Clasifiacion de los numeros

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES,[object Object],1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES,[object Object],3º 1.1.1 TIPOS DE NÚMEROS,[object Object],3º Los números naturales son : 1, 2, 3, ...., 10, 11, ...., 102, 103,.... . Hay infinitos.,[object Object],Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N.,[object Object],3º Los números enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero: ..., -11, -,[object Object],10, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ...., 10, 11, ..... Al conjunto de todos ellos se les designa,[object Object],con la letra Z.,[object Object]

Los números fracciones son fracciones (a/b) donde el numerador no es,[object Object],múltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos:,[object Object], Fracciones propias : Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/3),[object Object], Fracciones impropias : Numerador > Denominador (Ejemplo: 3/2),[object Object],Los números fraccionarios tienen una expresión como número decimal,[object Object], Números decimales exactos : Número finito de decimales : 1,234,[object Object], Números decimales periódicos puros : Número infinito de decimales tales,[object Object],que la parte decimal se repite : 1,234234234..... = 1, 234,[object Object], Números decimales periódicos mixtos : Número infinito de decimales tales,[object Object],que hay alguna cifra decimal que no se repite: 1,2344444..... = 1,23 4,[object Object]

Los números racionales incluyen los números enteros y los fraccionarios. Al,[object Object],conjunto de todos ellos se les designa con la letra Q.,[object Object],3º Los números irracionales son aquellos que no son racionales: , 2 ,,[object Object],1’01001.... (Números decimales no periódicos),[object Object]

La recta real,[object Object],A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.,[object Object]

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS,[object Object], ,[object Object]

Números imaginarios,[object Object],Un número imaginario se denota por bi, donde :,[object Object],b es un número real,[object Object],i es la unidad imaginaria: ,[object Object],Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo. ,[object Object],x2 + 9 = 0 ,[object Object]

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS,[object Object]

1.2.1 PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL,[object Object],3º Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del,[object Object],numerador entre el denominador.,[object Object],3º Ejemplos:,[object Object],,[object Object],4,[object Object],8 = 2  Natural,[object Object], 2,25,[object Object],4,[object Object],9   Decimal exacto,[object Object], 1,333333.... 1,3,[object Object],3,[object Object],4 ,[object Object],   Decimal periódico puro,[object Object], 1,166666.... 1,16,[object Object],6,[object Object],7 ,[object Object],   Decimal periódico mixto,[object Object]

Decimales exactos:,[object Object],N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero.,[object Object],100N = 238 Despejar N,[object Object],N =,[object Object],100,[object Object],238,[object Object],Simplificar la fracción, si es posible  N =,[object Object],50,[object Object],119,[object Object],3º Decimales periódicos puros:,[object Object],N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el,[object Object],mismo periodo.,[object Object],100N = 238,38 Restarlos,[object Object],99N = 236 Despejar N,[object Object],N =,[object Object],99,[object Object],236,[object Object],Simplificar la fracción, si es posible  N =,[object Object],99,[object Object],236,[object Object]

Decimales periódicos mixto:,[object Object],N = 2,38 ,[object Object],Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en periódico,[object Object],puro,[object Object],10N = 23,8 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el,[object Object],mismo periodo.,[object Object],100N = 238,8 Restarlos,[object Object],90N = 215 Despejar N,[object Object],N =,[object Object],90,[object Object],215,[object Object],Simplificar la fracción, si es posible  N =,[object Object],18,[object Object],43,[object Object]

CONTROL DEL ERROR COMETIDO,[object Object],3º Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.,[object Object],3º El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de Medición,,[object Object],en valor absoluto (en positivo),[object Object],Error Absoluto = | Valor Real – Valor de Medición |,[object Object],4º Pero no es lo mismo cometer un error de un centímetro al medir una tiza que,[object Object],una pizarra, por tanto definimos:,[object Object],El Error Relativo como es el cociente entre el error absoluto y el valor real,[object Object]

REGLAS DE DIVISIBILIDAD, MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO,[object Object]

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, −21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica: Ejemplos 1/4 = 0,250000… ES un número racional puesto que es periódico a partir del tercer numero decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857…. ES racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).,[object Object],(3√7 + 1)/2 = 1.456465591386194…,[object Object],Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un número por otro. En una fracción tal como a/b el número a que es dividido se llama numerador y el número b que divide, divisor o denominador.,[object Object]

NOTACIÓN CIENTÍFICA,[object Object],4º 1.4.1 INTRODUCCIÓN,[object Object],4º Los números siguientes están puestos en notación científica:,[object Object],2,48 . 1014 = 248.000.000.000.000 (14 cifras a partir de la coma),[object Object],7,561. 10-14 = 0,00000000000007561 (14 cifras de la coma al 7),[object Object],4º La notación científica tiene sobre la usual la siguiente ventaja: las cifras se nos,[object Object],dan contadas, con lo que el orden de magnitud del número es evidente. Esta,[object Object],notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy,[object Object],pequeños.,[object Object]

