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JOGO DO NIM

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Regina Célia Grando - O CONHECIMENTO MATEMÁTICO E O USO DE JOGOS NA
SALA DE AULA - Tese - Ano: 2000 - Páginas: 187 - 190
Jogo: NIM
O jogo do Nim, atualmente bastante popular no ocidente, acredita-se que tenha sua origem na
China. É um dos jogos mais antigos de que se tem conhecimento. Relaciona-se o nome desse jogo
ao matemático Charles L. Bouton (Universidade de Harvard), que escreveu um “paper”, analisando
o Nim em 1901 11 . O interesse dos matemáticos por esse jogo se relaciona ao fato de que o Nim
seja caracterizado como um jogo de estratégia vinculado à teoria dos jogos matemáticos, campo de
investigação da Matemática Discreta. A teoria dos jogos surge como um crescente ramo da
Matemática Moderna, que tem sido desenvolvida, principalmente, nos últimos 50 anos e é aplicada
a situações que envolvem competição, confronto entre adversários, decorrendo daí o interesse pelos
jogos estratégicos.
Além disso, um dos aspectos que caracterizam particularmente os jogos estratégicos,segundo
a teoria dos jogos matemáticos, é a existência de uma “estratégia máxima” no jogo, ou seja, o
interesse se volta para a investigação da estratégia que garante a um jogador sempre vencer. O
conceito matemático está presente nesta estratégia máxima, a ser construída pelos sujeitos. A grande
popularidade atual do jogo do Nim, deve-se ao fato de que sua estratégia máxima é de fácil
programação computacional. Portanto, com o advento dos computadores, programar o Nim passou
a ser uma brincadeira interessante. Este jogo também é bastante utilizado em testes para seleção de
pessoal para trabalhar em empresas, pois envolve o raciocínio lógico-dedutivo na sua formulação.
Existem muitas variações do jogo do Nim. Utilizou-se, nesta pesquisa, a versão original do
jogo, ou seja, a sua forma mais simplificada, em termos de regras e de estratégia a ser definida.
Regras do Jogo:
Material: 27 palitos de fósforo.
Objetivo do jogo: perde o jogo o jogador que retirar o último palito.
Regras:
1) Os 27 palitos são dispostos na mesa, um ao lado do outro;
2) Os jogadores jogam alternadamente;
3) Cada jogador, na sua vez, retira uma determinada quantidade de palitos, sendo que deve
retirar, no mínimo, 1 palito e, no máximo, 4 palitos.
4) Quem retirar o último palito, perde o jogo.
Características do Jogo:
Trata-se de um jogo de lógica, que possibilita aos sujeitos construírem um modelo de
representação da solução da situação-problema de jogo: a estratégia máxima. Para desenvolverem
tal estratégia, os sujeitos necessitam construir habilidades de resolução de problemas, explorar o
raciocínio hipotético-dedutivo, generalizar soluções e procedimentos, observar regularidades e
descrever os resultados através de um modelo matemático. Os conceitos e/ou noções envolvidos na
estrutura do jogo do Nim dizem respeito ao conceito de divisão, com valorização do resto na
divisão não exata; formulação do algoritmo de Euclides (Dividendo = divisor x quociente +
 resto);
conceitos de divisibilidade e multiplicidade, cálculo mental e pensamento algébrico. É possível
simplesmente jogar o Nim, realizando jogadas aleatórias, sem nenhuma reflexão. Entretanto, para se
ter a certeza de sempre vencer é necessário a construção da estratégia vencedora. É na formulação
desta estratégia que são identificados os vários conceitos matemáticos a serem construídos e/ou
aplicados pelos sujeitos. A estratégia máxima do jogo pode ser definida da seguinte forma:
O 1o jogador faz mentalmente a seguinte divisão: 27 : 5 . Estabelece 5 grupos de 5 palitos,
restando 2. Destes 2 palitos que restam, separa-se 1 palito para a última jogada do adversário
(para ele perder) e o outro palito é a sua 1a jogada. Tudo isso mentalmente.
Então, o 1o jogador (vencedor) retira 1 palito e, nas próximas jogadas, seja qual for a
quantidade de palitos que o adversário retirar, o 1° jogador retirará o que falta para completar 5.
