Aula de álgebra destinada a alunos do 9o ano
do ensino fundamental do CEAL.

O objetivo deste trabalho, é introduzir o est...
Equações algébricas




                      EAA
Equações algébricas são equações nas quais
a incógnita x está sujeita a operações
algébricas como: adição, subtração,
mult...
Equação do primeiro grau
As equações de 1o grau são equações na
forma.
            ax + b = 0
          (1o membro)     (2...
Resolução de equações

a)   x + 8 = 15
     x + 8 = 15 - 8
        x = 7

b)   x - 10 = 12
     x - 10 = 12 + 10
         ...
c)   x + 15 = 9
     3
     x + 15 = 9 - 15
     3
           x
             = -6
           3
          x   (- 6) . 3
   ...
d) 2x +15 = 18

  2 x +15 = 18 - 15

       2x = 3

       2x = 3
            2


                      EAA
Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na
incógnita x é da forma:


          ax² + bx + c = 0


Os números ...
Exemplo:

          x² - 5 x + 6 = 0
  Identificando os coeficientes:
         ax² + bx + c = 0
a = 1
b = -5
c = 6

      ...
Vamos completar a tabela

     Equação         a    b c
 x² - 6x + 8 = 0     1    -6 8
x² - 10 x + 25 = 0   1 - 10 25
2x² ...
Fórmula de Bháskara

                −b± ∆
             x=
                  2a

∆ (delta ) letra do alfabeto grego , usad...
∆ = b² - 4ac, é o discriminante da equação
   2o
de grau    ax2 + bx + c = 0. Onde a é o
coeficiente de x2, b é o coeficie...
Exemplos
1. Calcule o discriminante ∆ na equação.
3x² - 3x + 6 = 0,        a = 3, b = -3,    c=6

   ∆ = b² - 4ac
  ∆ = (-...
2. Calcule o discriminante ∆ na equação.
      x² + 6x + 9 = 0
a = 1, b = - 6, c = 9
 ∆ = b² - 4ac
 ∆ = (- 6)2 - 4 .1 .9
 ...
3. Calcule o discriminante ∆ na equação.
 x² + 2x - 3 = 0         a = 1, b = 2,   c=-3

∆ = b² - 4ac
∆ = 22 - 4 . 2 . (- 3...
−b± ∆
 Sendo ∆ = b² - 4ac           e   x=
                                       2a
Dada a equação de 2o grau.
ax2 + bx +...
Exemplos
 a) x² - 5 x + 6 = 0       a = 1,   b = -5,   c=6
                               _ (-5)2 - 4 .1 . 6
     − b ± b ...
b) x² + 8x + 15 = 0
                    a = 1,         b = 8,   c = 15

     − b ± b − 4ac
            2                  ...
c) x² + 6 x + 9 = 0
                           a = 1,   b = 6,    c=9

     − b ± b − 4ac
            2                   ...
d) 3 x² - x + 3 = 0
                        a = 3,   b = -1 ,   c=3

   − b ± b − 4ac
            2                 _
    ...
O discriminante    ∆   há três possíveis situações:

 1. Se   ∆   > 0
há duas soluções reais e diferentes:


x’ = -b - ∆
 ...
Exemplo
x² - 5 x + 6 = 0       a=1,     b=-5 ,      c=6
            2                _ (-5)2 -4 .1 .6
   − b ± b − 4ac ⇒ x...
2.   Se   ∆=   0
há duas soluções reais iguais:

   −b± ∆                 −b± 0
x=             ⇒      x=
     2a          ...
Exemplo
  x² + 6 x + 9 = 0       a = 1,   b = 6,       c=9

     − b ± b − 4ac
            2
                     ⇒       ...
3. Se ∆   <0
   não há solução real, pois não existe raiz
   quadrada real de número negativo.

                   -b± -∆
...
Exemplo
3 x² - x + 3 = 0      a = 3,   b = -1 ,   c=3

    − b ± b − 4ac ⇒
            2                     _ (-1)2 - 4. ...
Exemplos
 1. Determine o número de raízes na equação.

