Parte ii – dinâmica tópico 1

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Parte ii – dinâmica tópico 1

  1. 1. Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica 99 Parte II – DINÂMICA III. Tópico 1 1 E.R. Uma partícula está sujeita à ação de três forças, F , F e 1 2 F3 , cuja resultante é nula. Sabendo que F1 e F2 são perpendiculares entre si e que suas intensidades valem, respectivamente, 6,0 N e 8,0 N, determine as características de F3 . IV. Resolução: Inicialmente, temos que: 120° 120° Se a resultante de três forças aplicadas em uma partícula é nula, então as três forças devem estar contidas no mesmo plano. No caso, F1 e F2 determinam um plano. A força F3 (equilibrante da soma de F1 e F2 ) deve pertencer ao plano de F1 e de F2 e, além disso, ser oposta em relação à resultante de F1 e F2 . Respostas: I e IV 3 (ESPCEX-SP – mod.) Com base no sistema de forças coplanares F1 F1, 2 de mesma intensidade, representado abaixo, indique a alternativa correta: F1 F3 F2 F4 120° 60° F3 = – F1, 2 ; F3 = F1, 2 F2 120° F3 A intensidade de F3 pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras: F2 = F2 + F2 ⇒ F2 = (6,0)2 + (8,0)2 3 1 2 3 a) F1 é resultante da soma de F2 e F3 . F3 = 10 N b) F2 + F3 + F4 = 0 . c) F2 é resultante da soma de F1 , F3 e F4 . Respondemos, finalmente, que as características de F3 são: d) F1 + F2 + F3 = 0 . • intensidade: 10 N; • direção: a mesma da resultante de F1 e F2 ; e) F2 é resultante da soma de F1 e F3 . • sentido: contrário ao da resultante de F1 e F2 . Resposta: d 2 Nos esquemas de I a IV, é representada uma partícula e todas 4 Um ponto material está sob a ação das forças coplanares F1 , F2 e F3as forças que agem sobre ela. As forças têm a mesma intensidade F eestão contidas em um mesmo plano. Em que caso (ou casos) a força indicadas na figura a seguir.resultante na partícula é nula? F1I. 180° F2 θ sen θ = 0,80II. cos θ = 0,60 F3 Sabendo que as intensidades de F1 , F2 e F3 valem, respectivamente, 100 N, 66 N e 88 N, calcule a intensidade da força resultante do sistema.
  2. 2. 100 PARTE II – DINÂMICAResolução: Resolução: y F1 Caso a: F1 F1 y F1 + F2 = Ra F2 θ Ra x F1 + F2 = 700 F1 x F2 Donde: F1 = 700 – F2 (A) F3F1x = F1 cos θ = 100 · 0,60 = 60 N Caso b:F1y = F1 sen θ = 100 · 0,80 = 80 N Teorema de Pitágoras: F2 + F2 = R2 1 2 bNa direção x: F1 Rb F2 + F2 = (500)2Rx = F2 – F1x ⇒ Rx = 66 – 60 (N) 1 2 F2 + F2 = 250 000 (B) 1 2 Rx = 6 N F2Na direção y:Ry = F3 – Fiy ⇒ Ry = 88 – 80 (N) Substituindo A em B, vem: (700 – F2)2 + F2 = 250 000 2 Ry = 8 N 490 000 – 1400 F2 + F2 + F2 = 250 000 2 2 F2 – 700 F2 + 120 000 = 0 2Teorema de Pitágoras: y F2 = 700 Ϯ 490 000 – 480 000 2 Rx F’ = 400 N F2 = 700 Ϯ 100 x 2 2 Ry F” = 300 N 2 R Donde: F’ = 300 N 1 e F” = 400 N 1R 2 = R2 + R 2 x yR2 = 62 + 82 ⇒ R = 10 N Respostas: F1 = 300 N e F2 = 400 N ou F1 = 400 N e F2 = 300 N Resposta: 10 N 6 Em relação a um referencial inercial, tem-se que a resultante de todas as forças que agem em uma partícula é nula. Então, é correto 5 (PUC-SP) Os esquemas seguintes mostram um barco sendo afirmar que:retirado de um rio por dois homens. Em (a), são usadas cordas que a) a partícula está, necessariamente, em repouso;transmitem ao barco forças paralelas de intensidades F1 e F2 . Em (b), b) a partícula está, necessariamente, em movimento retilíneo e uni-são usadas cordas inclinadas de 90° que transmitem ao barco forças de forme;intensidades iguais às anteriores. c) a partícula está, necessariamente, em equilíbrio estático; d) a partícula está, necessariamente, em equilíbrio dinâmico; e) a partícula, em movimento, estará descrevendo trajetória retilínea com velocidade constante. F1 F2 Resposta: e (a) 7 Indique a alternativa que está em desacordo com o Princípio da Inércia. a) A velocidade vetorial de uma partícula só pode ser variada se esta estiver sob a ação de uma força resultante não-nula. F1 b) Se a resultante das forças que agem em uma partícula é nula, dois estados cinemáticos são possíveis: repouso ou movimento retilíneo 90° e uniforme. F2 c) Uma partícula livre da ação de uma força externa resultante é inca- paz de vencer suas tendências inerciais. d) Numa partícula em movimento circular e uniforme, a resultante das forças externas não pode ser nula. e) Uma partícula pode ter movimento acelerado sob força resultante nula. (b)Sabe-se que, no caso (a), a força resultante transmitida ao barco tem Resposta: evalor 700 N e, no caso (b), 500 N. Nessas condições, calcule F1 e F2.
