Trabajo de Estructuras Discretas... Juan Miguel Abreu Rivero

1. Juan Abreu
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SAIA B

6. Operaciones Veritativas :
Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos
o conectivos que nos permiten construir otras
proposiciones; o simplemente unir dos o más
proposiciones, a partir de proposiciones dadas. Se le
llama conectivos lógicos a los conectivos: y; o; o…o;
si,.. Entonces; sí y sólo si; no ;
Ejemplo: p: La tierra se cultiva ; q: el mango es una
fruta.
1)La tierra se cultiva y el mango es una fruta.
2)O la tierra se cultiva o el mango es una fruta.
3)La tierra se cultiva sí y sólo si el mango es una fruta.

7. NOTA IMPORTANTE: Cuando una proposición no
contiene conectivos lógicos diremos que es una
proposición atómica o simple; y en el caso contrario,
diremos que es una proposición molecular o
compuesta.
Proposición atómica o simple:
1) Marte es u
2) El sol es una estrella
proposición molecular o compuesta:
1)Marte es un planeta y el sol es una estrella.
2)O Marte es un planeta o el sol es una estrella.
3)Marte es una estrella sí y sólo si el sol es una
estrella.

8. TABLA SIMBOLICA

9. La negación
Sea p una proposición, la negación de p es otra
proposición identificada por: ~ p, que se lee "no p",
"no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor
lógico está dado por la siguiente tabla de verdad.
Ejemplo: p: Barcelona es un estado Oriental.
~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental.
~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.
~ p: Barcelona no es un estado Oriental.

10. LA CONJUNCIÓN
Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es
la proposición p ^ q, que se lee "p y q", y cuyo valor
lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:
Ejemplo:
p: el negro primero peleo en Carabobo.
q: Bolívar murió en Colombia.
p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió
en Colombia.
Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.

11. LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es
la proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor
lógico está dado por la tabla siguiente:
Ejemplo:
p: La estatua de la Simón Bolívar está en Cd. Bolívar
q: La estatua de Miranda está en Caracas.
p v q: La estatua de Simón Bolívar está en Cd. Bolívar o La
estatua de Miranda está en Caracas.
VL(pvq)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0.

12. LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Sean p y q dos proposiciones. La disyunción
exclusiva de p y q es la proposición pvq, que se lee
"o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla.
Ejemplo: p: 17 es un número primo; q: 17 es un
número par
p v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par.
VL(p v q) = 1, ya que VL(p) = 1 y VL(q) = 0.

13. EL CONDICIONAL
Sean p y q dos proposiciones. El condicional con
antecedente p y consecuente q es la proposición p →q,
que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico está
dado por la siguiente tabla:
Ejemplo:
Observe las proposiciones condicionales siguientes:
1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).

14. CONDICIONALES ASOCIADOS
Dado un condicional p→q podemos asociarles los
siguientes condicionales:
1. Directo: p →q
2. Recíproco: q →p
3. Contrarrecíproco: ~ q → ~ p
4. Contrario: ~ p → ~ q

15. Ejemplo
Escribir el recíproco, contrarrecíproco y contrario
del siguiente condicional: Si 5 es primo entonces 7
es impar.
Solución
* Recíproco: Si 7 es impar entonces 5 es primo.
* Contrario: Si 5 no es primo entonces 7 no es
impar.
* Contrarrecíproco: Si 7 no es impar entonces 5 no
es primo.

16. EL BICONDICIONAL
Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional
de p y q a la proposición p↔q, que se lee "p si sólo si
q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y
cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.
La tabla nos dice que p↔q es verdadero cuando VL(p)
= VL(q), y esa falsa cuando VL(p) ≠VL(q)
Ejemplo: p: 2 + 1 = 3 ; q: 2< 3
p↔q : 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3

17. Formas Proposicionales
A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar
los conectivos lógicos a las variables
proposicionales p, q, r, s, t, entre otros., se les
llaman formas proposicionales, por ejemplo: t→
(q ^ ~ r) ~ [(p↔ s)^ (r↔ q)] son formas
proposicionales y podemos decir, para ser más
preciso que las variables proposicionales también
son formas proposicionales.

