Monografia Roberto Matemática 2009

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Matemática 2009

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Monografia Roberto Matemática 2009

  1. 1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA-UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO CAMPUS VII SENHOR DO BONFIMO ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DAMETODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMASPOR:ROBERTO DE ALMEIDA RIBEIRO SENHOR DO BONFIM 2010
  2. 2. ROBERTO DE ALMEIDA RIBEIROO ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DAMETODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Monografia apresentada ao Departamento de Educação – UNEB, CAMPUS VII, como parte dos requisitos para obtenção do grau de Licenciatura em Matemática, sob orientação da profª. Alayde Ferreira dos Santos. SENHOR DO BONFIM 2010
  3. 3. ROBERTO DE ALMEIDA RIBEIROO ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DAMETODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Monografia apresentada ao Departamento de Educação – UNEB, CAMPUS VII, como parte dos requisitos para obtenção do grau de Licenciatura em Matemática, sob orientação da profª. Alayde Ferreira dos Santos.Aprovada em 24 de março de 2010.____________________________ ______________________________Profº. Mestre Ivan Sousa Costa Profª. Esp. Tânia Cardoso de Araújo (Avaliador) (Avaliadora)_______________________________________________________________ Profª. Mestre Alayde Ferreira dos Santos (Orientadora)
  4. 4. “O constante movimento dereestruturação é inerente à condiçãohumana. Nele se alteram a harmonia e oconflito, a dinâmica e a estatística, aconvivência e o isolamento, a ação e ainércia. Assumir uma atitude frente àmudança é ter consciência de que esseprocesso se inicia com a busca do euinterior para, a partir dele, compreender omundo exterior. É estar aberto frente aodesconhecido, ao inesperado eimprevisível.” (RAMOS, 2000).
  5. 5. AGRADECIMENTOS Pra chegar até aqui, com certeza são os resultados de uma soma deesforços e ajudas que chegaram de diferentes maneiras, e não poderia deixarde agradecer neste momento. A Deus, pela vida. A minha família, esposa Telma e filhos, Roberta, Mateus e Lara Vitória,pela compreensão em minhas ausências. À professora Alayde Ferreira dos Santos, por ter me acolhido e teraceitado o desafio de ser minha orientadora, contribuindo com sua inestimávelpaciência e conhecimento. Ao professor Ricardo Amorim, pelas orientações científicas e sugestõespertinentes na construção desta pesquisa. A todos os demais, que de alguma forma contribuíram para estemomento de conclusão. Muito Obrigado!
  6. 6. RESUMO Este trabalho tem como objetivo identificar se através da metodologia deresolução de problemas, os educandos terão um melhor desenvolvimento noensino-aprendizagem da matemática. Analisando a partir dos resultadosobtidos, as contribuições produtivas que essa metodologia venha a trazer parao ensino-aprendizagem da matemática escolar. Pois é imprescindível que osalunos aprendam o valor fundamental do conhecimento matemático no mundoatual, procurando aprender este conhecimento inserido no contexto escolar e,muito mais que aprender, é necessário interferir através de uma visão crítica,desenvolvendo habilidades para enfrentar e resolver situações que secomplexifica a cada dia. A pesquisa foi desenvolvida junto a discentes da 5ªsérie do Grupo Escolar Dr. Luiz Viana Filho, da Rede Pública Estadual, nacidade de Campo Formoso e, fundamentada metodologicamente a partir depressupostos da análise qualitativa, que segundo Forquin (1993), permite umamaior interação entre pesquisadores e pesquisados, tendo como instrumentosde pesquisa questionário, atividades desenvolvidas e consequentementerelatórios dos resultados gerados no processo. Os principais teóricos quederam base a esta pesquisa foram Polya (1978), D’Ambrosio (1997), Smole eDiniz (2006), Bicudo (1999), Baraldi (1999), Carvalho (2005), Dante (2007);dentre outros, que abordam esta temática. A análise dos dados nos permitiuconcluir que a metodologia de resolução de problemas é um método debastante eficiência para o ensino-aprendizagem da matemática. Palavras-chave: Ensino da Matemática, Resolução de Problemas e aAprendizagem.
  7. 7. SUMÁRIOINTRODUÇÃO__________________________________________________8CAPÍTULO I - PROBLEMATIZAÇÃO_______________________________ 10CAPÍTULO II - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA________________________162.1 - O Ensino da Matemática e a Resolução de Problemas: Contextohistórico______________________________________________________162.2 - A Resolução de Problemas na prática educativa da matemática___ 202.3 - Resolução de problemas para uma aprendizagem significativa:Perspectivas em Educação Matemática____________________________26CAPÍTULO III - METODOLOGIA___________________________________363.1 - Pesquisa qualitativa como método____________________________363.2 - Local da Pesquisa_________________________________________ 383.3 - Sujeitos da Pesquisa_______________________________________ 393.4 - Instrumentos e procedimentos utilizados______________________ 39CAPÍTULO IV – ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS________________414.1 - Procedimentos da Pesquisa_________________________________ 414.2 - Perfil e opinião dos discentes pesquisados – apêndice A_________424.3 - Analisando e discutindo a 1ª. etapa das atividades desenvolvidas –apêndice B____________________________________________________424.4 - Analisando e discutindo a 2ª. etapa das atividades desenvolvidas –apêndice C____________________________________________________454.5 - Comparando os apêndices B e C_____________________________ 524.6 - Analisando e discutindo as atividades do apêndice D____________534.7 - Analisando e discutindo as atividades do apêndice E____________54CONSIDERAÇÕES FINAIS_______________________________________57REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS________________________________ 60APÊNDICES___________________________________________________65Apêndice A - Questionário aplicado aos educandos_________________ 66Apêndice B - 1ª. Etapa de atividades aplicadas aos educandos________67Apêndice C - 2ª. Etapa de atividades aplicadas aos educandos________68Apêndice D - Resolvendo problemas com o auxílio de imagens________70Apêndice E - Produção de texto ou criação de situações-problema a partirda observação de desenhos_____________________________________ 71ANEXOS_____________________________________________________ 72Algumas respostas das atividades realizadas na 1ª e 2ª etapa_________73
  8. 8. INTRODUÇÃO O tema “O ensino-aprendizagem da matemática através dametodologia de resolução de problemas”, surgiu da observação em sala deaula enquanto professor de Matemática. Durante a administração das aulaspodia-se observar que muitos educandos não conseguiam compreender muitosconceitos estudados, faltavam-lhes interesse e concentração. Além do poucoenvolvimento, havia a rejeição de enfrentar situações-problema colocadasatravés de exercícios repetitivos e sem conexão com sua realidade. Diante disso notou-se a necessidade de se repensar uma novametodologia que procurasse modificar a ação pedagógica, buscando umaeducação centrada no sujeito, comprometida com a formação de cidadãosconscientes e críticos. Esse pensamento nos levou a desenvolver uma pesquisa com os alunosda 5ª. série do Colégio Estadual denominado Grupo Escolar Dr. Luiz VianaFilho, na cidade de Campo Formoso Bahia, com o objetivo de identificar seatravés da metodologia de resolução de problemas, os educandos terão ummelhor desenvolvimento no ensino-aprendizagem da matemática. Analisando apartir dos resultados obtidos, as contribuições produtivas que essa metodologiavenha a trazer, para o ensino-aprendizagem da matemática escolar. Neste contexto, estruturamos nosso trabalho em quatro capítulos: No primeiro capítulo – apresentamos os aspectos que motivaram ainvestigação do tema, a problemática, as questões norteadoras, os objetivos esua relevância no campo sócio-educacional. No segundo capítulo – abordamos as concepções referentes àmatemática e os métodos insatisfatórios, bem como propostas pedagógicasque possibilitam transformar o ensino atual numa aprendizagem prazerosa esignificativa. Para fundamentar este estudo contou-se com a contribuição degrandes teóricos como, Polya (1978), D’Ambrosio (1997), Smole e Diniz (2006),
  9. 9. Bicudo (1999), Baraldi (1999), Carvalho (2005), Dante (2007), e outros que emsuas pesquisas contribuíram para a construção do verdadeiro conhecimento. No terceiro capítulo – apresentamos a metodologia utilizada nainvestigação do tema. Para a coleta dos dados optamos pela metodologiaqualitativa com enfoque na pesquisa-ação e foram utilizadas atividadesdesenvolvidas pelos sujeitos envolvidos na pesquisa. No quarto capítulo – realizamos a análise e interpretação dos dadosobtidos, buscando responder as questões apresentadas na problemática. Parafundamentar nos baseamos em alguns teóricos contidos nos capítulosanteriores. Primeiramente destacamos os dados coletados na observação e napesquisa-ação, logo após fizemos a análise e o confronto das informaçõescoletadas através das atividades desenvolvidas pelos educandos. Por último, nas considerações finais, é ressaltada a importância damudança na postura docente, para possíveis soluções dos problemasencontrados no ensino da matemática. Pois diante de todas as questõesanalisadas neste trabalho, percebemos que a metodologia de resolução deproblemas pode fazer a diferença no ensino-aprendizagem da matemática. Obviamente, não é um trabalho definitivo, porém cada sugestão aquiapresentada é de certa forma, uma tentativa de despertar no leitor ao menos acerteza de que há algo que pode ser feito, pois, acreditamos que o objetivomaior do professor de matemática, é levar seus alunos a entender Matemáticae motivá-los a acreditar que provavelmente estes continuarão a utilizar osconhecimentos matemáticos no decorrer da sua vida. Desta forma,reconhecemos que deve haver uma preocupação em fazer com que os alunospercebam a matemática como sendo algo natural e agradável em seu dia-a-dia.
  10. 10. CAPÍTULO I PROBLEMATIZAÇÃO Na sociedade atual, as necessidades sociais, culturais e profissionaisganham novos contornos, exigindo que tenhamos competência emmatemática, isto porque, o conteúdo matemático está presente em todas asáreas, e compreender procedimentos matemáticos torna-se necessário tantopara tirar conclusões como para fazer argumentação. Conforme nos apresenta os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), oensino da matemática causa duas sensações contraditórias: de um lado acerteza de que é uma área extremamente importante; por outro lado afrustração gerada pelos resultados negativos quanto à sua aprendizagem.Nesta perspectiva, os Parâmetros Curriculares Nacionais tambémacrescentam: A constatação da sua importância apóia-se no fato de que a Matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e funciona como instrumento essencial para a construção de conhecimento em outras áreas curriculares. Do mesmo modo, interfere fortemente na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento e na agilização do raciocínio dedutivo do aluno. (PCN’s, 1998, p. 15). No âmbito escolar, tal como se dá na compreensão da língua escrita eoral, o aluno precisa praticar matemática. Saber sobre os seus usos, para queserve, como organizar, onde pode ser encontrada e principalmente de quemaneira aplicá-la. Apesar de todo esse conhecimento sobre a importância damatemática, ainda é alto o índice de reprovação e exclusão por conta do baixonível de aprendizagem, causando uma situação “traumatizante” para a maioriados alunos, é o que afirma D’Ambrosio (1986, apud VITTI, 1999): O ensino da Matemática tem sido traumatizante: Disciplina básica nos currículos de todos os graus em todo o mundo, por várias razões a Matemática é considerada difícil por muitos, desinteressante por outros, até inacessível para alguns. (p. 43).
