1. El propósito principal de este trabajo es mostrar cómo se puede usar las series y sucesiones en
matemáticas.
Es importantemencionarquelasseries y las sucesionesse encuentranpresentesen nuestra vida diaria,
recordemos que las series permiten entender la idea de querer sumar una cantidad infinita de sumandos
(tantos sumandos como números naturales); esto significa que se le asigna a cada entero positivo n un
númeroaunavariable,aestenúmeroselellama n-esimodelasucesión.Amedidaquen,lavariabletiende
a un número L, por lo que se le llama el límite de la sucesión esto significa que entre más incremente la
sucesión se aproximaracon mayor probabilidad a su límite; por ejemploun automovilista cuandollega al
estacionamiento el automóvil entra en una sucesión que es el rodaje de sus llantas y se aproxima a las
líneas que dividen cada espacio.
Las series son las sucesiones formadas mediante la suma de más y más términos de una sucesión. Un
ejemplo común es el recorrido de un automovilista, cundo recorre varios kilómetros en una pendiente la
velocidadva aumentandoconstantemente,estoes quea medidaqueaumentalavelocidadelmotociclista
desciende más rápido, por medio de este ejemplo podemos citar la sucesión de suma a la cual se le
denomina serie obtenida de la sucesión.
Tradicionalmente se refiere a ella como “la serie cuyo terminon-esimo es una variable infinita”.
Si la sucesión de sumas parciales de una serie converge a L, se le conoce como la suma infinito de
términos, si no que se toma el límite de sumas finitas, a una serie que no es convergente se le conoce
también como divergente.
1. Sucesiones de números reales.
Unasucesiónes un conjunto de números reales dados en un orden definido. Estos números
seobtienen generalmente a partir de una cierta regla.
P o r e j e m p l o :
2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 . . .
1 , 4 , 9 , 1 6 , 2 5 . . .
Cada elemento de una sucesión se llama término , y se representa con una letra minúscula
con unsubíndice: a1, a2, a3 (primer término, segundo término, etc).
an es el término n-ésimo otérmino general
.Para los eje m plos anteriores:
2, 4, 6, 8, 10 ...an = 2n
1 , 4 , 9 , 1 6 , 2 5 . . . an = n2
Una sucesión tiene infinitos términos, y se expresa frecuentemente por su término general,
dadoen función de n. Para hallar cualquier término de la sucesión basta sustituir n
porelordendeltérminodeseado.Es decir, conocido el término general podemos hallar cualquier
término de la sucesión.Enotrasocasiones,unasucesiónseexpresamedianteuna leyde recurrencia,
que permite obtenerun término a partir de otros anteriores.
2. Series.

2. Una serie es la sum a de una suc esión de núm eros. Las series pueden ser finitas o
infinitas dependiendo de que el número de sumandos sea finito o infinito.
Por ejemplo:
1 + 3 + 5 + ··· + 97 + 99 ⇒ es una serie finita (tiene 50 términos)
1 + 3 + 5 +. ⇒ es una serie infinita
S1=a1
S2 =a1+a2
S3=a1 +a2+a3
Sn=a1 +a2 + a3+…an
3. Sucesiones y series aritméticas.
3.1. Definición.
Consideremos las siguientes sucesiones de números reales:
3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 . . .
12, 9, 6, 3, 0,3 . . .
6 , 1 0 , 1 4 , 1 8 , 2 2 . . .
Son ejemplos de sucesiones aritméticas. Una sucesión o progresión aritmética
es aquella en la que cada término se obtiene a partir delanterior sumándole una cantidad
fija, llamada diferencia de la sucesión y representada por d:
d=an – an-1
Si la diferencia d es positiva, la sucesión aritmética es creciente (términoscada vez mayores).
Sila diferencia es negativa la sucesión es decreciente (términos cada vezmenores).
P o r e j e m p l o :
2 , 5 , 8 , 1 1 , 1 4 . . . d = 3
10, 6, 2, − 2, − 6 . . . d =−4
Si a , b y c son tres términos consecutivos de una sucesión aritmética, entonces
b − a = c − b ⇒ 2 b = a + b (a+c/2)
es dec ir, el térm ino c entral es la m edia aritm étic a de los térm inos anterior y
posterior. De ahí el nombre de sucesión aritmética
3.2. Término general.
Conocido el primer término
a1 y la diferencia d, es fácil hallar los demás términos de la sucesión aritmética:
En general:
A2=a1 +d
A3=a2+d=a1+2d
A4=a3+d=a2+3d
T érmino general de una sucesión aritmética an =a1 +(n-1)d
Sucesiones y series geométricas.
.
Unasucesión o progresión geométrica es aquella en la que c ada térm ino se obtiene
a partirdel anterior multiplicando (o dividiendo) por un número fijo, llamado razón de la
suc esión yrepresentado por r: r=an/an-1
Para los ejem plos anteriores:
2, 6, 18 ...r= 3
27,- 9 , 3 . . . r = − 13
4, -4, 4, - 4 . . . r =-1

