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Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos
1
PRINCIPAIS CONCEITOS, REGRAS E FÓRMULAS DO
LIVRO RACIOCÍNIO LÓGICO SIMPLIFICADO (VOLUME 1)
PROPOSIÇÃO
 Proposição é uma sentença declarativa a qual se pode atribuir um valor lógico: verdadeiro
(V) ou falso (F).
 Não são proposições: sentenças exclamativas, sentenças interrogativas, sentenças
imperativas, sentenças sem verbo, sentenças abertas e sentenças paradoxais.
 Proposição Simples não pode ser subdividida em partes menores tais que algumas delas
seja uma nova proposição.
 Proposição composta é formada por duas ou mais proposições simples interligadas pelos
conectivos.
CONECTIVOS LÓGICOS
E ()
OU ()
Ou exclusivo ()
Se... então ()
se e somente se ()
 Tabela-Verdade dos Conectivos Lógicos:
p q p e q p ou q p  q p  q p ↔ q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
Quadro dos conectivos com as condições em que o valor lógico é verdade e em que
é falso:
Estrutura
lógica
É verdade quando É falso quando
p  q p e q são, ambos, verdade um dos dois for falso, ou ambos
p  q um dos dois for verdade, ou ambos p e q, ambos, são falsos
p  q p e q tiverem valores lógicos diferentes p e q tiverem valores lógicos iguais
p  q nos demais casos p é verdade e q é falso
p  q p e q tiverem valores lógicos iguais
p e q tiverem valores lógicos
diferentes
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2
 Formas equivalentes da condicional p  q :
1) Se p, q. 5) p implica q.
2) q, se p. 6) p é condição suficiente para q.
3) Quando p, q. 7) q é condição necessária para p.
4) Todo p é q. 8) p somente se q.
 A Bicondicional é uma conjunção de duas condicionais: p  q = (p  q) e (q  p)
 Formas equivalentes da Bicondicional p  q :
1) p se e só se q.
2) Se p então q e se q então p.
3) p somente se q e q somente se p.
4) Todo p é q e todo q é p.
5) p é condição suficiente e necessária para q.
6) q é condição suficiente e necessária para p.
 Modificador NÃO:
O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira () ou um sinal de til
(~). Indicando uma proposição por p, sua negação será representada por ~p, que se lê: não
p.
A negação da proposição “Lógica é fácil” pode ser enunciada de diversas formas,
como:
 Lógica não é fácil;
 Não é verdade que Lógica é fácil;
 É falso que Lógica é fácil.
A tabela-verdade da negação:
p ~p
V F
F V
 Negação dos principais símbolos matemáticos:
 Negação de x>y é x≤y;
 Negação de x<y é x≥y;
 Negação de x≥y é x<y;
 Negação de x=y é x≠y, ou ainda: (x<y ou x>y);
 Negação de x≠y é x=y.
 Ordem de precedência dos conectivos:
Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só
depois, passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, obedeceremos sempre à
seguinte ordem:
1º) Faremos as negações (~);
2º) Faremos as conjunções (E)
3º) Faremos as disjunções (OU);
4º) Faremos a condicional (SE...ENTÃO...);
5º) Faremos a bicondicional (...SE E SOMENTE SE...).
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3

Nº de Linhas da Tabela-Verdade de uma proposição composta = 2 Nº de prop. simples
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA PODE SER CLASSIFICADA COMO:
1) Tautologia: é uma proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos
valores lógicos das proposições simples que a compõem.
2) Contradição: é uma proposição que é sempre falsa, independentemente dos valores
lógicos das proposições simples que a compõem.
3) Contigência: é a proposição que não é tautologia nem contradição. Este tipo de
proposição assume valores F e V.
EQUIVALÊNCIAS
 Equivalências da Condicional:
1) p  q = ~q  ~p
2) p  q = ~p ou q
3) p ou q = ~p  q
 Equivalência entre NENHUM e TODO:
1) Nenhum A não é B = Todo A é B
2) Todo A não é B = Nenhum A é B
 Lei da dupla negação:
Ao negar duas vezes seguidas, acaba-se desfazendo a negação: ~(~p) = p.
