1. NNÚÚMMEERROOSS
RREEAALLEESS

2. Introducción.
Números naturales.
El conjunto de los números naturales se representa por y sus elementos
son
El conjunto de los números enteros se representa por y está formado
por los números naturales y por los números negativos
¢ = { ..., -3, -2, -1,0,1,2,3,...}
Un número entero a es mayor que otro número entero b cuando en la
representación gráfica a está situado a la derecha de b. a > b
Un número entero a es menor que otro número entero b cuando en la
representación gráfica a está situado a la izquierda de b. a < b
Valor absoluto de un número entero:
a si a 0
a
ì ³
= í- < î
a si a 0
Números enteros.
ℕ
ℕ={0, 1,2,3,…}
ℤ
ℤ

3. Introducción.
Potencias.
a
b
a 1
ö b
çè
= ÷ø
æ
n m n m
a a
+
= æ ö çèb
÷ø
· a
b
b
÷ø
æ ÷ø
ö çè
çè
æ
ö n m n m
a a
-
ö b
çè
: a
ö b
çè
b
÷ø
æ = ÷ø
æ
ö ÷øçè
æ n m n·m
a
ö b
çè
a
ö b
çè
÷ø
= æ
ù
ú úû
é
ê êë
÷ø
æ
n n n
· c
ö d
çè
a
ö b
çè
· c
b
ö d
çè
a
÷ø
æ ÷ø
ù
= æ úû
é
ö çè
êë
÷ø
æ ÷ø
æ
n n n
: c
ö d
çè
a
ö b
çè
: c
b
ö d
çè
a
÷ø
æ ÷ø
ù
= æ úû
é
ö çè
êë
÷ø
æ ÷ø
æ

4. Introducción.
Números racionales.
ℚ {a / a,b y b 0}
El conjunto de los números racionales se representa por y está
formado por
ℚ¤ = Îℤ¢ ¹
Potencias.
n n
n
a
b
a = ÷ø
æ
ö çè
b
1
a 0
ö b
çè
= ÷ø
æ
n n n
n
b
a
a b
a
÷ø
= b
= æ ÷ø
ö çè
ö çèæ -
Si el exponente es entero positivo
Si el exponente es cero
Si el exponente es entero negativo
b

5. Introducción.
Cambio de expresión fraccionaria a expresión decimal.
Se hace la división y puede suceder que:
- Se termine y por tanto la expresión decimal sea limitada
(decimal exacto)
- No se termine y por tanto la expresión decimal sea ilimitada. Las
cifras que se repiten a partir de una en bloques iguales se llaman
períodos (decimal periódico)
Si el bloque de cifras que se repite lo hace inmediatamente a
continuación de la coma se llama decimal periódico puro, y en caso
contrario decimal periódico mixto.
Todo número racional puede escribirse en forma decimal periódica.

6. Introducción.
Cambio de la expresión decimal a expresión
fraccionaria. Decimal exacto: Se ponen todas las cifras y se divide entre la unidad
seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
Decimal periódico puro: Se ponen todas las cifras enteras y decimales
sin la coma, se le resta la parte entera y se divide entre tantos nueves
como cifras tenga el período.
Decimal periódica mixto: Se ponen todas las cifras enteras y
decimales sin la coma, se le resta la parte entera y la decimal no
periódica, y se divide entre tantos nueves como cifras tenga el periodo
seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no
incluida en el período.
Todo número decimal puede escribirse en forma fraccionaria.

7. 1. Números reales.
La recta real.
Los números que vienen dados por una expresión decimal no periódica se
llaman números irracionales.
Tanto los números racionales como los irracionales forman los números
reales. ℝ
ℚ ℤ ℕ
I

8. Intervalos y semirrectas.
INTERVALO
ABIERTO
SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN
(a , b)
NOMBRE
INTERVALO
CERRADO
INTERVALO
SEMIABIERTO
[a , b]
(a , b]
[a , b)
Números comprendidos
entre a y b, estos no
incluidos
{ x /a<x<b }
{ x /a≤x≤b} Números comprendidos
entre a y b, estos
incluidos
{ x /a<x≤b} Números comprendidos
entre a y b; a no
incluido, b incluido
Números comprendidos
entre a y b; a incluido,
b no incluido { x /a≤x<b}
a
a
a
a
b
b
b
b

9. Intervalos y semirrectas.
NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN
SEMIRRECTA
Números menores que a,
este no incluido {x/x <a}
{x/x £a} Números menores que a
y el propio a
{x/ a <x} Números mayores que a,
este no incluido
Números mayores que a
y el propio a {x/ a £x}
(−∞,a )
(−∞, a ]
(a ,+∞)
[ a ,+∞)
a
a
a
a