18. Tablas de Verdad de las Formas Proposicionales
Las tablas de verdad permiten determinar el valor de
verdad de una proposición compuesta y depende de las
proposiciones simples y de los operadores que contengan.
Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen
del número de proposiciones dadas.
Para una proposición (n = 1), tenemos 2 1 = 2 combinaciones
Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 2 2 = 4
combinaciones
Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8
combinaciones
Para n proposiciones tenemos 2 n combinaciones

19. Tautologías y Contradicciones
Proposición Tautológica o Tautología
Es aquella proposición molecular que es verdadera (es
decir, todos los valores en su conectivo principal de su
tabla de verdad son (1) independientemente de los
valores de sus variables.
Ejemplo:
Probar que P v ~ P es una tautología
P v ~P
1 1 0
0 1 1

20. CONTRADICCIÓN
Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es
decir cuando los valores de su conectivo principal son todos
0) independientemente de los valores de sus variables
proposicionales que la forman.
Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente
es una contradicción, p ^ ~ p, para chequearlo recurrimos al
método de las tablas de verdad.
Ejemplo: Probar que p ^ ~ p es una contradicción
pÙ~p
100
001

21. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Leyes Idempotentes
1.1. p ^ p =p
1.2. p v p = p
2.Leyes Asociativas
2.1. (P v q) v r =p v (q v r)
2.2. (P ^ q) ^r = p ^(q ^ r)
3. Leyes Conmutativas
3.1. P ^q = q ^p
3.2. P v q = q v p
4. Leyes Distributivas
4.1. P v ( q ^ r ) = ( p v q ) ^ (p v r)
4.2. P ^ ( q v r ) = ( p ^q ) v (p ^ r)
5. Leyes de Identidad
5.1. P v F =P
5.2. P ^ F = F
5.3. P v V = V
5.4. P ^ V =P

22. 6. Leyes de Complementación
6.1. P v ~ P = V (tercio excluido)
6.2. P ^ ~ P = F (contradicción)
6.3. ~ ~ P = P (doble negación)
6.4. ~ V = F, ~ F = V
Otras Equivalencias Notables
a. p→ q = ~ p v q (Ley del condicional)
b. p↔ q = (p→ q) ^ (q→ p) (Ley del bicondicional)
c. p v q = ( p ^ ~ q ) v ( q ^ ~ p ) (Ley de disyunción exclusiva)
d. p→ q = ~ q→ ~ p (Ley del contrarrecíproco)
e. p^q =~(~p v~q)
f. (p v q ) → r ) = ( p → r ) ^ (q → r ) (Ley de demostración por
casos)
g. g. (p→ q) = (p ^ ~ q →F) (Ley de reducción al absurdo)

23. IMPORTANTE
Una de las grandes utilidades de las leyes dadas
anteriormente es que nos permiten simplificar
proposiciones. El procedimiento de probar que una
proposición es equivalente a otra usando las leyes
del álgebra proposicional, es llamada prueba
deductiva.

24. Ejemplo
Probar deductivamente la ley de exportación
( p ^ q ) → r ) = ( p → (q → r )
Solución
( p ^ q ) → r = ~ ( p ^ q ) v r ( Ley condicional )
= (~ p v ~ q) v r ( Ley de De Morgan)
= ~ p v (~ q v r ) ( Ley asociativa )
= ~ p v (q → r) ( Ley condicional)
= p → (q → r) ( Ley condicional)

25. CIRCUITOS LÓGICOS
Los circuitos lógicos o redes de conmutación
los podemos identificar con una forma
proposicional. Es decir, dada una forma
proposicional, podemos asociarle un circuito; o
dado un circuito podemos asociarle la forma
proposicional correspondiente. Además, usando
las leyes del álgebra proposicional podemos
simplificar los circuitos en otros más sencillos,
pero que cumplen la misma función que el
original.

26. Veamos los siguientes interruptores en conexión:
La conexión en serie:
p^q
La conexión en paralelo:
pvq

27. Ejemplo
Construir el circuito correspondiente a la
siguiente expresión:
(p ^ q) v [( p ^ r) v ~ s)]
Solución:

28. Ejemplo: Simplificar el siguiente circuito:
(p v q)^ (~ p v q)^ (~ p v ~ q)
= [(p v q)^ (~ p v q)] ^ (~ p v ~ q)
= [(p ^ ~ p) v q] ^ (~ p v ~ q)
= [F v q] ^ (~ p v ~ q)
= q ^ (~ p v ~ q)
= ( q ^ ~ p) v (q ^ ~ q)
= ( q ^ ~ p) v F
= ( q ^ ~ p) ; esto es equivalente a: