Persamaan kuadrat umumnya memiliki bentuk aX^2 + bX + c = 0, dimana a, b, dan c adalah koefisien persamaan dan X adalah variabel. Dokumen menjelaskan cara menentukan nilai koefisien a, b, dan c dari suatu persamaan kuadrat, serta menghitung akar-akarnya dengan berbagai metode.

1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah:
Dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0
a merupakan koefisien x2
b merupakan koefisien x
c adalah suku tetapan atau konstanta
ax2
+ bx + c = 0
serta x adalah peubah (variabel)

2. Jawab:
Contoh 1:
Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat berikut:
a. x2
– 3 = 0
b. 5x2
+ 2x = 0
c. 10 + x2
- 6x = 0
d. 12x – 5 + 3x2
= 0
a. x2
– 3 = 0 Jadi a = , b = , dan c =1 0 -3
b. 5x2
+ 2x = 0 Jadi a = , b = , dan c =5 2 0
c. 10 + x2
- 6x = 0 Jadi a = , b = , dan c =1 -6 10
d. 12x – 5 + 3x2
= 0 Jadi a = , b = , dan c =3 12 -5

3. Nyatakan dalam bentuk baku, kemudian tentukan
nilai a, b dan c dari persamaan :
a. 2x2
= 3x - 8
b. x2
= 2(x2
– 3x + 1)
C. 2x - 3 =
x
5
Jawab:
a. 2x2
= 3x – 8
Kedua ruas ditambah dengan –3x + 8
– 3x + 8
2x2
– 3x + 8 =
Jadi, a = , b = dan c =2 -3 8
2x2
= 3x – 8 – 3x + 8
Contoh 2:
0

4. b. x2
= 2(x2
– 3x + 1)
x2
= Kedua ruas dikurangi dengan x2
x2
x2
– 6x + 2
x2
– 6x + 2 = 0
Jadi a = , b = , dan c =1 -6 2
c. 2x - 3 =
x
5
Kedua ruas dikalikan dengan x
(2x – 3)x =
2x2
– 3x =
2x2
– 3x – 5 = 0
Jadi a = , b = , dan c =2 -3 -5
- x2
= 2x2
– 6x + 2- x2
Jawab:
0 =
5
2x2
– 6x + 2
5

5. REMEMB
ER .…
(a + b)(p + q) =
(a - b)2
=
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
a2
- 2ab + b2
ap + bp + aq + bq
(a + b)(a - b) = a2
- b2

6. 1. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan
Contoh: Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut
02
=++ cbxax
(ax……) (ax…..) = 0
+
a . c
b
P
QP Q
1. x2
─ x ─ 6 = 0
(x ) (x ) = 0
x = 3 atau x = ─2
─ 3
+ 2
+
─ 6
─ 1
─ 3 + 2
(2x ) (2x ) = 0
2. 2x2
─ 3x ─ 5 = 0
2
(2x ─ 5) (x +1 ) = 0
X=
2
5
Atau x = ─ 1
+ 2─ 5 ─ 10
─3
+
─ 5
+ 2
a

7. 092
=−x
0)3)(3( =−+ xx
3−=x 3=x
4.
atau
(– 3x ) (– 3x ) = 0
3. ─ 3x2
─ 4x + 4 = 0
– 3
(– 3x + 2) (x +2 ) = 0
X= – 2
3
2x =
+ 2 – 6
─ 12
– 4
+

8. 2. Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat
Contoh:
Jika persamaan kuadrat koefisien dari x2
belum = 1 , maka ubahlah menjadi 1
Sehingga persamaan kuadratnya menjadi bentuk x2
+ px + q = 0
x2
+ px + q = 0
0q)())((x 2
2
p2
2
p
=+−+
0822
=−+ xx
9)1( 2
=+⇔ x
3)1( ±=+⇔ x
31 −=+⇔ x 31 =+x
13 −−=⇔ x 13 −=x
4−=⇔ x 2=x
1.
atau
atau
atau
081)1( 2
=−−+⇔ x
( ) ( ) 0)8()(
2
2
22
2
2
=−+−+⇔ x
09)1( 2
=−+⇔ x
dengan p = 2, q = -8
9)1( ±=+⇔ x