10. Entornos
●NOMBRE Símbolo Definición Representación
Entorno
simétrico
El entorno simetrico
de centro “a” y radio
“r” es el conjunto de
puntos que están más
cerca de “a” que “r”
Entorno
Reducido
Entorno lateral a
la izquierda
Entorno Lateral a
la derecha
E(a,r)
E* E* (a,r)=E(a,r)−{a}
(a,r)
E- (a,r)
E+(a,r)
E- (a,r)=(a−r ,a)
E+ (a,r)=E(a, a+r)
r r
a-r a a+r
a-r a a+r
a-r a
a a+r

11. 2. Valor absoluto de un
número real.
El valor absoluto de un número real a, es el propio número a, si es
positivo, o su opuesto, -a, si es negativo:
a si a 0
a
ì ³
= í- < î
a si a 0
Ejemplos:
|7,4|=
0 =
7,4
0
-5,87 =
5,87

12. Ejemplos.
x = 3 Û
Û
x = 5
x = 3 ó x = -3
x < 2
-3 0 3
x = 5 o - 5
Û -2 < x < 2 x Î( -2,2)
1.
2.
3.
Û
−√5 0 √5
-2 0 2

13. Ejemplos.
x ³ 2 Û
x £ -2 o x ³ 2
Û -5 £ x - 2 £ 5 Û -5 + 2 £ x £ 5 + 2 -3 £ x £ 7
x - 2 £ 5 Û
4.
5.
-2 0 2
-3 0 7

14. 3. Expresión decimal de
los números reales. Números
aproximados.
¿Qué número multiplicado por sí mismo da 2?. Lo representaremos por
- se eligen números enteros y se observa que 1 por sí mismo da uno, y
dos por sí mismo da 4, luego
1 < 2 < 2
- se eligen números entre 1 y 2 con un decimal y se obtiene
1,4 < 2 < 1,5
- se eligen ahora números entre 1,4 y 1,5 con dos decimales y obtenemos
1,41 < 2 < 1,42
2
Su valor decimal se calcula por aproximaciones sucesivas. Se procede así:

15. Error y números racionales.
Los números racionales pueden escribirse exactamente siempre que
se utilice la notación fraccionaria. Al tomar un número decimal
periódico no pueden tomarse todas sus cifras decimales y se comete
un error. Por ejemplo:
10 =
0,3333...
3
Si tomamos este número como 3,33 cometemos un error.
El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre el número y
un valor aproximado del mismo:
1
30
10 100 - 99
e = - = - = =
30
33
10
3,3 10
3
3
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el número, es
decir el error por unidad:
1
100
3
er = = =
300
: 10
3
1
30

16. Error y números irracionales.
Los números irracionales no se pueden dar nunca en forma fraccionaria
ni en forma decimal exacta, ya que su expresión tiene infinitas cifras
no periódicas.
Por ejemplo, el número sabemos que está comprendido en los
siguientes intervalos:
Según aumentamos el número de cifras decimales de los extremos de
los intervalos, el error, al tomar los extremos como aproximación de
su valor será menor.
Si tomamos p
= 3,14 se comete un error que no puede conocerse
exactamente pero sí acotarse:
1
314
Error absoluto: e < 3,15 - 3,14 = 0,01
3,15 e < - 3,14 0,01
= =
3,14
3,14
p
(3;4), (3,1;3,2), (3,14;3,15), ...
Error relativo:

17. Notación científica.
Ejemplos.
El volumen de la tierra es 1,08 x 1021 m3
Esto es un número aproximado en notación científica.
|error absoluto|<0,005×1021 m3=
error relativo 0,005 < = 0,0046... <
0,005
1,08
5´1018 m3
1.
El diámetro de un cierto virus es 3,1 x 10-9 m
Esto es un número aproximado en notación científica.
error absoluto < 0,05 ´10-9 m =
error relativo 0,05 < = 0,016129... <
0,02
3,1
5´10-1 m
2.

18. 4. Radicales.
Propiedades.
La radicación es la operación inversa de la potenciación.
Llamamos raiz n-ésima de un número dado a al número b que elevado
a n nos da a.
n√a=b ⇔ a=bn
índice ( n > 1) radicando radical
Si a≥0, n√a existe cualquiera que sea a
Si a < 0, n a solo existe para valores impares de n

19. Forma exponencial de los radicales.
1
n a = a n
m
n am = a n

20. Propiedades de los radicales.
Potencias y raíces.
1. np ap = n a
2. ( )n a p = n ap
m n a = mn a
3.
Se utiliza para simplificar radicales
Se utiliza para reducir a común índice varios radicales

21. Propiedades del producto y del cociente
de radicales.
4. n a·b = n a · n b
5.
Se utiliza para extraer factores fuera de la raíz
Se utiliza para juntar varios radicales en uno
a n
a
b b
n
n
=
Se utiliza junto con las propiedades 1 y 4 para poner
productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz

22. Suma de radicales.
Para poder sumar dos radicales tiene que ser radicales idénticos, es
decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos.
7+11-1=17
7 5 + 11 5 - 5 =
1.
17 5
2. 23 + 32·2 + 4 22·54 = 8 + 18 + 4 2500 =
2 2 + 3 2 + 5 2 = 10 2

23. Racionalización de denominadores.
Es el procedimiento por el cual hacemos desaparecer los radicales del
denominador de una fracción.
a
1.
3
5
=
2.
3 5
5
3· 5
5· 5
=
3 5
5
5
5
3
3 3
=
b
Multiplicamos numerador y denominador por b
a
n bm
con m < n Mult iplicamos numerador y denominador por n bn-m
3
1
25
=
3
5
5 · 5
= 3 2
3 2 3
1
5
=

24. Racionalización de denominadores.
3.
4.
Multiplicamos numerador y denominador por la
expresión conjugada del denominador
( )
( )2 2
2 3 -
7
3 7
=
-
2· ( 3 -
7
)
( 3+ 7 ) · ( 3 7
)
=
-
a
±
a
b ± c
-
Multiplicamos numerador y denominador por la
expresión conjugada del denominador
7
5 3
=
-
7· ( 5 +
3
)
( 5 ) 2 ( 3
) 2
=
-
( )
7· 5 +
3
5 3 · 5 3
( ) ( )
=
- +
b c
2·(3 7 )
2
= 3 - 7
7·( 5 +
3)
2
2
3+√7
=

25. 5. Logaritmos.
Propiedades.
El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y distinta
de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el
número m dado:
e log m = ln m
z
loga m = z Û m = a
Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan
por log en vez de l o g 1 0 , es decir:
log10 m = logm
Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan
por ln en vez de e , es decir: log

26. Propiedades de los logaritmos.
El logaritmo de la base es uno:
a log a = 1
El logaritmo de la unidad es cero:
a log 1 = 0
3. El logaritmo de una potencia de la base es el exponente:
log a x
x
a = El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de
sus factores:
1.
2.
4.
a a a a log (x · y ·...· z) = log x + log y + ... +log z
5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo
menos el logaritmo del divisor:
æ
log x a a a - = ÷ ÷ø
log x log y
y
ö
ç çè

27. Propiedades de los logaritmos.
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado
por el logaritmo de la base de la potencia:
log x log x
n a
a
n
=
Cambio de base. El logaritmo en base a de un número se puede
obtener a partir de logaritmos en otra base:
6.
7.
8.
y
a a log x = y · log x
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando
dividido por el índice:
log x
b
log a
log x
b
a =

28. 6. Matemáticas
Financieras
1. Interes Simple
Cuando depositamos una cantidad de dinero ( Capital ) en un banco,
este nos devolverá, al cabo de un tiempo, nuestro dinero más una
cantidad adicional llamamos Interes.
I=
C⋅R⋅t
100
C es el Capital.
I es el interés.
R es el redito o tanto por ciento anual.
t es el tiempo en años
Si los intereses se devengan n veces al año la formula quedará como:
I=
C⋅R⋅T
100⋅n
Donde T es el número de periodos
por los que devengamos los intereses

29. 2. Interés Compuesto
Cuando los intereses de los distintos periodos se añaden al Capital,
este se incrementa. A este proceso se denomina Capitalización y
decimos que hemos colocado el capital a interés compuesto.
Al capital que hay en cada momento se le denomina Montante
M=C⋅(1+ R
100 )t M es el montante
C es el Capital.
I es el interés.
R es el redito o tanto por ciento anual.
t es el tiempo en años
Si las capitalizaciones se realizan n veces al año la formula quedará
como:
M=C⋅(1+ R
100⋅n )T Donde T es el número de
periodos por los se
realiza la capitalización.

30. 3. Anualidades de capitalización
Llamamos anualidades de capitalización (a ) a las aportaciones
fijas que hacemos al principio de cada periodo, que junto con los
intereses que generan nos permiten obtener al final de un periodo
( t ) cierto capital (C)
a⋅(1+r )⋅[(1+r )t−1]
C=
r
Con r=
R
100
Capitalización no anual. Cuando la capitalización se al principio de
cada periodo, de forma que se realizan (n )pagos al año, realizando
un total (T ) pagos tendremos:
C=
n )⋅[(1+ r
a⋅(1+ r
n )T
−1 ]
rn

31. 4. Anualidades de amortización
Llamamos anualidades de amortización (a ) a las pagos fijos que
hacemos al final de cada año para cancelar una deuda ( D) junto a los
intereses compuestos que genera durante unos determinados años
( t ).
a=
D⋅r⋅(1+r )t
(1+r )t−1
Con r=
R
100
Amortización no anual. Cuando los pagos se realizan al final de
cada periodo, de forma que se realizan (n ) pagos al año,
realizando un total (T ) pagos tendremos:
a=
D⋅⋅(1+)T
(T
1+ r
−1
n rn
rn
)