elipse: La elipse como lugar geométrico. Trazo de la elipse y sus propiedades de simetría. Definición geométrica de la elipse. Elementos que definen a la Elipse: Distancia focal, eje mayor y eje menor, relaciones entre ellos. Ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas: Ecuación ordinaria con centro fuera del origen. Ecuación ordinaria con centro en el origen. Ecuación general. Unidad 4 10 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

11. INTRODUCCIÓN Durante el periodo clásico griego fueron descubiertas las secciones cónicas, del año 600 a 300 a. c. Menecmo contribuyó a este descubrimiento lo que permitió resolver problemas que no se habían podido resolver en esa época como: el problema de los oráculos de Delfos, la solución analítica de la duplicación del cubo etc. Fue hasta principios del siglo XVII con Renato Descartes cuando se hizo evidente la extensa aplicabilidad de este conocimiento, el cual juega un papel importante en el desarrollo del calculo. Unidad 4 11 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

12. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 12 Una aplicación interesante de las secciones cónicas se relaciona con las órbitas de los cometas de nuestro sistema solar. De los 610 cometas identificados hasta antes de 1970, Fig. 4.1

13. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 13 245 tienen órbitas elípticas, 295 tienen órbitas parabólicas y 70 tienen orbitas hiperbólicas. Por ejemplo el cometa Halley tiene una órbita elíptica y podemos predecir la reaparición de éste cometa cada 75 años. El centro del sol es un foco de cada una de esas órbitas, y cada órbita tiene un vértice en el punto donde el cometa está más cerca del sol como se muestra en la figura. Las curvas que hemos visto hasta ahora tienen como ecuación una de segundo grado y pueden se círculos, parábolas o elipses. Estas curvas se pueden obtener cuando un cono con planos apropiados ( ver figuras). Por ello reciben el nombre de cónicas.

14. Fig. 4.2 Unidad 4 14 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

15. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 15 La trayectoria de una avioneta es la que se muestra en la figura y esta descrita por la ecuación Fig. 4.3

16. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 16 Determina los dos puntos posibles de despegue (focos), la distancia que existe entre éstos y la excentricidad de la órbita elíptica que trazó. Para poder resolver este problema necesitas conocer los conceptos relacionados con este lugar geométrico que es la elipse. DEFINICIÓN: Una elipse es el lugar geométrico de los puntos (x, y) del plano cuyas sumas de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante. Podemos visualizar la definición de una elipse imaginando dos tachuelas puestas a los focos como se muestra en la figura. Si sujetamos los extremos de una cuerda fija a las tachuelas y tensamos la cuerda con un lápiz, la trayectoria trazada por el lápiz será una elipse.

17. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 17 Fig. 4.4

18. PARTES FUNDAMENTALES DE UNA ELIPSE: Fig. 4.5 Unidad 4 18 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

19. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 19 Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse, se designan por F y F´, O es el punto medio de FF´. La recta L que pasa por los focos se denomina eje focal. El segmento de la recta determinado por V´V recibe el nombre de eje mayor, B´B eje menor. La cuerda DD´ se llama longitud de lado recto O es el centro de la elipse.

20. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN Vamos A escoger los ejes cartesianos de tal manera que el eje de las x pase por los dos focos y el eje de las y divida en partes iguales al segmento que une a los dos focos. De esta manera, las coordenadas de los focos seran F (-c,0) y F´ (c, 0). La cantidad a la que es igual la suma de las distancias de un punto P(x, y) a ambos focos, la vamos a denotar por 2ª, para que nos quede una expresión simple de la ecuación. Unidad 4 20 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

21. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 21 Por definición tenemos: FP + F´P = 2ª …………. (I) Donde a es una constante positiva mayor que c FP= ; F´P= Sustituyendo en (1) + =2

22. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 22 Fig. 4.6

23. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 23 Simplifiquemos esta ecuación haciendo los siguientes pasos: Pasemos el segundo radical al segundo miembro y elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, simplificando y agrupando obtenemos la ecuación: Elevando otra vez al cuadrado ambos miembros de la ecuación y simplificando, tenemos: Siy sustituimos se obtiene Dividiendo la igualdad entre Se obtiene finalmente:

24. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 24 Características de la elipse con el eje focal paralelo al eje x. 1. Es simétrico respecto a las ejes x y 2. Las coordenadas de sus focos son: F(c,0) y F´(-c,0) 3. Las distancias V V´ =2ª y BB´= 2b, en consecuencia a>b. 4. Sus vértices para cada eje están dadas por las coordenadas: Eje mayor Eje menor V (a, 0) B ( 0, b) ; V´(-a, 0) B´ (0, -b)

25. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 25 5. se define como excentricidad de la elipse a la relación que existe entre la distancia del eje focal 2c y el eje focal. Para la cual existen dos casos particulares: Si c=0  e=0, los focos coinciden y la elipse se convierte en una circunferencia. Si c=a  e =1, los vértices del eje menor coinciden y se tiene por tanto una línea recta. Por tanto, la excentricidad de una elipse estara entre 0 y 1, es decir, 0>e>1.

26. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 26 6. El lado recto o ancho focal (latusrectum), es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por cada foco (la elipse tiene dos latusrectum), y está dada por la relación: Relación por el teorema de Pitágoras: Análogamente se obtiene la ecuación ordinaria de la elipse con el eje focal paralelo al eje y. Esta ecuación es de la forma

27. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 27 Y su grafica es: Fig. 4.7

28. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 28 Escribe en tu cuaderno, cuales son las características de la elipse con eje focal paralelo al eje “y”: Problema 4.1 Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen ,foco en el punto F(0,3) y semieje mayor igual a 5. Localizaremos los datos del problema en el plano cartesiano que se pueden a preciar en la Fig. 4.8

29. A continuación escribe el valor de c y a, recuerda que cuando la elipse esta en el origen los valores del foco tienen relación con c y los valores del vértice tienen relación con a. C= A= Recuerda la relación: Calcula b= La ecuación a la que debes llegar es: Su grafica la puedes ver en la Fig. 4.9 . Unidad 4 29 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

30. Podemos expresar la ecuación en su forma general: problema 4.2 Una elipse tiene su centro en el origen, su eje mayor coincide con el eje Y. si uno de los focos es el punto F(0,4) y la excentricidad es igual a ½. Hallar las coordenadas del otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos. .)escribiendo en tu cuaderno borrador localiza los datos en un plano como el de la Fig. 4.10 . Unidad 4 30 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

31. Escribe cuales son tus incógnitas:________ Escribe a continuación el valor de c:______ Si e=c/a, entonces ½=c/a, calcula el valor de a: Con la siguiente relación : encuentra el valor de b: Si ya conoces los valores de a y b ya puedes encontrar la Ecuación de laelipse. Expresa la ecuación en su forma general: Recuerda que la formula para encontrar la longitud de cada lado recto es: Calcula el valor y explica que significa en la gráfica: A continuación construye la grafica con todos los valores que encontraste. Calcula las coordenadas de los vértices. . Unidad 4 31 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

32. Problema 4.3 Hallar la ecuación de una elipse que tiene un vértice en V(0,6)y sus focos son F(0,4) y F’ (0,-4). Así como las longitudes de sus ejes mayor y menor y las longitudes de cada uno de sus lados rectos. También construye su grafica en tu cuaderno con un plano como el que se aprecia en la Fig. 4.12. Ilustra los datos en el sig. Plano cartesiano (Fig. 4.12) Escribe en tu cuaderno borrador cuales son las incógnitas: . Unidad 4 32 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

33. Calcula: Cuanto vale c= A= B= Encuentra la Ecuación: Calcula la longitud de cada uno de sus lados rectos. Calcula las longitudes de su eje mayor y menor Traza una grafica que te ilustre los valores encontrados anteriormente (Fig. 4.13) Escribe una conclusión de la solución del problema:__________________________ Unidad 4 33 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