  3. 3. Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica 101 8 (Cesgranrio-RJ) Uma bolinha descreve uma trajetória circular 11 (Uepa) Na parte final de seu livro, Discursos e demonstrações con-sobre uma mesa horizontal sem atrito, presa a um prego por um cor- cernentes a duas novas ciências, publicado em 1638, Galileu Galilei tratadão (figura seguinte). do movimento de um projétil da seguinte maneira: “Suponhamos um corpo qualquer, lançado ao longo de um plano ho- P rizontal, sem atrito; sabemos... que esse corpo se moverá indefinida- mente ao longo desse mesmo plano, com um movimento uniforme e perpétuo, se tal plano for ilimitado”.Quando a bolinha passa pelo ponto P, o cordão que a prende ao prego O princípio físico com o qual se pode relacionar o trecho destacadoarrebenta. A trajetória que a bolinha então descreve sobre a mesa é: acima é:a) c) e) a) o Princípio da Inércia ou 1a Lei de Newton. b) o Princípio Fundamental da Dinâmica ou 2a Lei de Newton. P P P c) o Princípio da Ação e Reação ou 3a Lei de Newton. d) a Lei da Gravitação Universal. e) o Teorema da Energia Cinética.b) d) P Resposta: a P 12 A respeito de uma partícula em equilíbrio, examine as proposi- Resposta: e ções abaixo: I. Não recebe a ação de forças. 9 Superman, famoso herói das histórias em quadrinhos e do II. Descreve trajetória retilínea.cinema, acelera seu próprio corpo, freia e faz curvas sem utilizar III. Pode estar em repouso.sistemas propulsores, tais como asas e foguetes, dentre outros. É IV. Pode ter altas velocidades.possível a existência de um herói como o Superman? Fundamente São corretas:sua resposta em leis físicas. a) todas; d) apenas III e IV; b) apenas I e II; e) apenas I, III e IV. Resposta: Não, pois ele contraria o Princípio da Inércia. Para realizar c) apenas I e III; suas manobras radicais é necessária a atuação de uma força resul- tante e externa. Resposta: d 10 Analise as proposições a seguir: 13 (Puccamp-SP) Submetida à ação de três forças constantes, uma I. O cinto de segurança, item de uso obrigatório no trânsito brasileiro, visa aplicar aos corpos do motorista e dos passageiros forças que partícula se move em linha reta com movimento uniforme. A figura contribuam para vencer sua inércia de movimento. abaixo representa duas dessas forças: II. Um cachorro pode ser acelerado simplesmente puxando com a F2 = 12 N boca a guia presa à coleira atada em seu pescoço.III. O movimento orbital da Lua ao redor da Terra ocorre por inércia.Estão corretas:a) I, II e III; c) Somente II e III; e) Somente I.b) Somente I e II; d) Somente I e III;Resolução: F1 = 5 N(I) Correta. A terceira força tem módulo:(II) Incorreta. a) 5. b) 7. c) 12. d) 13. e) 17. Para que o cachorro seja acelerado é necessário que atue em seu corpo uma força resultante externa. Quando o animal puxa com Resolução: a boca a guia presa à coleira atada em seu pescoço, surgem forças Se o movimento é retilíneo e uniforme (equilíbrio dinâmico), deve na sua boca e no seu pescoço, além de trações na guia e na coleira. ocorrer: Essas forças, internas ao sistema, equilibram-se duas a duas, não F1 + F2 + F3 = 0 ⇒ F3 = – ( F1 + F2 ) modificando a velocidade do cachorro.(III) Incorreta. Teorema de Pitágoras: As únicas situações possíveis por inércia são o repouso e o movi- | F1 + F2 |2 = 52 + 122 mento retilíneo e uniforme. A Lua mantém-se em órbita ao redor F1 + F2 da Terra devido à força gravitacional que esta aplica sobre ela. É | F1 + F2 | = 13 N F2 devido a essa força que a velocidade da Lua se altera em direção Logo : | F3 | = 13 N de ponto para ponto da trajetória.. Resposta: e Resposta: d F1
  4. 4. 102 PARTE II – DINÂMICA 14 O avião esquematizado na figura está em voo ascendente, de 15 Nas situações 1 e 2 esquematizadas a seguir, um mesmo blo-modo que sua trajetória é uma reta x, inclinada de um ângulo θ em co de peso P é apoiado sobre a superfície plana de uma mesa, que érelação ao solo, admitido plano e horizontal. Nessa situação, o avião mantida em repouso em relação ao solo horizontal. No caso 1, o blocorecebe a ação de quatro forças: permanece parado e, no caso 2, ele desce a mesa inclinada, deslizandoP : força da gravidade ou peso (perpendicular ao solo); com velocidade vetorial constante.S : força de sustentação do ar (perpendicular a x);F : força propulsora (na direção de x);R : força de resistência do ar (na direção de x). Repouso x F S Caso 1 R P Movimento ␪ SoloSupondo que o movimento do avião seja uniforme, analise as proposi-ções a seguir e identifique as corretas:(01) O avião está em equilíbrio dinâmico.(02) P + S + F + R = 0 Caso 2(04) |F | = |R | + |P | sen θ(08) |S | = |P | Sendo F 1 e F 2 as forças totais de contato que a mesa aplica sobre o blo-(16) O avião está em movimento, por inércia. co nos casos 1 e 2, respectivamente, aponte a alternativa incorreta:Dê como resposta a soma dos números associados às proposições a) |F1 | = |P |. d) F1 = F2 .corretas. b) F1 = –P . e) |F2 | > |P |.Resolução: c) F2 é perpendicular ao solo.(01) Correta. Se o avião realiza movimento retilíneo e uniforme, ele está em Resolução: equilíbrio dinâmico. Caso (I): Bloco em repouso (equilíbrio estático)(02) Correta. A resultante das forças atuantes no avião deve ser nula. F1 P +S +F +R =0(04) Correta. Na direção x a resultante das forças deve ser nula. Logo: P x y F1 + P = 0 ⇒ F1 = –P ⇒ |F1 | = |P | F S Caso (II): Bloco em movimento retilíneo e uniforme (equilíbrio dinâmico) F2 ␪ R P Fn ␪ Fat |F | = |R | + |P | sen θ P(08) Incorreta. Na direção y, a resultante das forças também deve ser nula. Logo: |S | = |P | cos θ(16) Correta. Resposta: 23. F2 + P = 0 ⇒ F2 = –P ⇒ |F2 | = |P |
  5. 5. Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica 103É importante observar, nesse caso, que a força total de contato F2 é a 18 Uma partícula de massa 2,0 kg está em repouso quando, a partirsoma vetorial da força de atrito (Fat ) com a reação normal do apoio (Fn ): do instante t0 = 0, passa a agir sobre ela uma força resultante constan-F2 = Fat + Fn . te, de intensidade 6,0 N. a) Calcule o módulo da aceleração da partícula. Resposta: e b) Trace o gráfico de sua velocidade escalar em função do tempo des- de t0 = 0 até t1 = 4,0 s. 16 Um corpúsculo desloca-se em movimento retilíneo e acelerado Resolução:de modo que, num instante t, sua velocidade é v . Sendo F e a , respecti- a) F = m a ⇒ 6,0 = 2,0 avamente, a força resultante e a aceleração no instante referido, aponte aalternativa que traz um possível esquema para os vetores v , F e a . a = 3,0 m/s2a) F d) v b) O movimento adquirido pela partícula é uniformemente acelerado; v logo: F a a v = v0 + at ⇒ v = 3,0 t para t1 = 4,0 s: v1 = 12 m/s v (m/s)b) v e) v 12 F F a ac) v a 0 4,0 t (s) F Respostas: a) 3,0 m/s2 b) v (m/s)Resolução: 12(I) Se o movimento é retilíneo e acelerado, F e V devem ter mesma direção e mesmo sentido.(II) De acordo com a 2a Lei de Newton, F e a devem ter sempre mes- 0 ma direção e mesmo sentido. 4,0 t (s) Resposta: c 19 Um fragmento de meteorito de massa 1,0 kg é acelerado no la- boratório a partir do repouso pela ação exclusiva das forças FA e FB, 17 E.R. O bloco da figura tem massa igual a 4,0 kg e está sujeito à que têm mesma direção, mas sentidos opostos, como representa o ação exclusiva das forças horizontais F1 e F2 : esquema a seguir. FA FB F1 F2 Sabendo que a aceleração do corpo tem módulo 2,0 m/s2 e que Sabendo que as intensidades de F1 e de F2 valem, respectivamente, |FA | = 10 N, determine: 30 N e 20 N, determine o módulo da aceleração do bloco. a) |FB |, se |FB | < |FA | e se |FB | > |FA |; b) o módulo da velocidade do corpo ao completar 25 m de Resolução: deslocamento. Como |F1 | > |F2 |, o bloco é acelerado horizontalmente para a direita por uma força resultante F , cuja intensidade é dada por: Resolução: F = F1 – F2 a) Se |FB | < |FA |: FA – FB = m a ⇒ 10 – FB = 1,0 · 2,0 F = (30 – 20) N ⇒ F = 10 N FB = 8,0 N A aceleração a do bloco pode ter seu módulo calculado pelo Princí- pio Fundamental da Dinâmica: Se |FB | > |FA |: FB – FA = m a ⇒ FB – 10 = 1,0 · 2,0 F=ma ⇒ a= F ⇒ a = 10 N ⇒ a = 2,5 m/s2 m 4,0 kg FB = 12 N
  6. 6. 104 PARTE II – DINÂMICAb) O movimento é uniformemente acelerado; logo: Determine: v2 = v20 + 2a Δs a) a velocidade escalar média do carrinho no intervalo de 0 a 20 s; v2 = 2 · 2,0 · 25 ⇒ v = 10 m/s b) a intensidade da força resultante no carrinho nos intervalos de 0 a 10 s e de 10 s a 20 s. Respostas: a) 8,0 N e 12 N; b) 10 m/s Resolução: a) Δs = A’ RGA ⇒ Δs = (20 + 10) · 12 (m) 20 O gráfico a seguir mostra a variação do módulo da aceleração 2 Δs = 180 m(a) de duas partículas A e B com a intensidade (F) da força resultanteque atua sobre elas. vm = Δs ⇒ vm = 180 m Δt 20 s F A 3 F0 vm = 9,0 m/s b) • de 0 a 10 s: a1 = Δv = 12 m/s 2 F0 B Δt 10 s F0 a1 = 1,2 m/s2 ⇒ F1 = m a1 0 a0 a F1 = 6,0 · 1,2 (N) ⇒ F1 = 7,2 NDetermine a relação mA/mB entre as massas de A e de B. • de 10 s a 20 s: a2 = 0 (Movimento retilíneo e uniforme)Resolução:2a Lei de Newton: F = m a F2 = m a2 ⇒ F2 = 0Partícula A: 3 F0 = mA a0 (1)Partícula B: F0 = mB a0 (2) Respostas: a) 9,0 m/s ; b) 7,2 N e zero mA a0 3 F0(1) ÷ (2) : = 23 (Ufesp-SP) Para que um carrinho de massa m adquira certa mB a0 F0 mA aceleração de módulo a, é necessário que a força resultante tenhaDonde: =3 módulo F. Qual é o módulo da força resultante para um carrinho de mB massa 2m adquirir uma aceleração de módulo 3a? mA Resolução: Resposta: =3 mB 2a Lei de Newton: F =m·a 21 Aplica-se a mesma força resultante em duas partículas A e B de 1o carrinho: F = m a 2o carrinho: F’ = 2m 3amassas respectivamente iguais a M e a 4M. Qual a relação entre as in-tensidades das acelerações adquiridas por A e B? F’ = 6 m a ⇒ F’ = 6 FResolução: Resposta: 6 F2º Lei de Newton: F = m a A : F = m a A ; B : F = 4 m aB 24 Uma força resultante F produz num corpo de massa m uma ace-De A e B : M aA = 4 M aB leração de intensidade 2,0 m/s2 e num corpo de massa M, uma acelera- aA ção de intensidade 6,0 m/s2. Qual a intensidade da aceleração que essaDonde: =4 aB mesma força produziria se fosse aplicada nesses dois corpos unidos? Resolução: Resposta: 4 2a Lei de Newton: F =m a 22 A velocidade escalar de um carrinho de massa 6,0 kg que per- (I) F = m 2,0 ⇒ m = F 1corre uma pista retilínea varia em função do tempo, conforme o grá- 2,0fico abaixo: (II) F = M 6,0 ⇒ M = F 2 6,0 v (m/s) (III) F = (M + M) a 3 12 1 e 2 em 3 , temos: F= F + F a ⇒ F=4 F·a 6,0 2,0 6,0 a = 1,5 m/s2 0 10 20 t (s) Resposta: 1,5 m/s2
  7. 7. Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica 105 25 (PUC-PR) Dois corpos, A e B, de massas M e M , estão apoiados Resolução: A Bem uma superfície horizontal sem atrito. Sobre eles são aplicadas for- a) v0 = 108 km/h = 108 m/s ⇒ v0 = 30 m/s 3,6ças iguais. A variação de suas velocidades é dada pelo gráfico. Para os Movimento uniformemente variado:corpos, é correto afirmar que: v = v0 + α t ⇒ 0 = 30 + α 5,0 v (m/s) α = –6,0 m/s2 ⇒ a = |α| = 6,0 m/s2 25 B 20 b) 2a Lei de Newton: Fat = m a A 15 Fat = 800 · 6,0 (N) ⇒ Fat = 4,8 kN 10 5 Respostas: a) 6,0 m/s2; b) 4,8 kN 0 2 4 6 8 10 t (s) 28 Uma espaçonave de massa 8,0 · 102 kg em movimento retilíneoa) MA/MB = 4. c) MA/MB = 1 . e) MA/MB = 2. e uniforme num local de influências gravitacionais desprezíveis tem 3 ativados simultaneamente dois propulsores que a deixam sob a açãob) MA/MB = 3. d) MA/MB = 1 . 2 de duas forças F1 e F2 de mesma direção e sentidos opostos, conforme está representado no esquema a seguir:Resolução:Corpo A: F = MA aA = MA Δv Δt A F2F = MA 15 (I) 10Corpo B: F = MB aB = MB Δv Δt B F1F = MB 5 (II) 10Comparando (I) em (II), temos: MA 1MA 15 = MB 5 ⇒ = MB 3 10 10 Sendo as intensidades de F1 e F2 respectivamente iguais a 4,0 kN e Resposta: c 1,6 kN, determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração veto- rial adquirida pela espaçonave. 26 Uma partícula de massa 4,0 kg parte do repouso no instante Resolução:t0 = 0, sob a ação de uma força resultante constante. Sabendo que no 2a Lei de Newton:instante t1 = 2,0 s sua velocidade escalar vale 10 m/s, calcule: F =m aa) a aceleração escalar da partícula; F1 – F2 = m a ⇒ (4,0 – 1,6) · 103 = 8,0 ·102 ab) a intensidade da força resultante. a = 3,0 m/s2 A direção de a é a de F1 ou F2 e o sentido é o de F1 .Resolução:a) O movimento que a partícula realiza é retilíneo uniformemente Respostas: 3,0 m/s2 na direção de F1 ou F2 e no sentido de F1 . acelerado. a = Δv ⇒ a = 10 m/s Δt 2,0 s 29 (Puccamp-SP) Um corpo de massa 4,0 kg é arrastado num plano horizontal por uma força horizontal constante de intensidade a = 5,0 m/s2 F = 20 N, adquirindo aceleração a = 2,0 m/s2.b) 2a Lei de Newton: F F=m a F = 4,0 · 5,0 (N) F = 20 N Qual a intensidade da força de atrito que atua sobre o corpo? Respostas: a) 5,0 m/s2; b) 20 N Resolução: Aplicando a 2a Lei de Newton, temos: 27 (Unicamp-SP) Um carro de massa 800 kg, andando a 108 km/h, Fres = m a ⇒ F – Fat = m afreia bruscamente e pára em 5,0 s. 20 – Fat = 4,0 · 2,0 ⇒ Fat = 12 Na) Qual o módulo da desaceleração do carro, admitida constante?b) Qual a intensidade da força de atrito que a pista aplica sobre o carro Resposta: 12 N durante a freada?
  8. 8. 106 PARTE II – DINÂMICA 30 Uma caixa contendo livros, com massa igual a 25 kg, será arras- 32 (Unicamp-SP – mod.) Na viagem do descobrimento, a frota detada a partir do repouso sobre o solo plano e horizontal sob a ação de Cabral precisou navegar contra o vento uma boa parte do tempo. Issouma força constante F de intensidade 160 N, representada na figura só foi possível devido à tecnologia de transportes marítimos mais mo-abaixo: derna da época: as caravelas. Nelas, o perfil das velas é tal que a direção do movimento pode formar um ângulo agudo com a direção do vento, como indicado pelo diagrama de forças a seguir: F Ve θ = 60° nt oSabendo-se que ao longo do deslocamento a caixa receberá do solo Força da velauma força de atrito de intensidade 50 N, pede-se determinar: Força laterala) a intensidade da aceleração que será adquirida pela caixa; (da quilha)b) o intervalo de tempo que ela gastará para percorrer os primeiros 2,4 m. Força de atritoResolução: = 1 000 Na) 2a Lei de Newton: F =m a Considere uma caravela com massa de 20 000 kg. Fx – Fat = m a ⇒ F cos 60° – Fat = m a a) Determine a intensidade, a direção e o sentido da força resultante sobre a embarcação. 160 · 1 – 50 = 25 a ⇒ a = 1,2 m/s2 b) Calcule o módulo da aceleração da caravela. 2b) O movimento será retilíneo e uniformemente acelerado. Resolução: 1,2 Δs = v0 t + a t2 ⇒ 2,4 = t2 a) Para determinar as características da força resultante sobre a em- 2 2 barcação, convém decompor a força exercida pela vela, como indi- t = 2,0 s ca a figura a seguir: F1 F1 y 2 (5 000 N) Respostas: a) 1,2 m/s ; b) 2,0 s F3 F1 x (3 000 N) 31 O esquema a seguir representa uma partícula de massa igual a (3 000 N)1,0 kg, sujeita à ação exclusiva das forças F1 e F2 , perpendiculares.Sabendo que |F1 | = 3,0 N e que o módulo da aceleração resultante da F2 (4 000 N) xpartícula vale 5,0 m/s2, determine |F2 |. Fres (1 000 N) F2 A força resultante tem intensidade de 1 000 N (1,0 kN), direção da força de atrito, porém sentido oposto ao dessa força. b) 2a Lei de Newton: F res = m a 1 000 = 20 000 a ⇒ a = 5,0 · 10–2 m/s2 F1 Respostas: a) 3,0 m/s2 na direção de F1 ; b) 5,0 · 10–2 m/s2Resolução:(I) 2a Lei de Newton: 33 E.R. Uma bola está em repouso na marca do pênalti quando F =m a um jogador transmite a ela um poderoso chute rasteiro, fazendo-a sair com uma velocidade de 20 m/s. Sabendo que a bola tem massa de F = 1,0 5,0 (N) ⇒ F = 5,0 N 0,50 kg e que a duração do impacto do pé do jogador com ela foi de 1,0 · 10–3 s, calcule a intensidade da força média recebida pela bola(II) Teorema de Pitágoras: por ocasião do chute. F2 + F2 = F2 ⇒ (3,0)2 + F2 = (5,0)2 1 2 2 Resolução: F = 4,0 N Apliquemos à bola a 2a Lei de Newton, considerando que a força recebida por ocasião do chute é a resultante: Respostas: a) 5,0 N; b) 4,0 N Fm = m a
  9. 9. Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica 107 No caso, o módulo da aceleração média que a bola adquire pode ser A resultante das forças exercidas pelo Vertical dado por: v –v ar sobre o helicóptero, em cada uma a = Δv = final inicial dessas situações, é corretamente re- Δt Δt presentada por: g Assim: (v – v ) I II III Fm = m final inicial Δt a) ↑ ↑ ↑ Sendo m = 0,50 kg, vfinal = 20 m/s, vinicial = 0 e Δt = 1,0 · 10–3 s, calcu- b) ↑ ↓ → Horizontal lemos Fm, que é a intensidade da força média que a bola recebe por ocasião do chute: c) ↓ ↑ ← (20 – 0) d) ↓ ↑ → Fm = 0,50 (N) ⇒ Fm = 1,0 · 104 N 1,0 · 10–3 e) ↓ ↓ ↓ 34 Um projétil de massa 10 g repousa na câmara de um fuzil quan- Resolução: Nos três casos, sendo FAr a resultante das forças do ar sobre o helicóp-do o tiro é disparado. Os gases provenientes da explosão comunicam tero, temos:ao projétil uma força média de intensidade 1,2 · 103 N. Sabendo que adetonação do cartucho dura 3,0 · 10–3 s, calcule o módulo da velocidadedo projétil imediatamente após o disparo. FArResolução:2a Lei de Newton:F = m a ⇒ Fm = m Δv Δt P 3 –3 (v – 0)1,2 10 = 10 · 10 3,0 · 10–3 MRU: v = 3,6 · 102 m/s FAr + P = 0 (equilíbrio dinâmico) Resposta: 3,6 · 102 m/s Logo: FAr = –P 35 (Mack-SP) Um corpo em repouso de massa 1,0 t é submetido FAr é vertical e dirigida para cima.a uma resultante de forças, com direção constante, cuja intensidade Resposta: avaria em função do tempo (t), segundo a função F = 200 t, no SistemaInternacional, a partir do instante zero. A velocidade escalar desse cor-po no instante t = 10 s vale: 37 (Cesgranrio-RJ) Um pedaço de giz é lançado horizontalmentea) 3,6 km/h. d) 72 km/h. de uma altura H. Desprezando-se a influência do ar, a figura que me-b) 7,2 km/h. e) 90 km/h. lhor representa a(s) força(s) que age(m) sobre o giz é:c) 36 km/h. a) c) e)Resolução: H H H2a Lei de Newton: (v – v0)Fm = m am ⇒ Fm = m · ΔtComo a variação da intensidade da força resultante com o tempo élinear, o valor médio dessa intensidade no intervalo considerado podeser calculado pela seguinte média aritmética: F +F b) d)Fm = 0 1 H H 2Fm = 200 · 0 + 200 · 10 ⇒ Fm = 1 000 N 2 (v – 0) ⇒ v = 10 m/s = 36 km/hLogo: 1 000 = 1 000 10 Resposta: c Resolução: 36 (Cesgranrio-RJ) Considere um helicóptero movimentando-se no Durante o voo balístico que o giz realiza até o solo, ele fica sob a açãoar em três situações diferentes: exclusiva da força peso (vertical para baixo). I. subindo verticalmente com velocidade escalar constante; É importante chamar a atenção para o fato de que a força horizontal só II. descendo verticalmente com velocidade escalar constante; atua no giz no ato do seu lançamento.III. deslocando-se horizontalmente para a direita, em linha reta, com Resposta: e velocidade escalar constante.