3. Series Numericas
Sumas parciales
La sucesióndesumasparciales asociadaaunasucesión estádefinidaparacada como
la suma de la sucesión desde hasta :
.
Muchasdelaspropiedadesgeneralesdelasseries suelenenunciarseentérminosdelassumasparciales
asociadas.
Convergencia
Por definición,laserie converge allímite si y solo si la sucesiónde sumasparcialesasociada
converge a . Esta definición suele escribirse como
Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una
constante, llamada razón r. En este ejemplo, con r = 1/2):
En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |r| < 1, a:
 La serie armónica es la serie
La serie armónica es divergente.
 Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:
 Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1:
La convergencia de dicha serie ysu suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
 Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:
, con = .
Convergencia de series

4. Unaserie ∑an sediceque esconvergente (oque converge)silasucesión SN desumasparcialestieneun
límitefinito. Si el límitede SN es infinitoo no existe, se dicequelaserie diverge. Cuandoestelímiteexiste,
se le llama suma de la serie.
Si todos losan son ceropara n suficientementegrande,laseriese puedeidentificarconunasumafinita.El
estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen
infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico
Tiene como representación decimal, la serie
.
Dadoqueestasseriessiempreconvergenenlosnúmeros reales,nohaydiferenciaentreestetipodeseries
y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...
Serie de Taylor
una seriedeTaylor de unafunción f(x) infinitamentederivable(real o compleja)definidaenun intervalo
abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serieconvergeparatodo x pertenecientealintervalo(a-r, a+r) y la sumaesiguala f(x), entoncesla
función f(x) se llama analítica.Paracomprobarsila serie convergea f(x), se suele utilizar una estimación
delresto delteoremadeTaylor.Unafunciónesanalíticasiy solo si sepuederepresentarconunaseriede
potencias;loscoeficientesdeesaserie son necesariamentelosdeterminadosenlafórmuladela serie de
Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de McLaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
 La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que
resultan operaciones triviales.
 Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
 Es posibledemostrarque,si es viable la transformacióndeunafunciónauna seriede Taylor,es
la óptima aproximación posible.
Algunas funcionesnosepuedenescribircomoseriedeTaylorporquetienenalgunasingularidad.Enestos
casosnormalmentese puedeconseguirundesarrolloenserie utilizando potenciasnegativas de x (véase
Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
Concluimosquelassucesiones yseriesnos ayudaranenun futuro aproponerestasformulascomoyasea
enuna tasade interesdeun bancoo cuantodinerosegastaraenunlapsodetiempo. eltiempoyel dinero
es un factor muy importante en la ingenieri civil al estar llevando una obra y sin saber aveces llevamos
sucesiones e,pleadas en cierto trabajo como el numero de producción de cierto producto.
Alumna: Bárbara Carrión Bermeo.
Titulación: Bioquímica yFarmacia.