9. 2. 2x2
–6x –5 = 0
x2
+ px + q = 0
0q)())((x 2
2
p2
2
p
=+−+
Karena koefisien dari x2
belum = 1 maka kita bagi 2
(supaya menjadi satu)
x2
–3x – 5/2 = 0
0)()())(( 2
52
2
32
2
3
=−+−+ −−
x
0)()( 2
5
4
92
2
3
=−−−x
0)()( 4
10
4
92
2
3
=−−−x
0)( 4
192
2
3
=−−x
0)( 4
192
2
3
=−−x
4
192
2
3
)( =−x
4
19
2
3
)( ±=−x
2
19
2
3
)( ±=−x
2
3
2
19
+±=x
2
3
2
19
1 ++=x 2
319 +
=
2
3
2
19
2 +−=x 2
319 +−
=
dengan p = -3, q = -5/2

10. 3. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat
Jika diketahui suatu persamaan kuadrat 02
=++ cbxax
, maka akar-akarnya adalah:
a
acbb
x
2
42
2.1
−±−
=
Contoh:
0822
=−+ xx
)1(2
)8)(1(422 2
2.1
−−±−
=x
2
3242
2.1
+±−
=x
2
62
2.1
±−
=x
2
62
1
−−
=x
2
62
2
+−
=x
41 −=x 22 =x
, jadi a=1, b=2, c=-8
atau
atau

11. Diskriminan (D) adalah: acbD 42
−=
Diskriminan dapat menentukan jenis-jenis akar kuadrat, yaitu:
1.Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.
a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional
b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
Contoh:
0322
=−+ xx
acbD 42
−=
)3)(1(4)2( 2
−−=D
124 +=
16=
Karena D=16>0 dan berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua
akarnya berlainan dan rasional
DISKRIMINAN

12. 0322
=−+ xx
0)1)(3( =−+⇔ xx
3−=⇔ x 1=xatau
Contoh:
0522
=−+ xx
acbD 42
−=
)5)(1(422
−−=
24204 =+=
Karena D=24>0 tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional

13. 0522
=−+ xx
1.2
)5(1.4)2(2 2
2.1
−−±−
=x
2
2042
2.1
+±−
=x
2
242
2.1
±−
=x
atau
Jadi akar-akarnya adalah:
2
622
2.1
±−
=x
2
)61(2
2.1
±−
=x
612.1 ±−=x
61+−=x 61−−=x

14. 2. Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama ( akar kembar )
Contoh:
042
4
1 2
=++ xx
acbD 42
−=
.
)4)(
4
1
(422
−= 44 −= 0=
Karena D=0, maka kedua akarnya kembar
042
4
1 2
=++ xx
4×
01682
=++ xx
0)4)(4( =++ xx
4−=x atau
Jadi akar akarnya adalah:
4−=x

15. 3. Jika D<0, maka kedua akarnya tidak real ( imaginer ).
Contoh:
0342 2
=++ xx
acbD 42
−= )3)(2(442
−= 2416 −= 8−=
2.2
)3(2.444 2
2.1
−±−
=x
4
24164
2.1
−±−
=x
4
84
2.1
−+−
=x
4
84
2.1
−−−
=x0342 2
=++ xx
atau
Jadi akar akarnya adalah:
4
84 −+−
=x 4
84 −−−
=x
Karena D=-8<0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai
akar-akar real (akar-akarnya imaginer).

16. Pengertian Bilangan Imaginer
Akar pangkat dua dari bilangan negatif adalah bilangan imaginer.
Satuan imaginer didefinisikan sebagai
maka setiap bilangan imaginer dapat dinyatakan dalam satuan imaginer i
1−=i
Contoh:
i24)1()4)(1(4 =×−=−=−
i3327)1()27)(1(27 =×−=−=−

17. Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat dg Akar-akarnya
Memiliki Ciri-ciri Sifat Tertentu
Contoh:
Diketahui persamaan kuadrat 0)32(22
=+++ ppxx
a.Carilah diskriminan persamaan kuadrat tersebut!
b. Tentukan nilai atau batas nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:
•Mempunyai dua akar yang berbeda
• Mempunyai dua akar sama (akar kembar)
•Tidak mempunyai akar-akar real
Jawab
a. acbD 42
−=
)32)(1(4)2( 2
+−= pp 1284 2
−−= pp

18. b. nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:
0>D
01284 2
>−− pp
0322
>−− pp
0)3)(1( >−+ pp
1−<p 3>patau
•Mempunyai dua akar yang berbeda • Mempunyai dua akar sama (akar kembar)
0=D
01284 2
=−− pp
0322
=−− pp
0)3)(1( =−+ pp
1−=p 3=patau
•Tidak mempunyai akar-akar real
01284 2
<−− pp
0322
<−− pp
0)3)(1( <−+ pp
0<D
31 <<− p

19. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
02
=++ cbxax
maka
a
b
xx −=+ 21 dan
a
c
xx =21.
Contoh:
0822
=−+ xx
0)2)(4( =−+ xx
41 −=x 22 =xatau
a
b
xx −=+ 21
1
2
−= 2−=
a
c
xx =21.
1
8−
= 8−=
0822
=−+ xx
22421 −=+−=+ xx
82).4(. 21 −=−=xx

20. Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persmaan Kuadrat
Sebuah bentuk aljabar yang terdiri dari dua variabel disebut simetri atau setangkup,
jika letak variabel tersebut ditukar,
maka nilai dari bentuk aljabar tersebut tidak berubah.
Contoh:
Bentuk-bentuk simetri
ba + abba +=+
22
ba + 2222
abba +=+
ba
11
+
abba
1111
+=+
, karena
, karena
, karena
ba − abba −≠−
22
ba − 2222
abba −≠−
ba
11
−
abba
1111
−≠−
Bentuk-bentuk tidak simetri
, karena
, karena
, karena
Bentuk-bentuk simetri dari akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan
tanpa menghitung akar-akarnya terlebih dahulu.

21. Contoh:
0822
=−+ xxAkar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2.
Tanpa menentukan akar-akarnya, tentukanlah:
21 xx +
21.xx
2
2
2
1 xx +
21
11
xx
+
a.
b.
c.
d.
Jawab:
a
b
xx −=+ 21 2
1
2
−=−=
a
c
xx =21. 8
1
8
−=
−
=
a.
b.

22. 2
2
2
1 xx +c. 21
2
21 .2)( xxxx −+=
)8(2)2( 2
−−−=
164 += 20=
21
11
xx
+d.
21
12
xx
xx +
=
8
2
−
−
=
4
1
=

23. Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Memiliki Cri-ciri Tertentu
Contoh:
Diketahui persamaan kuadrat 0)3(102
=++− kxx
Jika salah satu akarnya empat kali akar yang lain, hitunglah nilai k
Jawab:
Salah satu akarnya empat kali akar yang lain.
Jadi 21 4xx =
Rumus jumlah akar-akar:
10
1
10
21 =
−
−=−=+
a
b
xx
104 22 =+ xx
105 2 =x
22 =x
21 4xx =
82.41 ==x
Dari , maka

24. Rumus hasil kali akar-akar:
a
c
xx =21. 3
1
3
+=
+
= k
k
38.2 += k
316 += k
k=− 316
13=k

25. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 02
=++ cbxax
Sifat : Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
0)( 21 =⇔−= bxx
ca
x
x =⇔= )
1
(
2
1
0)0( 1 =⇔= cx
a
b
x −=2
0>⇔
a
c
0<⇔
a
c
1.Akar-akarnya berlawanan
2. Akar-akarnya berkebalikan
3. Sebuah akarnya sama dengan 0 dan
4. Kedua akarnya bertanda sama
5. Kedua akarnya berlainan tanda

26. Tentukan nilai p dalam persamaan kuadrat
Contoh:
0)43()12( 22
=−−+−+ ppxpx
agar salah satu akarnya sama dengan nol.
Supaya salah satu akarnya sama dengan nol haruslah 0=c
0432
=−− pp
0)4)(1( =−+ pp
1−=p 4=p
Jadi:
atau