34. ECUACION DE LA ELIPSE CON EJES PARALELOS A LOS EJES DE COORDENADAS. Aprendizajes. El alumno: A partir de la ecuación ordinaria en el origen, comprenderá como se obtiene la ecuación ordinaria fuera del origen de la elipse. Utilizando la ecuación ordinaria de la elipse, obtendrá las otras formas. Transitará de la ecuación general de la elipse a la ecuación ordinaria y viceversa. Para ello, aplicará el método de completar cuadrados. Determinará los elementos esénciales de una elipse, a partir de su ecuación dada en la forma ordinaria o general, y los utilizara para bosquejar su grafica. Concatenará con coherencia sus argumentos y deducciones en el proceso para obtener la definición , la ecuación y la grafica de una elipse. Aplicará los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas. TEMATICA: Ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas: 1)Ecuación ordinaria con centro fuera del origen. 2)Ecuación ordinaria con centro en el origen. 3)Ecuación general. 4)Problemas de aplicación. Unidad 4 34 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

35. Ecuación ordinaria de la elipse con centro fuera del origen. Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen y su eje focal es paralelo al eje x, como lo muestra la figura, se tendrá la sig. Ecuación: . Unidad 4 35 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

36. Sus elementos son: Excentricidad , centro c (h, k), vértices V (h+a, k), V (h-a, k) (puntos del eje mayor). Focos F (h+c, k), F (h-c, k) Extremos (puntos del eje menor) E (h, k+b), E (h, k-b), lado recto Rectas directrices x= , o bien, x= Si el eje mayor es paralelo al eje y, su ecuación será: . Unidad 4 36 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

37. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 37 Fig. 4.15

38. Sus elementos serán: Excentricidad , centro C (h, k ); vértices V (h, k +a), V (h, k -a); Focos F (h, k+c), F (h, k – c) Extremos E (h+b, k), E (h-b, k); lado recto Rectas directrices , o bien , Unidad 4 38 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

39. Ecuación general de la elipse. Considera la ecuación: F = 8 Para que la ecuación anterior corresponda a una elipse de ejes paralelos a las coordenados (x, y) es condición necesaria para que el producto X y=0 Entonces la ecuación general de esta elipse es: A x + C y + D x + E y +F = 0 Los coeficientes A y C deben ser diferentes y de signo positivo. En el caso de que A = C, Se tiene una circunferencia. También puedes identificar una elipse con el discriminante, recuerda si se trata de una elipse. De la Ecuación Ax + C y + D x + Ey + F =0, se tienen tres diferentes casos si en la expresión anterior se completan cuadrados. . Unidad 4 39 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

40. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 40 En esta ultima ecuación, el valor del segundo miembro determina el lugar geométrico que representa. F>0, el lugar geométrico que representa es una elipse. F=0, se tendrá un punto. F<0, no representa el lugar geométrico llamado elipse.

41. Problema 4.4 Determinar las coordenadas de los focos, de los vértices, la longitud de lado recto y la excentricidad de la elipse Se divide la ecuación entre 100 Simplificando obtenemos la ecuación de la elipse con centro en el origen: Como el denominador mayor corresponde a: x, podemos concluir que el eje mayor de la elipse coincide con el eje x. Por tanto de aquí puedes calcular el valor de: A= B= Calcula el valor de c= Escribe cuanto vale las coordenadas de los focos: F ( ) F` ( ) Escribe a continuación las coordenadas de los vértices: Calcula cuanto vale la excentricidad: Calcula cada uno de los lados rectos: Grafica correspondiente de la elipse Unidad 4 41 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

42. Comprueba en la gráfica que los datos que obtuviste son correctos, escribe una conclusión en tu cuaderno borrador de la solución del problema. Unidad 4 42 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

43. Problema 4.5 Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor y las coordenadas de sus vértices, si tiene sus focos en F(5,3) y F`(5,-1) Y su excentricidad es ¼ Ilustra en una gráfica los datos del problema Es importante que tengas presenta que, para encontrar la ecuación de la elipse necesitas conocer los parámetros a y b. Como los focos tienen la misma abscisa, esto significa que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje y, por tanto, la ecuación es de la forma: Unidad 4 43 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

44. El centro de la elipse es el punto medio entre la longitud de los focos es decir, el punto (5,1), como el parámetro c es la distancia del centro de la elipse a uno de sus focos, se deduce que c=2, porque hay dos unidades de medida del centro a uno de sus focos, ilustra estos datos en el plano Fig. 4.18. . Unidad 4 44 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