  11. 11. A matemática ensinada na Escola é geralmente muito distante darealidade, ainda continuamos mostrando exemplos no quadro, esperando queos alunos sejam capazes de resolver uma lista de exercícios praticamenteigual. Continuamos ensinando conteúdos pouco utilizados na vida cotidianados mesmos. Dessa forma, reduz-se a prática pedagógica a um merotreinamento, baseado na repetição e memorização, deixando de lado aexperimentação, o questionamento, a inquietação e a criatividade. Podemosconstatar isso nas afirmações que Bicudo (1999) faz: A educação passa atualmente por um momento crucial. Nosso ensino é criticado, sobretudo pelo baixo desempenho dos alunos. Para isso contribuem as conseqüências do histórico descaso para com a educação e problemas sociais. A interação desses e outros fatores com os conflitos entre as idéias pedagógicas de ensino, exigem de professores e pesquisadores opções e ações (p.153). Outro fator que contribui para que a Matemática na escola seja vista deforma negativa, é a postura do próprio professor em relação à disciplina. Muitostêm demonstrado problemas relacionados ao seu ensino, encontrando tambémdificuldades para adaptação em determinados conteúdos. Neste sentido aspalavras de D’Ambrósio (2005), são pertinentes: Não há dúvida quanto à importância do professor no processo educativo. Ultimamente vemos com bastante freqüência a proposta de educação à distância e outras utilizações de tecnologias na educação, mas nada substituirá o professor. Todos esses serão meios auxiliares para o professor. Mas o professor, incapaz de se utilizar desses meios, não terá espaço na educação. O professor que insiste em ser apenas um transmissor de conhecimentos está sujeito a ser dispensado pelos alunos, pela escola e conseqüentemente pela sociedade em geral. (p. 26). A Secretaria de Ensino Fundamental do Ministério da Educação (MEC),por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s, 1998), aponta anecessidade de uma visão dos modelos de formação de professores para aefetiva implantação de novas alternativas que complementam tais diagnósticose provocam discussões a respeito de que, como e quando ensinar determinadoconteúdo. De acordo com Pavanello (2003), há muito tempo à comunidade daEducação Matemática vem insistindo que a aprendizagem da matemática “nãodeve e não pode” ficar limitada ao manejo de fórmulas, ao saber fazer contas
  12. 12. ou ao assimilar a resposta correta de uma questão, seu ensino deve estar sobnova ótica quando diz: ...Mais do que tudo o ensino da Matemática deve conduzir a interpretação de enunciados, à criação de significados, à construção de instrumentos para a resolução de problemas. Sua meta deve ser o desenvolvimento do raciocínio lógico, da capacidade de abstrair, generalizar, projetar, transcender o que é imediatamente sensível. (p. 16). Rabelo (2004), afirma que ao observar a postura de alguns alunos diantede um problema, percebeu que eles não conseguiam interpretá-lo e analisá-lo.Observando mais ainda, o autor deduziu que isso ocorria em virtude dasdificuldades sentidas pelos alunos com relação á leitura e na visão do autor,“quem não sabe ler sente dificuldade em analisar”. (RABELO, 2004, p. 26). ECarvalho (2005) reforça dizendo: Não é raro ouvimos dos professores que os alunos não sabem Interpretar problemas. Mas gostaria de propor uma reflexão: Como é que o aluno vai interpretar os enunciados dos problemas se ele não constrói enunciados? Como vai resolver problemas se exigem dele sempre como resolução correta a aplicação da operação matemática? (p. 14). Diante das dificuldades sentidas pelos alunos em entender o que estásendo pedido durante a resolução de situações-problemas é que buscamoscaminhos para identificar o erro e propor meios à superação. Em nossainvestigação queremos inserir o saber significativo através de um estudo emque a realidade do aluno seja o ponto de partida e em que a metodologia deresolução de problemas, seja identificada como um possível caminho quebusque uma melhor compreensão dos enunciados das situações-problemas. Especificamente no que se refere à matemática, os ParâmetrosCurriculares Nacionais (PCN), que servem de referência para o trabalho dasEscolas da Rede Pública em geral, indicam a Resolução de Problemas comoponto de partida das atividades matemáticas e discutem caminhos para sefazer Matemática na sala de aula. Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo de informações, educadores matemáticos apontam a Resolução de Problemas como ponto de partida da atividade
  13. 13. matemática. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução (BRASIL, 1998, p. 39). A resolução de problemas coloca para o professor desafios, porque estaé uma atividade extremamente complexa que necessita de atenção, onde aprática é necessária, mas não suficiente para garantir o alto nível de resoluçãode cada desafio. Além da prática é necessário também que haja motivação eautoconfiança para sua jornada de sucesso; estas devem ser as característicasque um educador pode trazer para uma situação envolvendo resolução deproblemas; como também a capacidade de se formar uma imagem mental deum problema escrito e a habilidade de inventar uma história. É uma mudança conceitual e procedimental. Conceitual porque “resolverproblemas” não é a mesma coisa que situações-problema, e procedimental,porque exige uma mudança no fazer pedagógico e na forma de compreender amatemática (Carvalho, 1991, p. 81). Pois as dificuldades enfrentadas pelamaioria dos alunos, na resolução de problemas, passa por grandes desafios. Oprimeiro deles, certamente, é a compreensão exata do que seja um problema. Segundo Carvalho (1991, p. 82), “um problema é uma situação ondeocorre um desequilíbrio”, ou seja, que exige uma solução não imediata, maspara a qual dispomos de meios intelectuais de resolução. Para Chi e Glaser(1983) “um problema é uma situação na qual um indivíduo atua com opropósito de alcançar uma meta utilizando para tal alguma estratégia emparticular” (apud FIORENTINI, 2006, p. 68). A partir das afirmações desses autores, podemos entender comoproblema, qualquer situação para a qual os conhecimentos imediatos que oaluno possui não são suficientes e que os coloca diante de um desafio, queexigirá busca de procedimentos e a construção de novos saberes. As considerações dos autores citados nos encaminham ao tema e àproposta de conduzir atividades de forma a que todos participem, discutindo as
  14. 14. questões formuladas, onde o raciocínio e a interpretação façam parte doprocesso para criação de um conhecimento matemático. Diante da nossa prática matemática e das considerações acima, a nossainquietação fez nortear a questão da pesquisa: Será que através dametodologia de resolução de problemas os educandos obterão melhoresresultados no desenvolvimento do ensino-aprendizagem da matemática? “A resolução de problemas” é o tema do nosso trabalho, que se inserena linha de pesquisa da Educação Matemática. Pretende-se contribuir para areflexão sobre como ensinar matemática aos discentes, procurando um melhorcaminho para superar os entraves envolvidos no ensino-aprendizagem damesma. Com essa visão de mudança e quebra de paradigma é quedirecionamos nosso estudo para um contexto presente em nossa realidade na5ª. série do Colégio Estadual denominado Grupo Escolar Dr. Luiz Viana Filho,na cidade de Campo Formoso-Ba. Esse Colégio será o ambiente de pesquisapor sabermos que os educandos dessa Instituição enfrentam dificuldades noensino-aprendizagem da matemática. Baseando-se neste contexto, definimos como objetivos: - Identificar se através da metodologia de resolução de problemas, oseducandos terão um melhor desenvolvimento no ensino-aprendizagem damatemática. - Analisar a partir dos resultados obtidos, as contribuições produtivasque essa metodologia venha a trazer, para o ensino-aprendizagem damatemática escolar. Pois segundo Dante (2007, p. 11): Um dos principais objetivos do ensino da matemática é fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe
  15. 15. situações-problema que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las. Esta é uma das razões pela qual a Resolução de Problemas tem sido reconhecida no mundo todo como uma das metas fundamentais da matemática. A trajetória dessas reflexões inicia-se no processo de interaçãoprofessor-aluno e vivencia em sala de aula, que nos leva a observar odesempenho dos alunos em relação ao ensino-aprendizagem da matemáticaatravés da resolução de problemas. Com a prática dessa metodologia acredita-se que o rendimento dos alunos possa melhorar, tornando a atividadematemática em sala de aula mais dinâmica e prazerosa. Pois segundo(ONUCHIC, 1999, p. 210), na abordagem de Resolução de Problemas comouma metodologia de ensino, “o aluno tanto aprende matemática resolvendoproblemas como aprende matemática para resolver problemas”. Assim, os alunos do Grupo Escolar Dr. Luiz Viana Filho, terão aoportunidade de ampliar seus conhecimentos matemáticos, bem como deampliar a visão que têm dos problemas da matemática, desenvolvendo suaautoconfiança e mostrando se esta abordagem contribui para a suaaprendizagem. Acreditamos que esse trabalho será de grande importância social ecientífica, pois estaremos buscando possibilidades de mudança no ensino damatemática, colaborando com novas concepções, apresentando proposta demudança na realidade da prática pedagógica, oportunizando a melhoria doensino-aprendizagem.
  16. 16. CAPÍTULO II FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA2.1 – O Ensino da Matemática e a Resolução de Problemas: Contextohistórico O conhecimento matemático é resultante da própria evolução dahumanidade, e se manifestou perante a necessidade de elaboração deconhecimentos capazes de resolver situações cotidianas dos povos antigos. As pesquisas arqueológicas sempre mostram o homem vivendo em grupos, inicialmente nômades, alimentando-se da caça, da pesca, do pastoreio ou da pilhagem de outros grupos. Nos tempos primitivos não havia posses individuais e assim, não era necessário contabilizá- las. Estudos de línguas confirmam essa idéia, mostrando diferenciações apenas para os termos um, dois e muitos. (...) Com o fim da glaciação e o recuo do gelo para os pólos, as plantas começaram a nascer. Há cerca de dez mil anos, nossos antepassados descobriram que podiam alimentar-se delas e, assim, aos poucos foram se estabelecendo nos vales às margens de grandes rios, como Nilo, no Egito, o Ganges, na Índia, o Yang-tsé e o Amarelo, na China (TOLEDO, 1997, p.19). A partir daí, segundo Toledo (1997), teve início um novo modo de vida,com terras cultivadas, aldeias e a necessidade cada vez maior de organização.O planejamento apesar de muito rudimentar da produção das terras, dosrebanhos, da divisão das terras cultiváveis, das colheitas, a quantificação,gerou questionamentos relacionadas à quantidade de animais, de sementespara plantio, quantidades de luas para a próxima colheita. Dessas primeirasnecessidades de contagem até o conceito de número, muitas geraçõestranscorreram deixando-nos sua contribuição. Em função da necessidade do homem de se organizar, surgiram osnúmeros e conseqüentemente a partir daí, o nascimento da matemática. A matemática surgida na Antiguidade por necessidades da vida cotidiana, converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas disciplinas, como a álgebra, a aritmética e a geometria. (...) Assim a matemática, como as demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza (BRASIL, 1998, p. 26).
  17. 17. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p.32), a matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades ecoerências que despertam a curiosidade e instigam a “capacidade degeneralizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação dopensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico”. Faz parte da vida detodas as pessoas nas experiências mais simples como contar, comparar eoperar sobre quantidades. Nos cálculos relativos a salários, pagamentos econsumo, na organização de atividades como agricultura e pesca a matemáticase apresenta como um conhecimento de muita aplicabilidade. Também é uminstrumento importante para diferentes áreas do conhecimento, por serutilizada em estudos tanto ligados às ciências da natureza como às ciênciassociais e por estar presente “na composição musical, na coreografia, na arte enos esportes”. Da mesma forma, a sobrevivência numa sociedade que, a cadadia, torna-se mais complexa, exigindo novos padrões de produtividade,depende cada vez mais do conhecimento matemático. A preocupação com o ensino da matemática cresceu a partir do séculoXX, quando surgiram várias iniciativas para organizar mudanças necessáriasna prática do professor, ligadas à percepção de como os conteúdos sãoministrados. Segundo Toledo (1999), no início do século XX, o ensino daMatemática foi caracterizado por um trabalho apoiado na repetição, no qual orecurso à memorização de fatos básicos era considerado importante. Oprofessor falava, o aluno recebia a informação, escrevia, memorizava e repetia.Repetia exercícios feitos em sala de aula e treinava em casa. Media-se oconhecimento do educando, recebido através de repetição, com a aplicação detestes em que, se ele repetisse bem o que o professor havia feito, concluía-seque sabia. Alguns educandos chegavam a compreender o que faziam, contudo,se esquecia do que havia memorizado em pouco tempo. Nessa época, ocurrículo não estava bem definido, embora houvesse um caminho de trabalhona área aritmética, algébrica e geométrica. Algumas destas características permanecem no ensino da matemáticaaté hoje. Em nosso país o ensino da Matemática ainda é marcado pelos autosíndices de retenção, pela formalização precoce de conceitos, pela excessiva
  18. 18. preocupação com o treino de habilidades e mecanização de processos semcompreensão (PCN’s, 1998). Com o passar dos anos, o ensino da matemática deixou de sertrabalhado com o apoio na repetição para ser trabalhado numa orientação queprimava à aprendizagem dos alunos pela compreensão, porém usavam detécnicas operatórias na resolução de problemas, para essa nova forma deaprendizagem. Informação baseada nas afirmações de (ONUCHIC, 1999),onde cita: Anos depois, dentro de uma outra orientação, os alunos deviam aprender com compreensão. Esta reforma descartava a anterior. As tabuadas e seus treinos eram condenados. O aluno devia entender o que fazia. Mas o professor falava, o aluno escutava e repetia, não participava da construção de seu conhecimento. O trabalho se resumia a um treinamento de técnicas operatórias que seriam utilizadas na resolução de problemas – padrão ou para aprender algum conteúdo novo (p. 201). As duas reformas tiveram desempenhos não satisfatórios. SegundoOnuchic (1999), essas duas formas de ensino, repetição e compreensão, nãolograram sucesso quanto à aprendizagem dos educandos. Nas décadas de 60 e 70, o ensino da matemática no Brasil e em outrospaíses do mundo foi influenciado por um movimento de renovação conhecidocomo Matemática Moderna. Esta reforma também deixava de lado as reformasanteriores. A matemática moderna nasceu como um movimento educacional inscrito numa política de modernização econômica e foi posta na linha de frente do ensino por se considerar que, juntamente com a área de ciências naturais, ela se constituía via de acesso privilegiada para o pensamento científico e tecnológico (BRASIL 1998, p. 21). Nesta época, procurou-se aproximar a matemática desenvolvida naescola da matemática como é vista pelos estudiosos e pesquisadores.Segundo Bicudo (1999), esse movimento apresentava uma matemáticaestruturada, apoiada em estrutura lógica, algébrica, topológica e enfatizava ateoria dos conjuntos. Realçava muitas propriedades, tinha preocupaçõesexcessivas com abstrações matemáticas e apresentavam uma linguagem
  19. 19. matemática universal, concisa e precisa. Entretanto, acentuava o ensino desímbolos e uma terminologia complexa que comprometia o aprendizado. Ainda segundo Bicudo (1999), nessa reforma o aluno não percebia aligação que todas aquelas propriedades enunciadas tinham a ver com amatemática dos problemas e, principalmente, com a matemática usada fora daescola. Embora procurasse usá-las em exercícios de aplicação, repetindo oque havia sido feito em classe e dizendo o nome daqueles novos símbolosmatemáticos que lhes eram apresentados. Na maioria das vezes, nãoconseguia lhes dar significado. Esse ensino passou a ter preocupaçõesexcessivas com a formalização, distanciando-se das questões práticas. Todas essas reformas não tiveram o sucesso esperado. Pois de acordocom Onuchic (1999), os questionamentos continuavam: “Estariam essasreformas para formação de um indivíduo consciente, útil à sociedade em queele vivia? Buscavam elas ensinarem Matemática de modo a preparar oseducandos para um mundo de trabalho que exigia mais conhecimentomatemático”? (p. 203). Surge então à necessidade de uma reforma pedagógica, proposta pelosresponsáveis pela elaboração do currículo, da época. Desencadeia a partir daí,a idéia de pesquisas de materiais novos e métodos de ensino renovados;incluindo também a preocupação e a intensificação de estudos e pesquisas naárea da didática da matemática. No início dos anos 70, a preocupação com habilidades matemáticasbásicas ficou evidente, sendo a resolução de problemas na área dematemática, uma alternativa metodológica a ser desenvolvida. Já final desta década, a “Resolução de Problemas” ganhou espaço nomundo inteiro. Começou o movimento a favor do ensino da matemática atravésda resolução de problemas. De acordo com (Onuchic, 1999, p. 204), uma das primeirasrecomendações dizia que, “resolver problemas devia ser o foco da Matemáticaescolar para os anos 80”. E destacava que o desenvolvimento de habilidades
  20. 20. em resolução de problemas, deveria dirigir os esforços dos educadoresmatemáticos por toda essa década e que o desempenho em saber resolverproblemas mediria a eficiência de um domínio pessoal e nacional, dacompetência matemática. Podemos perceber que a resolução de problemas, como abordagemmetodológica, não era um modismo de ensino e sim uma abordagem damatemática que iria contribuir para uma matemática ampla, voltada para acidadania.2.2 – A Resolução de Problemas na prática educativa da matemática Como foi afirmado anteriormente, em nível mundial, as investigaçõessistemáticas sobre a Resolução de Problemas e suas implicações curriculares,tiveram início na década de 70, época em que os educadores matemáticospassaram a aceitar a idéia de que o desenvolvimento da capacidade deresolver problemas merecia mais atenção. Porém, o ensino da resolução deproblemas, enquanto campo de pesquisa em educação matemática começou aser investigado de forma sistemática sob a influência de Polya, nos EstadosUnidos, a partir dos anos 60, conforme lemos: Embora grande parte da literatura hoje conhecida em Resolução de Problemas tenha sido desenvolvida a partir dos anos 70, os trabalhos de George Polya datam de 1944. A partir do final da década de 1960, a metodologia de investigação, utilizando sessões de resolução de problemas em grupo e com os alunos se manifestando em voz alta, se tornou prática comum. O período de 1962 a 1972 marcou a transição de uma natureza quantitativa para uma qualitativa (Andrade 1998, apud ONUCHIC, 1999, p. 203). Segundo Deguire (1997, p. 99), Polya ensinava através do exemplo. Aoensinar a resolver problemas, era um companheiro. “Ele não apresentavaproblemas resolvidos, mas a serem resolvidos”. Polya levava uma classe àsolução de um problema com perguntas que apontavam caminhos e comsugestões de estratégias produtivas. Como comentarista, ele na maioria dasvezes, discutia o que estava acontecendo. Seus comentários “ilustravam adiferença de resolver um problema com uma classe e ensinar a resolver
  21. 21. problemas”. Ou seja, seus comentários enfatizavam mais os métodos queseriam usados do que uma solução particular de um problema. Ainda segundo Deguire (1997, p. 99), Polya não dava uma série deproblemas que exigiam do educando usar o mesmo método. Ao contrário, elecomeçava com um, assim que os educandos os assimilavam, gradualmenteintroduzia outros. “Ele assumia o papel de comentarista, não só durante osepisódios de resolução de problemas, mas também no seu final”.Constantemente fazia com que seus alunos mergulhassem na resoluçãoreflexiva de problemas; “refletia sobre o problema e sua solução”, procurandooutros métodos de solução, generalizando os resultados e as estratégias,criando assim, novos problemas. Para que o aluno resolva problemas matemáticos é importante que elesaiba quais são os componentes desse problema, ou seja, o que está sendopedido e não busque apenas a resolução mecânica. Ele deve ler e interpretaras informações contidas no enunciado, criando uma estratégia de solução econfrontar a solução por ele encontrada. Há várias sugestões de se analisar o processo de pensamento para aresolução de um problema matemático. Todas elas procuram determinar fasesou estágios. Polya (1985, apud Dante 2007, p. 22) propõe quatro estágiosprincipais para a Resolução de Problemas:1. Compreender o problema – Analisar detalhadamente o enunciado atéencontrar, com precisão, quais são os dados e sua condição. Nessa fase,tenta-se perceber claramente o que é necessário, isto é trabalhar para o fimque se deseja.2. Construir uma estratégia de resolução – Tentar usando a experiênciapassada, encontrar um plano de ação, um método de solução. Isso podeacontecer gradualmente, ou então, após várias tentativas.