1.4.2 DEFINICIÓN,[object Object],4º Un número puesto en notación científica consta de :,[object Object],- Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero(la de las unidades),[object Object],- El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal.,[object Object],- Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.,[object Object],N = a , bcd...... x 10n,[object Object],a = Parte entera (sólo una cifra),[object Object],bcd..... = Parte decimal,[object Object],10n = Potencia entera de base 10,[object Object],4º Si n es positivo, el número N es “grande”,[object Object],Si n es negativo, el número N es “pequeño”,[object Object]

SUMA Y RESTA DE REALES,[object Object],Aquí te proponemos una forma nemotécnica sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy fáciles de recordar:,[object Object],· Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en números naturales) y se deja el mismo signo. ,[object Object],Ej: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si fuera...,[object Object],-3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real.,[object Object],· Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.,[object Object],Ej: 5 – 3 = 2,[object Object], -5 + 3 = -2,[object Object],En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros –5 y 3. la regla dice que se restan como se haría entre números naturales 5-3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo –2.,[object Object],Esto no quiere decir que –5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dólares en el bolsillo estoy más contento que si me faltan 5 ( -5 ), sólo es una norma nemotécnica para que aprendas a sumar y restar. ,[object Object]

SUMA Y RESTA DE REALES,[object Object],Mira estos otros ejemplos:,[object Object],-7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3,[object Object],7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3,[object Object],-4-2-5-10= -21,[object Object],4+2+5+10= 21,[object Object],-4+5-10-20+15-7+9,[object Object],Para estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, así:,[object Object],-4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29,[object Object],Y luego restar:,[object Object],-41+29 = -12,[object Object],Nótese que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.,[object Object]

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN,[object Object],Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicación y además saber que:,[object Object],Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo. Ejemplo:,[object Object]

Leyes de los exponentes:,[object Object]

Ejemplo 1,[object Object],Ejemplo 2,[object Object],Ejemplo 3,[object Object],Ejemplo 4,[object Object]

Leyes de los radicales,[object Object],Los radicales se rigen por las leyes de los exponentes, porque:,[object Object]

Ejemplo 5,[object Object],Ejemplo 6,[object Object],Ejemplo 7,[object Object]

Ejemplo 8,[object Object],Ejemplo 9,[object Object],Ejemplo 10,[object Object]

Ejemplo 11,[object Object],Si,[object Object],exprese como potencia fraccionaria de 2 cada uno de los términos de la sucesión anterior, y obtenga en la misma forma el término an de la sucesión, en donde n es un número entero positivo.,[object Object],Nótese que:,[object Object],Solución,[object Object],Entonces:,[object Object]

Problema de aplicación: ,[object Object],Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar, y tiene un diámetro aproximado de 142 880 000 m, y el más pequeño es Plutón con un diámetro aproximado de,[object Object], 3 500 000 m. ¿Cuántos plutones caben en Júpiter?,[object Object]

Sea el volumen de Júpiter y sea el volumen de Plutón, entonces: ,[object Object],Solución,[object Object],Así que, caben aproximadamente 68,031 plutones en Júpiter.,[object Object]

Exponenciación,[object Object],Podemos decir que la exponenciación es una operación que se define en lo que es un álgebra sobre un cuerpo normada completa o álgebra de Banach. Lo importante de esto es que se generaliza la función exponencial de los números reales.Cuando por ejemplo a y b corresponden a dos números enteros la operación puede definirse en términos algebraicos elementales. Pero ciertos números de problemas físicos llevaron a tratar de generalizar la fórmula anterior a valores de b no siendo enteros. Cuando b = 1/2 la operación es equivalente a lo que llamamos una raíz cuadrada. ,[object Object],De modo que la exponenciación trata de generalizar una operación como: ,[object Object]

Habitualmente dicha operación puede ser reducida al cálculo de la siguiente operación:,[object Object],Se generaliza entonces este tipo de operación a casos donde el exponente no es precisamente un número real.,[object Object],Para que sea mas sencillo entender lo que es una exponenciación y saber a que nos referimos cuando hablamos de exponente, prestemos mucha atención a lo siguiente. Tomemos como ejemplo una expresión matemática que tenga incluidos dos términos, los cuales se denominan base a y exponente n. Un exponente se utiliza para indicar la multiplicación repetida, elevando una base a n. El proceso de elevar una base a un exponente se llama potenciación. Entonces si a es un número real y n un número real se definirá como:,[object Object]

Entonces:,[object Object],Esto varía según el conjunto numérico al cual pertenezca dicho exponente. ,[object Object],Si a es un número real no nulo, se define entonces como:,[object Object],De lo anterior podemos deducir cuales serían las reglas que habitualmente se utilizan en la exponenciación, veamos cuales serían:,[object Object]

Radicación,[object Object],La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando. ,[object Object],En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado. ,[object Object],La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.,[object Object],Raíz cuadrada exacta,[object Object],La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.,[object Object],Radicando = (Raíz exacta)2,[object Object],Cuadrados perfectos,[object Object],Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.,[object Object],1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ... ,[object Object],Raíz cuadrada entera,[object Object],Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.,[object Object],Radicando = (Raíz entera)2 + Resto ,[object Object]