 Leis comutativas:
1) p e q = q e p
2) p ou q = q ou p
3) p  q = q  p
 Leis associativas:
1) (p e q) e r = p e (q e r)
2) (p ou q) ou r = p ou (q ou r)
 Leis distributivas:
1) p e (q ou s) = (p e q) ou (p e s)
2) p ou (q e s) = (p ou q) e (p ou s)
Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q) = ~p ou ~q (1ª Lei de De Morgan)
Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q) = ~p e ~q (2ª Lei de De Morgan)
Negação da condicional: ~(pq) = p e ~q
Negação da bicondicional: 1ª forma) ~(pq) = ~(pq e qp) = (p e ~q) ou (q e ~p)
2ª forma) ~(pq) = p v q
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4
REGRAS DE SIMPLIFICAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA:
1) p ou p = p (Lei idempotente)
2) p e p = p (Lei idempotente)
3) p ou ~p = V (tautologia!)
4) p e ~p = F (contradição!)
5) p ou V = V (na disjunção, o V é quem manda!)
6) p ou F = p (na disjunção, o F é elemento neutro!)
7) p e V = p (na conjunção, o V é elemento neutro!)
8) p e F = F (na conjunção, o F é quem manda!)
9) p  p = V (tautologia!)
10) p  ~p = F (contradição!)
11) p ou (p e q) = p (Lei de Absorção)
12) p e (p ou q) = p (Lei de Absorção)
A condicional pode ser transformada numa disjunção (pq = ~p ou q), a partir daí pode-
se tentar usar uma das regras acima.
NEGAÇÃO DOS TERMOS TODO, NENHUM E ALGUM
Proposição Negação da proposição
Algum Nenhum
Nenhum Algum
Todo Algum... não
Algum... não Todo
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A.
Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.
Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A.
Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B.
Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A.
Representação das Proposições Categóricas
1. Representação gráfica de “Todo A é B”
Lembremos que Todo A é B significa em termos de conjunto que todo elemento de
A também é elemento de B, ou seja, A está contido em B. Portanto, teremos duas
representações possíveis:
O conjunto A dentro do conjunto B O conjunto A é igual ao conjunto B
Em ambas as representações acima, observe que A está contido em B; daí, as duas
representações são válidas para a proposição “Todo A é B”.
A
B
A = B
a b
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5
 Quando “Todo A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições
categóricas serão os seguintes:
Nenhum A é B é necessariamente falsa (pois é falsa nas duas representações).
Algum A é B é necessariamente verdadeira (pois é verdadeira nas duas
representações).
Algum A não é B é necessariamente falsa (pois é falsa nas duas representações).
2. Representação gráfica de “Nenhum A é B”
Lembremos que Nenhum A é B significa em termos de conjunto que A e B não têm
elementos em comum. Portanto, haverá somente uma representação:
Não há intersecção entre A e B
 Quando “Nenhum A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições
categóricas serão os seguintes:
Todo A é B é necessariamente falsa (pois é falsa no desenho acima).
Algum A é B é necessariamente falsa (pois é falsa no desenho acima).
Algum A não é B é necessariamente verdadeira (pois é verdadeira no desenho
acima).
3. Representação gráfica de “Algum A é B”
Lembremos que Algum A é B significa em termos de conjunto que o conjunto A
tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B, ou seja, há intersecção
entre os círculos A e B. Portanto, teremos quatro representações possíveis:
A B
A
B
B
A
A
B
A = B
a
b Todos os elementos de A estão em B.
c Todos os elementos de B estão em A. d O conjunto A é igual ao conjunto B
a Os dois conjuntos possuem uma parte
dos elementos em comum.
Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos
6
Em todas as quatro representações acima, observe que os círculos A e B possuem
intersecção; daí, todas as quatro representações são válidas para a proposição “Algum A é
B”.
 Quando “Algum A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições
categóricas serão os seguintes:
Nenhum A é B é necessariamente falsa (pois é falsa nas quatro representações).
Todo A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em b e d) e pode ser
falsa (em a e c).