  10. 10. 108 PARTE II – DINÂMICA 38 (ESPCEX-SP) Na superfície da Terra, uma pessoa lança uma pe- b) Na Lua: PL = m gLdra verticalmente para cima. Considerando-se que a resistência do ar PL= 5,0 · 1,6 (N) ⇒ PL = 8,0 Nnão é desprezível, indique a alternativa que representa as forças queatuam na pedra, no instante em que ela está passando pelo ponto mé- Respostas: a) 5,0 kg; b) 8,0 Ndio de sua trajetória durante a subida. Despreze o empuxo do ar.a) b) c) d) e) 41 Num local em que a gravidade é normal (9,8 m/s2), um bloco de concreto pesa 20 kgf. Determine: a) a massa do bloco em kg; b) o peso do bloco em newtons. Resolução:Resolução: a) Se a gravidade é normal, a massa em kg é numericamente igual aoA pedra está sob a ação de duas forças verticais e dirigidas para baixo: peso em kgf; logo:seu peso ( A ) e a força de resistência do ar ( FAr ) m = 20 kg b) P = m g ⇒ P = 20 · 9,8 (N) Subida FAr P = 196 N P Respostas: a) 20 kg; b) 196 N Resposta: a 42 (Fuvest-SP) Um homem tenta levantar uma caixa de 5 kg, que está sobre uma mesa, aplicando uma força vertical de 10 N. 39 E.R. Na Terra, um astronauta de massa M tem peso P. Supon- do que na Lua a aceleração da gravidade seja um sexto da verificada na Terra, obtenha: a) a massa do astronauta na Lua; g (10 m/s2) b) o peso do astronauta na Lua. Resolução: a) A massa de um corpo independe do local, sendo a mesma em 5 kg qualquer ponto do Universo. Assim, na Lua, a massa do astronau- ta também será igual a M. b) O peso P do astronauta na Terra é dado por: Nesta situação, o valor da força que a mesa aplica na caixa é de: P=Mg a) 0 N. b) 5 N. c) 10 N. d) 40 N. e) 50 N. O peso (P’) do astronauta na Lua será dado por: Resolução: P’ = M g’ Na figura a seguir, estão representadas as forças que agem na caixa: Sendo g’ = 1 g, segue que: 6 T P’ = M 1 g = 1 M g 6 6 Daí: P’ = 1 P 6 40 Na Terra, num local em que a aceleração da gravidade vale Fn P9,8 m/s2, um corpo pesa 49 N. Esse corpo é, então, levado para a Lua,onde a aceleração da gravidade vale 1,6 m/s2. Condições de equilíbrio:Determine: Fn + T = Pa) a massa do corpo;b) seu peso na Lua. Fn = m g – T Fn = 5 · 10 – 10 (N)Resolução: Fn = 40 Na) Na Terra: PT = m gT 49 = m · 9,8 ⇒ m = 5,0 kg Resposta: d
  11. 11. Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica 109 43 E.R. Um bloco de massa 2,0 kg é acelerado verticalmente para 46 Na Terra, num local em que a aceleração da gravidade é normal, cima com 4,0 m/s2, numa região em que a influência do ar é despre- uma sonda espacial pesa 5,0 · 102 kgf. Levada para um planeta X, seu zível. Sabendo que, no local, a aceleração da gravidade tem módulo peso passa a valer 1,0 · 104 N. Determine: 10 m/s2, calcule: a) a massa da sonda na Terra e no planeta X; a) a intensidade do peso do bloco; b) o módulo da aceleração da gravidade na superfície do planeta X. b) a intensidade da força vertical ascendente que age sobre ele. Resolução: Resolução: a) A massa da sonda na Terra ou no planeta X, em kg, é numericamen- a) O peso do bloco é calculado por: P = m g. te igual ao peso desse corpo na Terra, em kgf, num local em que a Com m = 2,0 kg e g = 10 m/s2, vem: aceleração da gravidade é normal. Logo: P = 2,0 · 10 (N) ⇒ P = 20 N m = 5,0 · 102 kg b) O esquema abaixo mostra as forças que agem no bloco: b) Px = m gx ⇒ 1,0 · 104 = 5,0 · 102 gx gx = 20 m/s2 F Respostas: a) 5,0 · 102 kg; b) 20 m/s2 a 47 (Unip-SP) Uma balança de farmácia (balança de mola) foi gra- duada em kg em um local onde g = 9,8 m/s2. A balança é levada para P um local onde g = 10 m/s2. Nesse novo local, uma pessoa de massa 49 kg sobe na balança. Aplicando ao bloco o Princípio Fundamental da Dinâmica, cal- A leitura na balança será de: a) 9,8 kg. d) 50 kg. culemos a intensidade de F: b) 10 kg. e) 490 kg. F – P = m a ⇒ F – 20 = 2,0 · 4,0 c) 49 kg. F = 28 N Resolução: A indicação da balança é diretamente proporcional à intensidade da 44 (UFMT) Um corpo de massa 5,0 kg é puxado verticalmente para aceleração da gravidade local.cima por uma força F , adquirindo uma aceleração constante de inten- I = kgsidade igual a 2,0 m/s2, dirigida para cima. Adotando g = 10 m/s2 e des- Local 1: 49 = k 9,8 (I)prezando o efeito do ar, determine a intensidade de F . Local 2: I2 = k 10 (II)Resolução: Dividindo (II) por (I), temos:2a Lei de Newton: I2 k 10 = ⇒ I2 = 50 kgF–P=ma F 49 k 9,8F–mg=maF = m (g + a) Resposta: d aF = 5,0 · (10 + 2,0) (N) F = 60 N 48 (UFMG) Na Terra, um fio de cobre é capaz de suportar, em uma P de suas extremidades, massas suspensas de até 60 kg sem se romper. Resposta: 60 N Considere a aceleração da gravidade, na Terra, igual a 10 m/s2 e, na Lua, igual a 1,5 m/s2. a) Qual a intensidade da força máxima que o fio poderia suportar na 45 Um garoto arremessa verticalmente para cima uma pedra, que Lua?passa a mover-se sob a ação exclusiva do campo gravitacional terrestre. A b) Qual a maior massa de um corpo suspenso por esse fio, na Lua, seminfluência do ar é desprezível. A alternativa que representa corretamente que ele se rompa?os vetores força resultante na pedra (F ), aceleração resultante ( a ) e veloci-dade instantânea ( v ), em dado instante do movimento de subida, é: Resolução:a) ↑F ↑ a ↑ v c) ↓F ↓ a ↑ v e) ↓F ↓ a ↓ v a) O limite da resistência à tração do fio independe do local.b) ↑F ↓ a ↑ v d) ↑F ↓ a ↓ v Tmáx = mmáx gT ⇒ Tmáx = 60 · 10 (N)Resolução: Tmáx = 6,0 · 102 N• A força resultante na pedra é a força peso (vertical para baixo). b) Tmáx = m’máxgL ⇒ 6,0 · 102 = m’máx 1,5• A aceleração resultante da pedra é a aceleração da gravidade (vertical para baixo). m’máx = 4,0 · 102 kg• A velocidade vetorial da pedra durante a subida é vertical para cima. Resposta: c Respostas: a) 6,0 · 102 N; b) 4,0 · 102 kg
  12. 12. 110 PARTE II – DINÂMICA 49 (Fuvest-SP) Um fio, de massa desprezível, está preso vertical- c) Movimento uniformemente variado:mente por uma de suas extremidades a um suporte. A tração máxima d = a t2 ⇒ t = 2 dque o fio suporta, sem se romper, é de 5,80 N. Foram pendurados, su- 2 a 2dcessivamente, objetos de 50 g cada, separados um do outro por uma tM 8,0 tM 1distância de 10 cm, até o fio se romper. = = 2,0 ⇒ = tT 2d 8,0 tT 2Adotando g = 10 m/s2, responda: 2,0a) Quantos objetos foram pendurados?b) Onde o fio se rompeu? Respostas: a) 60,0 N; b) 8,0 m/s2; c) 1 2Resolução:a) Tmáx = nmáx m g ⇒ 5,80 = nmáx · 50 · 10–3 · 10 51 No esquema a seguir, os blocos A e B têm massas m = 2,0 kg e A nmáx = 11,6 mB = 3,0 kg. Desprezam-se o peso do fio e a influência do ar. Se o fio se rompeu, conclui-se que foi superado o valor de nmáx. Por F isso, o primeiro inteiro acima de nmáx é: A n = 12 objetos g Fiob) Se o fio se rompeu em um ponto entre a extremidade fixa e o pri- inextensível meiro objeto, região em que se estabelece a maior tração. B Respostas: a) 12 objetos; b) O fio se rompeu em um ponto entre a extremidade fixa e o primeiro objeto. Sendo |F | = 80 N e adotando | g | = 10 m/s2, determine: a) o módulo da aceleração do sistema; b) a intensidade da força que traciona o fio. 50 Um robô foi projetado para operar no planeta Marte, po-rém ele é testado na Terra, erguendo verticalmente a partir do Resolução:repouso e ao longo de um comprimento d um pedaço de rocha a) O peso total do sistema é:de massa igual a 5,0 kg com aceleração constante de módulo PAB = (mA + mB) g ⇒ PAB = (2,0 + 3,0) · 10 (N)2,0 m/s2. Remetido ao seu destino e trabalhando sempre com a PAB = 50 Nmesma calibração, o robô iça verticalmente, também a partir dorepouso e ao longo do mesmo comprimento d, uma amostra do Como F Ͼ PAB, o sistema é acelerado verticalmente para cima.solo marciano de massa idêntica à do pedaço de rocha erguido naTerra. Sabendo que na Terra e em Marte as acelerações da gravida- 2a Lei de Newton:de têm intensidades respectivamente iguais a 10,0 m/s2 e 4,0 m/s2, F – PAB = (mA + mB) a Fdetermine: 80 – 50 = (2,0 + 3,0) a aa) a intensidade da força que o robô exerce para erguer o pedaço de A+B rocha na Terra; a = 6,0 m/s2b) o módulo da aceleração adquirida pela amostra do solo marciano; PAB b) 2a Lei de Newton:c) a relação entre os tempos de duração da operação em Marte e na T – PB = mB a Terra. T – 3,0 · 10 = 3,0 · 6,0 TResolução: T = 48 N a Ba) 2a Lei de Newton: F – PT = m aT Respostas: a) 6,0 m/s2; b) 48 N PB F – m gT = m aT F aT 52 E.R. Uma esfera maciça, A, de peso P, está ligada por um F = m (gT + aT) fio inextensível, C, de massa desprezível, a outra esfera, B, também F = 5,0 (10,0 + 2,0) (N) maciça, de peso P’ = 2P. O conjunto é abandonado A PT no vácuo, sem velocidade inicial, e executa um mo- F = 60,0 N vimento de queda livre com o fio reto na vertical. A g C aceleração da gravidade tem intensidade g. Calcule: a) os módulos das acelerações das esferas A e B;b) 2a Lei de Newton: b) a intensidade da força de tração no fio. B F – PM = m aM Resolução: F – m gM = m aM a) Como as esferas A e B estão em queda livre, sua aceleração é igual F am à da gravidade: g. 60,0 – 5,0 · 4,0 = 5,0 aM b) A força resultante em cada esfera em queda livre é o seu próprio Pm peso. Por isso, as duas esferas não interagem com o fio, que per- aM = 8,0 m/s2 manece frouxo sem estar tracionado (tração nula).