Assim, se o adversário retirar 4 palitos, o 1o jogador retirará 1, se o adversário retirar 2
palitos, o 1o jogador retirará 3, se o adversário retirar 3 palitos, o 1o jogador retirará 2 e se o
adversário retirar 1, o 1o jogador retirará 4. Seguindo essa lógica, o adversário ficará com 1 palito
para o final, perdendo o jogo.
Portanto, quem inicia jogando e sabe a estratégia, sempre vence. Faz parte da estratégia
máxima iniciar o jogo. É possível, entretanto, que o jogador não inicie o jogo, mas, dominando a
estratégia, seja capaz de vencer seu adversário, desde que este não saiba a estratégia. A “virada no
jogo” é possível, mas não garante ao jogador vencer o jogo, como o faz a estratégia máxima. É
importante ressaltar que, após a construção da estratégia máxima, por um dos jogadores, o jogo
“deixa de existir”, tendo em vista os aspectos anteriormente abordados sobre a questão da
competição no jogo, como sendo uma disputa entre adversários que possuem as mesmas
possibilidades de ação, com igualdade de condições para vencer. Se um dos jogadores domina a
estratégia do jogo e a aplica, qual a competitividade nesta disputa? Este jogador “entrou no jogo” já
sabendo que irá vencer. Como os próprios sujeitos desta pesquisa definiram, logo após a construção
da estratégia máxima: “- Agora esse jogo a gente decide no par ou ímpar” (Gab), ou seja, ao tirarem
o par ou ímpar definem quem começa, portanto definem quem vence. Deixa de ser
competição...deixa de ser jogo.
Desta forma, em situações escolares, o professor jamais deve ensinar a estratégia máxima ao
aluno. É importante incentivá-lo a construí-la. Do contrário, o jogo se tornará inútil e
desinteressante.
A seguir, é descrita a situação de intervenção pedagógica com o jogo do Nim. Discute-se o
processo de construção da estratégia máxima pelos sujeitos e os conceitos matemáticos que
emergiram desta construção. Incentivou-se o registro da estratégia, como forma de repensar sobre a
própria estratégia que foi sendo definida, pelos jogadores. A escrita da estratégia possibilitou, aos
sujeitos, elaborarem a estratégia de forma mais clara e organizada.
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JOGO DO NIM

  • 1. Regina Célia Grando - O CONHECIMENTO MATEMÁTICO E O USO DE JOGOS NA SALA DE AULA - Tese - Ano: 2000 - Páginas: 187 - 190 Jogo: NIM O jogo do Nim, atualmente bastante popular no ocidente, acredita-se que tenha sua origem na China. É um dos jogos mais antigos de que se tem conhecimento. Relaciona-se o nome desse jogo ao matemático Charles L. Bouton (Universidade de Harvard), que escreveu um “paper”, analisando o Nim em 1901 11 . O interesse dos matemáticos por esse jogo se relaciona ao fato de que o Nim seja caracterizado como um jogo de estratégia vinculado à teoria dos jogos matemáticos, campo de investigação da Matemática Discreta. A teoria dos jogos surge como um crescente ramo da Matemática Moderna, que tem sido desenvolvida, principalmente, nos últimos 50 anos e é aplicada a situações que envolvem competição, confronto entre adversários, decorrendo daí o interesse pelos jogos estratégicos. Além disso, um dos aspectos que caracterizam particularmente os jogos estratégicos,segundo a teoria dos jogos matemáticos, é a existência de uma “estratégia máxima” no jogo, ou seja, o interesse se volta para a investigação da estratégia que garante a um jogador sempre vencer. O conceito matemático está presente nesta estratégia máxima, a ser construída pelos sujeitos. A grande popularidade atual do jogo do Nim, deve-se ao fato de que sua estratégia máxima é de fácil programação computacional. Portanto, com o advento dos computadores, programar o Nim passou a ser uma brincadeira interessante. Este jogo também é bastante utilizado em testes para seleção de pessoal para trabalhar em empresas, pois envolve o raciocínio lógico-dedutivo na sua formulação. Existem muitas variações do jogo do Nim. Utilizou-se, nesta pesquisa, a versão original do jogo, ou seja, a sua forma mais simplificada, em termos de regras e de estratégia a ser definida. Regras do Jogo: Material: 27 palitos de fósforo. Objetivo do jogo: perde o jogo o jogador que retirar o último palito. Regras: 1) Os 27 palitos são dispostos na mesa, um ao lado do outro; 2) Os jogadores jogam alternadamente; 3) Cada jogador, na sua vez, retira uma determinada quantidade de palitos, sendo que deve retirar, no mínimo, 1 palito e, no máximo, 4 palitos. 4) Quem retirar o último palito, perde o jogo.
