Ideia básica para se resolver equações[editar]
Há muitas formas de se resolver equações4
mas a principal ideia, quando as ...
podemos somar -5 a ambos os lados da igualdade e obter:
Usando propriedades da adição, obtemos
ou, equivalentemente,
Vamos...
que tem soluções
ou , ou
seja, ou .
Poderíamos também aplicar a
função raiz quadrada a ambos os
lados da
equação :
que equ...
As soluções
desta última
equação
são
e .
Entretanto,
testando-se na
equação original
tem-se,
para :
, que é verdadeira. Já...
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Ideia básica para se resolver equações

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Ideia básica para se resolver equações

  1. 1. Ideia básica para se resolver equações[editar] Há muitas formas de se resolver equações4 mas a principal ideia, quando as incógnitas são procuradas nos conjuntos dos números inteiros, racionais, reais ou mesmo complexosé o fato que o produto de números só é igual a zero se um dos fatores for igual a zero. Assim, para se resolver a equação , o método mais simples e eficiente é escrever: é equivalente a , que, por sua vez, pode ser escrito na forma . Como o produto só pode ser 0 se um dos fatores for igual a 0, concluímos que ou ou . Logo, as soluções da equação são ou . O mesmo método pode ser aplicado a equações mais difíceis, com a mesma eficiência. Portanto, para se saber resolver equações é importante, antes de mais nada, saber fatorarexpressões algébricas. Equações equivalentes[editar] Diz-se que duas equações são equivalentes se elas têm as mesmas raízes (soluções).3 Por exemplo, considere as equações: 1. 2. 3. A equação (i) admite as soluções reais e . As equações (ii) e (iii) admitem apenas a solução real . Assim sendo, as equações (i) e (ii) não são equivalentes, enquanto que as equações (ii) e (iii) são equivalentes. Escrevemos . Nem sempre é fácil encontrar as soluções (todas) de uma equação dada. O método de resolução mais elementar é a troca da equação dada por outra equivalente que seja mais simples. Como transformar uma equação em outra equivalente[editar] Dada uma equação, as seguintes operações podem ser efetuadas sem que se modifique o conjunto-solução: 1. somar um mesmo número real em cada lado da igualdade.3 2. multiplicar cada lado da igualdade por uma mesma constante não nula.5 Vejamos um exemplo. Dada a equação
  2. 2. podemos somar -5 a ambos os lados da igualdade e obter: Usando propriedades da adição, obtemos ou, equivalentemente, Vamos agora dividir cada lado da igualdade por 3 (isto é, multiplicar por ) e chegar à solução procurada: Observe que a ordem com que efetuamos as operações é indiferente: Poderíamos ter começado multiplicando os dois lados da equação por 5: Subtraindo 25 de cada lado, obtemos outra equação ainda equivalente à primeira: Finalmente, dividimos cada lado por 15: Há outras transformações que podem ser feitas, mas que exigem um conhecimento mais profundo de funções e seus efeitos. Dada uma equação, pode-se aplicar uma função a ambos os lados, mas precisamos tomar cuidado pois o conjunto-solução pode ser alterado. Um exemplo simples é o seguinte. A equação pode ser vista como
  3. 3. que tem soluções ou , ou seja, ou . Poderíamos também aplicar a função raiz quadrada a ambos os lados da equação : que equivale a ou, seja, ou . Uma situação que exige mais cuidado é quando, para resolvermos uma equação algébrica, elevamos cada lado da equação ao quadrado. Ao fazermos isso, perdemos a informação sobre o sinal (positivo ou negativo) de cada membro da equação e, por isso, iremos obter outra equação, que não é equivalente à original: ela terá mais soluções. Logo, quando usamos essa técnica temos que, no final, voltar à equação original e verificar quais soluções da equação modificada são também soluções da equação original. Vejamos um exemplo: é dada a equação Elevando-se os dois lados da equação ao quadrado, tem-se:
  4. 4. As soluções desta última equação são e . Entretanto, testando-se na equação original tem-se, para : , que é verdadeira. Já para , a igualdade é falsa, já que . Logo, a equação admite apenas uma solução, a saber, .

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