3x² - 3x + 6 = 0     a = 3,    b = -3,       c=6

∆ = b² - 4ac     ...
2. Determine o número de raízes na equação.

x² + 6x + 9 = 0      a = 1,     b = - 6,     c=9

∆   = b² - 4ac      ∆    = ...
3. Determine o número de raízes na equação.

x² + 2x - 3 = 0       a = 1,   b=2,         c = -3

∆   = b² - 4ac       ∆   ...
Resolva as equações.

a) x² - 3x + 2 = 0      g) y² - 25 = 0
b) 2y² - 14y + 12 = 0   h) x² - 1/4 = 0
c) - x² + 7x – 10 = 0...
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Equções Algébricas

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Equções Algébricas

  1. 1. Aula de álgebra destinada a alunos do 9o ano do ensino fundamental do CEAL. O objetivo deste trabalho, é introduzir o estudo das equações de forma descontraída, chamando atenção para as operações fundamentais e o uso das letras no estudo da matemática. Observa se ainda a evolução do aluno no decorrer de sua formação.
  2. 2. Equações algébricas EAA
  3. 3. Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação. EAA
  4. 4. Equação do primeiro grau As equações de 1o grau são equações na forma. ax + b = 0 (1o membro) (2o membro) Os números reais a e b são os coeficientes da equação. EAA
  5. 5. Resolução de equações a) x + 8 = 15 x + 8 = 15 - 8 x = 7 b) x - 10 = 12 x - 10 = 12 + 10 x = 22 EAA
  6. 6. c) x + 15 = 9 3 x + 15 = 9 - 15 3 x = -6 3 x (- 6) . 3 = 3 x = - 18 EAA
  7. 7. d) 2x +15 = 18 2 x +15 = 18 - 15 2x = 3 2x = 3 2 EAA
  8. 8. Equação do segundo grau Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma: ax² + bx + c = 0 Os números reais a, b e c são os coeficientes da equação. EAA
  9. 9. Exemplo: x² - 5 x + 6 = 0 Identificando os coeficientes: ax² + bx + c = 0 a = 1 b = -5 c = 6 EAA
  10. 10. Vamos completar a tabela Equação a b c x² - 6x + 8 = 0 1 -6 8 x² - 10 x + 25 = 0 1 - 10 25 2x² + 4x + 14 = 0 2 4 14 x² + 1 = 0 1 0 1 - x² + 2x = 0 -1 2 0 EAA
  11. 11. Fórmula de Bháskara −b± ∆ x= 2a ∆ (delta ) letra do alfabeto grego , usada para representar o valor da equação: b² - 4ac . EAA
  12. 12. ∆ = b² - 4ac, é o discriminante da equação 2o de grau ax2 + bx + c = 0. Onde a é o coeficiente de x2, b é o coeficiente de x e c o termo independente. EAA
  13. 13. Exemplos 1. Calcule o discriminante ∆ na equação. 3x² - 3x + 6 = 0, a = 3, b = -3, c=6 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-3)2 - 4 . 3. 6 ∆ = 9 - 4 . 18 ∆ = 9 - 72 ∆ = - 63 EAA
  14. 14. 2. Calcule o discriminante ∆ na equação. x² + 6x + 9 = 0 a = 1, b = - 6, c = 9 ∆ = b² - 4ac ∆ = (- 6)2 - 4 .1 .9 ∆ = 36 - 36 ∆= 0 EAA
  15. 15. 3. Calcule o discriminante ∆ na equação. x² + 2x - 3 = 0 a = 1, b = 2, c=-3 ∆ = b² - 4ac ∆ = 22 - 4 . 2 . (- 3) ∆ = 4 - 8 . (- 3) ∆ = 4 + 24 ∆ = 28 EAA
  16. 16. −b± ∆ Sendo ∆ = b² - 4ac e x= 2a Dada a equação de 2o grau. ax2 + bx + c = 0. temos, ∆ = b 2 − 4ac logo, - b - b 2 − 4ac x' = 2a − b ± b 2 − 4ac x= 2a - b + b 2 − 4ac x" = EAA 2a
