Gravitação e satelites

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Gravitação e satelites

  1. 1. Gravitação<br />
  2. 2. Leis de Kepler e Teoria da Gravitação Universal<br />Ptolomeu, Copérnico, Tycho Brahe, Galileu,<br />Kepler, Newton…<br />1473 - 1543<br />1546-1601<br />?87-150<br />1571 - 1630<br />1642-1727<br />1564 - 1642<br />
  3. 3. É sabido, mas muitas vezes esquecido que a ciência é uma construção humana e como tal, está repleta de contradições e dúvidas, mas, ainda assim, é determinante para o domínio político e econômico. “A ciência contemporânea, construída especialmente no mundo ocidental nos últimos três séculos, tornou-se uma cultura global como parte de um processo amplo e contraditório, de caráter político e também econômico, que promoveu ganhos e perdas culturais, progresso e miséria material, equívocos e conquistas intelectuais. De toda forma ela se tornou um instrumento de pensar e do fazer de tal forma essencial, que privar qualquer sociedade atual da cultura científica é, em muitos aspectos, sentenciá-la a duradoura submissão econômica e a provável degradação social e, porque não dizer, é também excluí-la de uma bela aventura do espírito humano”(Menezes, notas de aula, 2001, p.4).<br />
  4. 4. Os modelos de Universo de Ptolomeu e de Copérnico.<br />Geocêntrico: Terra (centro) – Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno e Estrelas<br />Heliocêntrico: Sol (centro) – Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno e Estrelas<br />
  5. 5. A percepção da relação com os corpos celestes varia entre as pessoas de acordo com culturas e tradições diversas. Existem pessoas, por exemplo, que não saem de casa sem consultar o horóscopo, mas ignoram ou desconhecem a relação entre as marés diárias e a Lua e que a vida na Terra depende da conveniente distância entre a Terra e o Sol. Os astros influenciam na vida desde seu surgimento e não é preciso horóscopo para saber disso, as migrações de aves e as hibernações de mamíferos atestam a viagem anual de nosso planeta girante a redor do Sol.<br />A visão contemporânea do Universo não é uma simples negação das práticas religiosas e convicções míticas, mas sim uma nova elaboração conceitual e experimental com o respeito de quem examina o próprio passado, a fim de compreender como as civilizações, que nos distinguem dos demais seres vivos, se fundaram. <br />
  6. 6. Desafio: Observando a fotografia (abaixo) do céu noturno, estime o tempo<br />de exposição do filme fotográfico. Para isso, leve em conta que uma volta completa, <br />que seria um arco completo de 360°,corresponde a 24 horas.<br />
  7. 7. As leis de Kepler para o movimento planetário<br />
  8. 8. Primeira lei (1609): Lei das órbitas.<br />Um planeta se move descrevendo uma órbita elíptica tendo o Sol <br /> como um dos focos. Como consequência da órbita ser elíptica, a <br /> distância do Sol ao planeta varia ao longo de sua órbita.<br />periélio<br />afélio<br />Obs.: a excentricidade da elipse acima está exagerada<br />
  9. 9. (<br />
  10. 10. Motivo das Estações do Ano<br />
  11. 11. 23,5º<br />Eixo de<br />rotação<br />Plano da Eclíptica<br />Periélio<br />Afélio<br />Órbita da Terra em torno do Sol<br />Eclíptica<br />Sol<br />