  • 2. Características do Jogo: Trata-se de um jogo de lógica, que possibilita aos sujeitos construírem um modelo de representação da solução da situação-problema de jogo: a estratégia máxima. Para desenvolverem tal estratégia, os sujeitos necessitam construir habilidades de resolução de problemas, explorar o raciocínio hipotético-dedutivo, generalizar soluções e procedimentos, observar regularidades e descrever os resultados através de um modelo matemático. Os conceitos e/ou noções envolvidos na estrutura do jogo do Nim dizem respeito ao conceito de divisão, com valorização do resto na divisão não exata; formulação do algoritmo de Euclides (Dividendo = divisor x quociente + resto); conceitos de divisibilidade e multiplicidade, cálculo mental e pensamento algébrico. É possível simplesmente jogar o Nim, realizando jogadas aleatórias, sem nenhuma reflexão. Entretanto, para se ter a certeza de sempre vencer é necessário a construção da estratégia vencedora. É na formulação desta estratégia que são identificados os vários conceitos matemáticos a serem construídos e/ou aplicados pelos sujeitos. A estratégia máxima do jogo pode ser definida da seguinte forma:
  • 3. O 1o jogador faz mentalmente a seguinte divisão: 27 : 5 . Estabelece 5 grupos de 5 palitos, restando 2. Destes 2 palitos que restam, separa-se 1 palito para a última jogada do adversário (para ele perder) e o outro palito é a sua 1a jogada. Tudo isso mentalmente. Então, o 1o jogador (vencedor) retira 1 palito e, nas próximas jogadas, seja qual for a quantidade de palitos que o adversário retirar, o 1° jogador retirará o que falta para completar 5. Assim, se o adversário retirar 4 palitos, o 1o jogador retirará 1, se o adversário retirar 2 palitos, o 1o jogador retirará 3, se o adversário retirar 3 palitos, o 1o jogador retirará 2 e se o adversário retirar 1, o 1o jogador retirará 4. Seguindo essa lógica, o adversário ficará com 1 palito para o final, perdendo o jogo. Portanto, quem inicia jogando e sabe a estratégia, sempre vence. Faz parte da estratégia máxima iniciar o jogo. É possível, entretanto, que o jogador não inicie o jogo, mas, dominando a estratégia, seja capaz de vencer seu adversário, desde que este não saiba a estratégia. A “virada no jogo” é possível, mas não garante ao jogador vencer o jogo, como o faz a estratégia máxima. É importante ressaltar que, após a construção da estratégia máxima, por um dos jogadores, o jogo “deixa de existir”, tendo em vista os aspectos anteriormente abordados sobre a questão da competição no jogo, como sendo uma disputa entre adversários que possuem as mesmas possibilidades de ação, com igualdade de condições para vencer. Se um dos jogadores domina a estratégia do jogo e a aplica, qual a competitividade nesta disputa? Este jogador “entrou no jogo” já sabendo que irá vencer. Como os próprios sujeitos desta pesquisa definiram, logo após a construção da estratégia máxima: “- Agora esse jogo a gente decide no par ou ímpar” (Gab), ou seja, ao tirarem o par ou ímpar definem quem começa, portanto definem quem vence. Deixa de ser competição...deixa de ser jogo. Desta forma, em situações escolares, o professor jamais deve ensinar a estratégia máxima ao aluno. É importante incentivá-lo a construí-la. Do contrário, o jogo se tornará inútil e desinteressante. A seguir, é descrita a situação de intervenção pedagógica com o jogo do Nim. Discute-se o processo de construção da estratégia máxima pelos sujeitos e os conceitos matemáticos que emergiram desta construção. Incentivou-se o registro da estratégia, como forma de repensar sobre a própria estratégia que foi sendo definida, pelos jogadores. A escrita da estratégia possibilitou, aos sujeitos, elaborarem a estratégia de forma mais clara e organizada.