  17. 17. Exemplos a) x² - 5 x + 6 = 0 a = 1, b = -5, c=6 _ (-5)2 - 4 .1 . 6 − b ± b − 4ac ⇒ x = -(-5) + 2 __________________ x= 2a 2.1 _ 1 4 _____ ⇒ x’ = __ ⇒ x” = 2 5 x’ = _ 25 - 24 2 2 5+ x = ____________ 2 6 5 + 1 ⇒ x”= __ ⇒ x” = 3 _____ x” = 2 2 S ={2; 3} EAA
  18. 18. b) x² + 8x + 15 = 0 a = 1, b = 8, c = 15 − b ± b − 4ac 2 _ + 82 -4 .1 .15 _________________ x= ⇒ x= -8 2a 2.1 -8 _ ____ 4 ⇒ x’=-10 ⇒ x’ = -5 __ x’= 2 2 x= -8 _ 64 - 60 + ____________ 2 -8 + 4 ⇒ x”= -6 ⇒ x”= -3 x”= ____ __ 2 2 S ={-5; -3} EAA
  19. 19. c) x² + 6 x + 9 = 0 a = 1, b = 6, c=9 − b ± b − 4ac 2 _ + 62 -4 .1 .9 _________________ x= ⇒ x= -6 2a 2.1 -6 _ ____ 0 ⇒ x’= -6 ⇒ x’= -3 __ x’= 2 2 x= -6 _ 36 - 36 + ____________ 2 ____ x”= -6 + 0 ⇒ x”= __ ⇒ x”= -3 -6 2 2 S ={-3} EAA
  20. 20. d) 3 x² - x + 3 = 0 a = 3, b = -1 , c=3 − b ± b − 4ac 2 _ - (-1) + (-1)2 -4. 3 . 3 x= ⇒ x = ______________ 2a 2.3 x= 1 + 1 - 36 ⇒ x= 1 _ -35 ⇒ x ∉ ℜ _ ____________ + ______ 6 6 S ={ } EAA
  21. 21. O discriminante ∆ há três possíveis situações: 1. Se ∆ > 0 há duas soluções reais e diferentes: x’ = -b - ∆ _______ e x” = -b + ∆ _______ 2a 2a EAA
  22. 22. Exemplo x² - 5 x + 6 = 0 a=1, b=-5 , c=6 2 _ (-5)2 -4 .1 .6 − b ± b − 4ac ⇒ x = -(-5) + _________________ x= 2a 2.1 x’= 5 _ 1 4 _____ ⇒ x’ =__ ⇒ x’ = 2 2 2 5+_ 25 - 24 ____________ 2 x”= _____ ⇒ x” = __ ⇒ x” = 3 5+ 1 6 2 ∆ > 0 Logo, 2 A equação possui duas raízes diferentes. EAA
  23. 23. 2. Se ∆= 0 há duas soluções reais iguais: −b± ∆ −b± 0 x= ⇒ x= 2a 2a b x' = x” ⇒ − 2a EAA
  24. 24. Exemplo x² + 6 x + 9 = 0 a = 1, b = 6, c=9 − b ± b − 4ac 2 ⇒ -6 _ + 62 -4 .1 .9 x = ______________ x= 2a 2.1 x’= - ____ 6- 0 ⇒ x’= -__ ⇒ x’= -3 6 2 2 _ -6 + 36 - 36 ____________ x= 2 x”= -____ 6+ 0 ⇒ x”= -__ 6 ⇒ x”= -3 2 2 ∆ =0 Logo, A equação possui duas raízes iguais. EAA
  25. 25. 3. Se ∆ <0 não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo. -b± -∆ x= 2a logo, x ∉ℜ EAA
  26. 26. Exemplo 3 x² - x + 3 = 0 a = 3, b = -1 , c=3 − b ± b − 4ac ⇒ 2 _ (-1)2 - 4. 3 .3 (-1) + x = -_________________ x= 2a 2.3 _ + 1 - 36 x= __________ ⇒ x = 1 + 1 _ _________ ⇒ x ∉ ℜ - 35 6 6 ∆ < 0 Logo, A equação não possui raízes reais. EAA
  27. 27. Exemplos 1. Determine o número de raízes na equação. 3x² - 3x + 6 = 0 a = 3, b = -3, c=6 ∆ = b² - 4ac ∆= (-3)2 -4 . 3 . 6 ∆= 9 - 4.18 ∆= 9 - 72 ∆= - 63 A equação não possui raízes reais. EAA
  28. 28. 2. Determine o número de raízes na equação. x² + 6x + 9 = 0 a = 1, b = - 6, c=9 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-6)2- 4 . 1. 9 ∆ = 36 - 36 ∆ =0 A equação possui duas raízes iguais. EAA
  29. 29. 3. Determine o número de raízes na equação. x² + 2x - 3 = 0 a = 1, b=2, c = -3 ∆ = b² - 4ac ∆ = 22- 4 . 2.(-3) ∆ = 4 - 8.(-3) ∆ = 4 + 24 ∆ = 28 A equação possui duas raízes diferentes. EAA
  30. 30. Resolva as equações. a) x² - 3x + 2 = 0 g) y² - 25 = 0 b) 2y² - 14y + 12 = 0 h) x² - 1/4 = 0 c) - x² + 7x – 10 = 0 i) 5x² - 10x = 0 d) 5x² - x + 7 = 0 j) 5 + x² = 9 e) 7x² - 3x = 4x + x² f) z² - 8z + 12 = 0 EAA

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