  12. 12. Relembrando: Paralelos importantes<br />PN<br />Círculo Polar Ártico<br />23,5o<br />Trópico<br />de Câncer<br />23,5o<br />eclíptica<br />Equador<br />Trópico de<br />Capricórnio<br />Círculo Polar Antártico<br />PS<br />
  13. 13. Inverno<br />Verão<br />Sol<br />Inverno<br />Verão<br />Primavera<br />ou<br />Outono<br />Sol<br />Outono<br />ou<br />Primavera<br />Motivo das Estações<br />Solstício Solstício<br />Equinócio<br />
  14. 14. O Sol nasce no leste?<br />23/09<br />Equinócio de Primavera<br />22/12<br />22/06<br />Leste<br />Solstício de Inverno<br />Solstício de Verão<br />21/03<br />Norte<br />Sul<br />Equinócio de Outono<br />
  15. 15. Trajetórias diurnasdo Sol nas proximidades dos trópicos<br />12<br />11<br />10<br />13<br />9<br />14<br />Verão<br />(22/12)<br />8<br />7<br />15<br />6<br />5<br />7<br />Inverno<br />(22/06)<br />16<br />17<br />18<br />17<br />19<br />Leste<br />Norte<br />Sul<br />Oeste<br />
  16. 16. Eixo de<br />rotação<br />Esfera Celeste<br />Polo celeste norte<br />Equador<br />polo celeste sul<br />
  17. 17. o arco descrito pelos astros em <br />seu movimento aparente é <br />observado em ângulos diferentes, <br />De acordo com a latitude do local.<br />
  18. 18. )<br />
  19. 19. Segunda lei (1609): Lei das áreas.<br />O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em <br /> intervalos de tempos iguais.<br />
  20. 20. Segunda lei (1609): Lei das áreas.<br />O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em <br /> intervalos de tempos iguais.<br />3<br />2<br />Dt1,2 = Dt3,4<br />A1 = A2<br />A1<br />A2<br />1<br />4<br />Consequências:<br />A velocidade de translação do planeta não é constante.<br /><ul><li>Máxima no periélio;
  21. 21. Mínima no afélio.</li></ul>2. A velocidade areolar é constante (Va = A/Dt (m²/s) SI)<br />
  22. 22. Terceira lei (1618): Lei Harmônica.<br />O quadrado do período orbital dos planetas é diretamente <br /> proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Esta lei <br /> estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais <br /> lentamente em torno do Sol e, portanto, isso sugere que a força <br /> entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol. <br />T² = k.R³<br />T – período orbital<br />R – raio médio da órbita<br />k – cte que depende da <br />Massa do astro central <br />Rp<br />Rj<br />T² / R³ = k<br />T²p / R³p = T²j / R³j<br />As leis de Kepler aplicam-se a quaisquer corpos que gravitem em órbita de uma grande massa central. Por isso, elas são aplicáveis não apenas ao nosso Sistema Solar, como também a outros sistemas do Universo. Elas podem ser também aplicadas, por exemplo, para um satélite que gravite em órbita de um planeta qualquer. <br />
  23. 23. d D<br />R = semi-eixo maior<br />2R = d+D<br />R = (d+D) / 2<br />
  24. 24.
  25. 25. Exemplos:<br />1)Marte tem dois satélites: Fobos, que se move em órbita circular de raio 10000 km e período 3.104 s, e Deimos, que tem órbita circular de raio 24000 km. Determine o período de Deimos.<br />Rf = 10000 km<br />Tf = 3.104 s<br />Rd = 24000 Km<br />Td = ?<br />T²d = 24³.109. (3.104)²/ 1012<br />T²d = 24².24.10-3.(3.104)²<br />Td = 24.3.104.10-1.√2,4<br />Td ≈ 72.10³.1,55<br />Td ≈ 111,6.10³<br />Td ≈ 11,2 .104 s<br />T² = k.R³<br />T²d/ R³d = T²f / R³f<br />T²d = R³d. T²f / R³f<br />T²d = 24000³. (3.104)²/ 10000³<br />