  22. 22. 3. Executar as estratégias – Experimentar o plano de solução passo a passo. Oplano proporciona apenas um roteiro geral. É preciso examinar e executar osdetalhes, um a um, até que tudo fique perfeitamente claro e resolvido.4. Examinar a solução encontrada – Checar o resultado por outros caminhos.Efetuar uma revisão crítica do trabalho realizado, checando o resultado e oraciocínio utilizado. As quatro etapas acima citadas não são rígidas, fixas e infalíveis, masdireciona a prática resolutiva. Pois segundo Dante, (2007, p. 22 e 23), “oprocesso de resolução de problemas é algo mais rico, que não se limita aseguir instruções passo a passo que levarão à solução, como se fosse umalgoritmo”. Entretanto, Segundo Dante, o esquema de Polya, de um modo geralajuda o solucionador a se orientar durante o processo. A compreensão da resolução de um problema só se efetiva se o aluno,ao final, for capaz de comprovar os resultados, avaliar hipóteses ecompreender diferentes algoritmos. O processo de escolha das estratégias deresolução é mais importante do que o produto final, pois, fornece valiosasinformações sobre o acúmulo de conhecimento dos educandos. (DEGUIRE,1997). Para Carvalho (2005) o importante na resolução de problemasmatemáticos é incentivar os alunos a decifrarem o seu enunciado, levando-os arefletirem sobre o que realmente está sendo pedido. Alguns professores são muito rigorosos e exigem demais de seus alunosem demonstrações, avaliação e correção de exercícios. Esse comportamentonão valoriza o raciocínio do educando e pode desestimulá-lo. Para que issonão aconteça “é fundamental orientar a aprendizagem para uma introduçãomais intuitiva das idéias matemáticas, deixando para depois (...) o tratamentomais formal” (VITTI, 1999, p. 37).
  23. 23. O professor de matemática deve sempre incentivar seus alunos,levando-os a questionar constantemente, aguçando a sua curiosidade, dando-lhes condições de chegar com exatidão às respostas, o que contribuirá paraque eles se saiam bem quando precisarem aplicar esses conhecimentos à suavida prática. A esse respeito Freire (1979, p. 27) afirma que “o conhecimentoexige uma posição curiosa do sujeito frente ao mundo, requer sua açãotransformadora sobre a realidade e exige uma busca constante”. A escola jamais deve inibir a curiosidade natural do aluno, ao contrário,deve estimular essa curiosidade. Segundo Vitti (1999) a matemática apresentadiversas regras e fórmulas e alguns professores acham que a matemática éapenas isso: fórmulas e regras. No entanto, essas fórmulas deveriam serconseqüências naturais do desenvolvimento de uma idéia matemática, de umproblema, porque ela é apenas o resumo de uma idéia. No momento em que os problemas matemáticos forem colocados diantedo educando, o mais importante é que eles procurem os caminhos que possamlevar a uma solução. Ao investigar diferentes soluções, o aluno estará semotivando e sentindo prazer por estar aprendendo a descobrir os caminhosque lhe trará resultados satisfatórios. A solução do problema matemático temque ser encontrada por ele e para ele. Para que os educandos aprendam a resolver problemas é necessárioque assimilem os conceitos referentes a esses problemas. Os conceitos, aoserem adquiridos, sofrem, gradativamente, mudanças; o indivíduo se concentracada vez mais em seus atributos essenciais evidentes. O conteúdo conceitualgenérico tende a ser preenchido por atributos particularizados, tornando-semais amplo e abstrato. Não necessariamente, o indivíduo deixa de lado asexperiências empírico-concretas, porém utiliza-se desses conceitosanteriormente adquiridos como ancoragem, “para que os novos conceitospossam ser pertinentemente relacionados na estrutura cognitiva. Dessa forma,os significados posteriores não são apenas construídos, mas absorvem osprimeiros e os mais simples” (BARALDI, 1999, p. 49).
  24. 24. È muito comum em sala de aula ser aplicado problemas que sãoresolvidos sempre da mesma forma, a partir de técnicas e conceitosaprendidos de maneira monótona. Esta forma de aprendizagem estátotalmente defasada. Quando se trabalhar com resolução de problemas deve-se conduzir o aluno a um processo de investigação para se obter a respostadesse problema. Na resolução de problemas o professor deve estar atento aodesenvolvimento de competências e habilidades que envolvam criar, perguntar,deduzir e validar soluções. “Os alunos devem ter espaço para solucionarproblemas com técnicas e abordagens imprevisíveis”, afirma Sampaio (2004, p.5). Os professores de matemática, para serem realmente eficientes, devemenvolver quatro componentes básicos em suas atividades: gostar da disciplinamatemática, o que significa fazer matemática com prazer; compreender comoos alunos aprendem e constroem suas idéias; ter habilidade em planejar eselecionar tarefas e, assim, fazer com que os alunos aprendam matemáticanum ambiente de resolução de problemas; ter habilidade em integrardiariamente a avaliação com o processo de ensino afim de melhorar esseprocesso e aumentar a aprendizagem (BICUDO e BORBA, 2005). Segundo Sampaio (2004) para acabar com as dificuldades sentidaspelos alunos na resolução de problemas, o professor deve iniciar apresentandoproblemas mais simples e que tenham algum significado para os educandos,que se refiram a situações familiares. Devem ser apresentados tambémproblemas com enunciados divertidos e desafiadores, que possibilitem umaampla gama de soluções e que desperte motivação nos alunos. Bicudo e Borba (2005) afirmam que ensinar matemática através daresolução de problemas não é apenas apresentar o problema e esperar que oaluno o resolva. O professor deve criar um ambiente motivador e estimulante,antes, durante e depois da aula. Inicialmente, o professor deve verificar se osalunos estão mentalmente prontos para receber o problema, se estãoentendendo o seu enunciado. Em seguida, na fase “durante”, o professor deveobservar como os alunos estão trabalhando, resolvendo o problema. Por
  25. 25. último, o professor deve aceitar o resultado encontrado pelos alunos e conduzira discussão sobre as possíveis soluções encontradas. Sem dúvida, ensinar matemática através da resolução de problemas éuma “abordagem consistente com as recomendações da NCTM e dos PCN,pois conceitos e habilidades matemáticas são aprendidos no contexto daresolução de problemas” (BICUDO e BORBA, 2005, p. 222). O professor de matemática, ao “ensinar” a resolução de problemas,enfrenta um certo despreparo porque durante a sua formação como educador,vivenciou um ensino sob pressão, sendo sobrecarregado com informações esem nenhuma possibilidade de tomar suas próprias decisões, afirma Rabelo(2004). Foi-lhe proibido resolver problemas, ele somente teve o dever dedecorar soluções, não teve o direito de opinar, de raciocinar. Como é que umaformação acadêmica realizada dessa forma pode estimular mudanças nosalunos? Os estudos na área de Educação Matemática propõem que paraconstruir novos referenciais de ensino é necessário refletir conjuntamente epropor novas ações. Como nos afirma Smole e Diniz (2001, p. 149), ”é precisoque os alunos sejam encorajados a se engajarem efetivamente em situaçõesnovas, buscando desenvolver o interesse pelo problema”. Segundo a autora,agindo dessa forma estamos contribuindo para que os educandos sejam muitomais autônomos e capazes de enfrentar os problemas propostos sem medo oureceios. Neste contexto, entra o papel do educador como principal condutor paraa elaboração de um trabalho pedagógico, com a apropriação da capacidade deplanejar, selecionar atividades significativas, interessantes e variadas,teoricamente fundamentadas para atingir objetivos claramente específicos,proporcionando o conhecimento do educando.
  26. 26. 2.3 – Resolução de problemas para uma aprendizagem significativa:Perspectivas em Educação Matemática Pensadores e pesquisadores, de acordo com Bicudo (1999) estudaramou têm estudado a respeito da atividade de resolver problemas. Pois segundoela, a atividade de resolver problemas recai na questão filosófica de pensarsobre o pensamento; neste sentido, os filósofos gregos como Sócrates e Platãotrazem algumas contribuições. Para Sócrates, o indivíduo já detém oconhecimento a ser usado para resolver o problema e, portanto, a atividade deresolver problemas não passa de mera recordação. Para exemplificar seumétodo, certa vez Sócrates fez um escravo demonstrar o Teorema dePitágoras apenas lhe fazendo algumas perguntas. Podemos notar, portanto,que o fato de Sócrates fazer perguntas já era um encaminhamento na soluçãodo problema. As primeiras idéias um pouco mais positivas e razoáveis no sentido davalidade na resolução de problemas vem com o filósofo e matemático francêsDescartes (1596 - 1650). A propósito, o importante em Descartes são suasidéias sobre pensamento produtivo que tinham um papel importante no seuambicioso projeto de construção de um método geral de resolução deproblemas. Procurava expor em detalhes como, seu método, seria possívelresolver qualquer problema. Em resumo, Descartes vê o processo de resoluçãode problemas em três fases: - Reduzir todo problema algébrico a um problema contendo apenasequação; - Reduzir todo problema matemático a um problema algébrico; - Reduzir qualquer problema a um problema matemático. Podemos notar que Descartes objetivava reduzir todo problema queexiste no mundo a um problema matemático; mais que isso, a idéia deDescartes era completar o projeto de resolver problemas citado acima e aindausufruir de seus benefícios. É importante citar Descartes em detalhes, poisalgumas de suas sugestões para o ensino e a resolução de problemas
  27. 27. antecipam idéias de George Polya, que definiu o que caracteriza este conteúdoquando mencionou: Problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar piano: Você pode aprendê-lo por meio de imitação e prática. (...) se você quer aprender a nadar você tem de ir à água e se você quer se tornar um bom ‘resolvedor de problemas’ tem que resolver problemas. (apud DEGUIRE, 1997, p. 113). A partir daí, pesquisas que precederam mostraram que a idéia deproblema matemático consiste em que, o que para alguns é um problema paraoutros é um exercício e para alguns outros uma distração. Um matemático, aodescrever o seu trabalho, certamente não deixará de pronunciar duas palavraspresentes no seu dia a dia: problema e prova. O problema é o meio pelo qual aMatemática se desenvolve, ou seja, o “alimento” da evolução matemática. Umproblema tem seu grau de importância relacionado à quantidade de idéiasnovas que ele traz à matemática e o quão ele é capaz de impulsionar osdiversos ramos da Matemática – sobretudo aqueles em que ele não estádiretamente relacionado. A prova está indissoluvelmente ligada ao problema eé a única maneira de atestar ou não a solução matemática do mesmo. A provarepresenta o rigor, a solidez e a consistência da teoria matemática e nada maisé do que uma seqüência de raciocínios dedutivos que parte de fatos deveracidade já conhecida – como teoremas e axiomas – e chega até o resultadoem demonstração, resolvendo o problema (FIORENTINI, 2006, p. 60). No contexto de educação matemática, um problema, ainda que simples,pode suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar à curiosidade eproporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução. Neste sentido, osproblemas podem estimular a curiosidade do aluno e fazê-lo a se interessarpela Matemática, de modo que ao tentar resolvê-los o aluno adquirecriatividade e aprimora o raciocínio, além de utilizar e ampliar o seuconhecimento matemático. (FIORENTINI, 2006, p. 64) Diante do exposto, precisamos entender o que é de fato um problemaem matemática. Podemos dar uma definição intuitiva de problema: “umproblema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações
  28. 28. matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou ainvenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. Ainda,segundo Newell & Simon (1972)”, um problema é uma situação na qual umindivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho das açõesnecessárias para concretizar a sua ação”, ou segundo Chi e Glaser (1983) “umproblema é uma situação na qual um indivíduo atua com o propósito dealcançar uma meta utilizando para tal alguma estratégia em particular” (apudFIORENTINI, 2006, p. 68). A partir dos conceitos de problemas acima, entendemos que existe umproblema quando há um objetivo a ser alcançado e não sabemos como atingiresse objetivo. “Em matemática, existe um problema quando há um resultado –conhecido ou não – a ser demonstrado utilizando a teoria matemática. Umproblema é mais valioso à medida que o resolvedor – ou seja, quem está sepropondo a encontrar uma solução ao problema - tenha de inventar estratégiase criar idéias”. Quem resolve pode até saber o objetivo a ser atingido, masainda estará enfrentando um problema se ele ainda não dispõe dos meios paraatingir tal objetivo. (DANTE, 2002, p. 47) Dentre as características que definem os problemas de acordo comDante (2002) podemos observar que o caminho da resolução é desconhecido,ao menos em boa parte também são complexos, precisam de vários pontos devista; a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o caminhopossa ser curto, ele tende a ser difícil; necessitam de lucidez e paciência, umproblema começa com uma aparente desordem de idéias e é preciso adotarpadrões que permitirão construir o caminho até a solução. Nem sempre todasas informações necessárias estão aparentes; por outro lado, pode existirconflito entre as condições estabelecidas pelo problema. Não há respostaúnica: normalmente ocorre de existirem várias maneiras de se resolver umdado problema; no entanto, pode acontecer de não existir uma melhor soluçãoou até de não haver solução – ou seja, resolver um problema não é o mesmoque achar a resposta. (p. 53).