  13. 13. Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica 111 53 Na situação esquematizada na figura abaixo, os blocos A e B Resolução:encontram-se em equilíbrio, presos a fios ideais iguais, que suportam PAB = (Ma + Mb) g ⇒ PAB = (2,0 + 4,0) 10 (N)uma tração máxima de 90 N. PAB = 60 N (I) Incorreta. Fio 1 T A (mA = 6,0 kg) g B Fio 2 PB B (mB) Se F = PAB = 60 N, o sistema está em equilíbrio. T = PB ⇒ T = Mb gSabendo que | g | = 10 m/s2, determine: T = 4,0 · 10 (N)a) a maior massa mB admissível ao bloco B, de modo que nenhum dos T = 40 N fios arrebente;b) a intensidade da força de tração no fio 2, supondo que o fio 1 se (II) Incorreta. rompeu e que os blocos estão em queda livre na vertical. Se F Ͼ PAB, o sistema acelera verticalmente para cima. 2a Lei de Newton:Resolução: Fa) A tração de maior intensidade se estabelece no fio 1: T1 = Pmáx ⇒ T1 = (mA + mB ) g A+B máx máx máx a 90 = (6,0 + mB ) 10 PAB máx 9,0 = 6,0 + mB máx F – PAB = (Ma + Mb) a mB = 3,0 kg 120 – 60 = (2,0 + 4,0) a máx a = 10 m/s2b) Sistema em queda livre: T2 = 0. 2a Lei de Newton: Respostas: a) 3,0 kg; b) Tração nula T 54 (PUC-PR – mod.) Sobre o bloco A, de massa 2,0 kg, atua a forçavertical F . O bloco B, de massa 4,0 kg, é ligado ao A por um fio inexten- Bsível, de massa desprezível e alta resistência à tração. aAdote g = 10 m/s2. PB F T – PB = Mb a T – 4,0 · 10 = 4,0 · 10 A mA = 2,0 kg T = 80 N Fio (III) Correta. B mB = 4,0 kg Sistema em queda livre. (IV) Correta. Se F Ͻ PAB, o sistema acelera verticalmente para baixo.Considere as proposições: I. Se F = 60 N, o sistema está em equilíbrio e a tração no fio é 50 N. 2a Lei de Newton: II. Se F = 120 N, o sistema está em movimento acelerado e a tração no F fio é 40 N.III. Se F = 0, o sistema tem uma aceleração de 10 m/s2 e a tração no fio é nula. A+BIV. Se F = 12 N, o sistema está em movimento acelerado e a tração no a fio é 8,0 N. PABa) Apenas IV está correta.b) Todas estão corretas. PAB – F = (Ma + Mb) ac) Apenas I está correta. 60 – 12 = (2,0 + 4,0) ad) Apenas I, II e III estão corretas.e) Apenas III e IV estão corretas. a = 8,0 m/s2
  14. 14. 112 PARTE II – DINÂMICA 2a Lei de Newton: 56 E.R. Considere um veículo, como o representado abaixo, em movimento retilíneo sobre um plano horizontal. Pelo fato de estar T acelerado para a direita, um pêndulo preso ao seu teto desloca-se em relação à posição de equilíbrio, formando um ângulo α com a B a vertical. PB g α a PB – T = Mb a 4,0 · 10 – T = 4,0 · 8,0 T = 8,0 N São conhecidos o ângulo α, o módulo da aceleração da gravidade (g) Resposta: e e a massa da esfera (m) atada ao fio ideal. a) Qual o módulo da aceleração a do veículo? 55 Considere o esquema abaixo, em que estão representados um b) O módulo de a depende de m?elevador E de massa igual a 1,0 · 103 kg (incluída a massa do seu con-teúdo), um contrapeso B de massa igual a 5,0 · 102 kg e um motor elétri- Resolução:co M que exerce no cabo conectado em E uma força vertical constante a) Isolemos a esfera pendular e identifiquemos as forças que nela agem em relação a um referencial inercial, isto é, todo aquele paraF . Os dois cabos têm massas desprezíveis, são flexíveis e inextensíveis o qual vale o Princípio da Inércia:e as polias são ideais. No local, a influência do ar é desprezível e adota--se g = 10 m/s2. y α T M g P E 0 Referencial solidário à Terra x B Na esfera pendular, agem duas forças: seu peso (P ) e a força de tração devida ao fio (T ). Façamos a decomposição de T nas direções horizontal e vertical: y TSe o elevador está acelerado para cima, com aceleração de módulo Ty0,20 m/s2, a intensidade de F é: αa) 4,7 · 103 N; c) 5,2 · 103 N; e) 5,5 · 103 N. ab) 5,0 · 103 N; d) 5,3 · 103 N; TxResolução: 0 Referencial solidário à Terra x F T P T E a Temos: a B Tx = T sen α (I) e Ty = T cos α (II) PB PE Para o observador fixo na Terra, a esfera pendular não é acelerada verticalmente. Isso significa que T y equilibra P , o que nos leva a2a Lei de Newton: escrever:PB – T = mB a Ty = P ⇒ Ty = m g (III)5,0 · 102 · 10 – T = 5,0 · 102 · 0,20 Para o mesmo observador fixo na Terra, a esfera pendular possui 3 T = 4,9 · 10 N movimento com aceleração dirigida para a direita, juntamente com o veículo. A resultante que acelera a esfera pendular em rela-2a Lei de Newton: ção à Terra é T x. Aplicando a 2a Lei de Newton, vem:F + T – PE = mE a Tx = m a (IV)F + 4,9 · 103 – 1,0 · 103 · 10 = 1,0 · 103 · 0,20 Comparando as expressões (I) e (IV), obtemos: 3 F = 5,3 · 10 N m a = T sen α (V) Comparando as expressões (III) e (II), vem: Resposta: d m g = T cos α (VI)