45. La excentricidad de la elipse es : e=c/a=1/4 2/a =1/4 Entonces el valor del parámetro a es: Para encontrar el valor de b utilizamos la relación donde Debes llegar a la ecuación de la elipse: Expresa la ecuación en su forma general y a partir de la ecuación con el método de completar cuadrados encuentra el centro y los parámetros (a, b, c), realiza las operaciones en tu cuaderno. La longitud del eje mayor es 2ª= La longitud del eje menor es 2b= Las coordenadas de los vértices son (5, 1 8) Especifica cuales son las coordenadas de V( ) y de V`( ) Unidad 4 45 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

46. Realiza una gráfica considerando todas las partes fundamentales de la elipse que calculaste. Unidad 4 46 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

47. Problema 4.6 Los vértices de una elipse son los puntos V(1,1) y V`(7,1) y su excentricidad es 1/3. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y menor y la longitud de cada lado recto, así como su gráfica. Escribe en tu cuaderno borrador cuales son tus datos: Escribe cuales son las incógnitas: Comprueba que la solución de tu problema es correcta: escribe una conclusión en tu cuaderno borrador:__________________ Unidad 4 47 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

48. Problema 4.7 La ecuación de una elipse es: Reducirla a la formula ordinaria y hallar las coordenadas del centro , de los vértices y de los focos. Determinar las longitudes del eje mayor, del eje menos y de cada lado recto , así como la excentricidad. Solución: Utilizaremos el método de completar cuadrados: . Unidad 4 48 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

49. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 49

50. Entonces el centro es: C(-3,2) Ya puedes encontrar el valor de las incógnitas que te pide el problema. Localiza estos parámetros en la grafica. Verifica que el problema este bien resuelto en la grafica. Escribe una conclusión de la solución del problema:_____________ Unidad 4 50 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

51. Problema 4.8 La ecuación de una elipse es: Reducir esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos, calcular la longitud del eje mayor, del eje menor, de cada lado recto y la excentricidad. Ilustra el problema con una gráfica (Fig. 4.22) Escribe cuales son tus datos en tu cuaderno:____ Escribe cuales son las incógnitas:__________ verifica que la solución del problema sea correcta en tu cuaderno y escribe una conclusión del problema. Unidad 4 51 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

52. RECTA TANGENTE A UNA ELIPSE Teorema: Sea una elipse, cuyo centro se localiza en el origen, de la forma: La recta tangente a esa elipse en el punto P (x, y), esta definida por: Problema 4.9 Encontrar la ecuación L de la tangente a la elipse , en el punto p Transformando la ecuación de la elipse Teniendo como datos de la elipse los siguientes parámetros Teniendo como datos del punto, los siguientes parámetros. Unidad 4 52 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

53. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 53 Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación Obtenemos por ecuación de la recta tangente, a la elipse en el punto P(1, 2 3) a la siguiente expresión: Se obtiene la gráfica de la elipse, la recta tangente y el punto P

54. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 54 Fig. 4.23

55. PROBLEMAS 1.-hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor, las coordenadas de sus vértices, si tiene sus focos en F(5,3) y F(5,-1) y su excentricidad es ¼. 2.-La ecuación de una elipse es : Reducirla a la forma ordinaria y hallar las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos. Determinar las longitudes del eje mayor y del eje menor y de cada lado recto, así como la excentricidad, construye una gráfica y corrobora tus resultados. 3.-Hallar la Ecuación de una elipse que tiene un vértice en V(0,6) y sus focos F(0,4) y f`(0,-4) 4.-Determinar las coordenadas de los focos, de los vértices, la longitud del lado recto y la excentricidad de la elipse 5.-Encuentra la ecuación de la tangente a la elipse en el punto , la ecuación de la elipse Sol. Unidad 4 55 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

56. EVALUACION Problema 1: una elipse tiene sus vértices en V(0,6), V`(0,-6) y su excentricidad es ½. Hallar las coordenadas de sus focos. Las longitudes de sus ejes mayor y menor, la longitud de su lado recto y la ecuación de la elipse. Ilustra los datos con una gráfica. Problema 2: dada la ecuación de la elipse: Hallar su centro, semiejes, vértices y focos. Construye una gráfica que ilustre una solución del problema. 3.-Encuentra la ecuación de la tangente a la elipse En el punto Sol. Unidad 4 56 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