Algoritmo de la raíz cuadrada,[object Object],1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.,[object Object],2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda. ,[object Object],¿Qué número elevado al cuadrado da 8?,[object Object],8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz del cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.,[object Object],3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.,[object Object], El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4.,[object Object],4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de la raíz anterior. ,[object Object],Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492. ,[object Object],49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.,[object Object]

5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz , multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.,[object Object],Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7...hasta encontrar un valor inferior. ,[object Object],6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz. ,[object Object],7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.,[object Object],Como 5301 > 5125, probamos por 8.,[object Object],Subimos el 8 a la raíz,[object Object],8Prueba de la raíz cuadrada. ,[object Object],Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:,[object Object],Radicando= (Raíz entera)2 + Resto ,[object Object],89 225= 2982 + 421 ,[object Object]

Números imaginarios,[object Object],Un número que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo.,[object Object],Definición,[object Object],Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo:,[object Object],Intentos,[object Object],2 × 2 = 4(-2) × (-2) = 4 (porque negativo por negativo da positivo)0 × 0 = 00.1 × 0.1 = 0.01,[object Object],¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero.,[object Object],Eso es porque estamos calculando el cuadrado de números reales.,[object Object]

Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto:,[object Object], i × i = -1,[object Object],¿Sería útil, qué podríamos hacer con él? ,[object Object],Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1:,[object Object],Y eso es muy útil... simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.,[object Object],Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?,[object Object],Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i ,[object Object],Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.,[object Object]

Números Complejos,[object Object],Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible. ,[object Object],Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad: ,[object Object],Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas. ,[object Object],Representación binomial ,[object Object],Cada complejo se representa en forma binomial como: ,[object Object],z = a + ib,[object Object],a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así: ,[object Object],a = Re (z) ,[object Object],b = Im (z) ,[object Object]

Plano de los números complejos ,[object Object],Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos. ,[object Object],Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos. ,[object Object],Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades: ,[object Object],(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ,[object Object],(a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad). ,[object Object],Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado. ,[object Object]

Suma de Números Complejos,[object Object],Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:,[object Object],(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i,[object Object],Propiedades de la Suma de Números Complejos,[object Object],La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:,[object Object],· Conmutativa,[object Object],Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:,[object Object],(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi ),[object Object],Ejemplo:,[object Object],(2 − 3i ) + (−3 + i ) = (2 − 3) + i (−3 + 1) = −1 − 2i,[object Object],(−3 + i ) + (2 − 3i ) = (−3 + 2) + i (1 − 3) = −1 − 2i,[object Object],· Asociativa,[object Object],Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:,[object Object],[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )],[object Object],Ejemplo:,[object Object],[(5 + 2i ) + (3 − 4i )] + (−9 + 8i ) = (8 − 2i ) + (−9 + 8i ) = −1 + 6i,[object Object],(5 + 2i ) + [(3 − 4i ) + (−9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (−6 + 4i ) = −1 + 6i,[object Object],· Elemento neutro,[object Object],El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que,[object Object],(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi,[object Object],El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».,[object Object],· Elemento simétrico,[object Object],El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (− a − bi ):,[object Object],(a + bi ) + (−a − bi) = 0 + 0i = 0,[object Object],Ejemplo:,[object Object],El simétrico de 2 − 3i es −2 + 3i pues (2 − 3i ) + (−2 + 3i ) = 0,[object Object]

Operaciones fundamentales con números complejos. Ejemplos,[object Object],Suma y resta de números complejos.,[object Object],1.− ( 3+5i ) − ( 5−3i ) = −2+8i,[object Object],2.− ( 9+7i ) − ( −9+7i )+( −18+i ) = ( 9+9−18 )+( 7−7+1 )i = i,[object Object],Multiplicación de números complejos.,[object Object],2 2,[object Object],1.− ( 3+5i ) ( 5+3i ) ( 2−i ) = 15+9i+6−3i+25i+15i +10i−5t = 34+64i,[object Object],2 2,[object Object],2.− ( 3−2i ) ( 2+i ) ( 1−i ) = ( 6+3i−4i−2i ) ( 1−i ) = ( 8−i ) = 8−8i−i+i = 7−9i,[object Object],División de números complejos.,[object Object],2,[object Object],1.− 3 − i − ( 3 − i ) ( 3 − 2i ) − 9 − 6i − 3i + 2i − 7 − 9i − 7 − 9i − 7 − 9i,[object Object],3 +2i −( 3 + 2i ) ( 3 − 2i )− 9 + 4 − 9 + 4 − 13 − 13 13,[object Object],2 2,[object Object],2.− ( 3 + 4i ) ( 1 − 2i ) −3 − 6i + 4i − 8i − ( 11 − 2i ) ( 1 − i )− 11 − 11i − 2i + 2i −,[object Object],1 + i − 1 + i − ( 1 + i ) ( 1 + i ) − 1 + i −,[object Object],− 9 − 13i − 9 − 13i,[object Object],− 2 − 2 2,[object Object],12,[object Object]

Gracias por su,[object Object],Atención,[object Object]

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