  15. 15. Tópico 1 – Os princípios da Dinâmica 113 Dividindo (V) e (VI) membro a membro, temos: Movimento retardado ma = T sen α ⇒ a = sen α Plano horizontal mg T cos α g cos α Donde: a = g tg α Figura 2 b) O módulo de a não depende de m, que foi cancelada nos cálculos. Das alternativas a seguir, a que melhor representa o duplo pêndulo durante a freada é: 57 (Ufla-MG) Um caminhão-guincho em movimento retilíneo a) c) e)numa pista horizontal tem aceleração constante de intensidade a. Eletransporta uma carga de massa M sustentada por uma corda leve pre- α A A α α Asa em sua traseira. Nessas condições, o pêndulo, constituído pela cargae a corda, permanece deslocado em um ângulo θ em relação à vertical,conforme representa a figura: B 2α B α α B a θ M b) d) 2α A α ASendo g a intensidade da aceleração da gravidade, sen θ = 1 e B 2α α 2 B 3cos θ = , aponte a alternativa que traz o valor correto de a: 2 2 3 3a) g. b) 1 g. c) g. d) g. e) 3 g. Resolução: 3 2 3 2 O duplo pêndulo alinha-se na direção do “prumo” reinante dentro doResolução: carro, que está de acordo com a gravidade aparente (gap ), dada por:(I) Equilíbrio na vertical: a Ty = P ⇒ Ty = M g gap = g + ai g gap T em que: ai = aceleração da inércia, definida no referencial do carro. Ty O ângulo de inclinação dos fios dos pêndulos independem das respec- M tivas massas. Logo, a figura que melhor representa o duplo pêndulo Tx P durante a freada é a contida na alternativa c. Resposta: c(II) Movimento acelerado na horizontal: Tx = Fres ⇒ Tx = M a a 59 E.R. Um corpo de massa 4,0 kg cai, a partir do repouso, no campo gravitacional terrestre, suposto de intensidade constante, Tx tg θ = ⇒ sen θ = M a de módulo 10 m/s2. A força de resistência que o corpo recebe do ar Ty cos θ M g durante a queda tem intensidade dada, em newtons, pela expressão 1 Fr = 10v2, em que v é o módulo de sua velocidade. Admitindo que a(III) 2 =a ⇒ 3 altura de queda seja suficientemente grande, calcule a velocidade- g a= g 3 3 -limite atingida pelo corpo. 2 Resolução: Resposta: c Fr 58 Na figura 1, mostra-se um Esfera emduplo pêndulo em equilíbrio, cons- queda no artituído de fios leves e inextensíveis a Ae duas esferas A e B de massas M e2M respectivamente.Na figura 2, aparece um carro em P B Figura 1cujo teto está dependurado o du-plo pêndulo. O carro, em movimento para a direita, inicia, em dado Durante a queda, duas forças agem no corpo: o peso (P ) e a força deinstante, uma freada com desaceleração constante. resistência do ar (Fr ).
  16. 16. 114 PARTE II – DINÂMICA A intensidade de Fr cresce a partir de zero. A intensidade de P , entre- 61 (Unifesp-SP) Em um salto de paraquedismo, identificam-se duas tanto, é constante. fases do movimento de queda do paraquedista. Nos primeiros instan- À medida que o corpo ganha velocidade durante a queda, Fr , se in- tes do movimento, ele é acelerado. Devido à força de resistência do ar, tensifica, atingindo, depois de certo intervalo de tempo, o mesmo porém, o seu movimento passa rapidamente a ser uniforme com velo- valor de P . cidade v1, com o paraquedas ainda fechado. A segunda fase tem início A partir daí, a velocidade estabiliza, assumindo um valor constante no momento em que o paraquedas é aberto. Rapidamente, ele entra denominado velocidade-limite. novamente em um regime de movimento uniforme, com velocidade v2. Supondo-se que a densidade do ar é constante, a intensidade da Condição de velocidade-limite: força de resistência do ar sobre um corpo é proporcional à área sobre Fr = P ⇒ Fr = m g a qual atua a força e ao quadrado de sua velocidade. Se a área efetiva aumenta 100 vezes no momento em que o paraquedas se abre, pode- 10 v2lim = 4,0 · 10 ⇒ vlim = 2,0 m/s -se afirmar que: a) v2/v1 = 0,08. c) v2/v1 = 0,15. e) v2/v1 = 0,30. b) v2/v1 = 0,10. d) v2/v1 = 0,21. 60 (Fuvest-SP) O gráfico seguinte descreve o deslocamento ver-tical y, para baixo, de um surfista aéreo de massa igual a 75 kg, em Resolução:função do tempo t. A origem y = 0, em t = 0, é tomada na altura do O fenômeno pode ser descrito qualitativamente pelo gráfico da veloci-salto. Nesse movimento, a força R de resistência do ar é proporcional dade do paraquedista em função do tempo.ao quadrado da velocidade v do surfista (R = k v2, em que k é uma A intensidade da força de resistência do ar deve ser expressa por:constante que depende principalmente da densidade do ar e da geo- Far = k A v2metria do surfista). A velocidade inicial do surfista é nula; cresce com (I) Com o paraquedas fechado:o tempo, por aproximadamente 10 s; e tende para uma velocidade Far = P ⇒ k A v2 = P 1 1 1constante denominada velocidade-limite (vL). (II) Com o paraquedas aberto:Adotando g = 10 m/s2, determine: Far = P ⇒ k 100 A v2 = P 2 2 2 y (m) Comparando 1 e 2 , temos: v2 2 1 500 k 100 A v2 = k A v2 ⇒ = 400 2 1 v1 100 300 v2 1 v2 200 Donde: = ⇒ = 0,1 v1 10 v1 100 0 2 4 6 8 10 12 14 t (s) Resposta: ba) o valor da velocidade-limite vL;b) o valor da constante k no SI; 62 O gráfico ao lado mostra como varia a intensidade da força dec) a aceleração do surfista quando sua velocidade é a metade da velo- tração aplicada em uma mola em função da deformação estabelecida: cidade-limite. F (N)Resolução: 100a) Analisando o gráfico no intervalo de 10 s a 14 s, temos: Δy vL = ⇒ vL = 200 m ⇒ vL = 50 m/s Δt 4,0 sb) A partir do instante em que v = vL, temos: R = P. 0 20 Δx (cm) Logo: Determine: R = P ⇒ k v2 = m g L a) a constante elástica da mola (em N/m); 2 b) a intensidade da força de tração para a deformação de 5,0 cm. k · (50)2 = 75 · 10 ⇒ k = 0,30 Ns2 m Resolução: vL 2 2 a) Lei de Hooke: F = K Δxc) R = k ⇒ R = 0,30 50 (N) 2 2 Para F = 100N , tem-se: Δx = 20 cm = 0,20 m; logo: R = 187,5 N a 100 = K 0,20 ⇒ K = 5,0 · 102 N/m 2 Lei de Newton: P–R=m a b) F = K Δx 75 · 10 – 187,5 = 75 a Com K = 5,0 · 102 N/m e Δx = 5,0 · 10–2 m a = 7,5 m/s2 Vem: F = 5,0 · 102 · 5,0 · 10–2 (N) ⇒ F = 25 N 2 Respostas: a) 50 m/s; b) 0,30 Ns2 ; c) 7,5 m/s2 Respostas: a) 5,0 · 102 N/m; b) 25 N m

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