  26. 26. Exemplos:<br />2) A Terra descreve uma elipse em torno do Sol cuja área é A=6,98.1022 m2. Qual é a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol entre 0,0 h do dia 1º de abril até 24 h do dia 30 de maio do mesmo ano.<br />6,98.1022m²_______12 meses<br /> A____________2 meses<br />A =6,98.1022.2 / 12<br />A ≈ 1,16.1022m²<br />
  27. 27. A1) <br />Primeira lei (1609): Lei das órbitas.<br />Um planeta se move descrevendo uma órbita elíptica tendo o Sol como um dos focos. Como consequência da órbita ser elíptica, a distância do Sol ao planeta varia ao longo de sua órbita.<br />Segunda lei (1609): Lei das áreas.<br />O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em intervalos<br />de tempos iguais.<br />Consequências:<br />A velocidade de translação do planeta não é constante.<br /><ul><li>Máxima no periélio;
  28. 28. Mínima no afélio.</li></ul>2. A velocidade areolar é constante (Va = A / Dt (m²/s) SI)<br />Terceira lei (1618): Lei Harmônica.<br />O quadrado do período orbital dos planetas é diretamente proporcional ao<br />cubo de sua distância média ao Sol. Esta lei estabelece que planetas com <br />órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, <br />isso sugere que a força entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao <br />Sol. <br />T² = k.R³<br />Resp.: e<br />
  29. 29. A2)<br />Segunda lei (1609): Lei das áreas.<br />O raio vetor que liga o planeta a estrela varre áreas iguais em intervalos<br />de tempos iguais.<br />Consequências:<br />A velocidade de translação do planeta não é constante.<br /><ul><li>Máxima no periélio;
  30. 30. Mínima no afélio.</li></ul>2. A velocidade areolar é constante (Va = A / Dt (m²/s) SI)<br />3<br />2<br />Dt1,2 = Dt3,4<br />A1 = A2<br />A1<br />A2<br />1<br />4<br />Resp.: c<br />
  31. 31. A3) <br />R1 = R<br />T1 = 2 anos<br />R2 = 2.R<br />T2 = ?<br />Considerando que os dois planetas orbitam o mesmo<br />Astro central (Sol), temos:<br />T² = k.R³<br />T2² = 8.R³.4/ R³<br />T²1/ R³1 = T²2 / R³2<br />T2² =32<br />T2 = √32<br />T2 ≈ 5,66 anos terrestres<br />T²2 = R³2T²1/ R³1<br />T²2 = (2.R)³.2² / R³<br />
  32. 32. A4)<br />T1 / T2 = ?<br />T² = k.R³<br />T1² / T2² = 64<br />T1 / T2 = 8<br />T²1/ R³1 = T²2 / R³2<br />T1² / T2² = R1³ / R2³<br />Resp.: c<br />T1² / T2² = (4R)³ / R³<br />T1² / T2² = 64.R³ / R³<br />
  33. 33. A gravitação universal<br />Por que os corpos caem?<br />Se a Lua é atraída pela Terra, por que ela não cai sobre a Terra?<br />O que é força gravitacional? <br />
  34. 34. A gravitação universal<br />Um pouco de História<br />X<br />Embora o modelo Heliocêntrico parecesse mais simples que o modelo Geocêntrico, <br />tal “simplicidade” não existia, pois, tal qual o modelo de Ptolomeu, exigia uma <br />complexa combinação de movimentos para explicar o que era observado no céu.<br />Tanto o modelo ptolomaico quanto o modelo copernicano não eram capazes de <br />prever as posições dos planetas de forma precisa e, com relação a Copérnico, quando<br />questionado sobre ausência de ventos que deveriam existir caso a Terra se movesse, <br />faltavam-lhe argumentos para provar tal movimento.<br />