Algum A não é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em a e c) e pode ser
falsa (em b e d).
4. Representação gráfica de “Algum A não é B“
Lembremos que Algum A não é B significa em termos de conjunto que o conjunto
A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Isso pode ser obtido
em até três representações possíveis:
Em todas as três representações acima observe que o conjunto A tem pelo menos
um elemento que não pertence ao conjunto B; daí, todas as três representações são
válidas para a proposição “Algum A não é B”.
 Quando “Algum A não é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições
categóricas serão os seguintes:
Todo A é B é necessariamente falsa (pois é falsa nas três representações).
Nenhum A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em c) e pode ser falsa
(em a e b).
Algum A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em a e b) e pode ser
falsa (em c).
A
B A B
A
B
a Os dois conjuntos possuem uma parte
dos elementos em comum.
b Todos os elementos de B estão em A.
c Não há elementos em comum entre os dois conjuntos.
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7
ARGUMENTO
Trata-se o argumento de uma construção lógica, formada por proposições iniciais
(chamadas de premissas), que redundam em uma conclusão.
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído),
quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de
premissas.
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal
construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente
para garantir a verdade da conclusão.
TABELA COMPARATIVA DOS MÉTODOS DE VERIFICAÇÃO DA VALIDADE DE UM
ARGUMENTO
Se aplicarmos dois métodos diferentes num mesmo argumento, eles certamente
conduzirão a um mesmo resultado. Contudo, muitas vezes haverá um método mais adequado
para testar a validade de um determinado argumento.
Na seqüência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar
mão de um ou de outro, em cada caso.
Deve ser usado quando... O argumento é válido
quando...
1º Método
Diagramas
Lógicos
pudermos representar as premissas por meio de
diagramas lógicos.
verificarmos que a
conclusão é uma
conseqüência
obrigatória das
premissas, ou seja, a
conclusão é
necessariamente
verdade.
2º Método
Premissas
Verdadeiras
houver uma premissa
que seja uma proposição simples ou
que esteja na forma de uma conjunção.
o valor encontrado para
a conclusão é
necessariamente
verdade.
3º Método
Tabela-
Verdade
em qualquer caso, mas preferencialmente
quando o argumento tiver no máximo três
proposições simples.
em todas as linhas da
tabela em que os
valores lógicos das
premissas têm valor V,
os valores lógicos da
coluna da conclusão
forem também V.
4º Método
Conclusão
Falsa
for inviável a aplicação dos métodos anteriores.
Também é necessário que a conclusão seja uma
proposição simples ou
uma disjunção ou uma condicional.
não for possível a
existência simultânea
de conclusão falsa e
premissas
verdadeiras.
Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos
8
IMPLICAÇÕES LÓGICAS
A maneira de resolver a questão dependerá da estrutura lógica das premissas, assim,
dividiremos as questões de implicações lógicas em dois tipos:
1º) Implicações Lógicas do tipo 1: quando houver, nas premissas trazidas no
enunciado da questão, uma proposição simples ou uma conjunção. Assim, teremos
uma sentença apropriada para ser o ponto de partida da resolução. E por que isso? Porque
tais tipos de sentença só têm uma forma de ser verdadeira!
2º) Implicações Lógicas do tipo 2: simplesmente, aquelas que não são do tipo 1, ou seja,
que não aparece, entre as premissas, uma proposição simples ou uma conjunção.
RESOLUÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA DO TIPO 1:
Esse tipo de implicação lógica será resolvido facilmente através do segundo método
(Premissas Verdadeiras) de verificação da validade do argumento.
Baseando-se no segundo método do Argumento, realizaremos os seguintes passos:
1º passo: considerar as premissas verdadeiras, e com o conhecimento das tabelas-verdade
dos conectivos, descobrir os valores lógicos das proposições simples presentes
nas premissas.
2º passo: Substituir os valores lógicos das proposições simples, encontrados no passo
anterior, em cada uma das opções de resposta. Aquela que for necessariamente
verdadeira é a opção correta da questão.
RESOLUÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA DO TIPO 2:
 Quando as opções de resposta forem proposições que não são condicionais,
disjunção ou bicondicional, resolva da seguinte forma:
Nas soluções das questões de Implicação Lógica feitas anteriormente, o 1º passo
consistia em somente considerar as premissas como verdadeiras. Acrescentaremos a este
1º passo, os seguintes procedimentos:
 Atribuiremos um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples.
 Finalmente, substituiremos este valor lógico (escolhido acima) nas premissas e
verificaremos, mediante a aplicação das tabelas-verdade dos conectivos, se está
correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados
obtidos.
 Quando pelo menos uma das opções de resposta trouxer uma proposição que é
condicional, disjunção ou bicondicional, resolva através dos métodos:
 Método da Tabela-Verdade. Usar de preferência se houver apenas duas proposições
simples no conjunto das premissas. (Nº de linhas da tabela-verdade do argumento =
2Nº de proposições simples
)
 Método do Encadeamento Lógico. (Deve-se transformar as premissas em condicionais
e depois montar o dominó).
 Método da Conclusão Falsa (Atribuir o valor lógico falso a uma das opções de
resposta, e fazer as premissas verdadeiras. Sendo possível essa situação, então a
alternativa testada não é resposta).
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9
CONJUNTOS
1) Relações de Pertinência
Relacionam elemento com conjunto. E a indicação de que o elemento pertence ou não
pertence a um conjunto é feita pelos símbolos:  (pertence) e  (não pertence).
2) Relações de Inclusão
Relacionam um conjunto com outro conjunto. Temos a seguinte simbologia de
inclusão:  (está contido),  (não está contido),  (contém) e (não contém).
3) Conjunto das Partes de um Conjunto
O número de partes (subconjuntos) de um conjunto A é dado por 2n
, em que n é o
número de elementos de A.
5) Operações com Conjuntos
Considerando os conjuntos A, B e o conjunto-universo U, daremos a definição de cada
operação com conjuntos:
a) União ()
A união entre dois conjuntos, AB, é o conjunto formado pela reunião dos elementos
de A e de B. Simbolicamente: AB = {x | xA ou xB}.
b) Interseção ()
A intersecção entre dois conjuntos, AB, é o conjunto formado pelos elementos que
são comuns aos dois conjuntos. Simbolicamente: AB = {x | xA e xB}.
c) Diferença (–)
A diferença entre dois conjuntos, B–A, é o conjunto formado pelos elementos de B
que não pertencem a A. Simbolicamente: B–A = {x | xB e xA}.
d) Complementar ( )
O complementar do conjunto A, simbolizado por , é o conjunto formado pelos
elementos do conjunto universo (U) que não pertencem a A. Simbolicamente: ={xU|xA}.

A B
U
Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos
10
e) Diferença simétrica entre dois conjuntos ()
A diferença simétrica entre dois conjuntos é definida por: AB = (AB)–(AB).
f) Fórmula da União
Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos da união, da intersecção e
dos conjuntos individuais. A fórmula é dada por:
 n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)
Se forem três conjuntos a fórmula será:
 n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)–n(AB)–n(AC)–n(BC)+n(ABC)
QUANTIFICADORES
O Quantificador Universal
O quantificador universal é indicado pelo símbolo  que se lê: para todo, para cada,
qualquer que seja.
O Quantificador Existencial
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo  que se lê: existe pelo menos
um, existe um, existe, para algum.
Há outro quantificador que deriva do quantificador existencial, ele é chamado de
quantificador existencial de unicidade, simbolizado por | que se lê: existe um único,
existe um e um só.
Negação do Quantificador Universal
 A negação de (x)(P(x)) é a sentença (x)(¬P(x)). Onde P(x) representa a
sentença aberta.
Negação do Quantificador Existencial
 A negação de (x)(P(x)) é a sentença (x)(¬P(x)). Onde P(x) representa a
sentença aberta.