57. Problemas de aplicación resueltos Problema 4.10 Un arco de chimenea de 80m de ancho mayor (eje mayor), tiene forma de semielipse. Sabiendo que su ancho menor es de 30m (eje menor), encuentra el ancho menor en un punto situado a 15m del eje y, medidos de forma horizontal del centro, así como los focos de la elipse Unidad 4 57 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

58. Los datos del problema son: A=40 B=30 Las incógnitas son: P(15,y) así como las coordenadas de los focos. Solución: Consideremos la ecuación de la elipse con el centro en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, sustituyamos los datos que conocemos en la ecuación, posteriormente despejemos para encontrar la ordenada del punto. Sustituyendo Despejando Unidad 4 58 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

59. Por lo tanto, las coordenadas del punto P son P (15, 27.8) El ancho menor es de 27.8m Para calcular los focos usaremos la expresión: Despejando, tenemos el valor de c: Por lo tanto los focos se encuentran en las coordenadas: F(26.458,0) F`8-26.458,0) Conclusión: Podemos decir que la altura del arco de la chimenea situada a 15m. Del centro con respecto al eje y es de 27.8m. Y las coordenadas de los focos de la elipse que se forma son: F(26.458,0) F`8-26.458,0) Unidad 4 59 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

60. Problema 4.11 La órbita de la tierra, tiene forma elíptica, con un semieje mayor de 92.956x10 millas, y una excentricidad de e=0.017, estando el sol en uno de los focos de la elipse: Hallar la ecuación de la trayectoria de la tierra, y las coordenadas del sol, si consideramos que el origen del sistema de coordenadas esta al centro de la elipse. Datos: a=92.956x10; semieje mayor e=0.017; excentricidad Unidad 4 60 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

61. Incógnitas: la ecuación de la trayectoria de la tierra, las coordenadas del sol Usaremos la expresión: Por la relación , conocemos el semieje menor . Unidad 4 61 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

62. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 62 Con los datos, podemos construir la ecuación de la elipse, cuya forma cuando tiene el centro en el origen es: Sustituyendo: Finalmente, la coordenada del sol, con respecta nuestro sistema coordenado y al dibujo es la misma del foco izquierdo F`(-1.580269x10, 0)

63. PROBLEMAS DE APLICACIÓN QUE SE DEBEN RESOLVER EN EQUIPOS Hallar una ecuación de la elipse con vértices (5,0) y con excentricidad e=3/5. Halla una ecuación de la elipse con vértices (0, 8) y excentricidad e=1/2. Orbita de la tierra. La tierra se mueve en orbita elíptica con el sol en uno de sus focos. La longitud de la mitad del eje mayor es de 92.957x10 millas y la excentricidad es de 0.017. Halla la distancia más corta y la más larga de la tierra al sol. . Unidad 4 63 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

64. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 64 4. Orbita de Plutón. Plutón se mueve en órbita elíptica con el sol en uno de sus focos. La longitud de la mitad del eje mayor es de 3.3666x10 millas y la excentricidad es de 0.248 Halla la distancia más corta y la más larga de Plutón al sol. 5. Orbita de Saturno. Saturno se mueve en órbita elíptica con el sol en uno de sus focos. La distancia más corta y la más larga desde este planeta al sol es de 1.3495 y de , respectivamente. Halla la excentricidad de la órbita.

65. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 65 6. Orbita de satélite. El primer satélite artificial en orbitar la Tierra fue el Sputnik I (Lanzado por la Unión Soviética en 1957) su punto más alto sobre la superficie de la tierra fue de 132 millas. Supongamos que el centro de la tierra es el foco de la órbita elíptica y que el radio de la tierra es de 4000 millas. Hallan la excentricidad de la órbita. .

66. Unidad 4 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 66 7. Arco de Chimenea El arco de una chimenea ha de construirse en forma de semielipse. La abertura debe tener una altura de dos pies en el centro y una anchura de cinco pies a lo largo de la base (véase figura). El contratista dibuja el perfil de la elipse siguiendo el método que se muestra en la figura. ¿Dónde deben ponerse las tachuelas y cuál debe ser su longitud de la cuerda? .

67. LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÈTRICO Aprendizajes. Al finalizar la unidad, el alumno: -Reconocerá a la circunferencia como el lugar geométrico de mayor frecuencia en su entorno. -Obtendrá el lugar geométrico de la circunferencia como caso limite de la elipse. -Identificará los elementos que determinan una circunferencia. -Obtendrá la ecuación ordinaria de la circunferencia como lugar geométrico. Unidad 4 67 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

68. Temática. Estudio de la circunferencia. La circunferencia como lugar geométrico: Definición geomêtrica de la circunferencia. Elementos que definen a la circunferencia. Ecuación de la circunferencia. Ecuación ordinaria con centro en el origen y fuera del origen. Ecuaciôn general. Unidad 4 68 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

69. LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÈTRICO Supongamos que tienes un cordel de 10cm. Si un extremo lo fijas con una tachuela en una superficie plana y el otro extremo lo giras. ¿Que figura se forma?:___________________________________ La tachuela es el ______ de la circunferencia y el cordel es el ______ Consideremos un punto p( x, y) de la circunferencia de centro c (h, k) y radio r, como se ilustra en la siguiente figura. . Unidad 4 69 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

70. La distancia constante CP es el radio r que cumple con la siguiente condición: CP=r Aplicaremos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo CPQ, y escribimos la igualdad que se obtiene: Escribe a continuación las distancias en función de las proyecciones en el eje de las^”x” y en el eje de las “y”, __________ __________ Unidad 4 70 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

71. Substituyendo estos valores en la Ecuación (1) Ecuación ordinaria de una Circunferencia Cuando el centro de una circunferencia es el origen , la Ecuación de la circunferencia se expresa así: Su gráfica es: Unidad 4 71 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

72. Considerando la ecuación ordinaria fuera del origen, desarrollamos los términos y los ordenamos. Llegamos a la siguiente expresión: La cual, se puede expresar de la siguiente forma: En la que D = -2h, E = -2k Unidad 4 72 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

73. A esta expresión, se le conoce como la Ecuaciôn general de la circunferencia, recuerda que el tema anterior de la elipse, vimos que la elipse puede llegar a ser una circunferencia, cuando el eje mayor y el eje menor tienen la misma medida y los dos focos coinciden, es decir cuando el parámetro c de la elipse vale cero y la excentricidad también vale cero. Ver la figura 4.30. a = 3 Fig. 4.31 a = 3 b = 2 b = 3 Elipse Circunferencia Unidad 4 73 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

74. Definición de la circunferencia: Es el lugar geométrico del plano descrito por un punto que se mueve a una distancia constante de un punto fijo. Problema 4.12 Juan se encuentra en un punto de coordenadas cartesianas P(11, 12) y camina en línea recta con un ángulo de 45º respecto a la zona positiva del eje (x) hacia un estanque de forma circular, con un diámetro de 10 metros. Si se considera el origen del sistema de coordenadas el centro del estanque, calcula: las condiciones del punto donde Juan llegara a la orilla del estanque y la distancia que debe recorrer para llegar a ese punto. Fig. 4.32 Unidad 4 74 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

75. Calcula la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(11, 12) y tiene un ángulo de inclinación de Debes llegar a la ecuación Calcula la ecuación de la circunferencia con C(0,0) y r=5 Resuelve el sistema Factorizando: (x+4)(x-3) = 0 Entonces Sustituyendo en 2.Encontramos la orilla del estanque que es el punto P1 (3, 4).Encuentra la distancia desde donde está Juan a este punto de la orilla del estanque Unidad 4 75 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

76. Problema 4.13 Hallar la ecuación de una circunferencia que tiene de diámetro el segmento cuyos extremos son los puntos: A (-3,-2) y B (4, 5). Realiza los cálculos en tu cuaderno. Realizaremos una gráfica para identificar cuales son sus datos y cuales son las incógnitas Fig. 4.33 Recuerda que necesitas conocer el centro y el radio para poder aplicar la fórmula: Unidad 4 76 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