  35. 35. A gravitação universal<br />Um pouco de História<br />Em 1546, três anos após a morte de Copérnico, nascia na Dinamarca Tycho Brahe,<br />o último grande astrônomo observacional antes da invenção do telescópio. <br />Utilizando seus próprios instrumentos Tycho Brahe fez excelentes medidas das <br />posições de planetas e estrelas que lhe renderam o patrocínio do rei da Dinamarca,<br />Frederic II, para construção de seu próprio laboratório. Mais tarde Tycho Brahe foi<br />trabalhar como astrônomo para o imperador da Bohemia e, em 1600, um ano antes<br />de sua morte, cotratou um jovem matemático alemão, Johannes Kepler, com quem<br />analisou 20 anos de dados colhidos sobre os planetas, embora Tycho Brahe não<br />acreditasse na hipótese heliocêntrica de Copérnico, foram as suas observações que<br />contribuiram para que Kepler formulasse as três leis dos movimentos planetários.<br />
  36. 36. A gravitação universal<br />Um pouco de História<br />A grande contribuição ao modelo heliocêntrico foi dada pelo italiano Galileo Galilei.<br />Além de olhar para o céu como os demais astrônomos de sua época, Galileo buscava<br />causas físicas para os fenômenos observados. Com sua própria luneta, construida em<br />1609, com um poder de aumento de cerde de 30 vezes, Galileu pode observar:<br />crateras na Lua e manchas no Sol, novas estrelas, as fases de Vênus e quatro satélites<br />orbitando Júpiter. Com essas observações foi possível mostrar que os corpos celestes<br />não possuiam a perfeição a eles outrora atribuída. Essas observações não provaram<br />a veracidade dos trabalhos de Copérnico, mas abalaram ainda mais a crença na <br />imutabilidade do cosmos, além de apontar para falsidade do modelo geocêntrico<br />adotado como verdade intocável pela igreja desde os tempos de Ptolomeu.<br />
  37. 37. A gravitação universal<br />Sintetisando<br />Galileo em seu trabalho percebeu que o movimento é tão natural quanto o repouso<br />e esses permanecem inalterados se nenhum agente externo interferir.<br />Kepler foi capaz de descrever o movimento dos planetas, mas não pode explicar o<br />por quê desses movimentos. Coube a Newton, no século XVII, usando as teorias de<br />Galileo e Kepler desenvolver a teoria da gravitação universal e as Leis do movimento.<br />Nesse trabalho ele expressou matematicamente o movimento dos planetas e explicou<br />por que ocorrem daquela forma. Com sua obra Newton unificou as mecânicas celeste<br />e terrestre, ou seja, as leis que regem o movimento da Lua ao redor da Terra são as <br />mesmas que regem os movimentos dos corpos na superfície da Terra.<br />
  38. 38. Enfim a Teoria da gravitação universal<br />Newton pôde explicar o movimento dos planetas em torno do Sol, <br />assumindo a existência de uma força dirigida ao Sol, que produz<br />uma aceleração que obriga a velocidade do planeta a mudar de <br />direção, continuamente.<br />
  39. 39. A lua e a aceleração centrípeta.<br />V1<br />V1<br />R<br />V.Dt<br />V.Dt<br />a<br />DV<br />a<br />V2<br />R<br />a<br />R<br />V2<br />Lembrando que a velocidade V, de tangência,<br />é constante, assim como a distância ao centro,<br />R. Em um curto intervalo de tempo, por <br />semelhança de triângulos, temos:<br />V.Dt / R = DV / V<br />V.V / R = DV / Dt<br />V² / R = acp<br />acp = V² / R<br />
