Distribuição F de Probabilidade

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Cálculo da moda de uma Distribuição F de de Snedecor com v1 e v2 graus de liberdade. Resolução de uma questão de Concurso de Estatística da Marinha CP-T/2016.

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Distribuição F de Probabilidade

  1. 1. concurseiro_estatistico@outlook.com
  2. 2. Agenda Densidade de probabilidade de uma variável aleatória F(υ1, υ2); Simplicação da densidade da distribuição F(υ1, υ2); Como calcular a moda da distribuição F(υ1, υ2); Resolução de questão do concurso da Marinha (CP-T/2016).
  3. 3. Distribuição F Uma variável aleatória contínua X tem distribuição F de Snedecor com υ1 e υ2 graus de liberdade, denotada por Fυ1,υ2 , se sua função densidade for dada por: f(x) = Γ υ1+υ2 2 Γ υ1 2 Γ υ2 2 · υ1 υ2 υ1 2 · x υ1 2 −1 1 + υ1 υ2 x υ1+υ2 2 , 0 x ∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . . Se k = Γ υ1+υ2 2 Γ υ1 2 Γ υ2 2 · υ1 υ2 υ1 2 , podemos escrever a densidade como se segue f(x) = k · x υ1 2 −1 1 + υ1 υ2 x υ1+υ2 2
  4. 4. Distribuição F f(x) = k · x υ1 2 −1 1 + υ1 υ2 x υ1+υ2 2 , 0 x ∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . . Observe ainda, se zermos    a = υ1 2 b = υ1 υ2 c = υ1 + υ2 2
  5. 5. Distribuição F A densidade ca simplicada a f(x) = k · xa−1 (1 + bx)c , 0 x ∞ Finalmente, podemos armar que afunção de densidade da F é da forma f(x) = k · g(x) h(x) Onde g(x) = xa−1 e h(x) = (1 + bx)c .
  6. 6. Distribuição F Figure: Densidade da F By IkamusumeFan - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=34777108
  7. 7. Regra de Derivação f(x) = g(x)/h(x) A densidade de F é do tipo f(x) = k · g(x) h(x) ⇒ f (x) = k · g (x)h(x) − g(x)h (x) [h(x)]2
  8. 8. Derivando a densidade f(x) f(x) = k · g(x) h(x) Onde g(x) = xa−1 e h(x) = (1 + bx)c . g(x) = xa−1 ⇒ g (x) = (a − 1)xa−2 h(x) = (1 + bx)c ⇒ h (x) = bc(1 + bx)c−1 Portanto f (x) = k · (a − 1)xa−2 (1 + bx)c − xa−1bc(1 + bx)c−1 [(1 + bx)c]2 Para maximizar f(x), fazemos f (x) = 0, logo devemos ter (a − 1)xa−2 (1 + bx)c − xa−1 bc(1 + bx)c−1 = 0 Com isso (a − 1)xa−2 (1 + bx)c = xa−1 bc(1 + bx)c−1 ⇒ x = 1 − a bc − ab − b
  9. 9. Distribuição F Resumo A densidade da F é dada por f(x) = k · xa−1 (1 + bx)c , 0 x ∞ Com a = υ1 2 , b = υ1 υ2 , c = υ1 + υ2 2 e k = Γ υ1+υ2 2 Γ υ1 2 Γ υ2 2 Sua moda é dada por x = 1 − a bc − ab − b . Fazendo as subistituições xmodal = (υ1 − 2) υ1 · υ2 (υ2 + 2)
  10. 10. CPT/2016 - Prova Amarela Questão 11
  11. 11. CPT/2016 - Prova Amarela Questão 11

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