77. Desarrollando los binomios y simplificando se llega a la ecuación, realiza las operaciones en tu cuaderno para encontrar la solución del problema. Debes llegar a la siguiente ecuación: Realizaremos el proceso inverso, a partir de la ecuación encontraremos el centro y el radio con el método de completar cuadrados: Unidad 4 77 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

79. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son los puntos A(0,0), B (3,6), C(7,0) Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto c (-4,-1) y que es tangente a la recta Unidad 4 79 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

80. Problema 4.14 Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia Construye una grafica que ilustre el problema. Asociando términos semejantes, aplicaremos el método de completar cuadrados. Completa los términos Apropiados para completar cuadrados: Factorizando Construyamos una grafica que ilustre el problema: Fig. 4. 35 Unidad 4 80 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

82. Tangente a una circunferenciaTeorema Sea una circunferencia expresada en la forma con centro en las coordenadas y radio r. Sea un punto p , sobre el lugar geométrico de la circunferencia. La recta tangente L a la circunferencia por el punto P esta definida por la siguiente expresión. (A)……. Caso especial: Si el centro de la circunferencia, está ubicado en el origen, la ecuación de la circunferencia será de la siguiente forma Y la ecuación de la recta tangente en el punto . perteneciente a una circunferencia con centro en el origen, estará definida por: Unidad 4 82 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

83. Problema 4.15 Tenemos una circunferencia con centro en C (, -2), y un radio , encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto P(8, 0). Solución Obtenemos los parámetros de la ecuación de la circunferencia y su ecuación; h = 4 k= -2 Por lo que nuestra ecuación de circunferencia es: Los datos del punto P son los siguientes: Unidad 4 83 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

84. Teniendo los datos completos, sustituyamos en la ecuación A. Resultando como ecuación tangente, la siguiente expresión: La gráfica de la circunferencia y su tangente en el punto P, se presenta a continuación Unidad 4 84 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

85. Problema 4.16 Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son: A(-1,1), B(3,5) y C(5,-3). Escribe en tu cuaderno borrador cuales son tus datos: Escribe cuales son tus incógnitas: Unidad 4 85 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

86. .) Recuerda la propiedad: “ Las mediatrices de dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en centro de esta”. .)Encuentra la ecuación de la mediatríz L1 respecto al lado AB Debes llegar a la ecuación: x + y = 4 L1 .)Encuentra la ecuación de la mediatríz L2 respecto al lado BC Debes llegar a la ecuación: x -4y = 0 L2 Resuelve el sistema de ecuaciones X + y -4 = 0 ……………………. L1 X – 4y = 0 ………………………. L2 Unidad 4 86 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

87. El circuncentro es: C (16/5, 4/5 ) Calculo de la ecuación de la circunferencia C (16/5, 4/5) Calculo del radio A (-1, 1) C (16/5, 4/5) Calculando la ecuación circunscrita Realiza la grafica de la circunferencia que encontraste Unidad 4 87 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

88. Resuelve los siguientes problemas. Reducir las siguientes ecuaciones a la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Si la ecuación representa una circunferencia, hallase su centro y su radio. Unidad 4 88 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

89. Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita en el triangulo determinado por los puntos A(2,-2), B(-1,4) y C(4,6). Expresa la ecuación en su forma ordinaria y en su forma en general; construye una grafica con la regla y el compás, que te ilustre el problema. Recuerda la propiedad “Las mediatrices de dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en centro de esta”. Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto P(0, -3) y el circulo . Unidad 4 89 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

90. EVALUACION Resuelve los siguientes problemas: Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas: 3x – 2y – 24 = 0, 2x – 7y + 9 = 0 Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados a(3,0), b(4,2) y C(0, 1). Aplica la propiedad “Las mediatrices de dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en centro de esta”. Construye una gráfica con la regla y el compás que te ilustre el problema Unidad 4 90 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas

91. Determina si la siguiente ecuación representa una circunferencia, un punto o no tiene representación real. Si es una circunferencia. Construye su grafica. 4. Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto P(3,3) del circulo con centro C(-1,1) y radio Unidad 4 91 Elipse, circunferencia y sus ecuaciones cartesianas