  40. 40. Como foi que Newton desenvolveu a Lei da gravitação universal?<br />Com os três princípios (inércia, variação da quantidade de <br />movimento e ação e reação) mais as leis de Kepler e com<br />a convicção de que as forças nos corpos celestes ou nos corpos na<br />superfície terrestre são de mesma natureza Newton desenvolveu<br />a Teoria da gravitação universal.<br />Raciocínio de Newton:<br />
  41. 41. Usando este raciocínio “temperado” com um pouco de Matemática,<br />Newton chegou a seguinte expressão para força gravitacional.<br />r<br />M<br />Fg<br />m<br />Fg<br />Fg = G.M.m/r²<br />G – cte universal <br />da gravitação<br />M,m – massas <br />r – distância entre<br />os centros das <br />massas<br />vamos à demonstração<br />
  42. 42. Demonstração matemática<br />Como ponto de partida para encontrar<br />a força gravitacional, entre as massas,<br />consideraremos a força centrípeta que<br />a Terra excerce sobre a Lua.<br />Pelo princípio da conservação da <br />quantidade de movimento temos:<br />Fr = m.a, neste caso a = acp, assim,<br />temos que:<br />Frcp = m.acp = m.V² / r<br />A velocidade linear da Lua é dada por:<br />V = DS / DT = 2.p.r / T<br />m<br />V<br />Frcp<br />r<br />M<br />
  43. 43. Demonstração matemática<br />Frcp = m.V² / r (I)<br />V = 2.p.r / T (II)<br />Usando a terceira lei de Kepler:<br />T² = k. r³ e elevando a equação (II) ao<br />quadrado temos:<br />V² = 4.p².r²/T² = 4.p2.r² / k.r³<br />V² = 4.p²/k.r (III) <br />(III) em (I) <br />Frcp = m.4.p² / k.r²<br />m<br />V<br />Frcp<br />r<br />M<br />
  44. 44. Como a atração gravitacional é entre um par<br />de corpos, Newton concluiu que, além dela<br />diminuir com o quadrado da distância entre<br />o centro de massa do par deveria, também, aumentar na proporção direta de suas massas. Assim ele<br />esceveu que:<br />m<br />V<br />Frcp = m.4.p² / k.r²<br />Fg = G.M.m/r²,<br />onde G =4.p²/M.k<br />r<br />Frcp = Fg<br />M<br />Fg = G.M.m / r² (N) SI<br />
  45. 45. A primeira medida da constante G foi feita por Henry Cavendish<br />(1731-1810) em 1798, usando um aparelho extremamente<br />sensível, a balança de torção. Com esse experimento, Cavendish<br />encontrou o valor 6,71.10-11m³/kg².s².<br />G =4.p²/M.k<br />k = T²/r³<br />T²/r³ = 4.p²/G.M<br />Fio de quartzo<br />Experiências mais sofisticadas<br />dão o valor de G atualmente<br />aceito como:<br />G = 6,67.10-11N.m²/kg²<br />Espelho<br />Fonte de luz<br />
  46. 46. F<br />Fg = G.M.m/r² (N) SI<br />m<br />F<br />d<br />M<br />F<br />r<br />M m R F <br />M m 2R <br />M m 3R <br />M 2m 2R <br />F/4<br />F/9<br />F/2<br />
  47. 47. O efeito da força gravitacional da Lua sob as<br />marés<br />resultado final das marés altas<br />Massa gravitacional<br />M. inercial <br />M. gravitacional<br />Massa inercial<br />
  48. 48. Você é capaz de responder as questões abaixo?<br />Por que os corpos caem?<br />Se a Lua é atraída pela Terra, por que ela não cai sobre a Terra?<br />O que é força gravitacional? <br />