  29. 29. É importante ressaltar que problemas e exercícios são diferentes naprática pedagógica. Por muitas vezes o professor de Matemática da EducaçãoBásica costuma pedir para o aluno resolver exercícios ou problemas - até oslivros didáticos induzem a utilizar esta palavra - para aprender um determinadotópico da matéria. Ou seja, é preciso diferenciar problema de exercício,palavras estas muitas vezes utilizadas como equivalentes pelos professores deMatemática. O exercício é uma atividade de adestramento no uso de algumahabilidade ou conhecimento matemático já conhecido pelo resolvedor, como aaplicação de algum algoritmo ou fórmula já conhecida. Ou seja, o exercícioenvolve mera aplicação de resultados teóricos, enquanto o problemanecessariamente envolve invenção e/ou criação significativa. "É bom trabalharem qualquer problema com tanto que ele gere Matemática interessante duranteo caminho mesmo se o não resolvermos no final" (MALONE apud KRULIK eREIS, 1997, p. 289). Assim, a resolução de problemas constitui uma metodologia eficiente esignificativa para a comunidade da educação matemática em todo o mundo,que, não obstante, o esforço visível em muitas publicações de definir o que éum problema e de criar categorias, ainda subsiste, por vezes, algumaindefinição quanto à relação existente entre o processo de resolução deproblemas e o processo investigativo. Polya procurou ajudar a descortinar osignificado de problema, num sentido amplo, fazendo distinção entre oproblema em si e o processo de resolução. Em seus fundamentos afirma queuma pessoa tem um problema quando procura "conscientemente uma certaação apropriada para obter um objetivo claramente concebido mas nãoatingível de maneira imediata." ( Polya apud KRULIK e REIS, 1997, p. 270). Trazendo para os nossos dias, hoje talvez mais do que em qualqueroutra época, a educação é universalmente reconhecida como essencial aodesenvolvimento integral das pessoas e da própria sociedade. Uma sociedadecomo a atual, cada vez mais permeada por novas descobertas nos campos dasciências e das tecnologias, logo disponibilizadas a praticamente todas aspessoas, exige uma nova dinâmica relativa aos modos de transmissão eaquisição de conhecimentos. A adequação de novas concepções do ensino do
  30. 30. professor em seus diversos níveis a essa nova sociedade é uma necessidadeurgente e permanente. Com base nos PCN‘s (1998), foram propostas mudanças significativaspara o ensino Fundamental no Brasil. A nova Lei de Diretrizes e Bases daEducação Nacional (LDB) alterou o caráter proeminentemente propedêutico eprofissionalizante desse nível de ensino, atribuindo-lhe o papel de etapa básicade um processo educativo de caráter geral, permitindo a inserção no mercadode trabalho, mas ao mesmo tempo viabilizando a continuidade dos estudos aquem o desejasse. De acordo com essa perspectiva, faz parte das funções doEnsino Fundamental desenvolver no indivíduo o pensamento crítico e aautonomia intelectual, de forma que ele se sinta não só apto a adquirir novosconhecimentos, como também preparado a assumir plenamente seu papel naconstrução de uma sociedade mais justa e democrática. Através dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s, 1998) para oEnsino Fundamental, o MEC buscou dar um novo sentido ao conhecimentoescolar acentuando a importância da contextualização dos diversos conteúdos,sugerindo que se evitasse a fragmentação dos saberes. No que se refere aoensino e à aprendizagem significativa de matemática no Ensino Fundamental,os parâmetros recomendam explicitamente que, além de considerá-la comociência autônoma, com uma linguagem própria e métodos de investigaçãoespecíficos, não se deve esquecer do seu aspecto instrumental, comimportante função integradora junto às demais ciências humanas e danatureza. Nesse sentido, os conteúdos matemáticos devem ser desenvolvidosde modo a permitir que os alunos usufruam tanto do valor intrínseco damatemática quanto de seu aspecto formativo, instrumental e tecnológico. Conciliar e desenvolver cada um desses aspectos não é tarefa fácil.Para dar conta de tais exigências, é necessário que ocorram mudançassignificativas no espaço da sala de aula de matemática no EnsinoFundamental. Mas como realizar as mudanças necessárias? Como reverter oquadro de imobilismo que vemos imperar a tanto tempo? Como a matemáticapode contribuir para instrumentalizar e estruturar o pensamento dos alunos,capacitando-os a, resolver situações de problemas cotidianos, estabelecerem
  31. 31. argumentações, analisar e avaliar, tomar decisões, generalizar, abstrair etantas outras ações que deles se espera ao final dessa etapa? O que deveconceber o professor de matemática para tornar seu ensino mais eficiente? A matemática é uma área naturalmente propicia ao desenvolvimento e àmanutenção de um diálogo permanente com a vida cotidiana e com outrasáreas do conhecimento. Segundo os PCN’s (2001), a matemática, por seruniversal ocupa uma posição de destaque, no contexto das ciências, assimcomo no desenvolvimento da sociedade e da educação. (p. 211). Desta forma, a educação atua sobre a vida e o crescimento de umasociedade, tanto no desenvolvimento de suas forças produtivas quanto de seusvalores culturais. Numa sociedade, a educação envolve situações deaprendizagens informais e formais. Quanto ao ensino, deve-se destacar amaneira bastante precisa pela qual Hirst & Peters (apud Baraldi, 1999) odescrevem: Existem muitas formas de aprendizado que continuam sem ensino, e o aprendizado educativo não subentende o critério adicional de que o aprendizado deva ocorrer numa situação de ensino. Pode ser um fato empírico geral que a maioria das coisas seja aprendida com mais rapidez e segurança se a situação é explicitamente estruturada por um professor. Mas por certo não é uma verdade conceitual que o aprendizado ou a educação implique ensino (p. 34). É importante frisarmos segundo Baraldi (1999), que a educação édiferente de ensino, podendo ser adquirida pelo ensino, mas não se reduzindoa este, ou seja, é um processo mais amplo, englobando-o. Para Brandão (1994), a escola é a instituição social responsável pelaeducação através do ensino. É seu dever, então, planejar intencionalmente asatividades objetivas para atingir a aprendizagem, ou seja, sob orientação deseu corpo docente, criar situações educacionais ou de ensino. O ensino escolarnão é um fato isolado, descontextualizando socialmente, pois também nãoexiste um ensino universal. “O que existe de fato são exigências sociais deformação de tipos concretos de pessoas na e para a sociedade” (p. 35).