Também é possível fazer a negação do quantificador existencial de outra forma: a
negação de Existe pode ser Não existe, que simbolizamos por ~. Por esta forma de negar
o quantificador existencial, não é preciso negar a sentença aberta. Exemplos:
A
U
Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos
11
1) proposição: (x)(x  R)(x2
 x)
negação: (~x)(x  R)(x2
 x)
2) proposição: (x)(x  Q)(1/x é um número natural)
negação: (~x)(x  Q)(1/x é um número natural)
Representação Simbólica das Proposições Categóricas
Proposição
Categórica
Representação Simbólica
Todo A é B (x)(A(x)  B(x))
Algum A é B (x)(A(x) e B(x))
Nenhum A é B (~x)(A(x) e B(x))
Algum A não é B (x)(A(x) e ~B(x))

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Raciocinio logico simplificado_principai

  • 1. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 1 PRINCIPAIS CONCEITOS, REGRAS E FÓRMULAS DO LIVRO RACIOCÍNIO LÓGICO SIMPLIFICADO (VOLUME 1) PROPOSIÇÃO  Proposição é uma sentença declarativa a qual se pode atribuir um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F).  Não são proposições: sentenças exclamativas, sentenças interrogativas, sentenças imperativas, sentenças sem verbo, sentenças abertas e sentenças paradoxais.  Proposição Simples não pode ser subdividida em partes menores tais que algumas delas seja uma nova proposição.  Proposição composta é formada por duas ou mais proposições simples interligadas pelos conectivos. CONECTIVOS LÓGICOS E () OU () Ou exclusivo () Se... então () se e somente se ()  Tabela-Verdade dos Conectivos Lógicos: p q p e q p ou q p  q p  q p ↔ q V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V Quadro dos conectivos com as condições em que o valor lógico é verdade e em que é falso: Estrutura lógica É verdade quando É falso quando p  q p e q são, ambos, verdade um dos dois for falso, ou ambos p  q um dos dois for verdade, ou ambos p e q, ambos, são falsos p  q p e q tiverem valores lógicos diferentes p e q tiverem valores lógicos iguais p  q nos demais casos p é verdade e q é falso p  q p e q tiverem valores lógicos iguais p e q tiverem valores lógicos diferentes
  • 2. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 2  Formas equivalentes da condicional p  q : 1) Se p, q. 5) p implica q. 2) q, se p. 6) p é condição suficiente para q. 3) Quando p, q. 7) q é condição necessária para p. 4) Todo p é q. 8) p somente se q.  A Bicondicional é uma conjunção de duas condicionais: p  q = (p  q) e (q  p)  Formas equivalentes da Bicondicional p  q : 1) p se e só se q. 2) Se p então q e se q então p. 3) p somente se q e q somente se p. 4) Todo p é q e todo q é p. 5) p é condição suficiente e necessária para q. 6) q é condição suficiente e necessária para p.  Modificador NÃO: O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira () ou um sinal de til (~). Indicando uma proposição por p, sua negação será representada por ~p, que se lê: não p. A negação da proposição “Lógica é fácil” pode ser enunciada de diversas formas, como:  Lógica não é fácil;  Não é verdade que Lógica é fácil;  É falso que Lógica é fácil. A tabela-verdade da negação: p ~p V F F V  Negação dos principais símbolos matemáticos:  Negação de x>y é x≤y;  Negação de x<y é x≥y;  Negação de x≥y é x<y;  Negação de x=y é x≠y, ou ainda: (x<y ou x>y);  Negação de x≠y é x=y.  Ordem de precedência dos conectivos: Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois, passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, obedeceremos sempre à seguinte ordem: 1º) Faremos as negações (~); 2º) Faremos as conjunções (E) 3º) Faremos as disjunções (OU); 4º) Faremos a condicional (SE...ENTÃO...); 5º) Faremos a bicondicional (...SE E SOMENTE SE...).