  49. 49. A5) <br />m=5.10³kg<br />M=6.1024kg<br />d = 3,6.106m<br />Fg = G.M.m/r² (N)<br />G = 6,7.10-11N.m²/kg²<br />R = 6,4.106m<br />Fg = G.M.m / (R+d)²<br />Fg = 6,7.10-11.6.1024.5.10³ / (6,4.106+3,6.106)²<br />Fg = 201.1016/1014<br />Fg = 2,01.104N<br />Fg ≈ 2.104N<br />
  50. 50. A6)<br />F<br />Fg = G.M.m/r² (N) SI<br />m<br />F<br />d<br />M<br />F<br />r<br />Resp.: c)<br />M m R F <br />M m 2R <br />M m 3R <br />M m 4R <br />F/4<br />F/9<br />F/16<br />
  51. 51. A7)<br />2m<br />Fg = G.M.m/r² (N) SI<br />2M<br />F<br />F<br />R<br />Resp.: c)<br />m<br />F<br />M<br />F<br />R<br />M m R F <br />2M 2m R <br />4F<br />Depois:<br />Fg = G.2.M.2.m/R²<br />Fg = 4.G.M.m/R²<br />Fg = 4F<br />Antes:<br />Fg = F = G.M.m/R²<br />
  52. 52. A8 )<br />Fg = G.M.m / r²<br />M<br />d<br />m<br />FL,f<br />81.M<br />FT,f<br />x<br />Fr = 0<br />FT,f = FL,f<br />G.MT.m/(d-x)² = G.ML.m /x²<br />81.M / (d-x)² = M / x²<br />81/ (d-x)² = 1 / x²<br />9 / (d-x) = 1 / x<br />9x = d-x<br />10x = d<br />x = d/10<br />r = d – d/10<br />r = (10d – d)/10<br />r = 9 d/10 = 0,9d<br />r=d - x<br />
  53. 53. Resumindo:<br />Leis de Kepler:<br /> Órbitas elípticas<br /> Áreas iguais em tempos iguais<br /> T²/ r³ = k<br />T – Período orbital<br />r – raio médio da órbita<br />k – constante que depende da massa do<br />corpo central.<br />Gravitação Universal:<br />Fg = G.M.m/r²,<br />onde G =4.p²/M.k = 6,67.10-11N.m²/kg²<br />é a cosntante de gravitação universal.<br />r – distância entre os centros de massas<br />dos corpos.<br />Nota: <br />k = 4.p²/G.M,<br />Onde M é a massa<br />do corpo central em<br />torno do qual os <br />satélites gravitam <br />
  54. 54. Fim<br />
  55. 55. Satélites em órbita circular<br />Frcp = m.v²/r (N)<br />Fg = G.M.m/r² (N)<br />V = w.r (m/s)<br />w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)<br />Velocidade linear (v):<br />Frcp = Fg<br />m.v² / r = G.M.m / r²<br />v² = G.M / r<br />v = √G.M / r<br />Velocidade angular ( w)<br />√G.M / r = w.r<br />(√G.M / r) /r = w<br /><ul><li>= √G.M / r³</li></ul>Período:<br />√G.M / r³ = 2p/T<br />T = 2p / (√G.M/r³)<br />m<br />V<br />r<br />Frcp = Fg<br />M<br />
  56. 56. A9)<br />Frcp = m.v²/r (N)<br />Fg = G.M.m/r² (N)<br />V = w.r (m/s)<br />w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)<br />Velocidade linear (v):<br />Frcp = Fg<br />m.v² / r = G.M.m / r²<br />v² = G.M / r<br />v = √G.M / r<br />v = √G.M/R<br />Resp.: b)<br />m<br />V<br />R<br />Frcp = Fg<br />M<br />
  57. 57. A10)<br />Frcp = m.v²/r (N)<br />Fg = G.M.m/r² (N)<br />V = w.r (m/s)<br />w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)<br />Velocidade linear (v):<br />Frcp = Fg<br />m.v² / r = G.M.m / r²<br />v² = G.M / r<br />v = √G.M / r<br />Velocidade angular ( w)<br />√G.M / r = w.r<br />(√G.M / r) /r = w<br /><ul><li>= √G.M / r³</li></ul>Período:<br />√G.M / r³ = 2p/T<br />T = 2p / (√G.M/r³)<br />Resp.: a)<br />m<br />V<br />R<br />Frcp = Fg<br />M<br />r<br />V<br />m<br />
  58. 58. A11)<br />Frcp = m.v²/r (N)<br />Fg = G.M.m/r² (N)<br />V = w.r (m/s)<br />w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)<br />Velocidade linear (v):<br />Frcp = Fg<br />m.v² / r = G.M.m / r²<br />v² = G.M / r<br />v = √G.M / r<br />Velocidade angular ( w)<br />√G.M / r = w.r<br />(√G.M / r) /r = w<br /><ul><li> = √G.M / r³