  32. 32. Atualmente, as exigências feitas à educação, em específico ao ensinoescolar, são as de proporcionar aos indivíduos uma formação que os possibiliteconstruir seu próprio conhecimento, frente às inovações tecnológicas, a fim deque sejam criativos e autônomos moral e intelectualmente. Porém, nasociedade brasileira, é evidente o descaso social para com as gerações decrianças e adolescentes que, em sua maioria, acabam na marginalidade, “sejapelo processo mais amplo de exclusão da própria escola, ou doempobrecimento da população” (BARALDI, 1999, p. 36). Boavida (1993), apud Baraldi (1999), ressalta que todo cidadão, para teracesso ao mundo do conhecimento científico e tecnológico, precisa possuiruma cultura matemática básica que lhe permita interpretar e compreendercriticamente a Matemática subjacente a inúmeras situações do dia-a-dia, etambém lhe permita resolver problemas e tomar decisões diante dos maisvariados aspectos de sua vida, nos quais a Matemática esteja presente. Levando-se em conta o exposto, a intenção neste trabalho é fazer comque o ensino da matemática contribua para a inclusão desses sujeitos nessecontexto contemporâneo, melhor ainda, fazer com que o educando adquirauma aprendizagem significativa através da resolução de problemas. Para David Ausubel (1968), a idéia de uma aprendizagem significativano geral “é estabelecer significados de idéias novas com as já existentes docontexto do aluno, o material a ser apresentado precisa dinamizar essarelação, afim de que o individuo possa traduzir verbalmente e de formaadequada o que lhe foi ensinado.” A estrutura cognitiva é o fator que maisinfluencia a aprendizagem, “se a estrutura cognitiva estiver bem organizada, oaluno terá mais facilidade de aprendizagem e conseqüentemente, melhorcompreensão de um conteúdo”. (apud BARALDI, 1999, p. 38) Com base nesta teoria acima citada, reportamo-nos novamente aosParâmetros Curriculares Nacionais quando mencionam: Cabe ao educador por meio da intervenção pedagógica, promover a realização de aprendizagens com o maior grau de significado possível, uma vez que esta nunca é absoluta sempre é possível
  33. 33. estabelecer alguma relação entre o que se aprende conhecer e as possibilidades de observação, reflexão e informação (...) (PCN’s, 1998 – Introdução – vol. I p. 53). Segundo Gadotti (1999), o educador para pôr em prática o diálogo, nãodeve colocar-se na posição de detentor do saber, deve antes, colocar-se naposição de quem não sabe tudo, reconhecendo que mesmo um analfabeto éportador do conhecimento mais importante: o da vida. No que diz respeito ao conteúdo de Resolução de Problemas, oaprender neste sentido se torna mais interessante quando o aluno se sentecompetente pelas atitudes e métodos de motivação em sala de aula. O prazerpelo aprender não é uma atividade que surge espontaneamente nos alunos,pois, não é uma tarefa que estes cumprem com satisfação, sendo em algunscasos encarada como obrigação. É preciso que o educador desperte acuriosidade dos alunos, acompanhando suas ações no desenvolver dasatividades. Suas concepções não devem se limitar somente com oconhecimento através da absorção de informações, mas também pelaconstrução da cidadania do aluno. Historicamente seu papel é de facilitador deaprendizagem, aberto às novas experiências, procurando compreender numarelação empática, também os sentimentos de seus alunos levando-os à auto-realização. Por mais que o educador trabalhe com clareza e objetividade, acomunicação nunca alcançará a todos com a mesma eficácia. Em uma sala deaula, cada estudante estará com a cabeça repleta de outros tempos e outrosespaços. A proximidade física e o propósito comum não fazem deles um blocode disposição pronto para assimilar e anotar o discurso do professor. Oentendimento proveitoso entre professor e seus alunos não se estabeleceporque aquela é a hora daquela disciplina. (SANTOS, 2003, p. 23). D’Ambrósio (1997, p. 35 - 40) acredita que o professor de Matemáticadeve ter em suas concepções quatro características: visão do que vem a ser amatemática; visão do que constitui a atividade matemática; visão do queconstitui aprendizagem matemática; visão do que constitui um ambientepropício à atividade matemática. Ainda segundo D’Ambrosio, há uma grande
  34. 34. necessidade de modificarmos nossos programas de formação de professores e discutir os tipos de experiências necessárias, para que eles possam reconceituar sua visão do que vem a ser a Matemática e do que caracteriza a legítima matemática. São eles:1. Experiências matemáticas através das quais o futuro professor de Matemática deve aprender os conteúdos específicos por meio de metodologias alternativas, visando a investigação, à resolução de problemas, às aplicações, assim como uma análise histórica, socióloga e política do desenvolvimento da disciplina.2. Experiências com alunos, destacando-se necessidade de os programas de formação de professores as incorporem desde o início. D’Ambrósio entende que os futuros professores constroem seu conhecimento sobre ensino da Matemática através desse contato com os alunos. Consideramos o professor de Matemática o principal mediador entre os conhecimentos matemáticos historicamente produzidos e os alunos, e um dos grandes responsáveis por possíveis transformações tanto na escola, como na sociedade. Entendemos, por isso, que a formação clássica desse profissional, inicial e continuada, necessita ser transformada e concebida da perspectiva do desenvolvimento profissional. Sobre isso, Garcia contribui, dizendo: ...mais do que os termos aperfeiçoamento, reciclagem, formação em serviço, formação permanente, convém prestar uma atenção especial ao conceito de desenvolvimento profissional dos professores, por ser aquele que melhor se adapta à concepção atual do professor como profissional do ensino. A noção de desenvolvimento tem uma conotação de evolução e continuidade que nos parece superar a tradicional justaposição entre a formação inicial e aperfeiçoamento dos professores (1995, p. 55). A importância de encarar a formação na perspectiva do desenvolvimento profissional resulta da constatação de que uma sociedade em constante mudança impõe ao professor responsabilidades cada vez maiores. Introduzir essa concepção representa uma nova perspectiva de olhar os professores de Matemática, pois, ao valorizar o seu entendimento profissional, eles passam a ser considerados como profissionais autônomos e responsáveis, com múltiplas facetas e potencialidades próprias (PONTE, 1996, p. 195).
  35. 35. A experiência pessoal e a prática pedagógica são importantes para aaprendizagem profissional do professor de Matemática. O saber docenteoriundo do contato com os alunos nas aulas de Matemáticas deve serconsiderado e confrontado com a teoria. Certamente a união de pesquisasgeradas pelas Universidades e pelos professores do Ensino Fundamental eMédio traria muitas contribuições para a educação, porque os professorestambém têm teorias que podem contribuir para uma base codificada deconhecimento de ensino. (Zeichner, 1993, apud Baraldi 1999). Para Oliveira (1997), é fundamental que o professor de Matemática: Acredite no seu potencial, acredite que sua prática é muito importante e que possui momentos riquíssimos, os quais merecem uma discussão/reflexão coletiva. O fato de o professor não crer em sua capacidade faz com que ele se isole cada vez mais, acreditando que sua prática tem pouco a oferecer, deixando de colaborar para que mudanças efetivas se realizem. O que deve estar sempre presente é que a soma de pequenas experiências pode transformar e gerar práticas educativas mais significativas (p.108). É imprescindível resgatar o valor do saber docente, de uma maneiramuito particular, suas concepções com base na experiência que emergem darealidade escolar e que funcionam como referência para o professor deMatemática, constituindo boa parte de sua cultura profissional. Sendo assim, confiamos que por meio da resolução de problemas, oaluno pode estar aprendendo significativamente os conceitos planejados, ouseja, o ensino e a aprendizagem da Matemática se dão via resolução deproblemas. Dessa forma, acreditamos que a resolução de problemas implicauma aprendizagem por descoberta orientada. CAPÍTULO III
  36. 36. METODOLOGIA3.1 - Pesquisa qualitativa como método Para a construção de qualquer trabalho científico a pesquisa é de sumaimportância, pois é através dela que se colhem informações e conhecimentoscientíficos de uma determinada problemática e assim, encontrar possíveissoluções. De acordo com Forquim (1993), foi só a partir do século XX que aeducação se apropriou e adaptou ao seu contexto específico. Até a metade doséculo XX, predominaram investigações que buscavam explicar os fatoseducacionais por meio da pesquisa quantitativa, que são eficientes comosubsídios para macro análises, projetos sociais, planejamento governamental,pesquisas de pequeno porte, como recenseamento, por exemplo. Mas novosrumos foram tomados nas pesquisas educacionais e na década de 60, quandoa Sociologia da Educação foi introduzida como disciplina, ganhou corpo à idéiade que a vida social é produto de uma associação entre uns e outros; e ainteração social, o meio pelo qual se constrói simultaneamente esimetricamente a personalidade individual e a ordem social. (p. 28). Os pesquisadores passaram a importar-se muito mais pelas relaçõesinterpessoais. Sociedade, conteúdos de ensino e currículo passaram a serobjeto de estudos mais aprofundados. Isso exigiu o reconhecimento de que amesma importância que se dá aos fatos relevantes das ciências sociais deveser dada às práticas das atividades rotineiras e banais do cotidiano, pois é apartir do dia-a-dia que emergem os sujeitos sociais, a existência humana emsua essência e concretude. Nessa nova abordagem, a pesquisa quantitativanão estava, de fato, capacitada a captar a complexidade das relações entre oselementos analisados (LUDKE e ANDRÉ, 1986). Ainda segundo Ludke e André (1986), houve certa resistência em opor-se à pesquisa quantitativa, como se uma precisasse eliminar a outra. Narealidade, as duas são instrumentos auxiliares ou complementares paraaquisição do conhecimento. Triviños (1987) ensina que todas as pesquisas
  37. 37. podem, ao mesmo tempo, ser qualitativas e quantitativas, porém os dadosnuméricos devem ser instrumentos auxiliares, uma vez que “Toda investigaçãobaseada na estatística, que pretende obter resultados objetivos, ficaexclusivamente no lado estatístico” (p. 118). Da mesma maneira a pesquisa qualitativa, não pode ser abraçada deforma cega e sem conhecimento de causa. No inicio, ela foi considerada umamera especulação de observadores da realidade social. Entretanto, aospoucos, pesquisadores, principalmente os antropólogos, perceberam quemuitas informações difíceis de quantificar sobre a vida dos povos, tambémnecessitavam ser absorvidas, entendidas e analisadas em função do própriocontexto em que se originavam. Esses estudiosos consideravam relevantestodas as informações abstraídas da pesquisa, desde que observados oscritérios metodológicos. (LUDKE e ANDRÉ, 1986). Esse mesmo caminho foi seguido pelos pesquisadores da educaçãoque passaram a levar em conta o meio habitual, já que na Escola sedesenvolvem as atividades físicas e sociais, e somente a partir daí se tornapossível compreender a dimensão de seus significados. (LUDKE e ANDRÉ,1986). Nesse suposto, buscando encontrar a melhor maneira de alcançarnossos objetivos é que este trabalho foi norteado pela abordagem qualitativa,sabendo que esta abordagem de pesquisa procura reunir procedimentoscapazes de suprir os limites das análises quantitativas. Essa opção metodológica é adequada para nossa coleta de dadosporque analisa a qualidade do processo ensino-aprendizagem, podendocompreender o comportamento e o desenvolvimento das experiências dessesalunos em relação ao nosso tema. Ludke e André (1986, p. 22) afirmaram que: Para se realizar uma pesquisa é preciso promover o confronto entre os dados, as evidências, as informações coletadas sobre
  38. 38. determinado assunto e o conhecimento teórico acumulado a respeito dele. Em geral isso se faz a partir do estudo de um problema, que ao mesmo tempo desperta o interesse do pesquisador e limita sua atividade de pesquisa a uma determinada porção do saber, a qual ele se compromete a construir naquele momento. Bogdan e Biklem (apud, LUDKE E ANDRÉ, 1986, p. 70), afirmam que o objetivo de uma investigação qualitativa é de: “melhor compreender o comportamento e experimentos humanos, tentar compreender o processo mediante o qual as pessoas constroem significados e descrever em que consistem estes mesmos significados”. Baseando-se nesses objetivos é que escolhemos esse tipo de pesquisa.3.2 - Local da Pesquisa A pesquisa foi realizada no Colégio denominado Grupo Escolar Dr. Luiz Viana Filho, localizado à Rua Coronel Arsênio Alves, Nº. 155, na cidade de Campo Formoso, Estado da Bahia, situada a 400 km da capital Salvador, com uma população de aproximadamente 65.000 habitantes. A escolha por esse Colégio partiu primeiramente por este ter uma realidade que serviria para responder nossos objetivos. Ou seja, uma Instituição Pública que oferece o Ensino Fundamental de 5ª a 8ª série, que atende alunos de camadas sociais diferentes, além disso, segundo professores e direção, apresenta um percentual elevado de alunos que tem dificuldades na aprendizagem da matemática, tendo como conseqüência a repetência. O referido Colégio dispõe de um espaço físico constituído por 4 (quatro) salas de aula. Tendo aula para 5ª, 6ª, 7ª e 8ª série, tanto no turno matutino quanto no vespertino. O turno da noite funciona com a Educação de Jovens e Adultos (EJA). Este espaço também acomoda (03) banheiros, sendo que (01) é exclusivo para a administração e para os docentes e os outros (02) para os discentes; (01) diretoria, que funciona também como secretaria e sala para os professores; (01) cozinha e um espaço de recreação. Atualmente segundo a Direção do Colégio, conta com um quadro de 218 (duzentos e dezoito) alunos, distribuídos nos três turnos. Vale ressaltar que o Colégio conta hoje com (11) professores que atuam também distribuídos nos três turnos. Sendo (02) atuantes na área matemática. Neste quadro também é acrescido de direção, vice-direção, (02)
  39. 39. secretários e (06) agentes de serviços gerais. Esse corpo de funcionáriosmanifesta disposição para crescimento e apoio à instituição.3.3 - Sujeitos da Pesquisa Os sujeitos envolvidos nesta pesquisa foram 22 (vinte e dois) alunos da5ª. série A, do referido Colégio. A faixa etária desses discentes varia entre 10 a19 anos. A maioria são do sexo masculino.3.4 – Instrumentos e procedimentos utilizados Para a realização desta pesquisa foi utilizada inicialmente comoprocedimento, uma observação do cotidiano dos alunos, obtida com acolaboração da Direção da Escola. Em uma outra ocasião, pedimosautorização da direção do referido Colégio, bem como da professora da série aqual iríamos realizar o trabalho, para aplicarmos atividades com os educandosdurante dois dias. No primeiro dia, com os discentes, depois de uma apresentação cordial,aplicamos um pequeno questionário – apêndice A - elaborado com o objetivode perceber a afinidade dos mesmos, com o tema e conseqüentemente, sabersuas concepções e suas dificuldades diante de determinados problemasmatemáticos. Após esse pequeno questionário, aplicamos a primeira etapa deatividades – apêndice B - de forma rotineira; isto é, os educandos procuraramrealizar as tarefas solicitadas sozinhos, sem a ajuda e a orientação doprofessor/pesquisador. É importante salientar que estas atividades foramrealizadas em grupos, contendo três educandos em cada grupo. Totalizando 7(sete) grupos; já que, neste dia, compareceram 21 (vinte e um) alunos.Chamaremos esses grupos de G1, G2,... G7. No segundo dia, aplicamos a segunda etapa de atividades – apêndice C- com a participação dos alunos também em grupos, com três integrantes emcada grupo, mantendo os mesmos educandos nos grupos da primeira etapa.Com exceção do G 07 (Grupo sete), que passou a ter quatro alunos, pois nestedia vieram 22 (vinte e dois) educandos. Nesta etapa, o professor/pesquisador
  40. 40. foi mais participativo, apontando caminhos quando os educandos solicitavam,na busca de solucionar os problemas apresentados. É importante salientar que o professor/pesquisador, não dava respostapara o educando resolver o problema, e sim, quando solicitado e diante dadificuldade dos alunos, apontava caminhos, assim como Polya, encaminhandoos educandos na resolução do problema. Após isso, foi apresentada aosmesmos uma atividade para resolverem, através de desenhos/figuras –apêndice D. E uma outra – apêndice E - também em forma de desenhos, paraelaborarem um texto ou criarem uma situação-problema. A respeito das informações que foram coletadas, serão melhoresexplanadas e argumentadas a seguir. CAPÍTULO IV
  41. 41. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS4.1 – Procedimentos da Pesquisa Os esclarecimentos prévios sobre nossa pesquisa aos discentes nesteambiente tornaram-se viáveis, por fazer parte do nosso contexto de trabalho.Foi explanada a natureza da pesquisa aos educandos numa conversa informale prazerosa. Esse procedimento foi necessário para esclarecer sobre nossoobjetivo e a partir daí fundamentar nossos argumentos. A análise dos dados coletados e a interpretação dos resultados foramexecutadas a partir de atividades desenvolvidas pelos educandos. Inicialmenteaplicamos um questionário – apêndice A – para conhecermos melhor o nossopúblico alvo, bem como investigar suas dificuldades na resolução dosproblemas matemáticos. A primeira etapa das atividades desenvolvidas – apêndice B – foirealizada de forma rotineira. Já a segunda etapa – apêndice C - aplicamos asatividades, inserindo a metodologia de Resolução de Problemas como meta,estratégia e desenvolvimento do que foi solicitado. Fazendo justamente umcomparativo entre essas duas etapas; verificando em qual das duas situaçõesos educandos se sairiam melhor. Nos apêndices D e E, inserimos figuras edesenhos para a execução de interpretações, elaboração de textos e criaçãode situações-problema. Estas duas últimas atividades apresentadas seguiramde acordo com o conceito da metodologia de resolução de problemas, quesugere esse tipo de atividade para melhor exploração de problemasmatemáticos. Diante da dimensão e importância do nosso tema concluímos que erainteressante envolver todos os discentes da 5ª. série A do referido colégio, naperspectiva de uma sondagem mais abrangente e que não houvesse exclusão.Pois, Segundo Prestes (2005), esse tipo de pesquisa é voltado para aintervenção na realidade social e é muito mais ampla. E acrescenta: Caracteriza-se por uma interação efetiva e ampla entre pesquisadores e pesquisados. Seu objetivo de estudo se constitui
  42. 42. pela situação social e pelos problemas de naturezas diversas encontradas em tal situação. Ela busca resolver e/ou esclarecer a problemática observada, não ficando em nível de simples ativismo, mas objetivando aumentar o conhecimento dos pesquisadores e o nível de consciência dos pesquisados (PRESTES, 2005, p. 25). Os dados coletados, que verificaremos a seguir, indicam os resultados eservem como suporte para dar maior credibilidade a esta pesquisa.4.2 – Perfil e opinião dos discentes pesquisados – APÊNDICE A Foram envolvidos nesta pesquisa 22 (vinte e dois) alunos da 5ª. série A,do Grupo Escolar Dr. Luiz Viana Filho. A faixa etária desses discentes variaentre 10 a 19 anos. Do total de (22) educandos, (15) eram do sexo masculino e(07) do sexo feminino. Quase todos residentes em bairros periféricos da cidadede Campo Formoso, ou em pequenos povoados do município, como Povoadode Tombão e Canavieira e os bairros: Mutirão, Santa Luzia, Esplanada,Populares e Vila dos Sonhos. A grande maioria dos discentes pesquisados, quando perguntados –apêndice A – qual suas maiores dificuldades em resolver problemas,responderam (18) que era em resolver os cálculos para chegar ao resultadofinal; apenas (4) disseram que era na leitura e interpretação dos problemas. Veremos a seguir os resultados obtidos.4.3 – Analisando e discutindo a 1ª. etapa das atividades desenvolvidas –APÊNDICE B A primeira etapa (apêndice B) trabalhada em sala de aula, constou daapresentação de quatro questões matemáticas a serem respondidas peloseducandos. No primeiro momento da entrega da atividade os alunos ficaramapreensivos e preocupados como iriam fazer. Depois dos esclarecimentos,houve um melhor entendimento, entre os grupos de alunos. Durante aexecução das atividades foi-se observado que alguns alunos estavam
  43. 43. distraídos, outros conversavam entre si, comprometendo a concentração daequipe. É importante frisarmos que no desenvolvimento desta etapa oseducandos procuraram desenvolver as atividades entre eles, ou seja, nas suasequipes, sem qualquer participação e orientação do professor/pesquisador. Na primeira questão, onde relatava que uma Escola servia merenda a182 alunos diariamente e, sabendo que 1 litro de suco dava para 4 copos eque, durante a merenda, cada aluno recebia 1 copo de suco, foi perguntado,quantos litros de suco seriam necessários por dia. As respostas foramdiversificadas, e apenas (03) alunos responderam corretamente a questão,dizendo que a resposta correta seria 45 litros e meio de suco. No entanto, nãoapresentaram qualquer tipo de operação ou maneira que usaram para chegarao resultado. O restante não conseguiu responder corretamente a questão;desses, (6) fizeram uma operação de multiplicação, chegando erradamente aoresultado de 728 litros; os outros (12) a resultados totalmente diferentes doesperado, como: 91; 188 e 584. Esses resultados nos revelaram que oseducandos não sentem dificuldades apenas em resolver os cálculos parachegar ao resultado final, como também na leitura e interpretação do que ésolicitado. Contrariando um pouco o que eles afirmaram no questionário(apêndice A), onde apenas 4 dos 22 alunos pesquisados, disseram que tinhamdificuldade na leitura e interpretação dos problemas matemáticos. Dante (2007,p. 52) nos reforça dizendo que “uma das maiores dificuldades do aluno aoresolver um problema é ler e compreender o texto”. Confirmamos isso, diantedo resultado aqui obtido. Na segunda questão, cujo enunciado era: Numa reunião de grupo há 6alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os outros, perguntou –se quantos apertos de mão teriam ao todo. Todos os educandos erraram essa questão, pois (9) responderam 12apertos de mão; (6) responderam 36 apertos; (3) responderam 6 apertos; e osoutros (3) responderam 30 apertos de mão.
  44. 44. Numa questão deste tipo, segundo Carvalho (2005, p. 15), “acaba-seperdendo oportunidades de trabalhar com os alunos várias situações para asquais se criaria uma estratégia para resolver”. Neste caso, como esta questãofoi trabalhada de forma rotineira, como muitos professores ainda fazem, oseducandos não tiveram a oportunidade de ampliar seus conhecimentos. Pois aquestão foi apresentada a eles e estes responderam da sua forma. Alguns atéconvictos que tinham acertado. Veremos na segunda etapa, uma questãosimilar a esta e a forma como ela foi resolvida. Na terceira questão, que dizia: Mariana tinha apenas moedas de R$1,00 e notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Mostre todas as maneiras que elapoderia usar para pagar um livro que custava R$ 25,00. Somente (6)educandos responderam esta questão e de forma bem incompleta, pois das 12possibilidades possíveis para pagar o livro, eles apresentaram apenas uma. Osdemais, (6) somaram 1+5+10+25, dizendo que o resultado seria 41; (03)somaram 1+5+10+25, e para eles o resultado seria 85; (3) multiplicaram 16x25dando como resultado 51 e os outros (3) simplesmente deixaram em branco. Nesta questão foi comprovado que os educandos desta turma sentemrealmente muitas dificuldades na leitura e interpretação dos problemasmatemáticos. Pois alguns educandos estavam preocupados em dar apenasuma única resposta a este problema. E outros até sem saber o que o problemapedia. Professor o que é que vai fazer aqui? (G2. 02). Eu num tou intendendo isso não (G5. 01). O professor num poderia falar como a gente deve responder o nº. 3 não? (G2. 03). Como o objetivo nesta etapa era justamente observar como os alunosse sairiam sozinhos na resolução dos problemas solicitados, sem a intervençãodo pesquisador e consequentimente sem adotar a metodologia de resolução deproblemas, foi-se novamente explicado aos mesmos o nosso objetivo.
  45. 45. Ressaltando que procurassem refletir sobre o que estava pedindo o problema efizessem da forma que entenderiam que era. Já na quarta questão, cujo enunciado era: A classe de Jamile estáfazendo fichas para um jogo matemático. Em cada folha cabem 8 fichas. Nojogo serão necessárias 60 fichas. A pergunta foi: quantas folhas precisariamcomprar para fazer esse jogo. (3) alunos acertaram parcialmente, poisresponderam que seria 7 e sobrava 4. O restante erraram, já que (6)multiplicaram 8x60, obtendo como resultado 480; (6) somaram 60+8, obtendocomo resultado 68; (3) subtraíram 60-8, obtendo segundo eles, como resultado68 e os outros (3), somaram 60+80, dando como resultado 16,0. Podemos observar diante dos resultados obtidos nesta primeira etapa,que na maioria das vezes, os educandos sozinhos, sem a orientação doprofessor, não conseguem desenvolver corretamente determinadas questões.Isso porque segundo Polya (apud Dante 2007, p. 20) “o aluno precisa pensar,elaborar um plano, tentar uma estratégia, testar essa estratégia e verificar sechegou à solução correta”. Portanto a iniciativa deve partir do professor, tantopara incentivar quanto para orientar os educandos no desenvolvimento de suasatividades.4.4 – Analisando e discutindo a 2ª. etapa das atividades desenvolvidas –APÊNDICE C A segunda etapa (apêndice C) trabalhada em sala de aula constoutambém da apresentação de quatro questões matemáticas a seremrespondidas pelos educandos. Questões estas similares as da 1ª etapa,justamente para fazermos uma comparação entre os apêndices B e C. No desenvolvimento desta etapa os educandos também procuraramdesenvolver as questões solicitadas, em seus respectivos grupos. Porém,tendo a participação do professor/pesquisador, para quando solicitado peloseducandos, apontar caminhos para solucionarem o que lhes era pedido. É
  46. 46. importante novamente salientar que o professor/pesquisador, não davaresposta para o educando resolver o problema, e sim, quando solicitado ediante das dificuldades dos alunos, apontava caminhos que iriam ajudá-los noprocesso resolutivo. Pois segundo Dante (2007, p. 53), enquanto os alunosfazem uma atividade, “o professor, deve percorrer as carteiras ajudando,encorajando, dando idéias, pequenas dicas, sem dizer como se chega aoresultado”, deixando claro quais são os objetivos, as condições e os dados doproblema. Durante a execução dessas atividades verificamos que a maioria doseducandos se mostrou mais participativos, tendo maior envolvimento com oque foi solicitado. Na primeira questão letra a, onde relatava que uma Escola serviamerenda a 162 alunos diariamente e, sabendo que 1 litro de refrigerante davapara 6 copos e que, durante a merenda, cada aluno recebia 1 copo derefrigerante, foi perguntado quantos litros de refrigerantes seriam necessáriospor dia. As respostas foram unânimes, ou seja, incrivelmente todos os alunos(22) responderam corretamente a questão, dizendo que seriam necessários 27litros de refrigerante por dia. Mas para chegarmos a este resultado satisfatório, os alunosprecisaram de orientação do pesquisador. Pois pela forma que iam fazendo,continuariam cometendo os mesmos erros do nº. 01 da etapa anterior. Destavez foi-se sugerido pelo pesquisador que os educandos lessem e procurassementender o que estava pedindo o problema. Depois de um tempo foiperguntado aos mesmos se tinham alguma idéia de como resolver esseproblema. As idéias dos educandos foram surgindo e através de umaorientação continuada e de sucessivas perguntas feitas pelo pesquisador, oseducandos foram desenvolvendo o problema solicitado. Durante a resolução do problema percebemos entre um grupo e outro,as diferentes maneiras de resolução, pois (09) alunos aplicaram a operação dedivisão; (10) foram subtraindo o número 162 de 6 em 6 até chegar a zero,
  47. 47. depois contaram quantas vezes o número 6 apareceu, totalizando 27; os outros(03), foram somando de 6 em 6 até chegarem ao número 162. Estes trêsúltimos, para chegarem ao resultado correto, também contaram quantas vezestinham adicionado o número 6, concluindo também que chegariam a 27 litrosde refrigerante. Após a resolução deste problema, os educandos, através da orientaçãodo pesquisador, fizeram à verificação. Os que resolveram através da divisão,multiplicaram 6x27 e concluíram que o resultado seria o nº. 162, já os quesubtraíram de 6 em 6, somaram as 27 vezes que o 6 apareceu e concluíramtambém que o resultado seria o nº. 162, da mesma forma fizeram oseducandos que tinham somado de 6 em 6. É importante de acordo com a metodologia de resolução deproblemas, que o professor incentive os educandos a buscarem diferentesformas de resolver problemas, permitindo com isso uma reflexão maiselaborada sobre o processo de resolução. Smole e Diniz (2001) acrescentam: Em nossa experiência com resolução de problemas nas séries iniciais, temos visto que tão importante quanto o tipo de problema a ser trabalhado e a compreensão do texto é a atenção que devemos dar aos diferentes modos pelos quais as crianças podem resolver problemas. Acreditamos que este é um caminho que contribui muito para que tal ato seja um processo de investigação, no qual o aluno se posicione com autonomia e confiança e possa combinar seus conhecimentos para resolver a situação apresentada. (p. 121). Segundo Smole e Diniz (2001), aceitar e analisar as diversasestratégias de resolução como válidas, permite a aprendizagem pela reflexão eauxilia o educando a ter autonomia e confiança em sua capacidade de pensarmatematicamente. Já na letra b, que perguntava quanto a escola gastaria por dia, se cadarefrigerante custava R$ 2,00. Apenas (3) alunos não responderam estaquestão, deixando-a em branco, provavelmente por esquecimento, pois era
  48. 48. uma questão do seu dia-a-dia e aparentemente fácil de resolver, os demais(19), resolveram corretamente a questão, dizendo que a escola gastaria R$54,00. Observe-se que neste número 01, tivemos duas questões a seremanalisadas e desenvolvidas pelos educandos, pois de acordo com Dante(2007), problemas desse tipo (nº. 01, letra a) antes de ser encerrado, oprofessor pode explorá-lo um pouco mais, fazendo com que os educandostenham dimensão de quantidade, ao saber a quantidade de refrigerantesconsumidos na escola por dia; e tendo conhecimento financeiro, ao saberquanto a escola gasta por dia na compra de refrigerantes. A partir daí deacordo com Dante, o professor poderia perguntar aos educandos quanto aescola gastaria por mês no consumo de refrigerantes e assim sucessivamente. Na metodologia de resolução de problemas, um dos principaisobjetivos do ensino da matemática “é fazer o aluno pensar produtivamente”(DANTE 2007, p. 11). E, para isso, nada melhor que apresentar-lhe eacrescentar-lhe situações-problema que está presente no seu dia-a-dia. Ondefuturamente poderá beneficiá-lo. Na segunda questão, cujo enunciado era: Numa reunião de grupo há 7alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os outros, foi-seperguntado quantos apertos de mão teríamos ao todo. Observe-se que estaquestão diferencia-se da segunda questão da primeira etapa apenas emnúmeros, que passa de 6 para 7. Ficando, de certa forma, até mais difícil deresolver. Ressaltando que na etapa anterior nenhum educando conseguiuresolver esta questão. Desta vez, todos os educandos acertaram essa questão. Pois,inicialmente foi-se observado que eles iriam continuar errando, colocandorespostas como: 49; 42; 14 etc. Então foi-se sugerido peloprofessor/pesquisador que viesse à frente 01 (um) integrante de cada grupo, jáque eram 07 (sete) grupos, totalizaram 07 alunos, que satisfazia o que pedia o
  49. 49. problema. Os outros componentes do grupo sentados foram anotando oresultado. Com os sete alunos perfilados à frente da sala, o primeiroimediatamente do lado esquerdo da fila, (G1. 01), cumprimentou todos osoutros 6 da fila e saiu, (G2. 01) cumprimentou todos os outros 5 e saiu, (G3.01) cumprimentou todos os outros 4 e saiu, (G4. 01) cumprimentou todos osoutros 3 e saiu, (G5. 01) cumprimentou todos os outros 2 e saiu, (G6. 01)cumprimentou o único que sobrou e saiu. Esse que sobrou (G7. 01), não tinhamais ninguém a quem cumprimentar, pois já cumprimentara a todos. Os gruposanotaram os resultados: 6+5+4+3+2+1, e verificaram que houve 21 apertos demão. Observamos após o desenvolvimento deste problema, que os alunosficaram eufóricos, com mais ânimo para resolver os demais problemassolicitados. E até mesmo percebendo que tinham errado a questão da atividadeanterior. Eis alguns relatos: Mais era tão fácil de fazer e ontem nós fez errado (G2. 03). Professor naquele nº. 02 do exercício de ontem a resposta então era 15 aperto de mão. (G3. 01). Segundo Dante (2007, p. 17 e 18) esse tipo de problema não pode sertraduzido diretamente para a linguagem matemática, “nem resolvido pelaaplicação automática de algoritmos”, pois exigem do aluno um tempo parapensar e arquitetar um plano de ação, “uma estratégia que poderá levá-lo àsolução”. Por isso, torna-se mais interessante do que os problemas-padrão. Na terceira questão, que dizia: Mariana tinha apenas moedas de R$1,00 e notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Mostre todas as maneiras que elapoderia usar para pagar um livro que custava R$ 25,00. Questãopropositalmente repetida como na etapa anterior, já que praticamente ninguémacertou. Novamente alguns educandos, ao resolver esta questão,apresentaram apenas uma possibilidade de pagar o livro, outros, a grande

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