  • 3. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 3  Nº de Linhas da Tabela-Verdade de uma proposição composta = 2 Nº de prop. simples UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA PODE SER CLASSIFICADA COMO: 1) Tautologia: é uma proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. 2) Contradição: é uma proposição que é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. 3) Contigência: é a proposição que não é tautologia nem contradição. Este tipo de proposição assume valores F e V. EQUIVALÊNCIAS  Equivalências da Condicional: 1) p  q = ~q  ~p 2) p  q = ~p ou q 3) p ou q = ~p  q  Equivalência entre NENHUM e TODO: 1) Nenhum A não é B = Todo A é B 2) Todo A não é B = Nenhum A é B  Lei da dupla negação: Ao negar duas vezes seguidas, acaba-se desfazendo a negação: ~(~p) = p.  Leis comutativas: 1) p e q = q e p 2) p ou q = q ou p 3) p  q = q  p  Leis associativas: 1) (p e q) e r = p e (q e r) 2) (p ou q) ou r = p ou (q ou r)  Leis distributivas: 1) p e (q ou s) = (p e q) ou (p e s) 2) p ou (q e s) = (p ou q) e (p ou s) Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q) = ~p ou ~q (1ª Lei de De Morgan) Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q) = ~p e ~q (2ª Lei de De Morgan) Negação da condicional: ~(pq) = p e ~q Negação da bicondicional: 1ª forma) ~(pq) = ~(pq e qp) = (p e ~q) ou (q e ~p) 2ª forma) ~(pq) = p v q
  • 4. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 4 REGRAS DE SIMPLIFICAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA: 1) p ou p = p (Lei idempotente) 2) p e p = p (Lei idempotente) 3) p ou ~p = V (tautologia!) 4) p e ~p = F (contradição!) 5) p ou V = V (na disjunção, o V é quem manda!) 6) p ou F = p (na disjunção, o F é elemento neutro!) 7) p e V = p (na conjunção, o V é elemento neutro!) 8) p e F = F (na conjunção, o F é quem manda!) 9) p  p = V (tautologia!) 10) p  ~p = F (contradição!) 11) p ou (p e q) = p (Lei de Absorção) 12) p e (p ou q) = p (Lei de Absorção) A condicional pode ser transformada numa disjunção (pq = ~p ou q), a partir daí pode- se tentar usar uma das regras acima. NEGAÇÃO DOS TERMOS TODO, NENHUM E ALGUM Proposição Negação da proposição Algum Nenhum Nenhum Algum Todo Algum... não Algum... não Todo PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B. Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A. Representação das Proposições Categóricas 1. Representação gráfica de “Todo A é B” Lembremos que Todo A é B significa em termos de conjunto que todo elemento de A também é elemento de B, ou seja, A está contido em B. Portanto, teremos duas representações possíveis: O conjunto A dentro do conjunto B O conjunto A é igual ao conjunto B Em ambas as representações acima, observe que A está contido em B; daí, as duas representações são válidas para a proposição “Todo A é B”. A B A = B a b
  • 5. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 5  Quando “Todo A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições categóricas serão os seguintes: Nenhum A é B é necessariamente falsa (pois é falsa nas duas representações). Algum A é B é necessariamente verdadeira (pois é verdadeira nas duas representações). Algum A não é B é necessariamente falsa (pois é falsa nas duas representações). 2. Representação gráfica de “Nenhum A é B” Lembremos que Nenhum A é B significa em termos de conjunto que A e B não têm elementos em comum. Portanto, haverá somente uma representação: Não há intersecção entre A e B  Quando “Nenhum A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições categóricas serão os seguintes: Todo A é B é necessariamente falsa (pois é falsa no desenho acima). Algum A é B é necessariamente falsa (pois é falsa no desenho acima). Algum A não é B é necessariamente verdadeira (pois é verdadeira no desenho acima). 3. Representação gráfica de “Algum A é B” Lembremos que Algum A é B significa em termos de conjunto que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B, ou seja, há intersecção entre os círculos A e B. Portanto, teremos quatro representações possíveis: A B A B B A A B A = B a b Todos os elementos de A estão em B. c Todos os elementos de B estão em A. d O conjunto A é igual ao conjunto B a Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum.