  59. 59. = √G.M / R³</li></ul>Resp.: a)<br />m<br />V<br />R<br />Frcp = Fg<br />M<br />
  60. 60. A12)<br />Velocidade linear (v):<br />Frcp = Fg<br />m.v² / r = G.M.m / r²<br />v² = G.M / r<br />v = √G.M / r<br />Velocidade angular ( w)<br />√G.M / r = w.r<br />(√G.M / r) /r = w<br /><ul><li>= √G.M / r³</li></ul>Período:<br />√G.M / r³ = 2p/T<br />T = 2p / (√G.M/r³)<br />T = 2p √r³ / √G.M<br />Resp.: a)<br />Frcp = m.v²/r (N)<br />Fg = G.M.m/r² (N)<br />V = w.r (m/s)<br />w = 2.p.f = 2.p/T (rad/s)<br />m<br />V<br />r<br />Frcp = Fg<br />M<br />
  61. 61. Campo gravitacional (g) velocidade de escape<br />Espaço sem matéria<br />Espaço com matéria<br />
  62. 62. Vetor Campo gravitacional<br />g = G.M /r² (p/ r≥R)<br />g= (G.M/R³).r (p/ r<R)<br />gS = G.M / R² ≈ 9,8 m/s²<br />G.M/R²<br />G.M/4.R²<br />G.M/9.R²<br />r<br />M<br />R<br />r<br />0 R 2.R 3.R <br />S<br />distância do centro da Terra<br />
  63. 63. Peso de um corpo na superfície da Terra<br />Fg = G.M.m/r²<br />g = G.M/r²<br />Fg = m.g<br />Na superfície r = R<br />g = G.M/R²<br />P=m.g (N) SI<br />m<br />R<br />M<br />
  64. 64. Velocidade de escape<br />Velocidade de escape é um conceito físico. Sua utilidade maior é dar uma noção da intensidade do campo gravitacional de um astro e de sua gravidade superficial. O escape, no caso, significa libertar-se de um campo gravitacional. Qual é a tradução ideal deste libertar-se? A atuação da força gravitacional se extende ao infinito. Logo, o libertar-se dela só pode se dar no infinito (não se esqueca que estamos lidando com a definição de um conceito físico). Mas é preciso ainda uma outra consideração: qual é a condição mínima deste libertar-se? Senão lidarmos com este mínimo, algum outro fator físico estará sendo erroneamente considerado. Evidentemente, se o corpo chegar no infinito, não precisará ir além. Logo, não é necessário que ele esteja dotado de nenhuma velocidade. Esta é a condição mínima. <br />É por esta razão que a velocidade de escape é definida como a velocidade inicial que dote um dado corpo na superfície de um astro qualquer da energia capaz de fazê-lo chegar ao infinito com velocidade zero. Como é uma medida do campo gravitacional, que exerce uma força sobre o corpo, nenhuma outra força está envolvida neste conceito. <br />Em termos um pouco mais técnicos, é a velocidade de escape aquela capaz de dotar um dado corpo da energia cinética de igual módulo ao da energia associada ao campo gravitacional. A formulação matemática deste conceito é obtida desta forma: <br />
  65. 65. Energia Cinética (T): <br />Ec = mv²/2 (J) SI<br />      <br />Energia Gravitacional(P): <br />Epg = - mgh <br />       <br />Velocidade de Escape (ve): <br />                                   <br />Na superfície:<br />Ec = mve²/2<br />Epg = - mgR<br />No infinito (v = 0):<br />Ec = 0<br />Epg = - mgr = - GMm/r = 0<br />Pelo princípio da conser-<br />vação da Energia temos:<br />mve²/2 – mgR = 0<br />ve = √2Rg<br />Terra:<br />ve = √2.6,4.106.9,8<br />ve ≈ 11,2.10³ m/s<br />ve ≈ 11,2 km/s<br />