  • 6. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 6 Em todas as quatro representações acima, observe que os círculos A e B possuem intersecção; daí, todas as quatro representações são válidas para a proposição “Algum A é B”.  Quando “Algum A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições categóricas serão os seguintes: Nenhum A é B é necessariamente falsa (pois é falsa nas quatro representações). Todo A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em b e d) e pode ser falsa (em a e c). Algum A não é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em a e c) e pode ser falsa (em b e d). 4. Representação gráfica de “Algum A não é B“ Lembremos que Algum A não é B significa em termos de conjunto que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Isso pode ser obtido em até três representações possíveis: Em todas as três representações acima observe que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B; daí, todas as três representações são válidas para a proposição “Algum A não é B”.  Quando “Algum A não é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições categóricas serão os seguintes: Todo A é B é necessariamente falsa (pois é falsa nas três representações). Nenhum A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em c) e pode ser falsa (em a e b). Algum A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em a e b) e pode ser falsa (em c). A B A B A B a Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum. b Todos os elementos de B estão em A. c Não há elementos em comum entre os dois conjuntos.
  • 7. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 7 ARGUMENTO Trata-se o argumento de uma construção lógica, formada por proposições iniciais (chamadas de premissas), que redundam em uma conclusão. Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. TABELA COMPARATIVA DOS MÉTODOS DE VERIFICAÇÃO DA VALIDADE DE UM ARGUMENTO Se aplicarmos dois métodos diferentes num mesmo argumento, eles certamente conduzirão a um mesmo resultado. Contudo, muitas vezes haverá um método mais adequado para testar a validade de um determinado argumento. Na seqüência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mão de um ou de outro, em cada caso. Deve ser usado quando... O argumento é válido quando... 1º Método Diagramas Lógicos pudermos representar as premissas por meio de diagramas lógicos. verificarmos que a conclusão é uma conseqüência obrigatória das premissas, ou seja, a conclusão é necessariamente verdade. 2º Método Premissas Verdadeiras houver uma premissa que seja uma proposição simples ou que esteja na forma de uma conjunção. o valor encontrado para a conclusão é necessariamente verdade. 3º Método Tabela- Verdade em qualquer caso, mas preferencialmente quando o argumento tiver no máximo três proposições simples. em todas as linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas têm valor V, os valores lógicos da coluna da conclusão forem também V. 4º Método Conclusão Falsa for inviável a aplicação dos métodos anteriores. Também é necessário que a conclusão seja uma proposição simples ou uma disjunção ou uma condicional. não for possível a existência simultânea de conclusão falsa e premissas verdadeiras.
  • 8. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 8 IMPLICAÇÕES LÓGICAS A maneira de resolver a questão dependerá da estrutura lógica das premissas, assim, dividiremos as questões de implicações lógicas em dois tipos: 1º) Implicações Lógicas do tipo 1: quando houver, nas premissas trazidas no enunciado da questão, uma proposição simples ou uma conjunção. Assim, teremos uma sentença apropriada para ser o ponto de partida da resolução. E por que isso? Porque tais tipos de sentença só têm uma forma de ser verdadeira! 2º) Implicações Lógicas do tipo 2: simplesmente, aquelas que não são do tipo 1, ou seja, que não aparece, entre as premissas, uma proposição simples ou uma conjunção. RESOLUÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA DO TIPO 1: Esse tipo de implicação lógica será resolvido facilmente através do segundo método (Premissas Verdadeiras) de verificação da validade do argumento. Baseando-se no segundo método do Argumento, realizaremos os seguintes passos: 1º passo: considerar as premissas verdadeiras, e com o conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, descobrir os valores lógicos das proposições simples presentes nas premissas. 2º passo: Substituir os valores lógicos das proposições simples, encontrados no passo anterior, em cada uma das opções de resposta. Aquela que for necessariamente verdadeira é a opção correta da questão. RESOLUÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA DO TIPO 2:  Quando as opções de resposta forem proposições que não são condicionais, disjunção ou bicondicional, resolva da seguinte forma: Nas soluções das questões de Implicação Lógica feitas anteriormente, o 1º passo consistia em somente considerar as premissas como verdadeiras. Acrescentaremos a este 1º passo, os seguintes procedimentos:  Atribuiremos um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples.  Finalmente, substituiremos este valor lógico (escolhido acima) nas premissas e verificaremos, mediante a aplicação das tabelas-verdade dos conectivos, se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos.  Quando pelo menos uma das opções de resposta trouxer uma proposição que é condicional, disjunção ou bicondicional, resolva através dos métodos:  Método da Tabela-Verdade. Usar de preferência se houver apenas duas proposições simples no conjunto das premissas. (Nº de linhas da tabela-verdade do argumento = 2Nº de proposições simples )  Método do Encadeamento Lógico. (Deve-se transformar as premissas em condicionais e depois montar o dominó).  Método da Conclusão Falsa (Atribuir o valor lógico falso a uma das opções de resposta, e fazer as premissas verdadeiras. Sendo possível essa situação, então a alternativa testada não é resposta).
  • 9. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 9 CONJUNTOS 1) Relações de Pertinência Relacionam elemento com conjunto. E a indicação de que o elemento pertence ou não pertence a um conjunto é feita pelos símbolos:  (pertence) e  (não pertence). 2) Relações de Inclusão Relacionam um conjunto com outro conjunto. Temos a seguinte simbologia de inclusão:  (está contido),  (não está contido),  (contém) e (não contém). 3) Conjunto das Partes de um Conjunto O número de partes (subconjuntos) de um conjunto A é dado por 2n , em que n é o número de elementos de A. 5) Operações com Conjuntos Considerando os conjuntos A, B e o conjunto-universo U, daremos a definição de cada operação com conjuntos: a) União () A união entre dois conjuntos, AB, é o conjunto formado pela reunião dos elementos de A e de B. Simbolicamente: AB = {x | xA ou xB}. b) Interseção () A intersecção entre dois conjuntos, AB, é o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Simbolicamente: AB = {x | xA e xB}. c) Diferença (–) A diferença entre dois conjuntos, B–A, é o conjunto formado pelos elementos de B que não pertencem a A. Simbolicamente: B–A = {x | xB e xA}. d) Complementar ( ) O complementar do conjunto A, simbolizado por , é o conjunto formado pelos elementos do conjunto universo (U) que não pertencem a A. Simbolicamente: ={xU|xA}.  A B U
  • 10. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 10 e) Diferença simétrica entre dois conjuntos () A diferença simétrica entre dois conjuntos é definida por: AB = (AB)–(AB). f) Fórmula da União Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos da união, da intersecção e dos conjuntos individuais. A fórmula é dada por:  n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) Se forem três conjuntos a fórmula será:  n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)–n(AB)–n(AC)–n(BC)+n(ABC) QUANTIFICADORES O Quantificador Universal O quantificador universal é indicado pelo símbolo  que se lê: para todo, para cada, qualquer que seja. O Quantificador Existencial O quantificador existencial é indicado pelo símbolo  que se lê: existe pelo menos um, existe um, existe, para algum. Há outro quantificador que deriva do quantificador existencial, ele é chamado de quantificador existencial de unicidade, simbolizado por | que se lê: existe um único, existe um e um só. Negação do Quantificador Universal  A negação de (x)(P(x)) é a sentença (x)(¬P(x)). Onde P(x) representa a sentença aberta. Negação do Quantificador Existencial  A negação de (x)(P(x)) é a sentença (x)(¬P(x)). Onde P(x) representa a sentença aberta. Também é possível fazer a negação do quantificador existencial de outra forma: a negação de Existe pode ser Não existe, que simbolizamos por ~. Por esta forma de negar o quantificador existencial, não é preciso negar a sentença aberta. Exemplos: A U
  • 11. Raciocínio Lógico Simplificado Sérgio Carvalho e Weber Campos 11 1) proposição: (x)(x  R)(x2  x) negação: (~x)(x  R)(x2  x) 2) proposição: (x)(x  Q)(1/x é um número natural) negação: (~x)(x  Q)(1/x é um número natural) Representação Simbólica das Proposições Categóricas Proposição Categórica Representação Simbólica Todo A é B (x)(A(x)  B(x)) Algum A é B (x)(A(x) e B(x)) Nenhum A é B (~x)(A(x) e B(x)) Algum A não é B (x)(A(x) e ~B(x))