  66. 66. Nota:<br />Na prática, para se vencer um campo gravitacional e se atingir uma distância arbitrariamente grande - que é o significado prático de uma tal vitória, por exemplo, sair da superfície terrestre e chegar na Lua - basta que seja exercida permanentemente uma força sobre o corpo que seja superior àquela exercida pela atração gravitacional. <br />Para que você mantenha um corpo a uma velocidade constante você terá que dotá-lo de uma aceleração que se contraponha exatamente àquela produzida pela atração gravitacional, desde que ele já esteja dotado de uma dada velocidade. Os foguetes que chegaram à Lua partiram da Terra a uma velocidade muito inferior à velocidade de escape da Terra. Neste caso, o motor é a origem da força a se contrapor a força gravitacional. <br />
  67. 67. Velocidade de escape para alguns astros<br />
  68. 68. Exemplos<br />1) Considere a terra esférica e homogenia de raio R=6,4.106m e g=10N/Kg na superfície. Usando G=6,7.10-11 N.m²/Kg², calcule:<br />a) a massa da terra;<br />b) a intensidade do campo gravitacional criado pela terra num ponto P a uma altitude igual ao seu raio.<br />a)g=G.M/r2<br />M = g.d²/G = 10.(6,4.106)²/6,7.10-11 = 6.1024kg<br />b) g=G.M/r² <br /> g= G.M/(2R)² <br /> g= 6,7.10-11.6.1024/(2.6,4.106)² = 2,5 N/Kg<br />R<br />R<br />
  69. 69. 2 ) A massa da Terra é cerca de 100 vezes maior que a massa da Lua, a <br />distância entre o centro dos dois corpos é aproximadamente 4. 108m. <br />Determine em que ponto da reta que une os centros dos dois corpos a <br />atração gravitacional é nula.<br />g = G.M / r²<br />m<br />4.108m<br />gL = gT<br />G.MT /rT² = G.ML / rL²<br />100.m / (4.108)² = m / x²<br />100 / (4.108 -x)² = 1 / x²<br />10 / (4.108 -x) = 1 / x<br />11x =4.108<br />x ≈ 4.107 m <br />100.m<br />x<br />4.108 - x<br />Portanto, a atração gravitacional será nula a <br />40000 km da Lua<br />
  70. 70. 3)Na Terra, a aceleração da gravidade é em média 9,8 m/s², e na Lua 1,6 m/s². Para um corpo de massa 5 kg, determine: A) o peso desse corpo na Terra. B) a massa e o peso desse corpo na Lua.<br />P = m.g<br /> P =5.9,8<br /> P = 49 N<br />P<br />P<br />b) m = 5kg<br /> P = m.g<br /> P = 5.1,6<br /> P = 8 N<br />
  71. 71. 4) Na situação seguinte, despreze atritos e influências do ar e considere ideal o fio que liga o corpo A (de massa m) ao corpo B (de massa M), passando pelo furo C. Coloca-se o corpo A em movimento em torno do furo. Se sua velocidade for muito baixa, B descerá; se for muito alta, B subirá. Existe, portanto, uma velocidade de valor V para a qual B não descerá nem subirá. Nesse caso, A descreverá uma circunferência de raio r. sendo g a intensidade do campo gravitacional, determine v.<br />T = P (Fr = 0)<br />Frcp = T <br />m.v²/r = P<br />m.v²/r = M.g<br />v = √(M.r.g/m)<br />T<br />m<br />r<br />V<br />T<br />M<br />P<br />
  72. 72. 5) A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular e uniforme, com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a 400 000 quilômetros, determine sua aceleração centrípeta.<br />v<br />acp = v² / r<br />acp = (10³)² / 4.108<br />acp = 106 / 4.108<br />acp = 0,25.10-2m/s²<br />acp<br />r<br />6) Observe a animação. O carro se move com velocidade linear constante. Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?<br />r: acp = v²/r<br />2r: acp = v²/2r<br />
  73. 73. Fim<br />

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